E3_GEES

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Geometria Espacial 
1 
 
DISCIPLINA 
GEOMETRIA ESPACIAL 
E-BOOK 03_ESTUDO DOS CORPOS REDONDOS: INSCRIÇÃO E 
CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS 
APARECIDO DOS SANTOS 
 
1. Introdução 
 
O estudo da Geometria Espacial Métrica foi iniciado como os estudos dos poliedros 
e da pirâmide; agora você estudará os corpos redondos, quais sejam: o cilindro, o 
cone e a esfera. O estudo com esses três sólidos geométricos consiste na 
apresentação da definição e das propriedades de cada um. Você terá a 
oportunidade, por meio de exemplos resolvidos e comentados, de observar o cálculo 
da área total da superfície e o volume de cada um. A observação e o estudo de cada 
exemplo resolvido darão a você a oportunidade de observar detalhadamente todos 
os procedimentos de cálculo. Muitas vezes, para o cálculo da área e do volume, 
utilizou-se conceitos básicos da geometria plana, por essa razão é recomendável, 
sempre que necessário, que você revisite tais conceitos. Para finalizar esta unidade 
de estudo será apresentada a inscrição e a circunscrição dos sólidos geométricos. 
Você terá a oportunidade de estudar: (a) prisma inscrito em um cilindro circular e 
cilindro circular inscrito em um prisma; (b) pirâmide inscrita em um cilindro circular e 
cilindro circular inscrito em uma pirâmide; (c) pirâmide inscrita em um cone circular e 
cone circular inscrito em pirâmide; (d) cilindro circular inscrito em um cone circular e 
cone circular inscrito em um cilindro circular; (e) esfera inscrita em um cubo e cubo 
inscrito em uma esfera; (f) esfera inscrita em um cilindro circular reto e cilindro 
circular reto inscrito em uma esfera; (f) esfera inscrita em cone circular reto e cone 
circular reto inscrito em uma esfera. 
 
2. Cilindro 
 
Definição: Consideremos dois planos paralelos α e β, C um círculo de raio r e centro 
O contido em α e s uma reta que intercepta α e β. Chama-se cilindro (ou cilindro 
circular) o sólido formado por todos os segmentos de reta paralelos à s, tais que 
Geometria Espacial 
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uma de suas extremidades é um ponto do círculo C e a outra extremidade é um 
ponto no plano β. 
 
 
 
 
 
 C 
 
 Elementos 
Num cilindro consideramos os seguintes elementos: 
• Os círculos C e C’, que são congruentes, são as bases; 
• Os segmentos com uma extremidade em um ponto da circunferência de centro 
O e raio r e a outra no ponto correspondente da circunferência de centro O’ e 
raio r, são as geratrizes; 
• A distância entre os planos das bases α e β, é a altura do cilindro. 
Classificação 
Dizemos que um cilindro é reto quando suas geratrizes são perpendiculares aos 
planos das bases, caso contrário, o cilindro é oblíquo. 
Num cilindro reto, o comprimento da geratriz é igual à altura do cilindro (g = h). 
Observações: 
1. Circunferência: é o conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto 
O dado é igual a uma distância r (não nula) dada. 
Na circunferência abaixo, destacamos: 
• o ponto O é o centro; 
• o segmento OP (de medida r) é o raio; 
• o segmento AB (de medida 2r) é o diâmetro; 
• o segmento CD é uma corda; 
 
 
 
 
 
Geometria Espacial 
3 
 
O comprimento (perímetro) da circunferência é dado por 2πr: 
 
 
 
 
 
3. Círculo: é o conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto O 
dado é menor ou igual a uma distância r (não nula) dada. Ou seja, o círculo é a 
reunião da circunferência com seu interior. 
A área do círculo é dada por: AΟ = π . r² 
 
Áreas da superfície de um cilindro reto 
Dado um cilindro reto, definimos: 
• A área da base (Ab) é a área do círculo da base: 
Ab = π r² 
• A área lateral (Al) é a área do retângulo de lados 2πr e h: 
Al = 2πrh 
• A área total (At) é a soma da área lateral com as áreas das bases: 
At = Al + 2Ab = 2πr(h + r) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometria Espacial 
4 
 
Volume do cilindro 
 Para encontrar o volume de um cilindro, aplica-se o mesmo método usado 
para obter o volume de um prisma, ou seja, multiplica-se a área da base pela altura: 
Vcilindro = área da base x altura 
Vcilindro = πr2h 
Exemplos resolvidos: 
Exemplo resolvido 01: Calcular a área total e o volume do cilindro reto que tem raio 
da base 5 cm e altura 3 cm. 
Resolução: 
A área lateral do cilindro é dada por: 
Al = 2πrh 
Al = 2 . π . 5 . 3 = 30π cm2 
A área da base é dada por: 
Ab = π r2 
Ab = π 52 
Ab = 25π cm2 
Logo, a área total do cilindro é: 
tA = Al + 2Ab 
tA = 30π + 2 . 25π 
At = 80π cm2 
E o volume é: 
V = Ab . h 
 V =25π . 3 
V = 75π cm3 
Exemplo resolvido 02: Um cilindro reto tem área lateral e volume, respectivamente, 
iguais a 2π m2 e π m3, calcule a sua altura. 
Resolução: 
Al = 2πrh 
2π = 2πrh 
rh = 1  
h
1
r = 
Vcilindro = πr2h 
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5 
 
π = πr2h 
r2h = 1 
m1h
1h.
h
1
2
=
=





 
Cones 
Definição: Consideremos um plano α, C um círculo de raio r e centro O contido em 
α e V um ponto fora desse plano. Chama-se cone (ou cone circular) o sólido 
formado por todos os segmentos de reta tais que uma de suas extremidades é um 
ponto do círculo C e a outra extremidade é o ponto V. 
 
Elementos 
Num cone consideramos os seguintes elementos: 
• O círculo C é a base; 
• Os segmentos com uma extremidade em um ponto da circunferência da base e a 
outra no ponto V são as geratrizes; 
• O ponto V é o vértice; 
• A distância entre o vértice e o plano da base é a altura do cone. 
 
O r
V

V
O
r
eixo
geratriz
h
raio da base

Geometria Espacial 
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Classificação 
Os cones são classificados pela posição da reta VO (chamada eixo do cone) em 
relação ao plano da base: 
Se a reta VO é oblíqua ao plano da base, temos um cone circular oblíquo. 
Se a reta VO é perpendicular ao plano da base, o cone é reto. Num cone reto, a 
geratriz (g) é também o apótema do cone e temos a relação: 
g² = h² + r² 
Note que se cortarmos um cone reto por um plano que contém o seu eixo, teremos 
um triângulo isósceles. 
 
E, se o cone reto tiver a medida da geratriz igual ao diâmetro da base (g = 2r), ele é 
chamado de cone equilátero: 
 
Áreas da superfície de um cone reto 
Dado um cone reto, definimos: 
• A área da base (Ab) é a área do círculo da base: 
V
O
r
eixo
geratriz
h
raio da base

r
cone oblíquo
V
O
r
eixo
geratriz
h
raio da base

r
cone reto
g
V
rr
g = 2r
O
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Ab = π r² 
• A área lateral (Al) é a área de um setor circular de raio g, ângulo θ e arco de 
comprimento 2πr (veja planificação abaixo). O ângulo θ é dado por: 
g
r2
= rad ou 
g
r360
= graus 
Dessa forma, a área lateral do cone é calculada por: 
grA l = 
 
• A área total (At) é a soma da área lateral com a área da base: 
tA = Al + Ab 
At = π r g + π r2 
At = π r (g + r) 
Volume do cone 
 Para encontrar o volume de um cone, aplica-se o mesmo método usado para 
obter o volume de uma pirâmide, ou seja: 
Vcone = 
3
1
 x área da base x altura 
V= 
3
1
π r2 h 
Exemplos resolvidos 
Exemplo resolvido 01: Calcular o comprimento da circunferência da base, a altura, 
a área total e o volume de um cone reto que tem raio da base 5 cm e geratriz 13 cm. 
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8 
 
 
Resolução: 
Como o cone é reto, temos um triângulo retângulo cuja hipotenusa é a geratriz. 
Logo: 
132 = 52 + h2 
h = 12 cm 
O comprimento da circunferência da base é dado por: 
C = 2πr 
C = 10π cm 
A área total do cone é:tA = π r (g + r) 
tA = 5π(13 + 5) 
tA = 90π cm2 
E o volume é: 
V = 
3
1
π r2 h 
V= 
3
1
 . π . 25 . 12 
V = 100π cm3 
Exemplo 02: Um cone reto de altura 10 cm e geratriz 11 cm tem por planificação da 
superfície lateral um setor circular de ângulo θ. Determinar o raio da base do cone e 
o ângulo θ. 
Resolução: 
Como em todo cone reto, temos: g2 = h2 + r2, então: 
121 = 100 + r2 
r = 58,421  cm 
Geometria Espacial 
9 
 
O ângulo θ é dado por: 
g
r360
= graus 
º150
11
58,4.360
= 
Exemplo 03: Um cone equilátero tem área da base 4π cm2. Calcule a sua área 
lateral. 
Resolução: 
Ab = π r2 
4π = π r2 
r = 2 cm 
Como o cone é equilátero, então: 
g = 2r 
g = 4 cm 
Logo, grA l = 
2
l cm84.2.A == 
Esfera 
INSERIR: PODCAST 01 – CORPOS REDONDOS: EM DESTAQUE A ESFERA 
Definição: Consideremos um ponto O e um segmento de medida r. Chama-se 
esfera de centro O e raio r o sólido formado por todos os pontos P do espaço, que 
estão a uma distância de O menor ou igual a r. 
Chama-se superfície esférica a “casca” da esfera, ou seja, o conjunto dos pontos P 
do espaço que estão a uma distância de O igual a r. Observe: 
 
Área da superfície esférica e volume da esfera 
• A área da superfície de uma esfera de raio r é dada por: 
A = 4 π r2 
 
• O volume da esfera de raio r é: 
O P
r
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10 
 
V = 
3
4
π r3 
Exemplos resolvidos: 
Exemplo resolvido 01: Calcule a área da superfície e o volume de uma esfera de 
raio 5 cm. 
Resolução: 
A área da superfície esférica é: 
A = 4πr2 
A = 4π(5)2 
A = 100π cm2 
E o volume é: 
V = 
3
4
π r3 
V= 
3
4
 . π . 125 
V = 
3
500
π cm3 
Exemplo resolvido 02: Determine o raio de uma esfera de superfície 36π cm2. 
Resolução: 
A área da superfície esférica é: 
A = 4πr2 
36π = 4πr2 
r2 = 9 
r = 3 cm 
Exemplo 03: Calcule o volume de uma esfera de raio π cm. 
Resolução: 
O volume de uma esfera é: 
V = 
3
4
π r3 
V= 
3
4
 . π . π3 
V = 
3
4
π4 cm3 
INSERIR: PODCAST 02 – CORPOS REDONDOS: ALGUNS TEOREMAS 
IMPORTANTES 
Geometria Espacial 
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2cm 
h=5cm 
INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS 
1. Prisma e cilindro circular: Prisma inscrito em cilindro circular 
Um prisma está inscrito em um cilindro circular se, e somente se, seus vértices 
pertencem às circunferências das bases do cilindro. Observe: 
 
 
Consequências: 
• A altura do cilindro é igual à altura do prisma. 
• O raio da base do cilindro é o raio da circunferência circunscrita à base do 
prisma. 
• O cilindro está circunscrito ao prisma. 
Exemplo resolvidos 
Exemplo resolvido 01: Calcular o volume de um prisma regular inscrito em um 
cilindro de altura 5 cm e raio da base 2 cm. Observe a figura abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
O raio da base do cilindro é o raio de uma circunferência circunscrita a um triângulo 
equilátero. Esse raio é 2/3 da altura h do triangulo equilátero: Assim temos: 
2 =
2ℎ
3
 
2ℎ = 6 
ℎ = 3 𝑐𝑚 
Geometria Espacial 
12 
 
h = 6cm 
Pelo teorema de Pitágoras temos: 
ℓ2 = (
ℓ
2
)
2
+ 32 
ℓ2 =
ℓ2
4
+ 9 
ℓ2 −
ℓ2
4
= 9 
3ℓ2
4
= 9 
3ℓ2 = 36 
ℓ2 = 12 
ℓ = √12 → ℓ = 2√3𝑐𝑚 
Assim, a área Ab da base do prisma é: 
𝐴𝑏 =
3.2√3
2
→ 𝐴𝑏 = 3√3𝑐𝑚2 
Logo, o volume V do prisma é: 
V = Área da base x altura 
𝑉 = 3√3 . 5 ⟶ 𝑉 = 15 √3𝑐𝑚3 
1.2 Cilindro circular inscrito em prisma 
Um cilindro circular está inscrito em um prisma se, e somente se, suas bases são 
tangentes às arestas das bases do prisma. 
 
Consequências: 
• A altura do cilindro é igual à altura do prisma. 
• O raio da base do cilindro é o raio da circunferência inscrita na base do prisma. 
• O prisma está circunscrito ao cilindro 
Exemplo 02: Um prisma regular quadrangular está circunscrito a um cilindro circular 
de altura 6 cm e raio da base 2 cm. Calcular a área total do prisma. 
 
 
 
Geometria Espacial 
13 
 
H = 9 cm 
 
Resolução: O raio da base do cilindro é o apótema (raio da circunferência inscrita) 
na base do prisma. O apótema r do quadrado mede metade do seu lado ℓ. Logo ℓ =
4 𝑐𝑚. Assim, a área da base (Ab) do prisma é: 
𝐴𝑏 = ℓ2 ⟶ 𝐴𝑏 = 42 ⟶ 𝐴𝑏 = 16𝑐𝑚2 
Cada face lateral do prisma é retangular de lados 4 cm e 6 cm. Sendo Af a área de 
cada face, temos: 
𝐴𝑓 = 4.6 ⟶ 𝐴𝑓 = 24𝑐𝑚2 
Assim, a área lateral 𝐴ℓ do prisma é: 
𝐴ℓ = 4. 𝐴𝑓 ⟹ 𝐴ℓ = 96𝑐𝑚2 
Portanto, a área total (At) do prisma é: 
𝐴𝑡 = 𝐴ℓ + 2𝐴𝑏 ⟹ 𝐴𝑡 = 96 + 2.16 ⟹ 𝐴𝑡 = 128 𝑐𝑚2 
2. Pirâmide inscrita em cilindro circular 
Uma pirâmide está inscrita em um cilindro circular se, e somente se, os vértices da 
base da pirâmide pertencem à circunferência de uma base do cilindro e o vértice da 
pirâmide pertence à outra base do cilindro. Observe: 
 
Consequências: 
• A altura da pirâmide é igual à altura do cilindro. 
• O raio da base do cilindro é o raio da circunferência circunscrita à base da 
pirâmide 
• O cilindro está circunscrito à pirâmide. 
Exemplo 01: Uma pirâmide regular hexagonal de altura 9 cm e aresta da base 3 cm 
está inscrita em um cilindro circular reto. Calcular a área lateral do cilindro. 
 
 
 
 
Geometria Espacial 
14 
 
A’ M’ 
V 
A’ 
M’ 
Resolução: 
O lado do hexágono regular é igual ao raio R da circunferência circunscrita. Logo, o 
raio da base do cilindro mede 3 cm, isto é, R = 3 cm. Assim, a área lateral Aℓ do 
cilindro é: 
𝐴ℓ = 2𝜋𝑅𝐻 
𝐴ℓ = 2𝜋. 3.9 
𝐴ℓ = 54𝜋 𝑐𝑚2 
2.1 Cilindro circular inscrito em pirâmide 
Um cilindro circular está inscrito em uma pirâmide se, e somente se, uma base do 
cilindro está contida na base da pirâmide e a outra base do cilindro é tangente às 
faces da pirâmide. Observe: 
 
Consequências: 
• Se a pirâmide é regular e o cilindro circular é reto: 
(I) o vértice V da pirâmide e os centros O’ e O das bases do cilindro são colineares. 
(II) um plano que passa pelos pontos V e O e pelo ponto médio M de uma aresta da 
base da pirâmide determina os triângulos semelhantes VO’V’, VOM e M’PM. 
(III) um plano que passa pelos pontos V e O e por um vértice A da base da pirâmide 
determina os triângulos semelhantes VO’A’ e VOA. 
• A pirâmide está circunscrita ao cilindro. 
Observe a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
M 
A 
Geometria Espacial 
15 
 
 
Exemplo 02: Um cilindro circular reto de altura 10 cm e raio da base 3 cm está 
inscrito em uma pirâmide regular hexagonal de altura 12 cm. Calcular a medida do 
apótema da base da pirâmide. 
Resolução: 
Observe a figura a seguir: 
 
Sendo M o ponto médio de uma aresta da base da pirâmide, que que 𝑂𝑀̅̅ ̅̅ ̅ é o 
apótema da base da pirâmide. Da semelhança entre os triângulos VO’M’ 
𝑂𝑉
𝑉𝑀′
=
𝑂𝑀
𝑂′𝑀′
 
12
2
=
𝑂𝑀
3
 
𝑂𝑀 = 18 𝑚 
3. Pirâmide inscrita em cone circular 
Uma pirâmide está inscrita em um cone circular se, e somente se, seu vértice 
coincide com o vértice do cone e os vértices de sua base pertencem à circunferência 
da base do cone. Observe: 
 
Consequências: 
• A altura da pirâmide é igual à altura do cone. 
• O raio da base do cone é o raio da circunferência circunscrita à base da 
pirâmide. 
• O cone está circunscrito à pirâmide. 
Exemplo 01: Uma pirâmide regular quadrangular de altura 6 cm está inscrita em um 
cone circular de raio da base 2 cm. Calcular o volume da pirâmide. 
Geometria Espacial 
16 
 
 H = 6 m 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
O diâmetro da base do cone é a diagonal do quadrado da base da pirâmide. 
Aplicando o teorema de Pitágoras no quadrado de lado ℓ e diagonal 4 cm, temos: 
 
ℓ2 + ℓ2 = 42 
2ℓ2 = 16 
ℓ2 = 8 
ℓ = 2√2 𝑐𝑚 
A área (Ab) base da pirâmide quadrada é: 𝐴𝑏 = ℓ2 
𝐴𝑏 = (2√2)2 
𝐴𝑏 = 8 𝑐𝑚2 
Portanto, o volume da pirâmide é: 
𝑉 =
1
3
. 𝐴𝑏. 𝐻 
𝑉 =
1
3
. 8.6 
𝑉 = 16 𝑐𝑚3 
3.1 Cone circular inscrito em pirâmide 
Um cone circular está inscrito em uma pirâmide se, e somente se, seu vértice 
coincide com o vérticeda pirâmide e a circunferência de sua base é tangente às 
arestas da base da pirâmide. Observe: 
 
Consequências: 
• A altura do cone é igual à altura da pirâmide. 
Geometria Espacial 
17 
 
 H = 9 m 
 H = 6 m 
• O raio da base do cone é o raio da circunferência inscrita na base da pirâmide. 
• A pirâmide está circunscrita ao cone. 
Exemplo 02: Um cone reto de altura 9 m está inscrito em uma pirâmide regular 
triangular de aresta da base 6 m. Calcular a medida de uma geratriz do cone. 
Resolução: Observe a figura: sendo G, R e H as medidas da geratriz, raio da base e 
a altura do cone, respectivamente, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Do triangulo retângulo GRH temos: 
𝐺2 = 𝑅2 + 𝐻2 
𝐺2 = 𝑅2 + (9)2 
𝐺2 = 𝑅2 + 81 (Equação I) 
Sendo h a altura do triângulo equilátero da base da pirâmide, temos: 
ℎ2 + 32 = (6)2 
ℎ2 = 36 − 9 
ℎ2 = 27 
ℎ = 3√3 𝑚 
O raio R da circunferência inscrita no triângulo equilátero é: 
𝑅 =
ℎ
3
 
𝑅 =
3√3
3
→ 𝑅 = √3 (Equação II). 
Substituindo (II) em (I), obtém-se: 
𝐺2 = (√3)2 + 81 → 𝐺2 = 3 + 81 → 𝐺2 = 84 → 𝐺 = √84 → 𝐺 = 2√21 𝑚 
 
4. Cilindro circular inscrito em um cone regular 
Geometria Espacial 
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M 
M’ 
15 cm 
20 cm 
6 cm 
Um cilindro circular está inscrito em um cone circular se, e somente se, uma base do 
cilindro está contida na base do cone e a circunferência da outra base do cilindro 
está contida na superfície lateral do cone. Observe: 
 
 
Consequências: 
1. Se o cilindro circular é reto e o cone circular também é reto: 
• O vértice V do cone e os centros O’ e O das bases do cilindro são pontos 
alinhados; 
• O centro O da base do cilindro coincide com o centro da base do cone; 
• Um plano que passa pelos pontos V e O determina os triângulos semelhantes: 
VO’M’, VOM e M’PM. 
2. O cone está circunscrito ao cilindro. 
Observe a figura: 
 
Exemplos resolvidos: 
Exemplo 01: Um cilindro circular reto de altura 15 cm e raio da base 6 cm está 
inscrito em um cone circular reto de altura 20 cm. Calcular a medida do raio da base 
do cone. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
Geometria Espacial 
19 
 
 
Da figura observa-se que os triângulos VOM e VO’M’ são semelhantes. Sendo R o 
raios da base do cone, temos: 
𝑂𝑀
𝑂′𝑀′
=
𝑂𝑉
𝑉𝑂′
→
𝑅
6
=
20
5
→ 𝑅 = 24 𝑐𝑚 
 
4.1 Cone circular inscrito em um cilindro circular 
Um cone circular está inscrito em um cilindro circular se, e somente se, a base do 
cone coincide com uma base do cilindro e o vértice do cone pertence à outra base 
do cilindro. Observe a figura: 
 
Consequências: 
1. A altura do cone é igual à altura do cilindro 
2. Se o cone circular é reto e o cilindro circular também é reto 
• O vértice do cone coincide com o centro de uma base do cilindro; 
• A medida de uma geratriz do cilindro é igual à altura do cone; 
3. O cilindro está circunscrito ao cone. 
Exemplo 02: Um cone circular reto de geratriz 13 cm está inscrito em um cilindro 
circular reto cujo raio da base mede 5 cm. Calcular a área lateral do cilindro. 
Resolução: 
 
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: 
ℎ2 + 52 = 132 → ℎ2 = 169 − 25 → ℎ2 = 144 ∴ ℎ = 12 𝑐𝑚 
A altura h do cone é igual à altura do cilindro. Logo, área lateral 𝐴ℓ do cilindro é: 
𝐴ℓ = 2𝜋𝑟ℎ ⇒ 𝐴ℓ = 2𝜋. 5.12 ⇒ 𝐴ℓ = 120𝜋 𝑐𝑚2 
 
5. Esfera inscrita em um cubo 
Geometria Espacial 
20 
 
a 
4 cm 
a 
Uma esfera está inscrita em um cubo se, e somente se, é tangente às faces do 
cubo. Observe: 
 
 
 
 
Consequências: 
1. As diagonais do cubo passam pelo centro da esfera. 
2. O diâmetro 2r da esfera tem a mesma medida “a” da aresta do cubo (2𝑟 = 𝑎 ⇒
𝑎
2
) 
3. O cubo está circunscrito à esfera 
Exemplo resolvido 01: Calcular o volume de uma esfera inscrita em um cubo de 
aresta 4 cm. 
Resolução: 
 
 
 
 
Sendo r o raio da esfera, temos: 𝑟 =
4
2
 ⟹ 𝑟 = 2 𝑐𝑚 
O volume da esfera é 𝑉 =
4𝜋𝑟3
3
⟹ 𝑉 =
4𝜋𝑟(2)3
3
⟹ 𝑉 =
32𝜋
3
 𝑐𝑚3 
5.1 Cubo inscrito em esfera 
Um cubo está inscrito em uma esfera se, e somente se, seus vértices pertencem à 
superfície da esfera. Observe: 
 
 
 
 
 
Consequências: 
1. As diagonais do cubo passam pelo centro da esfera, Portanto, a medida 2R do 
diâmetro da esfera é igual à medida da diagonal do cubo. Sendo “a” a medida da 
aresta do cubo, sua diagonal mede 𝑎√3. Assim, o raio R da esfera circunscrita ao 
cubo é dado por: 2𝑅 = 𝑎√3 ⟹ 𝑅 
𝑎√3
2
 
Geometria Espacial 
21 
 
h = 8 cm 
2. A esfera está circunscrita ao cubo. 
Exemplo resolvido 02: Um cubo está inscrito em uma esfera de raio 3 cm. Calcular 
o volume do cubo. 
Resolução: Sendo “a” a aresta do cubo, sua diagonal mede 𝑎√3. O raio da esfera é: 
𝑅 =
𝑎√3
2
⟹ 3 =
𝑎√3
2
⟹ 𝑎√3 = 6 ⟹ 𝒂 = 𝟐√𝟑 𝒄𝒎 
O volume V do cubo é: 𝑉 = 𝑎3 ⟹ 𝑉 = (2√3)
3
⟹ 𝑽 = 𝟐𝟒√𝟑 𝒄𝒎𝟑 
6. Esfera inscrita em um cilindro circular regular 
Uma esfera está inscrita em um cilindro circular reto se, e somente se, tangencia 
todas as geratrizes e as bases do cilindro. Observe: 
 
 
 
 
Consequências: 
• A esfera tangencia as bases em seus centros O’ e O”. 
• O centro O da esfera e os centros O’ e O” das bases são pontos colineares. 
• A medida da geratriz do cilindro é igual ao diâmetro da esfera. 
• A medida da geratriz do cilindro é igual ao diâmetro da base. Logo, o cilindro é 
equilátero. 
• O cilindro está circunscrito à esfera. 
Exemplo resolvido 01: Uma esfera de raio 4 cm está inscrita em um cilindro reto. 
Calcular o volume do cilindro. 
Resolução: Um cilindro circular reto circunscrito a uma esfera é equilátero. Logo, a 
medida da geratriz é igual ao diâmetro da base. 
 
 
 
 
 
O volume do cilindro é: V = área da base x altura: V = Ab. h 
 𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ ⟹ 𝑉 = 𝜋(2)2. 8 ⟹ 𝑽 = 𝟏𝟐𝟖𝝅 𝒄𝒎𝟑 
6.1 Cilindro circular reto inscrito em esfera 
Geometria Espacial 
22 
 
h 
2r 
6 cm 
8 cm 
Um cilindro circular reto está inscrito em uma esfera se, e somente se, as 
circunferências de suas bases estão contidas na superfície da esfera. Observe: 
 
 
 
 
 
Consequências: 
• O centro da esfera e os centros das bases do cilindro são pontos colineares. 
• O diâmetro da esfera é a diagonal de uma secção meridiana do cilindro. Sendo h 
e 2r (conforme figura anterior) a altura e o diâmetro da base do cilindro, 
respectivamente e 2R, o diâmetro da esfera, temos: (2𝑅)2 = ℎ2 + (2𝑟)2. 
• A esfera está circunscrita ao cilindro. 
Exemplo resolvido 02: Um cilindro circular reto de altura 8 cm e raio da base 3 cm 
está inscrito em uma esfera. Determinar a medida do raio dessa esfera. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
O diâmetro (2R) da esfera é a diagonal de uma secção meridiana do cilindro. Pelo 
teorema de Pitágoras, temos: 
(2𝑅)2 = 82 + 62 ⟹ 4𝑅2 = 64 + 36 ⟹ 4𝑅2 = 100 ⟹ 𝑅2 = 25 ∴ 𝑅 = 5 𝑐𝑚 
7. Esfera inscrita em um cone circular reto 
Uma esfera está inscrita em um cone circular reto se, e somente se, tangencia todas 
as suas geratrizes e a base do cone. Observe: 
 
 
 
 
 
Geometria Espacial 
23 
 
M 
M 
Consequências: 
1. O centro O’ da esfera, o vértice V e o centro O da base do cone são pontos 
colineares. Observe a figura: 
 
 
 
 
2. Uma secção meridiana do cone determina os triângulos semelhantes VOM e VTO’ 
3. Seja T o ponto de tangência (figura anterior) da esfera com um geratriz do cone. 
Uma secção transversal que passam por T determinam os triângulos semelhantes 
VOM e VPT. 
4. O cone está circunscrito à esfera. 
Exemplo resolvido 01: Calcular a medida do raio da esfera inscrita em u cone 
circular reto de altura 12 cm e raio da base 9 cm. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
Os triângulos VOM e VTO’ são semelhantes. Sendo G a geratriz do cone e r o raio 
da esfera, temos pelo teorema de Pitágoras: 
𝐺2 = 122 + 92 ⟹ 𝐺2 = 144 + 81 ⟹ 𝐺2 = 225 ∴ 𝐺 = 15 𝑐𝑚 
Da semelhança entre os triângulos VOM e VTO’, conclui-se que: 
𝑉𝑀
𝑉𝑂′
=
𝑂𝑀
𝑂′𝑇
⟹
15
12 − 𝑟
=
9
𝑟
 
15𝑟 = 108 − 9𝑟15𝑟 + 9𝑟 = 108 
24𝑟 = 108 
𝑟 = 4,5 𝑐𝑚 
7.1 Cone circular reto inscrito em esfera 
Um cone circular reto está inscrito em uma esfera se, e somente se, sua 
circunferência da base está contida na superfície dessa esfera e seu vértice 
pertence à superfície dessa esfera. Observe: 
Geometria Espacial 
24 
 
h 
2r - h 
r 
 
 
 
 
 
 
Consequências: 
1. O centro da esfera, o vértice e o centro da base do cone são pontos colineares. 
2. Sendo R o raio da esfera, r e h o raio da base e altura do cone, respectivamente, 
𝑉𝑉′̅̅ ̅̅ ̅ um diâmetro da esfera e T um ponto da circunferência da base do cone, temos 
que o triângulo VV’T é retângulo em T. Temos:𝑟2 = ℎ(2𝑅 − ℎ). Observe a figura. 
 
 
 
 
 
 
3. A esfera está circunscrita ao cone. 
Exemplo resolvido 02: Um cone circular reto de altura 6,4 cm e raio da base 4,8 cm 
está inscrito em uma esfera. Calcular a área da esfera. 
Resolução: 
Sendo R o raio da esfera, temos: 
𝑟2 = ℎ(2𝑅 − ℎ). 
(4,8)2 = 6,4(2𝑅 − 6,4) 
23,04 = 12,8𝑅 − 40,96 
12,8𝑅 = 40,96 + 23,04 
12,8𝑅 = 64 
𝑅 = 64 ÷ 12,8 
𝑅 = 5 𝑐𝑚 
 
A área da superfície da esfera é: 
𝐴 = 4𝜋𝑅2 
𝐴 = 4𝜋. (5)2 
Geometria Espacial 
25 
 
𝐴 = 4𝜋. 25 
𝐴 = 100𝜋 𝑐𝑚2 
 
3. Considerações finais 
 
Nesta unidade de estudo exploramos os corpos redondos (cilindro, cone e esfera). 
Você teve a oportunidade de estudar as propriedades e os principais elementos 
desses sólidos geométricos. Por meio de diversos exemplos resolvidos, você pôde 
observar e acompanhar, detalhadamente, os procedimentos matemáticos utilizados 
para resolução de muitas situações-problema, envolvendo o cálculo de área e 
volume dos sólidos geométricos em questão. É importante salientar que para os 
referidos cálculos (com os corpos redondos), muitas vezes, foi necessário a 
utilização de conceitos importantes da geometria plana, tais como: área dos 
principais polígonos e da circunferência, teorema de Pitágoras, semelhança de 
triângulos, entre outros. Portanto, sempre que for necessário para a compreensão 
do conteúdo estudado, recomenda-se que você revisite tais conceitos da geometria 
plana. 
 
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CATRUCCI, B. Geometria: curso moderno. Vol. 3. 3. ed. Disponível em: 
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Geometria Espacial 
26 
 
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ZATTAR, I. C. Introdução ao desenho técnico. Curitiba: InterSaberes, 2016. 
[Biblioteca Virtual] 
	Definição: Consideremos dois planos paralelos α e β, C um círculo de raio r e centro O contido em α e s uma reta que intercepta α e β. Chama-se cilindro (ou cilindro circular) o sólido formado por todos os segmentos de reta paralelos à s, tais que uma...
	Áreas da superfície de um cilindro reto
	Definição: Consideremos um plano α, C um círculo de raio r e centro O contido em α e V um ponto fora desse plano. Chama-se cone (ou cone circular) o sólido formado por todos os segmentos de reta tais que uma de suas extremidades é um ponto do círculo ...
	E, se o cone reto tiver a medida da geratriz igual ao diâmetro da base (g = 2r), ele é chamado de cone equilátero:
	Áreas da superfície de um cone reto
	Como o cone é equilátero, então:
	g = 2r
	g = 4 cm
	Definição: Consideremos um ponto O e um segmento de medida r. Chama-se esfera de centro O e raio r o sólido formado por todos os pontos P do espaço, que estão a uma distância de O menor ou igual a r.
	Área da superfície esférica e volume da esfera