EstruturadeconcretoarmadoI_CORTE

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Kleverton R. Costa
Estruturas de concreto armado I
Catalogação elaborada pelo Setor de Referência da Biblioteca Central Uniube
 Costa, Kleverton R. 
C823e Estruturas de concreto armado I / Kleverton R. Costa. – 
 Uberaba: Universidade de Uberaba, 2018.
 220 p. : il. 
 Programa de Educação a Distância – Universidade de Uberaba.
	 							Inclui	bibliografia.																					
 ISBN 
 
 1. Concreto armado. 2. Estrutura de concreto armado. 3. Vigas. 
 4. Lajes. I. Universidade de Uberaba. Programa de Educação a 
 Distância. II. Título. 
 CDD 624.18341 
© 2018 by Universidade de Uberaba
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Projeto da capa
Agência Experimental Portfólio
Edição
Universidade de Uberaba
Av. Nenê Sabino, 1801 – Bairro Universitário
Kleverton R. Costa
Especialista no ensino da Física, pela Universidade Cândido Mendes 
(Ucam). Bacharel em Engenharia Civil e bacharel em Administração de 
Empresas, pela Uniube. Professor no curso de Engenharia Civil, nas 
modalidades EAD e presencial, na Universidade de Uberaba (Uniube). 
Engenheiro Calculista de empresa de engenharia, Uberaba, MG. 
Engenheiro Civil responsável por empresa de montagem de estruturas 
metálicas para arquibancadas e palcos para eventos, Uberaba e região, MG.
Sobre o autor
Sumário
Apresentação .............................................................................................................VII
Capítulo 1 Lajes maciças – prescrições e determinação dos esforços 
solicitantes............................................................................................... 1
1.1	Definição .................................................................................................................. 3
1.1.1	Classificação	das	lajes	maciças	 ................................................................... 3
1.1.2 Vão efetivo ..................................................................................................... 6
1.1.3 Vinculações das lajes maciças ...................................................................... 7
1.2 Ações a serem consideradas ................................................................................ 10
1.2.1 Carregamento proveniente do peso próprio ................................................ 11
1.2.2 Carregamento proveniente da regularização/contrapiso ............................ 11
1.2.3 Carregamento proveniente do reboco do teto ............................................. 11
1.2.4 Carregamento proveniente do piso assentado ............................................ 12
1.2.5 Carregamento proveniente de paredes ....................................................... 12
1.2.6 Carregamento acidental ............................................................................... 16
1.3 Valores máximos e mínimos .................................................................................. 16
1.4 Pré-dimensionamento ............................................................................................ 19
1.5 Dimensionamento: determinação das reações de apoio ...................................... 19
1.5.1 Reações de apoio em lajes armadas em uma direção - ........ 20
1.5.2 Reações de apoio em lajes armadas em duas direções - ...... 22
1.6	Dimensionamento:	determinação	dos	momentos	fletores .................................... 23
1.6.1	Momentos	fletores	em	lajes	armadas	em	uma	direção	-	 .........23
1.6.2 Momentos Fletores em lajes armadas em duas direções - .....24
1.6.3	Compatibilização	entre	os	momentos	fletores	obtidos .................................35
1.6.4 Condições de vinculação ..............................................................................39
1.7 Conclusão .............................................................................................................. 42
Capítulo 2 Lajes maciças – dimensionamento das armaduras de 
flexão	e	verificação	do	cisalhamento	e	flechas ................. 45
2.1 Dimensionamento: dimensionamento das armaduras .......................................... 46
2.1.1 Cálculo das armaduras com utilização da tabela de Pinheiro .................... 51
2.1.2	Área	de	aço	mínima	na	flexão ..................................................................... 53
2.1.3	Área	de	aço	máxima	na	flexão .................................................................... 56
2.1.4	Diâmetro	máximo	das	barras	fletidas .......................................................... 56
2.1.5 Espaçamento máximo e mínimo entre as barras ........................................ 57
2.1.6	Comprimento	e	disposição	das	armaduras	de	flexão. ................................ 57
2.1.7 Armadura para combate aos momentos volventes ..................................... 58
2.2 Dimensionamento: dimensionamento da armadura transversal .......................... 58
2.3	Dimensionamento:	flecha ...................................................................................... 60
2.3.1 Flecha imediata segundo a NBR 6118/2014 ............................................... 61
2.3.2 Flecha diferida no tempo.............................................................................. 67
2.4 Conclusão .............................................................................................................. 68
Capítulo 3 Lajes maciças – exemplo prático de dimensionamento .... 71
3.1 Exemplo prático de dimensionamento ...................................................................72
3.2 Conclusão ...............................................................................................................90
Capítulo 4 Vigas – Flexão simples na ruína ........................................ 93
4.1	Definição	 ............................................................................................................... 95
4.2	Classificação	das	vigas	 ........................................................................................ 95
4.3 Modelo de vinculação permitido para vigas contínuas ......................................... 96
4.3.1 Vão efetivo ................................................................................................... 99
4.4 Estimativa de altura ............................................................................................. 100
4.5 Ações a serem consideradas .............................................................................. 102
4.5.1 Carregamento proveniente do peso próprio .............................................. 102
4.5.2 Carregamento proveniente de paredes ..................................................... 103
4.5.3 Carregamento proveniente das lajes ......................................................... 103
4.5.4 Carregamento proveniente de outras vigas .............................................. 104
4.6	Comportamento	resistente	das	vigas	sob	flexão	simples ................................... 104
4.7 Deformação nos materiais que compõem a viga de concreto armado ..............106
4.7.1 Altura da linha neutra ................................................................................. 106
4.7.2 Domínios de deformação em função da posição da linha neutra ............. 107
4.8 Equações de dimensionamento .......................................................................... 109
4.8.1	Cálculo	da	altura	útil	e	da	área	de	aço	em	função	dos	coeficientes	
Kc e Ks ....................................................................................................... 113
4.8.2	Área	de	aço	mínima	na	flexão ................................................................... 115
4.8.3	Área	de	aço	máxima	na	flexão .................................................................. 116
4.8.4 Armadura de pele ....................................................................................... 117
4.8.5 Disposições construtivas ............................................................................ 117
4.9	Dimensionamento:	flecha .................................................................................... 118
4.9.1 Flecha imediata segundo a NBR 6118/2014 ............................................. 120
4.9.2 Flecha imediata para vigas de concreto armado ....................................... 123
4.9.3 Flecha diferida no tempo............................................................................ 124
4.10	Contraflecha ....................................................................................................... 126
4.11	Exemplos	de	dimensionamento	e	verificação ................................................... 126
4.12 Conclusão .......................................................................................................... 138
Capítulo 5	Vigas	seção	“t”	e	“l”	–	flexão	simples	na	ruína .................141
5.1	Definição .............................................................................................................. 143
5.2 Considerações necessárias para o dimensionamento ..................................... 144
5.2.1 Largura da mesa colaborante (bf).............................................................. 145
5.2.2 Espessura da mesa colaborante (hf) ......................................................... 146
5.3 Modelo de vinculação permitido para vigas contínuas ....................................... 147
5.3.1 Vão efetivo ................................................................................................. 147
5.4 Estimativa de altura ............................................................................................. 148
5.5 Ações a serem consideradas .............................................................................. 149
5.6	Comportamento	resistente	das	vigas	“t”	e	“l”	sob	flexão	simples ....................... 149
5.6.1 Altura da linha neutra ................................................................................. 149
5.6.2 Determinação da profundidade da linha neutra em seções “t” e “l” .......... 150
5.6.3	Verificação	do	comportamento,	se	viga	“T”	falsa	ou	verdadeira ............... 151
5.6.4	Utilização	dos	coeficientes	tabelados	para	determinação	da	seção......... 154
5.7 Equações de dimensionamento .......................................................................... 158
5.7.1	Cálculo	da	área	de	aço	em	função	dos	coeficientes	Kc	e	Ks ................... 159
5.7.2 Áreas de aço mínima, máxima e armaduras de pele ................................ 161
5.8 Exemplos de dimensionamento .......................................................................... 161
5.9 Conclusão ............................................................................................................ 165
Capítulo 6 Vigas – Cisalhamento ......................................................167
6.1	Definição .............................................................................................................. 168
6.2 Modelo clássico da treliça de ritter-morch ( ) ..................................... 170
6.3 Modelo de treliça generalizada ( )VARIÁVELθ = . ............................................ 171
6.4 Análise dos tipos de ruptura por cisalhamento .................................................... 173
6.5 Modelo de cálculo I, NBR 6118/2014 .................................................................. 174
6.5.1	Verificação	da	compressão	das	bielas ...................................................... 175
6.5.2 Cálculo da armadura de cisalhamento – estribos ..................................... 176
6.6 Disposições construtivas ..................................................................................... 181
6.6.1 Diâmetros máximo e mínimo do estribo vertical ........................................ 182
6.6.2 Espaçamentos máximo e mínimo entre estribos verticais ........................ 182
6.6.3 Determinação do número de ramos do estribo ......................................... 183
6.7 Armadura de suspensão ...................................................................................... 183
6.8 Exemplos de dimensionamento .......................................................................... 184
6.9 Conclusão ............................................................................................................ 188
Prezado(a) Aluno(a).
A disciplina de Estruturas de Concreto Armado I é basicamente o estudo 
das	componentes	horizontais,	em	que	a	flexão	é	o	esforço	preponderante,	
existentes	nas	edificações	usuais.	Seu	emprego	é	largo,	e,	no	Brasil,	
basta olhar a sua volta: é o método construtivo mais utilizado com larga 
vantagem sobre os demais métodos. 
O estudo do comportamento dos elementos de concreto armado, mais 
especificamente,	neste	material,	lajes	e	vigas,	parte	de	princípios	da	
Física mecânica clássica, com algumas peculiaridades que as fazem 
diferentes de todos os outros materiais comumente empregados na 
construção civil: não possuem comportamento isótopo, ou seja, é um 
material de construção composto, no qual há uma ligação possível entre 
o concreto e o aço devido a suas características químicas e físicas.
Este material visa trazer estratégias para que o aluno possa conhecer as 
etapas	de	verificação	do	comportamento	estrutural	e	dimensionamento	
das lajes e vigas. Assim, pautados pelos princípios normativos, e sob as 
luzes das maiores publicações a este respeito, o aluno encontrará mais 
do que as rotinas e formulários necessários ao dimensionamento; ele 
encontrará o motivo pelo qual as equações são empregadas, pois em 
toda obra há a dedução das suas fórmulas: o motivo de sê-las. 
Em 1972, o professor Dr. Fritz Leonhardt, provavelmente o maior 
expoente e estudioso sobre o concreto armado do mundo, escreveu: 
“Os princípios básicos do dimensionamento de estruturas de concreto 
Apresentação
X UNIUBE
armado e protendido são, basicamente, de fácil compreensão, desde 
que se obtenha, através do estudo da Mecânica e da Resistência dos 
Materiais, uma imagem material, dando origem às tensões.” E, ainda, 
“No	concreto	armado	existe	uma	pequena	dificuldade	–	o	fato	de	que	se	
deve levar em conta o conjunto de dois materiais de construção – o aço 
e o concreto – e o comportamento não-linear desses materiais devido às 
solicitações.” (LEONHARDT, 1972, prefácio).
É importante ressaltar que o colapso de uma viga ou laje poderá trazer 
graves consequências e que a responsabilidade é dividida entre o 
engenheiro executor e o engenheiro calculista. Construções pautadas 
nos “costumes antigos” devem perder espaço no meio urbano para 
projetos calculados e com Assinatura de Responsabilidade Técnica - 
ART. Compreender o comportamento de uma estrutura poderia parecer 
simples, e passível de ser feita por qualquer um que tenha conhecimento 
empírico, porém após a leitura deste material, espero que o alerta sobre 
o tamanho da responsabilidade de dimensionar elementos portantes da 
construção tenha lhe ocorrido.
Introdução
Lajes maciças – prescrições 
e determinação dos 
esforços solicitantes
Capítulo1
Entende-se por lajes, aos elementos em forma de placas com 
dimensões distintas, em que a espessura é a menor delas. Há 
uma gama de soluções, quando do lançamento estrutural, possíveis 
para o engenheiro utilizar com o intuito de compor o elemento laje. 
Neste capítulo, abordarememos de maneira mais aprofundada 
as lajes maciças de concreto armado. O modelo mais simples e 
mais empregado na construção de pequenos edifícios é a laje 
premoldada, composta por vigotas de concreto armado em forma 
de treliças. Porém este modelo será estudado em outro momento. As 
lajes mais robustas e que normalmente resistem a carregamentos 
mais elevados são o objetivo de nosso estudo nesse momento.
As lajes maciças apoiadas sobre quatro bordas (vigas) são as mais 
comumente empregadas na construção civil e o seu processo de 
cáclulo será demonstrado de acordo com as recomendações da 
NBR 6118/2014.
Ao	final	dos	estudos	propostos	neste	capítulo,	esperamos	que	
seja capaz de:
• explicar	 o	 elemento	 laje	 e	 classificá-lo	 segundo	 suas	
vinculações;
Objetivos
2 UNIUBE
1.1Definição
1.1.1	Classificação	das	lajes	maciças
1.1.2 Vão Efetivo
1.1.3 Vinculações das lajes maciças
1.2 Ações a serem consideradas 
1.2.1 Carregamento proveniente do peso próprio
1.2.2 Carregamento proveniente da regularização/ contrapiso
1.2.3 Carregamento proveniente do reboco do teto
1.2.4 Carregamento proveniente do piso assentado
1.2.5 Carregamento proveniente de paredes
1.2.6 Carregamento acidental
1.3 Valores máximos e minimos 
1.4 Pré-Dimensionamento
1.5 Dimensionamento: Determinação das reações de apoio
1.5.1 Reações de apoio em lajes armadas em uma direção - 
				λ=lx/ly≥2
1.5.2 Reações de apoio em lajes armadas em duas direções 
				-	λ=lx/ly<2
1.6	Dimensionamento:	Determinação	dos	momentos	fletores
Esquema
• determinar as ações e os quinhões de carga em que o 
elemento terá em serviço;
• determinar as reações de apoio das lajes às vigas de borda;
• aplicar	os	processos	de	determinação	de	momentos	fletores	
e sua origem numérica;
• calcular	os	momentos	fletores	atuantes	através	do	processo	
mais apropriado;
• compatibilizar	os	momentos	fletores	calculados	entre	lajes	
adjacentes;
• determinar as vinculações das lajes pelas diferenças entre 
suas rigidezes.
 UNIUBE 3
1.6.1	Momentos	fletores	em	lajes	armadas	em	duas	direções 
			-	λ=lx/ly<2
1.6.2 Momentos Fletores em lajes armadas em duas direções 
-	λ=lx/ly<2
1.6.3	Compatibilização	entre	os	momentos	fletores	obtidos
1.6.4 Condições de vinculação
1.7 Conclusão
Definição1.1
As lajes maciças são elementos planos bidimensionais em que o 
comprimento e a largura são de mesma ordem de grandeza e muito 
superiores à espessura. São destinadas a receber a maior parte das 
ações de um edifício, podendo ser suscetíveis a cargas provenientes 
de pessoas, móveis, paredes, pisos e acabamentos e as mais variadas 
possibilidades de carregamentos em função da utilização do edifício. 
São	placas	rígidas	que	funcionam	como	um	diafragma	de	rigidez	infinita	
quando solicitadas ao contraventamento. Imagine o edifício sendo 
solicitado por cargas laterais, perpendiculares a maior fachada do edifício, 
provenientes da ação do vento. Neste cenário a laje maciça funciona 
como uma viga de travamento com altura igual ao vão que a mesma 
cobre e uma rigidez (EI) alta o bastante para absorver grande parte dos 
momentos	fletores	e	deflexões	provocadas	por	esta	última	ação.
1.1.1 Classificação das lajes maciças 
As	 lajes	maciças	podem	ser	classificadas	de	acordo	com	distintos	
critérios, em relação à forma geométrica, vinculações direção das ações, 
etc.	Neste	livro,	deteremo-nos	em	classificá-las	de	acordo	com	a	direção	
ou as direções da armadura principal. 
Uma laje maciça pode trabalhar (ser armada) em uma ou duas direções. 
Quando do primeiro caso, calculamos a mesma como uma viga com 
4 UNIUBE
largura (bw) igual a 100 cm e dispomos de armadura de distribuição no 
sentido perpendicular. Quando armada em duas direções precisamos 
conhecer o quinhão de carga que atuará em cada sentido. Este quinhão 
de	carga	será	responsável	pela	determinação	dos	momentos	fletores	
máximos e mínimos, os quais são de suma importância para o cálculo 
das	armaduras	de	flexão.
As lajes serão determinadas, quanto ao sentido do trabalho (armadura), 
segundo a relação abaixo:
a) Laje armada em uma direção
Para que se considere a laje unidirecional, a relação entre seus 
comprimentos “L” deverá ser superior a dois. Ou seja, o maior lado 
deverá ter o dobro, ou mais, do comprimento do menor lado.
Figura 1: Laje unidirecional.
Fonte: Bastos (2015, p.2)
 UNIUBE 5
b) Laje armada em duas direções
As lajes armadas em duas direções terão a relação entre os dois 
comprimentos considerados menor ou igual a dois. Isto implica em 
dizer que o carregamento não agirá em uma única direção. Nas lajes 
unidirecionais, o cálculo é feito como se todo o carregamento agisse no 
sentido de menor direção “Lx” – esta fração do carregamento que agirá 
em cada sentido perpendicular é denominado como quinhão de carga. 
Quinhões de carga são parcelas correspondentes do carregamento total 
“Q”, onde , são determinadas em função do teorema utilizado e 
diretamente proporcionais aos comprimentos “Lx” e “Ly”.
Observe a Figura 2:
Figura 2: Laje armada em duas direções.
Fonte: Bastos (2015, p.2). 
6 UNIUBE
1.1.2 Vão efetivo
Para cálculo do vão efetivo, ou seja, do comprimento efetivo na direção 
considerada, usa-se o comprimento de centro geométrico de aplicação 
de apoio da laje na viga. Para tanto, deve-se tomar o comprimento da 
laje neste sentido, acrescido da metade da largura da viga de borda. Este 
modelo (ABNT_NBR 6118/2014, item 14.6.2.4) embasa-se na prática de 
utilização de vigas prismáticas retangulares – paralelepípedos retângulos 
– em que o centro geométrico da mesma em qualquer face será a exata 
metade desta face. Observe a Figura 3:
Figura 3: Vão teórico.
Como é possível observar na Figura 3, o apoio da laje se dá efetivamente 
no centro de gravidade das vigas de borda, neste caso V1 e V2. Assim 
sendo, o comprimento efetivo será:
Onde: 	=	Vão	teórico	para	determinação	dos	esforços	solicitantes.
=	Comprimento	medido	do	painel	de	lajes.	(Sem	considerar	as	vigas	
nas bordas).
 UNIUBE 7
1.1.3 Vinculações das lajes maciças
As lajes podem apoiar-se em vigas, paredes, pilares, ou ter sua borda 
livre. Os casos mais comuns se referem ao apoio em vigas, comumente 
chamadas de vigas de borda. Os tipos de vínculo existentes são: 
simplesmente apoiadas, livres, engaste perfeito e engaste elástico.
a) Bordas simplesmente apoiadas
As lajes interrompidas ou que não possuam continuidade são 
consideradas, para efeito de cálculo, como simplesmente apoiadas. Eis 
que surge, neste momento, um aspecto muito importante para análise. As 
lajes,	independentemente	da	sua	configuração,	classificação	ou	material,	
quando em serviço, tendem a levantar as bordas. Este fato é fácil de ser 
explicado: o momento positivo máximo encontra-se próximo ao centro da 
laje.	A	deflexão	máxima	positiva	(para	baixo)	também	se	dará	no	ponto	
onde o momento é máximo positivo, fazendo com que haja tendência 
ao levantamento da borda. Este fato, aliado à alta rigidez (EI) à torção 
do elemento da borda (paredes, vigas de grande altura e pilares), fará 
aparecerem momentos volventes. Os momentos volventes ou momentos 
de	fissuração	serão	tratados	mais	adiante	neste	mesmo	livro.
Nos edifícios mais comuns, as lajes têm, como delimitação, vigas 
de pequeno e médio portes; deste modo, vigas de baixa rigidez (EI), 
possibilitando, ao conjunto, uma rotação síncrona; garantindo, ao conjunto 
estrutural,	a	condição	de	simplesmente	apoiada	e	menor	fissuração.	
É importante lembrar que esta rotação é pequena, dada pela terceira 
integral do quinhão de carga do carregamento na direção considerada 
ou da derivada da equação da linha elástica – Rotação Angular. Observe 
a Figura 4:
8 UNIUBE
Figura 4:	Rotação	do	elementode	apoio	em	função	da	deflexão	da	laje.
b) Bordas Livres
As lajes que possuem uma ou mais bordas sem nenhum tipo de apoio 
são	classificadas,	para	fim	de	cálculo	dos	esforços	solicitantes,	como	
bordas livres. É pouco comum encontramos bordas livres em construções 
de edifícios correntes, portanto não nos aprofundaremos neste modelo. 
Um exemplo visualizável é a laje de muros de arrimo sem viga de 
respaldo.
c) Engaste Perfeito
Lajes perfeitamente engastadas são aquelas em que o giro é 
completamente impedido pela rigidez da viga que a suporta. São as lajes 
em balanço. Aplicáveis em casos como sacadas, marquises, varandas, etc. 
 UNIUBE 9
Observe a Figura 5:
Figura 5: Laje em balanço engastada na viga de borda. 
Fonte: Bastos (2015, p.4).
Outra situação em que consideramos uma laje com um engaste perfeito 
se dá quando há grandes diferenças de espessura ou de comprimentos 
entre duas lajes adjacentes. Este caso será mais bem explicado no 
exemplo	resolvido	no	final	do	Capítulo.
d) Engaste elástico
Este tipo de engaste é muito comum em lajes em que haja continuação. 
Para	fins	de	cálculo,	considera-se	cada	painel	de	laje	isolado,	nos	pontos	
de continuidade são engastados perfeitamente e depois compatibilizados 
de modo a tentar alcançar o valor real do engaste elástico. É sabido que 
um engaste elástico depende de um fator de mola e este fator depende 
de uma série de variáveis complexas. As equações que solucionam estes 
problemas de engaste elástico dependem da teoria utilizada e serão 
demonstrados mais à frente neste capítulo. 
No momento nos importa entender como dois momentos de 
engastamentos perfeitos de intensidades distintas serão compatibilizados.
10 UNIUBE
Figura 6: Momentos de engastamento elástico. 
Fonte: Bastos (2015, p.5). 
Ações a serem consideradas1.2
As ações são as cargas que a laje deve resistir, atendendo ao – E.L.U 
– Estado de Limite Último à ruptura e ao – E.L.S – Estado de Limite de 
Serviço, conforme disposto na ABNT_NBR 6118/2014. O primeiro trata 
da	verificação	quanto	à	ruptura/colapso	e	o	último	quanto	à	sensibilidade	
visual,	deflexão.	Estes	estados	serão	mais	bem	estudados	quando	
estivermos dimensionando as lajes.
Estes carregamentos provêm de várias ações distintas: peso próprio, 
acabamentos, paredes, móveis, pessoas, etc. Os valores de cada ação 
podem ser consultados na ABNT_NBR 6120/1980 – Cargas para o 
cálculo	de	estruturas	de	edificações.
É fato que o conhecimento do calculista acerca da densidade dos 
materiais dispostos sobre a laje também auxiliará na composição do 
carregamento	final.	A	unidade	final	do	carregamento	será	em	unidade	
de força por unidade de área.
 UNIUBE 11
1.2.1 Carregamento proveniente do peso próprio
O peso próprio da estrutura de concreto armado pode ser calculado em 
função da sua espessura. Através do item 3, Tabela 1 da NBR 6120/1980 
temos que o concreto armado tem seu peso próprio na ordem de 25 KN/m³.
,q pp yc e= ∗ ,
Onde:
1.2.2 Carregamento proveniente da regularização/contrapiso
De maneira análoga ao peso próprio, a Tabela 1 da ABNT_NBR 
6120/1980 fornece as densidades das misturas em função do tipo de 
regularização, seja ela com areia, cimento e cal ou apenas com areia e 
cimento, etc.
,
Onde:
q,pr=carga	do	peso	próprio	da	 regularização.	Depende	do	 tipo	de	
combinação,em KN/m²
γr=peso	específico	da	regularização	em	função	do	tipo	de	combinação,em	
KN/m³
e=espessura	da	regularização,em	metros
1.2.3 Carregamento proveniente do reboco do teto
Note que, em uma laje de piso, a mesma servirá de piso para o pavimento 
“n” e teto para o pavimento “n-1”. Deste modo, devemos escolher o tipo 
12 UNIUBE
de material empregado no reboco/acabamento do teto e proceder como 
já nos é familiar: 
,
Onde:
1.2.4 Carregamento proveniente do piso assentado
Cada tipo de piso, os mais comumente utilizados na construção civil, 
estão listados na ABNT_NBR 6120/1980. Procederemos de maneira 
idêntica as anteriores:
,
Onde:
1.2.5 Carregamento proveniente de paredes
Em alguns casos, a arquitetura dispõe de paredes sobre as lajes sem que 
haja a possibilidade de lançarmos sob as mesmas vigas para suportá-las. 
O modelo de cálculo mais conveniente dependerá do comprimento destas 
paredes, altura e espessura. A melhor solução, dentre as possibilidades 
arquitetônicas, deverá ser analisada pelo engenheiro calculista.
 UNIUBE 13
De todo modo, o carregamento destas paredes, quando houver, deverá 
ser calculado da seguinte maneira:
a) Em lajes armadas em uma direção:
Em lajes armadas em uma direção, temos dois casos possíveis:
• Paredes longitudinais à menor direção da laje: estas paredes são 
as que a sua disposição acompanha o lado armado principal da 
laje, e seu carregamento será distribuído em uma faixa de 
.¹ Soma-se ao carregamento total da laje, o carregamento linear da 
parede (KN/m). De maneira geral podemos dizer que:
Onde:
Figura 7: Parede longitudinal à armação principal.
Fonte: Bastos (2015, p.9).
14 UNIUBE
É	pertinente	alertar	que	esta	situação	pode	causar	fissuras	excessivas	
no	acabamento	da	laje	enquanto	teto.	O	fato	se	justifica	pela	diferença	
de carregamento entre as faixas métricas da laje, onde, na faixa sob 
a parede, teremos um carregamento acentuado devido ao peso das 
mesmas. Partindo do pressuposto de que toda laje tenha uma única 
espessura,	a	flecha/deflexão	sob	a	parede	será	maior,	proporcionalmente	
ao acréscimo da carga proveniente da parede.
• Paredes perpendiculares à menor direção da laje: estas paredes, 
pela disposição dos quinhões de carga e seu sentido de atuação, 
configurarão	em	uma	carga	pontual	(KN)	exatamente	onde	a	mesma	
venha a passar. Ao contrário da situação anterior em que a parede 
exercerá o carregamento no mesmo sentido da armação principal, 
nesta situação, a carga da mesma será distribuída nas diversas 
faixas unitárias consideradas no dimensionamento. De maneira 
geral, podemos escrever:
Onde:
1 – Cada autor atribui uma faixa de domínio para atribuição do 
carregamento da parede. A largura da faixa apresentada neste livro 
está de acordo com os estudos do Prof. Dr. Paulo Sérgio dos Santos 
Bastos (UNESP –SP).
 UNIUBE 15
Figura 8: Parede perpendicular à armação principal. 
Fonte: Bastos (2015, p.10). 
b) Paredes sobre lajes armadas em duas direções
Neste caso, entende-se que a carga proveniente da parede será 
distribuída por toda a placa, somando-se às ações decorrentes do peso 
próprio, acabamentos etc. Como os carregamentos assumem a forma 
de unidade de força por unidade de área, o processo para cálculo deste 
carregamento será descrito a seguir:
Onde:
16 UNIUBE
1.2.6 Carregamento acidental
Entende-se por carregamento acidental, as cargas que não são 
provenientes da estrutura e seu acabamento. Dentro dessa gama, 
encontram-se os móveis, as pessoas, os equipamentos, maquinários, 
etc. De modo a facilitar a consideração destas cargas, o calculista pode 
consultar a ABNT_NBR 6120/1980, de modo a retirar de lá as ações 
pertinentes a cada tipo de utilização da laje.
Valores máximos e mínimos1.3
No dimensionamento das lajes maciças de concreto armado, devemos 
observar as regulamentações impostas pela ABNT_NBR 6118/2014. 
Estas regulamentações atingem vários aspectos inerentes ao 
dimensionamento feito pelo engenheiro calculista. Dentre estes limites, 
os mais comuns são:
• Altura mínima da laje maciça: 
No item 13.2.4.1, a ABNT_NBR 6118/2014 trata como sendo a menor 
altura permitida às lajes maciças, devido a sua disposição, os seguintes 
valores:
a) 7 cm para cobertura não em balanço;
b) 8 cm para lajes de piso não em balanço;
c) 10 cm para lajes em balanço;
d) 10 cm para lajes que suportem veículos com peso 
total menor que 30 kN;
e) 12 cm para lajes que suportem veículos com peso 
total maior que 30 kN;
f) 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, 
com no mínimo L/42 para lajes biapoiadas e L/50 para 
lajes de piso contínuas;
g) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo, 
forado capitel.
(ABNT, 2014)
 UNIUBE 17
• Cobrimento nominal mínimo:
A tabela 7.2 da ABNT_NBR 6118/2014 traz os valores mínimos do 
cobrimento nominal as armaduras em função da classe de agressividade 
ambiental em que a laje esteja contextualizada.
Tabela 1: Correspondência entre a classe de agressividade ambiental e o cobrimento 
nominal
Fonte: ABNT_NBR 6118/2014
Para garantir o cobrimento mínimo exigido, soma-se ao valor do 
cobrimento	nominal	o	valor	da	tolerância	de	execução,	∆c	=	10	mm.
Deste modo é possível escrever a equação do cobrimento mínimo como 
sendo:
18 UNIUBE
∆c
É	possível	também	recordar	que	a	altura	útil	de	uma	peça	fletida	é	a	
altura que realmente contribuirá para resistir às tensões provocadas 
pela	flexão.	No	caso	do	concreto	armado,	a	resistência	à	tração	(tração	
decorrente	da	flexão)	é	desprezada;	sendo	assim,	é	descartada	toda	
área abaixo do centro de gravidade da última barra longitudinal. Deste 
modo, é possível calcular a altura útil “d”, para laje de concreto armado, 
da seguinte maneira:
e
onde:
Obs.	Como	não	é	possível	conhecer	as	bitolas	da	armadura	de	flexão	
antes do dimensionamento, é comum utilizarmos de diâmetros médios 
para cálculo da altura útil. Como na maioria dos casos, as bitolas das 
armaduras estarão próximas de 8 mm, pode-se adotar este valor. 
Neste	livro,	o	autor	adota	o	diâmetro	de	10	mm	para	este	fim,	pois	será	
possivelmente a maior bitola a ser utilizada neste tipo de elemento.
 UNIUBE 19
Pré-dimensionamento1.4
O primeiro passo para dimensionar uma laje de concreto armado é a 
estimativa	da	altura	final	da	laje,	obedecendo	sempre	os	limites	mínimos	
de espessura conforme a ABNT_NBR 6118/2014, assunto já abordado. 
Existem algumas maneiras de fazer esta estimativa, porém o autor se 
limita a apontar a que ele utiliza em seu escritório de cálculo e defendida 
por dois renomes da área: prof. Dr. Libânio Pinheiro e prof. Dr. Paulo 
Bastos.	(Vide	Referências	ao	final	do	Capítulo)
A	altura	final	da	laje	pode	ser	estimada	pela	expressão:
onde:
Note que, ao pré-dimensionar as lajes, conseguimos a estimativa do 
peso próprio atuante devido à densidade do concreto empregado. Este 
pré-dimensionamento	serve	apenas	para	este	fim:	calcular	o	peso	próprio	
do	concreto	armado.	Não	se	dispensa	a	necessidade	de	verificar	as	
flechas,	constantes	do	E.L.S.	
Dimensionamento: determinação das reações de apoio1.5
Ao	contrário	de	toda	teoria	demonstrada	até	o	final	deste	capítulo,	
a determinação das reações de apoio, ou seja, a carga que a laje 
descarrega nos elementos de sustentação, sejam eles vigas de borda, 
paredes, pilares etc, serão calculados supondo um comportamento 
20 UNIUBE
plástico. O método admitido pela ABNT_NBR 6118/2014(item 14.7.6.1_
Reações de apoio) chama-se Método das Charneiras Plásticas. Quando 
a análise não for completa, admite-se: 
Para o cálculo das reações de apoio das lajes maciças 
retangulares com carga uniforme podem ser feitas as 
seguintes aproximações:
a) as reações em cada apoio são as correspondentes 
às cargas atuantes nos triângulos ou trapézios 
determinados através das charneiras plásticas 
correspondentes à análise efetivada com os critérios 
de 14.7.4, sendo que essas reações podem ser, de 
maneira aproximada, consideradas uniformemente 
distribuídas sobre os elementos estruturais que lhes 
servem de apoio;
b) quando a análise plástica não for efetuada, as 
charneiras podem ser aproximadas por retas inclinadas, 
a partir dos vértices, com os seguintes ângulos:
- 45° entre dois apoios do mesmo tipo;
- 60° a partir do apoio considerado engastado, se o 
outro for considerado simplesmente apoiado;
- 90° a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre. 
(ABNT, 2014, p. 96).
1.5.1 Reações de apoio em lajes armadas em uma direção - 
Para	este	caso	específico,	a	metodologia	de	cálculo	passa	pela	suposição	
de vigas paralelas com largura ( ) igual a 1m (100cm). Portanto, para 
a direção principal, o cálculo consiste em determinar a reação de apoio 
por metro de laje como já estudado diversas vezes nas disciplinas de 
Teoria das Estruturas.
Para cargas distribuídas nas lajes:
 UNIUBE 21
Onde: 
Quanto mais próxima de 2 for a relação , mais haverá a tendência dos 
esforços se distribuírem em quinhões de carga, como será tratado no 
próximo item. Para consideração destas reações possíveis no sentido 
secundário, segundo o método das charneiras plásticas, tomamos a área 
do triangulo com ângulos internos com 30°, 30° e 120°, respectivamente.
Figura 9:	Área	de	influência	das	charneiras	plásticas	para	lajes	unidirecionais.	
Fonte: Bastos (2015, p.19).
A favor da segurança, pode-se tomar:
Para cálculo da reação na viga, por metro de viga, temos:
22 UNIUBE
Conclui-se que:
Com em KN/m² e em metros.
1.5.2 Reações de apoio em lajes armadas em duas direções - 
No caso de lajes em que tenhamos duas direções principais, devemos 
utilizar das aproximações permitidas pela norma, e traçarmos os 
triângulos e trapézios em função das vinculações. 
Figura 10: Esquema estático em relação aos triângulos e trapézios pelo método das charneiras 
plásticas. 
Fonte: Bastos (2015, p. 20). 
De maneira aproximada, é possível o cálculo das reações de apoio, 
em função da dedução apresentada para a área do triangulo na laje 
unidirecional, através de tabelas que correlacionam o valor de 
(sempre com ), com o tipo da laje segundo BARÉS, pela seguinte 
expressão:
 em que,
 UNIUBE 23
Dimensionamento: determinação dos momentos fletores1.6
1.6.1 Momentos fletores em lajes armadas em uma direção - 
O esquema de cálculo de laje armada em uma direção assemelha-se ao 
cálculo	dos	momentos	fletores	em	barras,	tal	como	visto	exaustivamente	
nas disciplinas de análises das estruturas. É um processo análogo ao 
dimensionamento das vigas, em que as lajes tornam-se vigas com base/
largura de 1m (100cm). 
As	fórmulas	para	determinação	dos	momentos	fletores,	de	acordo	com	
o tipo de carregamento aplicado (neste caso somente carregamento 
distribuído – kN/m²) e sua vinculação, podem ser resumidas a seguir:
a) Lajes bi apoiadas:
b) Lajes engaste/apoio:
c) Lajes engaste/engaste:
24 UNIUBE
onde:
1.6.2 Momentos fletores em lajes armadas em duas direções - 
Os	momentos	fletores	em	lajes	armadas	em	duas	direções	distribuem-
se de tal maneira que em função do seu quinhão de carga – parcela do 
carregamento que atuará no sentido “x” e a parcela do carregamento que 
atuará no sentido “y” – dispõem de uma complexidade de análise maior. 
Ao contrário das lajes armadas em uma única direção , estas lajes 
possuem algumas teorias clássicas para determinação do módulo destes 
momentos	fletores.	Tal	comprennsão	se	dará	após	a	análise	do	sentido	
de	fissuração	em	placas	retangulares	de	concreto	armado	à	medida	que	
a relação for diminuindo até assumir valores próximos de 1.
A	Figura	11,	a	seguir,	demonstra	como	os	momentos	fletores	tendem	
a desviar seu sentido nos cantos em função dos momentos volventes 
–	momentos	fletores	existentes	devido	à	tendência	de	levantamento	
das bordas das lajes. É possível notar, em seu comportamento, que 
os	momentos	fletores	tendem	a	formar	ângulos	de	45	º	com	a	borda	
horizontal à medida que as dimensões das lajes tendem a ser iguais. 
Enquanto isso, nas dimensões mais distintas , os momentos 
nos centros das placas se desenvolvem perpendicularmente às bordas.
 UNIUBE 25
Figura 11:	Direção	dos	momentos	fletores	principais.
Fonte: Leonhard Te Mönnig (1982, p.82).
Isto	posto,	a	análise	empírica	da	distribuição	dos	momentos	fletores,	
aliada a algumas teorias clássicas, permitem-nos determinar, com 
razoável precisão, os valores das reações verticais, do módulo dos 
momentos	positivos	e	negativos,	da	flecha	máxima	e	equação	da	
linha neutra. Os métodos supracitados encontram-se sob a luz de dois 
métodos: o elástico e o plástico. Neste livro abordaremos o método 
elástico	devido	à	possibilidade	de	utilização	de	tabelas	para	simplificação	
dos cálculos.
Imagineuma	laje	em	que	os	momentos	fletores	e	as	reações	de	apoio	
se distribuem nas duas direções, “x” e “y”. Agora imagine que as 
vinculações desta laje sejam do tipo simplesmente apoiadas para “y” e 
engaste/engaste	para	“x”	(este	fato	se	justifica	pela	laje	como	ausência	
de continuidade no sentido “y”).
26 UNIUBE
Figura 12: Esquema estático de laje bi-direcional. 
Fonte: Bastos (2015, p.6). 
Obervando o esquema estático acima (Figura 12), podemos inferir o 
seguinte:
- o carregamento total Q, atuante sobre a laje será distribuído nas 
duas direções “x” e “y”, conforme seu quinhão de carga. Assim sendo, 
podemos escrever o quinhão de carga atuante no sentido “x” da placa (
) somado à parcela que atuará da carga no sentido “y” da placa ( ) 
tem igual intensidade ao carregamento total ( ).
Considerando	a	placa	como	material	prismático	sujeito	a	deflexões	
elásticas máximas iguais, tanto em “x” como em “y”, podemos escrever:
 , montamos o seguinte 
sistema:
Onde:
	=	quinhão	de	carga	atuante	no	sentido	
	=	quinhão	de	carga	atuante	no	sentido	
	=	vão	de	cálculo	no	sentido	x
 UNIUBE 27
	=	vão	de	cálculo	no	sentido	y
	=	Módulo	de	Elasticidade	secante	do	concreto	armado
	=	Momento	de	Inércia	da	seção	retangular	do	concreto	armado
Isolando , temos:
Substituindo na segunda equação e chamando 	de	λ,	temos:
Colocando em evidencia e isolando-no em função de Q, temos:
Como , temos:
Simplificando:
Deste modo, para este tipo de vinculação, é possível determinar o 
quinhão de carga para cada sentido (“x” e “y”), conhecendo a relação 
 e o valor do carregamento atuante .
De maneira análoga, é possível determinar os quinhões de carga para 
todas as combinações possíveis de vinculações, desde a laje isolada 
(simplesmente apoiada em todas as bordas) como totalmente engastada. 
28 UNIUBE
Os valores de kx podem ser consultados na tabela de MARCUS anexa 
ao	final	deste	livro,	onde,	deste	modo,	foram	calculados:
Este processo é mesmo usado nas tabelas de MARCUS, para cálculo 
dos	momentos	fletores	negativos.	Os	momentos	fletores	positivos	são	
aliviados pelo possível engastamento elástico parcial que a laje sofre.
Os	momentos	fletores	atuantes	podem	ser	calculados	sem	uso	de	
tabelas, para esta metodologia demonstrada acima, da seguinte maneira:
Se o lado “x”, simplesmente chamado de , é engastado/engastado, 
o momento de engastamento perfeito, de uma forma geral, pode ser 
calculado da seguinte maneira para a faixa de um metro de laje:
2 1
kN kNQ m Q
m m
   ∗ =   
   
Da segunda integral do carregamento, encontrando a condição de 
contorno para determinação das constates de integração, temos a 
equação	do	momento	fletor:
 e 
Genericamente:
E para este caso:
Se 
4
4
5
5 1
qx Q λ
λ
∗
= ∗
∗ +
 , então,
 UNIUBE 29
Exemplo: O esquema (Figura 13), a seguir, é a laje de um apartamento 
isolada no seu maior vão ly e possui lajes adjacentes no seu menor vão 
lx. 
Sabendo que ela será dimensionada para suportar um carregamento total 
de	10	kN/m²,	calcular	os	momentos	fletores	atuantes	nesta	laje:
Veja a resolução, a seguir.
Sabendo que a laje é do Tipo 4, conforme	a	classificação	de	MARCUS,	
pois se trata de engaste/engaste em lx e apoio/apoio em ly, temos:
Figura 13: Esquema estático de laje bidirecional.
Fonte: Bastos (2015, p.6).
30 UNIUBE
Por	fim,	é	necessário	dizer	que	hoje	existem	diversas	maneiras	de	
analisar	os	momentos	fletores	atuantes	nas	lajes.	Por	este	método,	
após o conhecimento dos quinhões de carga, é possível se atingir boa 
precisão analisando as continuidades por programas de cálculo e análise 
de estruturas planas, como o FTOOL, por exemplo.
1.6.1.1 Cálculo de momentos fletores com utilização da tabela de 
 Marcus
Com a dedução demonstrada no item anterior, lançando mão do sistema 
linear,	é	possível	calcular	com	certa	precisão	os	momentos	fletores	
atuantes em todos os tipos de lajes, em função das vinculações e da 
relação . Porém, além de trabalhoso, esse método conta com 
uma precisão menor do que as observações feitas por alguns autores, 
baseados em conceitos físicos mais apurados. Em função deste 
problema é que iniciaremos os cálculos, utilizando as tabelas de Marcus 
disponibilizadas	ao	final	desse	livro.	É	possível	comparar	os	valores	
dos	momentos	fletores	obtidos	pelas	equações	a	seguir	em	função	dos	
coeficientes	Mx,	My,	Xx,	Xy	e	λ	com	os	obtidos	através	das	deduções	
anteriores.
Conforme	as	tabelas	de	MARCUS,	os	momentos	fletores	são	calculados	
segundo as seguintes expressões:
 UNIUBE 31
onde:
 
Para	utilização	destas	fórmulas,	é	necessário	classificar	as	lajes	conforme	
suas vinculações. São seis tipos, conforme a Figura 14:
Figura 14: Tipos de lajes.
Para	consultar	esta	 tabela,	além	de	classificar	a	 laje	segundo	sua	
vinculação dentro dos seis tipos existentes, também é necessário 
identificar	 e .
O critério consiste em observar qual o lado com o maior número de 
engastes, este sempre será . No caso de haver igual número de 
engastes entre os vãos, e , o primeiro será o que possui menor 
comprimento.
32 UNIUBE
A determinação dos quinhões de carga passa pelas mesmas regras que 
a	determinação	dos	momentos	fletores.
Exemplo de aplicação: Resolvendo o exemplo anterior com o auxílio das 
tabelas, temos:
Da Tabela, tiramos:
Note que o valor do momento de engastamento é exatamente igual ao 
calculado	pelo	autor	através	da	dedução	da	igualdade	entre	as	flechas.	
Nos momentos positivos, a margem de erro é pequena com relação aos 
valores	encontrados	através	dos	coeficientes	das	tabelas.	Em	suma,	a	
utilização da tabela é mais vantajosa e a demonstração serve para ilustrar 
como se determinam as fórmulas utilizadas.
1.6.1.2 Cálculo de momentos fletores com utilização da Tabela de 
 BARÉS
Outro método para se calcular os esforços solicitantes em lajes de 
concreto armado em duas direções, supondo o comportamento elástico, 
o material homogêneo e isótropo é a Teoria das Placas, proposta por 
Lagrange em 1811. 
 UNIUBE 33
Este	método	relaciona	as	deflexões	ocorridas	em	cada	sentido	da	placa	
(laje) com o quociente entre o carregamento distribuído total e a rigidez 
do material. A equação fundamental baseia-se na igualdade entre a 
derivada de quarta ordem de cada equação da linha elástica (“x” e “y”), 
somada à derivada parcial da mesma linha elástica. Esta equação pode 
ser descrita como segue:
Onde:
Sendo o módulo de elasticidade e 	o	coeficiente	de	Poisson.
É fácil de notar a complexidade de resolução da teoria das placas em 
função	dos	vários	tipos	de	vinculação	e	λ	existentes.	Para	a	simplificação	
dos cálculos utilizaremos as tabelas de BARÉS, obtidas pelo processo 
de	diferenças	finitas	e	adaptadas	por	Pinheiro	(2007).	Tais	tabelas	
encontram-se	ao	final	do	seu	livro.	A	diferença	na	adaptação	se	dá	
na	consideração	do	valor	do	coeficiente	de	Poisson,	que	antes	era	de	
 e por Pinheiro (2007), .
A utilização destas tabelas é muito semelhante à utilização das tabelas 
de MARCUS, exceto por um detalhe que segue:
Conforme a Tabela de BARÉS adaptada por Pinheiro (2007), os 
momentos	fletores	são	calculados	segundo	as	seguintes	expressões:
34 UNIUBE
 
Para	utilização	destas	fórmulas,	é	necessário	classificar	as	lajes	conforme	
suas vinculações. São seis tipos, conforme o que segue:
Figura 15: Tipos de vinculações de lajes, segundo Barés. 
Fonte: Pinheiro (2007).
Exemplo de aplicação:
Utilizando o exemplo da metodologia anterior (item 1.6.1.1), vamos 
calcular	os	momentos	fletores	da	mesma	laje	com	a	tabela	de	BARÉS	
adaptada por Pinheiro (2007).
Neste caso, a laje é do tipo 4b (menor lado biengastado). ly
lx
λ =
 UNIUBE 35
Da tabela, tiramos:
É possível notar que os valores calculados por este método, com relação 
aos dois métodos antes apresentados (Dedução e Processo de Marcus), 
são mais conservadores. Os valores, em módulo, são maiores do que 
os calculados outrora.
Na resolução do caso prático, mais adiante, discutiremos sobre a 
relevância da diferençaentre os módulos dos valores dos momentos 
fletores.
1.6.3 Compatibilização entre os momentos fletores obtidos
Na maciça maioria dos casos, as lajes de edifícios residenciais não são 
isoladas, ou seja, possuem continuidade. Isto implica dizer que não temos 
mais um caso de estrutura isostática nem tampouco um engastamento 
perfeito.	Haver	continuidade	implica	dizer	que	os	momentos	fletores	
negativos surgidos nas vinculações das bordas das lajes têm intensidade 
igual	ao	momento	fletor	surgido	na	borda	adjacente.	Surge,	aí,	um	
problema: Como analisar lajes com espessuras e comprimentos 
diferentes	sucetíveis	a	momentos	fletores	negativos	diferentes?	Para	
resolver tal demanda, utilizaremos um processo há muito usado em 
escritórios de cálculo no Brasil e que já foi difundido nas literaturas 
específicas.	Segundo	a	NBR	6118/2014	está	compatibilização	pode	ser	
feita das seguintes maneiras:
36 UNIUBE
Quando houver predominância de cargas permanentes, 
as lajes vizinhas podem ser consideradas isoladas, 
realizando a compatibilização dos momentos sobre 
os apoios de forma aproximada. No caso de análise 
plástica, a compatibilização pode ser realizada 
mediante a alteração entre as razões dos momentos de 
borda e vão, em procedimento iterativo, até obtenção de 
valores equilibrados nas bordas. Permite-se a adoção 
do maior momento negativo em vez de equilibrar 
os momentos das lajes diferentes sobre uma borda 
comum. (ABNT, 2014, p. 97).
Da recomendação acima, tiramos as seguintes conclusões:
O	processo	que	utilizamos	para	cálculo	dos	momentos	fletores	é	feito	sob	
a ótica do comportamento elástico, portanto não nos cabe o processo 
iterativo.	A	adoção	do	maior	momento	fletor	permite-nos	uma	margem	
alargada de segurança, margem esta que já é coberta pelos inúmeros 
coeficientes	de	majoração	e	minoração	adotados	no	dimensionamento	
no E.L.U (Estado Limite Último). Deste modo, a compatibilização entre 
momentos	fletores	negativos	de	intensidades	diferentes	se	dará	sob	as	
seguintes condições:
1º	utiliza-se	o	maior	valor	entre	a	média	aritmética	simples	ou	oitenta	
por	cento	do	maior	valor	de	momento	fletor.	Para	melhor	entendimento,	
imagine	duas	lajes	adjacentes	que	possuam	dois	momentos	fletores	
distintos onde, :
2º	não	há	compatibilização	entre	dois	momentos	onde	um	deles	seja	
nulo. Neste caso, é necessário armar a laje para combater o momento 
fletor	não-nulo	em	sua	total	intensidade.	Imagine	duas	lajes	adjacentes	
que	possuam	dois	momentos	fletores	distintos	onde,	 e , 
tem-se então:
 UNIUBE 37
3º	em	casos	especiais	de	vinculação,	em	que	uma	das	lajes	pode	
assumir dois tipos de vínculo, em que um dos vínculos trará para a laje 
um momento nulo, armar a laje para a combinação mais desfavorável 
dentre a primeira e a segunda condição sobrescrita;
4ª também em casos especiais de vinculação, em que uma laje faça 
divisa com mais de uma laje, tomar a pior situação para cálculo da 
armadura de aço. Este fato parece controverso, pois admite, em certos 
casos, armaduras excessivas para um determinado comprimento de laje, 
porém	facilita	a	compreensão	do	profissional	responsável	pela	armação	
das barras de aço no canteiro de obras. As condições 3ª e 4ª serão 
melhores	interpretadas	no	exemplo	ilustrativo	ao	final	deste	capítulo.
Estas condições implicam alteração dos diagramas de momentos 
fletores,	há	acréscimo	no	momento	de	menor	intensidade	e	redução	nos	
momentos de maior intensidade. Como as lajes em sua grande maioria 
são solicitadas por cargas distribuídas por área e posteriormente lineares 
(quando se considera as cargas por faixa de metro de laje kN/m, Kgf/m 
etc)	o	seu	diagrama	de	momento	fletor	deverá	responder	a	uma	parábola	
advinda de uma equação quadrática, tipo , em que o 
vértice da parábola (equivalente ao momento máximo positivo) também 
deverá	sofrer	redução/inflação	dependendo	da	compatibilização	feita.
Deste modo, uma maneira segura de rearranjar o diagrama é utilizar a 
seguinte prática:
• para o momento máximo positivo cujo momento de engastamento 
perfeito tenha sido aumentado: neste caso, o momento positivo 
naturalmente sofreria redução, porém em função da segurança, 
manteremos o valor calculado;
• para o momento máximo positivo cujo momento de engastamento 
perfeito tenha sido reduzido: neste caso, haverá acréscimo do 
momento máximo positivo e o mesmo será feito deste modo:
38 UNIUBE
em que:
Figura 16:	Compatibilização	dos	momentos	fletores	negativos	e	consequente	acréscimo	
no	momento	fletor	máximo	positivo.
 UNIUBE 39
1.6.4 Condições de vinculação
Com exceção das lajes em balanço e casos raros de disposição 
construtiva (lajes com uma borda livre e três apoiadas), as lajes só serão 
consideradas engastadas nas bordas quando houver continuidade com 
outro painel de laje. Isto implica dizer que as lajes, nestes casos mais 
comuns, não são engastadas nas vigas ou elementos de borda e sim 
engastadas nas lajes adjacentes. Se esta situação não ocorrer, as lajes 
serão calculadas como simplesmente apoiadas nos elementos de suporte 
nas bordas (vigas, paredes, pilares etc.)
1.6.4.1 Condições especiais de vinculação
Em alguns casos, não muito raros, as lajes têm continuidade interrompida 
no seu sentido considerado ou possuem grandes diferenças de 
comprimento (vão de cálculo) ou até mesmo grandes diferenças de 
espessuras.	Para	tratar	de	definir	parâmetros	para	nossos	estudos,	o	
autor reserva-se o direito de apresentar os métodos por ele usados em 
seu escritório de cálculo. Veja a seguir.
a) Lajes que possuam a continuidade interrompida ou continuidade 
parcial:
as lajes maiores deverão ser consideradas como engastadas nas 
lajes menores caso a laje menor tenha o vão de cálculo maior 
que dois terços do comprimento da laje maior. Deste modo: 
. Independente desta condição, a 
laje menor será engastada na laje maior;
as lajes menores que possuam comprimento entre dois terços da laje 
maior e um terço também da laje maior deverão ser calculadas como 
engastadas e apoiadas e tomar a pior combinação para cálculo das 
armaduras: . Independente desta condição, a laje 
menor será engastada na laje maior.
40 UNIUBE
Caso as lajes menores possuam seu vão de cálculo no sentido 
considerado menor que um terço da laje maior, calcula-se a laje maior 
como simplesmente apoiada na laje menor. .
Figura 17: Lajes interrompidas.
b) Lajes com espessuras muito diferentes:
Quando uma laje tem espessura muito diferente da outra, a propagação 
dos	momentos	fletores,	sob	a	luz	da	Teoria	dos	Deslocamentos,	tenderá	à	
laje que possua maior rigidez. A rigidez (EI) é proporcional ao módulo de 
elasticidade e ao momento de inércia. Na maioria, o concreto bombeado 
na concretagem tem o mesmo Fck para todas as lajes. Então resta-nos 
o estudo do momento de inércia da seção retangular. O autor considera 
que	uma	diferença	significativa	para	considerar	uma	laje	apoiada	em	
outra se dá quando uma laje possui o triplo da inércia da outra. Quando 
isto ocorrer, convém considerar a laje de maior inércia apoiada na laje 
de menor inércia.
 UNIUBE 41
em que: 
É importante lembrar que este é um critério pessoal e cada literatura 
adotará, ou não, seu próprio critério. Deste modo, para que se considere 
uma laje de maior espessura apoiada na de menor espessura, a primeira 
tem que ter 44% a mais de espessura.
c) Lajes que possuam grandes diferenças de comprimento e momentos 
fletores.
Este caso peculiar, ocorre na maioria das vezes com as lajes das sacadas 
ou dos corredores (hall de circulação). Quando uma placa é muito maior 
do que a sua continuidade poderão, devido à grande diferença de 
momentos	fletores,	ocorrer	momentos	negativos	no	centro	da	laje	menor.	
No caso de lajes em balanço (sacadas), poderá haver levantamento 
desta laje. Portanto, cabe ao calculista analisar criteriosamente cada 
caso para que o mesmo tome a melhor medida para cada situação. 
Como medida paliativa razoável é, possível considerar a laje menor (do 
hall ou da sacada)engastada na maior e a maior laje apenas apoiada 
na laje menor.
Quando	se	tem	momentos	fletores	muito	maiores	 , convém 
considerar	a	laje	de	maior	momento	fletor	apoiada	na	de	menor	momento	
fletor.
42 UNIUBE
Figura 18: Detalhe do levantamento imposto por vãos muito diferentes em lajes contínuas.
Conclusão1.7
Após	a	leitura	deste	capítulo	é	possível	observar	que	há	duas	verificações	
em que o engenheiro deverá se ater: Estado Limite último – ELU e Estado 
Limite de Serviço- ELS. Todas as prescrições estão presentes na NBR 
6118/2014 e a rotina do dimensionamento poderá ser feita de acordo 
com a necessidade de cada caso, sendo o primeiro passo o lançamento 
estrutural.
Resumo
Neste primeiro capítulo, começamos o nosso estudo referente ao 
dimensionamento de lajes de concreto armado, sendo possível destacar:
• a	definição;
• ações a serem consideradas;
• valores máximos e mínimos; 
• pré-dimensionamento;
• determinação das reações de apoio;
• determinação	dos	momentos	fletores.
 UNIUBE 43
Referências
ABNT_NBR6118: 2014. Projeto de estruturas de concreto - Procedimento. Disponível 
em:	<https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid...>.	Acesso	em:	set.	2017.
ABNT_NBR6120:	Nov.	1980.	Cargas	para	cálculo	de	estruturas	de	edificações.	
Disponível	em:	<https://engenhariacivilsp.files.wordpress.com/2014/02/nbr6120.pdf>.	
Acesso em: maio. 2018.
BASTOS, Paulo Sérgio dos Santos. Lajes de Concreto - Notas de aula, Bauru, 
2015.	Disponível	em:	<wwwp.feb.unesp.br/pbastos>.	Acesso	em:	02	ago.	2017.
LEONHARDT, F.; MÖNNIG, E. Construções de concreto. In: Princípios básicos 
do dimensionamento de estruturas de concreto armado, v. 1. Rio de Janeiro, 
Ed. Interciência, 1982.
LEONHARDT, F.; MÖNNIG, E. Construções de concreto. In: Casos especiais de 
dimensionamento de estruturas de concreto armado, v. 2. Rio de Janeiro, 
Ed. Interciência, 1982, 305p.
PINHEIRO, Libâneo. Fundamentos do Concreto e Projeto de Edifícios- v.l, São 
Carlos,	2007.	Disponível:	<wwwp.eesp_usp_pinheiro.usp.br>.	Acesso	em:	02	ago.	
2017.
SANTOS, L.M. Cálculo de Concreto Armado, v.l, São Paulo: Editora LMS, 1983.
PFEIL, W. Concreto armado, v. 1/2/3, 5. ed. Rio de Janeiro: Editora Livros Técnicos e 
Científicos,	1989.
Introdução
Lajes maciças – 
dimensionamento 
das armaduras de 
flexão e verificação do 
cisalhamento e flechas
Capítulo
2
O	 dimensionamento	 na	 flexão	 das	 lajes	 maciças	 depende	
basicamente do estádio em que o carregamento submeteu o 
elemento de concreto armado, bem como o domínio que a sua 
altura e largura possibilitem ao elemento. Como as lajes são 
placas, assemelham-se às vigas de comprimento váriável e 
largura de um metro. Dimensioná-las passa pelo crivo da ánalise 
da	profundidade	da	linha	neutra	e	como	esta	irá	influenciar	a	
deformação na armadura de aço e no concreto comprimido. Estes 
fatores serão analisados neste capítulo.
Os esforços cortantes são, quase sempre, absorvidos pelos 
próprios mecanismos do concreto armado, no caso de lajes, e 
sua	verificação	é	feita	a	partir	da	dispensa	de	armadura	transversal	
(estribos). Em vigas, este efeito poderá levar ao colapso, e 
portanto, dedicaremos um capítulo para dissecar este assunto. 
No momento, em lajes maciças, apresentaremos os limites para 
dispensa de armadura transversal. 
Ao	final	dos	estudos	propostos	neste	capítulo,	esperamos	que	
seja capaz de:
Objetivos
46 UNIUBE
• esclarecer os possíveis domínios de cálculo das lajes 
maciças;
• calcular	as	armaduras	em	função	dos	momentos	fletores	
compatibilizados;
• detalhar, em forma, as armaduras que compõem as lajes.
• calcular	as	deflexões	ocorridas,	imediatas	e	diferidas.
2.1 Dimensionamento: dimensionamentos das armaduras
2.1.1 Cálculo das armaduras com utilização da tabela de 
Pinheiro
2.1.2	Área	de	aço	mínima	na	flexão
2.1.3	Área	de	aço	máxima	na	flexão
2.1.4	Diâmetro	máximo	das	barras	fletidas
2.1.5 Espaçamento máximo e mínimo entre as barras
2.1.6	Comprimento	e	disposições	das	armaduras	de	flexão
2.1.7 Armadura para combate dos momentos volventes
2.2 Dimensionamento: dimensionamento da armadura transversal
2.3	Dimensionamento:	flecha
2.3.1 Flecha imediata segundo a NBR 6118/2014
2.4 Conclusão
Esquema
Dimensionamento: dimensionamento das armaduras2.1
O dimensionamento das lajes de concreto armado, sejam elas maciças, 
armadas em uma ou duas direções, nervuradas, treliças pré-fabricadas, 
todas são dimensionadas para trabalharem dentro de um determinado 
estádio e um determinado domínio. 
Ao contrário das vigas de concreto armado que são dimensionadas no 
estádio III, conhecido como cálculo na ruptura, as lajes são dimensionadas 
para trabalharem no estádio I e raramente atingem o estádio II.
 UNIUBE 47
Quando utilizamos a fórmula de pré-dimensionamento demonstrada 
neste capítulo, via de regra, garantimos que a laje esteja contida no 
estádio	I.	O	que	nos	cabe	verificar	é	se	a	altura	da	linha	neutra	realmente	
encontra-se dentro da seção de concreto. É razoável, para garantia 
de boa ductibidade, que os elementos estejam trabalhando abaixo 
do domínio 3, com altura de linha neutra . Vide item 17.2 – 
Elementos lineares sujeitos a solicitações normais – Estado Limite Último 
– E.L.U, da NBR 6118/2014. 
Tendo	conhecimento	dos	momentos	fletores	solicitantes	máximos	e	
tendo calculado a altura útil da laje através da equação de equilíbrio 
dos	momentos	internos,	é	possível	verificar	esta	condição	( ) e 
calcular a armadura, em cm²/m, para atender à tração ocorrida em virtude 
do	binário	de	forças	gerado	pelo	momento	fletor.
Equação de dimensionamento:
Figura 1: Deformação sofrida pela seção transversal de concreto armado no Estado 
Limite Último. 
Fonte: ABNT_NBR 6118/2014, p.28.
O equilíbrio da seção de concreto armado, no caso de lajes, dar-se-á no 
alongamento máximo de 10% na área tracionada (armadura de aço) e 
um encurtamento na seção comprimida de concreto que variará entre 
0% a 3,5%. Este fato garantirá que a linha neutra se encontra dentro da 
seção transversal.
48 UNIUBE
Sendo assim,
Ou seja, a linha neutra variará de 0 a 0,259 d.
Figura 2: Equilíbrio do binário de forças.
Fonte: Bastos (2015, p. 13).
Equilibrando a seção:
A Resultante no concreto “Rc”, na área de aço tracionada “Rs” e na 
área de aço comprimida “R’s”, na iminência do dimensionamento na 
ruptura, considerando o diagrama parábola retângulo com sendo 
aproximadamente 80% da área de um retângulo de altura “x” e o 
aproveitamento de 85% da resistência de cálculo do concreto “Fcd”, 
temos:
 UNIUBE 49
Sendo a altura da linha neutra posicionada a partir do bordo superior e 
em função da altura “d”, escrevemos 
Substituindo “x” por , teremos:
No diagrama retangular das tensões de compressão no concreto:
 
Substituindo na equação , 
temos a equação para armadura de compressão:
Para	armadura	simples	(somente	de	tração,	R’s	=	0),	temos:
E para equilíbrio:
Isolando a área de aço:
50 UNIUBE
Finalmente:
Exemplo de aplicação: Dimensionar a área de aço para uma laje com 
espessura “h” de 11 cm, cobrimento de 2,5 cm, fck de 25 Mpa, aço CA-50 
e	que	possua	momentos	fletores	nas	seguintes	ordens:
Mx	=	4,65	kN.m/m
My	=	1,55	kN.m/m
M’x	=	9,28	kN.m/m
Resolução: 
1º	Supondo	armadura	longitudinal	de	10	mm,	calculamos	a	altura	útil:
2º	Descobrindo	o	domínio	de	cálculo,	para	Mx:
, menor que 0,45, domínio 2, ok!
 UNIUBE 51
3º	Descobrindo	o	domínio	de	cálculo,	para	My:
, menor que 0,45, domínio 2, ok!
4º	Descobrindo	o	domínio	de	cálculo,	para	M’x:
, menor que 0,45, domínio 2, ok!
2.1.1 Cálculo das armaduras com utilização da tabela de Pinheiro
Para facilitar ainda mais os cálculos das áreas de aço em função da 
altura da linha neutra, existe uma tabela criada por Pinheiro (2007), 
que correlaciona a resistência do concreto à compressão Fck com a 
resistência do aço à tração Fyk, condicionando os cálculos a simples 
consultas	a	coeficientes	tabelados:	Kc	e	Ks.
O	coeficiente	que	correlaciona	a	altura	útil	do	elemento	flexionado	com	
a base,o Fck e a altura da linha neutra pode ser deduzido desta forma:
52 UNIUBE
logo:
Para	cálculo	da	área	de	aço,	de	maneira	análoga	ao	coeficiente	Kc,	
deduziremos	o	coeficiente	Ks.
logo:
Para demonstrar a utilidade desta Tabela, iremos refazer o último exemplo 
baseado	nestes	coeficientes.
Para	o	momento	Mx	=	4,65	kN.m/m:
Da Tabela de Pinheiro (2007), procuramos a coluna referente ao 
concreto utilizado, neste caso C-25, encontraremos entre os valores de 
Kc existentes o valor 10,6 e 8,6. Se olharmos na mesma linha a coluna 
mais à esquerda, retiraremos os valores dos domínios de cálculo (altura 
da linha neutra a partir do bordo comprimido), O 
 UNIUBE 53
valor que encontramos com o cálculo manual completo foi de . 
Na	mesma	linha,	procuramos	a	coluna	à	direita	referente	ao	coeficiente	
de aço . Para aço CA-50, temos em ambas as alturas. 
Deste modo, a área de aço será calculada:
Para	o	momento	My	=	1,55	kN.m/m:
Para	o	momento	M’x	=	9,28	kN.m/m:
2.1.2 Área de aço mínima na flexão
A ABNT_NBR 6118/2014 preconiza valores mínimos para as áreas de aço 
à	flexão,	em	função	da	classe	do	concreto	usado.	O	valor	do	momento	fletor	
mínimo, ao qual a área de aço deve ser dimensionada, é calculado por:
em que,
54 UNIUBE
No item 17.3.5.2.1 - Valores Limites para armaduras longitudinais de 
vigas - ABNT_NBR6118/2014, o valor da taxa mínima admitida, em 
função da classe do concreto, é relacionado na tabela 17.3 desta mesma 
norma. Também há que se observar a tabela 19.1 que trata de taxas 
mínimas para lajes de concreto armado.
Tabela 1:	Valores	mínimos	para	armadura	passiva	de	flexão
Fonte: NBR6118/2014, p. 158.
 UNIUBE 55
Tabela 2:	Taxas	mínimas	para	armaduras	de	flexão
Fonte: NBR 6118/2014, p. 130.
Deste	modo,	podemos	conferir	se	nossos	cálculos	ficaram	acima	da	
armadura mínima preconizada por norma:
Devemos armar a laje (nos momentos negativos) para um momento 
mínimo igual a 2,85 KN.m 0,15%*AC.
Porém este valor tem que ser menor que o mínimo de 
Neste último caso (As,y), devemos dispor da armadura mínima de 1,11 
cm²/m.
56 UNIUBE
2.1.3 Área de aço máxima na flexão
Também segundo a ABNT_NBR 6118/2014 há que se respeitar uma 
taxa máxima de armadura na seção transversal. Este valor pode ser 
consultado no item 17.3.5.2.4, em que a mesma prega que:
em que,
Utilizando, como exemplo, a resolução anterior, temos:
2.1.4 Diâmetro máximo das barras fletidas
Nenhuma	barra	de	combate	à	flexão	pode	ter	diâmetro	maior	que	a	oitava	
parte da espessura. 
Para o último caso: 
Conclui-se que, em uma laje de espessura de 11 cm, a bitola máxima 
possível a ser utilizada é a de meia polegada ( .
 UNIUBE 57
2.1.5 Espaçamento máximo e mínimo entre as barras
A única preconização existente na ABNT_NBR 6118/2014 com relação 
às barras de distribuição (armadura secundária de distribuição) é que não 
devem ultrapassar a distância de 33 cm.
Com relação às barras da armadura principal, estas não deverão 
ultrapassar um distanciamento de 2*h ou 20 cm.
Com relação aos valores mínimos nada é disposto. Porém para que haja 
perfeição na concretagem, inclusive sobrando espaço para passagem do 
mangote vibratório, esta distância não deve ser menor que 2 cm.
2.1.6 Comprimento e disposição das armaduras de flexão.
a) Armadura positiva:
Para o comprimento das armaduras positivas a ABNT_NBR 6118/2014, 
em seu item 20.1, dispõe o seguinte: 
Nas lajes armadas em uma ou em duas direções, 
em que seja dispensada armadura transversal de 
acordo com 19.4.1, e quando não houver avaliação 
explícita dos acréscimos das armaduras decorrentes 
da presença dos momentos volventes nas lajes, toda 
a armadura positiva deve ser levada até os apoios, 
não se permitindo escalonamento desta armadura. A 
armadura deve ser prolongada no mínimo 4 cm além do 
eixo teórico do apoio. (ABNT_NBR_2014, p. 169).
Deste modo, é possível concluir que, como na grande maioria das 
lajes de concreto maciço, não há necessidade de armadura transversal 
(estribos), como provaremos mais adiante. A área de aço calculada, após 
a escolha das bitolas e do espaçamento, deverá ser levada de apoio a 
apoio com um prolongamento de 4 cm além do eixo das vigas ou parede 
de borda. Ocorre muito pela facilidade, a dobra destes 4 cm para garantir 
a perfeita ancoragem.
58 UNIUBE
b) Armadura negativa:
Para as armaduras negativas, não há na ABNT_NBR 6118/2014 qualquer 
indicação do comprimento das barras. Porém a NB-1 de 1978 (Norma 
que regulamentou a maioria das construções de edifícios no Brasil, 
devido ao seu tempo de vigência) dispõe sobre o diagrama triangular 
admitido	pelo	momento	fletor	negativo.	Este	diagrama	tem	o	comprimento	
aproximado de em cada lado de laje. Ou seja, o comprimento 
total da armadura negativa terá 50% do maior dos menores lados ( . 
2.1.7 Armadura para combate aos momentos volventes
Em cantos cujas duas bordas sejam apoiadas, e não disponham de 
armadura negativa, há a tendência de levantamento das mesmas pelo 
efeito do momento volvente ou momento torçor. Quando não forem feitos 
os	cálculos	específicos	para	esta	situação,	convém	lançar	armaduras	
para combate aos mesmos, no lado superior destes cantos com um 
comprimento igual 1/5 de lx. Para facilitar a execução, recomenda-se 
adotar malha ortogonal superior com seção transversal (bitola) em cada 
direção, não inferior a .
2.2 Dimensionamento: dimensionamento da armadura 
transversal
Para elementos cuja relação base seja maior ou igual a cinco vezes a 
altura ( ),	a	verificação	da	necessidade	de	armadura	transversal	
(estribos)	é	verificada	conforme	o	item	19.4,	da	ABNT_NBR	6118/2014,	
p.158, que dispõe sobre a necessidade de armaduras transversais para 
os seguintes casos: 
As lajes maciças ou nervuradas, (conforme 17.4.1.1.2-
b), podem prescindir de armadura transversal para 
resistir às forças de tração oriundas da força cortante, 
quando a força cortante de cálculo, a uma distância d da 
face do apoio, obedecer à expressão:
 UNIUBE 59
em que,
Vrd,1=	 esforço	 cortante	 resistente	 de	 cálculo,	
admitindo o modelo 1 (treliças com bielas de inclinação 
Ø=45°também	 em	 kN)	 relativa	 a	 elementos	 sem	
armadura para força cortante.
Para tanto, o valor do esforço cortante resistente de cálculo deve ser 
calculado através da seguinte expressão:
onde:
sendo:
 
em que,
60 UNIUBE
Como na maioria dos casos em que as lajes de concreto armado não 
são protendidas e a armadura se estende 4 cm além do vão teórico, 
considerando	As,	 1	 como	 armadura	 mínima	 à	 flexão	 (a	 favor	 da	
segurança)	a	fórmula	resumida	fica	deste	modo:
Utilizando dos exemplos já resolvidos, a resistência ao cisalhamento em 
um concreto de 25 MPA (2,5 kN/cm²) pela treliça de banzos paralelos 
com inclinação de 45°, conforme modelo 1 da ABNT_NBR 6118/2014, 
acima	demonstrada,	fica:
Dimensionamento: flecha2.3
Como	já	havíamos	citado	anteriormente,		a	determinação	das	flechas	
máximas servem como parâmetro para o dimensionamento da laje de 
concreto armado em atendimento ao Estado Limite de Serviço – E.L.S. 
De maneira análoga ao demonstrado, quando deduzimos o cálculo do 
quinhão	de	carga,	as	flechas	máximas	ocorrem	próximas	da	região	
central das placas (exceto para lajes em balanço e lajes com a borda 
livre) e através da equação da linha elástica podem ser determinadas 
levando em consideração o quinhão de carga admitido para cada sentido 
de trabalho ( ) da laje em questão. 
Ocorre que, em detrimento da grande variabilidade das cargas acidentais, 
acertar	pontualmente	o	valor	das	flechas	é	trabalho	quase	impossível.	
 UNIUBE 61
O que tentaremos é determinar o máximo deslocamento possível 
quando a laje estiver carregada com seu carregamento utilizado no 
dimensionamento e cálculo das armaduras.
Novamente partimos do pressuposto de que as lajes têm um 
comportamento plástico. Neste contexto, admitimos que o 
comportamento	do	material	concreto	permite	uma	flecha	imediata,	em	
função	das	ações	permanentes	e	uma	flecha	diferidaque	contempla	
o	efeito	de	fluência	do	concreto.	É	necessário	citar	que	os	valores	
encontrados através do modelo clássico, insistentemente estudado 
nas disciplinas de engenharia civil, a equação da linha elástica, quarta 
integral da função do carregamento traz valores um pouco acima da 
metodologia apontada pela ABNT_NBR 6118/2014. 
Como	este	material	tem	uma	finalidade	didática,	deixaremos	por	hora	
de	lado	os	cálculos	e	as	demonstrações	das	deflexões	baseadas	no	
modelo clássico da linha elástica, no que tange às lajes armadas em 
duas	direções,	e	nos	deteremos	em	determinar	as	flechas	–	imediata	
e diferida no tempo – através da instrução da NBR 6118/2014. Porém, 
nada	impede	que	o	profissional,	no	âmbito	do	projeto,	aplique	a	teoria	
que mais achar válida. Para lajes armadas em uma direção, a equação 
da	linha	elástica,	caso	a	laje	atenda	as	condições	de	fissuramento,	ainda	
é a única maneira.
2.3.1 Flecha imediata segundo a NBR 6118/2014
Segundo o item 17.3.2 (Estado-limite de deformação) da ABNT_NBR 
6118/2014,	p.125,	a	determinação	da	flecha	se	dá	na	seguinte	maneira:	
A	verificação	dos	valores	 limites	estabelecidos	na	
Tabela 13.3 para a deformação da estrutura, mais 
propriamente rotações e deslocamentos em elementos 
estruturais lineares, analisados isoladamente e 
submetidos à combinação de ações conforme a 
Seção 11, deve ser realizada através de modelos que 
62 UNIUBE
considerem a rigidez efetiva das seções do elemento 
estrutural, ou seja, que levem em consideração a 
presença	da	armadura,	a	existência	de	fissuras	no	
concreto ao longo dessa armadura e as deformações 
diferidas no tempo. A deformação real da estrutura 
depende também do processo construtivo, assim 
como das propriedades dos materiais (principalmente 
do módulo de elasticidade e da resistência à tração) 
no momento de sua efetiva solicitação. Em face da 
grande variabilidade dos parâmetros citados, existe 
uma grande variabilidade das deformações reais. 
Não se pode esperar, portanto, grande precisão 
nas previsões de deslocamentos dadas pelos 
processos analíticos prescritos.
Ainda sobre a determinação destes deslocamentos verticais, o item 
17.3.2.1 aponta: 
O modelo de comportamento da estrutura pode admitir 
o concreto e o aço como materiais de comportamento 
elástico e linear, de modo que as seções ao longo 
do elemento estrutural possam ter as deformações 
específicas	determinadas	no	estádio	I,	desde	que	
os esforços não superem aqueles que dão início à 
fissuração,	e	no	estádio	II,	em	caso	contrário.	Deve	ser	
utilizado no cálculo o valor do módulo de elasticidade 
secante	Ecs	definido	na	Seção	8,	sendo	obrigatória	a	
consideração	do	efeito	da	fluência.
O texto supracitado infere sobre a mudança de comportamento que 
ocorre quando a intensidade das cargas aplicadas às placas faz com 
que a mesma deixe o estádio I e começe a trabalhar no estádio II. 
Recordando: O estádio I é aquele em que o material ainda não sofreu 
fissuração.	O	estádio	II	é	o	começo	das	fissurações	no	concreto	armado.	
O	valor	do	momento	fletor	limite	do	estádio	I,	ou	seja,	o	máximo	momento	
fletor	em	que	a	placa	poderá	sofrer,	sem	que	fissure	deve	ser	determinado	
da seguinte maneira:
 UNIUBE 63
sendo
onde:
	=	coeficiente	que	correlaciona	a	resistência	à	tração	na	flexão	com	a	
resistência à tração direta;
	=	resistência	à	tração	direta	do	concreto,	conforme	item	8.2.5	da	
ABNT_NBR_6118/201,	com	o	quantil	apropriado	a	cada	verificação	
particular.	Para	determinação	do	momento	de	fissuração,	deve	ser	usado	
o	fctk,inf	no	estado-limite	de	formação	de	fissuras	e	o	fct,m	no	estado-
limite de deformação excessiva; Neste caso foi usado um quantil menor 
que 50% - Fct,m.
	=	distância	do	centro	de	gravidade	da	seção	à	fibra	mais	tracionada.
	=	momento	de	inércia	da	seção	bruta	de	concreto,	calcula-se:
Também, de acordo com a norma, para concretos com classe de 
resistência até 55 Mpa: 
 
 .
O	momento	fletor	a	ser	comparado	com	o	momento	de	fissuração	é	o	
mometo	fletor	advindo	da	combinação	rara	de	esforços.	Ou	seja,	ações	
permanentes e ações variáveis (acidentais).
64 UNIUBE
A	 partir	 do	 cálculo	 do	 momento	 de	 fissuração,	 existem	 duas	
possibilidades:
1ª	O	momento	fletor	atuante	ser	menor	que	o	momento	de	fissuração:
Neste	caso,	toma-se,	para	cálculo	da	flecha,	o	valor	do	momento	de	
inércia da seção bruta de concreto .
2ª	O	momento	fletor	atuante	é	maior	que	o	momento	de	fissuração:
Neste	caso,	toma-se	para	cálculo	da	flecha	o	valor	do	momento	de	inércia	
equivalente, calculado da seguinte maneira:
em que,
	=	momento	de	fissuração	do	elemento	estrutural,	cujo	valor	deve	ser	
reduzido à metade no caso de utilização de barras lisas;
	=	momento	fletor	na	seção	crítica	do	vão	considerado,	ou	seja,	o	
momento máximo no vão para vigas biapoiadas ou contínuas e momento 
no apoio para balanços, para a combinação de ações consideradas 
nessa avaliação;
	=	módulo	de	elasticidade	secante	do	concreto.
Calcula-se o módulo de elasticidade secante do concreto deste modo 
(para concretos até 55 Mpa):
 , sendo:
 UNIUBE 65
Obs. A favor da segurança, pode-se tomar o valor de (Concreto 
de 20 Mpa).
Para calcular o momento de inércia no estádio 2 ( ), é necessário 
conhecer a posição da linha neutra ( ), que por dedução pode ser 
calculada pela seguinte expressão:
E,	finalmente,	pela	Teoria	dos	eixos	paralelos:
2.3.1.1 Flecha imediata para lajes armadas em uma direção
Para lajes armadas em uma direção, a análise elástica permite-nos o 
cálculo dos deslocamentos verticais através das seguintes fórmulas:
a) Lajes biapoiadas:
b) Lajes engaste/apoio:
66 UNIUBE
c) Lajes engaste/engaste:
d) Lajes em balanço:
em que,
	=	flecha	imediata;
	=	valor	do	carregamento	na	laje	considerando	a	combinação	quase	
permanente;
	=	menor	vão;
	=	módulo	de	elasticidade	secante	do	concreto.
2.3.1.2 Flecha imediata para lajes armadas em duas direções
Para lajes armadas em duas direções, tal como o descrevemos acima, 
podemos calculá-las com o auxílio de tabelas em detrimento da equação 
da linha elástica em função de cada quinhão de carga. A fórmula para 
utilização das tabelas é:
em que,
	=	flecha	imediata;
 UNIUBE 67
	=	valor	do	carregamento	na	laje	considerando	a	combinação	quase	
permanente	=	 ;
	=	menor	vão;
	=	largura	unitária	da	laje;
	=	coeficiente	tabelado	em	função	de	λ.
	=	módulo	de	elasticidade	secante	do	concreto.
2.3.2 Flecha diferida no tempo
Leva-se,	para	o	cálculo	deste	incremento	no	deslocamento,	a	fluência	
do concreto.
com 
Para	cálculo	do	coeficiente	em	função	do	tempo,	considerando	o	efeito	
da	fluência	no	tempo	infinito	e	a	sobrecarga	aplicada	após	1	mês	de	
concretagem: , a NBR 6118/2014 
dispõe da seguinte Tabela 3:
Tabela 3:	Coeficiente	em	função	do	tempo
Fonte: ABNT_NBR 6118/2014, p. 127.
68 UNIUBE
Como em lajes não há armadura comprimida ,	então	a	flecha	diferida	
fica	como	um	coeficiente	de	majoração	da	flecha	imediata,	resultando	
na	flecha	total:
Ao	final	dos	cálculos,	comparam-se	os	valores	obtidos	com	os	permitidos	
pela mesma norma (Tabela 4):
Tabela 4: Limitação do deslocamento vertical
Fonte: ABNT_NBR 6118(2014, p.77).
Conclusão2.4
Após a leitura deste capítulo, você já consegue compreender as 
equações que correlacionam os esforços e discernir quais solicitações 
serão descarregadas na área de concreto e na área de aço. Deste modo, 
é	possível	dimensionar	as	lajes	de	concreto	armado,	bem	como	verificar	
seu funcionamento futuro através da previsão dos deslocamentos 
diferidos ao longo do tempo de uso.
Resumo
Neste segundo capítulo, continuamos o nosso estudo referente ao 
dimensionamento de lajes de concreto armado, sendo possível destacar:
 UNIUBE 69
• dimensionamentos das armaduras;
• dimensionamento da armadura transversal;
• flecha.
Referências
ASSOCIAÇÃO Brasileira de Normas Técnicas. Projeto de estruturas de concreto – 
Procedimento. In: ______NBR 6118. Rio de Janeiro, ABNT, 2014.
BASTOS, P. Lajes de Concreto- Notas de aula,