O_Teorema_de_Green_e_a_agrimensura

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O Teorema de Green e o 
problema do agrimensor
Demonstração simplérrima
(Outras demonstrações “por aí” geralmente se utilizam do 
Teorema do Divergente, ou do Teorema de Stokes, para 
mostrar a mesma coisa.)
O Teorema de Green diz que:
Z
dV
�
fr2g � gr2f
�
=
I
d~S ·
⇣
f ~rg � g~rf
⌘
Vamos tomar o volume de uma “panqueca”:
Altura hÁrea A
Evidentemente, o volume da panqueca é: V=Ah
z
Claramente, podemos tomar funções f e g tais que:
Se pudermos também escolher 
Altura h
z
fr2g � gr2f = 1 )
Z
panqueca
dV
�
fr2g � gr2f
�
= Ah
f ~rg � g~rf ? z
) d~S ·
⇣
f ~rg � g~rf
⌘
6= 0
apenas na “borda” lateral.
E nessa borda lateral, dS = h dl , onde dl representa o 
deslocamento ao longo da borda.
Área A
d~S
d~S dl
Em particular, tomando f e g tais que:
Altura h
z
Área Ad~S
d~S
fr2g � gr2f = 1
f ~rg � g~rf = 1
2
~⇢
)
Z
dV
�
fr2g � gr2f
�
= Ah
)
I
d~S ·
⇣
f ~rg � g~rf
⌘
= h
I
borda
d~l 0 ⇥ ~⇢
2
d~l 0
dA
De fato,
A =
Z
dA =
Z
d~l 0 ⇥ ~⇢
2
Note que:
1) Exemplos de funções f e g que satisfazem as condições 
acima são dadas por:
(Verifique utilizando grad e laplaciano em coord. cilíndricas!)
f = 1 , g =
⇢2
4
Note também que:
2) Não precisamos necessariamente escolher:
De fato, qualquer escolha de f e g tal que: 
é válida, e permite calcular a área desejada!
f ~rg � g~rf = 1
2
~⇢
fr2g � gr2f = 1
f ~rg � g~rf ? z