Aula 9 Estatística inferencial- população, amostra e inferência

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14/09/2023
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Estatística aplicada a pesca 
Aula 9 – Estatística inferencial- população, amostra e inferência
Prof. Luiza Prestes
Universidade do Estado do Amapá – UEAP
Curso de Engenharia de pesca
Grupo de pesquisa EMOA
The twin problem of sampling
(Snedecor e Cochran, 1967)
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• Parâmetro populacional: constante (em geral desconhecida) que 
descreve uma população. É representado por uma letra grega minúscula;
• Estimador: é representado por uma letra minúscula latina
• Estimativa: valor numérico particular, calculado a partir de uma amostra
• População: é o conjunto das medidas e da(s) característica(s) de interesse de
todos os elementos que a(s) representa(m).
• As amostras devem ser aleatórias e se possível, serem representativas da
população de onde provém. Só a simples aleatorização NÃO garante a
representatividade da amostra!!! Uma amostra é representativa se ela reflete
as características da população inerentes ao estudo.
• A inferência estatística consiste em fazer afirmações probabilísticas sobre as
características da população, através da estimação de parâmetros e testes de
hipóteses.
Delineamento experimental
Principio da repetição
Principio da casualização
Principio do controle local
Estimação de parâmetros
• Consiste em fazer afirmação sobre os possíveis valores
dos parâmetros do modelo a partir dos dados de uma
amostra aleatória e representativa da população.
Por exemplo:
• Estimar a média e a variância de um modelo normal.
• Estimar a probabilidade de sucesso de um modelo binomial.
Testes de hipóteses
• Consistem em testar hipóteses sobre as características
do modelo a partir dos dados de uma amostra
aleatória da população.
Por exemplo:
• o valor da média de uma variável é maior do que
um certo valor?
• o modelo probabilístico da população é o normal?
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Distribuição amostral
• O modelo probabilístico de uma estatística é chamado de 
Distribuição Amostral. 
• Seja  um parâmetro e T um estimador (ou estatística). 
• Amostras aleatórias são retiradas da população e são 
calculados os valores t da Estatística T.
• Valores de t formam a distribuição amostral de T. 
TLC - Teorema do Limite Central
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Distribuição não-normal
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• É um importante resultado da estatística e a demonstração de muitos outros teoremas estatísticos 
dependem dele. Em teoria das probabilidades, esse teorema afirma que quando o tamanho da amostra 
aumenta, a distribuição amostral da sua média aproxima-se cada vez mais de uma distribuição normal. Este 
resultado é fundamental na teoria da inferência estatística;
• Na inferência estatística a utilidade do teorema central do limite vai desde estimar os parâmetros como a 
média populacional ou o desvio padrão da média populacional, a partir de uma amostra aleatória dessa 
população, ou seja, da média amostral e do desvio padrão da média amostral até calcular a probabilidade 
de um parâmetro ocorrer dado um intervalo, sua média amostral e o desvio padrão da média amostral.
Teorema central do limite (ou "teorema do limite central")
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Desvio padrão e erro padrão da média
• Como já aprendemos, o desvio padrão (s) é a raiz quadrada
positiva da variância (s2) e tem a mesma unidade da média
aritmética 𝑋 .
• O erro padrão da média s𝑋 ̅ = s/√n, importante devido ao
T.L.C, também tem a mesma unidade da média aritmética e
tende a zero a medida que n, o tamanho da amostra
aumenta. Ele é empregado para construir intervalos de
confiança para μ, a média populacional.
Desvio padrão e erro padrão da média
• Assim, quando você escrever um relatório ou um artigo explique
direitinho qual das duas você está usando (você pode escolher uma
das duas, mas tem que INFORMAR!) quando escreve 𝑋 +- algum
número.
• Se você estiver usando s ou s𝑋 ̅ , SEMPRE informe n, SEMPRE!!! Se
você não fizer isso, nenhum pesquisador irá conseguir comparar os
resultados dele com os seus. E NUNCA informe a média sozinha
desacompanhada de s ou s𝑋 ̅ e n. Isso denota ingenuidade ou
ignorância estatística. Portanto, uma estimativa deve SEMPRE ser
expressa acompanhada de alguma medida de dispersão (s ou s𝑿 ) e
do tamanho (n) da amostra a partir da qual foi calculada.
Desvio padrão e erro padrão da média
• Contrastes entre s e s𝑿
• O desvio padrão quantifica o espalhamento (scattering) dos dados.
Ele não varia de modo previsível à medida que n aumenta, e o
aumento de n não afeta o espalhamento e assim s pode aumentar
ou diminuir ligeiramente.
• O erro padrão da média quantifica o quão acuradamente você sabe
sobre a média populacional.
• Por definição s𝑿 < s.
• À medida que n aumenta, s𝑿 diminui.
Exemplo: Desejamos comprar um rifle e, após algumas seleções, restaram quatro alternativas, que 
chamaremos de rifles A, B, C e D. Foi feito um teste com cada rifle, que consistiu em fixá-lo num cavalete, 
mirar o centro de um alvo e disparar 15 tiros. Os resultados estão ilustrados na Figura 11.1.
Para analisar qual a melhor arma, podemos fixar critérios. 
Por exemplo, segundo o critério de “em média acertar o alvo”, 
escolheríamos as armas A e C. 
Segundo o critério de “não ser muito dispersivo” (variância pequena), a 
escolha recairia nas armas C e D. 
A arma C é aquela que reúne as duas propriedades e, segundo esses 
critérios, seria a melhor arma. Mas, se outro critério fosse introduzido 
(por exemplo, menor preço), talvez não fosse a arma escolhida. 
Muitas vezes, a solução deve ser um compromisso entre as 
propriedades.
Esse exemplo também nos permite introduzir os conceitos de acurácia 
e precisão.
• A acurácia mede a proximidade de cada observação do valor alvo que se procura atingir;
• A precisão mede a proximidade de cada observação da média de todas as observações.
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Desse modo, podemos descrever cada arma da seguinte maneira:
Arma A: não-viesada, pouco acurada e baixa precisão.
Arma B: viesada, pouco acurada e baixa precisão.
Arma C: não-viesada, muito acurada e boa precisão.
Arma D: viesada, pouco acurada e alta precisão.
Viés, Acurácia, Precisão:
A)
B)
C)
D)
Propriedades dos estimadores (medidas de tendência central e dispersão)
• Os estimadores podem gozar de quatro propriedades: 
suficiência, não viesado ou não viciado, consistência 
e eficiência.
• Alunos que aprenderam Estatística não devem usar a 
palavra viés de modo inapropriado!!!
• Um estimador que não apresentar tais características, 
não pode ser considerado um bom estimador.
Suficiência
• O princípio da suficiência diz que uma estatística T(X)
será suficiente se toda a informação contida na
amostra {X1, X2, X3, · · · Xn} consegue assimilar toda a
informação possível sobre o parâmetro desconhecido
θ, que é uma propriedade da população;
• Qualquer outra inserção de informação além daquela
contida na estatística suficiente T(X) não contribuirá
em nada para melhorar as informações contidas na
estatística T(X) sobre o parâmetro θ.
Suficiência
• Por exemplo, suponha que a média populacional µ de
uma distribuição Gaussiana seja desconhecida,
digamos X ∼ N(µ, σ2 ). A estatística T(X) que consegue
captar toda a informação sobre a média populacional
será a média amostral �̅� ou seja, uma outra estatística
como a média geométrica ou harmônica não irá
contribuir com novas informações sobre µ, além do
que a média aritmética já contribui.
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Não viesado ou não viciado 
• Espera-se que o erro de medida seja nulo, isto é E(e) = 0. De fato, se o erro for descrito pela
diferença da estimativa em relação ao valor real, temos e = 𝛳 − θ Portanto, definiremos o
viés b(𝛳 ) como sendo o valor esperado do erro: b(𝛳 ) = E(e) = E(𝛳 − θ ) Quando não há viés,
b(𝛳 ) = E(𝛳 − θ ) = 0 = E(𝛳 ) − E(θ) = 0 =⇒ E(𝛳 ) = E(θ) = θ. Neste caso o estimador é não
viesado (ENV) ou não viciado.
• Teorema - Seja X1, X2, X3, ..., Xn uma amostra aleatória independente (isto é Xi e Xj (i≠j)são
mutuamente exclusivos) de uma população com média μ e σ2 <∞, então E(𝑋) = μ
• Demonstração:
• E(𝑋)= E[(∑X)/n] = (1/n) E[(∑X)] = (1/n)[(∑E(X)] = (1/n) ((∑μ) =
• = (1/n)n μ = μ E(𝑋) = μ, cqd
• Portanto, a média aritmética �̅� é um estimador não viciado de μ:
• b(�̅� )= E(�̅� - μ) = E(�̅�) – E(μ) = μ – μ = 0.
Consistência e Eficiência
• A consistência significa que o aumento do tamanho da amostra
implicará na convergência das estimativas para o valor desconhecido
de θ.
• Um estimador θ será mais eficiente se o seu EQM(𝛳 ) for o menor
possível.
• Definição de EQM – Erro Quadrático Médio.
• EQM(𝛳 ) = Var(e) = Var[( 𝛳 − θ)2] = Var (𝛳 ) + E(b(𝛳 )2
• Se o estimador for ENV, então: EQM(𝛳 ) = Var (𝛳 )
• Nas figuras a seguir esses conceitos ficam mais fácil de entender.

Estimador não viciado ou exato
ViciadoNão viciado
P(X)
X
Não-viesado
Viesado
Preciso Impreciso
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Vemos, portanto, que um estimador preciso tem 
variância pequena, mas pode ter EQM grande.

Eficiência
Sampling 
Distribution 
of Median
Sampling 
Distribution of 
Mean
X
P(X)
Erro padrão da média s𝑿 = s/√n
Erro padrão da mediana = (1.2533)s𝑿
Assim a mediana é um estimador MENOS
EFICIENTE que a média aritmética, embora seja
um estimador resistente, pois como vimos na aula
anterior a mediana não é afetada por valores
extremos, como ocorre com a média.