Métodos Quantitativos Matemáticos-Porcentagem

V ocê pro va velment e deve ouvir essa palavra quase todo dia: porcentagem. Ela origina-se do latim per centum , que signi\ue67dca por cem ou \u201c por cento\u201d , ou seja, é uma razão cujo denominador é 100. Usamos o símbolo % para repr esentar porcentagem, assim quando dizemos x% estamos indicando a f ração . Isso signi\ue67dca que dividimos algo em 100 partes e t omamos x dessas partes. Par a repr esentarmos porc entagem podemos usar uma f ração cent esimal (denominador igual a cem) ou um número decimal. A seguir estão algumas repr esentações que são equivalent es. A porc entagem é vastament e utilizada no mercado \ue67dnanceiro , sendo aplicada para capitalizar empréstimos e aplicações, e xpressar índic es in\ue67eacionários e de\ue67eacionários, descont os, aum ent os, taxas de jur os, entre outr os. Ex emplos resolvidos. 1) Uma loja fez um anúncio de uma promoção , indicando que estav a dando descont os de até 60% . Uma pessoa que nela fosse compr ar uma calça que ant es da promoção custav a R$ 90,00, e na liquidação estava com descont o máximo, lev aria a calça por qual valor? Resolução: Dev emos calcular o descont o que essa calça t em. Par a se obt er 60% de R$ 90 ,00 uma forma é dividir o valor em reais por 100 e multiplicar por 60 . Assim R$90 ,00:100 = 0,9 .60 = R$54,00. Logo o desconto será de R$ 54 , 00 e ela pagará R$ 90,00 \u2013 R$ 54,00 = R$ 36,00. 2) Descont os sucessiv os de 12% e 20% , corr espondem a descont o único de quant o ? Resolução: Se um artigo tem descont o de 12% então estaremos pagando 100% \u2013 12 % = 88%, de mesma forma, se houver um descont o de 20% então a f ração corr espondente a ser paga é 100% \u2013 20% = 80% . Uma forma de se calcular os descontos sucessivos é multiplicar esses valor es. x 1 0 0 x % = x 1 0 0 8 % = = 0 , 0 8 8 1 0 0 5 7 % = = 0 , 5 7 5 7 1 0 0 1 3 2 % = = 1 , 3 2 1 3 2 1 0 0 Logo , esses dois descont os sucessiv os cor respondem a um desconto único de 100% \u2013 70 ,4 % = 29,6 % . = = = 7 0 , 4 % 8 8 1 0 0 8 0 1 0 0 7 0 4 0 1 0 0 0 0 7 0 , 4 1 0 0 E quaç ão AU TORIA Luciano Xa vier de Azev edo Dizemos que uma igualdade entre duas expressões matemáticas que se veri\ue67dca para deter minados valores das v ariáv eis é chamada de equa ção . Resolver uma equação é det erminar quais os v alores satisf azem det erminadas condições indicadas na equação. E sses valor es são chamados de raízes da equação. Ao conjunt o de todas as soluç ões de uma equação é chamado de conjunt o solução . Por ex emplo, o número 3 é solução da equação 4x \u2013 3 = 3x, pois a igualda de é ver i\ue67dcada quando se substitui x por 3, note 4. 3 \u2013 3 = 3.3. E quaç õ e s d o 1º Gr a u Caro(a) aluno(a), neste tópico iremos discutir conceit os envolvidos em equações do 1º grau, em especial a sua resolução . Mas, a\ue67dnal, o que é uma equação do primeiro grau? Uma equação do primeir o grau é t oda igualdade do tipo ax + b = 0, com a e b \u2208 R e a \u2260 0, sendo x um número r eal a ser determinado , chamado de incógnita. O pr oblema fundamental das equações é a det erminação de suas raízes, isto é, deter minar a soluçã o da equação. Assim, poderíamos nos perguntar: uma equação tem solução, isto é, tem raízes ? Quantas são as raíz es? C omo determinar essas raízes da equaçã o ? Para obter as raíz es de uma equação do tipo ax + b = 0, com a e b \u2208 R e a \u2260 0, e xistem v ários métodos. Propr iedades: Aditiv a: somar ou subtrair um número nos dois membros de uma equação, encontrando outr a equivalent e. Mul tiplicativa: multiplicar ou dividir por um número não nulo nos dois membros de uma equação, encontr ando outra equiv alente. Ex emplo resolvido Resolver cada uma das equações: a) 5x \u2013 12 = 8 b) 3x \u2013 10 = 2x + 8 Resolução: a) As operações aditiva e multiplicativa podem ser substituídas pelo processo de isolar o valor de x, observe: Podemos \u201clev ar \u201d o \u2013 12 para o segundo membro inv ertendo a operação , daí: 5x = 8 + 12 5x = 20 Agora, como o valor 5 está multiplicando o valor de x então \u201ctransferimos\u201d o 5 para o outro membr o invert endo a operação: Logo: . b) P ode-se usar o método aplicado em a), mas f aremos pelo proc esso aditiv o e multiplicativo . Par a obt ermos a solução dessa equação dev emos somar 10 a cada um de seus membros: 3x \u2013 10 + 10 = 2x + 8 + 10 3x = 2x + 18 Ainda podemos somar \u20132x em ambos os membros: 3x + (\u20132x) = 2 x + (\u20132x) + 18 x = 18 Logo , x \ue6d0= 18. Podemos então indicar o conjunto solução S = {18}. E quaç õ e s d o 2º Gr a u Caro(a) aluno(a), agora você terá contat o com um tipo de equação par ticular, as equações chamadas de equações polinomiais do segundo grau ou equação quadrática. Nós iremos apresentar a v ocê um m ét odo de resolução conhecido como Bhaskara. Ant es desse método, ir emos indicar as equações incompletas que também podem ser resolvidas como o método citado, mas exist e a possibilidade de diminuir esfor ços e t empo na resolução. V amos então par a a de\ue67dnição: Uma equação de segundo grau ou quadrática com coe\ue67dcient es a, b e c é a equa ção na forma c ompleta repr esentada por: ax² + bx + c = 0 a, b e c \u2208 R e a \u2260 0 e x a incógnita a ser det erminada. Observe que a é o coe\ue67dcient e que acompanha o x² , o coe\ue67dcient e b acompanha o x e o c é o t ermo independent e da equação. Não se esqueça de atentar a esses fator es, pois são essenciais para resolv er uma equaçã o do 2º grau. Observe as equações a seguir: x = \u21d2 x = 4 2 0 5 a) 3x² \u2013 7 x + 9 = 0 \ue6d0 é uma equa ção do 2º grau, c om a = 3, \ue6d0 b = \u20137 \ue6d0e \ue6d0 c = 9. b) \u20132x² \u2013 x \u2013 1 = 0 \ue6d0 \ue6d0é uma equação do 2º grau, c om a = \u20132, \ue6d0 b = \u20131 \ue6d0e \ue6d0 c = \u20131. c) 9 x² \u2013 12x = 0 \ue6d0 \ue6d0 \ue6d0 \ue6d0é uma equação do 2º grau, c om a = 9, \ue6d0 b = \u201312 \ue6d0e \ue6d0 c = 0 . C onsidere a equaçã o do segundo grau ax² + b x + c = 0, com a \u2260 0. P ara obtermos sua solução, um dos pr ocessos que pode ser usado é a fór mula resolutiv a de Bhaskara: Note que usamos . Esse valor é chamado de delta. Então, confor me temos a, b e c esse v alor pode var iar o sinal. Acompanhe: 1 . Se , então exist em duas raízes re ais distintas, pois representa um número r eal positiv o. 2 . Se então as duas raízes são iguais, uma v ez que é igual a zero. 3 . Se então não exist em raízes reais, pois não representa um número re al. Ex emplo resolvido: 1) Considere a equaçã o dada por x² \u2013 5x + 6 = 0. Determine, se h ouv er, as raíz es dessa equação. Resolução: C omparando a sentença da equação como ax² + bx + c = 0 temos a = 1, b = \u20135 e c = 6. Par a obter mos, se houver, r aízes, usaremos o pr ocesso de Bhaskar a, assim: Logo x \u2081 = 2 e x \u2082 = 3. 2) Calcule o valor de m para que a equação do segundo grau x² \u2013 4x + m = 0 tenha uma única raiz. Resolução: Par a que a equação quadrática tenha uma única raiz real devemos t er seu discriminant e, delta, igual a zero . Usan do a = 1, b = \u2013 4 e c = m t emos x = = \u2212 b ± \u221a b 2 \u2212 4 a c 2 a \u2212 b ± \u221a \u0394 2 a x = \u2212 b ± \u221a \u0394 2 a \u0394 = b 2 \u2212 4 a c \u0394 > 0 \u221a \u0394 \u0394 = 0 \u221a \u0394 \u0394 0 \u221a \u0394 \u0394 = ( \u2212 5 ) 2 \u2212 4 . 1 . 6 \u0394 = 2 5 \u2212 2 4 = 1 x = x = \u2212 ( \u2212 5 ) ± \u221a 1 2 . 1 5 ± 1 2 \u0394 = (\u20134)² \u2013 4.1.m = 0 16 \u2013 4m = 0 m = 4 Sist emas d e E qua ç õ e s d o Pr im eir o Gr a u Em várias situações encontradas nas descrições mat emáticas de fenômenos f ísicos nos dep aramos com a necessidade da solução simultâne a de um c onjunto de equações. Esses conjuntos apresentam m equaç ões com n incógnitas. A esse conjunt o de equações daremos o nome de sistemas . Ir emos discutir sistemas linear es de segunda ordem, que são aqueles casos que apresentam duas incógnitas e duas equações. Se um sistema está com as in cógnitas x e y, nesta ordem, repr esentamos a solução por S = {(x, y)}. Exist em vár ios mét odos para encontrarmos a solução de um sistema linear de ordem dois, aqui apresentaremos o mét odo de adição. Caro(a) aluno(a), este mét odo consist e em somar as equaç ões do sist ema, buscando obter uma equação c om apenas uma incógnita. Em vários casos ocorr erá a necessidade de multiplicarmos uma ou mais equações por um número de forma conv enient e, de modo que uma incógnita t enha coe\ue67dcient es opostos nas duas equaç ões. Ex emplo resolvido: Deter mine a solução do sistema . Resolução: Pelo método de adição devemos obter equações equivalent e à do sistema de forma que possamos somar essas equações e, assim, obt ermos uma incógnita. Neste caso, se optarmos em obt er o valor de x podemos multiplicar a primeir a equação por 2. Agora, somando essas duas equações t emos que: Desta forma t emos . Logo , x = 1. Para obtermos o valor de y dev emos escolher uma das equações e substituir x = 1, escolheremos a segunda, . Desta forma: { 3 x \u2212 2 y = \u2212 3 5 x + 4 y = 1 7 { 6 x \u2212 4 y = \u2212 6 5 x + 4 y = 1 7 { 6 x \u2212 4 y = \u2212 6 5 x + 4 y = 1 7 \u2013 \u2013 \u2013 \u2013 \u2013 \u2013 \u2013 \u2013 \u2013 \u2013 \u2013 \u2013 \u2013 \u2013 \u2013 \u2013 \u2013 \u2013 1 1 x = 1 1 x = 1 1 1 1 5 x + 4 y = 1 7 C oncluímos que a solução do sistema é S = {(1, 3)}. In e quaç õ e s Chamamos de desigualdade uma expr essão que estabelece uma ordem entr e elementos. No conjunt o dos números r eais, quando pret endemos indicar uma desigualdade usamos um dos símbolos: >, que signi\ue67dca maior que, que signi\ue67dca menor que, para representar maior ou igual a, e \ue6d0 para menor ou igual a. T ambém podemos incluir o símbolo para r epresentar difer ent e. Dados a, x e y , números re ais, então a desigualdade tem como propriedades ( e > podem ser substituídos por \u2264 e por \u2265 ): 1 . x > y \ue6d0 \u21d2 x + a > y + a 2 . x > y \ue6d0 \u21d2 x \u2013 a > y \u2013 a 3 . a > 0 \ue6d0 \u21d2 x > y então ax > ay 4. a \u21d2 x > y então ax Ainda, damos o nome de inequa ção à desigualdade literal que é satisfeita por valor es especí\ue67dcos para suas incógnitas. Pode também ser de\ue67dnida como uma sentença matemática expressas por um dos sinais de desigualdade, fat o que a faz difer enciar-se da equação que representa relações de equivalência. As inequações são usadas em experiências, estatísticas, análise de dados e comparações, ela serve de recurso da linguagem par a organizar pr oblemas. Deter minar a solução de uma inequação é obter os valor es das incógnitas que satisfazem a desigualdade, t ornando -a, assim, uma e xpressão numérica. Iremos trabalhar , nas unidades seguintes desse mat erial v ários tipos de inequações. Ex emplos: 1 . As expressões 2 x + 9 > 0, x2 \u2013 8x \u2264 0 , 6x + 7 \u2264 0 são inequações. 2 . A \ue67dgura a seguir mostra uma balança ao \ue67dnal de uma pesagem. Em cada um dos pratos, há um peso de valor conhecido e esferas de peso x, t odos repr esentados na mesma unidade de medida. 5 . 1 + 4 y = 1 7 5 + 4 y = 1 7 4 y = 1 7 \u2212 5 4 y = 1 2 y = \u21d2 y = 3 1 2 4 \u2265 \u2264 \u2260 Podemos e xpressar a situação atra vés da inequação 3x + 5 > 2 x + 8. T e or ia d os Co njun t os AU TORIA Luciano Xa vier de Azev edo

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