SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO

Prévia do material em texto

SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO 
 
São sólidos gerados através da rotação de uma figura plana qualquer em torno de um 
eixo imaginário. 
 
 
TIPOS 
CILINDRO – Sólido de revolução gerado através da rotação de um retângulo em torno 
de um eixo coincidente com um de seus lados. 
 
 
CONE – Sólido de revolução gerado através da rotação de um triângulo retângulo em 
torno de um eixo coincidente com um de seus catetos. 
 
 
ESFERA – Sólido de revolução gerado através da rotação de um semicírculo em torno 
de um eixo coincidente com o diâmetro. 
 
 
SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO IRREGULARES: São sólidos gerados através da rotação 
de uma figura plana qualquer em torno de um eixo imaginário. 
 
 
 
ATIVIDADE 
 
1) No ensino de geometria, nas séries iniciais, tem sua importância social o 
reconhecimento do universo tridimensional. Pensando nisso, uma professora levou para 
uma de suas aulas os objetos abaixo: 
I. Uma caixa de sapato (paralelepípedo). 
II. Uma lata de leite em pó (cilindro). 
III. Uma bola de futebol (esfera). 
 
Os sólidos acima são, respectivamente: 
a) poliedro, sólido de revolução e poliedro. 
b) sólido de revolução, poliedro e poliedro. 
c) sólido de revolução, sólido de revolução e poliedro. 
d) poliedro, sólido de revolução e sólido de revolução. 
e) sólido de revolução, sólido de revolução e sólido de revolução. 
 
2) O volume do sólido gerado pela rotação de um triângulo isósceles de lados 
congruentes medindo 5 cm e base medindo 6 cm, em torno da base é igual a: 
a) 32π cm³ 
b) 13π cm³ 
c) 14π cm³ 
d) 15π cm³ 
e) 16π cm³ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cone
lados iguais
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBABILIDADE 
 
Experimento aleatório 
É qualquer experiência cujo resultado não seja conhecido. Por exemplo: ao jogar 
uma moeda e observar a face superior, é impossível saber qual das faces da moeda 
ficará voltada para cima, exceto no caso em que a moeda seja viciada (modificada para 
ter um resultado mais frequentemente). 
Suponha que uma sacola de supermercado contenha maçãs verdes e vermelhas. 
Retirar uma maçã de dentro da sacola sem olhar também é um experimento aleatório. 
 
Ponto amostral 
Um ponto amostral é qualquer resultado possível em um experimento aleatório. 
Por exemplo: no lançamento de um dado, o resultado (o número que aparece na face 
superior) pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Então, cada um desses números é um ponto 
amostral desse experimento. 
 
Espaço amostral 
O espaço amostral é o conjunto formado por todos os pontos amostrais de um 
experimento aleatório, ou seja, por todos os seus resultados possíveis. Dessa maneira, 
o resultado de um experimento aleatório, mesmo que não seja previsível, sempre pode 
ser encontrado dentro do espaço amostral referente a ele. 
 
Como os espaços amostrais são conjuntos de resultados possíveis, utilizamos as 
representações de conjuntos para esses espaços. Por exemplo: O espaço amostral 
referente ao experimento “lançamento de um dado” é o conjunto Ω, tal que: 
 
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
Esse conjunto também pode ser representado pelo diagrama de Venn ou, 
dependendo do experimento, por alguma lei de formação. 
O número de elementos dos espaços amostrais é representado por n(Ω). No caso 
do exemplo anterior, n(Ω) = 6. Lembre-se de que os elementos de um espaço amostral 
são pontos amostrais, ou seja, resultados possíveis de um experimento aleatório. 
 
Evento 
Os eventos são subconjuntos de um espaço amostral. Um evento pode conter 
desde zero a todos os resultados possíveis de um experimento aleatório, ou seja, o 
evento pode ser um conjunto vazio ou o próprio espaço amostral. No primeiro caso, ele 
é chamado de evento impossível. No segundo, é chamado de evento certo. 
Ainda no experimento aleatório do lançamento de um dado, observe os seguintes 
eventos: 
 
A = Obter um número par: 
A = {2, 4, 6} e n(A) = 3 
 
B = Sair um número primo: 
B = {2, 3, 5} e n(B) = 3 
 
C = Sair um número maior ou igual a 5: 
C = {5, 6} e n(C)= 2 
 
D = Sair um número natural: 
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(D) = 6 
 
Espaços equiprováveis 
Um espaço amostral é chamado equiprovável quando todos os pontos amostrais dentro 
dele têm a mesma chance de ocorrer. É o caso de lançamentos de dados ou de moedas 
não viciados, escolha de bolas numeradas de tamanho e peso idênticos etc. 
 
Um exemplo de espaço amostral que pode ser considerado não equiprovável é o 
formado pelo seguinte experimento: escolher entre tomar sorvete ou fazer caminhada. 
 
Cálculo de probabilidades 
As probabilidades são calculadas dividindo-se o número de resultados favoráveis pelo 
número de resultados possíveis, ou seja: 
 
P = n(E) 
 n(Ω) 
 
Nesse caso, E é um evento que se quer conhecer a probabilidade, e Ω é o espaço 
amostral que o contém. 
 
Por exemplo, no lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair o número 
um? 
 
Nesse exemplo, sair o número um é o evento E. Assim, n(E) = 1. O espaço amostral 
desse experimento contém seis elementos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Logo, n(Ω) = 6. Desse modo: 
 
P = n(E) 
 n(Ω) 
P = 1 
 6 
P = 0,1666… 
P = 16,6% 
 
Outro exemplo: qual a probabilidade de obtermos um número par no lançamento 
de um dado? 
 
Os números pares possíveis em um dado são 2, 4 e 6. Logo, n(E) = 3. 
P = n(E) 
 n(Ω) 
P = 3 
 6 
P = 0,5 
P = 50% 
 
Observe que as probabilidades sempre resultarão em um número dentro do intervalo 0 
≤ x ≤ 1. Isso acontece porque E é um subconjunto de Ω. Dessa maneira, E pode conter 
desde zero até, no máximo, o mesmo número de elementos que Ω. 
 
ATIVIDADE 
 
1) O baralho de cartas é formado por 52 cartas divididas em quatro naipes (copas, paus, 
ouros e espadas) sendo 13 de cada naipe. Dessa forma, se retirar uma carta ao acaso, 
qual a probabilidade de sair uma carta do naipe de paus? 
 
2) A probabilidade de se obter um número divisível por 2 na escolha ao acaso de uma 
das permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 é 
 
3) Ao jogar um dado, qual a probabilidade de obtermos um número ímpar voltado para 
cima? 
 
4) Se lançarmos dois dados ao mesmo tempo, qual a probabilidade de dois números 
iguais ficarem voltados para cima? 
 
5) Um saco contém 8 bolas idênticas, mas com cores diferentes: três bolas azuis, quatro 
vermelhas e uma amarela. Retira-se ao acaso uma bola. Qual a probabilidade da bola 
retirada ser azul? 
6) Qual a probabilidade de tirar um ás ao retirar ao acaso uma carta de um baralho com 
52 cartas, que possui quatro naipes (copas, paus, ouros e espadas) sendo 1 ás em cada 
naipe? 
 
7) Sorteando-se um número de 1 a 20, qual a probabilidade de que esse número seja 
múltiplo de 2? 
 
8) Se uma moeda é lançada 5 vezes, qual a probabilidade de sair "cara" 3 vezes? 
 
9) Em uma experiência aleatória foi lançado duas vezes um dado. Considerando que o 
dado é equilibrado, qual a probabilidade de: 
a) A probabilidade de conseguir no primeiro lançamento o número 5 e no segundo o 
número 4. 
b) A probabilidade de obter em pelo menos um dos lançamentos o número 5. 
c) A probabilidade de obter a soma dos lançamentos igual a 5. 
d) A probabilidade de obter a soma dos lançamentos igual ou menor que 3. 
10) Qual a probabilidade de lançar um dado sete vezes e sair 3 vezes o número 5? 
11) Um casal planeja ter cinco filhos e deseja saber a probabilidade de serem 3 meninos 
e 2 meninas. Calcule esta probabilidade. 
 
12) Uma pesquisa realizada com 800 pessoas sobre a preferência pelos telejornais de 
uma cidade, evidenciou que 200 entrevistados assistem o apenas o telejornal A, 250 
apenas o telejornal B e 50 assistem A e B. Das pessoas entrevistadas, qual a 
probabilidade de sortear ao acaso uma pessoa que assiste o telejornal A ou o telejornal 
B? 
 
13) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de 
uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagensnuma casa de 9 
cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. 
14) O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem 
e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. 
A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. 
15) As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não 
pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é 
declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. 
O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há: 
a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas 
b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas 
c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas 
d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas 
e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas 
 
16) Em um jogo há duas urnas com dez bolas de mesmo tamanho em cada urna. A 
tabela a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna. 
Cor Urna 1 Urna 2 
Amarela 4 0 
Azul 3 1 
Branca 2 2 
Verde 1 3 
Vermelha 0 4 
Uma jogada consiste em: 
• 1.º: o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele 
da urna 2 
• 2.º: ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, 
misturando-a com as que lá estão 
• 3.º: em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2 
• 4.º: se a cor da última bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o 
jogo 
Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de 
ganhar? 
a) Azul 
b) Amarela 
c) Branca 
d) Verde 
e) Vermelha 
 
17) Numa escola com 1.200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento 
desses em duas línguas estrangeiras: inglês e espanhol. 
 
18) Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 
300 não falam qualquer um desses idiomas. 
Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, 
qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol? 
a) 1/2 
b) 5/8 
c) 1/4 
d) 5/6 
e) 5/14 
 
19) Considere o seguinte jogo de apostas: 
• Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 
números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados apenas 6. 
• O apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os 
números escolhidos por ele numa mesma cartela. 
O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números 
escolhidos. 
Quantidade de números 
escolhidos em uma cartela 
Preço da Cartela 
6 2,00 
7 12,00 
8 40,00 
Quantidade de números 
escolhidos em uma cartela 
Preço da Cartela 
9 125,00 
10 250,00 
Cinco apostadores, cada um com R$ 500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções: 
• Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos 
• Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números 
escolhidos 
• Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números 
escolhidos 
• Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos 
• Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos 
Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são: 
a) Caio e Eduardo 
b) Arthur e Eduardo 
c) Bruno e Caio 
d) Arthur e Bruno 
e) Douglas e Eduardo 
 
20) Considerando todos os divisores positivos do numeral 60, determine a probabilidade 
de escolhermos ao acaso, um número primo 
 
21) Em uma urna existem bolas enumeradas de 1 a 15. Qualquer uma delas possui a 
mesma chance de ser retirada. Determine a probabilidade de se retirar uma bola com 
número nas seguintes condições: 
a) par 
b) primo 
c) par ou primo 
d) par e primo 
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59