Exercícios sobre Somatórios

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Somatórios
Seja um conjunto com duas operações satisfazendo às leis básicas da aritmética.
Se é uma sequência em , definimos o somatório dos seus primeiros termos como sendo
Proposição 1 Sejam duas sequências de elementos do conjunto e seja . Então,
Demonstração
Para , temos que:
Suponhamos que a fórmula seja válida para algum número natural . Temos então que:
mostrando assim que a fórmula é válida para . Por Indução Matemática, temos que a fórmula é válida para todo .
Para provar que faremos, também, por indução. Para temos
Suponhamos que seja válida para algum .
Provaremos que também é válida.
Vamos provar, também por indução sobre , esta fórmula. Para , temos que
Suponhamos que a fórmula seja válida para algum natural . Logo,
Mostrando que a fórmula vale para e, portanto, vale para todo .
O somatório de representa a soma de parcelas iguais a , e, portanto, é igual a .
Exemplo 1: Calcular o valor da soma
Com a notação de somatório, podemos escrever
Aplicando o item da proposição acima, temos:
Exemplo 2: Vamos deduzir a expressão do termo geral da recorrência da Pizza de Steiner:
Reescrevendo a expressão acima, temos:
Tomando somatórios de ambos os lados, obtemos:
O primeiro membro da igualdade acima é uma soma telescópica e vale , enquanto o segundo membro é conhecido por nós e vale . Portanto, temos que
Exemplo 3: Seja e considere a seguinte identidade:
Daí, segue-se que:
Tomando os somatórios de ambos os membros da igualdade acima e notando que o lado esquerdo é uma soma telescópica, obtemos
Usando agora as propriedades e dos somatórios enunciados na Proposição 1 e os resultados anteriores, obtemos
Daí , segue-se que:
Obtemos, assim, o resultado de:
Exercícios sobre Somatórios
1. Calcule fórmula fechadas para as seguintes somas:
 
 
 
 
 
 
 
2. Considere, para , a seguinte identidade:
Efetue o somatório de ambos os lados para variando de até . Utilizando problemas anteriormente resolvidos, determine uma fórmula para .
3. Demonstre a identidade das colunas:
 
Suponhamos que seja válida para algum .
Provaremos que também será válida.
Usando a relação de Stiefel temos:
4. Demonstre a identidade das diagonais:
 
Suponhamos que seja válida para algum .
Provaremos que também será válida.
Usando a relação de Stiefel temos: