Lista_02_metodosestatisticos

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Disciplina: Métodos Estatísticos em Climatologia 
 
Segunda lista de exercício 
 
1) Com os dados climáticos do mês de junho (Tabela 1) de Guayaquil, Equador, do período 
de 1951 a 1970, calcule: as matrizes de covariância e de correlação, os coeficientes de 
determinação entre temperatura e precipitação, temperatura e pressão e precipitação e 
pressão. Em seguida estime o as variâncias explicadas em cada uma dessas relações. 
Tabela 1 
Ano Temperatura (C) Precipitação (mm) Pressão (hPa) 
1951 26,1 43 1009,5 
1952 24,5 10 1010,9 
1953 24,8 04 1010,7 
1954 24,5 00 1011,2 
1955 24,1 02 1011,9 
1956 24,3 00 1011,2 
1957 26,4 31 1009,3 
1958 24,9 00 1011,1 
1959 23,7 00 1012,0 
1960 23,5 00 1011,4 
1961 24,0 02 1010,9 
1962 24,1 03 1011,5 
1963 23,7 00 1011,0 
1964 24,3 04 1011,2 
1965 26,6 15 1009,9 
1966 24,6 02 1012,5 
1967 24,8 00 1011,1 
1968 24,4 01 1011,8 
1969 26,8 127 1009,3 
1970 25,2 02 1010,6 
 
 
 
2) Defina: 
Matriz de Correlação: 
 
 
 Temperatura(°C) Precipitação (mm) Pressão (hPa) 
Temperatura (°C) 1 
Precipitação (mm) 0,704929566 1 
Pressão (hPa) -0,830451598 -0,679146576 1 
 
Matriz de Covariância: 
 
 
 Temperatura(°C) Precipitação(mm) Pressão (hPa) 
Temperatura (°C) 0,912275 
Precipitação (mm) 19,18075 811,5475 
Pressão (hPa) -0,68025 -16,5925 0,7355 
 
 
Relação r Covariância % 
Temp e Precipitação 0,704929566 19,1808 0,4969 49,69 
Temp e Pressão -0,830451598 -0,6803 0,6896 68,96 
Precipitação e Pressão -0,679146576 -16,5925 0,4612 46,12 
 
a) matriz, vetor coluna e vetor linha; 
A matriz é uma tabela de “m” linhas e “n” coluna utilizadas para solução de sistemas de equações 
lineares e etc. O vetor coluna é toda matriz que possui apenas uma coluna e o número de linhas é 
independente, ou seja, uma matriz de ordem n×1. Já o vetor linha é toda matriz que possui apenas 
uma linha e o número de colunas é independente, ou seja, matriz de ordem 1×n. 
b) espaço vetorial e produto interno; 
Espaço vetorial denomina-se espaço vetorial qualquer conjunto V, não vazio, que obedeça às 
seguintes condições. 
I – Existe uma adição: (u, v) ➔ u + v V com as seguintes propriedades Comutativa e 
Associativa respectivamente. 
a) u + v = v + u, u,v V 
b) u + (v + w) = (u + v) + w, u, v, w V. 
c) Existe um elemento neutro 0 V tal que: u+0 = u, u V. 
d) Para todo elemento u V, existe o oposto (simétrico) (-u) V tal que: u+(-u) = 0. 
II – Está definição uma multiplicação de: R x V ➔ V. 
 (α, u) ➔ αu. 
Satisfazendo as seguintes condições: 
a) α (βu) = (αβ) u 
b) (α + β) u = αu + βu 
c) α (u +v) = αu + αv 
d) 1u = u 
Para u, v V e α, β R. 
Produto Interno é uma função de dois vetores que satisfaz determinados axiomas, por exemplo, o 
axioma de simetria que diz: (u, v) = (v, u). O produto escalar, comumente usados na geometria 
euclidiana, é um caso especial de produto interno. 
c) dependência e independência linear; 
Dependência linear refere-se à análise da existência ou não de uma relação linear entre as filas 
dessa matriz. Já os vetores linearmente dependentes são vetores paralelos. 
Independência linear trata-se de um conjunto S de vetores onde nenhum dos seus elementos é 
combinação linear dos outros. Vetores linearmente independentes são vetores não paralelos 
e) combinação linear, matriz quadrada, matriz simétrica, matriz diagonal, matriz 
identidade, matriz transposta, matriz inversa, matriz não-singular, matriz positiva definida, 
matriz, matriz ortogonal, matriz ortonormal, matriz de correlação, traço e ordem da 
matriz, autovalor e autovetor; 
Combinação linear é uma expressão formulada a partir de um conjunto de termos multiplicando-
se cada um deles por uma constante e somando os resultados (por exemplo, uma combinação 
linear de x e y seria uma expressão do tipo ax + by, em que a e b são constantes). Autovalor 
representa a variância total explicada por cada fator. O escalar λ é denominado um autovalor de T 
associado a v. Pode-se concluir que v e T(v) são paralelos. Autovetor ou vetor próprio representa 
uma direção que é preservada por uma transformação linear. 
T:V → V, onde V é um espaço vetorial qualquer. 
Um vetor não nulo v em V é dito um autovetor de T se existe um número real λ tal que 
T(v) = λ v 
Matriz quadrada é quando a matriz tem o mesmo número de linhas e colunas (m=n). 
Matriz simétrica é quando a matriz é igual a transposta. 
Matriz diagonal é quando matriz quadrada que a somente a diagonal principal não é zero. 
Matriz identidade é quando matriz quadrada onde a diagonal principal tem elementos igual a 1, e 
todos os outros elementos são iguais a zero. 
Matriz transposta é quando para transformarmos uma matriz em matriz transposta, basta trocar os 
elementos das linhas pelo das colunas e vice-versa. 
Matriz inversa é dada a matriz A, a sua matriz inversa, designada por A-1 é uma matriz tal que A-
1A= I = A A-1 
Matriz não-singular ela exige que o determinante não seja nulo. 
Matriz positiva definida é uma matriz real M de ordem n × n é definida positiva se zTMz > 0 para 
todos os vetores não-nulos z com entradas reais (isto é), em que zT denota o transposto de z. 
Matriz ortogonal: é quando uma matriz quadrada A, inversível, é ortogonal se, e somente se, A-1 
= AT. 
Matriz ortonormal o seu vetor coluna forma uma base ortonormal de que é, o produto escalar 
entre dois vetores coluna qualquer for zero (ortogonalidade) e o produto escalar de um vetor 
coluna com ele mesmo for unitário (normalização). 
Matriz de correlação é uma matriz quadrada, simétrica, cuja diagonal é formada pela unidade, 
pois se trata da correlação da variável com ela mesma, e em cada interseção linha (i) coluna (j) há 
correlação das variáveis Xi e Xj. 
Traço: Soma dos elementos da diagonal principal. 
Ordem da matriz: Se a matriz A tem m linhas e n colunas, m x n. 
3) Dada a matriz A, de ordem n=4, calcule os autovalores e autovetores e escreva o sistema 
de combinações lineares, AE=E. Utilize o SPSS para confrontar os resultados obtidos. 
 
1 2 0 3
6 1 3 5
0 7 2 2
1 7 3 9
A
 
 
 =
 
 
 
 
 
Autovetores 
0,2332 -0,1425 -0,3207+0,2799i -0,3207-0,2799 
0,4591 0,6939 -0,0229+0,2740i -0,0229-0,2740i 
0,3694 -0,6777 0,7797 0,7797 
0,7736 -0,1974 -0,1738-0,3242i -0,1738+0,3242i 
 
Autovalores 
14,8879 0 0 0 
0 -4,5844 0 0 
0 0 1,3438+1,6282i 0 
0 0 0 1,3483-1,6282i 
 
Raízes ([-1 -13 -36 138 -305]) 
14,8879 
-4,5844 
1,3483 – 1,6282i 
1,3483 – 1,6282i 
4) Calcule o determinante, os autovalores e autovetores das matrizes abaixo. Faça as contas 
à mão e no SPSS. 
 
1 0
1 3
A
 
 
 
= 
1 2 0
2 5 0
0 0 2
B
 
 
 
 
 
−
= − 
4 0 1
2 1 0
2 0 1
C
 
 
 
 
 
= −
−
 
2 0 1
6 2 0
19 5 4
D
 
 
 
 
 
−
= − − 
1 2 0
1 2 4
1 1 2
E
 
 
 
 
 
= − 
 
5) Porque algumas vezes, no estudo de ACP, é necessário efetuar a rotação das 
componentes principais? Na sua resposta dê um exemplo gráfico de rotação ortogonal. 
É indispensável efetuar rotação dos fatores para permitir encontrar uma matriz de pesos 
facilmente interpretados. Depois de efetuada a rotação torna-se mais simples identificar e 
interpretar cada fator (componente principal). 
 
Figura 1 – Rotação fatorial ortagonal (Hair et al., 2009). 
6) Quais os objetivos da Análise de Componentes Principais e da Análise de 
Agrupamentos? 
O objetivo da Análise de Componentes Principais é obtenção de um pequeno número de 
combinações lineares (componentes principais) de um conjunto de variáveis que retenham quase 
que completas as informações contida nas variáveis originais. O objetivo de análise de 
agrupamento é agrupar elementos da amostra em grupos (grupos homogêneos porem diferentes 
entre si.) 
7) Qual é a função do dendrograma ou diagrama de árvore? 
Dendrograma (diagrama de árvore) é um tipoespecífico de diagrama ou representação icónica 
que organiza determinados fatores e variáveis. Resulta de uma análise estatística de determinados 
dados, em que se emprega um método quantitativo que leva a agrupamentos e à sua ordenação 
hierárquica ascendente - o que em termos gráficos se assemelha aos ramos de uma árvore que se 
vão dividindo noutros sucessivamente. Isto é, ilustra o arranjo de agrupamentos derivado da 
aplicação de um "algoritmo de clustering" (agrupamento). 
 
8) Dada a Tabela 2 abaixo, pede-se: 
Tabela 2 - Temperaturas médias mensais (F) e totais mensais precipitados (pol) para postos 
situados em três regiões dos EUA 
Estação Temperatura (F) Precipitação (pol) 
Athens 79,2 5,18 
Atlanta 78,6 4,73 
Augusta 80,6 4,40 
Gainesville 80,8 6,99 
Huntsville 79,3 5,05 
Jacksonville 81,3 6,54 
Macon 81,4 4,46 
Montgomery 81,7 4,78 
Pensacola 82,3 7,18 
Savannah 81,2 7,37 
Concordia 79,0 3,37 
Des Moines 76,3 3,22 
Dodge City 80,0 3,08 
Kansas 78,5 4,35 
Lincoln 77,6 3,20 
Springfield 78,0 3,58 
St. Louis 78,9 3,63 
Topeka 78,6 4,04 
Wichita 81,4 3,62 
Albany 71,4 3,00 
Binghamton 68,9 3,48 
Boston 73,5 2,68 
Bridgeport 74,0 3,46 
Burlington 69,6 3,43 
Hartford 73,4 3,09 
Portland 68,1 2,83 
Providence 72,5 3,01 
Worcester 69,9 3,58 
 
a) o gráfico de dispersão da precipitação padronizada (eixo vertical) versus a temperatura 
padronizada (eixo horizontal); 
 
Temperatura (F) Desvio Desvio² Padronizada 
79,2 2,2 4,84 0,508455779 Média 77 
78,6 1,6 2,56 0,369786021 Variância 18,72143 
80,6 3,6 12,96 0,832018548 Desvio padrão 4,326827 
80,8 3,8 14,44 0,878241801 
79,3 2,3 5,29 0,531567406 
81,3 4,3 18,49 0,993799933 
81,4 4,4 19,36 1,016911559 
81,7 4,7 22,09 1,086246438 
82,3 5,3 28,09 1,224916196 
81,2 4,2 17,64 0,970688306 
79 2 4 0,462232527 
76,3 -0,7 0,49 -0,161781384 
80 3 9 0,69334879 
78,5 1,5 2,25 0,346674395 
77,6 0,6 0,36 0,138669758 
78 1 1 0,231116263 
78,9 1,9 3,61 0,4391209 
78,6 1,6 2,56 0,369786021 
81,4 4,4 19,36 1,016911559 
71,4 -5,6 31,36 -1,294251075 
68,9 -8,1 65,61 -1,872041733 
73,5 -3,5 12,25 -0,808906922 
74 -3 9 -0,69334879 
69,6 -7,4 54,76 -1,710260349 
73,4 -3,6 12,96 -0,832018548 
68,1 -8,9 79,21 -2,056934744 
72,5 -4,5 20,25 -1,040023185 
69,9 -7,1 50,41 -1,6409254 
 
 
 
 
 
Precipitação (pol) Desvio Desvio² Padronizada 
5,18 0,989642857 0,979393 0,741244639 Média 4,190357 
4,73 0,539642857 0,291214 0,404193666 Variância 1,782518 
4,4 0,209642857 0,04395 0,157022953 Desvio Padrão 1,33511 
6,99 2,799642857 7,838 2,096938551 
5,05 0,859642857 0,738986 0,643874358 
6,54 2,349642857 5,520822 1,759887578 
4,46 0,269642857 0,072707 0,201963083 
4,78 0,589642857 0,347679 0,441643774 
7,18 2,989642857 8,937964 2,239248962 
7,37 3,179642857 10,11013 2,381559372 
3,37 -0,820357143 0,672986 -0,614449273 
3,22 -0,970357143 0,941593 -0,726799597 
3,08 -1,110357143 1,232893 -0,8316599 
4,35 0,159642857 0,025486 0,119572845 
3,2 -0,990357143 0,980807 -0,74177964 
3,58 -0,610357143 0,372536 -0,457158819 
3,63 -0,560357143 0,314 -0,419708711 
4,04 -0,150357143 0,022607 -0,112617825 
3,62 -0,570357143 0,325307 -0,427198733 
3 -1,190357143 1,41695 -0,891580073 
3,48 -0,710357143 0,504607 -0,532059035 
2,68 -1,510357143 2,281179 -1,131260764 
3,46 -0,730357143 0,533422 -0,547039079 
3,43 -0,760357143 0,578143 -0,569509143 
3,09 -1,100357143 1,210786 -0,824169878 
2,83 -1,360357143 1,850572 -1,01891044 
3,01 -1,180357143 1,393243 -0,884090051 
3,58 -0,610357143 0,372536 -0,457158819 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) a Análise de Agrupamento (use o dendrograma para definir o número de grupos) 
Estações Temperatura (ºF) Padronizad a Precipitação pluvial (pol) 
padronizada 
Athens 1 0,508455779 0,741244639 
Atlanta 2 0,369786021 0,404193666 
Augusta 3 0,832018548 0,157022953 
Gainesville 4 0,878241801 2,096938551 
Huntsville 5 0,531567406 0,643874358 
Jacksonville 6 0,993799933 1,759887578 
Macon 7 1,016911559 0,201963083 
Montgome 8 1,086246438 0,441643774 
Pensacola 9 1,224916196 2,239248962 
Savannah 10 0,970688306 2,381559372 
Concordia 11 0,462232527 -0,614449273 
Des Moines 12 -0,161781384 -0,726799597 
Dodge City 13 0,69334879 -0,8316599 
Kansas 14 0,346674395 0,119572845 
Lincoln 15 0,138669758 -0,74177964 
Springfield 16 0,231116263 -0,457158819 
St. Louis 17 0,4391209 -0,419708711 
Topeka 18 0,369786021 -0,112617825 
Wichita 19 1,016911559 -0,427198733 
Albany 20 -1,294251075 -0,891580073 
Binghamton 21 -1,872041733 -0,532059035 
Boston 22 -0,808906922 -1,131260764 
Bridgeport 23 -0,69334879 -0,547039079 
Burlington 24 -1,710260349 -0,569509143 
Hartford 25 -0,832018548 -0,824169878 
Portland 26 -2,056934744 -1,01891044 
Providence 27 -1,040023185 -0,884090051 
Worcester 28 -1,64092547 -0,457158819 
 
c) a Análise de Agrupamento com os dados de precipitação em milímetros e a temperatura 
emC; 
Não há alteração já que quando padronizadas as variáveis ficam exatamente iguais mesmo a 
temperatura mudando de graus Fahrenheit para graus Celsius. 
Temperatura ºC Desvio Desvio² q desvio padrão 
26,2222222 1,222222222 1,493827 0,508455779 Média 25 
25,8888889 0,888888889 0,790123 0,369786021 Variância 5,778219 
27 2 4 0,832018548 Desvio padrão 2,403793 
27,1111111 2,111111111 4,45679 0,878241801 
26,2777778 1,277777778 1,632716 0,531567406 
27,3888889 2,388888889 5,70679 0,993799933 
27,4444444 2,444444444 5,975309 1,016911559 
27,6111111 2,611111111 6,817901 1,086246438 
27,9444444 2,944444444 8,669753 1,224916196 
27,3333333 2,333333333 5,444444 0,970688306 
26,1111111 1,111111111 1,234568 0,462232527 
24,6111111 -0,388888889 0,151235 -0,161781384 
26,6666667 1,666666667 2,777778 0,69334879 
25,8333333 0,833333333 0,694444 0,346674395 
25,3333333 0,333333333 0,111111 0,138669758 
25,5555556 0,555555556 0,308642 0,231116263 
26,0555556 1,055555556 1,114198 0,4391209 
25,8888889 0,888888889 0,790123 0,369786021 
27,4444444 2,444444444 5,975309 1,016911559 
21,8888889 -3,111111111 9,679012 -1,294251075 
20,5 -4,5 20,25 -1,872041733 
23,0555556 -1,944444444 3,780864 -0,808906922 
23,3333333 -1,666666667 2,777778 -0,69334879 
20,8888889 -4,111111111 16,90123 -1,710260349 
23 -2 4 -0,832018548 
20,0555556 -4,944444444 24,44753 -2,056934744 
22,5 -2,5 6,25 -1,040023185 
21,0555556 -3,944444444 15,55864 -1,64092547 
 
Também acontece quando padroniza as variáveis de precipitação em milímetros, as variáveis 
padronizadas se mantem iguais quando eram em polegadas. 
Precipitação 
(milímetros) 
Desvio Desvio² q desvio padrão 
131,572 25,13692857 631,8652 0,741244639 Média 106,4351 
120,142 13,70692857 187,8799 0,404193666 Variância 1150,009 
111,76 5,324928571 28,35486 0,157022953 Desvio 
Padrão 
33,91178 
177,546 71,11092857 5056,764 2,096938551 
128,27 21,83492857 476,7641 0,643874358 
166,116 59,68092857 3561,813 1,759887578 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) compare e comente os resultados dos itens b e c. 
Como fazer o dendrograma usa-se as variáveis padronizadas não haverá mudanças quando 
alteradas as unidades de medidas. 
 
9) A partir da equação dos desvios quadrados Di= [ (ao+a1Xi) - Yi) ]2 = 0 e utilizando os 
conceitos do cálculo infinitesimal, encontre as equações para estimar os parâmetros 0 e 1 
da equação de regressão da reta. 
Sabendo que: 
De acordo com o cálculo infinitesimal, Di será mínimo quando suas derivadas parciais em relação 
a 0a e 1a forem nulas. Assim: 
D/ 0a =2 ( 0a + 1a Xi-Yi) = 0 
D/ 1a =2 Xi ( 0a + 1a Xi-Yi) = 0 
 
 ( 0a + 1a Xi-Yi) = 0 
113,284 6,848928571 46,90782 0,201963083 
121,412 14,97692857 224,3084 0,441643774 
182,372 75,93692857 5766,417 2,239248962 
187,198 80,76292857 6522,651 2,381559372 
85,598 -20,83707143 434,1835-0,614449273 
81,788 -24,64707143 607,4781 -0,726799597 
78,232 -28,20307143 795,4132 -0,8316599 
110,49 4,054928571 16,44245 0,119572845 
81,28 -25,15507143 632,7776 -0,74177964 
90,932 -15,50307143 240,3452 -0,457158819 
92,202 -14,23307143 202,5803 -0,419708711 
102,616 -3,819071429 14,58531 -0,112617825 
91,948 -14,48707143 209,8752 -0,427198733 
76,2 -30,23507143 914,1595 -0,891580073 
88,392 -18,04307143 325,5524 -0,532059035 
68,072 -38,36307143 1471,725 -1,131260764 
87,884 -18,55107143 344,1423 -0,547039079 
87,122 -19,31307143 372,9947 -0,569509143 
78,486 -27,94907143 781,1506 -0,824169878 
71,882 -34,55307143 1193,915 -1,01891044 
76,454 -29,98107143 898,8646 -0,884090051 
90,932 -15,50307143 240,3452 -0,457158819 
 X i ( 0a + 1a Xi-Yi) = 0, aplicando o somatório tem-se; 
 
 0a + 1a Xi-Yi = 0 
0a X i + 1a Xi 
2-X i Yi = 0, passando X i Yi e Yi para o segundo membro temos; 
 
Yi = 0a N+ 1a Xi (2) 
X iYi= 0a X i + 1a Xi 
2 (3) 
 
essas duas últimas equações são denominadas: equações normais da reta de mínimos quadrados. 
Multiplicando-se (2) por X i e (3) por N, teremos: 
Xi Yi = 0a NXi + 1a Xi Xi (4) 
NX iYi= 0a NX i + 1a NXi 
2 (5) 
Substituindo (4) em (5): 
 Xi Yi - 1a Xi Xi = NX iYi - 1a NXi 
2 multiplico por (-1) 
-Xi Yi + NX iYi = 1a (-Xi Xi + NXi
2), assim obtém-se a expressão para a estimativas de 
1a , dada por : 
e multiplicando-se (2) por Xi 
2 e (3) por (-X i) tem-se: 
 
Yi Xi 
2 = 0a NXi 
2 + 1a Xi Xi 
2 (6) 
-X iYiX i = - 0a X iX i - 1a X i Xi 
2 (7) 
 
Substituindo (6) em (7): 
Yi Xi 
2 - 0a NXi 
2 = - 0a (X i)
2 + X iYiX i 
Yi Xi 
2 - X iYiX i = 0a (NXi 
2 - (X i)
2), 
 a expressão para a estimativa do coeficiente de regressão 0a , dada por: 
Utilizando a notação matricial pode-se obter também as expressões para as estimativas de 0a e 
1a . Reescrevendo (2) e (3) tem-se: 
 N 0a + 1a Xi = Yi (8) 
2
1 1
2
1 1 1
1
)( 
  
= =
= = =
−
−
=
N
i
N
i
ii
N
i
N
i
N
i
iiii
XXN
YXYXN
a
2
1 1
2
1 1 1
2
1
0
)( 
  
= =
= = ==
−
−
=
N
i
N
i
ii
N
i
N
i
N
i
iiii
N
i
i
XXN
YXXXY
a
 0a X i + 1a Xi 
2 = X iYi (9) 
 (A) (B) (C) 
utilizando o determinante e a Regra de Sarrus obtém-se; 
Sendo: 0a = CB/Δ e 1a =AC/Δ, Obtém-se; 
 
  
= =
= = ==
−
−
=
N
i
N
i
N
i
N
i
N
i
N
i
o
XiXiN
XiYiXiXiYi
a
1 1
22
1 1 1
2
1
)(
 
)²(
11
2
111
1


==
===
−
−
=
N
i
N
i
N
i
N
i
N
i
XiXiN
YiXiXiYiN
a 
10) Utilize os dados de temperatura X pressão da Tabela 1 para construir o diagrama de 
dispersão, estimar o tipo de relação entre essas duas variáveis, o grau de dependência e as 
variâncias explicada e não explicada. 
 
11) Defina: 
 a) série temporal e seus objetivos - é um conjunto de observações sobre uma variável, 
ordenado no tempo. O objetivo da análise de séries temporais é identificar padrões não aleatórios 
na série temporal de uma variável de interesse, e a observação deste comportamento passado 
pode permitir fazer previsões sobre o futuro, orientando a tomada de decisões. 
 b) persistência ou dependência - persistência corresponde ao método da média móvel simples 
em que a previsão é a média das N observações mais recentes da série X. O método de 
persistência é considerado o método de previsão mais simples, visto que realiza a previsão com 
base nos últimos valores da série. Temos a dependência como uma técnica que verifica se uma 
variável depende de outra, sendo explicada por outras variáveis. Fazem parte das técnicas de 
dependência os modelos de regressão múltipla e a análise discriminante. 
 c) modelo de uma série temporal - é uma coleção de observações feitas sequencialmente ao 
longo do tempo. 
 d) processo estocástico e estacionariedade – processo estocástico é um processo estocástico 
cuja distribuição de probabilidade conjunta incondicional não muda quando deslocada no tempo. 
Uma série temporal é dita estacionária quando ela se desenvolve no tempo aleatoriamente ao 
redor de uma média constante, refletindo alguma forma de equilíbrio estável. Na prática, a 
maioria das séries que encontramos apresentam algum tipo de não estacionariedade, por exemplo, 
tendência. 
22
2 )(


−=





= ii
ii
i
XXN
XX
XN
 e) Cadeia de Markov e probabilidade de transição - A Cadeia de Markov é um modelo ou 
processo estocástico usado para representar uma série temporal de variáveis discretas. Ela pode 
ser imaginada como uma coleção de “estados” de um modelo. O comportamento de uma Cadeia 
de Markov é governado por várias probabilidades, para essas transições, denominada 
probabilidades de transição. 
 
12) Quais os tipos de variações apresentadas nas séries temporais? Descreva com suas 
próprias palavras cada uma delas. 
Temos as variações cíclicas que são flutuações nos valores da variável com duração superior a 
um ano, e que se repetem com certa frequência. As variações sazonais que são flutuações nos 
valores da variável com duração inferior a um ano, e que se repetem todos os anos, geralmente 
em função das estações do ano entre outros aspectos. E por fim, as variações irregulares que são 
as flutuações inexplicáveis, resultado de fatos fortuitos e inesperados como catástrofes naturais, 
entre outros. 
13) Calcule os coeficientes de autocorrelação para as séries temporais da Tabela 1. 
Represente-os em correlograma e comente os resultados. (obs. limite: k=N/4). 
 
14) Com base na série temporal da Tabela 3 estime as probabilidades de transição 
 
Tabela 3 - Ocorrência das precipitações diárias de Tupã − SP, em janeiro de 1960. 
dia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
Pt 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 
dia 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
Pt 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 
 
15) Com base nos dados da Tabela 4, calcule a covariância e a correlação entre as 
precipitações das localidades X e Y. 
Tabela 4 – Dados de precipitação em (mm) de duas localidades X e Y 
X (mm) Y (mm) X X
i
− Y Yi
− ( )X Xi
− .( )Y Y
i
− 
9 39 -4,36 -21,82 95,21 Desviopad X = 6,961 
15 56 1,64 -4,82 -7,88 Desviopad Y = 19,323 
25 93 11,64 32,18 374,48 Média X = 13,364 
14 61 0,64 0,18 0,12 Média Y = 60,818 
10 50 -3,36 -10,82 36,39 Covariância =123,573 
18 75 4,64 14,18 65,75 Correlação = 0,919 
0 32 -13,36 -28,82 385,12 
16 85 2,64 24,18 63,75 
5 42 -8,36 -18,82 157,39 
19 70 5,64 9,18 51,75 
16 66 2,64 5,18 13,66 
20 80 
 
 
 
( ) ( )
1( , )
1
i i
n
iCOV X Y
n
X X Y Y
==
−
− −
; 
( , )
( , )
.X Y
Cov X Y
Corr X Y
S S
= 
 
 
16) Calcule os determinantes das matrizes A e B 
 
DA= (3-2) - (4.1) = (-6) – 4 = -10 
DB = (1.5.9+2.6.7+3 (-4). (-8)) – (7.5.3+(-8).6.1+9. (-4).2) = 225-(-15) = 240 
 
17) Para encontrar os autovalores de uma matriz A, n x n, deve-se encontrar a solução da 
equação ( )det 0I A − = . Encontre os autovalores da matriz 
 
3 2
1 0
A
 
 
  
=
−
 
Solução: 
( )
1 0 3 2 3 2
det det det
0 1 1 0 1
1
1
2
2
I A

 



      
           
       
− −
− = − =
−
=
=
 
 
18) Encontre os autovalores de A 
 
 
 
19) Utilizando os dados de temperaturas mínimas médias mensais (Tabela 5) obtenha as 
médias móveis de ordem 4, plote as duas séries e interprete os resultados. 
 Tabela 5 - Temperaturas mínimas médias mensais da cidade de Campina Grande - PB 
 
Mês =t Tmin Mês = t Tmin Média Móvel 
1 23,6 18 20,8 23,75 20,375 
2 23,8 19 20,2 23,45 20,375 
3 24,3 20 19,7 22,8 20,375 
4 23,3 21 20,8 21,875 20,375 
5 22,4 22 21,6 21,05 20,575 
6 21,2 23 21,8 20,825 20,975 
7 20,6 24 21,8 21 21,5 
8 20 25 22,8 21,55 22 
9 21,5 26 23,1 22,35 22,375 
10 21,9 27 22,7 22,825 22,611 22,8 28 22,8 23,225 22,85 
12 23,2 29 22,7 23,225 22,825 
13 23,4 30 21 22,95 22,3 
14 23,5 31 20,6 22,425 21,775 
15 22,8 32 21 21,75 21,325 
16 22,1 33 20,3 21,1 20,725 
17 21,3 34 22,9 20,5 21,2 
18 20,8 35 23,4 20,375 21,9 
19 20,2 
20 19,7 
21 20,8 
 
20) Agrupar os 4 objetos (A, B, C e D) cuja matriz de dissimilaridades está apresentada a 
seguir, utilizando os métodos de ligação simples, ligação média e completa. 
 
 
LIGAÇÃO SIMPLES: D= 
 
 
 
d (A, B), C = min dAC, dBC = min 25, 36 = 25 
 
d (A, B), D = min dAD, dBD = min 49,100 = 49 
 
 AB C D DC AB 
 
AB 
C D = DC 
D AB 
 
 
 
 
LIGAÇÃO COMPLETA 
 
 
d (A, B), C = max dAC, dBC = max 25, 36 = 36 
d (A, B), D = max dAD, dBD = max 49, 100 = 100 
 
 AB C D DC AB 
 
AB 
C D = DC 
D AB 
 
 
0 
9 0 
25 36 0 
49 100 16 
0 
= Min (di,j)= d 
A,B =9 
0 
25 0 
49 16 
0 
 
0 
25 0 
 
0 
36 0 
100 16 
0 
 
0 
100 0