Proteção de Sistemas Elétricos Teoria e Prática - Módulo 1

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Proteção de 
Sistemas Elétricos 
Teoria e Prática
Introdução à proteção digital de sistemas 
elétricos de potência
Prof. João Ricardo da Mata Soares de Souza
Realização: Organização: Apoio:
Filosofia de Proteção
• Detectar condições de operação indesejáveis (curto-circuito) e
eliminá-las o mais rápido possível.
• Isso evita que um curto-circuito evolua para problemas maiores
como:
• Perda de estabilidade eletromecânica dos geradores do sistema;
• Maior exposição de pessoas ao risco;
• Aumento dos danos provocados no equipamento sob curto-
circuito.
Função dos Sistemas de Proteção
Função dos Sistemas de Proteção
Fonte: www.selinc.com
Função dos Sistemas de Proteção
Fonte: www.selinc.com
• 1847 – Artigo publicado na Academia
Francesa de Ciências (Louis-François-
Clement Breguet)
Filosofia de Proteção - Histórico
Rede Telegráfica
Condutores mais finos nas chegadas
• Fusíveis
• 1881 – Primeiro uso de lâmpadas a
arco (e incandescente) para
iluminar uma fazenda em
Godalming na Inglaterra usando a
energia gerada por um gerador em
CA acoplado a uma roda d’água.
• 1882 – Thomas Alva Edison coloca
em operação a histórica Pearl Street
Station em Nova York que produzia
energia elétrica em corrente
contínua capaz de alimentar
lâmpadas incandescentes em
alguns quarteirões.
Filosofia de Proteção - Histórico
Filosofia de Proteção - Histórico
• A Pearl Street Station tinha 6 geradores CC (dínamos) acionados por motores a vapor
e atendia 59 consumidores em uma área de aproximadamente 1,5 km de raio.
• Neste tipo de sistema as cargas deveriam ser alimentadas no mesmo nível em que a
tensão era gerada. Isso limitava a distância entre o consumidor e a estação geradora
por causa das perdas.
• O ideal seria que a tensão fosse transmitida até o consumidor em uma tensão bem
elevada, o que diminuiria a corrente e, consequentemente, as perdas. Entretanto,
alimentar consumidores com altas tensões seria perigoso.
• Em 1884 George Whertinhouse importa da Inglaterra um gerador Siemens de CA e
vários equipamentos que tinham acabado de ser inventados e que permitiam que a
tensão pudesse ser aumentada e diminuída: o transformador.
• Tem início a “Batalha das Correntes”.
Filosofia de Proteção - Histórico
Filosofia de Proteção - Histórico
• Toda vez que o fusível interrompe um curto-circuito ele
precisa ser substituído
• Além disso, a topologia dos sistemas elétricos começa a
aumentar de complexidade.
• 1882 – Brown cria o primeiro disjuntor a óleo com
capacidade de interromper correntes de curto-circuito
• Mas o que acionaria este disjuntor no momento de um
curto-circuito?
• 1890 – Stillwell cria o primeiro relé de proteção
eletromecânico
Filosofia de Proteção - Histórico
• Década de 1940 – Relés eletromecânicos passam a
ser amplamente utilizados
• Década de 1950 – Surgem os primeiros transistores
• Década de 1960 – Surgem os primeiros relés estáticos
• Década de 1980 – Surgem os primeiros relés digitais
Filosofia de Proteção - Histórico
• Hoje – Relés das 3 tecnologias instalados e funcionando
corretamente
Filosofia de Proteção - Histórico
Eletromecânicos Estático Digitais
Filosofia de Proteção - Relés Eletromecânicos
Filosofia de Proteção - Relés Estáticos
Filosofia de Proteção - Relés Estáticos
Filosofia de Proteção - Relés Digitais
Filosofia de Proteção - Composição dos Sistemas de 
Proteção
Filosofia de Proteção - Transformadores de Corrente 
e Tensão
Filosofia de Proteção - Disjuntores
Filosofia de Proteção - Tabela ANSI
Código Função 
21 Relé de distância 
25 Relé de verificação de sincronismo 
27 Relé de subtensão 
49 Relé de imagem térmica 
50 Relé de sobrecorrente instantâneo 
51 Relé de sobrecorrente de tempo inverso 
52 Disjuntor 
59 Relé de sobretensão 
62 Relé temporizador 
63 Relé de pressão de óleo (Buchholz) 
67 Relé de sobrecorrente direcional 
71 Dispositivo de detecção de nível de óleo 
79 Relé de Religamento 
81 Relé de sub/sobrefrequência 
85 Equipamento de teleproteção 
87 Relé diferencial 
 
Filosofia de Proteção - Características de Um 
Sistema de Proteção
• Sensibilidade
• Rapidez
• Seletividade
Filosofia de Proteção - Características de Um 
Sistema de Proteção
Filosofia de Proteção - Zonas de Proteção
Filosofia de Proteção - Zonas de Proteção
Filosofia de Proteção - Zonas de Proteção
Filosofia de Proteção - Zonas de Proteção
Filosofia de Proteção - Zonas de Proteção
• A superposição de zonas
não é suficiente para garantir
a não ocorrência de zonas
mortas. Nestes casos, deve-
se utilizar lógicas específicas
como por exemplo:
• 50BF
• Associar a inclusão do
circuito na lógica do 87B
ao estado do disjuntor.
Filosofia de Proteção - Tipos de Proteção
• Principal – Geralmente instantânea (sem atraso
intencional)
• Retaguarda – Geralmente temporizada
• Alternada
Filosofia de Proteção - Tipos de Proteção
Filosofia de Proteção - Tipos de Proteção
Filosofia de Proteção - Tipos de Proteção
Filosofia de Proteção - Tipos de Proteção
Parte do sistema de 
proteção duplicada
Cálculo de Curtos-circuitos
• Grandezas expressas em função de um valor
base
Cálculo de Curtos-circuitos 
Sistema Por Unidade
𝑋𝑃𝑈 =
𝑋𝑆𝐼
𝑋𝑏
Exemplo 3.1
• Tensão base = tensão nominal = 13,8 kV
• Valor medido em kV = 12,42 kV
• Qual o valor medido em pu?
Cálculo de Curtos-circuitos 
Sistema Por Unidade
Exemplo 3.1
• Tensão base = tensão nominal = 13,8 kV
• Valor medido em kV = 12,42 kV
• Qual o valor medido em pu?
Cálculo de Curtos-circuitos 
Sistema Por Unidade
𝑉𝑃𝑈 =
𝑉𝑆𝐼
𝑉𝑏
=
12,42
13,8
= 0,9 𝑝𝑢
• Define-se inicialmente os valores de base de
tensão e potência.
• Posteriormente calcula-se os valores de base
das demais grandezas (como corrente e
impedância)
Cálculo de Curtos-circuitos 
Sistema Por Unidade
• Define-se inicialmente os valores de base de
tensão e potência.
• Posteriormente calcula-se os valores de base
das demais grandezas (como corrente e
impedância)
Cálculo de Curtos-circuitos 
Sistema Por Unidade
𝐼𝑏 =
𝑆𝑏
3 ∙ 𝑉𝑏
𝑍𝑏 =
𝑉𝑏
𝐼𝑏
=
𝑉𝑏
2
𝑆𝑏
Cálculo de Curtos-circuitos 
Sistema Por Unidade
𝐼𝑏 =
𝑆𝑏
3 ∙ 𝑉𝑏
𝑍𝑏 =
𝑉𝑏
𝐼𝑏
=
𝑉𝑏
2
𝑆𝑏
Tensão de linha (fase-fase)
Potência trifásica
Exemplo 3.2
• Tensão base = tensão nominal = 138 kV
• Potência base = 100 MVA
• Impedância da linha = 0,01 + j0,10 pu
• Qual o valor da impedância em ohms?
Cálculo de Curtos-circuitos 
Sistema Por Unidade
𝑍𝑏 =
𝑉𝑏
2
𝑆𝑏
=
138 ∙ 103 2
100 ∙ 106
= 190,44 Ω
Cálculo de Curtos-circuitos 
Sistema Por Unidade
𝑍Ω = 𝑍𝑝𝑢 ∙ 𝑍b
= 0,01 + 0,10 ∙ 𝑗 ∙ 190,44
= 1,90 + 19,04 ∙ 𝑗 Ω
• Mudança de base
Cálculo de Curtos-circuitos 
Sistema Por Unidade
𝑍2 𝑝𝑢 = 𝑍1 𝑝𝑢 ∙
𝑉𝑏1
𝑉𝑏2
2
∙
𝑆𝑏2
𝑆𝑏1
Exemplo 3.3
• Impedância do trafo = 0,1 pu (138 kV / 25 MVA)
• Qual o valor da impedância em pu utilizando
uma potência base de 100 MVA?
Cálculo de Curtos-circuitos 
Sistema Por Unidade
𝑍2 𝑝𝑢 = 𝑍1 𝑝𝑢 ∙
𝑉𝑏1
𝑉𝑏2
2
∙
𝑆𝑏2
𝑆𝑏1
= 0,1 ∙
138 𝑘𝑉
138 𝑘𝑉
2
∙
100 𝑀𝑉𝐴
25 𝑀𝑉𝐴
= 0,4 𝑝𝑢
• Eliminação de transformadores
Cálculo de Curtos-circuitos 
Sistema Por Unidade
Cálculo de Curtos-circuitos 
Sistema Por Unidade
Cálculo de Curtos-circuitos 
Sistema Por Unidade
• Qual o valor da corrente de curto-circuito
trifásico na barra 4?
Potência de base para cálculo de curto-circuito =
100 MVA
Cálculo de Curtos-circuitos 
Sistema Por Unidade
Aplicar mudança de base
Cálculo de Curtos-circuitos 
Sistema Por Unidade
𝑍𝐺1 𝑝𝑢 = 0,1 ∙
13,8 𝑘𝑉
13,8 𝑘𝑉
2
∙
100 𝑀𝑉𝐴
40 𝑀𝑉𝐴
= 0,25 𝑝𝑢
Aplicar mudança de base
Cálculo de Curtos-circuitos 
Sistema Por Unidade
𝑍𝑇𝐹1 𝑝𝑢 = 0,1 ∙
13,8 𝑘𝑉
13,8 𝑘𝑉
2
∙
100 𝑀𝑉𝐴
25 𝑀𝑉𝐴
= 0,4 𝑝𝑢
Aplicar mudança de base
Cálculo de Curtos-circuitos 
Sistema Por Unidade
𝑍𝑇𝐹2 𝑝𝑢 = 0,1 ∙
138 𝑘𝑉
138 𝑘𝑉
2
∙
100 𝑀𝑉𝐴
25 𝑀𝑉𝐴
= 0,4 𝑝𝑢
Circuito em pu com as bases definidas
adequadamente:
Cálculo de Curtos-circuitos 
Sistema Por Unidade
Cálculo de Curtos-circuitos 
Sistema Por Unidade
Ԧ𝐼𝐶𝐶−3𝐹 𝑝𝑢 =
1
𝑗 ∙ 0,25 + 0,4 + 0,05 + 0,4
=
1
𝑗 ∙ 1,1
= −𝑗 ∙ 0,91 𝑝𝑢
Cálculo de Curtos-circuitos 
Sistema Por Unidade
𝐼𝑏 =
𝑆𝑏
3 ∙ 𝑉𝑏
=
100 ∙ 106
3 ∙ 13,8 ∙ 103
= 4183,7 𝐴
Ԧ𝐼𝐶𝐶−3𝐹 = 4183,7 ∙ 0,91 = 3,8 𝑘𝐴
Cálculo de Curtos-circuitos 
Curtos-circuitos Equilibrados
• Aproximações geralmente utilizadas em análises de curto-
circuito:
• Análise em regime permanente;
• Despreza as cargas;
• Todas as tensões das barras na condição pré-falta em 1 pu.
Cálculo de Curtos-circuitos 
Curtos-circuitos Equilibrados
Cálculo de Curtos-circuitos 
Curtos-circuitos Equilibrados
=2f
Cálculo de Curtos-circuitos 
Curtos-circuitos Equilibrados
• Qual o valor da corrente das fases B e C para o
curto-circuito do exemplo anterior?
kA 90°)-(3,8 =kA 3,8-j= I=I 3F-CCa 

150°)kA (3,8=210°)kA-(3,8=
120)°)kA-(-90(3,8=Ib



kA 30°)(3,8=kA 120)°)+(-90(3,8=Ic 

Cálculo de Curtos-circuitos
Componentes Simétricas
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
º120
3
360°
3
k
360°
=
k
2
 =
=== 


k
120°1=1=a 
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
120°)-(1=240°)(1=
120°)(1120°)(1=a 2


1=360°)(1=
120°)(1120°)(1120°)(1=a3


Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
 k , a=a k3+1
 k , a=a 2k3+2
 k , 1=a k3
Todo conjunto de fasores (tensão ou corrente)
desequilibrada pode ser decomposto em 3
conjuntos de fasores desequilibrados:
• Um de sequência positiva
• Um de sequência negativa
• Um de sequência zero
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
• Sequência Positiva – Fasores defasados de
120º () entre si, ou seja:
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
Va1
Vb1
Vc1
120o
a1a1 V=V

a1
2
b1 Va=V


a1c1 Va=V


• Sequência Negativa – Fasores defasados de
240º (2) entre si, ou seja:
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
a2a2 V=V

a2b2 Va=V


a2
2
c2 Va=V


240o
Va2
Vb2
Vc2
• Sequência Zero – Fasores defasados de 360º
(3) entre si, ou seja:
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
c0b0a0 V=V=V

Va0
Vb0
Vc0
360o
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
Va0
Va1
Va2Va
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas






c2c1c0c
b2b1b0b
a2a1a0a
V+V+V=V
V+V+V=V
V+V+V=V











a2
2
a1a0c
a2a1
2
a0b
a2a1a0a
Va+Va+V=V
Va+Va+V=V
V+V+V=V



Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas





















=










a2
a1
a0
2
2
c
b
a
V
V
V
1
1
111
V
V
V






aa
aa
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas





















=










a2
a1
a0
2
2
c
b
a
V
V
V
1
1
111
V
V
V






aa
aa
SF V Q
~
=V 
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
SF V Q
~
=V 
FV
Q
~
SV
– Vetor das tensões de fase
– Matriz de Transformação de Fortescue
– Vetor das tensões de componentes
simétricas
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
F
-1
S VQ
~
=V 





















=










−
c
b
a
1
2
2
a2
a1
a0
V
V
V
1
1
111
V
V
V






aa
aa
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas





















=










c
b
a
2
2
a2
a1
a0
V
V
V
1
1
111
3
1
V
V
V






aa
aa
F
-1
S VQ
~
=V 
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
• Considere o seguinte conjunto de fasores
V









 +
=










4
3j-4
3j4
V
V
V
c
b
a



• Qual o valor das tensões da fase A em
componentes simétricas
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas









 +











=










4
3j-4
3j4
1
1
111
3
1
V
V
V
2
2
a2
a1
a0
aa
aa













+
+=










j5,10,866-
j5,10,866
4
V
V
V
a2
a1
a0



Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
CBAN I+I+I=I

) Ia+Ia+I(
+) Ia+Ia+I(
+)I+I+I(=I
A2
2
A1A0
A2A1
2
A0
A2A1A0N





Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
A0N I3=I


)a+a+(1I
+a)+a+(1I
+1)+1+(1I=I
2
A2
2
A1
A0N






0
0
3
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
A0N I3=I


• A corrente de neutro é sempre igual a 3 vezes a
corrente de sequência zero.
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas




  NNCACBABAAAa IZ+IZ+IZ+IZ=V

Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas








NNCBCBBBABAb
NNCACBABAAAa
IZ+IZ+IZ+IZ=V
IZ+IZ+IZ+IZ=V


Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas









NNCCCBCBACAc
NNCBCBBBABAb
NNCACBABAAAa
IZ+IZ+IZ+IZ=V
IZ+IZ+IZ+IZ=V
IZ+IZ+IZ+IZ=V



Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
( )
( )
( )






CBANCCCBCBACAc
CBANCBCBBBABAb
CBANCACBABAAAa
I+I+IZ+IZ+IZ+IZ=V
I+I+IZ+IZ+IZ+IZ=V
I+I+IZ+IZ+IZ+IZ=V



( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )








CNCCBNCBANCAc
CNBCBNBBANBAb
CNACBNABANAAa
IZ+Z+IZ+Z+IZ+Z=V
IZ+Z+IZ+Z+IZ+Z=V
IZ+Z+IZ+Z+IZ+Z=V



Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas





















+++
+++
+++
=










C
B
A
NCCNCBNCA
NBCNBBNBA
NACNABNAA
c
b
a
I
I
I
ZZZZZZ
ZZZZZZ
ZZZZZZ
V
V
V






Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas





















+++
+++
+++
=










C
B
A
NCCNCBNCA
NBCNBBNBA
NACNABNAA
c
b
a
I
I
I
ZZZZZZ
ZZZZZZ
ZZZZZZ
V
V
V






FFF Z
~
=V I
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
FFF Z
~
=V I
SFS Q
~
Z
~
=VQ
~
I
SF
-1
S
-1 Q
~
Z
~
Q
~
=VQ
~
Q
~
I
SF
-1
S Q
~
Z
~
Q
~
=V I
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
SF
-1
S Q
~
Z
~
Q
~
=V I
SSS Z
~
=V I
– Matriz de Impedâncias em Componentes
Simétricas
SZ
~
• Sistema equilibrado:
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
pCCBBAA Z=Z=Z=Z
mCABCAB Z=Z=Z=Z
• Simplificando:
NpP Z+Z=Z
NmM Z+Z=Z
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas










=
PMM
MPM
MMP
ZZZ
ZZZ
ZZZ
~
FZ










=









 +
=
2
1
0
MP
MP
MP
Z00
0Z0
00Z
Z-Z00
0Z-Z0
00Z2Z
~
SZ
• Em um sistema equilibrado, os circuitos de cada
sequência (zero, positiva e negativa) são
desacoplados.
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
• Essa diagonalização da matriz de impedâncias
em um sistema equilibrado que produz redes de
sequências desacopladas é a razão do sucesso
das componentes simétrica.
• A matriz de Fortescue não é a única que
consegue fazer isso (Clarke, Karrembaun, ...).
• Mas ela é a primeira e surgiu antes de o tema de
diagonalização de matrizes ser detalhado na
área de Álgebra Linear.
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
• Atenção: Embora tenha um significado físico
muito interessante, a transformação em
componentes simétricas original não é invariante
em potência, ou seja:Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
𝑆3𝜙 = 𝑉𝑎 ∙ 𝐼𝑎
∗ + 𝑉𝑏 ∙ 𝐼𝑏
∗+ 𝑉𝑐 ∙ 𝐼𝑐
∗ ≠ 𝑉𝑎0 ∙ 𝐼𝑎0
∗ + 𝑉𝑎1 ∙ 𝐼𝑎1
∗ + 𝑉𝑎2 ∙ 𝐼𝑎2
∗
Cálculo de Curtos-circuitos 
Curtos-circuitos Equilibrados
• ZP = 3j pu
• ZM = 1j pu
• VA = 10º
• VB = 1-120º
• VC = 1120º
• Desenhar os circuitos de cada sequência
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
jj 










=









 +
=









 +
=










200
020
005
1-300
01-30
0023
Z-Z00
0Z-Z0
00Z2Z
Z00
0Z0
00Z
MP
MP
MP
2
1
0
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
F
-1
S VQ
~
=V 










=











−












=










−
0
0º1
0
0º121
0º121
0º1
1
1
111
V
V
V
1
2
2
a2
a1
a0
aa
aa



Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
V
a
a 










=










2
c
b
a 1
V
V
V



• Tensão de sequência positiva (negativa) – I’a ≠ 0
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
V










=










1
1
1
V
V
V
c
b
a



• Tensão de sequência zero – I’a = 0
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
Fonte: ANDERSON, P. M.; 
“Analysis of Faulted Power 
Systems”; IEEE Press Series 
on Power Engineering; Jhon
Willey & Sons Inc.; New 
York; 1995
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
1. Calcula-se o circuito equivalente de Thévenin a partir do
ponto de falta.
2. A partir do circuito equivalente obtido obtém-se os
circuitos independentes de sequência.
3. Associam-se os circuitos de sequência. A maneira como
é feita esta associação depende do tipo de falta.
4. Resolve-se o circuito obtido em comp. sim.
5. Calculam-se os valores das tensões e correntes
desejadas aplicando-se a transformação de Fortescue.
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
F
-1
S IQ
~
=I 










=





















=










−
a
a
aa
1
2
2
a2
a1
a0
I
I
I
3
1
0
0
I
1
1
111
I
I
I






aa
aa
• Corrente de sequência zero = Corrente de sequência
positiva = Corrente de sequência negativa
• Circuitos de sequência conectados em série
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
Sistema 
Trifásico 
Equilibrado
Circuito 
Equivalente 
de Thévenin
Ponto 
de Falta
A
B
C
N
IA
IB
IC
IF
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
F
-1
S IQ
~
=I 
ԦIa0
ԦIa1
ԦIa2
=
1 1 1
1 𝑎2 𝑎
1 𝑎 𝑎2
−1
⋅
0
ԦIF
−ԦIF
=
1
3
⋅
0
ԦIF 𝑎 − 𝑎
2
−ԦIF 𝑎
2 − 𝑎
=
𝑗
3
⋅
0
ԦIF
−ԦIF
• Corrente de sequência zero = 0
• Corrente de sequência positiva = - Corrente de
sequência negativa
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
~
Z1I1
E1
+
-
V1
+
-
Z2I2
V2
+
-
Z0I0
V0
+
-
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
Fonte: ELMORE, W. A.; 
“Protective Relaying: Theory 
and Applications”; ABB 
Power T & D Company Inc.; 
Marcel Dekker Inc.; New 
York; 2004
Exemplo 3.8 (página 29)
Cálculo de Curtos-circuitos 
Curtos-circuitos Equilibrados
Cálculo de Curtos-circuitos 
Curtos-circuitos Equilibrados
a) Qual o valor das correntes de falta para um
curto-circuito monofásico (AT) na barra 3?
b) Qual o valor das correntes de falta para um
curto-circuito monofásico (AT) na barra 4?
c) Qual o valor das correntes de falta para um
curto-circuito bifásico (BC) na barra 4?
d) Qual o valor das correntes de falta para um
curto-circuito bifásico à terra (BCT) na barra 4?
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
a)
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
pu 0,58-j=
1,72j
1
=
0,32)+0,7+(0,7j
1
=I=I=I 021 


Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
pu 0,58-j=
1,72j
1
=
0,32)+0,7+(0,7j
1
=I=I=I 021 


pu j
0
0
1,74-
=j
0,58-
0,58-
0,58-
1
1
111
=
I
I
I
1
1
111
=
I
I
I
2
2
2
1
0
2
2
c
b
a
































































aa
aa
aa
aa






Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
pu 0,58-j=
1,72j
1
=
0,32)+0,7+(0,7j
1
=I=I=I 021 


pu j
0
0
1,74-
=j
0,58-
0,58-
0,58-
1
1
111
=
I
I
I
1
1
111
=
I
I
I
2
2
2
1
0
2
2
c
b
a
































































aa
aa
aa
aa






418,37A=
101383
10100
=
V3
S
=I
3
6
b
b
b



Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
pu 0,58-j=
1,72j
1
=
0,32)+0,7+(0,7j
1
=I=I=I 021 


pu j
0
0
1,74-
=j
0,58-
0,58-
0,58-
1
1
111
=
I
I
I
1
1
111
=
I
I
I
2
2
2
1
0
2
2
c
b
a
































































aa
aa
aa
aa






418,37A=
101383
10100
=
V3
S
=I
3
6
b
b
b



A 
0
0
728,0
=
0
0
1,74
418,37|= I| AT-CC





















Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
b)
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
pu 0=I=I=I 021

pu 
0
0
0
=
0
0
0
1
1
111
=
I
I
I
1
1
111
=
I
I
I
2
2
2
1
0
2
2
c
b
a






























































aa
aa
aa
aa






Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
c)
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
pu 0,71-j=
1,4j
1
=
 0,7)+(0,7j
1
=I-=I 21 


pu 0=I0

Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
pu 
1,23
1,23-
0
=j
0,71
0,71-
0
1
1
111
=
I
I
I
1
1
111
=
I
I
I
2
2
2
1
0
2
2
c
b
a































































aa
aa
aa
aa






Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
pu 
1,23
1,23-
0
=j
0,71
0,71-
0
1
1
111
=
I
I
I
1
1
111
=
I
I
I
2
2
2
1
0
2
2
c
b
a































































aa
aa
aa
aa






4183,7A=
1013,83
10100
=
V3
S
=I
3
6
b
b
b



Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
pu 
1,23
1,23-
0
=j
0,71
0,71-
0
1
1
111
=
I
I
I
1
1
111
=
I
I
I
2
2
2
1
0
2
2
c
b
a































































aa
aa
aa
aa






4183,7A=
1013,83
10100
=
V3
S
=I
3
6
b
b
b



A 
5144,9
5144,9-
0
=
1,23
1,23-
0
418,37|= I| AT-CC





















Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
d)
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricaspu 0,71-j=
1,4j
1
=
 0,7)+(0,7j
1
=I-=I 21 


pu 0=I0

Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
pu 
1,23
1,23-
0
=j
0,71
0,71-
0
1
1
111
=
I
I
I
1
1
111
=
I
I
I
2
2
2
1
0
2
2
c
b
a































































aa
aa
aa
aa






Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
pu 
1,23
1,23-
0
=j
0,71
0,71-
0
1
1
111
=
I
I
I
1
1
111
=
I
I
I
2
2
2
1
0
2
2
c
b
a































































aa
aa
aa
aa






4183,7A=
1013,83
10100
=
V3
S
=I
3
6
b
b
b



Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
pu 
1,23
1,23-
0
=j
0,71
0,71-
0
1
1
111
=
I
I
I
1
1
111
=
I
I
I
2
2
2
1
0
2
2
c
b
a































































aa
aa
aa
aa






4183,7A=
1013,83
10100
=
V3
S
=I
3
6
b
b
b



|ICC−AT |=4183,7 ⋅
0
−1,23
1,23
=
0
−5144,9
5144,9
A
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
Abertura monopolar (Za tendendo ao infinito)
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
Abertura bipolar (Zb tendendo ao infinito)
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
Ferramentas de cálculo de curtos-circuitos:
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
ANAFAS:
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
ANAFAS:
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
ANAFAS:
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
ANAFAS:
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
ANAFAS:
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
ANAFAS:
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
ANAFAS:
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
ANAFAS:
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
ANAFAS:
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
ANAFAS:
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
ANAFAS:
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
ANAFAS:
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
ANAFAS:
Cálculo de Curtos-circuitos 
Componentes Simétricas
ANAFAS:
Transformadores de
Corrente
Composição
Composição
Tipos de TC
Tipo barra
MAMEDE FILHO, J., MAMEDE, 
D., “Proteção de Sistemas 
Elétricos de Potência”, LTC 
Editora, 2017.
Tipos de TC
Tipo barra
MAMEDE FILHO, J., MAMEDE, 
D., “Proteção de Sistemas 
Elétricos de Potência”, LTC 
Editora, 2017.
Tipos de TC
Tipo barra
Tipos de TC
Tipo janela
MAMEDE FILHO, J., MAMEDE, D., “Proteção de Sistemas Elétricos de Potência”, LTC Editora, 2017.
Tipos de TC
TC de bucha
Tipos de TC
TC de núcleo dividido
Tipos de TC
TC com realimentação primária
MAMEDE FILHO, J., MAMEDE, D., “Proteção de Sistemas Elétricos de Potência”, LTC Editora, 2017.
Tipos de TC
TC com realimentação primária e com mais de um enrolamento primário
MAMEDE FILHO, J., MAMEDE, D., “Proteção de Sistemas Elétricos de Potência”, LTC Editora, 2017.
Tipos de TC
TC com vários núcleos
MAMEDE FILHO, J., MAMEDE, D., “Proteção de Sistemas Elétricos de Potência”, LTC Editora, 2017.
TCs de Medição x TCs de Proteção
TC de Medição TC de Proteção
Corrente Máxima de 
Operação (sem saturar)
1,2 a 2 vezes a corrente 
nominal
20 vezes a corrente 
nominal
Classe de Exatidão 0,3 % a 1,2 % 2,5 % a 10 %
Saturação
 
TC de proteção 
TC de medição 
( )p p nom
k I ( )m p nomk I 
( )m s nom
k I 
( )p s nom
k I 
sI 
pI 
Valores Nominais
• Corrente secundária nominal – 1 A e 5 A (e 1 A
ou 5 A divididos por raiz de 3)
• Corrente primária nominal
5 10 15 20 25 30 40 50
50 75 100 125 150 200 250 300
400 500 600 800 1000 1200 1500 2000
3000 4000 5000 6000 8000
Conexão
BLACKBURN, J. L., “Protective Relaying – Principles and Applications”, 2nd Ed., Marcel Dekker Inc., 1997.
Representação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
H1 H2 
X1 X2 
Representação
MAMEDE FILHO, J., MAMEDE, D., “Proteção de Sistemas Elétricos de Potência”, LTC Editora, 2017.
Representação
MAMEDE FILHO, J., MAMEDE, D., “Proteção de Sistemas Elétricos de Potência”, LTC Editora, 2017.
Representação
MAMEDE FILHO, J., MAMEDE, D., “Proteção de Sistemas Elétricos de Potência”, LTC Editora, 2017.
Representação
MAMEDE FILHO, J., MAMEDE, D., “Proteção de Sistemas Elétricos de Potência”, LTC Editora, 2017.
Placa
Burden e saturação de TC
• Impedância vista pelos terminais
do TC (cabos + relés + outros
equipamentos em série);
• Quanto maior o burden, maior a
tensão no secundário (e no
primário);
• Burden elevado com corrente
elevada pode levar o TC à
saturação
Burden e saturação de TC
MAMEDE FILHO, J., MAMEDE, D., “Proteção de Sistemas Elétricos de Potência”, LTC Editora, 2017.
Burden e saturação de TC
 
Ra Xm 
p
n
I
k 
Ia Im 
Ie 
Rs 
Zb Vs 
Is 
Es i s b i iZ R Z Z = + =  
Burden e saturação de TC
Corrente do Primário
Te
n
sã
o
 In
d
u
zi
d
a
Joelho
Burden e saturação de TC
Burden e saturação de TC
Erros em RPS
• Erro de corrente (ou de relação)
1p
n s p
s n
I
k I I
I k
=  =
s
n I s
p
N
k N N
N
= = = Só um enrolamento 
primário
(%) 100%ni
k k
k

−
= 
1 1
(%) 100% 100%ni
n
k k FCR
k k FCR

− −
=  = 
Erros em RPS
MAMEDE FILHO, J., MAMEDE, D., “Proteção de Sistemas Elétricos de Potência”, LTC Editora, 2017.
Erros em RPS
• Erro de fase
• Erro composto
.cos .
arg ( / )
/
m i a i
s p
p n
I I sen
I I sen
I k
 
 
−
=  =
2
0
100 1
(%) [ . ( ) ( )]
T
c n s p
p
k i t i t dt
I T
 = −
Valores de norma - IEC
Valores de norma - ANSI
Valores de norma - ANSI
Valores de norma - ABNT
Especificação
Exemplo – Considere que a carga que será
conectada no secundário deste TC seja de 15 VA
com fp de 0,8 indutivo para corrente secundária
nominal (5 A).
Especificação
2 2
15
0,6
5 0,6 36,9
cos(0,8) 36,9
i
sn i
i
S
Z
I Z
ar

= = =  
 =  
= = 
( )(max) 20 20 5 0,6 60 100s is nomE I Z V V= =   = 
TC : 200 – 5 A ; 25 VA ;
10 C 100 (ANSI)
B 10 F 20 C 100 (ABNT)
195
Definição da RTC
• A corrente de carga máxima não deverá exceder
a corrente nominal do TC
nomL
asobrecLasobrecnomp
V
S
kIkI
−
−

=
3
.. maxargarg
• A corrente de curto-circuito máxima não deverá
exceder a 20 vezes a corrente nominal do TC
20
max−
− 
F
nomp
I
I
Definição da RTC
Exemplo – Defina a RTC que deve ser utilizada no
primário de um transformador 10MVA 138 kV /
13,8 kV
• O fator térmico deste TC é 1;
• A corrente secundária nominal deverá ser de 5
A;
• Segundo informações da concessionária de
energia a maior corrente de curto-circuito na
entrada desta instalação é de 3200 A (trifásico).
Definição da RTC
• Suportabilidade de carga
• Suportabilidade de Curto-circuito
A
V
S
kIkI
nomL
asobrecLasobrecnomp
8,41
101383
1010
.1
3
..
3
6
max
argarg
=


=

=
−
−
A
I
I Fnomp 160
20
3200
20
max == −−
• Menor RTC possível = 200 – 5 A
Cálculo de erros – Método do projetista
4,44s m sE B A f N=     4,44
s
m
s
E
B
A f N
=
  
2 4
2
valor eficaz da f.e.m. induzida no secundário em 
valor de pico da indução em / = = 10
área líquida em 
frequência em 
número de espiras no secundário
s
m
s
E V
B Wb m tesla gauss
A m
f Hz
N


   


 



Cálculo de erros – Método do projetista
s i sE Z I=  4,44 4,44s i s
m
s s
E Z I
B
A f N A f N

= =
     
Bm
e
Hm
Ha
He
Bm
[Gauss]
H
[Ae/m] a m
e – excitação
a – perdas no ferro
m - magnetização
e e
s
I H
N
=
a a
s
m m
s
I H
N
I H
N

=


 =

Cálculo de erros – Método do projetista
Exemplo – O TC da figura aseguir trata-se de um TC 200 – 5 A. Este TC é
do tipo janela, de baixa reatância no secundário, e possui uma resistência
no secundário de 0,124  e vai alimentar uma carga de 30 VA, fp = 0,8 ind
TC 200 – 5 A
Burden de 30 VA, fp = 0,8 ind
Rs = 0,124 
Ns = 40 espiras
25 mm
60 mm
100 mm
Cálculo de erros – Método do projetista
( )
2
30
1,2
25 1,2 36,9
cos(0,8) 36,9
b
bs nom
S
Z
I Z
ar

= = = 
=   

= =  
=+=+=  6,333,1124,09,362,1sbi RZZ
𝑬𝒔 = 𝒁𝒊 ⋅ 𝑰𝒔 = 1,3 ⋅ 5 = 6,5∠33, 6
∘ 𝑽
Cálculo de erros – Método do projetista
4 4 20,90 15 10 13,5 10liqA m
− −=   = 
4
6,5
4,44 4,44 13,5 10 60 40
s
m
s
E
B
A f N −
= =
      
20,452 Wb/m 0,452 tesla 4520 gaussmB = = =
4520
12,5
17
Bm [Gauss]
H
[Ae/m]
a
m
17 /
12,5 /
a
m
H Ae m
H Ae m
=

=
Cálculo de erros – Método do projetista
md 314,01,0 === 
17 0,314
0,1335
40
12,5 0,314
0,0982
40
a
a
s
m
m
s
H
I A
N
H
I A
N

= = =

= = =
.cos .sen
(%) 100
/
.cos .
arg ( / ) [ ]
/
a i m i
i
p n
m i a i
s p
p n
I I
I k
I I sen
I I rad
I k
 

 

+
= − 


− = 


Cálculo de erros – Método do projetista
masesnp IIIIIkI ++=+=/
 
Ra Xm 
p
n
I
k 
Ia Im 
Ie 
Rs 
Zb Vs 
Is 
Es i s b i iZ R Z Z = + =  
Cálculo de erros – Método do projetista
masesnp IIIIIkI ++=+=/
 
Ia 
Im 
Ie 
Is 
Ip /kn 
Es 
 i 
 
5 0 0,1335 33,6 0,0982 56,4
5, 0 0,166 2,737
5,166 0,091
p
n
I
k
A
=  +  + − =
=  + −  =
= − 
Cálculo de erros – Método do projetista
.cos .
(%) 100
/
0,1335 cos33,6 0,0982 33,6
(%) 100
5,166
(%) 3,20 %
a i m i
i
p n
i
i
I I sen
I k
sen
 



+
= − 
  +  
= − 
= −
0,166
(%) 100 100 3,21 %
/ 5,166
e
i
p n
I
I k
 = −  = −  = −
ou
Cálculo de erros – Método do projetista
ou
arg ( / ) arg ( / ) 0,091s p p nI I I k = = − =
.cos .sen
sen
/
0,0982 cos33,6 0,1335 sen 33,6
5,166
0,0616 0,091
m i a i
p n
I I
I k
rad
 
 
−
 =
  −  
= =
= =
Transformadores de
Potencial
Aspectos construtivos
MAMEDE FILHO, J., MAMEDE, D., “Proteção de Sistemas Elétricos de Potência”, LTC Editora, 2017.
Aspectos construtivos
MAMEDE FILHO, J., MAMEDE, D., “Proteção de Sistemas Elétricos de Potência”, LTC Editora, 2017.
Aspectos construtivos
MAMEDE FILHO, J., MAMEDE, D., “Proteção de Sistemas Elétricos de Potência”, LTC Editora, 2017.
Aspectos construtivos
Tipos de TP
• TP indutivo (até 138 kV) -
similares aos trafos de potência, 
mas com funcionamento bem 
abaixo do limite térmico.
• Grupo 1 – Projetados para ligação 
entre fases
• Grupo 2 – Projetados para ligação 
fase neutro
• Grupo 3 – Projetados para ligação 
fase-neutro onde se garante a 
eficácia do aterramento
MAMEDE FILHO, J., MAMEDE, D., “Proteção de 
Sistemas Elétricos de Potência”, LTC Editora, 2017.
Tipos de TP
• TP capacitivo (cima de 138 kV)
Exemplo
• Considere um TP indutivo monofásico com área transversal líquida no núcleo de 
25 cm2, frequência de operação de 60 Hz, tensão secundária de 115 / 3 V e 
burden de 150 VA, fp unitário. Pelo projeto, em condições nominais, este TP deve 
trabalhar com uma indução magnética de pico de 1,6 Wb/m2. Determinar o 
número de espiras e a corrente no seu enrolamento primário, considerando que 
o TP vai ser ligado em estrela aterrada – estrela aterrada em sistemas trifásicos 
de 13,8 kV, 138 kV e 345 kV. Analisar os projetos resultantes.
Exemplo
𝑇𝑃
𝐴 = 5𝑐𝑚 × 5𝑐𝑚 = 25𝑐𝑚2
𝐵𝑚 = 1,6𝑊 Τ𝑏 𝑚
2 ; 𝑓 = 60𝐻𝑧
𝑉𝑠𝑛 =
115
3
𝑉 𝑓𝑎𝑠𝑒 − 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑜
𝐵𝑢𝑟𝑑𝑒𝑛: 𝑆𝑠 = 150𝑉𝐴, 𝑓𝑝𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜
𝑁𝑝 =
𝐸𝑝
4,44𝐵𝑚𝐴𝑓
=
𝐸𝑝
4,44 × 1,6 × 25 × 10−4 × 60
= 0,9384𝐸𝑝
𝐼𝑠 =
𝑆𝑏
𝑉𝑠𝑛
=
150
115
3
= 2,259𝐴 𝐼𝑝 =
𝐼𝑠
𝑘𝑛
=
1
𝑘𝑛
𝐼𝑠 =
𝑉𝑠𝑛
𝑉𝑝𝑛
𝐼𝑠
Exemplo
Tensão 
de Linha 
[kV] 
Ep [kV] Np (espiras) Ip (mA) 
13,8 13,8 3 
13800
0,9384 7477
3
  
115
2259 18,8
13800
mA = 
138 138 3 
138000
0,9384 74770
3
  
115
2259 1,88
138000
mA = 
345 345 3 
345000
0,9384 186925
3
  
115
2259 0,75
345000
mA = 
 
Exemplo
• À medida que a tensão nominal vai aumentando, o número
de espiras necessários para se estabelecer a densidade de
campo magnético desejada de 1,6 Wb/m2 também
aumenta. Por outro lado, a corrente primária nominal
diminui (fio cada vez mais fino).
• Por esta razão é inviável se fazer bons projetos de TP
indutivo para tensões acima de 138 kV, sendo recomendado
o uso de TPs capacitivos.
Características elétricas
• Faixa de operação
• TP de medição – 0 a 1,1 Vn
• TP de proteção – 0,05 a 1,9 Vn
• Tensão primária nominal (Vpn)
• Acima de 115 V (ASA / ABNT) ou 110 V (IEC)
• Tensão secundária nominal (Vsn)
• 115 ou 115/ 3 (ASA / ABNT)
• 110 ou 110/ 3 (ASA / ABNT)
Características elétricas
MAMEDE FILHO, J., MAMEDE, D., “Proteção de Sistemas Elétricos de Potência”, LTC Editora, 2017.
Características elétricas
MAMEDE FILHO, J., MAMEDE, D., “Proteção de Sistemas Elétricos de Potência”, LTC Editora, 2017.
Características elétricas
• Relação de Transformação nominal (kn)
• Relação de transformação real (k)
• Tensão secundária nominal (Vsn)
𝒌 =
𝑽𝒑
𝑽𝒔
𝒌 ∈ ℝ+
𝑭𝑪𝑹 =
𝒌
𝒌𝒏
𝑭𝑪𝑹 ∈ ℝ+
𝒌𝒏 =
𝑽𝒑𝒏
𝑽𝒔𝒏
Características elétricas
• Erro de relação ou de tensão
• Erro de ângulo de fase
𝝃𝒗 % =
𝒌𝒏 − 𝒌
𝒌
𝒙100 𝝃𝒗 ∈ ℝ
𝜸 = 𝒂𝒓𝒈(𝑽𝒔/𝑽𝒑) em rad ou °
Características elétricas
Características elétricas
Características elétricas
Características elétricas
Características elétricas
• Carga ou burden
|Zb|, cosF ou |Sbn|, cosF ( para |Vs| = Vsn )
Características elétricas
MAMEDE FILHO, J., MAMEDE, D., “Proteção de Sistemas Elétricos de Potência”, LTC Editora, 2017.
Relés de Proteção – Princípio 
de Funcionamento
Teoria dos Comparadores
“Todos os relés de proteção do tipo
elétrico operam quando uma grandeza
elétrica do circuito protegido muda do seu
valor normal ou muda em amplitude e/ou
fase em relação a outra grandeza elétrica
do circuito. Em outras palavras, o relé deve
medir uma grandeza, usualmente a
corrente que entra no circuito protegido, e
compará-la com uma referência ou com
outra grandeza coma qual tem
normalmente uma certa relação de
amplitude ou fase. (Warrington, 1962)”
Métodos de Detecção de Faltas
• Com uma entrada
Métodos de Detecção de Faltas
• Com uma entrada
Métodos de Detecção de Faltas
• Com uma entrada
Métodos de Detecção de Faltas
https://www.youtube.com/watch?v=luwrP2EpZC8
https://www.youtube.com/watch?v=luwrP2EpZC8
Métodos de Detecção de Faltas
Métodos de Detecção de Faltas
Métodos de Detecção de Faltas
Métodos de Detecção de Faltas
Métodos de Detecção de Faltas
Métodos de Detecção de Faltas
Métodos de Detecção de Faltas
Métodos de Detecção de Faltas
Métodos de Detecção de Faltas
Métodos de Detecção de Faltas
Válvula
Métodos de Detecção de Faltas
• Com duas entradas
Métodos de Detecção de Faltas
• Com duas entradas
Métodos de Detecção de Faltas
• Com duas entradas
Métodos de Detecção de Faltas
• Com duas entradas
Métodos de Detecção de Faltas
• Com duas entradas
Métodos de Detecção de Faltas
• Com duas entradas
Teoria dos Comparadores
• A partir do princípio de operação do relé definem-se 2 sinais de
tensão ou corrente que serão comparados.
• A razão entre estes sinais pode ser avaliada em uma característica de
operação.
• Se um destes sinais é uma tensão e o outro é uma corrente, esta
característica é chamada de plano de impedância ou admitância,
dependendo da ordem dos sinais.
• Se ambos os sinais são uma corrente, esta característica é chamada
de plano α ou β, dependendo da ordem dos sinais.Teoria dos Comparadores
• Em geral, a definição destas características de operação e feita
usando comparadores, que trabalham comente com sinais da
mesma natureza (tensão ou corrente).
• Além disso, diferentes princípios de operação podem fazer com que
seja necessário fazer operações com os sinais inicialmente
registrados.
• Assim, na maioria das vezes estes sinais originais precisam ser
convertidos em outros para que possam ser comparados pelo relé.
• Este novos sinais são chamados de sinais de operação e sinais de
restrição (ou polarização) - S1 e S2, SO e SR ou SOP e SPOL
• Existem basicamente 2 tipos de comparadores:
Teoria dos Comparadores
 
COF 
(1, 2) 
S1 
S2 
T 
• Comparador de fase
Teoria dos Comparadores
Teoria dos Comparadores
Teoria dos Comparadores
Teoria dos Comparadores
Teoria dos Comparadores
• Comparador de amplitude
Teoria dos Comparadores
Teoria dos Comparadores
Teoria dos Comparadores
Teoria dos Comparadores
• Exemplo - considere uma LT monofásica com os seguintes parâmetros: 
impedância longitudinal unitária igual a Z (Ω/km) e extensão total igual a ℓ (km).
Teoria dos Comparadores
Teoria dos Comparadores
Teoria dos Comparadores
Teoria dos Comparadores
Teoria dos Comparadores
Teoria dos Comparadores
• Exemplo - considere a mesma LT monofásica com os seguintes parâmetros: 
impedância longitudinal unitária igual a Z (Ω/km) e extensão total igual a ℓ (km).
Teoria dos Comparadores
Teoria dos Comparadores
Teoria dos Comparadores
Teoria dos Comparadores
Teoria dos Comparadores
Comparadores Equivalentes
Comparadores Equivalentes
Comparadores Equivalentes
Comparadores Equivalentes
Comparadores Equivalentes
Comparadores Equivalentes
Comparadores Equivalentes
Comparadores Equivalentes
Pergunta
• Como implementar comparadores em relés digitais?
• É necessário?
• https://selinc.com/api/download/2400/?lang=en
• https://selinc.com/api/download/2429/?lang=pt
https://selinc.com/api/download/2429/?lang=pt
https://selinc.com/api/download/2429/?lang=pt
Pergunta
Proteção Digital
Evolução da proteção
Evolução da proteção
Evolução da proteção
Evolução da proteção
Evolução da proteção
Vantagens da proteção digital
• Economia:
Vantagens da proteção digital
• Confiabilidade:
• Possui funções de autocheck;
• Não são influenciados por ações de envelhecimento ou degaste como os 
eletromecânicos.
• Projeto mais simples com menos componentes.
• Flexibilidade:
• Mais adaptável a mudanças de projeto;
• Capacidade de utilização em esquemas de proteção adaptativa;
• Elevada capacidade de comunicação;
• Capacidade de executar outras funções como unidade de automação e 
controle (UAC), localização de faltas, gestão de ativos e etc.
Desvantagens da proteção digital
• Mudança frequente de hardware e software tornam os relés 
digitais obsoletos mais rapidamente;
• Mais sensíveis a condições ambientais.
Integração com sistema de supervisão e 
controle
Integração com sistema de supervisão e 
controle
Integração com sistema de supervisão e 
controle
IEC 61850
Hardware de um relé digital
Sistema de entradas analógicas
Sistema de entradas digitais
Interface A/D
Memórias
Processador
Sistema de saídas discretas
Portas de comunicação
Estimação fasorial
• Toda a teoria de comparadores usada na construção dos relés 
eletromecânicos se baseia em grandezas fasoriais (módulo e ângulo).
• Para seguir o mesmo princípio, os relés digitais devem fazer o mesmo 
em tempo real.
Estimação fasorial – Algoritmos síncronos
Estimação fasorial – Algoritmos síncronos
Estimação fasorial – Algoritmos síncronos
• Cálculo do ângulo de fase:
Estimação fasorial – Algoritmos síncronos
Estimação fasorial – Algoritmos assíncronos
Estimação fasorial – Algoritmos assíncronos
Estimação fasorial – Algoritmos assíncronos –
Fontes de erro
Estimação fasorial – Algoritmos assíncronos –
Fontes de erro
Estimação fasorial – Algoritmos clássicos
Estimação fasorial – Algoritmos de Mann & 
Morrison (1971)
Estimação fasorial – Algoritmos de Mann & 
Morrison (1971)
Estimação fasorial – Algoritmos de Mann & 
Morrison (1971)
• Reposta em frequência:
Estimação fasorial – Algoritmos de Mann & 
Morrison (1971)
• Reposta em frequência:
z
Estimação fasorial – Algoritmos de Mann & 
Morrison (1971)
• Reposta em frequência:
Estimação fasorial – Algoritmos de Mann & 
Morrison (1971)
• Reposta em frequência:
Estimação fasorial – Algoritmos de Mann & 
Morrison (1971)
• Reposta em frequência:
Estimação fasorial – Algoritmos de Mann & 
Morrison (1971)
Estimação fasorial – Algoritmos de Mann & 
Morrison (1971)
Estimação fasorial – PRODAR 70 – Gilcrest & 
Rockfeller (1971)
Estimação fasorial – PRODAR 70 – Gilcrest & 
Rockfeller (1971)
Estimação fasorial – PRODAR 70 – Gilcrest & 
Rockfeller (1971)
Estimação fasorial – PRODAR 70 – Gilcrest & 
Rockfeller (1971)
• Reposta em frequência:
Estimação fasorial – PRODAR 70 – Gilcrest & 
Rockfeller (1971)
• Reposta em frequência:
z
Estimação fasorial – PRODAR 70 – Gilcrest & 
Rockfeller (1971)
• Reposta em frequência:
Estimação fasorial – PRODAR 70 – Gilcrest & 
Rockfeller (1971)
• Reposta em frequência:
Estimação fasorial – PRODAR 70 – Gilcrest & 
Rockfeller (1971)
Estimação fasorial – PRODAR 70 – Gilcrest & 
Rockfeller (1971)
Estimação fasorial – Algoritmo baseado no 
Método dos Erros Mínimos Quadrados
N = M
Estimação fasorial – Algoritmo baseado no 
Método dos Erros Mínimos Quadrados
N > M
Estimação fasorial – Algoritmo baseado no 
Método dos Erros Mínimos Quadrados
• Sachdev & Baribeau (1975):
• Sinal da rede elétrica = decaimento exponencial + somatório de componentes 
harmônicas
• Considerando apenas as harmônicas de ordem 1 e 3 tem-se:
Estimação fasorial – Algoritmo baseado no 
Método dos Erros Mínimos Quadrados
• O decaimento exponencial pode ser aproximado por uma série de Taylor:
• Logo:
Estimação fasorial – Algoritmo baseado no 
Método dos Erros Mínimos Quadrados
• Expandindo os termos em sem e cos:
Estimação fasorial – Algoritmo baseado no 
Método dos Erros Mínimos Quadrados
• Assim, considerando:
• Tem-se:
• A aplicação do Método da Pseudoinversa corresponde a solução que 
minimiza o erro quadrático médio se o número de amostras N for maior do 
que 7.
Estimação fasorial – Algoritmo baseado no 
Método dos Erros Mínimos Quadrados
• Logo:
Estimação fasorial – Algoritmo baseado no 
Método dos Erros Mínimos Quadrados
• No instante k+1 tem-se:
Estimação fasorial – Algoritmo baseado no 
Método dos Erros Mínimos Quadrados
• Fazendo n = k+1 tem-se:
Estimação fasorial – Algoritmo baseado no 
Método dos Erros Mínimos Quadrados
• Isso sugere a possibilidade de se utilizar uma única matriz de regressores.
• Neste caso, considerando um sinal puramente senoidal, o fasor calculado em 
cada amostra ficará adiantado de um ângulo igual a:
Estimação fasorial – Algoritmo baseado no 
Método dos Erros Mínimos Quadrados
• A adoção desta técnica mostra que a obtenção da matriz dos regressores e, 
consequentemente, da sua pseudoinversa, para a estimação dos fasores, 
pode ser feita apenas uma única vez e de forma off-line.
• Desta maneira, o fasor fundamental pode ser definido como.
• Ou ainda:
Estimação fasorial – Algoritmo baseado no 
Método dos Erros Mínimos Quadrados
• Reposta em frequência:
Estimação fasorial – Algoritmo baseado no 
Método dos Erros Mínimos Quadrados
• Reposta em frequência:
Estimação fasorial – Algoritmo baseado no 
Método dos Erros Mínimos Quadrados
• Reposta em frequência:
Estimação fasorial – Algoritmo baseado no 
Método dos Erros Mínimos Quadrados
Estimação fasorial – Algoritmo baseado no 
Método dos Erros Mínimos Quadrados
Estimação fasorial – Algoritmo baseado no 
Método dos Erros Mínimos Quadrados
• Algoritmo dos Erros Quadrados Mínimos Ponderados
• Multiplica-se a matriz de regressores poruma matriz de pesos para dar uma 
maior ênfase nas amostras mais recentes.
Estimação fasorial – Algoritmo baseado no 
Método dos Erros Mínimos Quadrados
• A matriz de pesos pode se definida de 2 formas:
• λ é um número real entre 0 e 1 denominado fator de esquecimento. Testes 
mostram que bons valores de fator de esquecimento estão entre 0,6 e 0,8.
Estimação fasorial – Algoritmo baseado no 
Método dos Erros Mínimos Quadrados
Resposta em frequência
Estimação fasorial – Algoritmo baseado no 
Método dos Erros Mínimos Quadrados
Resposta em frequência
Estimação fasorial – Algoritmo baseado no 
Método dos Erros Mínimos Quadrados
Estimação fasorial – Algoritmo de Fourier
• Derivação a partir do algoritmo dos erros mínimos quadrados :
• Qualquer função y(t) pode ser aproximada por:
• Onde:
Estimação fasorial – Algoritmo de Fourier
• O erro quadrático médio desta aproximação vale:
• Considerando uma janela de N amostras:
Estimação fasorial – Algoritmo de Fourier
• Pelo método dos mínimos quadrados, a melhor estimativa para o 
conjunto de parâmetros Cm é obtida quando se minimiza o erro 
quadrado, expresso em (3).
• Isto pode ser alcançado tornando nulas todas as derivadas do erro 
quadrado em relação a cada um dos M coeficientes, ou seja:
Estimação fasorial – Algoritmo de Fourier
• Considerando uma aproximação para uma função formada 
exclusivamente por sinais senoidais de frequência fundamentais:
Estimação fasorial – Algoritmo de Fourier
• Neste caso:
Estimação fasorial – Algoritmo de Fourier
• Derivando e igualando a zero:
Estimação fasorial – Algoritmo de Fourier
• Logo:
• Chamando:
Estimação fasorial – Algoritmo de Fourier
• Considerando
• Assim:
Estimação fasorial – Algoritmo de Fourier
• Resolvendo este sistema pelo Método de Kramer:
Estimação fasorial – Algoritmo de Fourier
• Ou seja:
Estimação fasorial – Algoritmo de Fourier
• Pode se provar que:
• Assim:
Estimação fasorial – Algoritmo de Fourier
• Resultando em:
• Logo, o fasor fundamental vale:
Estimação fasorial – Algoritmo de Fourier
• Filtro Seno
Estimação fasorial – Algoritmo de Fourier
• Pode se perceber que o fasor vale:
• Pode-se perceber pela figura anterior que os valores A e B se repetem por 
diversos instantes, mais especificamente a cada ¼ de ciclo. Logo:
Estimação fasorial – Algoritmo de Fourier
• Filtro Cosseno
• Seguindo o mesmo raciocínio usado para o filtro Seno:
Estimação fasorial – Algoritmo de Fourier
Estimação fasorial – Algoritmo de Fourier
• Resposta em frequência
Estimação fasorial – Algoritmo de Fourier
Estimação fasorial – Algoritmo de Fourier
Estimação fasorial – Algoritmo de Fourier
Estimação fasorial – Algoritmo de Fourier
Estimação fasorial – Algoritmo de Fourier
Estimação fasorial – Algoritmo de Fourier
• Filtro de Fourier recursivo
• Considere-se um filtro de Fourier de 1 ciclo com 4 amostras por ciclo:
Estimação fasorial – Algoritmo de Fourier
• Ao coeficientes dos filtros seno e cosseno associados ao filtro de Fourier e 
o fasor estimado valem:
Estimação fasorial – Algoritmo de Fourier
• Agora considere que estas funções estão adiantadas de
Estimação fasorial – Algoritmo de Fourier
• Observe que:
Estimação fasorial – Algoritmo de Fourier
• Agora considere um novo conjunto de amostras começando no instante 
k+1:
Estimação fasorial – Algoritmo de Fourier
• Logo, os coeficientes podem ser calculados a partir dos coeficientes do 
instante anterior:
Estimação fasorial – Algoritmo de Fourier
• Em geral, para o filtro de Fourier de 1 ciclo escreve-se:
Estimação fasorial – Algoritmo de Fourier
• Para o filtro de Fourier de meio ciclo:
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	Slide 2: Filosofia de Proteção
	Slide 3: Função dos Sistemas de Proteção
	Slide 4: Função dos Sistemas de Proteção
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	Slide 6: Filosofia de Proteção - Histórico
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	Slide 11: Filosofia de Proteção - Histórico
	Slide 12: Filosofia de Proteção - Histórico
	Slide 13: Filosofia de Proteção - Histórico
	Slide 14: Filosofia de Proteção - Relés Eletromecânicos
	Slide 15: Filosofia de Proteção - Relés Estáticos
	Slide 16: Filosofia de Proteção - Relés Estáticos
	Slide 17: Filosofia de Proteção - Relés Digitais
	Slide 18: Filosofia de Proteção - Composição dos Sistemas de Proteção
	Slide 19: Filosofia de Proteção - Transformadores de Corrente e Tensão
	Slide 20: Filosofia de Proteção - Disjuntores
	Slide 21: Filosofia de Proteção - Tabela ANSI
	Slide 22: Filosofia de Proteção - Características de Um Sistema de Proteção
	Slide 23: Filosofia de Proteção - Características de Um Sistema de Proteção
	Slide 24: Filosofia de Proteção - Zonas de Proteção
	Slide 25: Filosofia de Proteção - Zonas de Proteção
	Slide 26
	Slide 27
	Slide 28
	Slide 29: Filosofia de Proteção - Tipos de Proteção
	Slide 30: Filosofia de Proteção - Tipos de Proteção
	Slide 31
	Slide 32
	Slide 33: Filosofia de Proteção - Tipos de Proteção
	Slide 34: Cálculo de Curtos-circuitos
	Slide 35: Cálculo de Curtos-circuitos Sistema Por Unidade
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	Slide 37: Cálculo de Curtos-circuitos Sistema Por Unidade
	Slide 38: Cálculo de Curtos-circuitos Sistema Por Unidade
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	Slide 120: Cálculo de Curtos-circuitos Componentes Simétricas
	Slide 121: Cálculo de Curtos-circuitos Componentes Simétricas
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	Slide 129: Cálculo de Curtos-circuitos Componentes Simétricas
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	Slide 142: Cálculo de Curtos-circuitos Componentes Simétricas
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	Slide 145: Cálculo de Curtos-circuitos Componentes Simétricas
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	Slide 148: Cálculo de Curtos-circuitos Componentes Simétricas
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	Slide 150: Cálculo de Curtos-circuitos Componentes Simétricas
	Slide 151: Cálculo de Curtos-circuitos Componentes Simétricas
	Slide 152: Cálculo de Curtos-circuitos Componentes Simétricas
	Slide 153: Cálculo de Curtos-circuitos Componentes Simétricas
	Slide 154: Cálculo de Curtos-circuitos Componentes Simétricas
	Slide 155: Cálculo de Curtos-circuitos Componentes Simétricas
	Slide 156: Cálculo de Curtos-circuitos Componentes Simétricas
	Slide 157: Cálculo de Curtos-circuitos Componentes Simétricas
	Slide 158: Transformadores de Corrente
	Slide 159: Composição
	Slide 160: Composição
	Slide 161: Tipos de TC
	Slide 162: Tipos de TC
	Slide 163: Tipos de TC
	Slide 164: Tipos de TC
	Slide 165: Tipos de TC
	Slide 166: Tipos de TC
	Slide 167: Tipos de TC
	Slide 168: Tipos de TC
	Slide 169: Tipos de TC
	Slide 170: TCs de Medição x TCs de Proteção
	Slide 171: Saturação
	Slide 172: Valores Nominais
	Slide 173: Conexão
	Slide 174: Representação
	Slide 175: Representação
	Slide 176: Representação
	Slide 177: Representação
	Slide 178: Representação
	Slide 179: Placa
	Slide 180: Burden e saturação de TC
	Slide 181: Burden e saturação de TC
	Slide 182: Burden e saturação de TC
	Slide 183: Burden e saturação de TC
	Slide 184: Burden e saturação de TC
	Slide 185: Burden e saturação de TC
	Slide 186: Erros em RPS
	Slide 187: Erros em RPS
	Slide 188: Erros em RPS
	Slide 189: Valores de norma - IEC
	Slide 190: Valores de norma - ANSI
	Slide 191: Valores de norma - ANSI
	Slide 192: Valores de norma - ABNT
	Slide 193: Especificação
	Slide 194: Especificação
	Slide 195: Definição da RTC
	Slide 196: Definição da RTC
	Slide 197: Definição da RTC
	Slide 198: Cálculo de erros – Método do projetista
	Slide 199: Cálculo de erros – Método do projetista
	Slide 200: Cálculo de erros – Método do projetista
	Slide 201: Cálculo de erros – Método do projetista
	Slide 202: Cálculo de erros – Método do projetista
	Slide 203: Cálculo de erros – Método do projetista
	Slide 204: Cálculo de erros – Método do projetista
	Slide 205: Cálculo de erros – Método do projetista
	Slide 206: Cálculo de erros – Método do projetista
	Slide 207: Cálculo de erros – Método do projetista
	Slide 208: Transformadores de Potencial
	Slide 209: Aspectos construtivos
	Slide 210: Aspectos construtivos
	Slide 211: Aspectos construtivos
	Slide 212: Aspectos construtivos
	Slide 213: Tipos de TP
	Slide 214: Tipos de TP
	Slide 215: Exemplo
	Slide 216: Exemplo
	Slide 217: Exemplo
	Slide 218: Exemplo
	Slide 219: Características elétricas
	Slide 220: Características elétricas
	Slide 221: Características elétricas
	Slide 222: Características elétricas
	Slide 223: Características elétricas
	Slide 224: Características elétricas
	Slide 225: Características elétricas
	Slide 226: Características elétricas
	Slide 227: Características elétricas
	Slide 228: Características elétricas
	Slide 229: Características elétricas
	Slide 230: Relés de Proteção – Princípio de Funcionamento
	Slide 231: Teoria dos Comparadores
	Slide 232: Métodos de Detecção de Faltas
	Slide 233: Métodos de Detecção de Faltas
	Slide 234: Métodos de Detecção de Faltas
	Slide 235: Métodos de Detecção de Faltas
	Slide 236: Métodos de Detecção de Faltas
	Slide 237: Métodos de Detecção de Faltas
	Slide 238: Métodos de Detecção de Faltas
	Slide 239: Métodos de Detecção de Faltas
	Slide 240: Métodos de Detecção de Faltas
	Slide 241: Métodos de Detecção de Faltas
	Slide 242: Métodos de Detecção de Faltas
	Slide 243: Métodos de Detecção de Faltas
	Slide 244: Métodos de Detecção de Faltas
	Slide 245: Métodos de Detecção de Faltas
	Slide 246: Métodos de Detecção deFaltas
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	Slide 248: Métodos de Detecção de Faltas
	Slide 249: Métodos de Detecção de Faltas
	Slide 250: Métodos de Detecção de Faltas
	Slide 251: Métodos de Detecção de Faltas
	Slide 252: Teoria dos Comparadores
	Slide 253: Teoria dos Comparadores
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	Slide 266: Teoria dos Comparadores
	Slide 267: Teoria dos Comparadores
	Slide 268: Teoria dos Comparadores
	Slide 269: Teoria dos Comparadores
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	Slide 272: Teoria dos Comparadores
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	Slide 274: Teoria dos Comparadores
	Slide 275: Comparadores Equivalentes
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	Slide 283: Pergunta
	Slide 284: Pergunta
	Slide 285: Proteção Digital
	Slide 286: Evolução da proteção
	Slide 287: Evolução da proteção
	Slide 288: Evolução da proteção
	Slide 289: Evolução da proteção
	Slide 290: Evolução da proteção
	Slide 291: Vantagens da proteção digital
	Slide 292: Vantagens da proteção digital
	Slide 293: Desvantagens da proteção digital
	Slide 294: Integração com sistema de supervisão e controle
	Slide 295: Integração com sistema de supervisão e controle
	Slide 296: Integração com sistema de supervisão e controle
	Slide 297: Hardware de um relé digital
	Slide 298: Sistema de entradas analógicas
	Slide 299: Sistema de entradas digitais
	Slide 300: Interface A/D
	Slide 301: Memórias
	Slide 302: Processador
	Slide 303: Sistema de saídas discretas
	Slide 304: Portas de comunicação
	Slide 305: Estimação fasorial
	Slide 306: Estimação fasorial – Algoritmos síncronos
	Slide 307: Estimação fasorial – Algoritmos síncronos
	Slide 308: Estimação fasorial – Algoritmos síncronos
	Slide 309: Estimação fasorial – Algoritmos síncronos
	Slide 310: Estimação fasorial – Algoritmos assíncronos
	Slide 311: Estimação fasorial – Algoritmos assíncronos
	Slide 312: Estimação fasorial – Algoritmos assíncronos – Fontes de erro
	Slide 313: Estimação fasorial – Algoritmos assíncronos – Fontes de erro
	Slide 314: Estimação fasorial – Algoritmos clássicos
	Slide 315: Estimação fasorial – Algoritmos de Mann & Morrison (1971)
	Slide 316: Estimação fasorial – Algoritmos de Mann & Morrison (1971)
	Slide 317: Estimação fasorial – Algoritmos de Mann & Morrison (1971)
	Slide 318: Estimação fasorial – Algoritmos de Mann & Morrison (1971)
	Slide 319: Estimação fasorial – Algoritmos de Mann & Morrison (1971)
	Slide 320: Estimação fasorial – Algoritmos de Mann & Morrison (1971)
	Slide 321: Estimação fasorial – Algoritmos de Mann & Morrison (1971)
	Slide 322: Estimação fasorial – Algoritmos de Mann & Morrison (1971)
	Slide 323: Estimação fasorial – Algoritmos de Mann & Morrison (1971)
	Slide 324: Estimação fasorial – PRODAR 70 – Gilcrest & Rockfeller (1971)
	Slide 325: Estimação fasorial – PRODAR 70 – Gilcrest & Rockfeller (1971)
	Slide 326: Estimação fasorial – PRODAR 70 – Gilcrest & Rockfeller (1971)
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	Slide 328: Estimação fasorial – PRODAR 70 – Gilcrest & Rockfeller (1971)
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	Slide 330: Estimação fasorial – PRODAR 70 – Gilcrest & Rockfeller (1971)
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	Slide 332: Estimação fasorial – PRODAR 70 – Gilcrest & Rockfeller (1971)
	Slide 333: Estimação fasorial – Algoritmo baseado no Método dos Erros Mínimos Quadrados
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	Slide 354: Estimação fasorial – Algoritmo de Fourier
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