Lista 1-mesclado (1)

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Universidade Federal da Bahia
Cálculo C
Departamento de Matemática
Semestre Letivo Suplementar
LISTA DE EXERCÍCIOS
EDOs de 1a ordem.
Postado em 15/09/2020
1. Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições
iniciais do PVI, a solução particular.
(a) ty′+ 2y = t2− t+ 1; t > 0; y(1) = 1
2
(b) 3x2 − 2xy + 2 + (6y2 − x2 + 3)dy
dx
= 0
(c) 2xyy′ = x2 − 3y2
(d) y′ + y2 sen(x) = 0
(e) x
dy
dx
+ y = y−2;x 6= 0
(f) (3x2y + 2xy + y3)dx+ (x2 + y2)dy = 0
(g) y′ +
2
t
y =
cos(t)
t2
; t > 0; y(π) = 0
(h)
dy
dx
= −ax+ by
bx+ cy
(i) 2ydx = xdy
(j) y′ =
x− e−x
y + ey
(k)
dy
dx
= y(xy3 − 1);x 6= 0
(l) y′ = e2x + y − 1
(m) ty′+ (t+ 1)y = t; t > 0; y(ln(2)) = 1
(n) (yexy cos(2x)− 2exy sen(2x) + 2x)dx+
(xexy cos(2x)− 3)dy = 0
(o) y′ =
y − 4t
t− y
(p) y′ = (cos2(x))(cos2(2y))
(q) t2y′ + y2 = ty; t 6= 0
(r) y + (2xy − e−2y)y′ = 0
GABARITO
1. (a) y =
t2
4
− t
3
+
1
2
+
1
12t2
(b) x3 − x2y + 2x+ 2y3 + 3y = c
(c) |x3||x2 − 5y2| = c
(d) y−1 + cos(x) = c, se y 6= 0, ou y = 0
(e) y =
3
√
1 + cx−3
(f) e3x(3yx2 + y3) = c
(g) y =
sent
t2
(h) ax2 + 2bxy + cy2 = k
(i) ln |x| − ln |y
x
| = c
(j) y2−x2+2(ey−e−x) = c, para y+ey 6= 0
(k) y−3 = x+
1
3
+ ce3x
(l) y = cex + e2x + 1
(m) y = 1− 1
t
+
2
tet
(n) exycos(2x) + x2 − 3y = 0
(o) −1
4
ln |y− 2t| − 3
4
ln |y+ 2t| = ln |t|+ c
ou y = 2t ou y = −2t
(p) 2 tg(2y) = 2x + sen(2x) + c, se
cos(2y) 6= 0, ou y = ±(2n+ 1)π
4
(q) e
t
y = ct
(r) xe2y − ln |y| = c
1
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Cálculo C
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Semestre Letivo Suplementar
LISTA DE EXERCÍCIOS
EDOs de 2a ordem.
Postado em 15/09/2020
1. Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições
iniciais do PVI, a solução particular.
(a) y′′ + 2y′ − 3y = 0
(b) 6y′′ − y′ − y = 0
(c) y′′ − 2y′ + y = 0
(d) 9y′′ + 6y′ + y = 0
(e) y′′ − 2y′ + 6y = 0
(f) 4y′′ + 9y = 0
(g) 6y′′−5y′+y = 0; y(0) = 4; y′(0) = 0
(h) y′′ + 4y′ + 4y = 0; y(−1) =
2; y′(−1) = 1
(i) y′′ + y = 0; y(
π
3
) = 2; y′(
π
3
) = −4
(j) y′′ − 2y′ − 3y = 3e2t
(k) y′′ + 9y = t2.e3t + 6
(l) 2y′′ + 3y′ + y = t2 + 3 sen(t)
(m) y′′+y′−2y = 2t; y(0) = 0; y′(0) = 1
(n) y′′−2y′+y = tet +4; y(0) = 1; y(0)1
(o) y′′ + 4y = 3 sen(2t); y(0) = 2 y′(0) =
−1
GABARITO
1. (a) y = c1e
t + c2e
−3t
(b) y = c1e
t
2 + c2e
− t
3
(c) y = c1e
t + c2te
t
(d) y = c1e
− t
3 + c2te
− t
3
(e) y = c1e
t cos(t
√
5) + c2e
t sen(t
√
5)
(f) y = c1 cos(
3t
2
) + c2 sen(
3t
2
)
(g) y = 12e
t
3 − 8e
t
2
(h) y = 7e−2(t+1) + 5te−2(t+1)
(i) y = (1 + 2
√
3) cos(t)− (2−
√
3) sen(t)
(j) y = c1e
3t + c2e
−t − e2t
(k) y = c1 cos(3t) + c2 sen(3t) +
1
162
(9t2 −
6t+ 1)e3t) +
2
3
(l) y = c1e
−t + c2e
− t
2 + t2 − 6t + 14 −
3
10
sen(t)− 9
10
cos(t)
(m) y = et − 1
2
e−2t − t− 1
2
(n) y = 4tet − 3et + 1
6
t3et + 4
(o) y = 2 cos(2t)− 1
8
sen(2t)− 3
4
t cos(2t)
1
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LISTA DE EXERCÍCIOS
(acrescentada em 22/09/2020)
Aplicações de EDOs: modelagem matemática.
Atenção: para resolver essa lista, use os modelos matemáticos que estão descritos na apostila
da Profa. Paula F. Benevides para Dinâmica Populacional (6.2), Meia-vida e Decaimento
Radioativo (6.3 e 6.4), Misturas (6.7) e Corpos em queda e resistência do ar (6.10.1). O arquivo
.pdf da apostila encontra-se dispońıvel na seção Materiais: Bibliografia e Listas de Exerćıcios
da página principal do curso.
1. A população de uma cidade cresce a uma taxa proporcional à população em qualquer
tempo. Sua população inicial de 500 habitantes aumenta 15% em 10 anos. Qual será a
população em 30 anos?
2. Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade pre-
sente. Após uma hora, observam-se 1000 fileiras de bactérias na cultura, e após quatro
horas, observam-se 3000 fileiras. Determine:
(a) a expressão do número aproximado de fileiras de bactérias presentes na cultura no
instante t:
(b) o número aproximado de fileiras de bactérias no ińıcio da cultura.
3. O isótopo radioativo de chumbo, Ph 209, decresce a uma taxa proporcional à quantidade
presente em qualquer tempo. Sua meia vida é de 3, 3 horas. Se 1 grama de chumbo está
presente inicialmente, quanto tempo levará para 90% de chumbo desaparecer?
4. Em um pedaço de madeira queimada, ou carvão, verificou-se que 85, 5% do C-14 tinha se
desintegrado. Qual a idade da madeira?
5. Suponha que um grande tanque para misturas contenha inicialmente 300 galões de água,
no qual foram dissolvidas 50 libras de sal. Água pura é bombeada para dentro do tanque
a uma taxa de 3 gal/min, e então, quando a soluç âo está bem misturada, ela é bombeada
para fora segundo a mesma taxa. Determine uma equação diferencial para a quantidade
de sal A(t) no tanque no instante t.
6. Uma solução de 60 kg de sal em água está num tanque de 400L. Faz-se entrar água nesse
tanque na razão de 8L/min e a mistura mantida homogênea por agitação, sai do tanque
na mesma razão. Qual a quantidade de sal existente no tanque no fim de 1 hora?
7. Deixa-se cair de uma altura de 40m um objeto que pesa 30N, com uma velocidade inicial
de 3m/s. Suponhamos que a resistência do ar seja proporcional a velocidade do corpo.
Se sabe que a velocidade limite deve ser de 40m/s. Determine:
(a) a velocidade do objeto depois de 8s:
(b) a expressão para a posição do corpo no instante de tempo t.
GABARITO
1. N(30) = 760
2. a) N(t) = 694e0,336t
b) N(0) = 694
3. t = 11 horas
4. 15600 anos
5.
dA
dt
= − A
100
1
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Semestre Letivo Suplementar
6. Aproximadamente 18, 1Kg 7. a) 35m/s
b) s(t) = 148e
t
4 + 40t− 148
2