EXERCÍCIOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

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EXERCÍCIOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (ODE). 
1.- Determine a ordem e o grau das seguintes equações diferenciais 
ordinárias (EDO). 
1) 
𝑑2𝑄
𝑑𝑡2
+ 𝑅
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+
𝑄
𝐶
= 0 → É um EDO de segunda ordem e de primeiro grau. 
2) (
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
)
4
− (
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
)
5
+ 𝑦 = 0 → É um EDO de terceira ordem e é de quarto 
grau. 
2.- Verifique se as seguintes funções (explícitas ou implícitas) são soluções 
das equações diferenciais correspondentes: 
3) 𝑦 = 𝑥2 + 𝑐 → ¿𝑦´ = 2𝑥? 
 𝑦´ = 2𝑥 2𝑥 = 2𝑥 
 
4) 𝑦2 = 𝑒2𝑥 + 𝑐 → ¿ 𝑦𝑦´ = 𝑒2𝑥 ? 
 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 = 𝑒2𝑥 
 2𝑦𝑦´ = 2𝑒2𝑥 
 𝑦𝑦´ = 𝑒2𝑥 
 
5) 𝑦 = 𝐶1 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝐶2 cos 2𝑥 → ¿ 𝑦´´ + 4𝑦 = 0 ? 
 𝑦´ = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠2𝑥 . 2 − 𝐶2 𝑠𝑒𝑛2𝑥 . 2 −4𝑦 + 4𝑦 = 0 
 𝑦´´ = −4 𝐶1 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 4 𝐶2 𝑐𝑜𝑠2𝑥 0 = 0 
 𝑦´´ = −4 (𝐶1 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝐶2 cos 2𝑥 ) 
 
3.- Encontre a solução geral de cada uma dessas equações diferenciais. 
6) 𝑦´ 𝑠𝑒𝑛𝑦 = 𝑥2 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑦 = 𝑥2 
 𝑆𝑒𝑛 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑥2 𝑑𝑥 
 ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 
 −𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑐 =
𝑥3
3
+ 𝑐 
 −𝑐𝑜𝑠𝑦 =
𝑥3
3
+ 𝑐 
 
7) 𝑦´ 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 1 
 𝑦´ =
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥 
 𝑑𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 
 ∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑑𝑥 
 𝑦 = − ln(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝑐𝑡𝑔𝑥) + 𝑐 
 
8) 𝑦´ − 𝑦 𝑡𝑔𝑥 = 0 
 𝑦´ = 𝑦 𝑡𝑔𝑥 
 
𝑦´
𝑦
= 𝑡𝑔𝑥 
 ∫
𝑑𝑦
𝑦
= ∫ 𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥 
 ln 𝑦 + 𝑐 = − ln(𝑠𝑒𝑐𝑥) + 𝑐 
 ln 𝑦 = − ln(𝑠𝑒𝑐𝑥) + 𝑐 
 𝑒ln 𝑦 = 𝑒− ln(𝑠𝑒𝑐𝑥) 𝑒𝑐 
 𝑦 = 𝑒−ln (sec 𝑥). 𝑐 
 𝑦 = −𝑠𝑒𝑐𝑥 . 𝑐 
 
4.- Para cada uma das seguintes equações diferenciais, encontre a solução 
particular que satisfaz a condição inicial dada. 
9) 𝑦´ = 𝑥𝑒𝑥 , 𝑦 = 3 quando 𝑥 = 1; 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥𝑒𝑥 
 ∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥 
 𝑦 = ∫ 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥 
 𝑢. 𝑣 = ∫ 𝑣 𝑑𝑢 
 𝑢 = 𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
 
∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 
 𝑣 = 𝑒𝑥 
 
 𝑦 = 𝑥 . 𝑒𝑥 − ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 
 𝑦 = 𝑥 . 𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝑐 
 𝑦 = 𝑒𝑥(𝑥 − 1) + 𝑐 
 3 → 𝑦 = 𝑒𝑥(𝑥 − 1) + 3 
 
5.- Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias 
* Ejercicio. (1 + 𝑥2)𝑦´ = 1 + 𝑦2 
 (1 + 𝑥2)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1 + 𝑦2 
 
𝑑𝑦
1+𝑦2
=
𝑑𝑥
1+𝑥2
 
 ∫
𝑑𝑦
1+𝑦2
= ∫
𝑑𝑥
1+𝑥2
 
 ∫
𝑑𝑦
1+𝑦2
− ∫
𝑑𝑥
1+𝑥2
= 0 
 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦 − 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 = 𝑐 
 
10) 2𝑦 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑒𝑥+𝑦
2
 , 𝑦 (4) = −2 
 2𝑦 𝑑𝑦 = 𝑒𝑥 . 𝑒𝑦
2
 𝑑𝑥 
 
2𝑦 𝑑𝑦
𝑒𝑦
2 = 𝑒
𝑥𝑑𝑥 
𝑦2 = 𝑢 
2𝑦 𝑑𝑦 = 𝑑𝑢 
 ∫
𝑑𝑢
𝑒𝑢
= ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 
 ∫ 𝑒−𝑢 𝑑𝑢 = ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 
 −𝑒−𝑢 + 𝑐 = 𝑒𝑥 + 𝑐 
 −𝑒−𝑦
2
= 𝑒𝑥 + 𝑐 
 −𝑒−2
2
= 𝑒4 − (𝑒4 + 𝑒4) 
 
 
11) Considere a equação diferencial: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦(𝑦 − 2)
2𝑥 − 1
 
a) Encontre a solução geral. 
∫
𝑑𝑦
𝑦 (𝑦 − 2)
= ∫
𝑑𝑥
2𝑥 − 1
 
1
2
∫ (
1
𝑦 − 2
− 
1
𝑦
) 𝑑𝑦 =
1
2
∫
2𝑑𝑥
2𝑥 − 1
 
𝑐 + (ln |𝑦 − 2| − ln |𝑦|) = ln|2𝑥 − 1| + 𝑐 
𝑒
𝑙𝑛|
𝑦−2
𝑦
|
+ 𝑐 = 𝑒𝑙𝑛|2𝑥−1| + 𝑒𝑐 
𝑦 − 2
𝑦
= (2𝑥 − 1) . 𝑐 
 
b) Encontre a solução particular que verifica 𝑦 (
3
4
) = 4 
𝑦 (
3
4
) = 4 → 
4 − 2
4
= 𝑐 (2
3
4
− 1) 
 
1
2
=
𝑐
2
→ 𝑐 = 1 
𝑦 − 2
𝑦
= 2𝑥 − 1 
 
6.- Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas. 
12) 
 𝑦´ = 2 (
𝑦
𝑥
) + (
𝑦
𝑥
)
2
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑦
𝑥
+
𝑦2
𝑥2
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑦𝑥 + 𝑦2
𝑥2
 
 𝑥2𝑑𝑦 − (2𝑦𝑥 + 𝑦2)𝑑𝑥 = 0 
𝑦 = 𝑢𝑥 
𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 
 𝑥2(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) − (2𝑥(𝑢𝑥) + (𝑥𝑢)2𝑑𝑥 = 0 
 𝑥2𝑢𝑑𝑥 + 𝑥3𝑑𝑢 − (2𝑥2𝑢 + 𝑢2𝑥2)𝑑𝑥 = 0 
𝑥2 𝑢 𝑑𝑥 + 𝑥3 𝑑𝑢 − 2𝑥2𝑢 𝑑𝑥 − 𝑢2 𝑥2 𝑑𝑥 = 0 
 𝑥3 𝑑𝑢 − 𝑥2 𝑢𝑑𝑥 − 𝑢2 𝑥2 𝑑𝑥 = 0 
 𝑥3𝑑𝑢 = 𝑢2𝑥2𝑑𝑥 + 𝑢𝑥2𝑑𝑥 
𝑑𝑢
𝑢2 + 𝑢
=
𝑑𝑥
𝑥
 
∫ (
1
𝑢
−
1
𝑢 + 1
) 𝑑𝑢 = ∫ (
𝑑𝑥
𝑥
) 
𝑙𝑛 (𝑢) − ln(𝑢 + 1) = ln( 𝑥) + 𝑐 
𝑒𝑙𝑛 
𝑢
𝑢+1 = 𝑒ln 𝑥+𝑐 
𝑢
𝑢+1
= 𝑥. 𝑐 
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥 + 1
 = 𝑥𝑐 
𝑦𝑥
𝑥(𝑦 + 𝑥)
= 𝑥𝑐 
 𝑐 =
𝑦
𝑥(𝑦+𝑥)
 
 
13) (𝑥 − √𝑥𝑦)𝑦´ = 𝑦 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦
𝑥 − √𝑥𝑦
 
𝑥 = 𝑢𝑦 
𝑑𝑥 = 𝑢𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑢 
 (𝑥 − √𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 𝑦 𝑑𝑥 
 −𝑦 𝑑𝑥 + (𝑥 − √𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0 
−𝑦(𝑢 𝑑𝑦 + 𝑦 𝑑𝑢) + (𝑢𝑦 − √𝑢𝑦2) 𝑑𝑦 = 0 
−𝑦2 𝑑𝑢 − 𝑢𝑦 𝑑𝑦 + 𝑢𝑦 𝑑𝑦 − √𝑢𝑦2𝑑𝑦 = 0 
 −𝑦2 𝑑𝑢 = √𝑢𝑦2 𝑑𝑦 
 − ∫
𝑑𝑢
√𝑢
= ∫
𝑑𝑦
𝑦
 
 − ∫ 𝑢
−
1
2 𝑑𝑢 = ln 𝑦 + 𝑐 
 − 
𝑢
1
2
1
2
 = 𝑙𝑛 𝑦 + 𝑐 
 −2 𝑢
1
2 = 𝑙𝑛 𝑦 + 𝑐 
 𝑒−2
√
𝑥
𝑦
= 𝑦. 𝑐 
7.- Equações diferenciais redutíveis a homogêneas. 
14) 
(𝑥 − 4𝑦 − 9) 𝑑𝑥 + (4𝑥 + 𝑦 − 2) 𝑑𝑦 = 0 
 𝑆𝑒𝑟 𝐿1 ∶ 𝑥 − 4𝑦 − 9 = 0 ^ 𝐿2: 4𝑥 + 𝑦 − 2 = 0, 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝐿1 ⧺ 𝐿2 
→ E para isso resolvemos o sistema: 
 𝑥 − 4𝑦 − 9 = 0 
 → 𝒙 = 𝟏, 𝒚 = −𝟐, 𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑑𝑖𝑧𝑒𝑟 𝑃(1, −2) 
 4𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 
𝑁ó𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥 = 𝑧 + ℎ, 𝑦 = ѡ + 𝑘 𝑑𝑒 𝑜𝑛𝑑𝑒. 
𝑥 = 𝑧 + 1 , 𝑦 = ѡ − 2 , 𝑎𝑙é𝑚 𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑥 = 𝑑𝑧 , 𝑑𝑦 = 𝑑ѡ 
𝑆𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢í𝑚𝑜𝑠 𝑛𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑎𝑑𝑎: (𝑧 − 4ѡ)𝑑𝑧 + (4𝑧 + ѡ)𝑑ѡ = 0. . 𝟏 
𝑂 𝑞𝑢𝑒 é 𝑢𝑚𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔ê𝑛𝑒𝑎 
𝑆𝑒𝑎 𝑧 = 𝑢ѡ → 𝑑𝑧 = 𝑢𝑑ѡ + 𝑢𝑑ѡ 
𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 (2)𝑦 (1) 𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
(𝑢2 + 1) 𝑑ѡ + (𝑢 − 4)𝑢𝑑ѡ = 0, 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 
𝑑ѡ
ѡ
+
𝑢 − 4
𝑢1 + 1
 𝑑𝑢 = 0 𝑖𝑛𝑡𝑔𝑟 
∫
𝑑ѡ
ѡ
+ ∫
𝑢 − 4
𝑢2 + 1
 𝑑𝑢 = 𝐶 → ln ѡ2(𝑢2 + 1) − 8 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑢 = 𝑘 
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑧 = 𝑢 ѡ → 𝑢 =
𝑧
ѡ
=
𝑥 − 1
𝑦 + 2
 𝑆𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑚 (3) 
ln[(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 2)2] − 8 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔 (
𝑥 − 1
𝑦 + 2
) = 𝑘 
8.- Resolva as seguintes equações diferenciais com o método exato 
descrito acima. 
15) 
 2𝑥𝑦3 + 3𝑥2𝑦2𝑦´ = 0 𝑦(1) = 1 
2𝑥𝑦3 + 3𝑥2𝑦2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0 
3𝑥2𝑦2 𝑑𝑦 + 2𝑥𝑦3 𝑑𝑥 = 0 
𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑠𝑒 é 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠𝑜. 
𝑀𝑦 = 6𝑥𝑦2 
𝑁𝑥 = 6𝑥𝑦2 
𝐸𝑙𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎: 
∫ 2𝑥𝑦3 𝑑𝑥 = 2𝑦3 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 
= 2𝑦3 
𝑥2
2
= 𝑥2 𝑦3 + 𝑔(𝑦) 
 
= 𝑥2 𝑦3 + 𝑔(𝑦) 
 𝐹(𝑦) = 3𝑥2 𝑦2 + 𝑔´(𝑦) = 3𝑥2𝑦2 
 
∫ 𝑔´(𝑦) = ∫ 0 
 𝑔(𝑦) = 0 
 
𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦3 + 0 
𝐶 = 𝑥2𝑦3 
𝑪 = (1)2 . (1)3 
1 = 𝐶 
1 = 𝑥2𝑦3 
 
16) 
 3𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 2(𝑦 + 𝑥2) 𝑦´ = 0 𝑦(0) = 1 
3𝑥2 + 4𝑥 𝑦 + 2(𝑦 + 𝑥2) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0 
(3𝑥2 + 4𝑥𝑦) 𝑑𝑥 + 2(𝑦 + 𝑥2) 𝑑𝑦 = 0 
𝑀𝑦 = 4𝑥 
𝑁𝑥 = 4𝑥 
 
= ∫(2𝑦 + 2𝑥2) 𝑑𝑦 
= ∫ 2𝑦 𝑑𝑦 + ∫ 2𝑥2 𝑑𝑦 
=
2𝑦2
2
+ 2𝑥2 𝑦 + 𝑔(𝑥) 
= 𝑦2 + 2𝑥2𝑦 + 𝑔(𝑥) 
 
𝐹(𝑥) = 4 𝑥 𝑦 + 𝑔´(𝑥)= 3𝑥2 + 4𝑥𝑦 
 ∫ 𝑔´(𝑥) = ∫ 3𝑥2 
 𝑔(𝑥) = 𝑥3 
 
𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑦2 + 2𝑥2𝑦 + 𝑥3 
 𝐶 = 𝑦2 + 2𝑥2 𝑦 + 𝑥3 
 𝐶 = 12 + 2(0)2 (1) + (0)3 
 𝐶 = 1 
1 = 𝑦2 + 2𝑥2 𝑦 + 𝑥3 
 
17) 
(3𝑥2 − 2𝑥 − 𝑦) 𝑑𝑥 + (2𝑦 − 𝑥 + 3𝑦2) 𝑑𝑦 = 0 
𝑀𝑦 = −1 
𝑁𝑥 = −1 
∫(2𝑦 − 𝑥 + 3𝑦2) 𝑑𝑦 
𝑦2 − 𝑥𝑦 + 𝑦3 + 𝑔(𝑥) 
 
 𝑓(𝑥) = −𝑦 + 𝑔´(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑥 − 𝑦 
 
 𝑔´(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑥 
 ∫ 𝑔´(𝑥) = ∫ 3𝑥2 − ∫ 2𝑥 
 𝑔(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 
 
𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑦2 − 𝑥𝑦 + 𝑦3 + 𝑥3 − 𝑥2 
𝐶 = 𝑦2 − 𝑥𝑦 + 𝑦3 + 𝑥3 − 𝑥2. 
 
9.- Modelo populacional – população de bactérias. 
18) A população de uma determinada colônia de bactérias é 1.000. Se o número 
de bactérias dobrar em 1 hora, calcule. 
- O valor da constante K. 
𝑃(𝑡) = 𝑃0 𝑒
𝑘𝑡 𝑃0 = 1000 
𝑃(1) = 1000 𝑒𝑘(1) = 2000 𝑃(1) = 2000 
𝑒𝑘 =
2000
1000
= 2 
𝐾 = ln 2 
- A população que existirá depois de uma hora e meia (desde o início). 
𝑃(𝑡) = 1000 𝑒(ln 2) 𝑡 
𝑃(1.5) = 1000 𝑒(ln 2) (1.5) 
𝑃(1.5) = 1000 𝑒1.0397 
𝑃(1.5) = 1000 (2.8283) 
𝑃(1.5) = 2828.3 
𝑃(1.5) = 2828 
- Em que ponto a população é de 4.000 bactérias? 
𝑃(𝑡) = 1000 𝑒(ln 2) 𝑡 
𝑃(𝑡) = 1000 𝑒(ln 2) 𝑡 = 4000 
 𝑒(ln 2) =
4000
1000
 
 𝑒(ln 2) 𝑡 = 4 
 (ln 2) 𝑡 = ln 4