ConceitoseAplicacoesdeMatematicaparaprincipiosdeComunicacao

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Cledione Junqueira de Abreu
Princípios de 
Comunicação
Cledione Junqueira de Abreu
Princípios de 
Comunicação
Reitor: Marcelo Palmério
NEAD - Núcleo de Educação a Distância
Pró-Reitora de Ensino Superior: Inara Barbosa Pena Elias
Pró-Reitor de logística para Educação a Distância: Fernando César Marra e Silva
Capa e Editoração: Andresa G. Zam; Diego R. Pinaffo; Fernando T. Evangelista; Renata Sguissardi
Revisão Textual e Normas: ?????????????????????????
Ficha catalográfica realizada pela bibliotecária.
Este livro é publicado pelo Programa de Publicações Digitais da Universidade de Uberaba.
FiChA CATAlogRáFiCA - SERviço DE BiBlioTECA E 
DoCumENTAção – uNivERSiDADE DE uBERABA
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A história da hoje Universidade de Uberaba, Instituição sem fins lucrativos, manti-
da pela Sociedade Educacional Uberabense, remonta ao ano de 1940, quando Mário 
Palmério funda o Lyceu do Triângulo Mineiro, com sede, inicialmente, na Rua Manoel 
Borges. Com essa iniciativa, o educador dava os primeiros passos na direção de um 
projeto muito mais ousado: dotar a pacata Uberaba da época, de uma escola voltada 
para a oferta do ensino superior.
Até que a ideia se transformasse em realidade, Mário Palmério pôs em prática ou-
tras duas ações. Transferiu a sede do Lyceu, mais tarde chamado de Colégio Triângulo 
Mineiro, para um conjunto de edifícios onde, hoje, funciona o Campus Centro e criou a 
Escola Técnica de Comércio do Triângulo Mineiro.
Em 1947 o governo federal autorizou a abertura da Faculdade de Odontologia do 
Triângulo Mineiro. Em menos de dez anos, outras duas escolas entraram em funciona-
mento: a Faculdade de Direito do Triângulo Mineiro, em 1951, e a escola de Engenharia 
do Triângulo Mineiro, em 1956. Uberaba, então, passa a se projetar também em razão 
de sua importante estrutura, voltada para o ensino superior, privilégio de poucas cida-
des mineiras, no início dos anos 50. Junto com essas importantes conquistas, veio a 
necessidade de expansão da estrutura física. Por isso, em 1976, começou a funcionar o 
Campus Aeroporto, instalado na Avenida Nenê Sabino.
Princípios de 
Comunicação
Cledione Junqueira de Abreu
Prezado(a) Aluno(a), sou a professora Cledione Junqueira de Abreu, graduada em En-
genharia Elétrica com ênfase em Eletrônica e Telecomunicações pela Uniderp, cuja forma-
ção foi em 2004, pós-graduada em Psicopedagogia Clínica e Institucional pela Unaes com 
formação em 2008 e pós-graduanda em Engenharia de Segurança do Trabalho pela Unilins. 
Estamos iniciando a disciplina de Princípios de Comunicação divididos em 8 unidades 
em que trataremos de assuntos básicos do sistema de telecomunicações. 
Na Unidade I abordaremos conceitos básicos de matemática que serão aplicados no 
decorrer do livro, sendo eles: notação científica ou potência de 10, que tem sua finalidade 
neste livro para denominarmos as bandas de frequências como a VHF que está em uma 
faixa de 30MHz a 300MHz, que são os sinais dos canais de TV aberta em que estes valo-
res seriam 30000000Hz a 300000000Hz se não denominássemos os múltiplos da notação 
científica; números complexos, em que temos números reais e números imaginários que uti-
lizamos nos sinais de frequência; trigonometria, seu conceito e suas aplicações que juntos 
com as funções logarítmicas interpretaremos as Análises de Fourier que este é o principal 
ApresentAção
estudo dos sistemas de telecomunicações; definições de derivadas e integrais bastante 
comuns nas frequências e Análises das funções nos sistemas de telecomunicações.
Na Unidade II conheceremos o espectro de frequências, suas nomenclaturas e as faixas 
em que podem ser identificados. Cada uma destas faixas pode ser utilizada em diversos ti-
pos de comunicações que conhecemos, como radioamadorismo, wireless, telefonias: móvel 
e fixa e demais exemplos que estaremos mencionando no decorrer da unidade. Vamos falar 
também em ondas eletromagnéticas, devido a influência da aceleração da gravidade, forma 
o Campo Eletromagnético Total, constituído de: Ionosfera (a principal faixa que engloba 
todas as ondas utilizadas para comunicação) e Troposfera, menor, mas que influencia nas 
linhas de comunicação dependendo do período e condições climáticas. Finalizamos com as 
particularidades da ionosfera e os sinais laser que são de grande importância hoje em dia 
para a comunicação no planeta Terra.
Na Unidade III utilizaremos o estudo de funções e integrais que mencionamos na primei-
ra unidade, porém um pouco mais específico, já que estamos determinando funções perió-
dicas, onde conheceremos o período primitivo da função; outra função que estudaremos é a 
função senoidal ou função harmônica, com suas propriedades específicas; também falare-
mos sobre funções par e ímpar, representadas graficamente considerando suas diferenças; 
e finalizaremos com as funções ortogonal e ortonormal com suas características distintas, 
porém muito utilizadas no sistema de telecomunicações. Falaremos também sobre as uni-
dades de transmissão quanto suas características e suas particularidades, quando a uni-
dade dB, deciBell, muito lembrada em sinais de comunicação a rádio, como também dBm, 
dBu ou dBv, dBm0, dBr, dBuV.
Na Unidade IV estudaremos as séries e transformadas de Fourier e suas particulari-
dades. Dentre as séries e transformadas iremos abordar: funções ortogonais, formas har-
mônicas, forma complexa e suas aplicações. A importância da transformada de Fourier e 
da série de Fourier não vem apenas do significado físico de suas interpretações, tais como 
análise tempo, frequência de sinais, mas também, pelo fato de as técnicas de análise de 
Fourier serem extremamente poderosas, por exemplo, no estudo em Análise de Wavelets.
Na Unidade V discutiremos sobre a classificação dos sinais analógicos. 
Na Unidade VI falaremos sobre Modulação Linear e o quanto é necessário conhecer 
conceitos como alteração da amplitude, em que a ideia é aumentar a amplitude da onda 
portadora quando a tensão do nosso sinal é grande, e diminuí-la quando a tensão do nosso 
sinal é pequena. Também iremos conversar sobre Demodulação e os tipos de amplitudes 
do sistema analógico: AM-DSB, AM-SSB, AM-VSB.
Na Unidade VII iniciaremos falando sobre os tipos de modulação exponencial e por pul-
so, utilizados em sistemas de telecomunicações em sinais de transmissão. A maioria destes 
sinais de informações, que são processados em uma rede de telecomunicações, são sinais 
analógicos, por exemplo, o sinal produzido pelo microfone do aparelho telefônico. Os valo-
res obtidos são aproximados para um dos níveis de referência estabelecidos e, finalmente, 
o valor aproximado é codificado em uma sequência de bits (pulsos).
Na Unidade VIII iniciaremos definindo ruído como “perturbação elétrica aleatória”. Então, 
podemos entender o quanto o ruído é considerado em um sistema de telecomunicações, 
afinal se não for atenuado podemos ficar sem comunicação alguma. A unidade encerra com 
o Receptor AM, suas características e aplicações.
Assim começamos nossa jornada aos estudos de Princípios de Comunicação!
sumário
CaPítulo 1: ConCeitos e aPliCações de matemátiCa 
Para PrinCíPios de ComuniCação 13
Potência de 10 ou notação científica .................................................... 15
Números complexos ............................................................................ 16
Trigonometria ....................................................................................... 18
Funções logarítmicas ........................................................................... 24
Derivadas e integrais ...........................................................................26
CaPítulo 2: elementos de sistemas de ComuniCação, 
análise e rePresentação de sinais e sistemas 33
Espectro de frequências ...................................................................... 35
Campo magnético total ........................................................................ 38
Particularidades sobre a ionosfera ....................................................... 52
Particulares sobre sinais laser ............................................................. 57
CaPítulo 3: densidade esPeCtral de PotênCia e de energia 61
Funções periódicas .............................................................................. 63
Forma geral das funções senoidais ou harmônicas ............................. 66
Funções pares e funções ímpares ....................................................... 66
Togonalidade ........................................................................................ 67
Unidades de transmissão ..................................................................... 70
CaPítulo 4: análise de Fourier 81
Série generalizada de fourier ............................................................... 83
Teorema geral de fourier ...................................................................... 84
Integral de fourier ................................................................................. 93
CaPítulo 5: tiPos de sinais: sinais aleatórios 99
Classificação dos sinais ....................................................................... 101
CaPítulo 6: modulação linear 111
Modulação ........................................................................................... 113
Demodulação ....................................................................................... 116
Sistemas de modulação em amplitude ................................................. 117
CaPítulo 7: modulação exPonenCial e modulação Por Pulso 127
Modulação em frequência (fm) ............................................................. 129
Modulação pm, fm, am......................................................................... 130
Modulação por código de pulsos .......................................................... 147
CaPítulo 8: ruído em modulação analógiCa 155
Transmissão analógica/ruído ............................................................... 157
ConClusão 169
Capítulo
1
Conceitos e aplicações 
de matemática 
para princípios de 
comunicação
Cledione Junqueira de Abreu
introdução
Estamos começando a unidade de bastante importância para ingressarmos nos es-
tudos de sistemas de telecomunicações que são conceitos básicos de matemática 
que muito utilizaremos daqui em diante.
O conceito de notação científica ou também chamada potência de 10, tem sua fina-
lidade neste livro para denominarmos as bandas de frequências como a VHF que 
está em uma faixa de 30MHz a 300MHz, que são os sinais dos canais de TV aberta 
em que estes valores seriam 30000000Hz a 300000000Hz se não denominássemos 
os múltiplos da notação científica.
Outro conceito que devemos relembrar é o de números complexos, em que temos 
números reais e números imaginários que utilizamos nos sinais de frequência.
Na sequência, falaremos de trigonometria, seu conceito e suas aplicações que jun-
tos com as funções logarítmicas interpretaremos as Análises de Fourier, que este é 
o principal estudo dos sistemas de telecomunicações.
Finalizaremos com as definições de derivadas e integrais bastante comuns nas fre-
quências e Análises das funções nos sistemas de telecomunicações.
objetivos de aPrendizagem 
• Identificar e analisar o conceito de notação científica e suas 
aplicações em telecomunicações.
• Interpretar o conceito de números complexos e aplicá-los em 
telecomunicações.
• Conhecer os conceitos de trigonometria e identificar suas aplicações 
em telecomunicações.
• Identificar as funções logarítmicas que são utilizadas em 
telecomunicações.
• Rever os conceitos de derivadas e integrais que são aplicadas em 
sistemas de telecomunicações.
esquema
• Rever notação científica em sistemas de comunicação é devido aos 
números de frequência ser muito altos e são necessários os múltiplos
• A importância de relembrar números complexos em telecomunicações 
é devido ao cálculo de funções que analisam o sinal do sistema de 
comunicação
• A revisão de trigonometria é necessária devido aos sinais da rede 
serem frequências senoidais, em sua grande maioria outros sinais 
são considerados quadrados
• As funções para telecomunicações são devido a aplicações das Análises 
de Fourier que são fundamentais para os conceitos em sistemas de 
comunicação. Sendo uma delas, as funções logarítmicas
• Os conceitos de derivadas e integrais são utilizados nas Análises de 
Fourier que são bastante comuns em telecomunicações
15Princípios de Comunicação
PotênCia de 10 ou notação CientíFiCa
Todos as vezes que observamos em uma placa de sinalização na estrada que 
determinada cidade está a 30km ou que um condutor elétrico tem 50cm de compri-
mento, estamos falando de notação científica.
Isso mesmo, a notação científica, também denominada por padrão ou notação 
em forma exponencial, é uma forma de escrever números que acomoda valores de-
masiadamente grandes (100000000000) ou pequenos (0,00000000001) para serem 
convenientemente escritos em forma convencional.
Por exemplo:
30km = 30.000m
Porém, não precisamos escrever tantas vezes o número “0”, podendo ficar:
30km = 30.103m ou 3.104m
50cm = 0,50m
Mas pode ficar:
50cm = 50.10-2m ou 5.10-1m
E quando sei esta nomenclatura?
Simples, basta seguir a tabela abaixo:
16 Capítulo 1
Tabela de múltiplos e submúltiplos – Notação Científica
Fonte: <www.leonnjr.wordpress.com>. Acesso em: 25 jan. 2016
nÚmeros ComPlexos
O conjunto dos números complexos é representado por IC, e definido como o 
conjunto dos pares ordenados compostos por números reais, onde são definidas a 
adição, multiplicação e igualdade.
• Adição: ( a, b) + ( c, d ) = ( a + c, b + d ).
• Multiplicação: (a, b) . (c, d) = (ac - bd, ad + bc).
• Igualdade: (a, b) = (c, d) , onde a = c, b = d.
Deve-se considerar que o conjunto IR está contido no conjunto IC. Sendo que, 
por exemplo, o número real a possui como parte complexa 0. Ele será o número 
complexo (a, 0). 
17Princípios de Comunicação
Unidade imaginária é indicada pela letra i, sendo que seu valor é (0, 1), onde se 
realizarmos i2 teremos i.i = (0, 1). (0, 1) = (0.0 – 1.1, 0.1 + 1.0) = (–1,0).
Assim, temos a notação usual que i2 = – 1. E que i = .
Tomando-se um número z = (a, b), teremos que z = a + bi. Portanto, se assim 
considerarmos temos que a é a parte real de z e b a parte complexa de z.
Para esta nova notação iremos definir as operações novamente de maneira mais usual.
• Adição: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
• Multiplicação: (a + bi).(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
• Igualdade: (a + bi) = (c + di), onde a = c, b = d
Conjugado de um número complexo. ().
Se z = a + bi então = a – bi
Teoremas consequentes desta definição:
se e somente se z 
Para a Divisão de números complexos devemos proceder de forma semelhante 
à racionalização.
Assim temos, z = a + bi , = a – bi e z1 = c + di
18 Capítulo 1
Para calcularmos a razão entre z1 e z devemos: 
Representação geométrica de um número complexo.
Sendo z = a + bi , |z| = 
Pela representação gráfica temos que e que .
Onde substituindo em z = a + bi encontraremos a forma trigonométrica de um 
número complexo.
Exemplo: z = iremos representa-lo na forma trigonométrica.
Sendo que: 
Onde: , então ou 30º.
Assim sua representação na forma trigonométrica é .
trigonometria
A Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas) é o estudo da Matemática 
responsável pela relação existente entre os lados e os ângulos de um triângulo. Nos tri-
ângulos retângulos (possuem um ângulo de 90º), as relações constituem os chamados 
19Princípios de Comunicação
ângulos notáveis, 30º, 45º e 60º, quepossuem valores constantes representados pe-
las relações seno, cosseno e tangente. Nos triângulos que não possuem ângulo reto, 
as condições são adaptadas na busca pela relação entre os ângulos e os lados.
Os estudos iniciais estão relacionados aos povos babilônicos e egípcios, sendo 
desenvolvidos pelos gregos e indianos. Por meio da prática, conseguiram criar si-
tuações de medição de distâncias inacessíveis. Hiparco de Niceia (190 a.C. – 125 
a.C.) foi um astrônomo grego que introduziu a Trigonometria como ciência, por meio 
de estudos ele implantou as relações existentes entre os elementos do triângulo. 
O Teorema de Pitágoras possui papel importante no desenvolvimento dos estudos 
trigonométricos, pois é mediante ele que desenvolvemos fórmulas teóricas comu-
mente usadas nos cálculos relacionados a situações práticas cotidianas.
Devemos ressaltar que a Trigonometria objetivou a elaboração dos estudos das 
funções trigonométricas, relacionadas aos ângulos e aos fenômenos periódicos. A 
partir do século XV, a modernidade dos cálculos criou novas situações teóricas e prá-
ticas relacionadas aos estudos dos ângulos e das medidas. Com a criação do Cálculo 
Diferencial e Integral, pelos cientistas Isaac Newton e Leibniz, a Trigonometria ga-
nhou moldes definitivos no cenário da Matemática, sendo constantemente empre-
gada em outras ciências, como Medicina, Engenharia, Física (ondulatória, óptica), 
Química, Geografia, Astronomia, Biologia, Cartografia, Navegação, entre outras.
20 Capítulo 1
FIQUE POR DENTRO!
Um pouco da História da Trigonometria
A origem da trigonometria é incerta. 
Entretanto, pode-se dizer que o início do de-
senvolvimento da trigonometria se deu princi-
palmente devido aos problemas gerados pela 
Astronomia, Agrimensura e Navegações, por 
volta do século IV ou V a.C., com os egípcios 
e babilônios. É possível encontrar problemas 
envolvendo a cotangente no Papiro Rhind e 
também uma notável tábua de secantes na 
tábula cuneiforme babilônica Plimpton 322.
A palavra trigonometria significa medi-
da das partes de um triângulo. Não se sabe 
ao certo se o conceito da medida de ângulo 
surgiu com os gregos ou se eles, por con-
tato com a civilização babilônica, adotaram 
suas frações sexagesimais. Mas os gregos 
fizeram um estudo sistemático das relações 
entre ângulos - ou arcos - numa circunferên-
cia e os comprimentos de suas cordas.
Papiro Rhind, Museu de Londres.
21Princípios de Comunicação
O astrônomo Hiparco de Nicéia, por volta 
de 180 a 125 a.C., ganhou o direito de ser cha-
mado “o pai da Trigonometria” pois, na segun-
da metade do século II a.C., fez um tratado em 
doze livros em que se ocupou da construção 
do que deve ter sido a primeira tabela trigo-
nométrica, incluindo uma tábua de cordas. 
Evidentemente, Hiparco fez esses cálculos 
para usá-los em seus estudos de Astronomia. 
Hiparco foi uma figura de transição entre a as-
tronomia babilônica e a obra de Ptolomeu. As 
principais contribuições à Astronomia, atribuí-
das a Hiparco se constituíram na organização 
de dados empíricos derivados dos babilônios, 
bem como na elaboração de um catálogo es-
trelar, melhoramentos em constantes astronô-
micas importantes - duração do mês e do ano, 
o tamanho da Lua, o ângulo de inclinação da 
eclítica - e, finalmente, a descoberta da pre-
cessão dos equinócios.
A “Trigonometria” era então baseada no 
estudo da relação entre um arco arbitrário e 
sua corda. Hiparco escreve a respeito do cál-
culo de comprimentos das cordas.
Fonte: <http://ecalculo.if.usp.br/historia/
historia_trigonometria.htm>. Acesso em: 16 
jan. 2016.
Círculo trigonométrico
A trigonometria estuda a proporção entre os comprimentos dos lados de um tri-
ângulo retângulo e os valores de um dos seus ângulos agudos. As proporções entre 
os lados são denominadas seno, cosseno, tangente e cotangente.
Círculo trigonométrico
Fonte: <http://www.estudopratico.com.br/trigonometria/>. Acesso em: 16 jan. 2016
22 Capítulo 1
O círculo trigonométrico, demonstrado na figura acima, é usado para facilitar a 
visualização das proporções. A circunferência, orientada de raio unitário, está centra-
da na origem dos dois eixos de um plano cartesiano ortogonal:
Seno: o seno é obtido pela razão entre o comprimento do cateto oposto a um ân-
gulo e o comprimento da hipotenusa. Dentro do círculo trigonométrico, o seno pode 
ser visualizado na projeção de seu raio sobre o eixo vertical.
Cosseno: o cosseno de um dos 2 ângulos agudos de um triângulo retângulo é 
obtido por meio da razão entre o comprimento do cateto adjacente a este ângulo e o 
comprimento da hipotenusa. Dentro do círculo trigonométrico, o cosseno é visualiza-
do na projeção do raio do ângulo sobre o eixo horizontal.
Tangente: a tangente de um dos 2 ângulos agudos de um triângulo retângulo é 
obtida por meio da razão entre o comprimento do cateto oposto a este ângulo e o 
comprimento do cateto adjacente a ele. O valor da tangente é visualizado, dentro do 
círculo trigonométrico, na reta vertical que tangencia o círculo no ponto em que corta 
o eixo horizontal ao lado direito.
Outra forma de calcular é pelo Triângulo de Pitágoras, que segue:
23Princípios de Comunicação
As relações:
Fonte: <http://www.estudopratico.com.br/trigonometria/>. Acesso em: 16 jan. 2015
Considerando o triângulo retângulo:
24 Capítulo 1
Funções logarítmiCas
As funções na forma f(x) = logax são consideradas logarítmicas, com a > 0 e a ≠ 
1, sendo f : R*+ → R. 
Exemplos:
f(x) = log2x
f(x) = log5(x – 2) 
f(x) = log(a – 2)4
f(x) = log0,5x
O gráfico da função logarítmica é determinado de acordo com as seguintes 
condições:
Função crescente: base maior que 1
Função decrescente: base maior que zero e menor que 1
25Princípios de Comunicação
As funções logarítmicas envolvem em sua resolução, propriedades destinadas 
ao estudo dos logaritmos. Portanto, o seu desenvolvimento depende do conheci-
mento prévio dessas propriedades.
Na equação: Q = Q0* e– r * t, Q representa a massa final da substância, Q0, a massa 
inicial, r, a taxa de variação e t, o tempo em anos. Note que nessa equação, a massa 
final está em função do tempo t. Com base nessa equação, vamos determinar em 
quantos anos 50 g de uma substância se reduz a 5 g, obedecendo a uma taxa de 
variação de 8% ao ano.
O tempo para que ocorra a redução é de aproximadamente 28 anos e 9 meses.
26 Capítulo 1
REFLITA!
Que tal uma explicação mais simples para fixar? Assista ao vídeo: <https://www.youtube.
com/watch?v=LyumzT6br2A>. 
derivadas e integrais
Vamos direto às regras de derivação:
27Princípios de Comunicação
Fonte: <www.profwillian.com>. Acesso em: 19 jan. 2015
28 Capítulo 1
E agora para recordar, as regras de integração:
Fonte: http://www.if.ufrgs.br/tex/fisica-4/tab-integrais.pdf. Acesso em 11/02/2016
29Princípios de Comunicação
INDICAÇÃO DE LEITURA
Livro: Cálculo 1
Autor: Geraldo Ávila
Editora: LTC
Este livro foi escrito visando especialmente ao aluno que 
chega à universidade com pouca base matemática, por 
isso contém muitos exemplos e exercícios resolvidos, além 
de um capítulo final de revisão dos pré-requisitos necessá-
rios à compreensão da matéria nele tratada. Sua leitura é 
facilitada pela linguagem coloquial usada pelo autor, sem excessos de formalismo. 
As exposições ficam mais acessíveis com a utilização dos recursos da intuição, da 
visualização geométrica e do apelo a aplicações e situações concretas. Todos os 
grupos de exercícios propostos são seguidos de respostas, sugestões aos de difi-
culdade média e soluções completas aos mais difíceis. Assim, o leitor encontrará no 
próprio texto ajuda para vencer as dificuldades que porventura venha a encontrar 
em seus estudos.
Fonte: <books.google.com.br>. Acesso em: 25 jan. 2016.
Capítulo 1
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Caro(a) aluno(a), como foi mencionado, esta unidade teve como objetivo princi-
pal rever conceitos matemáticos que serãobastante utilizados nas próximas unida-
des deste livro.
Recordamos como podemos fazer para converter os múltiplos e submúltiplos da 
notação científica que utilizaremos já na próxima unidade quando vamos identificar 
as bandas de faixas de frequência.
Na sequência, relembramos números complexos e suas particularidades. Outro 
tópico bastante importante foi a Trigonometria quanto aos seus conceitos e quando 
a colocamos como função trigonométrica.
Assim, podemos dizer que daqui por diante apenas falaremos em funções e suas 
particularidades, como as funções logarítmicas que a utilizaremos nas funções peri-
ódicas em sistemas de telecomunicações e as funções derivativas e integrais, como 
sabemos uma é o inverso da outra, portanto sempre devem ser mencionadas juntas, 
porém com restrições.
Prezado(a) aluno(a), com estas informações podemos começar a estudar 
Princípios de Comunicações e entender como é interessante as formas de comuni-
cação e como estas são realizadas.
Bons estudos!
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