AP2-2022-2_GABARITO

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Introdução à combinatória de contagem – 2/2022
Código da disciplina EAD01093
GABARITO
Nome: Matŕıcula:
Polo: Data:
Atenção!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando os
respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em
negrito) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
• Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a Prova, colocando Nome e Matŕıcula, Polo
e Data. • Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul
• É permitido o uso de calculadora, desde que não seja de ou preta para registro das resoluções nas Folhas de
telefone celular ou de qualquer outro aparelho que permita Respostas.
a conexão à internet. • As Folhas de Respostas serão o único material
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador. considerado para correção. Quaisquer anotações feitas
• Não amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, fora deste espaço,mesmo que em folha de rascunho,
pois isto pode invialbilizar a digitalização e a correção. serão ignoradas.
• Apresente o desenvolvimento de todas as respostas.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 1 A 4.
Um médico da UPA de Japeri tem 12 pacientes na sala de espera aguardando sua consulta, dos quais
2 estão tossindo muito. Determine o seguinte:
Questão 1 [1,0 pt] De quantas maneiras o médico pode selecionar 4 pacientes da sala de espera
para iniciarem a triagem de atendimento?
R: São 12 pacientes e deve-se selecionar 4 deles, onde a ordem não é importante. Portanto, são
C(12, 4) = 12!8!4! =
12.11.10.9.8!
8!(24) =
12.11.10.9
24 = 495
escolhas posśıveis.
Introdução à combinatória de contagem AP2 2
Questão 2 [1,0 pt] Quantas das escolhas da Questão 1 contêm 2 pacientes com tosse?
R: Para determinar o número das escolhas que contêm 2 pacientes com tosse, pode-se dividir a tarefa
em duas partes:
(a) Escolher 2 pacientes com tosse. Como há no total exatamente 2 pacientes com tosse, esta parte
pode ser feita de apenas 1 maneira.
(b) Escolher 2 pacientes sem tosse em um conjunto de 12 − 2 = 10 pacientes bons (sem tosse). Isto
pode ser feito de
C(10, 2) = 10!2!8! =
10.9.8!
8!(2) =
90
2 = 45
maneiras. Assim, usando o prinćıpio multiplicativo, há 1 × 45 = 45 escolhas com exatamente 2
pacientes com tosse.
Questão 3 [1,0 pt] Quantas das escolhas da Questão 1 contêm apenas 1 paciente com tosse?
R: Pode-se dividir a tarefa de realizar uma escolha com 3 pacientes bons e 1 com tosse em duas
partes:
(a) Escolher 1 paciente com tosse no conjunto de 2 pacientes com tosse. Isto pode ser feito de 2
maneiras distintas.
(b) Escolher 3 pacientes bons em um conjunto de 10 pacientes bons. Isto pode ser feito de
C(10, 3) = 10!3!7! =
10.9.8.7!
7!(6) =
10.9.8
6 = 120
maneiras distintas.
Assim, usando o prinćıpio multiplicativo, há 2 × 120 = 240 escolhas com 3 pacientes bons e 1 com
tosse.
Questão 4 [1,0 pt] Quantas das escolhas da Questão 1 contêm apenas pacientes bons (sem
tosse)?
R: Usando as informações já obtidas, tem-se: são 495 escolhas posśıveis para selecionar 4 pacientes
na sala espera. Entre essas, 45 escolhas têm 2 pacientes com tosse, 240 escolhas têm apenas 1
paciente com tosse. Subtraindo, tem-se
495 − 240 − 45 = 210
escolhas com os 4 pacientes bons (sem tosse).
Outra maneira de resolver: o número de escolhas de 4 pacientes bons no conjunto de 10 pacientes
sem tosse é
C(10, 4) = 10!4!6! =
10.9.8.7.6!
6!(24) =
10.9.8.7
24 = 210.
Questão 5 [3,0 pt] De quantas maneiras n casais podem formar uma roda de ciranda de modo
que cada homem permaneça ao lado de sua mulher?
R: Há (n − 1)! maneiras de formar uma roda com as n mulheres. Em seguida, para cada um dos
n maridos, há dois maneiras de entrar na roda: à direita ou à esquerda de sua esposa. Portanto,
pelo prinćıpio da multiplicação, há 2n(n−1)! maneiras de n casais formarem uma roda de modo que
cada marido esteja ao lado de sua esposa.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Introdução à combinatória de contagem AP2 3
Questão 6 [3,0 pt] Determine a expansão de (a − 1)4.
R: Observa-se que é posśıvel tratar o caso geral (x − y)n como (x + (−y))n. Nesse caso, pelo
Teorema Binomial, tem-se que
(a − 1)4 = C(4, 0)a4 + C(4, 1)a3(−1)1 + C(4, 2)a2(−1)2 + C(4, 3)a1(−1)3 + C(4, 4)(−1)4
= a4 + 4a3(−1) + 6a2(1) + 4a(−1) + 1
= a4 − 4a3 + 6a2 − 4a + 1.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ