Matemática Aplicada À Arquitetura

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educacidna CENGAGE DTCOM -gente criando futuro 
MATEMÁTICA 
APLICADA À 
ARQUITETURA 
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gente criando o futuro 
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou 
transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, inclu indo 
fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de 
informação, sem prévia autorização, por escrito, do Grupo Ser Educacional. 
Diretor de EAD: Enzo Moreira 
Gerente de design instruciona l: Paulo Kazuo Kato 
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Ilustradores: Andersen Eloy, Luiz Meneghel, Vinícius Manzi 
Grivol, Silmara. 
Matemática a_plicada à Arquitetura/ Si lmara Grivol; Silvana da Rocha Rodrigues. - São 
Paulo: Cengage, 2020. 
Bibliografia. 
ISBN 9786555582611 
1. Arquitetura. 2. Matemática aplicada -Arquitetura. 3. Rodrigues, Silvana da Rocha. 
Grupo Ser Educacional 
Rua Treze de Maio, 254 -Santo Amaro 
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PALAVRADOGRUPOSEREDUCACIONA 
"É através da educação que a igualdade de oportunidades surge, e, com 
isso, há um maior desenvolvimento econômico e social para a nação. Há alguns 
anos, o Brasil vive um período de mudanças, e, assim, a educação também 
passa por tais transformações. A demanda por mão de obra qualificada, o 
aumento da competitividade e a produtividade fizeram com que o Ensino 
Superior ganhasse força e fosse tratado como prioridade para o Brasil. 
O Programa Nacional de Acesso ao Ensino Técnico e Emprego - Pronatec, 
tem como objetivo atender a essa demanda e ajudar o País a qualificar 
seus cidadãos em suas formações, contribuindo para o desenvolvimento 
da economia, da crescente globalização, além de garantir o exercício da 
democracia com a ampliação da escolaridade. 
Dessa forma, as instituições do Grupo Ser Educacional buscam ampliar 
as competências básicas da educação de seus estudantes, além de oferecer-
lhes uma sólida formação técnica, sempre pensando nas ações dos alunos no 
contexto da sociedade." 
Janguiê Diniz 
,, 
l 
Autoria 
Silmara Grivol 
Graduada em Arquitetura e Urbanismo pela Universidade Mackenzie, fez especialização em Engenharia 
Civil na Escola Politécnica da Universidade de São Paulo {USPJ e Engenharia Ambienta l e Sanitária 
na Universidade Mackenzie. Tem licenciatura em Ciências pela Faculdade de Educação da USP. Atua 
ministrando aulas de Arquitetura há 28 anos. 
Silvana da Rocha Rodrigues 
Tem licenciatura em Matemática pela Universidade do Estado do Rio de Janeiro {Uerjj, e é bacharel 
em Arquitetura e Urbanismo pela Universidade Federa l do Rio de Janeiro {UFRJ} e Mestre em Ciências 
Computacionais pela Uerj. Atua como professora de Representação Gráfica e Instalações Elétricas e 
Hidráulicas na Universidade Estácio de Sá e de Matemática na Secretaria do Estado do Rio de Janeiro. 
Também é mediadora a distância de Geometria Plana pelo Cederj. 
SUMÁRIO 
Prefácio ........................ ............................................... . . ........................ 8 
UNIDADE 1 - Conjuntas numéricas e cálculos ínícíaís ...................................................................... 11 
Introdução ..... 
1 Conjuntos numéricos .... 
2 Sistemas numéricos de coordenadas no plano e no espaço 
3 Noções prelim·,nares de Cálculos Iniciais 
. ..... 12 
. ..... 13 
...... ....................... .... 17 
......... .. 36 
4 Função exponencial ............................................ 44 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO ................................................................................................................ 52 
PARA RESUMIR .............................................................................................................................. 54 
GABARITOS ................................................................................................................................... 55 
REFERÊNCIAS BIBI.IOGRÁFICAS ...................................................................................................... 56 
UNIDADE 2-Funções e límítes ....................................................................................................... 59 
Introdução 
1 Definições iniciais 
2 Função 
3 Limite. 
............. .. 60 
............. 61 
.. 68 
. ............. 82 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO ..................................................................................................... ........... 108 
PARA RESUMIR .............................................................................................................................. 110 
GABARITOS ................................................................................................................................... 111 
REFERÊNCIAS BIBI.IOGRÁFICAS ...................................................................................................... 112 
UNIDADE 3 - Derivada e íntegra/ ................................................................................................... 109 
Introdução..... .. 110 
1 Noções prelim·,nares de derivadas 
2 Definição de derivadas 
3 Aplicações da derivada . 
4 Noções preliminares de Integral 
111 
............................................ 111 
. ..... 120 
...... 123 
PARA RESUMIR .............................................................................................................................. 138 
REFERÊNCIAS BIBI.IOGRÁFICAS ...................................................................................................... 139 
,, 
l 
UNIDADE 4 - Cálculo diferencial e integral de funções de duas variáveis ........................................ 141 
Introdução ............. 142 
1 Conce·1tos iniciais .. 
2 Função de duas variáveis. 
3 Limite de funções de duas variáveis .... 
4 De r"1vadas parciais 
5 Valores extremos de funções de duas variáveis 
143 
. ... 152 
. ... 156 
......... .... 163 
..................... 169 
6 Integrais duplas.. . .... .... 173 
PARA RESUMIR .............................................................................................................................. 181 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................................................... 182 
PREFÁCIO 
A aplicação dos conceitos de Matemática para a Arquitetura é essencial para a 
elaboração de projetos e a construção do ambiente. A utilização dos princípios da 
Matemática neste campo é fundamental, pois é utilizada para o cálculo das áreas, altura 
dos elementos do ambiente, dimensionamento de ambientes, cálculo de lotação dos 
espaços, dimensionamento da ventilação e iluminação, entre muitas outras aplicações. 
A Geometria e a Trigonometria também exercem uma forte influência para o exercício 
profissional de um arquiteto, e serão apresentadas aqui. Veja o que cada unidade vai 
a bordar a seguir. 
Na primeira unidade, conjuntos numéricos e cálculos iniciais, você terá uma 
introdução aos temas essenciais para o aprofundamento da matéria nas próximas 
unidades. Serão abordados os principais temas relacionados aos conjuntos numéricos 
para o desenvolvimento do cálculo diferencial e integral. A segunda parte da unidade 
se dedica aos cálculos iniciais, onde serão apresentados os tópicos essenciais para o 
desenvolvimento de cálculos, como as funções e seus gráficos. 
A segunda unidade mostrará as definições e propriedades de funções e limites e 
os teoremas relacionados a eles. No estudo de funções, relembraremos conceitos de 
produto cartesiano e relações primárias, e posteriormente serão definidas as funções e 
estudaremos alguns de seus tipos. Noestudo de limites, trabalharemos com exemplos 
que levam a compreender seu comportamento e, depois, de forma mais simples, 
entender sua definição. Estudaremos suas propriedades e os teoremas ligados a ele, 
abordando desde os limites mais simples até os que tendem ao infinito. 
Na terceira unidade, derivada e integral, veremos as noções de derivadas, as 
regras de derivação, derivada de função composta, derivada de função inversa e 
funções elementares. Depois de estudar detalhadamente cada um desses tipos, você 
conhecerá a aplicação dos conceitos de Derivadas. Na sequência, são apresentados 
os conceitos de integral, o cálculo de uma área como limite, a soma de Riemann, a 
integral definida e o Teorema Fundamental do Cálculo. Você também encontrará as 
Primitivas, as técnicas de primitivação e, para finalizar, conhecerá as aplicações de 
integrais, como o cálculo de áreas planas, volume de sólidos e comprimento de uma 
curva. Não se esqueça: a aplicação de Derivadas e Integrais é essencial para diversas 
áreas da Engenharia e Arquitetura. 
A última unidade se dedica ao cálculo diferencial e integral de funções de duas 
variáveis, onde serão apresentados os conceitos de funções de duas variáveis aplicadas 
nos casos nos estudos de Cálculo. Para isso, veremos como se pode escrever algumas 
equações paramétricas importantes para nosso estudo usando a Geometria Analítica. 
Veremos também como se pode aplicar os conceitos de limites e derivadas para as 
funções de duas variáveis. Estudaremos suas definições, propriedades importantes e os 
seus teoremas. Por fim, trataremos do uso das integrais duplas para calcular a área ou 
o volume de superfícies cuja forma não é das normalmente estudadas na Geometria. 
Este livro vai ajudá-lo na compreensão da Matemática para aplicação na 
Arquitetura. Agora é com você! Bons estudos! 
UNIDADE 1 
Conjuntos numéricos e cálculos inici-
• ais 
Introdução 
Olá, 
Você está na unidade Conjuntos Numéricos e Cálculos Iniciais. Conheça aqui temas 
essências para o aprofundamento da matéria nas próximas unidades. Trabalharemos 
a aplicação dos conceitos de Matemática para a Arquitetura, que é essencial para a 
elaboração de projetos e a construção do ambiente. A utilização dos princípios da 
Matemática neste campo é fundamental, pois é utilizada para o cálculo das áreas, altura 
dos elementos do ambiente, dimensionamento de ambientes, cálculo de lotação dos 
espaços, dimensionamento da ventilação e iluminação, entre muitas outras aplicações. 
A Geometria e a Trigonometria também exercem uma forte influência para o exercício 
profissional de um arquiteto, como por exemplo, com a projeção de sombras em plantas 
e maquetes, de forma a definir qual a melhor posição de um dormitório em função da 
posição do Sol, tornando assim o ambiente mais confortável para a utilização do ser 
humano, entre muitas outras aplicações. 
Bons estudos! 
13 
1 CONJUNTOS NUMÉRICOS 
Esta unidade visa capacitar a compreensão dos cálculos numéricos integrais e derivados, 
dando subsídio e embasamento para os cálculos como o de sistemas estruturais, através da 
abordagem de temas relativos ao Cálculo Diferencial e Integral. 
Através do aprimoramento dos conhecimentos na análise de dados matemáticos, será 
possível desenvolver diversos cálculos, como o de áreas e volumes, para que assim possa elaborar 
os problemas matemáticos que serão apresentados em outras disciplinas do curso de Arquitetura 
e Urbanismo, como elétrica e hidráulica residencial, topografia e, especialmente, no cálculo 
de estrutura para o concreto armado, entre muitos outros temas que abordam o exercício da 
profissão de um Arquiteto e Urbanista. 
1.1 Números naturais, inteiros, racionais, irracionais, complexos e 
números reais 
Conjuntos numéricos são coleções de números que possuem características semelhantes. 
Esses conjuntos de números com características comuns são formados pelos números naturais, 
inteiros, racionais, irracionais e reais, que nasceram como resultado das necessidades da 
humanidade em determinado período histórico. O ramo da matemática que estuda os conjuntos 
numéricos é a Teoria dos conjuntos (SILVA, 2020). 
Neste item serão estudadas as características de cada um deles tais como conceito, símbolo e 
subconjuntos, e especialmente a sua aplicação para os cálculos matemáticos. 
Figura 1 - Conjuntos numéricos 
Fonte: Pixeldreams.eu, Shutterstock, 2020. 
#ParaCegoVer:A imagem apresenta os números naturais. 
14 
1.2 Conjunto dos números naturais 
O conjunto dos Números Naturais foi a primeira forma que o homem utilizou para a 
quantificação de elementos, pela necessidade de se fazer contar ou enumerar objetos, por isso, 
seus elementos são apenas os números inteiros e não negativos. 
Representado por N, o conjunto dos números naturais possui os seguintes elementos: 
N = {O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... } 
1.3 Conjunto dos números inteiros 
O conjunto dos números inteiros é uma ampliação do conjunto dos números naturais, é 
formado pela união do conjunto dos números naturais com os números negativos (SILVA, 2020). 
O conjunto dos números inteiros, é representado por Z, possui os seguintes elementos: 
Z = { ... , - 4, - 3, - 2, -1, o, 1, 2, 3, 4, ... } 
1.4 Conjunto dos números racionais 
O conjunto dos números racionais foi desenvolvido em função da necessidade de dividir 
quantidades, dessa forma, este é um conjunto dos números escritos na forma de fração (SILVA, 
2020). Representado por Q, o conjunto dos números racionais possui os seguintes elementos: 
Q = {x E Q: x = a/b, a E Z e b E N} 
A definição é descrita da seguinte forma: x pertence aos racionais, tal que x é igual a a dividido 
por b, com a pertencente aos inteiros e b pertencente aos naturais. 
Se é uma fração ou um número que pode ser escrito na forma de fração, então é um número 
racional. 
Os números que podem ser escritos na forma de fração são: 
• Todos os números inteiros; 
• Decimais finitos; 
• Dízimas periódicas. 
Os decimais finitos são aqueles que possuem um número finito de casas decimais, como por 
exemplo os números: 5,8; 9,76 e 4,45. 
Dízimas periódicas são decimais infinitos, mas que repetem a sequência final de suas últimas 
casas decimais, como nos seguintes números: 6,88888; 8,6767676 e 4,765476547654. 
Figura 2 - Número irracional Pi 
Fonte: Zorabc, Shutterstock, 2020. 
15 
#ParaCegoVer: A imagem apresenta o símbolo do Número irracional Pi e o seu valor numérico 
de 3,145. 
1.5 Conjunto dos números irracionais 
A definição de números irracionais depende da definição de números racionais, pois 
pertencem ao conjunto dos números irracionais todos os números que não pertencem ao 
conjunto dos racionais, dessa forma, ou um número é racional ou ele é irracional. Não existe 
possibilidade de um número pertencer a esses dois conjuntos simultaneamente. Concluindo, o 
conjunto dos números irracionais é complementar ao conjunto dos números racionais dentro do 
universo dos números reais (SILVA, 2020). 
Outra maneira de definir o conjunto dos números irracionais é a seguinte: os números 
irracionais são aqueles que não podem ser escritos na forma de fração, e que são designados da 
seguinte forma: 
• Decimais infinitos; 
• Raízes não exatas. 
Os decimais infinitos são números que possuem infinitas casas decimais e que não são dizimas 
periódicas, por exemplo: 0,12345678910111213; rr e v2, entre muitos outros. 
1.6 Conjunto dos números reais 
O conjunto dos números reais é formado por todos os números citados acima, cuja definição 
16 
é dada pela união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais 
(SILVA, 2020). Representado por R, esse conjunto pode ser escrito matematicamente da seguinte 
maneira: 
R = Q U 1 = {Q + I} 
1 é o conjunto dos números irracionais. Dessa maneira, todos os números citados até o 
momento também são números reais. 
1.7 Conjunto dos números complexosO conjunto dos números complexos nasceu da necessidade de se encontrar raízes não reais 
de equações de grau maior ou igual a 2 (SILVA, 2020). A aplicação pode ser dada, por exemplo, na 
solução da equação de segundo grau, por meio da fórmula de Bhaskara (SILVA, 2020). 
1.8 Relação entre conjuntos numéricos 
Alguns conjuntos numéricos são subconjuntos de outros (SILVA, 2020). Resumindo, a relação 
entre os conjuntos numéricos pode ser estabelecida da seguinte forma: 
• O conjunto dos números naturais é subconjunto do conjunto dos números inteiros; 
• O conjunto dos números inteiros é subconjunto do conjunto dos números racionais; 
• O conjunto dos números racionais é subconjunto do conjunto dos números reais; 
• O conjunto dos números irracionais é subconjunto do conjunto dos números reais; 
• O conjunto dos números irracionais e o conjunto dos números racionais não possuem 
nenhum elemento em comum; 
• O conjunto dos números reais é subconjunto do conjunto dos números complexos. 
É possível estabelecer outras relações indiretas, como por exemplo, que o conjunto dos 
números naturais é subconjunto do conjunto dos números complexos. Também é possível fazer 
a interpretação inversa do conceito, das relações citadas anteriormente e das relações indiretas 
que podem ser construídas, de forma que o conjunto dos números inteiros contém o conjunto 
dos números naturais (SILVA, 2020). 
Utilizando simbologia de teoria de conjuntos, essas relações podem ser escritas da seguinte 
maneira: 
N e: Z e: O e: R e: C e I e: R. com O u 1 = 0 
17 
2 SISTEMAS NUMÉRICOS DE COORDENADAS NO 
PLANO E NO ESPAÇO 
Sistema de coordenadas no plano cartesiano é um sistema quadriculado necessário para 
determinar pontos com precisão em vários espaços. A teoria para este esquema surgiu em 1637 
pelo matemático francês e filósofo Descartes. 
A representação gráfica das coordenadas é possível pelo plano cartesiano, ou também 
denominado como sistema cartesiano. O plano cartesiano consiste de um traçado de retas 
perpendiculares, uma na horizontal e outra na vertical, formando quadrantes de 90º. 
O sistema de coordenadas cartesianas no espaço, que também pode ser chamado de 
geometria cartesiana, é um plano cartesiano com 3 eixos (x, y, z), que é muito usado na geometria 
para descrever a localização de um ponto em um espaço tridimensional. Passou-se a utilizar um 
plano com duas retas graduadas ortogonais, uma para representar os valores de x e outra os 
valores de y, portanto, para cada ponto P. O ponto P tem um par de números indicando sua 
posição: o número x, indicado no eixo das abscissas, e um segundo número y, no eixo das 
ordenadas. Os termos abscissa, ordenada e coordenadas foram usados pela primeira vez por 
Leibniz em 1692. 
Figura 3 - Sistema de coordenadas espaciais dos eixos X, Y e, Z 
Fonte: Dmitri Gruzdev, Shutterstock, 2020. 
#ParaCegoVer: A imagem apresenta o sistema de coordenadas espaciais dos eixos X, Y e, Z, 
quadriculado para indicar a numeração de unidades. 
18 
Em topografia, as coordenadas são referidas ao plano horizontal de referência, o plano 
topográfico; o sistema de coordenadas topográficas é definido por um sistema plano-retangular 
XV, sendo que o eixo das ordenadas (Y) tem orientação paralela segundo a direção norte-sul, seja 
magnética ou verdadeira, e o eixo positivo. 
Figura 4 - Gráfico no plano dos eixos X e Y 
Fonte: Radu Bercan, Shutterstock, 2020. 
#ParaCegoVer: A imagem apresenta um gráfico no plano dos eixos X e Y, com a marcação de 
três pontos e suas coordenadas. 
O Sistema de Coordenadas Cartesianas surgiu conforme uma teoria de georreferenciamento, 
a partir das seguintes premissas: 
Um sistema coordenado cartesiano no espaço 3-D é caracterizado por um conjunto de três retas 
{x, y e z), denominados de e·,xos coordenados, mutuamente perpendiculares. Ele associado à um 
Sistema de Referência Geodésico, recebe a denominação de Sistema Cartesiano Geodésico de modo 
que: O eixo X coincidente ao plano equatorial, positivo na direção de longit ude Oº; O eixo Ycoincidente 
ao plano equatorial, positivo na direção de longitude 90º; e O eixo Zé parale lo ao eixo de rotação da 
Terra e positivo na direção norte. 
A origem é definida quanto a locali zação. Se está locali zada no centro de massas da Terra 
{geocêntrico), as coordenadas são denominadas de geocêntricas, usualmente utilizadas no 
posicionamento à satélites, como é o caso do WGS84, SIRGAS 2000, SAD69 {SILVA, 2013, n.p.). 
19 
O estudo dos sistemas cartesianos, possibilita compatibilizar as medições topográficas e 
pontos com GPS, assim específico é possível detectar erros devido às diferenças existentes entre 
os sistemas de projeção. Esse tema é fundamental para os futuros estudos para a aplicação de 
Topografia na Arquitetura (SILVA, 2013). 
Utilize o QR Code para assistir ao vídeo: 
2.1 Os três tipos de geometria e suas utilizações 
As origens da geometria remontam às próprias origens da civilização, pois as civilizações egípcia, 
suméria e babilônica foram o berço dos estudos geométricos. Posteriormente foram os gregos, 
considerados os fundadores da geometria, que a desenvolveram como uma disciplina autônoma. 
Figura 5 - Geometria Euclidiana 
Fonte: Tupungato, Shutterstock, 2020. 
#ParaCegoVer: A imagem apresenta diversas formas geométricas e suas respectivas equações 
para o cálculo de áreas. 
20 
A Geometria é uma subdivisão da Matemática que estuda as formas geométricas para calcular 
todas as suas propriedades como comprimento, área e volume. O significado de geometria surgiu 
como a fusão dos termos "geo" (terra) e "metron" (medir), ou seja, significa a " medida de terra". 
A Geometria é dividida em três categorias: 
• Geometria Analítica 
Estuda a relação da álgebra e a análise matemática com a geometria. 
• Geometria Plana 
Também conhecida como Geometria Euclidiana, estuda o plano e o espaço baseando-se nos 
postulados de Euclides. 
• Geometria Espacial 
Realiza o estudo de figuras tridimensionais. 
Assim, a Geometria Analítica, também chamada de geometria cartesiana, une conceitos de 
álgebra e geometria através dos sistemas de coordenadas. Os conceitos mais utilizados são o 
ponto e a reta (PINHO, 2010). 
Por sua vez, a Geometria Plana ou Euclidiana reúne os estudos sobre as figuras planas, que 
não apresentam volume. Finalmente, a Geometria Espacial estuda as figuras geométricas que 
possuem volume e mais de uma dimensão. 
A geometria pode ser considerada como uma ferramenta muito importante para a descrição 
e inter-relação do homem com o espaço em que vive, já que pode ser considerada como a parte 
da matemática mais intuitiva, concreta e ligada com a realidade. Conforme Nogueira (2009), a 
intuição geométrica é conceber de um modo claro as relações geométricas, ou seja, visualizar um 
caminho de solução (PINHO, 2010). 
A aplicação dos conceitos da geometria está presente nas construções, na agricultura, 
na pecuária, enfim é possível aplicar seus princípios, na resolução de muitos problemas, que 
envolvam cálculos e medidas. 
Santos desenvolveu detalhadamente o tema da utilização da geometria na Arquitetura, com 
destaque no período da Perspectiva, especialmente nas construções no período do Renascimento, 
com o aprendizado de conceitos geométricos: 
Recorrer aos relatos h'1stóricos possibi lita a percepção de que na Antiguidade Clássica, a 
Arquitetura greco-romana seguia normas rígidas de s·1metria e proporcionalidade, uti lizando-se da 
matemática, na busca da harmonia das formas, por exemplo, uti lizando-se da Simetria e da Razão 
21 
Áurea para alcançar a harmonia e a beleza em suas construções, conseguidas por meio de conceitos e 
resultados matemáticos. 
Os gregos buscavam o máximo de perfeição em tudo que construíam, o Partenon, na Acrópole 
de Atenas é um exemplo de que, a Arquitetura Clássica Grega destacou-se pelo grande valor dado às 
proporções, é uma das mais conhecidas e admiradasconstruções do mundo, o que nos estimula a um 
estudo mais detalhado deste monumento {SANTOS, 2013, p. 14 -15). 
A diversidade geométrica encontrada nas edificações arquitetônicas, desde a Antiguidade, 
demonstra que a Arquitetura pode ser usada como um aprendizado de conceitos geométricos, 
sendo eles Euclidianos ou não Euclidianos (SANTOS, 2013). 
Atualmente, a produção arquitetônica ainda utiliza os princípios clássicos da geometria, 
mas agora através de ferramentas tecnológicas que permitem projetar com rapidez e precisão 
computacional, através dos recursos dos programas de computação gráfica. 
2.2 Conceito de cônicas e quadráticas e sua aplicação nos cálculos 
arquitetônicos 
Utilizamos diversos objetos no nosso cotidiano que possuem formas de cônicas, como a 
parábola, elipse, hipérbole e circunferência, assim também ocorre em relação às superfícies 
quádricas: esferas, cilindros, parabolóides, elipsóides e hiperbolóides (SOMMERFELD, 2013). 
As curvas cônicas, foram exaustivamente estudadas por matemáticos. A circunferência, 
simbolizava a perfeição na Grécia Antiga, já a elipse corresponde a geometria das órbitas de 
planetas, e a hipérbole corresponde à geometria das trajetórias de cometas. 
Figura 6 - Construção de ponte 
Fonte: Brian A. Jackson, Shutterstock, 2020. 
22 
#ParaCegoVer: A imagem mostra um profissional da engenharia com um lápis desenhando 
uma ponte sobre uma pedra para um homem atravessar um vão. O desenho é de um arco, pois o 
arco é a forma mais utilizada para desenho de pontes. 
É possível compreender o conceito de cônicas segundo descrição de Geraldini et ai.: 
Considerando-se uma superfície cônica gerada por uma reta chamada geratriz, que gira em 
torno de uma reta chamada de eixo e mantendo-se fixa em um ponto chamado vértice e tendo como 
di refrtz uma c·1rcunferência, obtém-se um cone duplo. O cone duplo, sec'tonado por um plano secante, 
dependendo do ângu lo que este plano secante formar com o eixo, teremos uma das quatro curvas 
cônicas: a c'trcunferência, a elipse, a parábola ou a h'tpérbole (GERALDINI et ai., 2020, n.p.). 
As cônicas são muito utilizadas na Engenharia e Arquitetura, desde tempos remotos, até hoje, 
devido às suas propriedades físicas e até mesmo estéticas como no caso das pontes, pórticos, 
cúpulas, torres e arcos. Um caso clássico para a construção civil, são os cabos sustentados por 
tirantes de uma ponte, quando o peso total é distribuído uniformemente no eixo horizontal da 
ponte, na forma de uma parábola (SOMMERFELD, 2013). 
2.3 Círculo e circunferência 
Matematicamente, a circunferência é definida como o conjunto de todos os pontos P (x, y) 
do plano que estão a uma certa distância (raio) de um ponto fixo (centro). Fixados o raio r > O e o 
centro (a, b) (SOMMERFELD, 2013). 
Figura 7 - Estádio de futebol 
Fonte: Blaz Kure, Shutterstock, 2020. 
#ParaCegoVer: Foto de um estádio em que se observa a utilização de um círculo para a sua 
cobertura. 
23 
Circunferências são figuras geométricas planas geralmente representadas por figuras 
"perfeitamente redondas", mas a representação geométrica nada mais é do que a representação 
de uma fórmula algébrica. A circunferência é apenas o contorno de um círculo. Dessa maneira, a 
distância entre o centro e um ponto qualquer de um círculo é sempre menor ou igual ar. 
O círculo é uma figura geométrica plana formada por todos os pontos, cuja distância até um 
ponto fixo, chamado de centro, é igual a uma constante chamada de raio. 
A circunferência é uma figura geométrica plana formada por todos os pontos cuja distância até 
um ponto fixo, chamado de centro, é menor que uma constante chamada de raio (INFOESCOLA, 
2020). 
Quanto ao cálculo de área de um círculo, ele é dado pela seguinte expressão: 
A=rc.r2 
Podemos definir um círculo como sendo o conjunto de todos os pontos interiores de uma 
circunferência, ou seja, é o espaço contido dentro da circunferência (INFOESCOLA, 2020). 
Todo círculo ou circunferência possui alguns elementos importantes: 
D 
e 
E 
Figura 8 - Elementos trigonométricos de uma circunferência 
Fonte: SILVA, 2020 (Adaptado). 
#ParaCegoVer: Circunferência em destaque dos pontos e elementos trigonométricos como 
corda, diâmetro e raio. 
O é o centro da circunferência; 
• AB é uma Corda (c); 
• OE é um raio (r); 
24 
• CD é o diâmetro (d). 
Podemos estabelecer a seguintes relações: 
D=2r 
Diâmetro é o dobro do raio, ou: 
r=D2 
O raio é metade do diâmetro. 
2.4 Parábola 
As parábolas são utilizadas no nosso cotidiano em diversos equipamentos e sistemas de muita 
importância para nossa sociedade. As propriedades refletoras da parábola contribuem para a 
construção de telescópios, antenas, radares, faróis, etc. Fazendo uso da propriedade refletora 
da parábola, Arquimedes construiu espelhos parabólicos, os quais por refletirem a luz solar para 
um só ponto, foram usados para incendiar os barcos romanos nas invasões de Siracusa (cidade 
italiana). A partir da propriedade refletora das parábolas, os engenheiros civis constroem pontes 
de suspensão parabólica (SOMMERFELD, 2013). 
Figura 9 - Ponto F e a reta r de uma parábola 
Fonte: Brasil Escola, 2020 (Adaptado). 
#ParaCegoVer: A demonstração de seu ponto F e a reta r de uma parábola. 
São cinco os principais elementos da parábola. Eles são figuras geométricas que recebem 
nomes especiais devido à sua função e à sua importância na definição das parábolas. São eles: 
a) Foco: é o ponto F usado para a definição da parábola. 
b) Diretriz: é a reta r, também usada na definição da parábola. Lembre-se de que a distância 
entre um ponto qualquer da parábola e a reta r tem a mesma distância que esse mesmo ponto 
25 
e o seu foco. 
c) Parâmetro: o parâmetro de uma parábola é a distância entre o seu foco e sua diretriz. Essa 
distância é o comprimento do segmento de reta que liga o foco e a diretriz, formando com ela um 
ângulo reto. Para encontrar esse valor, pode-se usar a distância entre ponto e reta . 
d) Vértice: é o ponto da parábola que fica mais próximo de sua diretriz. Uma das propriedades 
desse ponto é que a sua distância até o foco da parábola é igual à metade do parâmetro. Também 
podemos dizer que a distância entre esse ponto e a diretriz da parábola é igual à metade do 
parâmetro. Seja a medida do parâmetro de uma parábola representada pela letra p, a medida do 
segmento VF será dada por: 
VF = P/2 
e) Eixo de simetria: o eixo de simetria de uma parábola é uma reta perpendicular à diretriz 
que passa pelo seu vértice. Consequentemente, essa reta também passa pelo foco da parábola e 
contém o segmento chamado parâmetro. 
A imagem abaixo mostra cada um dos elementos de uma parábola: 
F 
Eixo de 
simetria 
p/2[:::_::::::~::_··~ --
v 
Diretriz 
p 
Figura 10- O eixo de simetria de uma parábola 
Fonte: Brasil Escola, 2020 (Adaptado). 
#ParaCegoVer: O eixo de simetria de uma parábola é uma reta perpendicular à diretriz que 
passa pelo seu vértice. 
Existem duas equações reduzidas da parábola: 
y2 = 2px 
e 
x2 = 2py 
26 
Essas equações são obtidas colocando o vértice de uma parábola na origem de um plano 
cartesiano. Primeiramente, suponha que a diretriz dessa parábola é paralela ao eixo y do plano, 
como mostra imagem a seguir: 
Figura 11- Diretriz de uma parábola 
Fonte: Brasil Escola, 2020 (Adaptado). 
#ParaCegoVer: A diretriz dessa parábola é paralela ao eixo y do plano. 
Escolhendo um ponto P (x, y) qualquer na parábola, teremos as seguintes hipóteses: 
a) Coordenadas de F: como o segmento VF = p/2, então as coordenadas de F são (p/2, O). Para 
perceber isso, note que o eixo x, nessa construção, é o eixo de simetria da parábola. 
b) Coordenadas de A: o ponto A pertence à diretriz, e a distância de P até Aé igual à distância 
de P até F. Assim, mudando a posição do ponto P, sempre teremos essa característica. As 
coordenadas de A são: (- p/2, y). 
Isso acontece porque A sempre estará à mesma alturade P, e sua distância até o eixo y é a 
mesma que a distância de V até F, com sinal invertido. 
2.5 Elipse 
A elipse é extremamente importante para a Arquitetura e a Engenharia, além de ser 
amplamente investigada em vários campos da matemática e da física. 
A elipse é definida como dois pontos quaisquer do plano Fl e F2 e seja 2c a distância entre 
eles, elipse é o conjunto dos pontos do plano cuja soma das distâncias à Fl e F2 é a constante 2a 
(2a > 2c). 
Figura 12 - Forma de uma elipse em um monumento arquitetônico 
Fonte: Dmitrii Postnov, iStock, 2020. 
27 
#ParaCegoVer: Foto aérea do Coliseu, em Roma, na Itália, de um drone, aonde pelo seu 
contorno pode-se notar a forma de uma elipse. 
A figura abaixo apresenta os elementos da Elipse: 
y 
A, 
' ◄ 
B, 
2a 
► ' 
Figura 13 - Elementos da elipse 
Fonte: Brasil Escola, 2020 (Adaptado). 
#ParaCegoVer: A figura apresenta os elementos da Elipse como os focos, centro, distância 
focal, eixos maior e menor e excentricidade. 
Fl e F2 ➔ são os focos. 
C ➔ Centro da elipse. 
2c ➔ distância focal. 
28 
2a ➔ medida do eixo maior. 
2b ➔ medida do eixo menor. 
c/a ➔ excentricidade. 
Há uma relação entre os valores a, b e c➔ a2 = b2+c2. 
12 caso - Elipse com focos sobre o eixo x: 
y 
2a 
Figura 14 - Elipse com focos sobre o eixo x 
Fonte: Brasil Escola, 2020 (Adaptado). 
#ParaCegoVer: A imagem representa uma elipse com focos sobre o eixo x. 
Nesse caso, os focos têm coordenadas Fl(- c, O) e F2(c, O). Logo, a equação reduzida da elipse 
com centro na origem do sistema cartesiano e com focos sobre o eixo x será: 
:c2 y2 
-+- = 1 
al l} 
22 Caso - Elipse com focos sobre o eixo y: 
y 
B 
-b 
-a 
Figura 15 - Elipse com focos sobre o eixo y 
Fonte: Brasil Escola, 2020 (Adaptado). 
#ParaCegoVer: A imagem representa uma elipse com focos sobre o eixo y. 
29 
Nesse caso, os focos apresentam coordenadas Fl(O, -c) e F2(0, c). Assim, a equação reduzida 
da elipse com centro na origem do sistema cartesiano e com focos sobre o eixo y será: 
que é a equação reduzida da elipse. 
2.6 Hipérbole 
Conforme Rigonatto (2020), a definição de uma Hipérbole consiste em: sejam Fl e F2 dois 
pontos do plano e seja 2c a distância entre eles, hipérbole é o conjunto dos pontos do plano cuja 
diferença (em módulo) das distâncias à Fl e F2 é a constante 2a (O< 2a < 2c). 
A seguir, você poderá observar os elementos de uma Hipérbole: 
30 
y 
X 
F, I A 1 
1 B, 
•+- e -to-+-- e ~ , 
Figura 16- Posição dos focos da hipérbole Fl e F2 
Fonte: SOMMERFELD, 2013 (Adaptado). 
#ParaCegoVer: A imagem representa os focos F, e F, da hiperbole. 
Fl e F2 ➔ são os focos da hipérbole. 
O ➔ é o centro da hipérbole. 
2c ➔ distância focal. 
2a ➔ medida do eixo real ou transverso. 
2b ➔ medida do eixo imaginário. 
c/a ➔ excentricidade. 
Existe uma relação entre a, b e c ➔ c2 ; a2 + b2. 
Equação reduzida da hipérbole: 
12 caso - Hipérbole com focos sobre o eixo x: 
Nesse caso os focos terão coordenadas Fl (-c, O) e F2( c, O). Assim, a equação reduzida da 
elipse com centro na origem do plano cartesiano e focos sobre o eixo x será: 
22 caso - Hipérbole com focos sobre o eixo y: 
y 
X 
Figura 17 - Hipérbole com focos sobre o eixo y 
Fonte: Brasil Escola, 2020 (Adaptado). 
#ParaCegoVer: Imagem de uma Hipérbole com focos sobre o eixo y. 
31 
Neste caso, os focos terão coordenadas Fl (0,-c) e F2(0,c). Assim, a equação reduzida da 
elipse com centro na origem do plano cartesiano e focos sobre o eixo y será: 
y2 
a2 
Exemplo: 
Determine a equação reduzida da hipérbole com eixo real 6, focos Fl(-5, O) e F2(5, O). 
Solução: 
Temos que 
2a = 6 ➔ a= 3 
Fl(-5, O) e F2(5, O) ➔ c = 5 
Da relação notável, obtemos: 
c2 = a2 + b2 ➔ 52 = 32 + b2 ➔ b2 =25 - 9 ➔ b2 = 16 ➔ b = 4 
Assim, a equação reduzida será dada por: 
32 
Figura 18 - Forma de uma hipérbole em um monumento arquitetônico 
Fonte: Alfotto, lstock, 2020. 
#ParaCegoVer: Fotografia da catedral de Brasília projetada pelo arquiteto Oscar Niemeyer em 
que se observa o contorno de uma hipérbole em sua fachada. 
As superfícies quádricas elipsoides têm propriedades acústicas refletoras usadas, por 
exemplo, para criar condições acústicas especiais em auditórios, teatros e igrejas. 
2.7 Noções de estatística para a organização e análise de dados 
No caso da arquitetura e urbanismo, a estatística tem diversas aplicações e utilidades. A 
estatística, no estudo do urbanismo, tem ajudado muito para visualizar os caminhos a seguir, 
porque o estudo da cidade, ou seja, do urbanismo, tem como princípio atender as necessidades 
da população. 
Ao longo de sua história, a estatística se tornou uma importante ferramenta utilizada por 
governantes, através da divulgação de índices econômicos ou demográficas que ajudam a tomar 
decisões e estabelecer diretrizes de planejamento urbano, por exemplo. 
Dessa forma, a estatística se tornou um instrumento fundamental para a tomada de decisões, 
a julgar pela complexidade e sofisticação do processo de projeto em arquitetura, em se tratando 
de processo criativo, utilizar a ferramenta estatística, torna o processo mais eficiente (DENICO L, 
2018). 
Estatística é um ramo da Matemática que se destina ao estudo dos processos de obtenção, 
coleta, organização, apresentação, descrição, análise e interpretação de dados numéricos 
variáveis, referentes a qualquer fenômeno (COSTA, 2011). 
A seguir, de acordo com Santos (2020), listamos os principais conceitos estatísticos: 
• População 
33 
É uma coleção completa de todos os elementos a serem analisados, como por exemplo: 
valores, pessoas, medidas, e muitos outros. 
• Censo 
É uma coleção de dados relativos aos elementos de uma população. Esse estudo é realizado, 
normalmente, de dez em dez anos, na maioria dos países. 
• Amostra 
É uma sub-coleção de elementos extraídos de uma população. Os elementos de uma amostra 
são conhecidos como pontos amostrais, unidades amostrais ou observações. 
• Parâmetro 
É uma medida numérica da população, que descreve uma característica de uma população. 
• Estatística 
É uma medida numérica que descreve uma característica de uma amostra. Por exemplo, 
quando extraímos uma amostra aleatória de uma população distribuída normalmente, a média 
da amostra é uma estatística. 
• Dados 
São a matéria prima da Estatística. Definido o assunto de interesse, os dados são obtidos da 
medição de determinada característica ou propriedade desse objeto, pessoa ou coisa. 
• Dados quantitativos 
Consistem em números que representam contagens ou medidas. 
• Dados qualitativos 
Podem ser separados em diferentes categorias que se distinguem por alguma característica 
não-numérica. 
• Dados discretos 
Resultam de um conjunto finito de valores possíveis, ou de um conjunto enumerável desses 
valores. 
34 
• Dados contínuos 
Resultam de um número infinito de valores possíveis que podem ser associados a pontos em 
uma escala contínua de tal maneira que não aconteçam lacunas ou interrupções. 
• Variável 
Qualquer conjunto de dados contém informações sobre algum grupo de indivíduos. As 
informações são organizadas em variáveis, ou seja, uma variável é uma característica, propriedade 
ou atributo de uma unidade da população, cujo valor pode variar entre as unidades da população. 
• Variação 
O padrão de variação de uma variável constitui a sua distribuição. A distribuição de uma 
variável quantitativa registra seus valores numéricos e a frequência de ocorrência de cada valor. 
• Frequência absoluta 
É o número de vezes que um dado aparece no levantamento. 
• Frequência relativa 
É o número de observações de cada variável divido pelo número total de observação. Esse 
índice pode ser descrito como a frequência absoluta de cada variável dividida pela somatória das 
frequências absolutas. Esse índice é usado para comparar dados. 
• Média aritmética 
É a medida de tendência central. Corresponde ao somatório dos valores dos elementos,dividido pelo número de elementos. 
• Média aritmética ponderada 
Somatório dos valores dos elementos multiplicado pelos seus respectivos pesos, dividido pela 
soma dos pesos atribuídos. 
• Moda 
Valor de maior frequência em uma série de dados, o que mais se repete. 
• Mediana 
Medida central em uma determinada sequência de dados numéricos. 
• Amplitude 
35 
Subtração entre o maior valor e o menor valor dos elementos do conjunto. 
• Variância 
Dispersão dos dados variáveis em relação à média. 
• Desvio Padrão 
Raiz quadrada da variância. Indica a distância média entre a variável e a média aritmética da 
amostra. 
A atividade da estatística é baseada na prática do levantamento e análise de dados estatísticos, 
que se tornam as ferramentas para o desenvolvimento da estatística descritiva e análise de 
regressão. 
Utilize o QR Code para assistir ao vídeo: 
2.8 Erros absolutos, relativos, de arredondamento e truncamento 
Os dados de entrada são enviados ao computador pelo usuário no sistema decimal, e toda 
a informação é convertida para o sistema binário. Todas as operações são efetuadas no sistema 
binário e os resultados finais são convertidos para o sistema decimal e transmitidos ao usuário. 
Todas essas operações com os números não são representadas de forma exata nos computadores, 
o que acarreta um erro de arredondamento. Todo esse processo de conversão é uma fonte de 
erros que pode afetar o resultado final dos cálculos (CAVALCANTI, 2020). 
FIQUE DE OLHO 
Na solução de problemas através de métodos numéricos, após as fases de definição, 
modelagem, escolha e implementação, verifica-se algumas vezes que os resultados obtidos 
não apresentam valores dentro de uma faixa esperada. Dentre outros fatores, os resultados 
dependem da precisão dos dados de entrada, da forma como estes dados são representados 
no computador e das operações numéricas efetuadas. 
Quando são feitas as aproximações numéricas, os erros são gerados de várias formas, sendo 
as principais delas as seguintes: 
• Incerteza dos dados são devidos aos erros nos dados de entrada. Quando o modelo 
matemático é oriundo de um problema físico, existe incerteza nas medidas feitas pelos 
instrumentos de medição. 
• Erros de arredondamento são relacionados com as limitações existentes na forma de 
representar números em máquina. 
• Erros de truncamento surgem quando aproximam um conceito matemático formado por 
uma sequência infinita de passos por de um procedimento finito. O erro de truncamento 
deve ser estudado analiticamente para cada método empregado (CAVALCANTI, 2020). 
3 NOÇÕES PRELIMINARES DE CÁLCULOS INICIAIS 
O conceito de Cálculos Iniciais está relacionado ao desenvolvimento dos diversos tipos de 
funções matemáticas, desde o seu conceito, expressão matemática e o seu gráfico. 
3.1 O conceito de função e sequência como função de domínio natural 
Uma função matemática desenvolve as mudanças sofridas por uma grandeza, provocadas 
pela transformação de outra grandeza, ou seja, quando resolvemos uma função, temos de alguma 
forma uma grandeza variando em função da variação de outra. Matematicamente, dizemos que 
uma função é uma relação entre os elementos de dois conjuntos, em que para cada elemento de 
um conjunto, é associado apenas um elemento do outro conjunto (BROLEZZI et ai., 2020). 
Uma função pode ser representada por meio de uma fórmula matemática, ou então por meio 
de um gráfico. O conceito é desenhar o comportamento das funções em um plano é utilizada 
como forma de representar figuras associando-as a uma função. 
3.2 Sequência de Fibonacci 
Sequência de Fibonacci é a sequência numérica proposta pelo matemático Leonardo Pisa, 
que descobriu uma regularidade matemática, a partir de um problema criado pelo crescimento 
37 
de uma população de coelhos (GOUVEIA, 2020). A sequência de Fibonacci é descrita pela seguinte 
sequência de números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 e a sequência segue de forma infinita. 
A sequência é definida mediante a seguinte fórmula: 
Fn = Fn - 1 + Fn - 2 
Assim, começando pelo 1, essa sequência é formada somando cada numeral com o numeral 
que o antecede, por exemplo no caso do 1, repete-se esse numeral e soma-se, ou seja, 1 + 1 = 
2, em seguida soma-se o resultado com o numeral que o antecede, ou seja, 2 + 1 = 3 e assim 
sucessivamente, numa sequência infinita, como por exemplo: 8 + 5 = 1; 3 + 2 = 5; 5 + 3 = 8; 13 + 8 
= 21; 21 + 13 = 34; 34 + 21 = 55; 55 + 34 = 89 etc. 
3.3 Número de ouro, retângulo de ouro e suas aplicações 
A partir dessa sequência, pode ser construído um retângulo, que é chamado de Retângulo 
de Ouro. Retângulo de Ouro (GOUVEIA, 2020). Ao desenhar um arco dentro desse retângulo, 
obtemos, por sua vez, a Espira I de Fibonacci. 
3 
2 
8 
5 
Figura 19 - Espiral de Fibonacci 
Fonte: Instituto Claro, 2020 (Adaptado). 
Figura 20 - Espiral de Fibonacci 
Fonte: Instituto Claro, 2020 (Adaptado). 
#ParaCegoVer: As imagens representam uma Espiral de Fibonaccci. Os números de Fibonacci 
são uma ideia matemática muito rica e que podem ser apresentadas de diversas maneiras. 
38 
A sequência de Fibonacci pode ser encontrada em toda a natureza, como por exemplo nas 
folhas das árvores, nas pétalas das rosas, nos frutos como o abacaxi, na concha do nautilus 
marinho ou nas galáxias. 
Um detalhe muito importante é o coeficiente de um número com o seu antecessor, onde 
sempre se obtém a constante com o valor aproximado de 1,618. Essa constante é aplicada em 
análises financeiras e na informática e foi utilizada por Da Vinci, que chamou a sequência de Divina 
Proporção, para fazer desenhos perfeitos. Leonardo Pisa (1175-1240) a utilizou no seu livro Liber 
Abaci, mas há indícios de que os indianos já haviam descrito essa sequência na data de 1202. 
FIQUE DE OLHO 
Verifique as proporções matemáticas nas obras de um dos maiores expoentes da arquitetura 
brasileira, Oscar Niemeyer, conforme indicado na pesquisa de Mareia Boiko dos Santos, 
A Geometria na Arquitetura: uma abordagem dos estilos arquitetônicos da Antiguidade 
Clássica, do Renascimento e da Modernidade. 
O Parthenon, um dos templos da Grécia Antiga, na Acrópole de Atenas utilizou harmonicamente as 
linhas geométricas e a proporção. Os gregos buscavam o máximo de perfeição em tudo que construíam. 
A proporção áurea e a simetria simbolizam a harmonia e beleza na Arquitetura (SANTOS, 2013). 
As obras do Oscar Niemeyertambém apresentam as relações da razão áurea na concepção de 
seus conceituados projetos. A concepção artística é a característica mais marcante da arquitetura 
de Oscar Niemeyer, mas toda a sua concepção formal da estrutura, é baseada no equilíbrio por 
meio das relações de proporção que se estabelecem com base na Razão Áurea (SANTOS, 2013) . 
.............. 
1111 .......... 
Figura 21 - Fachada do Partenon 
Fonte: Panptys, lstock, 2020. 
#ParaCegoVer: A imagem representa a fachada do Parthenon, onde pode se observar a 
proporção, simetria resultado de uma construção que se baseia na Razão Aurea. 
39 
3.4 Função afim 
A função afim, ou função do 12 grau, é uma função polinomial, em que f:R➔R e os números 
reais a e b, atendam a seguinte condição, lllx Ili R e ba<0, as funções f(x) = x + 7, g(x) = 8v'2x - 8 e 
h(x) = 1/7 x são exemplos de funções afim, a representação formal da função ~e indicada pela 
seguinte expressão: 
y=f(x)= a x+ b 
Onde: 
a é o coeficiente angular do gráfico de f 
b é o coeficiente linear, ou o ponto de intersecção com o eixo y 
x é a variável independente. 
Na função afim, o número a é chamado de coeficiente de x e representa a taxa de crescimento 
ou taxa de variação da função. Já o número b é designado como o termo constante. 
O gráfico da função afim é uma reta, o coeficiente a de x é denominado coeficiente angular 
e representa a inclinação da reta em relação ao eixo X. O termo constante b é considerado 
coeficiente linear e indica o ponto onde a reta corta o eixo Y (BROLEZZI,2020). 
Figura 22 - Gráfico com três pontos 
Fonte: Lari Saukkonen, Shutterstock, 2020. 
#ParaCegoVer: A imagem representa um gráfico nos eixos X e Y com a indicação de três 
pontos formando uma reta, indicando assim uma função afim. 
Para identificar se uma função afim é crescente ou decrescente, se o coeficiente angular for 
positivo, a função será crescente, mas se for negativo, será decrescente. Por exemplo, a função f(x) 
40 
= 14x + 5 4 é uma função crescente, pois seu coeficiente angular (a= 14), é um número positivo, ao 
contrário, função f(x) = - 12x + - 7, é uma função decrescente, pois a= -12 (BROLEZZI, 2020). 
Resumindo: 
a> O - Função afim crescente 
a< O - Função afim decrescente 
Existem vários tipos de função afim, conforme os valores a e b, que vão gerar subtipos da 
função afim. 
3.5 Função identidade 
Seja uma função f:R➔R definida porf(x) = x, considerando a= 1 e b = O, o gráfico de uma função 
identidade é uma bissetriz dos 12 e 32 quadrantes, passando no ponto (O, O) (BROLEZZI, 2020). 
Figura 23 - Gráfico da função identidade 
Fonte: Educa Mais Brasil, 2020 (Adaptado). 
#ParaCegoVer: A imagem representa um gráfico da Função Identidade. No caso da identidade 
o gráfico é chamado de bissetriz dos quadrantes ímpares (1 º e 3º). 
3.6 Função constante 
Uma função f:R➔R é constante quando f(x) = b, logo a= O e o gráfico é uma reta paralela ao 
eixo xeque intercepta o eixo Y no ponto b (BROLEZZI, 2020). 
O gráfico abaixo representa a função f(x) = 2: 
y 
f X : C 
X 
Figura 24 - Gráfico da função constante 
Fonte: OLIVEIRA, 2020 (Adaptado). 
41 
#ParaCegoVer: O gráfico da função constante é bidimensional e sempre será uma reta 
horizontal em relação ao eixo x, isso ocorre, pois, o resultado é sempre uma reta. 
3.7 Função linear 
Uma função f:R➔R é dita constante quando f(x) = a x, logo b = O e o gráfico é uma reta paralela 
que cruza a origem (0,0), por exemplo, a função f(x) = 2x, cujo gráfico será: 
+ 
-3 X 
Figura 25 - Gráfico da função linear para a função f(x) = 2x 
Fonte: Lari Saukkonen, Shutterstock, 2020. 
#ParaCegoVer: A imagem representa um gráfico nos eixos X e Y com a indicação de três 
pontos formando uma reta, indicando assim uma função afim. 
42 
3.8 Equação modular 
A equação modular é uma desigualdade em que a incógnita aparece dentro do módulo 
(FRANÇA, 2020). A função modular mais simples é representada pela fórmula: 
fx=lxl 
A representação gráfica da equação é representada pelo gráfico abaixo: 
y 
5 
-6 -4 - 2 O 2 4 
Figura 26 - Gráfico da função modular 
Fonte: RIGONATTO, 2020 (Adaptado). 
X 
#ParaCegoVer: A imagem representa um gráfico da função modular nos eixos X e Y. 
Uma equação modular é uma equação que contém um valor absoluto, sendo que o valor 
absoluto determina a distância do valor em relação ao ponto zero, portanto, lxl mede a distância 
do ponto x até o zero (GUIDORIZZI, 2001). As equações modulares têm aplicação em simetrias, 
limites simétricos ou condições de contorno. 
O módulo de um número real x é, que é representado por lx I onde: 
lxl = x se x 2 O 
lxl = - x se x < O 
Algumas propriedades são importantes para aplicamos em soluções de equações modulares: 
lxl 2 0vx E~ 
lxl = O => x = O 
lxl 2x 'V'x E~ 
lxl 2 l-xl 'V'x E 1. 
lx2 1 = lxl2 =x2 
lx+yl 5 lxl + IYI 
lx - yJ ~ Jxl - lr l 
1 X . }' J = 1 X J · 1 )' 1 
llxyll= l x l IYI 
llxl - lr l l 5 Jx- yJ 
3.9 Função quadrática 
43 
A função é quadrática, ou função de segundo grau, sendo os coeficientes "a, b e c" números 
reais e "a" diferente de zero. 
f(x) = a x2 + b x + c 
O gráfico da função quadrática é uma parábola, cuja concavidade depende do valor de a: 
a> O - a concavidade da parábola estará voltada para cima 
a< O - a concavidade da parábola estará voltada para baixo 
As raízes são os pontos em que a parábola intercepta o eixo x e o vértice é ponto de máximo 
ou mínimo a função. A função de segundo grau tem 2 (duas) raízes que podem ser calculadas pela 
fórmula de Bhaskara (BROLEZZI, 2020). 
Equações da Fórmula de Bhaskara: 
D. = b2 - 4ac 
x = b~~ 
2a 
A parábola da função quadrática corta o eixo x nas raízes ou zeros da função, em até dois 
pontos dependendo do valor de ô.. Assim, temos: 
• Se ô.> O, o gráfico cortará o eixo x em dois pontos; 
• Se ô.= O, a parábola tocará o eixo x em apenas um ponto. 
O vértice da parábola, que é o valor máximo ou mínimo da função quadrática, e as suas 
coordenadas nos eixos X e Y, é calculado pelas fórmulas abaixo: 
-b 
Xt1 - 2n. e Yv 
- !:,. 
4a 
44 
Figura 27 - Gráfico de uma parábola 
Fonte: Marekuliasz, Shutterstock, 2020. 
#ParaCegoVer: A imagem representa o gráfico de uma parábola e a expressão matemática 
genérica de uma função quadrática. 
4 FUNÇÃO EXPONENCIAL 
A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa 
ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação: 
f: R➔R tal que y = a x, sendo que a> 1 ou O< a< 1. 
Essas restrições são fundamentais, pois 1 elevado a qualquer número resulta em 1, o que 
dessa forma não seria uma função exponencial, mas uma função constante. Outra regra básica é 
que a base não pode ser negativa, nem igual a zero, pois para alguns expoentes para a função não 
estariam definidos (SILVA, 2020). 
As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando as regras envolvendo potenciação. 
Figura 28 - Gráfico de uma função exponencial 
Fonte: Marekuliasz, Shutterstock, 2020. 
45 
#ParaCegoVer: A imagem representa o gráfico de uma curva e a expressão matemática 
genérica de uma função exponencial. 
Para o gráfico de uma função exponencial, existem duas configurações, para a> 1 ou O< a< 
1 {SILVA, 2020). Conforme você pode verificar nos gráficos abaixo: 
a> 1 
y 
o 
Figura 29 - Tipos de gráfico exponencial 
Fonte: SILVA, 2020 (Adaptado). 
O< a< 1 
y 
o 
#ParaCegoVer: As duas imagens apresentam os dois tipos de gráficos de função exponencial 
para a> 1 ou O< a< 1. 
4.1 Função logarítmica 
A inversa da função exponencial é a função logarítmica. Nesse tipo de função o domínio 
é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero, e o contradomínio, pelo 
46 
conjunto dos reais (SILVA, 2020). A função logarítmica é definida pela seguinte expressão: 
f(x) = logax, com a "' 1 e a> O 
Sendo, o logaritmo de um número definido como o expoente ao qual se deve elevar a base a 
para obter o número x, ou seja, f(x)= logax = B ay = x. 
O gráfico de duas funções inversas, no caso a exponencial e logarítmica, são simétricos em 
relação a bissetriz dos quadrantes I e Ili. 
y 
X 
8>1 
Figura 30 - Gráfico da função logarítmica 
Fonte: Brasil Escola, 2020 (Adaptado). 
O<a<1 
#ParaCegoVer: Podemos notar pela figura que (x,y) está no gráfico da função logarítmica se o 
seu inverso (y,x) está na função exponencial de mesma base. 
Desta maneira, conhecendo o gráfico da função exponencial de mesma base, por simetria 
podemos construir o gráfico da função logarítmica. Podemos notar que (x,y) está no gráfico da 
função logarítmica se o seu inverso (y,x) está na função exponencial de mesma base. 
Função crescente - Para a> 1, temos o gráfico da seguinte forma: 
y 
o 
Figura 31- Gráfico de uma função logarítmica crescente 
Fonte: Brasil Escola, 2020 (Adaptado). 
#ParaCegoVer: A imagem apresenta um gráfico de uma função logarítmica crescente. 
Função decrescente - Para O< a< 1, temos o gráfico da seguinte forma: 
y 
o 
Figura 32 - Gráfico de uma função logarítmica decrescente 
Fonte: Radu Bercan, Shutterstock, 2020. 
#ParaCegoVer: A imagem apresenta um gráfico de uma função logarítmica decrescente. 
4.2 Funções trigonométricas 
47 
Os primeiros estudos de trigonometria surgiram no Egito e na Babilônia, calculando as razões 
entre números e os lados de triângulos semelhantes. No Egito, na data de 1650 a.e., surgiu o 
Papiro Ahmes, que é o mais completo documento egípcio em matemática (COSTA, 2008). 
Autilização da trigonometria para o cálculo de medidas é milenar, e acompanha a geometria. 
48 
Mas, os estudos das relações entre lados e ângulos deve-se a um astrônomo grego, Hiparco de 
Nicéia, considerado o pai da Trigonometria. 
4.3 Funções trigonométricas: seno, cosseno e tangente 
As definições de seno, cosseno e tangente estão relacionadas com o estudo do triângulo 
retângulo, que estabelece razões entre as medidas de seus lados: catetos, lados que formam 
o ângulo reto, e hipotenusa, lado que se opõe ao ângulo reto. Portanto, o triângulo retângulo 
apresenta as seguintes características: 
• Seno - a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. 
seno = ! a 
• Cosseno - a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa. 
cos = .É a 
• Tangente - a razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente a esse mesmo 
ângulo. 
tan = b 
e 
Um dos conceitos fundamentais da Trigonometria é o do triângulo, onde temos que a soma 
dos ângulos internos do triângulo deve ser 180 graus. Os ângulos notáveis são os de 302, 452 
e 602, que são representados na Tábua Trigonométrica, que apresenta o valor dos ângulos 02 
a 902, correspondendo a um quarto do ciclo trigonométrico. Para cada ângulo da tábua há os 
respectivos valores de seno, cosseno e tangente. 
A primeira tabela trigonométrica envolvia apenas ângulos notáveis, isto é, os ângulos de 302, 
452 e 602., mas apenas para fins didáticos, pode ser inclusivo os ângulos O e 90, de forma a 
informar todos os valores, portanto segue a tábua trigonométrica, acrescentando alguns ângulos: 
seno 
cosseno 
tangente 
-----o 1/2 ✓212 ✓3/2 
1 ✓3/2 '1'212 1/2 
o ✓3/3 1 ✓3 
Tabela 1 - Tábua trigonométrica 
Fonte: Elaborada pela Autora, 2020. 
o 
49 
#ParaCegoVer: A imagem apresenta a Tábua Trigonométrica com a relação dos senos, 
cossenos e tangente. 
Analisando a tabela acima, pode ser anlisar a repetição e a sequência de cada dado, de forma 
que tem 1, 2 e 3 na primeira linha; 3, 2 e 1 na segunda; divide-se tudo por 2, e o único numerador 
que não possui raiz é o 1. A linha referente à tangente é obtida pela divisão dos valores de seno 
por cosseno. 
A partir dos cálculos dos ângulos de um triângulo retângulo, obtemos os seguintes valores: 
sen (602) = cos(302) = v 3 /2 
cos(602) = sen (302) = 1 2 
sem (452) = cos (452) = v 2 / 2 
E dessa mesma forma é possível calcular os demais valores da tabela. O sinal das funções 
trigonométricas varia de acordo com o quadrante. 
Assim, 
sen(9) > O em I e 11; 
cos(9) > O em I e IV; 
tan(9) > O em I e Ili. 
4.4 Teorema de Pitágoras 
Através dessa relação é possível descobrir a medida de um lado de qualquer triângulo 
retângulo, desde que as outras duas sejam conhecidas, ou, o problema traga informações 
suficientes para deduzi-lo. 
50 
Teorema de Pitágoras: "Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à 
soma dos quadrados dos catetos:". 
Desta forma, considera-se o triângulo retângulo a seguir: 
a 
A 
B b 
Figura 33 -Triângulo retângulo 
Fonte: Alunos on Line, 2020 (Adaptado). 
e 
#ParaCegoVer: A imagem apresenta as relações trigonométricas do triangulo retângulo ABC. 
0 2 -! . b2 = <? , sendo a representa a hipotenusa, becos catetos. 
4.5 Lei dos senos 
Considere o triângulo ABC, acutângulo, abaixo, onde CH é a altura relativa ao lado AB. 
~ 
A m D n C 
J: .,. :J 
b 
Figura 34- Triângulo e a Lei dos Senos 
Fonte: Educa Mais Brasil, 2020 (Adaptado). 
#ParaCegoVer: A imagem apresenta as seguintes relações dos triângulos com base no 
Teorema dos cossenos. 
No triângulo ACH, temos que: 
sen A = : ➔h = b. sen A 
No triângulo BCH, temos que: 
senB = ~ ➔h = a. senB 
~ 
Associando as duas fórmulas acima, obtemos: 
b. sen A= a. sen B 
ou - -ª- = _ _ b_ 
-'en A sen B 
Assim, podemos concluir que: 
b 
sen B 
Esta é chamada de Lei dos senos ou Teorema dos senos. 
51 
A definição da lei dos senos indica que as medidas dos lados de um triângulo qualquer são 
proporcionais aos senos dos ângulos opostos a estes lados, sendo a constante de proporcional idade 
igual a 2R, onde Ré o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC (VIANA, 2005) . 
A Lei dos Senos e dos Cossenos é um dos teoremas mais importantes da trigonometria , a 
aplicação dessa lei é específica para o triângulo acutângulo (possui todos os ângulos agudos, 
menores que 90º), o triângulo obtuso (possui um ângulo interno obtuso, maior que 902), entre 
outros. Esse teorema demonstra que num mesmo triângulo a razão entre o valor de um lado e o 
seno de seu ângulo oposto será sempre constante. 
Utilize o QR Code para assistir ao vídeo: 
52 
fJ 
Nesta unidade, você teve a oportunidade de: 
• conhecer as noções e conceitos preliminares que envolvem os conjuntos numéricos: 
números naturais, inteiros, racionais, irracionais, complexos e números reais. 
• compreender os conceitos básicos de estatística para a organização e análise de 
dados. 
• aprender sobre os três tipos de geometria e suas aplicações. 
• conhecer os erros absolutos, relativos, de arredondamento e truncamento. 
• conhecer as expressões matemáticas e gráficos das funções matemáticas. 
ABORDANDO A MATEMÁTICA. A Matemática na Arquitetura. 2015. Disponível em:< 
https://abordandoamatematica.wordpress.com/2015/09/14/173/>. Acesso em 12 mai. 
2020. 
BROLEZZI, A. C.; SALLUM, E. M.; MONTEIRO, M. S. Matemática: funções e gráficos. Dispo-
nível em: < http://www.cienciamao. usp. br/dados/pru/ _numerosparaque.a posti la. pdf>. 
Acesso em 12 mai. 2020. 
CAVALCANTI, J. Cálculo Numérico. Erros. Material adaptado dos slides da disciplina 
Cálculo Numérico da UFCG. Disponível em: <http://www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcan-
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COSTA, P. R. Estatística. Santa Maria :Universidade Federal de Santa Maria, Colégio Téc-
nico Industrial de Santa Maria, Curso Técnico em Automação Industrial, 2011.Disponível 
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COSTA, N. M. L. A História da Trigonometria; PUCSP. 2008.Disponível em: <http://www. 
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SANTOS, M. B. A Geometria na Arquitetura: uma abordagem dos estilos arquitetônicos 
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matematica/estatistica-1.htm. Acesso em 14 de maio de 2020 
SILVA, M. N. P. "Função Exponencial" ; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola. 
uol.com.br/matematica/funcao-exponencial-1.htm. Acesso em 16 de maio de 2020. 
SILVA, M. N. P. "Função Logarítmica"; Brasil Escola. Disponível em: https:// brasilescola. 
uol.com.br/matematica/funcao-logaritmica.htm. Acesso em 16 de maio de 2020. 
SILVA, L. P. M. "O que é círculo?"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol. 
com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-circulo.htm. Acesso em 14 de maio de 2020. 
SILVA, L. P. M. "O que é parábola?"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol. 
com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-parabola.htm. Acesso em 14 de maio de 2020. 
SILVA, L. P. M. "O que são conjuntos numéricos?"; Brasil Escola. Disponível em: https:// 
brasi lescola. uol .com. br /o-que-e/mate matica/o-que-sao-conj u ntos-n u mericos. htm. Aces-
so em 12 de maio de 2020. 
SOMMERFELD, G. F. F. Cônicas, quádricas e suas aplicações; UFMG. Belo Horizonte, 2013. 
Disponível em:< https://repositorio.ufmg.br/bitstream/1843/EABA-98VH9U/1/mono-
grafia_guilhermefreire.pdf>. Acesso em 13 mai. 2020. 
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO. Alunos online, Goiânia, 2020. Disponível 
em: < https://a lunoson line. uol .com. br /mate matica/trigonometria-no-triangu lo-reta ngu-
lo.html>. Acesso em 13 mai. 2020. 
VIANA, G. K. A. M.; TOFFOLI, S. D. L., SODRÉ, U.; Ensino fundamental: Geometria: Ângu-
los, 2005. Planeta Sercomtel. 
UNIDADE 2 
Funções e limites 
Introdução 
Olá, 
Você está na unidade Funções e Limites. Conheça aqui a definição de função e limite, 
suas propriedades e Teoremas relacionadas a eles. No estudo de funções, relembraremos 
conceitos de produto cartesiano e relações primárias, e posteriormente definiremos as 
funções e estudaremos alguns de seus tipos. No estudo de limites iremos trabalhar com 
exemplos que nos levarão a compreender seu comportamento e depois de forma mais 
simples entender sua definição. Estudaremos suas propriedades e teoremas ligados a ele, 
estudando dos limites mais simples até os que tendem ao infinito. 
Bons estudos! 
59 
1 DEFINIÇÕES INICIAIS 
Para iniciarmos o estudo de funções, devemos primeiro relembrar alguns conceitos que são 
utilizados na sua definição. Estes conceitos são estudados no Ensino Médio, e por isso os veremos 
de forma resumida, mas sem deixar de lhes dar a devida importância! 
1.1 Produto cartesiano 
Dados dois conjuntos A e B, não vazios, definimos como produto cartesiano de A por B 
(A x B ) o conjunto (x , y) de todos os pares ordenados onde ~ E A e y E B. Ou seja: 
A x B = {(x, y)lx E A e ·y E B} 
Por exemplo: 
Dados os conjuntos A= {2, 4} e B = {1, 3, 5}, temos que: 
A x B = {(2,1), (2,3), (2,5), (4,1), (4,3), (4,5)} 
B x A = {(1,2), {1,4), (3,2), (3,4), (5,2), (5,4)} 
Representação geométrica: 
A x B = {(2,1), (2,3), (2,5), (4,1), (4,3) , (4,5)} 
y 
5 • • 
3 • • 
• • 
2 4 X 
Figura 1 - Representação gráfica do produto cartesiano de B por A 
Fonte: Elaborada pela autora, 2020. 
#ParaCegoVer: Plano cartesiano com a posição dos pontos obtidos após o cálculo do produto 
cartesiano de A por B. 
60 
BxA={(l,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)} 
y 
4 • • • 
2 • • • 
+ 
1 3 5 X 
Figura2 - Representação gráfica do produto cartesiano de B por A 
Fonte: Elaborada pela autora, 2020. 
#ParaCegoVer: Plano cartesiano com a posição dos pontos obtidos após o cálculo do produto 
cartesiano de B por A. 
O que aconteceria se um dos conjuntos fosse vazio? Será que existirá o produto cartesiano? 
Pense um pouco antes de responder à pergunta. 
Quando um dos conjuntos, A ou B for vazio, teremos que o produto cartesiano de A por B 
também será um conjunto vazio. Desta forma: 
Ax<D=<D 
<DxB=<D 
<Dx<D=<D 
61 
O produto cartesiano será usado nos nossos demais estudos, por isso pratique seus cálculos 
pesquisando exercícios do ensino médio que abordem este tema. 
1.2 Relação binária 
Para iniciarmos o estudo das relações binárias, vamos ver um exemplo: 
Considere os conjuntos A = { 4,5, 6} e B = {3,4, 5,6, 7} Temos que o produto cartesiano 
de A por B é dado por: 
A x B == {(x, y) lx E A e y E B} 
Se quisermos saber quantos elementos o produto cartesiano terá temos que multipl icar a 
quantidade de elementos do conjunto A, pela quantidade de elementos do conjunto B. Ou seja, 
o produto cartesiano de A por B possui 3 • 5 = 15 elementos. 
Se ao invés dos 15 elementos do produto cartesiano quiséssemos somente os pares ordenados 
cujo x fosse igual a y, quais seriam os pares ordenados desse conjunto? 
Este conjunto seria formado pelos pares ordenados (4,4), (5,5) e (6,6) e forma matemática 
de escrever isso é: 
R = {(a:, y) E A X Blx = y} = { (4,4) , (5,5), (6,6)} 
O conjunto Ré uma relação binária. 
Definição 
A relação binária é o conjunto R contido no produto cartesiano de A por B, de tal forma que o 
elemento XEA está associado ao elemento yEB por uma correspondência. 
Por exemplo: 
Seja A={3,4} e B={5,6, 7}, vamos escrever a relação 
R={(x,y)EAxB lv=x+l} 
Primeiro vamos escrever o conjunto do produto cartesiano de A por B: 
AxB={(3,4),(3,5),(3, 7),( 4,5),( 4,6),( 4, 7)} 
Agora, analisando cada par ordenado, vamos verificar qual atende a condição 
62 
v=x+l 
Note que somente no par ordenado (4,5)temos a condição da relação sendo atendida, uma 
veze que: 
x=4 
y=5=4+1Ey=x+l 
Desta forma, temos que: 
R={(4,5)} 
Você conseguiu ver, no exemplo anterior, alguma relação entre o produto cartesiano de A por 
B e a relação R? 
Pois é, Ré um subconjunto de AxB, sendo assim: 
"Ré relação de A em B" BRC(AxB) 
Figura 3 - Representação da relação entre os conjuntos R e AxB 
Fonte: Elaborada pela autora, 2020. 
63 
#ParaCegoVer: Representação gráfica da relação entre os conjuntos R e AxB, onde ambos são 
representados por ovais, onde a oval de Restá dentro do oval de AxB. 
Conseguiu entender? 
FIQUE DE OLHO 
Quando dizemos que um conjunto A é um subconjunto de B, ou seja, A está contido em B 
(A[!]B), isso significa que todos os elementos de A pertencem a B. 
Guarde bem este conceito porque ele será fundamental para compreensão dos próximos 
itens. 
1.3 Domínio e Imagem 
Considere o diagrama de flechas abaixo: 
64 
Figura 4 - Diagrama de flechas 
Fonte: Elaborada pela autora, 2020. 
#ParaCegoVer: Representação gráfica do diagrama de flechas com dois grupos de ovais, 
nomeados como A, D, B e lm. A oval A possui em seu interior o ponto O e a oval D, que possui os 
pontos 1, 3 e 4. A oval B possui em seu interior o ponto 1 e a oval lm, que possui os pontos 2, 3, 
4, Se 6. Alguns pontos estão interligados por setas. 
No diagrama, temos que D é o conjunto imagem, que é de onde partem as flechas e ele está 
contido no conjunto A. Já I m é o conjunto imagem que está contido no conjunto B, para onde as 
flechas chegam. 
Se retornarmos ao exemplo anterior com 
A = {3,4} e B = {5, 6, 7} e R = {(x,y) E A x Bly = x + l}. poderíamos dizer que o domínio 
está contido no conjunto A, pois são os valores de x que darão as possíveis soluções da relação R. 
E poderíamos dizer também que a imagem está contida dentro do conjunto B, uma vez que é ele 
que contém as respostas da condição y = x 1 1 da relação R. 
Formalizando esta ideia, temos as seguintes definições: 
Dada uma relação R de A em B, temos: 
O domínio de Ré o conjunto D de todos os elementos x dos pares ordenados pertencentes a 
R. Por esta definição, temos que o conjunto D está contido no conjunto A. 
A imagem de uma relação Ré o conjunto lm de todos os elementos y dos pares ordenados 
pertencentes a R. Por esta definição, temos que o conjunto lm está contido em B. 
65 
1.4 Relação inversa 
Se precisássemos tratar de relações entre os conjuntos B e A, tendo como base o produto 
cartesiano de A x B, teríamos que definir a relação inversa desse produto cartesiano. 
Definição: dada a relação binária R de A em B, vamos considerar o conjunto 
R- 1 = {{x,y) E B x AI (x, y) E lR} 
Esse conjunto R-1, será definido como a relação binária de Bem A, que será denotada como 
relação inversa de R. Ou seja: 
Observação: temos que R-1 é o conjunto dos pares ordenados de R, invertendo a ordem das 
coordenadas x e y. 
Exemplo: 
Considere os conjuntos A = {3,4,5,6} e B = {3,5,7,9}. Escreva os elementos de 
R = {(x , y) E A x Blx < y} que pertencem a R-1. 
Temos que: 
A X B = {(3,3), (3,5), (3,7), (3,9), (4,3), (4,5), (4,7), (4,9), (5,3), (5,5), (5,7), (5,9), (6,3), (6,5), 
(6,7), (6,9)} 
Ré composto pelos pares ordenados de A x B que atendem a condição x < y, logo: 
R = {(3,5), (3,7), (3,9), (4,5), (4, 7), (4,9), (5,7), (5,9), (6,7), (6,9)} 
e 
R-1 = {(5,3), (7,3), (9,3), (5,4), (7,4), (9,4), (7,5), (9,5), (7,6), (9,6)} 
Repare que: 
B X A= {(3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (7,3), (7,4), (7,5), (7,6), (9,3), (9,4), 
(9,5), (9,6)} 
66 
B A 
Figura 5 - Diagrama de flechas ilustrando a solução do exemplo 
Fonte: Elaborada pela autora, 2020. 
#ParaCegoVer: Representação gráfica do diagrama de flechas que representa a relação R do 
exemplo anterior e a sua inversa. 
A figura acima mostra o diagrama de flechas da relação R, onde visualizamos os pares 
ordenados da relação através das setas que ligam os elementos de A aos elementos de B. Também 
é possível ver a relação inversa de R, com os pares ordenados através das setas que ligam os 
elementos de B aos de A. 
Note que com os diagramas de flecha fica mais fácil perceber que R-1 é o conjunto dos pares 
ordenados de R com as coordenadas x e y em posições invertidas. 
2FUNÇÃO 
Para iniciarmos o estudo de função, vamos novamente ver um exemplo auxiliar: 
Considere os conjuntos A = {0,1} e B = {-2, - 1,0, 1,2, 3} 
R = {(x, y) E A x B ly = x + 2} 
e 
R - { ( x, y) E Â X Bly2 - X 2 } 
Vamos analisar cada uma delas. 
Na relação R = {(x,y) E A x Bly = x + 2}. t ernos q ue R = {(0,2), (1,3)} 
Repare que para todos os elementos, existe um só elemento tal que. 
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NarelaçãoR = { (:z:,y) E A x Bly2 = :z: 2 } . temos q ue R = {(- l ,l }, (0,0),(1,1)} 
Repare que para o elemento 1, pertencente ao conjunto A, temos dois valores pertencentes 
ay,-lel. 
Pelo que já estudamos sabemos que as duas relações existem, mas qual delas pode ser 
definida como uma fração? Para responder esta pergunta, precisamos antes definir função. 
Definição 
Sejam dois conjuntos A e B, não vazios. Uma função f de A em B é uma relação binária que 
associa a cada elemento x pertencente a A, um único elemento y pertencente a B. 
fé função de A em B ç:;{ t>XEA3-j I y EB l (x,y)E{) 
Sendo assim, no nosso exemplo auxiliar, a primeira relação é uma função e a segunda não é 
função. 
Exemplo: 
Sejam os conjuntos A= {1,3} e B = {-3,-1,0,4,6}. Para cada elemento xeA vamos associar a um 
elemento yeB tal que v=x+3. Usando o diagrama de flechas temos: 
A 
Figura 6 - Diagrama de flechas 
Fonte: Elaborada pela autora, 2020. 
B 
#ParaCegoVer: Diagrama de flechas da relação entre os conjuntos A e B, mostrando que a 
relação atende as condições para ser uma função. No diagrama, o conjunto A possui os elementos 
1 e 3 que estão interligados aos elementos 4 e 6 do conjunto B. 
Nesse exemplo, para cada elemento de A temos um termo de B associado a ele. 
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Observe que toda função é uma relação binária de A em B, sendo desta forma um conjunto 
de pares ordenados. 
A notação de uma função f de A em B é indicada como mostrado abaixo: 
Lei de correspondência 
É a sentença aberta y=f(x) que expressa a lei onde dado x pertencente a A, encontra-se o y 
pertencente a B, de tal forma que o par ordenado (x,y) pertence a f. 
Exemplo: 
f:R➔R 
f(x)=2x 
(2,4) e (5,10) são exemplos de alguns pares ordenados pertencentes a f. 
2.1 Gráfico cartesiano 
O gráfico cartesiano é a representação geométrica do plano xy e nele é possível marcar os 
pares ordenados que definem os pontos pertencentes a função. Então usaremos este recurso 
para verificar se uma relação é ou não função analisando seu gráfico. 
Para isso, ao traçar uma reta paralela ao eixo das ordenadas, passando por um ponto (x,0), em 
que, verifique que esta reta intercepta o gráfico de f somente uma vez. 
Exemplos: 
y 
10 
9 
8 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
X 
3 2 o 2 3 4 5 6 
Figura 7 - Exemplo do gráfico de uma relação que é função 
Fonte: Elaborada pela autora, 2020. 
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#ParaCegoVer: Gráfico de uma parábola limitada entre as abscissas 1 e 3. Este gráfico 
representa uma função. 
y 
3 
X 
-1 O 
-1 
-3 
Figura 8 - Exemplo de gráfico de uma relação que não é função 
Fonte: Elaborada pela autora, 2020. 
#ParaCegoVer: Gráfico de uma relação que descreve um círculo. Esta relação não é uma função. 
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Observe os dois gráficos, vamos analisar cada um separadamente: 
No primeiro gráfico, se traçarmos uma paralela ao eixo y e andarmos com ele, de tal forma 
que seccionemos a curva, perceberemos que ele só a corta em um único ponto. Desta forma, 
podemos concluir que o primeiro gráfico está representando uma função. 
No segundo gráfico, se fizermos o mesmo procedimento, em todos as posições onde é 
possível a paralela cortar o círculo, perceberemos que ela o interceptará em dois pontos. Desta 
forma, teremos para um mesmo valor de x, dois possíveis valores de y e isso contradiz