EM_V08_MATEMÁTICA PROFESSOR

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Livro do Professor
Matemática
Volume 8
©Editora Positivo Ltda., 2015
Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP)
(Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-1584 / Curitiba, PR, Brasil)
N434 Nemitz, Vanderlei.
 Matemática : ensino médio / Vanderlei Nemitz ; reformulação dos originais de: Jorge Luiz 
Farago, Lúcio Nicolau dos Santos Carneiro ; ilustrações Sandra Ribeiro. – Curitiba : Positivo, 
2016.
 v. 8. : il.
 Sistema Positivo de Ensino
 ISBN 978-85-467-0414-9 (Livro do aluno)
 ISBN 978-85-467-0415-6 (Livro do professor)
 1. Matemática. 2. Ensino médio – Currículos. I. Farago, Jorge Luiz. II. Carneiro, Lúcio 
Nicolau dos Santos. III. Ribeiro, Sandra. IV. Título.
CDD 373.33
Presidente: Ruben Formighieri
Diretor-Geral: Emerson Walter dos Santos
Diretor Editorial: Joseph Razouk Junior
Gerente Editorial: Júlio Röcker Neto
Gerente de Arte e Iconografia: Cláudio Espósito Godoy
Autoria: Vanderlei Nemitz; reformulação dos originais de: Jorge Luiz Farago e Lúcio Nicolau dos Santos Carneiro
Supervisão Editorial: Jeferson Freitas
Edição de Conteúdo: Lélia Longen Fontana (Coord.) e Walderez Soares Melão
Edição de Texto: André Maurício Corrêa
Revisão: Alessandra Cavalli Esteche, Willian Marques e Priscila Rando Bolcato
Supervisão de Arte: Elvira Fogaça Cilka 
Edição de Arte: Cassiano Darela
Projeto Gráfico: YAN Comunicação
Ícones: ©Shutterstock/ericlefrancais, ©Shutterstock/Goritza, ©Shutterstock/Lightspring, 
 ©Shutterstock/Chalermpol, ©Shutterstock/Macrovector e ©Shutterstock/Kalenik Hanna
Imagens de abertura: ©iStockphoto.com/nikreations e ©Shutterstock/Rawpixel
Editoração: Expressão Digital
Ilustrações: Sandra Ribeiro
Pesquisa Iconográfica: Janine Perucci (Supervisão) e Karine Ribeiro de Oliveira Buzinaro 
Engenharia de Produto: Solange Szabelski Druszcz
Produção
Editora Positivo Ltda.
Rua Major Heitor Guimarães, 174 – Seminário
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2018
Contato 
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Todos os direitos reservados à Editora Positivo Ltda.
18
19
Probabilidades .......................................... 4
Experimentos aleatórios ............................................................................ 5
Espaço amostral e evento .......................................................................... 6
Probabilidade ............................................................................................ 8
 Eventos complementares .................................................................................................................. 10
 Probabilidade da união de eventos ................................................................................................... 13
Probabilidade condicional ......................................................................... 20
Distribuição binomial ................................................................................ 28
Trigonometria na circunferência ............... 35
Arcos e ângulos .......................................................................................... 36
 Medida e comprimento de um arco ................................................................................................... 36
 Unidades de medida de um arco ....................................................................................................... 37
Circunferência trigonométrica ................................................................... 41
 Arcos côngruos .................................................................................................................................. 42
Razões trigonométricas na circunferência .................................................. 45
 Seno, cosseno e tangente de um arco ................................................................................................ 45
 Duas relações importantes ................................................................................................................ 48
 Simetrias na circunferência trigonométrica ....................................................................................... 51
Funções trigonométricas I ........................ 56
Funções periódicas .................................................................................... 57
A função seno ............................................................................................ 60
A função cosseno ....................................................................................... 62
Sumário
20
Acesse o livro digital e 
conheça os objetos digitais 
e slides deste volume.
4
Probabilidades
18
 Os cálculos envolvendo probabilidades estão presentes em situações ligadas à Genética, ciência responsável 
pelo estudo das características hereditárias (transmitidas de uma geração a outra). 
 • Considere um casal que planeja ter três filhos.
a) Qual é a chance de que o primeiro filho seja do sexo feminino?
b) O que você acha que é mais provável, que os três filhos sejam do mesmo sexo ou que sejam duas meninas e 
um menino? 
©Shutterstock/ZouZou
Os cálculos envolvendo probabilidades estão presentes em situações ligadas à Genética ciência responsável
Ponto de partida 
1
Experimentos aleatórios
Em nosso dia a dia, é comum ouvirmos algumas frases como:
 • A probabilidade de chover amanhã é de 80%.
 • Acho pouco provável que ele chegue no horário marcado.
 • A chance de alguém ganhar na Mega-Sena é muito pequena.
 • É muito provável que a seleção brasileira vença essa partida.
 • Depois de mais essa vitória, a chance de o nosso time ser campeão aumentou consideravelmente.
Além dessas, existem inúmeras situações nas 
quais a chance de alguma coisa acontecer costuma 
ser estimada de forma intuitiva ou com base em ex-
periências anteriores.
Embora os primeiros registros sobre probabilida-
des sejam de muitos séculos antes, a origem da teoria 
das probabilidades está ligada aos jogos de azar. No 
século XVII, o chamado “problema dos pontos” foi dis-
cutido por vários matemáticos. Ele foi proposto a Blaise 
Pascal (1623-1662) em 1654. Pascal trocou cartas com 
Pierre de Fermat (1601-1665) sobre esse problema. Es-
sas correspondências foram o ponto de partida para o 
surgimento da teoria das probabilidades.
Como curiosidade, veja o enunciado do problema dos pontos.
O problema foi resolvido corretamente por Pascal e Fermat, porém de modos diferentes. Falaremos mais desse 
problema ao longo da unidade.
O estudo de probabilidades nos ajuda a compreender melhor o mundo em que vivemos, a analisar situações e a 
tomar decisões mais acertadas. Um exemplo simples, mas comum, é quando ficamos sabendo da previsão do tempo 
para o dia seguinte ou para as próximas horas. Pegamos ou não um guarda-chuva? Levamos uma blusa ou uma roupa 
mais leve na mochila? Dependendo das chances de chover ou de a temperatura variar pouco ou muito, podemos de-
cidir de modo mais seguro. Existem outras inúmeras situações, algumas simples e outras muito complexas, nas quais 
as probabilidades são de fundamental importância. Vamos iniciar nosso estudo com alguns conceitos importantes.
“Determine a divisão das apostas de um jogo de azar entre dois jogadores igualmente hábeis, supondo-se conhecido o 
placar no momento da interrupção do jogo e o número de pontos necessários para ganhar o jogo.”
 Pierre de Fermat Blaise Pascal
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 C
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L
Ao final deste estudo, esperamos que você tenha compreendido os conceitos de espaço amostral, 
evento e probabilidade de ocorrência de um evento. Também esperamos que utilize esses conceitos e 
as propriedades de probabilidade na resolução de problemas que envolvem essas noções.
5
6 Volume 8
Quandoum dado é lançado, não é possível prever exatamente qual será o núme-
ro observado na face voltada para cima. Repetindo o lançamento inúmeras vezes e nas 
mesmas condições, a imprevisibilidade permanece. O mesmo acontece em experimentos 
como o lançamento de uma moeda ou o sorteio dos números de uma loteria e em fe-
nômenos naturais, como a definição do sexo de um bebê, entre outros. Exemplos como 
esses são denominados experimentos aleatórios. Um experimento não aleatório deno-
mina-se determinístico.
Espaço amostral e evento 
Em um experimento aleatório, chamamos de espaço amostral, que indicaremos por S, o conjunto formado por 
todos os resultados possíveis. No lançamento de um dado, o espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Qualquer subcon-
junto do espaço amostral é denominado evento. Em relação ao espaço amostral anterior, A = {2, 4, 6} é um evento. 
• Todo experimento ou fenômeno que, quando repetido várias vezes sob as mesmas condições, pode apresentar 
resultados diferentes é denominado experimento aleatório.
• O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é denominado espaço amostral.
• Todo subconjunto do espaço amostral é chamado de evento.
Em cada um dos experimentos aleatórios, escreva o 
espaço amostral e os respectivos eventos.
 • Sortear um dos 12 meses do ano para tirar férias.
Espaço amostral
S = {janeiro, fevereiro, março, abril, maio, junho, julho, agosto, 
setembro, outubro, novembro, dezembro}.
Evento A = {o mês sorteado tem 31 dias}.
A = {janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro}.
 • Lançar duas moedas e observar as faces voltadas 
para cima.
Espaço amostral
S = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)}.
Evento B = {as duas faces voltadas para cima são 
iguais}.
B = {(cara, cara), (coroa, coroa)}.
Evento C = {pelo menos uma das faces voltadas para 
cima é “cara”}.
C = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara)}.
 • Sortear uma bola de uma urna com 50 bolas nu-
meradas de 1 a 50.
Espaço amostral
S = {1, 2, 3, ..., 49, 50}.
Evento D = {o número da bola sorteada é par}.
D = {2, 4, 6, ..., 48, 50}.
Evento E = {o número da bola sorteada é primo}.
E = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}.
Evento F = {o número da bola sorteada é divisor de 50}.
F = {1, 2, 5, 10, 25, 50}.
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Sh
u
tt
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st
oc
k/
FM
St
ox
Matemática 7
 • Lançar dois dados e observar as faces voltadas 
para cima.
Espaço amostral
S =
( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )
( , ), ( , ), ( , ), ( ,
1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6
2 1 2 2 2 3 2 44 2 5 2 6
3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6
4 1 4
), ( , ), ( , )
( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )
( , ), ( ,, ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )
( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ),
2 4 3 4 4 4 5 4 6
5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 (( , )
( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )
5 6
6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎫
⎬
⎪
⎪
⎪⎪
⎭⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
Evento G = {os números das faces voltadas para cima 
são iguais}.
G = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}.
Evento H = {a soma dos números das faces voltadas 
para cima é 7}.
H = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}.
Evento I = {a soma dos números das faces voltadas 
para cima é ímpar}.
I = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (4, 1), 
(4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 3), (6, 5)}. 
Evento J = {o produto dos números das faces voltadas 
para cima é ímpar}.
J = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)}.
1. Escreva o espaço amostral de cada um dos experi-
mentos.
a) Lançar simultaneamente um dado e uma moeda e 
observar as faces voltadas para cima.
b) Lançar três moedas e observar as faces voltadas 
para cima.
c) Escolher um anagrama da palavra JOGO.
d) Escolher duas pessoas do grupo: Alice, Bernardo, 
Camila, Douglas, Ellen.
e) Sortear um aluno da sua turma.
2. Para cada espaço amostral da questão anterior, escre-
va um evento.
3. Determine o número de elementos do espaço amostral 
de cada experimento e de um evento associado. 
a) Lançar três dados e observar os números das faces 
voltadas para cima.
 Evento A = {a soma dos números é 15}. 
Número de elementos do espaço amostral:
6 6 6 63⋅ ⋅ = = 216
A = {(6, 6, 3), (6, 3, 6), (3, 6, 6), (6, 5, 4), (6, 4, 5), (5, 6, 4), 
(5, 4, 6), (4, 5, 6), (4, 6, 5), (5, 5, 5)}.
O número de elementos do evento A é 10.
2 Gabaritos.
b) Sortear uma comissão de 5 pessoas de um grupo 
de 8 homens e 7 mulheres.
 Evento B = {a comissão é formada por 2 homens e 
3 mulheres}.
Número de elementos do espaço amostral:
C15
5 15 14 13 12 11
5 4 3 2 1
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= 3 003
Número de elementos do evento B:
C C8
2
7
3 8 7
2 1
7 6 5
3 2 1
28 35⋅ =
⋅
⋅
⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
= ⋅ = 980
c) Retirar simultaneamente 3 bolas de uma caixa com 
10 bolas numeradas de 1 a 10.
 Evento C = {os números das bolas são consecutivos}.
Número de elementos do espaço amostral:
C10
3 10 9 8
3 2 1
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
= 120
C = {(1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5), (4, 5, 6), (5, 6, 7), (6, 7, 8), 
(7, 8, 9), (8, 9, 10)}
O número de elementos do evento C é 8.
Atividades
8 Volume 8
Probabilidade 
Quando lançamos um dado e observamos o número da face voltada para 
cima, existem 6 possibilidades para o resultado obtido.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
No caso de um “dado honesto”, ou seja, um dado no qual qualquer face tenha 
a mesma chance de ficar voltada para cima, podemos dizer que:
P( )5
1
6
=
Nessa notação, P(5) indica a probabilidade (chance) de a face com o número 5 ficar voltada para cima após o 
lançamento do dado, ou seja, a probabilidade de ocorrer o evento A = {5}. Escrevemos P(5) em vez de P({5}) por uma 
questão de simplicidade. Da mesma forma, para as demais faces, temos:
P P P P P( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 6
1
6
= = = = =
Assim, a probabilidade de ocorrer o evento B = {1, 3, 5} é:
P(B) = P(1) + P(3) + P(5) = 
1
6
1
6
1
6
+ + = 3
6
Observe que a probabilidade de ocorrer o evento B é a razão entre o número de elementos de B e o número de 
elementos do espaço amostral.
Considere um espaço amostral finito e equiprovável, ou seja, que tem um determinado número de elementos e todos 
eles têm a mesma chance de ocorrência. A probabilidade de ocorrer o evento A, indicada por P(A), é a razão entre o 
número de elementos de A, n(A), e o número de elementos do espaço amostral S, n(S).
P(A) =
n(A)
n(S)
Ainda podemos escrever:
P(A) =
número de casos favoráveis
número de casos possíveis
Cuidado!
Esse raciocínio só é válido quando o espaço amostral for equiprovável. Va-
mos escrever o espaço amostral do experimento que consiste em lançar dois 
dados e anotar a soma dos números das faces voltadas para cima.
Como a menor soma possível é 2 (1 + 1), a maior é 12 (6 + 6) e qualquer 
outra soma entre essas é possível, temos que:
S = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Desse modo, P(2) é a probabilidade de a soma dos números ser 2, enquanto P(7) é a probabilidade de a soma ser 7. 
Apesar de o espaço amostral ter 11 elementos, não é verdade que P( )2
1
11
= nem que P( )7 1
11
= . De fato, a soma é 2 
em apenas um caso, quando em ambos os dados a face voltada para cima mostrar o número 1. Por outro lado, existem 
6 casos em que a soma é 7. 
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Matemática 9
Esse é um espaço amostral não equiprovável, pois nem todos os elementos têm a mesma probabilidade de 
ocorrer. 3 Sugestão de encaminhamento.
Considerando um evento A de um espaço amostral S, temos que o número de elementos do evento A é, no mínimo, 
zero e, no máximo, n(S). 
0 ≤ n(A) ≤ n(S)
Podemos dividir todos os termos da desigualdade por n(S).
0
n S
n A
n S
n S
n S( )
( )
( )
( )
( )
≤ ≤
0 P(A) 1≤ ≤
Portanto, a probabilidade de ocorrer o evento A varia de 0 a 1 ou, de modo equivalente, de 0% a 100%.
Quando a probabilidade é 0 (0%), dizemos que o eventoé impossível.
Quando a probabilidade é 1 (100%), dizemos que o evento é certo.
 • O gráfico a seguir mostra o salário mensal dos 50 funcionários de uma empresa: 
N
úm
er
o 
de
 f
un
ci
on
ár
io
s
Salário (R$)
0
5
10
1.800,00 2.500,00 3.000,00 4.000,00
15
20
25
10
23
12
5
Um dos funcionários será sorteado e receberá um prêmio. 
a) Qual a probabilidade de que o salário do funcionário 
premiado seja R$ 1.800,00 por mês?
O número de elementos do espaço amostral é n(S) = 50. Como 
10 funcionários recebem mensalmente R$ 1.800,00, o número 
de elementos do evento A = {sortear um funcionário que recebe 
R$ 1.800,00 por mês} é n(A) = 10. 
P A
n A
n S
( )
( )
( )
= = =
10
50
1
5
 
Outras maneiras de escrever a probabilidade de ocorrer o evento 
A são 0,2 e 20%. 
b) Qual a probabilidade de que o salário mensal do funcionário premiado seja de pelo menos R$ 3.000,00?
O número de elementos do evento B = {sortear um funcionário que recebe pelo menos R$ 3.000,00 por mês} é n(B) = 12 + 5 = 17.
P B
n B
n S
( )
( )
( )
= =
17
50
Portanto, a probabilidade é de 
17
50
= 0,34 = 34%. 
c) Qual a probabilidade de que o salário do funcionário premiado seja menor que a média salarial da empresa? 
Média salarial da empresa:
x =
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
= =
1800 10 2 500 23 3 000 12 4 000 5
50
131500
50
2 630 
O número de elementos do evento C = {sortear um funcionário que recebe um salário abaixo da média} é n(C) = 10 + 23 = 33.
P C
n C
n S
( )
( )
( )
= =
33
50
Portanto, a probabilidade é de 
33
50
= 0,66 = 66%.
10 Volume 8
 • Do conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, serão selecionados aleatoriamente 2 números. 
a) Qual a probabilidade de serem 
selecionados dois números 
pares? 
Número de elementos do espaço 
amostral:
n S C( ) = =
⋅
⋅
=11
2 11 10
2 1
55
Número de elementos do evento B = 
{selecionar dois números pares}:
n B C( ) = =
⋅
⋅
=6
2 6 5
2 1
15
P B( ) ,= = =
15
55
0 272727
3
11
 
Portanto, a probabilidade é de aproxi-
madamente 27,3%. 
b) Qual a probabilidade de serem 
selecionados dois números 
cuja soma é par?
Para que isso aconteça, ou os dois nú-
meros devem ser pares ou devem ser 
ímpares.
Número de elementos do evento C = {se-
lecionar dois números cuja soma é par}:
n C C C( ) = + =
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
= + =
6
2
5
2 6 5
2 1
5 4
2 1
15 10 25
P C( ) ,= = =
25
55
0 454545
5
11
 
Portanto, a probabilidade é de aproxi-
madamente 45,5%.
c) Qual a probabilidade de serem 
selecionados dois números 
consecutivos? 
Número de elementos do evento 
D = {selecionar dois números conse-
cutivos}:
D = {(0,1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), 
(5, 6), (6, 7), (7, 8), (8, 9), (9, 10)}
n(D) = 10
P D( ) ,= = =
10
55
0 181818
2
11
Portanto, a probabilidade é de aproxi-
madamente 18,2%.
Eventos complementares 
Na abertura da unidade, apresentamos a situação de um casal que planeja ter três 
filhos. Vamos retomá-la agora.
 • Inicialmente complete o diagrama ao lado, que representa todas as possibili-
dades quanto ao sexo dos bebês.
 • Em seguida, responda à questão: Qual a probabilidade de nascerem três 
bebês do sexo feminino? 
O número de elementos do espaço amostral é n(S) = 8. O número de elementos do evento 
A = {nascer três bebês do sexo feminino} é n(A) = 1.
P A
n A
n S
( )
( )
( )
= =
1
8
 
 • Qual a probabilidade de nascer pelo menos um bebê do sexo masculino? 
“Pelo menos um” significa um ou mais. Portanto, o número de elementos do evento B = {nascer pelo menos um bebê do sexo masculino} 
é n(B) = 7.
P B
n B
n S
( )
( )
( )
= =
7
8
 • Qual a soma das probabilidades de ocorrência dos dois eventos citados nos itens anteriores? 
P A P B( ) ( )+ = + = =
1
8
7
8
8
8
1 
A soma das probabilidades é igual a 1 ou 100%.
Nesse exemplo, os dois eventos são complementares. 
Evento A = {nascerem três bebês do sexo feminino}.
Evento B = {nascer pelo menos um bebê do sexo masculino}. 
O evento A pode ser descrito como: {não nascer bebê do sexo masculino}.
Primeiro
filho
M
Segundo
filho
Terceiro
filho
M
F
M
F
F
M
M
F
F
M
F
F
M
Matemática 11
Observe que o evento B é a negação do evento A. Só existem duas possibilidades: ou nascem três meninas ou 
nasce pelo menos um menino. Assim, a soma das probabilidades de ocorrência dos eventos A e B é 1 (100%).
P A P B P B P A( ) ( ) ( ) ( )+ = ⇒ = −1 1
A probabilidade de não ocorrer um evento A, indicada por P(A), é igual a 1 menos a probabilidade de ocorrer o evento A. 
P(A) = 1 P(A)−
Os eventos A e A são denominados complementares.
Usando um diagrama, podemos representar os eventos A e A .
S
A
A
Observe que:
A A
A A S
∩ =∅
∪ =
4 Gabaritos.
1. Relacione a segunda coluna com a primeira.
a) Chance de um evento impossível.
b) Pouca chance de ocorrer.
c) Mesma chance de ocorrer e de 
não ocorrer.
d) Muita chance de ocorrer.
e) Evento certo.
( e ) 1
( c ) 0,5
( a ) 0
( b ) 0,07
( d ) 0,91
2. Um calendário com a forma de 
dodecaedro regular apresenta 
um mês em cada face. Lan-
çando-o aleatoriamente, qual 
a probabilidade de ficar voltada 
para cima uma face com um 
mês de 31 dias? 
O número de elementos do espaço amostral é n(S) = 12.
Os meses com 31 dias são: janeiro, março, maio, julho, agos-
to, outubro e dezembro.
O número de elementos do evento A = {mês do ano com 31 
dias} é n(A) = 7.
P A( ) =
7
12
 
Essa probabilidade é de aproximadamente 58,3%.
3. Em uma caixa, são colocadas 10 bolas verdes, 7 bolas 
azuis e 3 bolas vermelhas. Em seguida, uma bola é re-
tirada ao acaso da caixa. 
a) Qual é a probabilidade de que a bola retirada seja 
azul?
O número de elementos do espaço amostral é n(S) = 10 + 7 + 
+ 3 = 20.
O número de elementos do evento A = {a bola retirada é azul} 
é n(A) = 7.
P A
n A
n S
( )
( )
( )
,= = = =
7
20
0 35 35%
b) Qual é a probabilidade de que a bola retirada não 
seja vermelha?
O número de elementos do evento B = {a bola retirada não é 
vermelha} é n(B) = 10 + 7 = 17.
P B
n B
n S
( )
( )
( )
,= = = =
17
20
0 85 85%
P.
Im
ag
en
s/
Pi
th
Atividades
12 Volume 8
c) Quantas bolas amarelas devem ser colocadas na 
caixa para que a probabilidade de se retirar uma 
bola amarela seja de 60%?
Número de bolas amarelas: x.
Número de elementos do espaço amostral: n(S) = 10 + 7 + 
+ 3 + x = 20 + x
Número de elementos do evento C = {a bola retirada é ama-
rela}: n(C) = x
P C
n C
n S
x
x
x
x
x x x
( )
( )
( )
%
=
=
+
⇒ =
+
⇒ = + ⇒ =60
20
3
5 20
5 60 3 30
 
Portanto, devem ser colocadas 30 bolas amarelas na caixa.
4. Em uma moeda viciada, a probabilidade de ocorrer co-
roa é o triplo da probabilidade de ocorrer cara.
a) Lançando essa moeda, qual a probabilidade de sair 
cara?
Do enunciado sabemos que P coroa P cara( ) ( )= ⋅3 . Além disso, 
P coroa P cara( ) ( )+ = 1.
P coroa P cara
P coroa P cara
( ) ( )
( ) ( )
= ⋅
+ =
⎧
⎨
⎩
3
1
 
Resolvendo o sistema, temos que P coroa( ) =
3
4
 e P cara( ) =
1
4
.
Portanto, a probabilidade de sair cara no lançamento da moe-
da é 
1
4
0 25= =, 25%. 
b) Lançando mais uma vez a moeda e tendo saído cara 
no primeiro lançamento, qual a probabilidade de sair 
coroa?
O resultado do segundo lançamento não é afetado pelo resul-
tado do primeiro. Portanto, a probabilidade de sair coroa é 
3
4
0 75= =, 75%. 
5. (UERJ) Três modelos de aparelhos de ar-condicionado, 
I, II e III, de diferentes potências, são produzidos por um 
determinado fabricante. Uma consulta sobre intenção 
de troca de modelo foi realizada com 1 000 usuários 
desses produtos.
 Observe a matriz A, na qual cada elemento a ij repre-
senta o número daqueles que pretendem trocar do mo-
delo i para o modelo j.
A =
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
50 150 200
0 100 300
0 0 200
 Escolhendo-se aleatoriamente um dos usuários con-
sultados, a probabilidade de que ele não pretenda tro-
car seu modelo de ar-condicionado é igual a:
a) 20% X b) 35% c) 40% d) 65%
6. (ENEM) Os estilos musicaispreferidos pelos jovens bra-
sileiros são o samba, o rock e a MPB. O quadro a seguir 
registra o resultado de uma pesquisa relativa à prefe-
rência musical de um grupo de 1 000 alunos de uma 
escola. Alguns alunos disseram não ter preferência por 
nenhum desses três estilos.
preferência 
musical
rock samba MPB
rock e 
samba
número de 
alunos
200 180 200 70
preferência 
musical
rock e 
MPB
samba e 
MPB
rock, samba 
e MPB
número de 
alunos
60 50 20
 Se for selecionado ao acaso um estudante no grupo 
pesquisado, qual é a probabilidade de ele preferir so-
mente MPB?
a) 2% b) 5% c) 6% X d) 11% e) 20%
7. Considere que três vértices de um hexágono regular 
sejam escolhidos aleatoriamente.
a) De quantas maneiras a escolha pode ser feita?
b) Qual a probabilidade de que esses vértices formem 
um triângulo equilátero?
5
Matemática 13
8. (UFPR) Um cadeado com segredo possui três engre-
nagens, cada uma contendo todos os dígitos de 0 a 9. 
Para abrir esse cadeado, os dígitos do segredo devem 
ser colocados numa sequência correta, escolhendo-se 
um dígito em cada engrenagem. (Exemplos: 237, 366, 
593...)
a) Quantas possibilidades diferentes existem para a 
escolha do segredo, sabendo que o dígito 3 deve 
aparecer obrigatoriamente e uma única vez?
b) Qual é a probabilidade de se escolher um segredo 
no qual todos os dígitos são distintos e o dígito 3 
aparece obrigatoriamente?
9. (UFG – GO) Um grupo de 150 pessoas é formado por 
28% de crianças, enquanto o restante é composto de 
adultos. Classificando esse grupo por sexo, sabe-se 
que 1/3 entre os de sexo masculino é formado por 
crianças e que 1/5 entre os de sexo feminino também 
é formado por crianças. Escolhendo ao acaso uma pes-
soa nesse grupo, calcule a probabilidade dessa pessoa 
ser uma criança do sexo feminino.
10. Para se determinar os coeficientes b e c da equação 
do 2. º grau x bx c2 0+ + = , um dado é lançado duas 
vezes. O número da face voltada para cima no primeiro 
lançamento é o coeficiente b e no segundo lançamento 
é o coeficiente c.
a) Qual a probabilidade de a equação ter duas raízes 
reais e iguais?
b) Qual a probabilidade de a equação ter duas raízes 
reais?
c) Qual a probabilidade de a equação não ter raízes 
reais?
Probabilidade da união de eventos 
Em uma turma com 50 alunos, foi feita uma pesquisa para saber quais ani-
mais de estimação eles têm em casa. Os resultados foram:
 • 28 alunos têm cachorro;
 • 12 alunos têm gato;
 • 15 alunos ou não têm ou têm outro animal de estimação.
Escolhendo ao acaso um aluno dessa turma, qual a probabilidade de que ele tenha um cachorro ou um gato? 
Inicialmente, observe o seguinte diagrama, que relaciona as quantidades de alunos de acordo com o animal de 
estimação.
S
C G
28 – X 12 – X 15X
C é o conjunto dos alunos que têm cachorro.
G é o conjunto dos alunos que têm gato.
S é o espaço amostral (o conjunto dos alunos da turma).
A quantidade de alunos que têm cachorro e gato está indicada por x.
Como o número de alunos da turma é n(S) = 50, temos:
28 – x + x + 12 – x + 15 = 50 ⇒ x = 5
©
iS
to
ck
p
h
ot
o.
co
m
/C
ar
os
ch
Sugestão de atividades: questões 1, 2 e 3 da seção Hora de estudo.
14 Volume 8
Portanto, 5 alunos têm os dois animais de estimação, 28 – 5 = 23 alunos têm apenas cachorro e 12 – 5 = 7 alunos 
têm apenas gato.
A probabilidade de que o aluno selecionado tenha um cachorro ou gato, ou seja, tenha pelo menos um desses 
animais é a soma da probabilidade de ele ter apenas cachorro com a probabilidade de ter apenas gato e ainda com a 
probabilidade de ter ambos os animais.
P cachorro gato( ) ,ou 70%= + + = = =23
50
7
50
5
50
35
50
0 70
Também podemos obter essa probabilidade de outra maneira.
Vamos calcular inicialmente a probabilidade de que o aluno selecionado pertença ao conjunto C e a probabilidade 
de que pertença ao conjunto G.
Como n(C) = 28 e n(G) = 12, temos:
P C
n C
n S
( )
( )
( )
= = 28
50 
P G
n G
n S
( )
( )
( )
= = 12
50
Para obter a probabilidade de que ele pertença ao conjunto C ou ao conjunto G, ou seja, pertença ao conjunto 
C G∪ , poderíamos pensar inicialmente em somar P(C) e P(G). No entanto, como existem alunos comuns aos dois con-
juntos, estes seriam contados duas vezes. Desse modo, precisamos subtrair uma vez a probabilidade de o aluno per-
tencer a ambos os conjuntos, ou seja, ao conjunto C G∩ . Assim:
P C G P C P G P C G( ) ( ) ( ) ( )∪ = + − ∩
A probabilidade de que o aluno pertença ao conjunto “C união G” é igual à probabilidade de ele pertencer ao 
conjunto C, mais a probabilidade de pertencer ao conjunto G, menos a probabilidade de pertencer ao conjunto “C 
intersecção G”.
P C G
P C G
( )
( ) ,
∪ = + −
∪ = = =
28
50
12
50
5
50
35
50
0 70 70%
Podemos justificar a validade da relação anterior. Já estudamos, em conjuntos, uma relação para o número de ele-
mentos da união de dois conjuntos, A e B.
n A B n A n B n A B( ) ( ) ( ) ( )∪ = + − ∩
Dividimos os dois membros da igualdade pelo número de elementos do espaço amostral S. 
n A B
n S
n A n B n A B
n S
n A B
n S
n A
n S
n B
n S
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
∪ = + − ∩
∪ = +
))
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
− ∩
∪ = + − ∩
n A B
n S
P A B P A P B P A B
A probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B, ou seja, de ocorrer o evento A B∪ , é igual à probabilidade de 
ocorrer o evento A, mais a probabilidade de ocorrer o evento B, menos a probabilidade de ocorrer o evento A B∩ .
P(A B) = P(A)+P(B) P(A B)∪ − ∩
Matemática 15
Quando A e B são disjuntos, ou seja, A B =∩ ∅, os eventos A e B são denominados mutuamente exclusivos.
Como A B∩ = ∅, temos que n A B( )∩ = 0 e consequentemente P A B( )∩ = 0.
Portanto:
P A B P A P B P A B
P A B P A P B
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
∪ = + − ∩
∪ = + −0
P(A B) = P(A)+P(B)∪
Exemplo
Os baralhos convencionais têm 52 cartas divididas em quatro naipes:
 • 13 cartas de paus
 • 13 cartas de ouros
 • 13 cartas de espadas
 • 13 cartas de copas
 paus ouros espadas copas
A sequência de cada naipe começa no ás, seguido das 
cartas numeradas de 2 a 10 e depois as três figuras, que são 
o valete, a dama e o rei. Veja, ao lado, todas as cartas de paus.
Retirando-se ao acaso uma carta de um baralho, qual é 
a probabilidade de ela ser de paus ou uma figura? E qual a 
probabilidade de ser uma dama ou um rei?
O espaço amostral tem 52 elementos. Existem 13 cartas 
de paus e 12 figuras (3 de cada naipe). Além disso, como 
existem 3 cartas de paus que são figuras, temos:
P paus figura P paus P figura P paus figura
P paus fi
( ) ( ) ( ) ( )
(
ou e
ou
= + −
ggura
P paus figura
)
( ) ,
= + −
= =
13
52
12
52
3
52
22
52
11
26
0 423ou
A probabilidade de ser uma carta de paus ou uma figura é de aproximadamente 42,3%.
Observe também que existem 4 damas e 4 reis, e nenhuma carta é simultaneamente uma dama e um rei.
P dama rei P dama P rei
P dama rei
P dama rei
( ) ( ) ( )
( )
(
ou
ou
ou
= +
= +4
52
4
52
)) ,= =8
52
2
13
0 154
A probabilidade de ser uma dama ou um rei é de aproximadamente 15,4%.
No segundo caso, os eventos {a carta é uma dama} e {a carta é um rei} são mutuamente exclusivos.
©
iS
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/P
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ar
ol
_
w
oo
d
co
ck
16 Volume 8
Até agora nos deparamos com situações nas quais as probabilidades são calculadas contando-se o número de 
casos possíveis e o número de casos favoráveis. Porém, nem sempre isso é possível. Acompanhe um exemplo.
Um alvo tem 40 cm de raio e é dividido em 5 regiões. A região amarela é um 
círculo de raio 4 cm. Uma pessoa com os olhos encobertos tenta acertar o alvo com 
dardos. Ela não viu onde o alvo foi fixado, apenas recebeu a informação de que ele 
está em sua frente. Se um desses dardos atingir o alvo, qual a probabilidade de que 
seja na região amarela?Não é possível contar os elementos do espaço amostral nem do evento que cor-
responde ao dardo atingir a região amarela, pois o espaço amostral é infinito. Mesmo 
assim, é possível calcular essa probabilidade. Vamos considerar que cada ponto do 
alvo tem a mesma chance de ser tocado. Assim, basta calcular a razão entre as áreas 
do círculo amarelo e do alvo.
Área do alvo: π π⋅ =40 1 6002 cm2
Área da região amarela: π π⋅ =4 162 cm2
Portanto, a probabilidade P de que o dardo tenha tocado um ponto da região amarela é igual a:
P = = = =16
1 600
1
100
0 01
π
π
, 1%
O segundo exemplo é um pouco mais difícil.
Trata-se de um problema presente em duas questões do Enem. 
José e Antônio viajarão em seus carros com as respectivas famílias para a 
cidade de Serra Branca. Com a intenção de seguir viagem juntos, combinam 
um encontro no marco inicial da rodovia, onde chegarão, de modo indepen-
dente, entre meio-dia e 1 hora da tarde. Entretanto, como não querem ficar 
muito tempo esperando um pelo outro, combinam que o primeiro que che-
gar ao marco inicial esperará pelo outro, no máximo, meia hora; após esse 
tempo, seguirá viagem sozinho.
Chamando de x o horário de chegada de José e de y o horário de chegada 
de Antônio, e representando os pares (x; y) em um sistema de eixos cartesia-
nos, a região OPQR ao lado indicada corresponde ao conjunto de todas as 
possibilidades para o par (x; y):
1. (ENEM) Na região indicada, o conjunto de pontos que representa o evento “José e Antônio chegam ao marco 
inicial exatamente no mesmo horário” corresponde
a) à diagonal OQ. c) ao lado PQ. e) ao lado OR.
b) à diagonal PR. d) ao lado QR.
Chegada de Antônio
Chegada de José
P Q
O R
1
(13h)
0
(12h)
1
(13h)
Matemática em detalh
es
Matemática 17
2. (ENEM) Segundo o combinado, para que José e Antônio viajem juntos, é 
necessário que y x− ≤1 2/ ou que x y− ≤1 2/ . De acordo com o gráfico e 
nas condições combinadas, as chances de José e Antônio viajarem juntos 
são de:
a) 0% d) 75%
b) 25% e) 100%
c) 50%
Para responder a essas questões, observe o gráfico.
O
y – x = 1_
2
x – y = 1_
2
y = xAntônio
José
P
Q
R
1
(13h)
0
(12h)
1
(13h)
 1_
2
 1_
2
Questão 1
Para que José e Antônio cheguem ao marco inicial no mesmo horário, o ponto da região OPQR deve ter coorde-
nadas iguais, ou seja, deve pertencer à reta de equação y = x. Assim, o conjunto de pontos que representa o evento 
corresponde à diagonal OQ. 
Alternativa correta: a.
Questão 2
Para que José e Antônio viajem juntos, é necessário que a diferença entre os horários de chegada de cada um seja 
de, no máximo, 30 minutos, ou seja, meia hora. No gráfico, os pontos que satisfazem essa condição são aqueles entre 
as retas de equações y x− = 1
2
 e x y− = 1
2
, além dos pontos da região OPQR que pertencem a essas retas. Assim, a 
probabilidade de que eles viajem juntos é obtida dividindo-se a área amarela pela área do quadrado OPQR.
P
amarela
de OPQR
= =
− ⋅ ⋅ ⋅
=
−
= = =
1 2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
4
1
3
4
0 75
2
2
, 75%
Área
Área
Alternativa correta: d. 
Para resolver esse problema, consideramos que José e Antônio podem chegar entre meio-dia e 1 hora da tarde de 
modo equiprovável.
Para finalizar, deixamos uma pergunta para você:
Qual seria a probabilidade de José e Antônio viajarem juntos caso tivessem combinado que o primeiro a chegar 
esperaria pelo outro no máximo 15 minutos?
5 Resolução e sugestão de atividade.
Antônio
José
1
I
II
III
IV
0 11/2
1/2
y 
= 
x 
+ 
1 / 2
y 
= 
x 
– 
1 / 2
y 
= 
x
18 Volume 8
1. Uma urna contém 100 bolas numeradas de 1 a 100. 
Uma bola dessa urna é sorteada aleatoriamente. 
a) Qual é a probabilidade de ser sorteada uma bola 
com um número par?
O número de elementos do espaço amostral é n(S) = 100.
O número de elementos do evento A = {o número da bola é 
par} é n(A) = 50.
P A
n A
n S
( )
( )
( )
,= = = = =
50
100
1
2
0 5 50% 
b) Qual é a probabilidade de que o número da bola 
sorteada seja múltiplo de 5?
O número de elementos do evento B = {o número da bola é 
múltiplo de 5} é n(B) = 20.
P B
n B
n S
( )
( )
( )
,= = = = =
20
100
1
5
0 2 20% 
c) Qual é a probabilidade de que o número da bola 
sorteada seja múltiplo de 2 ou múltiplo de 5?
Os números que são simultaneamente múltiplos de 2 e de 5 
são os múltiplos de 10. O número de elementos do evento C = 
{o número da bola é múltiplo de 10} é n(C) = 10. Observe que 
o evento C é a intersecção dos eventos A e B.
P A B P C
P A B P A P B P A B
P A B
( ) ( ) , %
( ) ( ) ( ) ( )
( ) %
∩ = = = =
∪ = + − ∩
∪ =
10
100
0 1 10
50 ++ − =20 10% % 60%
 
2. Considere agora outra urna, também com 100 bolas.
• 40 bolas pretas numeradas de 1 a 40;
• 35 bolas azuis numeradas de 1 a 35;
• 25 bolas brancas numeradas de 1 a 25.
 Retirando ao acaso uma bola da urna, qual a probabili-
dade de que a bola seja azul ou com um número ímpar? 
O número de elementos do espaço amostral é n(S) = 100.
O número de elementos do evento A = {a bola é azul} é 
n(A) = 35.
O número de elementos do evento B = {o número da bola é 
ímpar} é n(B) = 20 + 18 + 13 = 51.
O número de elementos do evento A B∩ é 18, que é a quan-
tidade de bolas azuis com um número ímpar.
P A B P A P B P A B
P A B
P A B
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
∪ = + − ∩
∪ = + −
∪ =
35
100
51
100
18
100
68
1000
= 68%
 
3. Dois eventos, A e B, são tais que P A( ) = 3
5
, P B( ) = 1
2
 
e P A B( )∩ = 1
5
. Calcule P A B( )∪ . 
P A B P A P B P A B
P A B
P A B
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
∪ = + − ∩
∪ = + −
∪ =
3
5
1
2
1
5
9
10
4. Em um jogo, cada uma das letras S, O, R, T e E é escrita 
em um cartão e colocada em um envelope. Uma pes-
soa recebe os envelopes e ordena-os sem abrir. Para 
cada letra que estiver na posição correta da palavra 
SORTE, ela ganha um prêmio em dinheiro. 
a) Qual a probabilidade de ganhar o prêmio máximo?
O número de possíveis sequências de letras (anagramas) é 
P5 5 120= =! . Para ganhar o prêmio máximo, todas as letras 
devem estar na posição correta. Como só existe uma possi-
bilidade para que isso ocorra, a probabilidade pedida é 
1
120
. 
Essa probabilidade é inferior a 1%.
6 Gabaritos.
Atividades
Matemática 19
b) Qual a probabilidade de que seja formado um ana-
grama que comece com S ou termine com E?
Quantidade de anagramas que começam com S:
S P_ _ _ _ !→ = =4 4 24 
Quantidade de anagramas que terminam com E:
_ _ _ _ !E P→ = =4 4 24
Quantidade de anagramas que começam com S e terminam 
com E:
S E P_ _ _ !→ = =3 3 6
Portanto, a probabilidade pedida é 
24
120
24
120
6
120
42
120
0 35+ − = = =, 35%.
5. A figura a seguir representa um alvo quadrado com 
quatro círculos iguais. Cada círculo tangencia dois la-
dos do quadrado e dois outros círculos. Os lados do 
quadrado medem 40 cm. Uma pessoa com os olhos 
fechados lança dardos contra esse alvo. Se um desses 
dardos atingiu o alvo, qual a probabilidade de ter toca-
do fora dos círculos? (Use a aproximação 3,14 para π)
6. Em um dado viciado, a probabilidade de cada face é 
diretamente proporcional ao número nela gravado.
a) Qual a probabilidade de lançar o dado e sair um nú-
mero ímpar?
b) Qual a probabilidade de lançar o dado e sair um nú-
mero par ou um número primo?
7. (UEL – PR) De um total de 500 estudantes da área de 
exatas, 200 estudam Cálculo Diferencial e 180 estu-
dam Álgebra Linear. Esses dados incluem 130 estu-
dantes que estudam ambas as disciplinas. Qual é a 
probabilidade de que um estudante escolhido aleato-
riamente esteja estudando Cálculo Diferencial ou Álge-
bra Linear?
a) 0,26 c) 0,62 e) 0,80
X b) 0,50 d) 0,76
8. (UFSCar – SP) A tabela indica as apostas feitas por cin-
co amigos em relação ao resultado decorrente do lan-
çamento de um dado, cuja planificação está indicada 
na figura.
Ana Face brancaou número par.
Bruna Face branca ou número 5.
Carlos Face preta ou número menor que 2.
Diego Face preta ou número maior que 2.
Érica Face branca ou número menor que 4.
 Se trocarmos o conectivo “ou” pelo conectivo “e” na 
aposta de cada um, o jogador que terá maior redução 
nas suas chances de acertar o resultado, em decorrên-
cia dessa troca, será
a) Ana.
b) Bruna.
c) Carlos.
X d) Diego.
e) Érica.
9. (UNESP – SP) Um jovem, à procura de emprego, foi se-
lecionado por duas indústrias que estavam localizadas 
de lados opostos em relação à sua residência. Como 
não havia vantagens financeiras nem trabalhistas entre 
as ofertas, decidiu optar pelo emprego cuja probabili-
dade de pegar o primeiro trem que passasse ao chegar 
à estação fosse maior, fosse esse para direita ou para 
esquerda. Na estação ferroviária, foi informado de que 
os trens para direita passavam nos horários 0 h 10, 0 h 40, 
1 h 10, 1 h 40, 2 h 10, ..., 23 h 40, enquanto que os 
trens para esquerda passavam nos horários 0 h 00, 0 h 30, 
1 h 00, 1 h 30, 2 h 00, ..., 23 h 30, diariamente, de 
domingo a domingo. Que emprego o jovem escolheu, 
o da indústria localizada à direita ou à esquerda de sua 
residência? Justifique matematicamente sua resposta.
20 Volume 8
10. (ENEM) Um município de 628 km2 é atendido por duas 
emissoras de rádio cujas antenas A e B alcançam um 
raio de 10 km do município, conforme mostra a figura:
A
B
10 km
10 km
10 km
10 kmMunicípio
 Para orçar um contrato publicitário, uma agência pre-
cisa avaliar a probabilidade que um morador tem de, 
circulando livremente pelo município, encontrar-se na 
área de alcance de pelo menos uma das emissoras. 
Essa probabilidade é de, aproximadamente,
a) 20%. X b) 25%. c) 30%. d) 35%. e) 40%.
11. (UFRGS) Sendo A um ponto fixo de um círculo de raio r 
e escolhendo-se ao acaso um ponto B sobre o círculo, 
a probabilidade da corda AB ter comprimento maior 
que r está entre
a) 25% e 30% c) 45% e 50% X e) 65% e 70%
b) 35% e 40% d) 55% e 60%
12. Na figura, o quadrado ABCD está inscrito na circunfe-
rência. Escolhendo um ponto P da circunferência, dis-
tinto dos vértices do quadrado, qual a probabilidade de 
que ABP seja um triângulo obtusângulo?
A B
D C
P1
P2
P3
Observe, na figura, os pontos P1, P2 e P3. O triângulo ABP1 
é obtusângulo, pois o ângulo interno do vértice P1 é igual 
a 135° (é um ângulo inscrito correspondente a um ângulo 
central de 270°, independentemente do ponto escolhido no 
arco menor AB).
O triângulo ABP2 é obtusângulo em B. Quando escolhemos 
um ponto do arco menor AD, temos um triângulo obtusângulo 
em A.
O triângulo ABP3 é acutângulo.
Portanto, das quatro partes em que a circunferência fica divi-
dida pelos vértices do quadrado, escolhendo um ponto qual-
quer de três delas, teremos um triângulo obtusângulo, ou 
seja, a probabilidade é igual a 
3
4
0 75= =, 75%.
t
Probabilidade condicional
A distribuição dos alunos que ingressaram em uma universidade no início deste ano, por sexo e área, é mostrada 
na tabela a seguir.
Sexo
Área
Masculino Feminino Total
Tecnológica 988 532 1 520
Biológica 486 594 1 080
Humanística 602 798 1 400
Total 2 076 1 924 4 000
Um desses alunos é selecionado ao acaso. 
 • Qual é a probabilidade de que esse aluno seja do sexo masculino?
O número de elementos do espaço amostral é n(S) = 4 000.
Considerando o evento M = {o aluno selecionado é do sexo masculino}, temos que n(M) = 2 076. Portanto:
P M( ) ,= = =2076
4000
0 519 51,9% 
Matemática 21
 • Agora, sabendo que o aluno selecionado é da área tecnológica, qual é a probabilidade de que ele seja do sexo 
masculino?
A situação agora é diferente, pois temos a informação de que o aluno selecionado é da área tecnológica. Com isso, 
o espaço amostral deixa de ter 4 000 elementos e passa a ter apenas 1 520, que é o número de alunos da área tecnoló-
gica, dos quais 988 são do sexo masculino. 
Considerando o evento T = {o aluno selecionado é da área tecnológica}, vamos usar a notação P M T( )| para repre-
sentar a probabilidade de ocorrer o evento M sabendo que o evento T ocorreu.
P M T( ) ,| = = =988
1520
0 65 65%
Nesse cálculo, o numerador é a quantidade de elementos do evento T M∩ = {o aluno selecionado é da área 
tecnológica e do sexo masculino} e o denominador é a quantidade de elementos do evento T. Observe que, com a 
informação, o espaço amostral inicial S foi reduzido, passando a ser T. Assim:
P(M|T) =
n(T M)
n(T)
∩ P(M|T) =
n(T M)
n(T)
∩
número de alunos da área 
tecnológica e do sexo masculino
número de alunos da área 
tecnológicaprobabilidade de ser do sexo masculino 
sabendo que é da área tecnológica
A relação anterior pode ser generalizada.
Considere dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral S. A probabilidade de ocorrer o evento B condicionado ao 
fato de o evento A ter ocorrido é indicada por P(B|A) e dada por:
P(B|A) =
n(A B)
n(A)
∩
Para podermos escrever essa fórmula em função das probabilidades de ocorrência dos eventos A B∩ e A, dividi-
mos o numerador e o denominador pelo número de elementos do espaço amostral S.
P B A
n A B
n S
n A
n S
P A B
P A
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
| =
∩
= ∩
Com a relação anterior, obtemos uma regra para multiplicar probabilidades.
P B A
P A B
P A
( )
( )
( )
| = ∩
 
P(A B) = P(A) P(B|A)∩ ⋅
A probabilidade de ocorrer o evento A B∩ é igual à probabilidade de ocorrer o evento A multiplicada pela probabili-
dade de ocorrer o evento B na certeza de o evento A ter ocorrido.
Ainda em relação à tabela apresentada inicialmente, considere os seguintes eventos:
B = {o aluno selecionado é da área biológica};
H = {o aluno selecionado é da área humanística};
F = {o aluno selecionado é do sexo feminino}.
22 Volume 8
 • Calcule as seguintes probabilidades:
a) P M H( )|
P M H
n H M
n
P M H
P M H
( )
( )
(H)
( )
( ) ,
|
|
|
=
∩
=
= =
602
1400
0 43 43%
b) P H M( )|
P H M
n M H
n M
P H M
P H M
( )
( )
( )
( )
( ) ,
|
|
|
=
∩
=
=
602
2 076
0 29 29%
c) P F B( )|
P F B
n B F
n B
P F B
P F B
( )
( )
( )
( )
( ) ,
|
|
|
=
∩
=
= =
594
1080
0 55 55%
d) P B F( )|
P B F
n F B
n F
P F B
P F B
( )
( )
( )
( )
( ) ,
|
|
|
=
∩
=
=
594
1924
0 31 31%
 • P B A P A B( ) ( )| |= ? Justifique sua resposta.
Não, P B A( )| e P A B( )| , em geral, são diferentes. Observe que, embora os numeradores sejam iguais, n A B( )∩ , os denominadores são
diferentes, ou seja, as informações que temos nas duas situações são diferentes. 
7 Resolução do problema do resultado de exames e dos táxis.
Agora, resolva o problema a seguir.
 • Uma caixa contém 5 bolas brancas, 3 bolas pretas e 2 bolas azuis. Serão retiradas, de modo aleatório, duas bolas 
da caixa, sucessivamente e sem reposição. 
a) Qual a probabilidade de a primeira bola ser preta e 
a segunda, azul?
Sejam os eventos:
P1 = {a primeira bola é preta}
A2 = {a segunda bola é azul}
P A P P P A P
P A
(P ) ( ) ( | )
(P )
1 2 1 2 1
1 2
3
10
2
9
∩ = ⋅
∩ = ⋅ =
1
15
 
A probabilidade de a primeira bola ser preta é de 
3
10
, pois, 
das 10 bolas da urna, 3 são pretas. No momento da segunda 
retirada, a urna contém 9 bolas, das quais 2 são azuis. Assim, 
a probabilidade de a segunda bola ser azul condicionada ao 
fato de a primeira ter sido preta é de 
2
9
.
b) Qual a probabilidade de que as duas bolas tenham 
a mesma cor?
A probabilidade P de que as duas bolas tenham a mesma cor 
é a soma da probabilidade de as duas bolas serem brancas, 
da probabilidade de ambas serem pretas e da probabilidade 
de que as duas sejam azuis.
P P B B P P P P A A
P P B P B B P P P P P
= ∩ + ∩ + ∩
= ⋅ + ⋅
( ) ( ) ( )
( ) ( | ) ( ) ( |
1 2 1 2 1 2
1 2 1 1 2 1)) ( ) ( | )+ ⋅
= ⋅ + ⋅ + ⋅
= + + =
P A P A A
P
P
1 2 1
5
10
4
9
3
10
2
9
2
10
1
9
20
90
6
90
2
90
28
90
==
14
45
Vamos falar agora da independência entre eventos. Cotidianamente, écomum avaliarmos se alguma coisa tem 
relação com outra.
 • Ter uma vida sedentária aumenta a chance de desenvolver certa doença?
 • Estar chovendo no momento da partida reduz a chance do seu time vencer?
 • Uma pessoa que não se alimenta de forma equilibrada tem maior probabilidade de ter insônia?
Há situações nas quais uma relação existe, mas em outras não. Sempre que a ocorrência de certo evento não mo-
difica a probabilidade de ocorrência de outro, dizemos que esses eventos são independentes.
Imagine que a probabilidade de seu time vencer determinada partida seja estimada em 80%. Caso o fato de estar 
chovendo na hora do jogo modifique a probabilidade de vitória, os eventos “vencer a partida” e “chover” são depen-
dentes. Porém, se as chances de vitória forem as mesmas, independentemente de estar ou não chovendo, os eventos 
são independentes.
Matemática 23
Simbolicamente, temos:
P B A P B( ) ( )| =
A probabilidade de ocorrer B não se altera pelo fato de A ter ocorrido. Assim, observe como fica a relação 
P A B P A P B A( ) ( ) ( )∩ = ⋅ | para dois eventos independentes A e B.
P A B P A P B A
P B
( ) ( ) ( )
( )
∩ = ⋅ |���
P(A B) = P(A) P(B)∩ ⋅
Dois eventos são independentes quando a ocorrência de um deles não altera a probabilidade de ocorrência do outro. 
Como consequência, se A e B são eventos independentes, então a probabilidade de ocorrer o evento A B∩ é o pro-
duto da probabilidade de ocorrer A e da probabilidade de ocorrer B.
P(A B) = P(A) P(B)∩ ⋅
Quando P A B P A P B( ) ( ) ( )∩ ≠ ⋅ , os eventos são dependentes.
Vamos considerar o lançamento de dois dados, um verde e outro azul, e a soma dos 
números das faces voltadas para cima desses dados.
Considere também os eventos:
A = {a soma obtida é 7} 
B = {o número no dado verde é par}
C = {os números dos dois dados são iguais}
a) Os eventos A e B são independentes? 
Vamos calcular P(A), P(B) e P A B( )∩ .
P A P B P A B( ) ; ( ) ; ( )= = = = ∩ = =
6
36
1
6
18
36
1
2
3
36
1
12
Para calcular P A B( )∩ , os resultados favoráveis são: (2, 5), (4, 3), 
(6, 1).
Como P A P B P A B( ) ( ) ( )⋅ = ⋅ = = ∩
1
6
1
2
1
12
, os eventos A e B 
são independentes, ou seja, o fato de um deles ocorrer não 
modifica a probabilidade de ocorrência do outro. 
Outra maneira de verificar a independência dos eventos é 
mostrar que P B A P B( ) ( )| = ou, ainda, que P A B P A( ) ( )| = .
P B A
P A B
P A
P B( )
( )
( )
( )| =
∩
= = =
1
12
1
6
1
2
b) Os eventos A e C são independentes? 
Calculamos P(A), P(C) e P A C( )∩ .
P A P C P A C( ) ; ( ) ; ( )= = = = ∩ = =
6
36
1
6
6
36
1
6
0
36
0
Observe que não existe a possibilidade de 7 ser resultado da 
soma de dois números iguais.
Como P A P C P A C( ) ( ) ( )⋅ = ⋅ = ≠ ∩
1
6
1
6
1
36
, os eventos A e C 
são dependentes.
Note que P C A
P A C
P A
( )
( )
( )
| =
∩
= =
0
1
6
0, ou seja, a probabilidade 
de ocorrer o evento C, dado que o evento A ocorreu, é de 0. 
Nesse caso, os eventos A e C são mutuamente exclusivos.
Importante!
Não confunda eventos mutuamente exclusivos com eventos independentes.
Dois eventos são mutuamente exclusivos quando não podem ocorrer simultaneamente. Nesse caso, é evidente que a 
ocorrência de um deles altera a probabilidade de ocorrência do outro, a menos que a probabilidade de ocorrer o segun-
do já seja igual a zero. Assim, eventos mutuamente exclusivos, em geral, são dependentes.
2
3
4
4
5
5
5
6
6
6
6
7
7
7
7
7
8 9 10
10
11 12
11
10
9
8
9
9
8
8
8
3 4 5 6 7
24 Volume 8
No início da unidade, falamos do “problema dos pontos”. Considere que dois jogadores disputam uma série de 
partidas até que um deles consiga 6 vitórias. No momento em que o jogador A tinha 5 vitórias e o jogador B tinha 3 
vitórias, o jogo precisou ser interrompido. Para que as partes sejam diretamente proporcionais às probabilidades de 
vitória de cada jogador, como deve ser feita a divisão do valor apostado?
Suponha que em qualquer partida cada um tem 50% de chance de vencer. 
Observe o esquema:
Jogador A X X X X X
Jogador B X X X
Para o jogador A vencer, bastava 1 vitória no momento da interrupção, e o jogador B precisava de 3 vitórias. Veja 
como o jogo poderia terminar.
A é o vencedor:
 • A
 • BA
 • BBA
B é o vencedor:
 • BBB
Como o jogador A precisava de apenas 1 vitória, há 
3 casos que o tornariam vencedor da série. Para o joga-
dor B vencer, obrigatoriamente deveria vencer 3 partidas 
consecutivas.
Vamos começar calculando a probabilidade de B ser 
o vencedor.
P B vencer P BBB( ) ( )= = ⋅ ⋅ =1
2
1
2
1
2
1
8
 
Assim, a probabilidade de A vencer é 1
1
8
− = 7
8
.
Esse resultado pode ser calculado de outra maneira:
P A vencer P A P BA P BBA( ) ( ) ( ) ( )= + + =
= + ⋅ + ⋅ ⋅ = + + =1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
1
8
7
88
Desse modo, o valor apostado deve ser dividido da 
seguinte maneira.
Jogador A: 
7
8
 do valor, que corresponde a 87,5%.
Jogador B: 
1
8
 do valor, que corresponde a 12,5%. 
Você conhece alguém que faça aniversário no mesmo dia 
que você?
Em sua opinião, é difícil que em uma família ou em uma sala 
de aula duas pessoas tenham nascido no mesmo dia do ano? 
Para descobrir a resposta a essa pergunta, vamos analisar o pro-
blema a seguir.
Em um grupo de 20 pessoas, formado aleatoriamente, qual 
a probabilidade de que pelo menos duas delas façam aniversá-
rio no mesmo dia? Considere que nenhuma pessoa nasceu no 
dia 29 de fevereiro de um ano bissexto.
©
iS
to
ck
p
h
ot
o.
co
m
/m
ed
ia
p
h
ot
os
Matemática em detalh
es
Matemática 25
Podemos começar respondendo a uma pergunta mais simples: qual é a probabilidade de que todas as pessoas 
desse grupo façam aniversário em dias diferentes?
Apenas para organizarmos melhor a solução, vamos imaginar que uma mesma pergunta seja feita para todas as 
pessoas: “Em que dia você nasceu?”.
A primeira pessoa questionada pode responder que nasceu em qualquer um dos 365 dias do ano, pois, como é a 
primeira, sua resposta não coincidirá com outra.
Para que a segunda pessoa não tenha nascido no mesmo dia em que a primeira, basta responder que nasceu em 
um dos 364 dias restantes.
Para que a terceira pessoa não tenha nascido no mesmo dia que uma das duas primeiras, basta responder que 
nasceu em um dos 363 dias restantes.
Seguindo com esse raciocínio, para que a vigésima pessoa não tenha nascido no mesmo dia que uma das dezenove 
primeiras, basta responder que nasceu em um dos 346 dias restantes.
A probabilidade de que todas as respostas sejam distintas é de:
365
365
364
365
363
365
346
365
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
primeira 
resposta
segunda 
resposta
terceira 
resposta
vigésima 
resposta
⎧ ⎨ ⎩ ⎧ ⎨ ⎩ ⎧ ⎨ ⎩ ⎧ ⎨ ⎩
Com uma calculadora, concluímos que o resultado anterior é aproximadamente igual a 0,59, ou seja, 59%. Essa é a 
probabilidade de que nenhuma das 20 pessoas faça aniversário no mesmo dia.
Portanto, a probabilidade de que, num grupo de 20 pessoas, existam pelo menos duas pessoas que façam aniver-
sário no mesmo dia é de aproximadamente 41%.
Esse resultado surpreendeu você? Pensava que o percentual fosse menor?
Se a resposta foi “sim”, você vai se surpreender ainda mais!
 • Em um grupo de 23 pessoas, a probabilidade de que pelo menos duas façam aniversário no mesmo dia é de 
aproximadamente 51% (é mais provável ocorrer do que não ocorrer).
 • Em um grupo de 30 pessoas, essa probabilidade é de aproximadamente 71%. 
 • Em um grupo de 40 pessoas, a probabilidade aumenta para aproximadamente 89%.
 • Com 50 pessoas, a probabilidade aproximada é de 97% (praticamente certeza).
O gráfico a seguir representa as probabilidades de haver pelo me-
nos uma coincidência de aniversário em um grupo de até 60 pessoas. 
Note que, para 23 pessoas, essa probabilidade já é maior que 50% e, 
depois disso, aumenta rapidamente. 
A sua turma tem quantos alunos? Aproveite para descobrir se 
existe uma ou mais datas em que pelo menos duas pessoas fazem 
aniversário.P
ro
ba
bi
lid
ad
e 
(%
)
Número de pessoas
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
10 20 3023 40 50 60
0
26 Volume 8
1. Em uma gaveta, estão misturados 7 lápis azuis, 5 lápis 
pretos e 4 lápis verdes. 
a) Qual é a menor quantidade de lápis que devemos 
retirar da gaveta, sem olhar, para termos certeza de 
que dois lápis são da mesma cor? 
b) Qual é a menor quantidade de lápis que devemos 
retirar da gaveta, sem olhar, para termos certeza de 
que dois lápis são de cores diferentes?
c) Se retirarmos 3 lápis da gaveta, sem olhar, qual a 
probabilidade de que todos sejam azuis?
2. As probabilidades de que três alunos A, B e C consi-
gam resolver o problema mais difícil de uma prova são 
de P A( ) = 1
4
, P B( ) = 1
3
 e P C( ) = 1
2
. 
a) Calcule a probabilidade de que os três alunos consi-
gam resolver o problema.
Considerando que a probabilidade de um aluno acertar o 
problema não se altera pelo fato de outro aluno acertar ou 
não, temos:
P A B C P A P B P C
P A B C
P A B C
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
∩ ∩ = ⋅ ⋅
∩ ∩ = ⋅ ⋅
∩ ∩ =
1
4
1
3
1
2
1
24
 
b) Calcule a probabilidade de que apenas um dos três 
alunos consiga resolver o problema.
As probabilidades de que os alunos não consigam resolver o 
problema são de:
P A( ) =
3
4
, P B( ) =
2
3
, P C( ) =
1
2
P P A P B P C P A P B P C P A P B P C
P
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
4
2
3
1
2
3
44
1
3
1
2
3
4
2
3
1
2
2
24
3
24
6
24
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= + + =P
11
24
c) Calcule a probabilidade de que pelo menos um dos 
três alunos consiga resolver o problema.
P P A B C
P
P
= − ∩ ∩
= − ⋅ ⋅
= − = =
1
1
3
4
2
3
1
2
1
6
24
18
24
( )
3
4
3. No jogo da Mega-Sena, o apostador marca de 6 a 15 
dezenas de um cartão com 60 dezenas. Uma aposta 
com 6 dezenas é denominada aposta simples. 
a) De quantas maneiras é possível escolher 6 dezenas 
para fazer uma aposta simples?
C
C
60
6
60
6
60 59 58 57 56 55
6 5 4 3 2 1
50 063 860
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
b) Calcule a probabilidade de uma aposta simples ser 
premiada.
P
P
=
=
1
50 063 860
0 00000002, 0,000002%
 
Outra maneira de calcular essa probabilidade é:
P = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
6
60
5
59
4
58
3
57
2
56
1
55
 
c) Calcule a probabilidade de que os 6 números sor-
teados sejam ímpares.
De 1 a 60 a quantidade de números ímpares é 30.
P
P
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
30
60
29
59
28
58
27
57
26
56
25
55
0 012, 1,2%
 
8 Gabaritos.
Atividades
Matemática 27
4. Um piloto de Fórmula 1 estima que sua chance de ven-
cer uma corrida é de 80% caso esteja chovendo e de 
50% caso não esteja chovendo. O serviço de meteoro-
logia prevê que a probabilidade de chover no momento 
da corrida é de 30%.
a) Calcule a probabilidade de que esse piloto seja o 
vencedor.
b) Suponha que, no dia seguinte à corrida, você ficou 
sabendo que o piloto venceu. Qual a probabilidade 
de ter chovido na hora da corrida?
5. Em um cubo, escolhem-se aleatoriamente duas arestas.
a) Calcule a probabilidade de que as arestas sejam re-
versas.
b) Calcule a probabilidade de que as arestas sejam pa-
ralelas.
6. Uma caixa contém 6 bolas verdes e 4 bolas azuis. Ou-
tra caixa contém 3 bolas verdes e 5 bolas azuis. Uma 
bola é transferida da primeira para a segunda caixa. 
Depois, uma bola é retirada da segunda caixa. Qual a 
probabilidade de que a bola retirada da segunda caixa 
seja verde?
7. (UNESP – SP) O sangue humano está classificado em 
quatro grupos distintos: A, B, AB e O. Além disso, o 
sangue de uma pessoa pode possuir, ou não, o fator 
Rhésus. Se o sangue de uma pessoa possui esse fa-
tor, diz-se que a pessoa pertence ao grupo sanguíneo 
Rhésus positivo (Rh+) e, se não possui esse fator, diz-se 
Rhésus negativo (Rh–).
 Numa pesquisa, 1  000 pessoas foram classificadas, 
segundo grupo sanguíneo e respectivo fator Rhésus, 
de acordo com a tabela
A B AB O
Rh+ 390 60 50 350
Rh– 70 20 10 50
 Dentre as 1 000 pessoas pesquisadas, escolhida uma 
ao acaso, determine
5
a) a probabilidade de seu grupo sanguíneo não ser A. 
Determine também a probabilidade de seu grupo 
sanguíneo ser B ou Rh+.
b) a probabilidade de seu grupo sanguíneo ser AB e 
Rh–. Determine também a probabilidade condicional 
de ser AB ou O, sabendo-se que a pessoa escolhida 
é Rh–.
8. (UFRJ) Um novo exame para detectar certa doença foi 
testado em trezentas pessoas, sendo duzentas sadias 
e cem portadoras da tal doença. Após o teste verificou-
-se que, dos laudos referentes a pessoas sadias, cento 
e setenta resultaram negativos e, dos laudos referentes 
a pessoas portadoras da doença, noventa resultaram 
positivos.
a) Sorteando ao acaso um desses trezentos laudos, 
calcule a probabilidade de que ele seja positivo.
b) Sorteado um dos trezentos laudos, verificou-se que 
ele era positivo. Determine a probabilidade de que 
a pessoa correspondente ao laudo sorteado tenha 
realmente a doença.
9. (UFPR) Em um jogo de cartas, os matemáticos Ricardo 
e Fernando apostaram R$ 100,00 cada um e combi-
naram que o primeiro deles que obtivesse 5 vitórias 
ficaria com o dinheiro da aposta. Depois de 5 roda-
das, o jogo precisou ser interrompido, momento em 
que Fernando estava com três vitórias e Ricardo com 
duas. Após muita discussão, os dois matemáticos con-
cordaram em dividir o dinheiro em partes diretamente 
proporcionais à probabilidade de cada um deles ganhar 
o jogo.
a) Qual seria a probabilidade desse jogo terminar em 
apenas mais duas rodadas?
b) Levando em conta todas as diferentes possibilida-
des de concluir o jogo, qual seria a probabilidade 
de cada um deles vencer o jogo? Quanto cada um 
deveria receber?
10. Considere a matriz A
a b
c d
=
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ de segunda ordem. 
Um dado é lançado 4 vezes e determinam-se os valo-
res de a, b, c e d. Qual é a probabilidade de o determi-
nante da matriz A ser um número ímpar?
9
Sugestão de atividades: questões 4 a 11, 13, 14 e 15 da seção Hora 
de estudo.
28 Volume 8
Distribuição binomial 
Um jogador de futebol tem um aproveitamento de 90% dos pênaltis cobrados na carreira. Considerando 4 cobran-
ças de pênalti feitas por esse jogador, qual é a probabilidade de que ele converta exatamente duas delas?
Vamos considerar que a probabilidade de o jogador marcar um gol em uma cobrança qualquer de pênalti é de 
90%, ou seja, 
90
100
= 9
10
, independentemente do que tenha acontecido em outras cobranças. Consequentemente, a 
probabilidade de não marcar um gol é 10% ou 
1
10
.
Usando a letra A para indicar um acerto e a letra E 
para indicar um erro, temos as seguintes possibilidades:
 • 4 acertos – AAAA
P A P AAAA
P A
P A
( ) ( )
( )
( )
4
4
9
10
9
10
9
10
9
10
4
9
10
4
=
= ⋅ ⋅ ⋅
= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 
 • 3 acertos e 1 erro – AAAE ou AAEA ou AEAA ou EAAA
P A e E P AAAE P AAEA P AEAA P EAAA
P A e E
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 1
3 1
9
10
9
10
9
= + + +
= ⋅ ⋅
110
1
10
9
10
9
10
1
10
9
10
9
10
1
10
9
10
9
10
1
10
9
10
9
10
9
10
3
⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
P( AA e E1 4
9
10
1
10
3
) = ⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅
 
 • 2 acertos e 2 erros – AAEE ou AEAE ou AEEA ou EAAE ou EAEA ou EEAA
P A e E P AAEE P AEAE P AEEA P EAAE P EAEA P EEAA
P
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(
2 2 = + + + + +
22 2
9
10
9
10
1
10
1
10
9
10
1
10
9
10
1
10
9
10
1
10
1
10
9
10
1
1
A e E) = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +
00
9
10
9
10
1
10
1
10
9
10
1
10
9
10
1
10
1
10
9
10
9
10
2 2 6
9
⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅P A e E( )
110
1
10
2 2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 • 1 acerto e 3 erros – AEEE ou EAEE ou EEAE ou EEEA
P A e E P AEEE P EAEE P EEAE P EEEA
P A e E
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 3
1 3
9
10
1
10
1
= + + +
= ⋅ ⋅
110
1
10
1
10
9
10
1
10
1
10
1
10
1
10
9
10
1
10
1
10
1
10
1
10
9
10
1
⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
P( AA e E3 4
9
10
1
10
3
) = ⋅ ⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 • 4 erros – EEEE
P E P EEEE
P E
P E
( ) ( )
( )
()
4
4
1
10
1
10
1
10
1
10
4
1
10
4
=
= ⋅ ⋅ ⋅
= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
©
Sh
u
tt
er
st
oc
k/
D
zi
u
re
k
Matemática 29
Portanto, a probabilidade de que o jogador converta exatamente duas das quatro cobranças de pênalti é de:
P A e E
P A e E
P A e
( )
( )
(
2 2 6
9
10
1
10
2 2 6
81
100
1
100
2
2 2
= ⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ⋅ ⋅
22
486
10000
0 0486E) ,= = = 4,86%
Observe que as probabilidades anteriores são os termos do desenvolvimento do binômio de Newton 
9
10
1
10
4
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
.
9
10
1
10
9
10
9
10
1
10
9
1
4 4
4
1
3 1
4
2+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ ⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ ⋅C C
00
1
10
9
10
1
10
1
10
2 2
4
3
1 3 4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ ⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+ ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
C
9
10
1
10
9
10
4
9
10
1
10
4 4 3
4 3 1
+⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= +⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅
P A P A e( ) (
��� ��
EE P A e E) ( )
� �� �� � ��� ���
+ +⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅ ⋅⎛6 9
10
1
10
4
9
10
1
10
2 2
2 2
⎝⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
+
3 4
1 3 4
1
10
P A e E P E( ) ( )
� �� �� ��� ��
Por isso, recebem o nome de distribuição binomial.
 • Complete a tabela a seguir e responda à questão: é mais provável que o jogador converta as 4 cobranças ou no 
máximo 2 cobranças? 
Possibilidade Probabilidade
4 acertos 65,61%
3 acertos e 1 erro 29,16%
2 acertos e 2 erros 4,86%
1 acerto e 3 erros 0,36%
4 erros 0,01%
É mais provável que o jogador converta as quatro cobranças, pois a probabilidade é de aproximadamente 66%, enquanto a probabilidade 
de converter no máximo duas é de aproximadamente 5% (4,86% + 0,36% + 0,01%).
Considere um experimento aleatório realizado n vezes, nas mesmas condições, e que tenha as características a 
seguir.
• Existem apenas dois resultados possíveis: A e B.
• Em cada uma das vezes que o experimento for realizado, as probabilidades de ocorrência dos resultados A e B não 
se alteram.
• Um resultado não altera a probabilidade de ocorrência de outro, ou seja, são independentes. Assim:
– se p é a probabilidade de ocorrer o resultado A, então a probabilidade de ocorrer o resultado B é 1 – p;
– se o resultado A ocorre k vezes, então o resultado B ocorre n – k vezes; 
– a probabilidade de o resultado A ocorrer k vezes é dada por:
P(k resultados A) = C p (1 p)n
k k n k⋅ ⋅ − −
30 Volume 8
 • Em um concurso público, a prova de Matemática é composta por 6 questões de múltipla escolha, com 4 alter-
nativas cada, das quais uma única é correta. Um candidato não estudou os conteúdos do programa e, por isso, 
não sabia resolver questão alguma. Tendo “chutado” todas as questões, calcule a probabilidade de: 
a) ter acertado exatamente 3 questões; 
P acerto( ) =
1
4
; P erro( ) =
3
4
Probabilidade de 3 acertos em 6 questões:
 
P acertos C
P acertos
( )
( )
3
1
4
3
4
3 20
1
64
27
64
6
3
3 3
= ⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ⋅ ⋅ == =
135
1024
0 132, 13,2%
b) ter errado todas as questões;
P erros
P erros
( )
( ) ,
6
3
4
6
729
4 096
0 178
6
= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= = 17,8%
c) ter acertado pelo menos 1 questão.
A probabilidade de ter acertado pelo menos uma questão é igual a 1 menos a probabilidade de ter errado todas as questões.
P pelo menos acerto
P pelo menos acerto
( )
( )
1 1
729
4 096
1
3367
4096
= −
= 00 822, = 82,2%
 
9 Sugestão de encaminhamento.
10 Gabaritos.
1. Lançando uma moeda 6 vezes, qual a probabilidade de 
sair 3 caras e 3 coroas?
P cara( ) =
1
2
 e P coroa( ) =
1
2
P caras C
P caras
( )
( )
3
1
2
1
2
3 20
1
8
1
8
20
64
6
3
3 3
= ⋅⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= ⋅ ⋅ = =
5
116
31,25%= =0 3125,
 
2. Lançando um dado 5 vezes, calcule a probabilidade de 
sair uma face com um número múltiplo de 3 exata-
mente 2 vezes.
P(múltiplo de 3) = =
2
6
1
3
 e P(não múltiplo de 3) =
2
3
= ⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ⋅ ⋅ = =
C5
2
2 3
1
3
2
3
10
1
9
8
27
0 329
80
243
32,9%,
P(2 vezes múltiplo de 3) 
P(2 vezes múltiplo de 3) 
3. Um casal pretende ter 4 filhos. Qual a probabilidade de 
nascerem dois meninos e duas meninas?
4. Em um dado viciado, a probabilidade de sair a face 
com o número 1 é o dobro da probabilidade de sair a 
face com o número 6. As outras faces têm probabilida-
des de ocorrência de um dado equilibrado. Lançando 
esse dado 4 vezes, calcule a probabilidade de que, em 
2 vezes, o número da face seja ímpar.
5. A probabilidade de um jogador de basquete acertar 
um lance livre qualquer é de 90%. Em uma série de 
10 arremessos, qual a probabilidade de que o jogador 
converta:
a) exatamente 8;
b) todos;
c) pelo menos 8.
Atividades
Matemática 31
6. (ENEM) O controle de qualidade de uma empresa fabri-
cante de telefones celulares aponta que a probabilidade 
de um aparelho de determinado modelo apresentar 
defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba 
de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, 
qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com 
exatamente dois aparelhos defeituosos?
a) 2 0 2 4× ( , %) . d) 4 0 2× ( , %). 
b) 4 0 2 4× ( , %) . e) 6 0 2 99 8× ×( , %) ( , %).
X c) 6 0 2 99 82 2× ×( , %) ( , %) . 
7. (UPE) Carlos precisa fazer um teste psicotécnico para 
ocupar uma vaga em uma indústria de alimentos. O 
teste consta de 10 questões do tipo verdadeiro e falso. 
Carlos não se preparou para este teste e não sabe res-
ponder nenhuma pergunta, resolvendo chutar todas as 
questões. A probabilidade de Carlos acertar 5 questões 
é, aproximadamente, de
X a) 24% d) 50%
b) 10% e) 60%
c) 6%
Nesta unidade, estudamos probabilidades. Complete o quadro com as ideias mais importantes sobre o conteúdo.
Experimento aleatório
É um experimento ou fenômeno que, quando repetido várias vezes sob as mesmas con-
dições, pode apresentar resultados diferentes entre um conjunto de resultados possíveis.
Espaço amostral É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.
Evento É qualquer subconjunto do espaço amostral.
Espaço amostral equiprovável É um espaço amostral em que todos os elementos têm a mesma chance de ocorrência.
Probabilidade
A probabilidade de ocorrer o evento A é a razão entre o número de elementos de A e o 
número de elementos do espaço amostral S (o espaço amostral deve ser equiprovável).
P A
n A
n S
( )
( )
( )
=
Também podemos escrever: P A( ) =
número de casos favoráveis
número de casos possíveis
Eventos complementares
A probabilidade de um evento A não ocorrer é igual a 1 menos a probabilidade de ocorrer 
o evento A.
P A P A( ) ( )= −1
Os eventos A e A são denominados complementares.
Probabilidade da união de eventos P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( )∪ = + − ∩
Eventos mutuamente exclusivos São eventos tais que A B∩ = ∅ . Dois eventos mutuamente exclusivos não podem ocor-
rer simultaneamente.
Probabilidade condicional
A probabilidade de ocorrer o evento B na certeza de que o evento A ocorreu é dada por:
P B A
n A B
n A
( )
( )
( )
| =
∩
Outra maneira de calcular P B A( )| : P B A
P A B
P A
( )
( )
( )
| =
∩
Multiplicação de probabilidades
A probabilidade de ocorrer os eventos A e B é igual à probabilidade de ocorrer o evento 
A multiplicada pela probabilidade de ocorrer o evento B na certeza de que o evento A 
ocorreu.
P A B P A P B A( ) ( ) ( )∩ = ⋅ |
Eventos independentes
Dois eventos são independentes quando a ocorrência de um deles não altera a probabili-
dade de ocorrência do outro. 
P A B P A P B( ) ( ) ( )∩ = ⋅
Organize as ideias
Sugestão de atividade: questão 12 da seção Hora de estudo.
32 Volume 8
Hora de estudo
1. (ENEM) 
 Em uma reserva florestal existem 263 espécies de 
peixes, 122 espécies de mamíferos, 93 espécies de 
répteis, 1 132 espécies de borboletas e 656 espécies 
de aves.
Disponível em: http:www.wwf.org.br. Acesso em: 23 abr. 2010 
(adaptado).
 Se uma espécie animal for capturada ao acaso, qual a 
probabilidade de ser uma borboleta?
a) 63,31% c) 56,52% e) 43,27%
b) 60,18% X d) 49,96%
2. (UFMA) Considere que os pontos destacados na circun-ferência abaixo são os vértices de um eneágono regular.
 Qual é a probabilidade de se escolher um triângulo 
equilátero dentre os possíveis triângulos formados pe-
los pontos destacados acima?
a) 1/84 b) 3/28 c) 0 d) 1/3 X e) 1/28
3. (ENEM) José, Paulo e Antônio estão jogando dados não 
viciados, nos quais, em cada uma das seis faces, há 
um número de 1 a 6. Cada um deles jogará dois dados 
simultaneamente. José acredita que, após jogar seus 
dados, os números das faces voltadas para cima lhe 
darão uma soma igual a 7. Já Paulo acredita que sua 
soma será igual a 4 e Antônio acredita que sua soma 
será igual a 8. Com essa escolha, quem tem a maior 
probabilidade de acertar sua respectiva soma é
a) Antônio, já que sua soma é a maior de todas as es-
colhidas.
b) José e Antônio, já que há 6 possibilidades tanto para 
a escolha de José quanto para a escolha de Antônio, 
e há apenas 4 possibilidades para a escolha de Paulo.
c) José e Antônio, já que há 3 possibilidades tanto para 
a escolha de José quanto para a escolha de Antônio, 
e há apenas 2 possibilidades para a escolha de Paulo.
X d) José, já que há 6 possibilidades para formar sua soma, 
5 possibilidades para formar a soma de Antônio e ape-
nas 3 possibilidades para formar a soma de Paulo.
e) Paulo, já que sua soma é a menor de todas.
4. (ENEM) Em um determinado semáforo, as luzes com-
pletam um ciclo de verde, amarelo e vermelho em 1 
minuto e 40 segundos. Desse tempo, 25 segundos 
são para a luz verde, 5 segundos para a amarela e 70 
segundos para a vermelha. Ao se aproximar do semá-
foro, um veículo tem uma determinada probabilidade 
de encontrá-lo na luz verde, amarela ou vermelha. Se 
essa aproximação for de forma aleatória, pode-se ad-
mitir que a probabilidade de encontrá-lo com uma des-
sas cores é diretamente proporcional ao tempo em que 
cada uma delas fica acesa. Suponha que um motorista 
passa por um semáforo duas vezes ao dia, de maneira 
aleatória e independente uma da outra. Qual é a proba-
bilidade de o motorista encontrar esse semáforo com a 
luz verde acesa nas duas vezes em que passar?
a) 
1
25
 X b) 
1
16
 c) 
1
9
 d) 
1
3
 e) 
1
2
5. (UFMS) A partir de duas retas paralelas, com distância de 
2 cm entre elas, são marcados, em cada uma, três pon-
tos, tais que a distância entre 2 pontos consecutivos é de 
3 cm. Dentre todos os triângulos possíveis com vértices 
nos pontos dados, qual é a probabilidade de escolher-
mos ao acaso um triângulo de área medindo 3 cm2?
a) 
1
2
 b) 
1
3
 c) 
1
4
 X d) 
2
3
 e) 
3
4
6. (ENEM) Para verificar e analisar o grau de eficiência 
de um teste que poderia ajudar no retrocesso de uma 
doença numa comunidade, uma equipe de biólogos 
aplicou-o em um grupo de 500 ratos, para detectar 
a presença dessa doença. Porém, o teste não é to-
talmente eficaz, podendo existir ratos saudáveis com 
resultado positivo e ratos doentes com resultado nega-
tivo. Sabe-se, ainda, que 100 ratos possuem a doença, 
20 ratos são saudáveis com resultado positivo e 40 ratos 
são doentes com resultado negativo. Um rato foi esco-
lhido ao acaso, e verificou-se que o seu resultado deu 
negativo. A probabilidade de esse rato ser saudável é
a) 
1
5
 b) 
4
5
 X c) 
19
21
 d) 
19
25
 e) 
21
25
A resolução das questões desta seção deve ser feita no caderno.
11 Gabaritos.
33Matemática
7. (ENEM) Uma empresa de alimentos imprimiu em suas 
embalagens um cartão de apostas do seguinte tipo:
Frente do cartão
Verso do cartão
1
2
3
4
5
Como jogar:
- Inicie raspando apenas uma das alternativas da 
linha de início (linha 1).
- Se achar uma bola de futebol, vá para a linha 2 
e raspe apenas uma das alternativas.
Continue raspando dessa forma até o fim do jogo.
- Se encontrar um “X” em qualquer uma das 
linhas, o jogo está encerrado e você não terá 
direito ao prêmio.
- Se você encontrar uma bola de futebol em cada 
uma das linhas terá direito ao prêmio.
 Cada cartão de apostas possui 7 figuras de bolas de 
futebol e 8 sinais de “X” distribuídos entre os 15 espa-
ços possíveis, de tal forma que a probabilidade de um 
cliente ganhar o prêmio nunca seja igual a zero. Em de-
terminado cartão existem duas bolas na linha 4 e duas 
bolas na linha 5. Com esse cartão, a probabilidade de o 
cliente ganhar o prêmio é
a) 1/27. X c) 1/54. e) 1/108.
b) 1/36. d) 1/72.
8. (ENEM) Numa escola com 1 200 alunos foi realizada 
uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas 
línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa pes-
quisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 
falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses 
idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao aca-
so e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a proba-
bilidade de que esse aluno fale espanhol?
X a) 
1
2
 b) 
5
8
 c) 
1
4
 d) 
5
6
 e) 
5
14
9. (ENEM) Um aluno de uma escola será escolhido por 
sorteio para representá-la em uma certa atividade. A 
escola tem dois turnos. No diurno há 300 alunos, dis-
tribuídos em 10 turmas de 30 alunos. No noturno há 
240 alunos, distribuídos em 6 turmas de 40 alunos. Em 
vez do sorteio direto envolvendo os 540 alunos, foram 
propostos dois outros métodos de sorteio.
 Método I: escolher ao acaso um dos turnos (por exem-
plo, lançando uma moeda) e, a seguir, sortear um dos 
alunos do turno escolhido.
 Método II: escolher ao acaso uma das 16 turmas (por 
exemplo, colocando um papel com o número de cada 
turma em uma urna e sorteando uma delas) e, a seguir, 
sortear um dos alunos dessa turma. Sobre os métodos 
I e II de sorteio é correto afirmar:
a) em ambos os métodos, todos os alunos têm a mes-
ma chance de serem sorteados.
b) no método I, todos os alunos têm a mesma chance 
de serem sorteados, mas, no método II a chance de 
um aluno do diurno ser sorteado é maior que a de 
um aluno do noturno.
c) no método II, todos os alunos têm a mesma chance 
de serem sorteados, mas, no método I, a chance de 
um aluno do diurno ser sorteado é maior que a de 
um aluno do noturno.
X d) no método I, a chance de um aluno do noturno ser 
sorteado é maior do que a de um aluno do diurno, 
enquanto no método II ocorre o contrário.
e) em ambos os métodos, a chance de um aluno do 
diurno ser sorteado é maior do que a de um aluno 
do noturno.
 O texto a seguir serve de base para responder às ques-
tões 10 e 11. 
 Um apostador tem três opções para participar de certa 
modalidade de jogo, que consiste no sorteio aleatório 
de um número dentre dez. 
 1. ª opção: comprar três números para um único sorteio. 
 2 . ª opção: comprar dois números para um sorteio e um 
número para um segundo sorteio. 
 3 . ª opção: comprar um número para cada sorteio, num 
total de três sorteios.
10. (ENEM) Se X, Y, Z representam as probabilidades de o 
apostador ganhar algum prêmio, escolhendo, respec-
tivamente, a 1. ª, a 2. ª ou a 3. ª opções, é correto afirmar 
que: 
a) X < Y < Z. c) X > Y = Z. X e) X > Y > Z.
b) X = Y = Z. d) X = Y > Z. 
11. (ENEM) Escolhendo a 2 . ª opção, a probabilidade de o 
apostador não ganhar em qualquer dos sorteios é igual a: 
a) 90%. b) 81%. X c) 72%. d) 70%. e) 65%.
34 Volume 8
15. (UFV – MG) No jogo abaixo, o jogador precisa descobrir 
em quais dos oitenta e um quadradinhos estão coloca-
das 10 bombas.
 No quadradinho onde aparece um número é certeza 
que não há uma bomba. Por sua vez, o número que 
aparece dentro do quadradinho indica quantas bombas 
há nos oito quadradinhos que o cercam. Por exemplo, o 
número 2 indica que há duas bombas espalhadas nos 
oito quadradinhos que cercam o número 2. Considere 
Q a região delimitada pelo quadrado que contém o nú-
mero 2, formada por nove quadradinhos; e R a região 
delimitada pelo retângulo que contém os números 1 e 
3, formada