2 Aula - Cinemática da partícula movimento em uma dimensão - movimento retilíneo uniformemente variado

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Cinemática da partícula: movimento em 
uma dimensão — movimento retilíneo 
uniformemente variado
APRESENTAÇÃO
A partir da observação conceitual das grandezas posição, velocidade e aceleração, é possível 
estabelecer relações entre elas, chegando a expressões que resolvam quantitativamente situações 
sobre o movimento com variação uniforme de velocidade.
Nesta Unidade de Aprendizagem, estudaremos a cinemática da partícula em 
movimento unidimensional com aceleração constante, também conhecido por movimento 
retilíneo uniformemente variado (MRUV). 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Calcular a aceleração média de um sistema a partir das informações de velocidade e 
tempo.
•
Resolver problemas de movimento envolvendo acelerações constantes.•
Construir gráficos de aceleração em função do tempo a partir de gráficos de velocidade em 
função do tempo.
•
DESAFIO
O freio ABS é um sistema de frenagem que evita que as rodas bloqueiem e entrem em 
derrapagem, deixando o automóvel sem aderência à pista. Esse sistema se tornou obrigatório 
nos novos carros e é considerado um item de segurança para o motorista e seus passageiros. 
Suponha que você é um engenheiro que trabalha na área de segurança em uma fábrica de 
automóveis e deseja testar o sistema de frenagem de um carro, calculando o valor de sua 
desaceleração. Para isso, será realizado o seguinte teste: em uma pista de testes, o veículo está a 
uma velocidade de 108km/h, quando o motorista aciona o freio até que o veículo 
pare 100m mais adiante.
Sabendo que a fábrica considera a situação anterior como um teste de qualidade, no qual o 
projeto do carro é aprovado se a variação de velocidade no tempo é superior a 4m/s2, analise e 
conclua se esse carro será aprovado no teste realizado pela fábrica.
INFOGRÁFICO
Quando queremos descrever o comportamento de um objeto em movimento, é preciso conhecer 
sua posição, velocidade e aceleração. Os gráficos da posição e da velocidade em função do 
tempo podem fornecer importantes informações sobre a aceleração e o tipo de movimento que a 
partícula executa.
Veja, no Infográfico a seguir, como as equações do movimento descrevem os gráficos da 
posição e da velocidade de um móvel que executa um MRUV e a relação existente entre o sinal 
da aceleração com a curva descrita no gráfico do movimento da partícula.
CONTEÚDO DO LIVRO
Quando a velocidade de um sistema varia, dizemos que ele tem certa aceleração. Movimentos 
com aceleração constante podem ser bem frequentes, como o movimento de queda livre.
Aprofunde seus conhecimentos lendo o capítulo Cinemática da partícula: movimento em uma 
dimensão – Movimento retilíneo uniformemente variado – MRUV, do livro Dinâmica, que 
servirá como base teórica para esta Unidade de Aprendizagem. 
Boa leitura.
DINÂMICA 
Ricardo Lauxen
Cinemática da 
partícula: movimento 
em uma dimensão — 
movimento retilíneo 
uniformemente variado
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 Calcular a aceleração média de um sistema a partir das informações
de velocidade e tempo.
 Resolver problemas de movimento envolvendo acelerações
constantes.
 Construir gráficos de aceleração em função do tempo a partir de
gráficos de velocidade em função do tempo.
Introdução
A partir da observação conceitual das grandezas posição, velocidade 
e aceleração, é possível estabelecer relações entre elas, chegando a 
expressões que resolvam quantitativamente situações sobre o movimento 
com variação uniforme de velocidade.
Neste capítulo, estudaremos a cinemática da partícula em movimen-
tos unidimensionais com aceleração constante, também conhecida como 
movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV).
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Aceleração
O estudo do MRUV de uma partícula é o estudo de corpos que, sujeitos 
a uma aceleração constante, movimentam-se em linha reta. O objetivo 
aqui é determinar como as quantidades posição (x) e velocidade (v) variam 
ao longo do tempo (t), quando a aceleração (a) é constante, isto é, a taxa 
de variação da velocidade ao longo do tempo não muda, como expresso 
na Equação (1): 
O fato de a aceleração ser constante também é expresso graficamente. 
O gráfico da aceleração contra o tempo, mostrado na Figura 1, demonstra 
que o seu valor não muda conforme o tempo passa. A partir de (1), podemos 
encontrar as equações para v(t) e x(t).
Figura 1. Gráfico da aceleração contra o tempo. 
A aceleração não tem o seu valor alterado com o 
passar do tempo — ou seja, é constante. 
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Velocidade
Para determinar v(t), deve-se partir de (1), escrevendo:
De modo que, integrando em ambos os lados, obtém-se:
em que v0 = v(0). v0 = v(0). Integrando ambos os lados, o resultado é:
Logo,
A Equação (2) nos mostra que a relação entre a velocidade e o tempo é linear, 
de modo que o gráfico será uma reta, com a aceleração, a, desempenhando o 
papel da inclinação dessa reta, ou seja, se a > 0, a inclinação é positiva (Figura 
2a), mas se a < 0, a inclinação é negativa (Figura 2b).
Figura 2. Gráfico da velocidade versus tempo: (a) caso aceleração positiva; (b) caso ace-
leração negativa.
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Os gráficos da velocidade contra o tempo, mostrados na Figura 2, não partem da 
origem (0,0). Isso acontece porque o objeto cujo movimento está sendo representado 
já possui uma velocidade inicial, v
0
 ≠ 0. Você pode identificar essa velocidade a partir 
do gráfico, sempre no ponto onde a reta toca o eixo da velocidade. 
Posição
A posição da partícula pode ser determinada de maneira análoga à velocidade. 
Lembrando que a velocidade instantânea é a dada pela derivada da posição 
com respeito ao tempo:
Substituindo (3) em (2), obtemos:
sendo x0 = x(0).
No caso da posição, a relação com a variável tempo é quadrática, de modo 
que o seu gráfico será uma parábola, cuja concavidade muda de sentido de 
acordo com a aceleração. Se a aceleração é positiva, a concavidade do grá-
fico é voltada para cima, como mostrado na Figura 3a; caso seja negativa, a 
concavidade é voltada para baixo, como mostrado na Figura 3b.
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Figura 3. Gráfico da posição versus tempo: (a) caso aceleração positiva; (b) caso aceleração 
negativa. Nos casos representados, o objeto parte do repouso, ou seja, v
0
 = 0.
Equação de Torricelli
No caso em que não temos informações sobre o tempo transcorrido no mo-
vimento, existe a possibilidade de determinar a velocidade de uma partícula 
a partir da sua posição, caso seja conhecida. Para obtermos uma equação 
independente do tempo, podemos pensar em dividir a Equação (1) pela Equação 
(3), o que nos resulta em:
Mesmo sendo uma forma simplificada de obter a equação, a equação é 
válida. Então, resolvendo, temos esta equação diferencial separável:
que é conhecida como Equação de Torricelli. 
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Em uma estrada, um motorista dirige sempre na velocidade máxima permitida. Após 
passar por um trecho onde a velocidade máxima permitida era 50 km/h, ele acelera 
o carro, de maneira uniforme, até atingir 80 km/h, que é a nova velocidade máxima 
permitida indicada pela sinalização. 
Utilizando o computador de bordo do carro, o motorista pode determinar que a 
distância necessária para essa mudança de velocidade foi 160 m. Determine a aceleração 
do carro e o tempo necessário para atingir os 80 km/h.
Resposta
O primeiro passo é identificaras variáveis e transformar as velocidades para unidades 
do sistema internacional de unidades:
Como não temos o tempo percorrido, para determinar a aceleração, precisamos 
utilizar a Equação de Torricelli. 
Sendo ∆x = x – x
0
 = 180 m, a aceleração é:
Observe que a medida da velocidade é a que tem a menor precisão, dois algarismos 
significativos. Assim, o resultado da aceleração foi arredondado para 0,94 m/s². 
De posse da aceleração, podemos utilizar (2) para determinar o tempo:
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Na queda livre, temos somente a aceleração da gravidade; portanto, também é um 
MRUV. Suponha que uma bola cai da beira de uma janela, no segundo andar de um 
prédio, localizada a 4,2 m de altura do chão. 
Considerando que o movimento da bola até o chão foi de queda livre, determine a 
velocidade atingida pela bola no final do movimento e o tempo de queda.
Resposta 
Como o movimento é na vertical, o primeiro passo aqui é a definição do eixo y com 
sentido positivo sendo para baixo. Nesse caso, a aceleração da gravidade aponta no 
sentido positivo do eixo. Assim, as equações para a velocidade são:
em que h = y – y
0
. Observe que, se o sentido do eixo fosse o contrário, o sinal da 
aceleração mudaria, seria negativa. Como o objeto parte do repouso, a velocidade 
final atingida é:
O resultado da velocidade foi arredondado para 9,1 m/s, pois a medida da altura 
possui apenas dois algarismos significativos. 
Por fim, o tempo em segundos é:
Não esqueça de determinar o sentido do eixo. Lembre-se de que os eixos são in-
dependentes e de que, portanto, você pode determinar o sentido conforme achar 
conveniente. Mas muita atenção na escolha, pois o sentido do eixo determina o sinal 
da aceleração, como mencionado no exemplo acima.
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BEER, F. P.; RUSSEL, J.; CORNWELL, P. J. Mecânica vetorial para engenheiros: dinâmica. 9. 
ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
CHAVES, A.; SAMPAIO, J. F. Física básica: mecânica. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: mecânica. 10. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2016.
HIBBLER, R. C. Dinâmica: mecânica para engenharia. 10. ed. São Paulo: Pearson, 2005.
NUSSENZVEIG, M. H. Curso de física básica 1: mecânica. 4. ed. São Paulo: Blucher, 2002.
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros: mecânica. 6. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2017. 
DICA DO PROFESSOR
O movimento uniformemente variado está presente em várias situações do nosso cotidiano: no 
movimento de um carro a realizar uma viagem, no elevador ao subir e descer transportando 
pessoas entre andares de um edifício, entre tantos outros exemplos. 
Acompanhe, na Dica do Professor, as características do MRUV e saiba como são representados 
os gráficos das grandezas aceleração, velocidade e posição em função do tempo para esse tipo 
de movimento.
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EXERCÍCIOS
O movimento uniformemente variado está presente em uma simples viagem de carro, em 
que a velocidade do veículo varia ao longo do percurso. Um motorista que dirige entre duas 
cidades acelera seu carro de maneira uniforme em uma estrada. Qual dos gráficos a seguir 
poderia descrever a variação da velocidade desse carro em relação ao tempo?
1) 
A) I.
B) II.
C) III.
D) IV.
E) V.
2) A partir do gráfico da velocidade de uma partícula em função do tempo, podemos obter 
informações como a aceleração da partícula, por meio da inclinação da curva, e o espaço 
percorrido, pelo cálculo da área abaixo da curva. O gráfico a seguir representa a 
velocidade em função do tempo para um veículo que se move em uma trajetória retilínea. 
Em qual dos pontos indicados, a aceleração do veículo é positiva?
A) II e V.
B) II e III.
C) I e IV.
D) I e V.
E) IV e V.
3) Na análise do movimento das partículas, os gráficos da posição, da velocidade e da 
aceleração em função do tempo podem fornecer importantes informações sobre o 
movimento que a partícula executa. Os gráficos a seguir indicam posição em função do 
tempo para quatro MRUVs distintos.
 
Assinale a alternativa que ordena corretamente os valores de suas acelerações. 
A) II = IV < I < III.
B) III < I = II = IV.
C) I < II = III = IV.
D) II < IV < III < I.
E) IV = II < III < I.
4) Um ônibus espacial pode levar em torno de 8 minutos para, saindo do repouso, 
percorrer cerca de 400km e sair da atmosfera terrestre. O movimento real é muito 
complexo, mas suponha, para este exercício, que se trate de um MRUV. 
Assinale a alternativa que indica os valores da velocidade média desse movimento, da 
velocidade instantânea final e da aceleração.
A) 833, 3m/s, 1.666, 7m/s e 3, 47m/s2.
B) 800km/s, 1.666, 7m/s e 1, 74m/s2.
C) 1.666, 7m/s, 833, 3m/s e 3, 47m/s2.
D) 833, 3m/s, 800km/s e 1, 74m/s2.
E) 1.666, 7m/s, 833, 3m/s e 9, 8m/s2.
5) O físico Isaac Newton explicou, por meio da gravitação universal, que os corpos que 
têm massa se atraem de forma mútua. Com isso, pode-se entender o porquê de os 
objetos, quando próximos à superfície da Terra, caírem quando abandonados de uma 
altura h em relação ao solo. Veja a seguinte situação: considerando que a maior 
altura da ponte Rio-Niterói é 72m, suponha que uma pessoa deixe cair um objeto da 
ponte e que, 1s depois, um segundo objeto é lançado. Se os dois objetos chegam juntos 
na superfície do mar, com que velocidade o segundo objeto foi lançado?
A) 11,58m/s.
B) 7,0m/s.
C) 2,54m/s.
D) 15,43m/s.
E) 9,81m/s.
NA PRÁTICA
Acompanhe um exemplo prático dos movimentos com aceleração constante.
Um parâmetro muito usado para a medida da potência (ou o torque) de um carro é a rapidez com 
a qual ele acelera de 0 a 100km/h. Essa é, basicamente, uma medida de aceleração média, o 
conceito principal na descrição de um MRUV.
 
Se tivermos, por exemplo, um veículo que vai de 0 a 100km/h em 7s, temos uma aceleração 
média de:
Isso significa que um carro que mantivesse esse valor de aceleração em MRUV realizaria a 
mesma variação de velocidade no mesmo tempo.
A unidade de aceleração não é uma unidade de base do Sistema Internacional, o que significa 
que sua medida não é feita a partir de comparação direta com um padrão, como no caso de 
comprimentos.
Comumente, medidas de aceleração envolvem medidas de outras quantidades, como o 
deslocamento ou a variação de velocidade. Nesse caso, a própria medida de aceleração está 
supondo que, em um intervalo curto de tempo, tenha ocorrido um MRUV, assim como no caso 
dos carros descrito anteriormente. Essa observação salienta a importância de estudarmos 
movimentos com aceleração constante.
SAIBA +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Física I - Aula 4 - Cinemática escalar
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Física - V1 - Uma abordagem estratégica - Mecânica newtoniana, gravitação, oscilações e 
ondas
Saiba mais sobre o movimento em linha reta. O capítulo 2 do livro aborda as estratégias para a 
resolução de problemas que envolvam esse tipo de movimento.
Aceleração
O vídeo mostra um exemplo simples para a determinação da aceleração. Acompanhe.
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Movimento Uniformemente Variado
O vídeo mostra um exemplo simples do movimento uniformemente variado. Acompanhe.
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