Equações funcionais

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Equações Funcionais
Emanuel Carneiro - emanuelc@baydenet.com.br
14 de agosto de 2003
1 Introdução
Estudaremos aqui um dos assuntos mais requisitados no mundo oĺımpico: as
equações funcionais. Tema que aparece com bastante freqüência nas olimṕıadas
ao redor do mundo.
O que torna esse assunto mais fascinante (dependendo dos olhos de quem
vê, fácil ou dif́ıcil) é que não existe muita teoria para resolvermos esse tipo de
problemas. Os conceitos básicos sobre funções como injetividade, sobrejetivi-
dade, domı́nio, imagem, pontos fixos,...são pré-requisitos, mas dependeremos
de muita prática para saber quando e onde esses conceitos serão utilizados. O
segredo está áı: muito treino e muita criatividade é tudo o que você vai precisar
para resolver esses problemas.
2 Um bom começo...
Problema 1
(Brasil/2001) Determine todas as funções f : R → R tais que f(x) = f(−x) e
f(x + y) = f(x) + f(y) + 8xy + 115
para quaisquer reais x e y.
Problema 2
(Inglaterra/96)Uma função f definida nos inteiros positivos satisfaz f(1) = 1996
e além disso:
f(1) + f(2) + ... + f(n) = n2.f(n); n > 1
Calcule f(1996).
Problema 3
(Itália/96) Seja f uma função dos reais nos reais tal que para qualquer real x:
(a) f(10 + x) = f(10− x)
(b) f(20 + x) = −f(20− x)
Prove que f é ı́mpar (ou seja, f(−x) = −f(x)) e periódica (existe T > 0, tal
que f(x + T ) = f(x)).
1
Problema 4
(Súıça/99) Determine todas as funções f : R∗ → R satisfazendo:
1
x
f(−x) + f( 1
x
) = x
para todo x no domı́nio.
3 Funções de domı́nio real
Problema 5
(Balcânica/87)Seja a um número real e f : R → R uma função tal que para
quaisquer x, y ∈ R:
(a) f(x + y) = f(x)f(a− y) + f(y)f(a− x);
(b) f(0) =
1
2
.
Prove que a função f é constante.
Problema 6
(Irlanda/95)Determine todas as funções f de reais em reais que satisfazem a
equação funcional:
x.f(x)− y.f(y) = (x− y).f(x− y)
Problema 7
(Czech-Slovak Match/97)Ache todas as funções f : R → R tais que:
f(f(x) + y) = f(x2 − y) + 4f(x).y
para quaisquer reais x e y.
Problema 8
(Austrália/91)Mostre que existe precisamente uma função f que está definida
para todos os reais diferentes de zero, satisfazendo:
(a) f(x) = xf(
1
x
), para x 6= 0;
(b) f(x) + f(y) = 1 + f(x + y), para todos x, y reais diferentes de zero onde
x 6= −y.
Problema 9
(Ibero/87-Uruguai)Ache todas as funções f definidas em R−{−1, 0, 1} tomando
valores em reais, tais que:
[f(x)]2.f(
1− x
1 + x
) = 64x
para todo x distinto de 0, 1,−1.
2
Problema 10
(Austrália/95)Determine todas as funções f : R+ → R+ tais que:
(i) f(xy) = f(x)f(
3
y
) + f(y)f(
3
x
) , para quaisquer x, y no domı́nio;
(ii) f(1) =
1
2
.
Problema 11
(Balcânica/00)Encontre todas as funções f : R → R com a propriedade:
f(x.f(x) + f(y)) = f(x)2 + y
para quaisquer reais x e y.
*Problema 12
(IMO/86-Polônia)Encontre todas as funções f , definidas em reais não-negativos
e tomando valores em reais não-negativos tais que:
(i) f(x.f(y)).f(y) = f(x + y), para x, y reais positivos;
(ii) f(2) = 0;
(iii) f(x) 6= 0 para 0 ≤ x < 2 .
*Problema 13
(IMO/92 - Rússia) Encontre todas as funções f : R → R tais que:
f(x2 + f(y)) = y + f(x)2
Dica: Prove que f(x2) = f(x)2 e que f(x+y) = f(x)+f(y) para x não-negativo
e y real.
4 Funções com domı́nio inteiro
Problema 14
(Brasil/98) Existe função f : N → N tal que f(2f(n)) = n + 1998 , para todo n
natural ?
Problema 15
(Coréia/97) Seja f : N → N uma função satisfazendo:
(i) Para todo n natural f(n + f(n)) = f(n);
(ii) Existe um natural n0 tal que f(n0) = 1.
Ache f(n).
Problema 16
Seja f : N → N uma função tal que f(f(n)) + f(n) = 2n + 3. Ache f(2001).
Problema 17
(Espanha/98) Determine todas as funções estritamente crescentes f : N → N
tais que:
f(n + f(n)) = 2.f(n)
3
Problema 18
(Olimṕıada Nórdica/98)Encontre todas as funções f : Q → Q satisfazendo:
f(x + y) + f(x− y) = 2f(x) + 2f(y)
para todos os racionais x e y.
Problema 19
(República Tcheca/96)Determine para quais inteiros k existe uma função f :
N → Z tal que:
(i) f(1995) = 1996
(ii) f(xy) = f(x) + f(y) + k.f(mdc(x, y)), para todos os x, y naturais.
Problema 20
(África do Sul /97) Encontre todas as funções f : Z → Z que satisfazem:
f(m + f(n)) = f(m) + n
para quaisquer m,n inteiros.
*Problema 21
(IMO/87-Cuba)Existirá uma função f : N → N, tal que f(f(n)) = n + 1987,
para todo número natural n? Fundamente.
*Problema 22
(Ibero/93-México)Seja N = 1, 2, 3.... Ache todas as funções f : N → N tais que:
(i) Se x < y então f(x) < f(y);
(ii) f(yf(x)) = x2f(xy), para todos os x, y naturais.
5 Relacionando funções com bases de numeração
Problema 23
(Cingapura/95)Seja N o conjunto dos naturais e f : N → N uma função satis-
fazendo f(1) = 1, f(2n) = f(n) e f(2n + 1) = f(2n) + 1, para todo natural
n.
(i) Calcule o máximo valor M de f(n) para 1 ≤ n ≤ 1994;
(ii) Ache todos os naturais n tais que 1 ≤ n ≤ 1994 e f(n) = M .
Problema 24
(Ibero/85 - Colômbia)A cada inteiro positivo n se associa um número inteiro
não-negativo f(n) de tal maneira que as seguintes condições são satisfeitas:
(i) f(rs) = f(r) + f(s);
(ii) f(n) = 0, sempre que o último algarismo de n for 3;
(iii) f(10) = 0.
Ache f(1985). Justifique sua resposta.
4
Problema 25
(China/95)Seja N o conjunto {1, 2, 3...} dos naturais. Suponha que f : N → N
satisfaça f(1) = 1 e para todo n natural:
(i) 3f(n)f(2n + 1) = f(2n)(1 + 3f(n));
(ii) f(2n) < 6f(n)
Encontre todas as soluções de f(k) + f(m) = 293, k < m.
Problema 26
(IMO/88-Austrália) A função f definida no conjunto dos inteiros positivos sa-
tisfaz:
(i) f(1) = 1, f(3) = 3;
(ii) f(2n) = 2n, f(4n+1) = 2f(2n+1)−f(n), f(4n+3) = 3f(2n+1)−2f(n).
Encontre todos os valores n com f(n) = n e 1 ≤ n ≤ 1988
*Problema 27
(IMO/93-Turquia)Prove ou desprove: existe uma função f estritamente cres-
cente dos naturais nos naturais tal que:
(i) f(1) = 2;
(ii) f(f(n)) = f(n) + n
Dica: Use a base de Fibonacci para constrúı-la.
6 Pontos fixos
Problema 28
(IMO/94-Hong Kong) Seja S o conjunto dos reais maiores que -1. Encontre
todas as funções f : S → S satisfazendo as condições:
(i) f(x + f(y) + x.f(y)) = y + f(x) + y.f(x), para quaisquer x, y em S;
(ii)
f(x)
x
é estritamente crescente para −1 < x < 0 e x > 0.
*Problema 29
(Torneio das Cidades) Mostre que não existem funções f : R → R, tais que:
f(f(x)) = x2 − 1996
Dica: Utilize pontos fixos
7 Uma idéia diferente
Problema 30
(Putnam/88)Seja f : R+ → R+ tal que:
f(f(x)) = 6x− f(x)
Demonstre que f(x) = 2x.
5
*Problema 31
(China/94)Seja R+ o conjunto dos reais não-negativos e tome dois reais positivos
a e b. Considere a equação funcional seguinte (f : R+ → R+ )
f(f(x)) + a.f(x) = b.(a + b).x
Mostre que f existe e é única.
6