Lista Davi

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Sejam 𝑃 = {2,4,6,8,10,…} o conjunto dos pares positivos, 𝐼 = {1,3,5,7,9,…} o conjunto dos 
ímpares positivos e ℕ o conjunto dos números naturais. Considere as sentenças: 
1. ∀𝑝 ∈ 𝑃, ∃𝑛 ∈ ℕ;𝑛 divide 𝑝 
Para todo p pertencente ao conjunto P existe pelo menos um n pertencente ao conjunto dos 
números naturais (ℕ) tal que n divide p. Essa sentença é verdadeira. Pelo fato de n dividir p 
temos que 𝑁 = 𝐷𝑞+ 𝑟,  sendo 𝑟 = 0,onde N é dividendo, d é divisor, q é quociente, r é o resto 
da divisão, sendo N, d, q, r pertencentes ao conjunto dos números naturais. Então 𝑝 = 𝑛𝑞  e 
isso só ocorre quando ou 𝑞 = 1⟹ 𝑝 = 𝑛 ou 𝑛 = 1⟹ 𝑝 = 𝑞 . 𝑛 = 1 ⟹ 𝑝 = 𝑞 
 
2. ∃𝑝 ∈ 𝑃;∀𝑛 ∈ ℕ,  𝑛 divide 𝑝 
Existe p pertencente ao conjunto P tal que para todo n pertencente ao conjunto dos números 
naturais n divide p. Essa sentença é falsa, pois ela afirma que para todo n pertencente ao 
conjunto dos números naturais n divide p. E a negação de para todo é pelo menos um caso não 
ser verdadeiro, ou seja, basta mostrar um exemplo onde n não divide p. Exemplo a divisão de 
2 por 3 que resulta em um número não inteiro. 
 
3. ∀𝑝 ∈ 𝑃, ∃𝑖 ∈ 𝐼; 𝑖 divide 𝑝  
Para todo p pertencente ao conjunto P existe pelo menos um i pertencente ao conjunto I tal que 
i divide p. Essa sentença é verdadeira, pois 1 pertence ao conjunto I e 1 divide todos os 
números, ou seja
2𝑛
1
= 2𝑛. 
 
4. ∃𝑖 ∈ 𝐼,∃𝑛 ∈ ℕ;𝑛 divide 𝑖 
Existe pelo menos um i pertencente ao conjunto I e existe pelo menos um n pertencente ao 
conjunto dos números naturais tal que n divide i. Essa sentença é verdadeira, pois se 𝑖 = 𝑛 temos 
𝑛
𝑛
=
𝑖
𝑖
= 1 ou se i é múltiplo de n, então a divisão sempre será inteira. 
 
5. ∃𝑖 ∈ 𝐼;∀𝑛 ∈ ℕ,  𝑛 divide 𝑖 
Existe pelo menos um i pertencente ao conjunto I tal que para todo n pertencente ao conjunto 
dos números naturais, n divide i. Essa sentença é falsa, pois caso n seja ímpar e maior do que i 
temos que o resultado da divisão não será inteiro ou caso n seja par, temos que o resultado 
também será um número não inteiro. Portanto fere a definição. 
 
6. ∃𝑖 ∈ 𝐼;∃𝑝 ∈ ℕ;𝑝 divide 𝑖 
Essa afirmação é verdadeira, pois como p pertence ao conjunto dos números naturais então 
sempre que p for ímpar e submúltiplo de i então 
𝑖
𝑝
 será inteira. 
Agora, caso o enunciado correto seja: ∃𝑖 ∈ 𝐼;∃𝑝 ∈ 𝑃;𝑝 divide 𝑖 ou seja, existe pelo menos um i 
pertencente ao conjunto I para todo n pertencente ao conjunto P tal que n divide i. Então a 
sentença seria falsa. Pois os números ímpares são escritos na forma 2n-1 e sabe-se pelo item 1 
que 
2𝑛−1
2𝑛
 só será divisão inteira se 𝑛 = 1, caso 𝑛 > 1  o resultado da divisão será maior do que 
0, menor que 1 e não inteira. 
 
7. ∀𝑛 ∈ ℕ,∃𝑝 ∈ 𝑃;𝑝 divide 𝑛 
Para todo n pertencente ao conjunto dos números naturais existe pelo menos um p pertencente 
ao conjunto P tal que p divide n. Essa afirmação é falsa, pois n pode ser par ou ímpar. Se n for 
par, então 2 divide n, mas se n for ímpar então pelo item 1, 
2𝑛−1 
2𝑛
 só será divisão inteira se 𝑛 =
1, caso 𝑛 > 1 o resultado da divisão será maior do que 0, menor que 1 e não inteira. 
 
8. ∀𝑛 ∈ ℕ,∃𝑖 ∈ 𝐼; 𝑖 divide 𝑛 
Para todo n pertencente ao conjunto dos números naturais existe pelo menos um i pertencente 
ao conjunto I tal que p divide n. Essa afirmação é verdadeira, pois independe de n ser ímpar ou 
par, por i pode ser 1 vai existir pelo menos um i que divide qualquer n, por razão de 1 ser 
submúltiplo de todos os números em questão.