MATEMATICA E RACIOCIO LOGICO

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CONTEÚDO DE MATEMÁTICA 
Apostila Completa de Auxiliar Administrativo concurso de Parauapebas/PA
@empregosparauapebaspa
SUMÁRIO
1 Matemática comercial e financeira: razão, proporção, regra de três simples e composta, porcentagem e juros 
simples. ........................................................................................................................................ 2
Razão .................................................................................................................................... 2
Proporção .............................................................................................................................. 4
Regra De Três Simples E Composta ......................................................................................... 8
Porcentagem........................................................................................................................ 12
Juros Simples e Compostos ................................................................................................... 14
2. Tratamento da informação: interpretação de situações apresentadas na forma de tabela ou gráfico21
Gráficos e Tabelas ................................................................................................................ 21
Gráficos De Coluna ............................................................................................................... 21
Gráficos Em Pizza ................................................................................................................. 22
Gráficos Em Linhas ............................................................................................................... 23
Gráfico De Áreas .................................................................................................................. 23
Gráfico Em Rede .................................................................................................................. 23
3. Raciocínio lógico ...................................................................................................................... 27
Tabela verdade .................................................................................................................... 43
Equivalência Lógica .............................................................................................................. 43
União de conjuntos (U) ......................................................................................................... 44
Fórmula da União ................................................................................................................. 45
Simbologia ........................................................................................................................... 46
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS .................................................................................................... 46
bruna
Realce
APOSTILA DE MATEMÁTICA 
@empregosparauapebaspa
1 Matemática comercial e financeira: razão, proporção, regra de três simples e 
composta, porcentagem e juros simples.
Matemática financeira é uma área de aplicação prática da matemática, que consiste em cálculos direcionados à 
melhor organização e ao maior controle do dinheiro.
Mais do que uma ciência, é uma ferramenta bastante útil no dia a dia, tanto para cuidar das contas pessoais quanto 
daquelas que pertencem a uma empresa.
A partir de diferentes fórmulas, sobre as quais vamos falar ainda neste artigo, é possível ter uma visão integral sobre 
as finanças, utilizar bem o dinheiro, aumentar o seu valor e evitar prejuízos.
É também a partir dos instrumentos de matemática financeira que sonhos são concretizados.
Para entender melhor, basta lembrar da importância da organização e planejamento ao contratar um
empréstimo ou obter um financiamento, seja para aquisição de um veículo ou imóvel.
Exceto se você possui toda a quantia para realizar o pagamento à vista, terá que fazer cálculos para entender o 
impacto desse produto financeiro e suas prestações no orçamento pessoal.
Para tanto, são necessários conhecimentos básicos sobre porcentagem, juros e fórmulas que permitem compreender 
exatamente o tamanho da conta.
Sempre lembrando que, nesse tipo de operação, o custo final é diferente do contratado, justamente devido à 
incidência de juros.
Outro bom exemplo é o de investimentos, quando os números jogam a seu favor.
Você pode planejar a sua aposentadoria, deixando dinheiro na poupança. Mas é importante que essa decisão seja 
tomada depois de comparar a rentabilidade com outras opções.
Assim, identifica os ganhos que vai obter em um determinado período.
E você só consegue fazer isso a partir de instrumentos de matemática financeira.
Vai dizer que, agora, ela não parece ainda mais interessante para o seu dia a dia?
Mas a importância dela vai além e aparece de forma marcante no mundo corporativo, como veremos a seguir.
Razão 
A razão matemática pode ser definida como forma de expressar, numericamente, a relação entre dois valores de 
valores numéricos de uma mesma grandeza, expresso 
na forma de fração, lendo-
" razão entre dois números é dada pela sua divisão obedecendo a ordem na qual eles foram dados. Tal razão pode ser 
representada na forma fracionária, decimal e percentual. A relação entre duas ou mais razões é uma importante 
ferramenta para solucionar problemas práticos, essa igualdade é chamada de proporção.
Exemplo
A razão entre os números:
a) 3 e 4
b) 5 e 7
Devemos ficar bastante atentos à ordem na qual os números são dados, o primeiro número sempre será o numerador, 
e o segundo número sempre será o denominador. Veja:
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s formando uma proporção. Considere duas razões 
A igualdade será uma proporção se a · y = b · x, ou seja, se multiplicando cruzado encontrarmos uma igualdade 
verdadeira, então teremos uma proporção
Exemplo
Verificar se os números 2, 3, 10 e 15 são proporcionais nessa ordem.
Para isso, devemos montar a razão entre esses números e, em seguida, multiplicar cruzado. Se encontrarmos uma 
igualdade verdadeira, então eles serão proporcionais, caso contrário, eles não serão proporcionais.
Portanto, os números nessa ordem formam uma proporção.
Como representar uma razão?
Vimos que uma razão é dada por uma divisão, que, por sua vez, pode ser representada por uma fração. Ao realizar a 
divisão do numerador pelo denominador dessa fração, obteremos a forma decimal da razão. Com base na forma 
decimal, podemos escrever a razão em sua forma percentual, bastando multiplicar esse número decimal por 100. Veja 
os exemplos.
Exemplo
Representação da razão entre 2 e 4 na forma fracionária, decimal e percentual.
A razão entre 2 e 4 é dada por:
Para determinar a forma decimal, basta realizar a divisão do numerador pelo denominador.
2 ÷ 4 = 0,5
Portanto, 0,5 é a representação decimal da razão dos números 2 e 4.
Para escrevermos essa razão na forma percentual, devemos multiplicar por 100 o número 0,5. Veja:
0,5 · 100 = 50%
Portanto:
A sequência de Fibonacci é considerada a razão/proporção áurea, pois é encontrada em diversos elementos da natureza, 
como em conchas de moluscos.
Exercícios resolvidos
Questão 1 (Unisinos-RS) Sabendo que a distância entre duas cidades num mapa, na escala 1 : 1 600 000, é de 8 cm, 
qual é a distância real entre elas?
a) 2 km
b) 12,8 km
c) 20 km
d) 128 km
e) 200 km
Solução
Alternativa d. Do enunciado temos a escala 1 : 1 600 000, ou seja, cada 1 centímetro no mapa corresponde a 1 600 
000 centímetros na realidade. Interpretando tal escala como sendo a razão entre 1 e 1 600 000, devemos determinar 
a media real de uma distância de 8 centímetros no mapa, logo:
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Observe que as alternativas são dadas utilizando-se a unidade de medida quilômetro. Para transformar centímetro em 
quilômetro, devemos dividir o últimoresultado por 100.000:
12.800.000 ÷ 100.000 = 128 km
Questão 2 A razão entre a idade de duas pessoas é de 12 para 11. Sabe-se que a soma das idades é 115, determine 
a idade de cada uma dessas pessoas.
Solução
Como desconhecemos a idade das duas pessoas, vamos nomeá-las a e b. Como a razão entre essas idades é de 12 
para 11, podemos montar uma proporção:
Sabemos que a soma das idades é 115, logo:
a + b = 115
a = 115 b
Substituindo o valor de a na primeira equação, teremos:
11 · a = 12 · b
11 · (115 b) = 12 · b
1.265 11b = 12b
1.265 = 12b + 11b
1.265 = 23b
b = 1.265 ÷ 23
b = 55
Como a = 115 b, então:
a = 115 55
a = 60
Portanto, essas pessoas possuem, respectivamente, 60 anos e 55 anos."
Proporção
Proporção é uma igualdade entre razões. Duas razões são proporcionais quando o resultado da divisão entre o 
numerador e o denominador da primeira razão é igual ao resultado da divisão da segunda.
Onde a, b, c e d são números diferentes de zero e, nesta ordem, formam uma proporção.
Lemos uma proporção das seguintes maneiras:
a está para b na mesma razão que c está para d;
a está para b assim como c está para d;
a e b são proporcionais a c e d.
Na proporção:
Exemplo
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A igualdade é verdadeira, pois 4 / 2 = 2, assim como, 12 / 6 = 2.
Propriedades das proporções
As propriedades são ferramentas matemáticas que facilitam a resolução de problemas. Usando as propriedades das 
proporções, podemos criar outras proporções, mais úteis para resolvermos problemas.
Propriedade fundamental das proporções
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Sendo a seguinte igualdade entre razões, uma proporção,
Então, é verdade que:
É comum chamar esta propriedade de multiplicação cruzada. Esta propriedade é utilizada no procedimento chamado 
regra de três.
Exemplo
Outras propriedades
Algumas propriedades não recebem nomes especiais, embora sejam importantes nos cálculos.
Propriedade 1
A soma (ou subtração) dos denominadores aos numeradores de suas razões, não altera a proporção.
Sendo verdadeira a proporção
Então vale que:
Na primeira razão, somamos ou subtraímos o denominador b, e, na segunda razão, somamos ou subtraímos o 
denominador d.
Exemplo
Então vale que:
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Propriedade 2
A soma (ou subtração), dos numeradores e denominadores da segunda razão, aos da primeira, é igual à primeira ou 
segunda razão.
Sendo verdadeira a proporção:
Então vale que:
Exemplo
Sendo verdadeira a proporção:
Então vale que:
Exercício 1
Um mapa apresenta a escala 1:3500 (1 para 3500) centímetros. Foi realizada uma medida no mapa de 8 centímetros. 
Esta medida no mapa representa quantos centímetros reais?
Resposta:
A escala pode ser escrita como a razão .
Nesta razão, o numerador representa os centímetros no mapa, enquanto o denominador, os centímetros reais.
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Podemos, nesta ordem, escrever uma razão para o valor desconhecido.
Os centímetros medidos no mapa ficam no numerador, enquanto os centímetro reais, que pretendemos determinar, 
ficam no denominador.
Escrevendo uma proporção entre estas duas razões, temos:
Para determinar o valor desconhecido, utilizamos a propriedade fundamental das proporções: o produto dos extremos 
é igual o produto dos meios.
Portanto, 8cm no mapa, equivalem a 28 000cm reais.
Exercício 2
Catarina vai fazer um bolo para sua família e, para isso, separou uma receita que prescreve as seguintes quantidades:
4 ovos;
2 xícaras de açúcar;
300 gramas de farinha de trigo.
Como ela possui 7 ovos e gostaria de usá-los de uma vez, aumentando a quantidade de ovos na receita, é preciso 
aumentar proporcionalmente, as quantidades dos outros ingredientes. Sendo assim, em seu preparo, qual a quantidade 
dos outros ingredientes ela deverá utilizar?
Resposta:
Vamos determinar as novas quantidades proporcionais de cada ingrediente.
Açúcar
Na receita original, para cada 4 ovos, utilizam-se 2 xícaras de açúcar.
No novo preparo, Catarina irá utilizar 7 ovos e, embora ainda não sabemos a quantidade de xícaras de açúcar, por 
enquanto, iremos chamar de x.
Como estas razões precisam ser proporcionais, iremos igualá-las.
Para determinar o valor de x, utilizamos a propriedade fundamental das proporções, que diz que o produto dos extremos 
é igual o produto dos meios.
Isolando o x do lado esquerdo da igualdade:
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Desta forma, Catarina irá utilizar três xícaras e meia de açúcar no novo preparo.
Seguindo o mesmo raciocínio para a quantidade de trigo, temos:
Sendo assim, Catarina deverá utilizar 525 gramas de farinha de trigo no novo preparo de seu bolo.
Regra De Três Simples E Composta 
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais 
conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. 
Passos Utilizados Numa Regra De Três Simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as 
grandezas de espécies diferentes em correspondência. 
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 
3º) Montar a proporção e resolver a equação. 
Exemplos: 
1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue 
produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida? 
Solução: montando a tabela: 
Área (m2) Energia (Wh)
1,2 400 
1,5 x 
Identificação do tipo de relação: 
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). 
Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. 
bruna
Realce
bruna
Texto digitado
29/10/2023
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Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente 
proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a 
proporção e resolvendo a equação temos: 
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora. 
1) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em 
quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? 
Solução: montando a tabela: 
Velocidade (Km/h) Tempo (h)
400 3 
480 x 
Identificação do tipo de relação: 
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a 
velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar 
que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário 
(para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos. 
1) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e 
preço? 
Solução: montando a tabela: 
bruna
Realce
bruna
Realce
bruna
Realce
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@empregosparauapebaspa
Camisetas Preço (R$)
3 120 
5 x 
Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando 
- aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo 
a equação temos: 
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas. 
1) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de 
horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho? 
Solução: montando a tabela: 
Horas por dia Prazo para término (dias)
8 20 
5 x 
Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. Como as palavras 
são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmarque as grandezas são inversamente proporcionais. 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
Regra De Três Composta
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. 
Exemplos: 
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para 
descarregar 125m3? 
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas 
de espécies diferentes que se correspondem: 
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Horas Caminhões Volume
8 20 160 
5 x 125 
Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). 
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. 
Observe que: 
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é 
inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). 
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente 
proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das 
outras razões de acordo com o sentido das setas. 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
Logo, serão necessários 25 caminhões. 
2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados 
por 4 homens em 16 dias? 
Solução: montando a tabela: 
Homens Carrinhos Dias
8 20 5 
4 x 16 
Observe que: 
Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional 
(não precisamos inverter a razão). 
Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente 
proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das 
outras razões. 
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Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
Logo, serão montados 32 carrinhos. 
3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e 
aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro? 
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para 
as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, 
como mostra a figura abaixo: 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
Porcentagem
 
O termo porcentagem é muito utilizado no cotidiano, principalmente em situações ligadas à 
Matemática Financeira, correção monetária, investimentos, cálculo de juros, descontos, determinação de valores de 
impostos entre outras situações. Dado um número qualquer x, temos que x% corresponde à razão centesimal x/100. 
O símbolo % significa porcento ou divisão por cem. Observe: 
15% (quinze porcento) = 15/100 = 3/20 = 0,15 
20% (vinte porcento) = 20/100 = 1/5 = 0,20 
25% (vinte e cinco porcento) = 25/100 = 1/4 = 0,25 
40% (quarenta porcento) = 40/100 = 2/5 = 0,40 
120% (cento e vinte porcento) = 120/100 = 6/5 = 1,2 
Um número que possui a característica de porcentagem pode ser expresso das seguintes formas: fração centesimal ou 
número decimal, a forma ficará a critério do estudante. 
Exemplo 1 
Uma determinada loja de eletrodomésticos vende seus produtos em até 10 vezes, incluído os juros. No caso de 
pagamento à vista a loja oferece um desconto de 15% sobre o preço da mercadoria. Na compra à vista de uma geladeira 
que custa R$ 1.200,00, qual o valor do desconto? 
15% = 15/100 = 3/20 = 0,15 
Podemos resolver o problema de duas maneiras. Observe: 
Multiplicando o valor de R$1200 por 15 e depois dividindo por 100. 
1200 x 15/100 = 18000/100 = 180 
Multiplicando o valor de R$1200 por 0,15. 
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1200 x 0,15 = 180 
O desconto na compra à vista da geladeira é de R$ 180,00, dessa forma, o preço seria de 1200 180 = R$ 1.020,00. 
Exemplo 2 
O atraso no pagamento de qualquer imposto ou até mesmo de prestações particulares gera multas que são calculadas 
com base em índices percentuais, regularizados pelos órgãos competentes. Qual o valor de uma prestação de R$ 550,00 
que foi paga com atraso de 10 dias, sabendo que sobre o valor deverá ser acrescentado 4% de multa? 
4% = 4/100 = 1/25 = 0,04 
Resolvendo de duas maneiras: 
1º) 550 x 4/100 = 2200/100 = 22 
2º) 550 x 0,04 = 22 
O acréscimo em razão do atraso será de R$22,00, portanto, a prestação passará de R$ 550,00 para R$ 572,00.
Porcentagem é uma razão do tipo a/b, em que b = 100. Note que sempre é possível obter essa razão utilizando a ideia 
de proporcionalidade ou de frações equivalentes. 
Por exemplo, em uma sociedade, se investimos uma fração de um valor inicial de R$ 1000.00, 
é equivalente a dizer que a nossa parte do investimento inicial foi de
quanto na forma de fração ( ) ou ainda, em forma textual, que nesse caso seria 40 em 100. 
A ideia de porcentagem é diretamente ligada aos assuntos financeiros, quando tratamos casos de juros ou descontos 
obtidos nas compras, taxas pagas por um serviço, taxa de imposto ou mesmo em taxas de variação de resultados. 
Lembrando que uma porcentagem é sempre sobre algum valor e não existe porcentagem isolada, isto significa que não 
faz sentido falar 20%. Precisamos deixar claro a que corresponde essa porcentagem. Ajuda muito fazer as seguintes 
perguntas: 20% de que? De qual valor? De desconto ou de juro?
Exemplo 1
Pense na situação em que você deseja comprar um jogo que custa R$150,00, mas se comprar à vista tem desconto de 
10%. Quanto você pagaria pelo jogo, comprando sem parcelar? 
Nesse caso, podemos escrever o problema da seguinte forma: 
Assim, o valor do seu desconto é R$15,00 e, então, o valor a ser pago corresponde a R$ 150,00 - R$ 15,00 = R$ 135,00. 
Exemplo 2 
Agora imagine que você quer comprar uma casa que à vista custa R$ 283.000,00. Mas você não tem todo esse dinheiro 
e suas economias somam apenas R$77.500,00. Sendo assim, você precisa recorrer a um empréstimo bancário. O banco 
cobra taxa de juros de 1,5% do valor emprestado, se o montante for pago em até um ano, e 2,5%, se for pago em até 
24 meses. Desse modo, para que você consiga pagar o empréstimo nesse período, quanto custará cada parcela? 
Primeiramente, vamos encontrar quanto você pegou emprestado, já que os juros são calculados sobre esse valor e não 
sobre o valor total da casa. Você tinha R$ 77.500 e precisava de R$ 283.000, então o valor emprestado foi de R$ 
283.000,00 - R$ 77.500,00 = R$ 205.500,00. Desse valor, vamos calcular quanto será acrescentado pelos juros. Para 
conseguir pagar o empréstimo em um ano, o valor do juro será: 
Então a dívida final será de R$ 205.500,00 + R$ 3.082,50 = R$ 208.582,50, que dividido em 12 meses, cada parcela 
ficaria no valor de R$ 208.582,50/12 = R$ 17.381,88. Mas esse valor de parcela é muito alto e você decide pagar em 
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2 anos. Então o valor da dívida será calculado com a taxa de juros de 3,5%. Assim, refazendo os cálculos acima, temos, 
juros= 3,5% de 205500 = R$7.192,50. Então o valor da dívida será calculado como sendo 
R$ 205500,00 + R$7.192,50 = R$ 212.692,50, que dividido por 24 meses, cada parcela sairia no valor de R$ 8.862,19. 
Essa parcela é mais viável, apesar de que o valor final pago é maior que quando é pago em um ano. 
Exemplo 3
Em bares e restaurantes é muito comum a cobrança de taxa de serviços. Embora não haja previsões legais no código 
de defesa do consumidor, essa taxa é estipulada em 10% do valor da conta. Assim, se em uma churrascaria o gasto 
foi de R$190,00, ao somar a taxa de serviços temos uma conta a ser paga de R$190,00+R$19,00=R$209,00. Agora, 
se esse valor já é o total, incluindo a taxa de serviços, o valor gasto pode ser calculado a partir de uma regra de três 
simples.Basta fazer , de onde temos que . E, portanto, o total gasto foi R$172,72.
Exemplo 4 
Numa determinada empresa, o faturamento de um mês para o mês seguinte aumentou em torno de 50% e, 
posteriormente, teve queda de 12%. Supondo que o faturamento inicial tenha sido de R$1.323.227,19, qual foi o valor 
faturado no final dos três meses? 
O aumento de 50% do faturamento deve ser calculado sobre o valor faturado inicialmente. Assim, no segundo mês, 
temos um aumento de: 
(50/100) *1.323.227,19 = 0.5*1.323.227,19 = 661.613,60. 
Então o faturamento foi de R$1.323.227,19 + R$661.613,60 = 1.984.840,79. 
Agora o percentual de queda não é mais calculado sobre o valor inicial e sim sobre o valor do faturamento no segundo 
mês. Como a porcentagem de queda foi de 12%, fazemos 0.12 * 1.984.840,79 = 238.180,89 e subtraímos do montante 
no segundo mês. Portanto, o faturamento final foi R$ 1.984.840,79 - R$ 238.180,89 = R$1.746.659,90 
Juros Simples e Compostos 
Regime De Juros Simples
O regime de juros simples não é muito utilizado pelo atual sistema financeiro nacional, mas ele se relaciona à cobrança 
em financiamentos, compras a prazo, impostos atrasados, aplicações bancárias, etc. Nesse regime, a taxa de juros é 
somada ao capital inicial durante o período da aplicação. O cálculo para juros simples é dado pela fórmula: 
J = PV x i x n 
J = Juro 
PV = Capital inicial, principal ou valor presente 
i = taxa de juros 
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n = número de períodos em que foi aplicado o capital 
No cálculo do juro simples, também chamado de juro comercial, o juro sob o capital aplicado é diretamente proporcional 
ao capital e o tempo de aplicação. Através da taxa de juros, irá variar ao longo do período. Assim, utiliza-se o ano 
comercial, sendo 360 dias no ano e 30 dias no mês. Ex.: 
Saiba Calcular Juros Simples
1) Qual o valor dos juros aplicados a um empréstimo de R$ 200, durante 6 meses, numa taxa de juros simples de 6% 
ao mês? 
Dados Encontrados: PV= R$ 200 
i = 6 %a.m. 
n = 6 meses 
J = ? 
Conversão Da Taxa De Juros: 
Resolução: 
Explicação Do Problema Em Juros Simples
os) 
Na soma dos juros durante seis meses temos R$ 72,00 de juros. Com esse exemplo, verifica-se que no cálculo de juros 
simples, os juros são iguais, pois ele sempre será acrescentado ao capital inicial. 
Importante 
Os períodos sempre devem estar na mesma unidade de tempo da taxa de juros: 
Taxa de Juros = 6% ao mês (a.m.) Número de Períodos= 6 meses 
Caso contrário, é preciso ajustar os elementos. Veja: 
Taxa de Juros = 0,06% ao semestre (a.s.) 
Número de Períodos
Cálculo De Juros Simples Em Períodos Não Inteiros
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Existem situações em que o prazo da aplicação é um número não inteiro, sendo preciso utilizar frações de períodos 
para que não haja erros no valor final. Supondo que o período de aplicação é 5 anos e 9 meses, é sugerido as seguintes 
soluções para transformá-lo de acordo com a taxa de juros: 
1) transformar o período para semestres ou meses: 69 meses ou 11,5 semestres. 
2) transformar o período e a taxa para a mesma unidade de tempo: 
Juro Exato 
O juro exato é utilizado quando o período de tempo da aplicação está expressa em dias ou quando é considerado o 
ano civil (365 dias ou 366 dias para ano bissexto) para a realização do cálculo. A fórmula a ser utilizada será: 
J = Pv.i.n / 365 
Saiba Calcular Juro Exato
1) Qual é o juro exato de um capital de R$ 20.000 aplicado por 40 dias à taxa de 30% ao ano? 
Dados Encontrados: PV= R$ 20.000 
i = 30 % a.a.n = 40 dias J = ? 
Conversão Da Taxa De Juros: 
Resolução: 
Juros Compostos 
Regime De Capitalização Composta
Esse regime é utilizado amplamente pelo sistema financeiro, no dia a dia e em diversos cálculos econômicos. 
Os juros são gerados em cada período e acrescentados ao capital principal para o cálculo dos juros no período posterior. 
Nesse regime, diz-se que os juros são capitalizados, pois a cada período o juro é adicionado ao capital inicial. 
Assim, não existe capitalização no regime de juros simples, pois apenas o capital inicial rende juros. 
Para o cálculo do juro composto é utilizado a seguinte fórmula: 
M= C (1+i) Saiba Calcular Juros Compostos
1) Qual será o montante de um empréstimo de R$ 200, durante 6 meses, numa taxa de juros composta de 6% ao mês? 
Dados Encontrados: PV= R$ 200 
i = 6 %a.m. N = 6 meses 
M = ? 
Conversão Da Taxa De Juros: 
Resolução: 
O que é Juro? 
APOSTILA DE MATEMÁTICA 
@empregosparauapebaspa
Geralmente, os juros são determinados pelo Copom (Comitê de Política Monetária), um órgão do Banco Central que 
estabelece as normas da política monetária e da taxa de juros. 
Todos os anos, durante as reuniões feitas pelos membros do Copom são definidos os índices de consumo e produção 
que afetam o crescimento do país. Eles publicam relatórios sobre a inflação e informam sobre a situação econômica do 
país. 
De acordo com Samanez (2002), em seu livro 'Matemática Financeira: Aplicações à Análise de Investimentos' 
a definição de juro é: 
Segundo essa definição, se aplico ou empresto capital a outrem, existe um valor adicional a ser cobrado pela utilização 
desse dinheiro. Por exemplo, ao aplicar um capital, em um período de tempo específico, ao final dessa aplicação o 
capital terá adquirido outro valor, chamado de montante. O montante é o capital aplicado mais os juros que foram 
acumulados durante o período da aplicação. 
O juro, também chamado de remuneração, rendimento ou juros ganhos é dado pela diferença entre o montante 
(M) e o capital (C). 
A fórmula utilizada para o cálculo dos juros é: J = C x i
Importante: 
No mercado financeiro, a taxa de juros sempre é dada na forma percentual, mas para a realização dos cálculos é preciso 
transformar a taxa em fracionária. Veja o quadro: 
Outro fato que deve ser considerado no cálculo dos juros é o tempo da aplicação. Se os meses forem de 30 dias, os 
juros são comerciais, referente aos anos comerciais (360 dias). Se for considerado o ano civil (365 dias), os juros
serão chamados de exatos. 
Saiba como calcular juros: 
1) Calcule os juros de uma aplicação de R$5.000 durante um ano à uma taxa simples de 25% a.a. 
Dados Encontrados: C = R$ 5.000 i = 25%a.a. J = ? 
Conversão Da Taxa De Juros: 
Resolução:
APOSTILA DE MATEMÁTICA 
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2) Descubra o montante do capital aplicado de R$ 2.600 durante um ano à taxa simples de 55% a.a. 
Dados Encontrados: C = R$ 2.600 i = 55%a.a. J = ? 
Conversão Da Taxa De Juros: 
Resolução: 
Juros Simples e Composto 
Ao longo dos tempos constatou-se que o problema econômico dos governos; das instituições; das organizações e dos 
indivíduos, decorria da escassez de produtos e/ou serviços, pelo fato de que as necessidades das pessoas eram 
satisfeitas por bens e serviços 
cuja oferta era limitada. Ao longo do processo de desenvolvimento das sociedades, o problema de satisfazer as 
necessidades foi solucionado através da especialização e do processo de troca de um bem pelo outro, conhecido como 
escambo. 
Mais tarde surgiu um bem intermediário, para este processo de trocas que foi a moeda. Assim, o valor monetário ou 
preço propriamente dito, passou a ser o denominador comum de medida para o valorizar os bens e os serviços e a 
moeda um meio de acúmulo deste valor constituindo assim a riqueza ou capital. 
Constatou-se assim, que os bens e os serviços poderiam ser consumidos ou guardados para o consumo futuro. Caso o 
bem fosse consumido ele desapareceria e, caso houvesse o acúmulo, surgiria decorrente deste processo o estoque que
poderia servir para gerar novos bens e/ou riqueza através do processo produtivo. 
E começou a perceber que os estoques eram feitos não somente de produtos, mas de valores monetários também, que 
se bem administrado poderiam aumentar gradativamente conforme a utilidade temporal. Surge-se daí a preocupação 
e a importância do acúmulo das riquezas em valores monetários comoforma de investimento futuro e aumento do 
mesmo conforme o surgimento das necessidades. 
Com o passar dos tempos essa técnica foi sendo melhorada e aperfeiçoada conforme as necessidades de produção e 
tão quanto à necessidade mercantis que aflorava cada vez mais tornando os produtores mais competitivos quanto ao 
aumento de oferta de suas produções. 
Atualmente a técnica utilizada para compreensão de como o capital se comporta em uma aplicação ao longo do tempo 
é realizado pela Matemática Financeira. De uma forma simplificada, podemos dizer que a Matemática Financeira é o 
ramo da Matemática Aplicada e/ou Elementar, que estuda o comportamento do dinheiro no tempo. A Matemática 
Financeira busca quantificar as transações que ocorrem no universo financeiro levando em conta, a variável tempo, 
quer dizer, o valor monetário no tempo (time value money). 
As principais variáveis envolvidas no processo de quantificação financeira são: o capital, a taxa de juros e o tempo. 
Capital
Capital é todo o acúmulo de valores monetários em um determinado período de tempo constituindo assim a riqueza 
como expresso anteriormente. Normalmente o valor do capital é conhecido como principal (P). A taxa de juro (i), é a 
relação entre os Juros e o Principal, expressa em relação a uma unidade de tempo. (n) 
Juros 
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Deve ser entendido como Juros, a remuneração de um capital (P), aplicado a uma certa taxa (i), durante um 
determinado período (n), ou seja, é o dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado. Portanto, Juros (J) = preço do 
crédito. 
A existência de Juros decorre de vários fatores, entre os quais destacam-se: 
a) inflação: a diminuição do poder aquisitivo da moeda num determinado período de tempo; 
b) risco: os juros produzidos de uma certa forma compensam os possíveis riscos do investimento. 
c) aspectos intrínsecos da natureza humana: quando ocorre de aquisição ou oferta de empréstimos a terceiros. 
Costuma-se especificar taxas de juros anuais, trimestrais, semestrais, mensais, entre outros, motivo pelo qual deve-se 
especificar sempre o período de tempo considerado. 
Quando a taxa de juros incide no decorrer do tempo, sempre sobre o capital inicial, dizemos que temos um sistema de 
capitalização simples (Juros simples). 
Quando a taxa de juros incide sobre o capital atualizado com os juros do período (montante), dizemos que temos um 
sistema de capitalização composta (Juros compostos). 
Na prática, o mercado financeiro utiliza apenas os juros compostos, de crescimento mais rápido (veremos adiante, que 
enquanto os juros simples crescem segundo uma função do 1º grau crescimento linear, os juros compostos crescem 
muito mais rapidamente segundo uma função exponencial). 
Juros Simples 
O regime de juros simples é aquele no qual os juros incidem sempre sobre o capital inicial. Este sistema não é utilizado 
na prática nas operações comerciais, mas, a análise desse tema, como introdução à Matemática Financeira, é de uma 
certa forma, importante. 
Considere o capital inicial P aplicado a juros simples de taxa i por período, durante n períodos. 
Lembrando que os juros simples incidem sempre sobre o capital inicial, podemos escrever a seguinte fórmula, facilmente 
demonstrável: 
J = juros produzidos depois de n períodos, do capital P aplicado a uma taxa de juros por período igual a i. 
No final de n períodos, é claro que o capital será igual ao capital inicial adicionado aos juros produzidos no período. O 
capital inicial adicionado aos juros do período é denominado MONTANTE (M). 
Logo, teríamos: 
Exemplo: 
A quantia de R$ 3.000,00 é aplicada a juros simples de 5% ao mês, durante cinco anos. Calcule o montante ao final 
dos cinco anos. 
Solução: Temos: P = 3000, i = 5% = 5/100 = 0,05 e n = 5 anos = 5 x 12 = 60 meses. 
Portanto, M = 3.000,00 x (1 + 0,05 x 60) = 3.000,00 x (1+3) = R$ 12.000,00. 
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A fórmula J = Pin, onde P e i são conhecidos, nos leva a concluir pela linearidade da função juros simples, senão 
vejamos: 
Façamos P.i = k. 
Teremos, J = k.n, onde k é uma constante positiva. (Observe que P . i > 0) 
Ora, J = k.n é uma função linear, cujo gráfico é uma semi-reta passando pela origem. (Porque usei o termo semi-reta 
ao invés de reta?). Portanto, J/n = k, o que significa que os juros simples J e o número de períodos n são grandezas 
diretamente proporcionais. 
Daí infere-se que o crescimento dos juros simples obedece a uma função linear, cujo crescimento depende do produto 
P.i = k, que é o coeficiente angular da semi-reta J = kn. 
É comum nas operações de curto prazo onde predominam as aplicações com taxas referenciadas em juros simples, ter-
se o prazo definido em número de dias. Nestes casos o número de dias pode ser calculado de duas maneiras: 
Pelo tempo exato, pois o juro apurado desta maneira denomina-se juro exato, que é aquele que é obtido quando 
o período (n) está expresso em dias e quando o período é adotada a conversão de ano civil (365 dias) 
Pelo ano comercial, pois o juro apurado desta maneira denomina-se juro comercial que é aquele calculado 
quando se adota como base o ano comercial (360 dias) Exercício Proposto 01: 
Calcule o montante ao final de dez anos de um capital R$ 10.000,00 aplicado à taxa de juros simples de 18% ao 
semestre (18% a.s). 
Resposta: R$ (?) 
Vimos anteriormente, que se o capital (P) for aplicado por (n) períodos, a uma taxa de juros simples (i), ao final dos n 
períodos, teremos que os juros produzidos serão iguais a J = Pin e que o montante (capital inicial adicionado aos juros 
do período) será igual a M = P(1 + in). 
O segredo para o bom uso destas fórmulas é lembrar sempre que a taxa de juros i e o período n têm de ser referidos 
à mesma unidade de tempo. 
Assim, por exemplo, se num problema, a taxa de juros for i =12% ao ano = 12/100 = 0,12 e o período n = 36 meses, 
antes de usar as fórmulas deveremos colocá-las referidas à mesma unidade de tempo, ou seja: 
a) 12% ao ano, aplicado durante 36/12 = 3 anos, ou 
b) 1% ao mês = 12%/12, aplicado durante 36 meses, etc. 
Exemplos: 
M = P + J = P + P.i.n = P(1 + i.n)
0
1º 2º 3º 4º
m
ese
s
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01 Quais os juros produzidos pelo capital R$ 12.000,00 aplicados a uma taxa de juros simples de 10% ao bimestre 
durante 5 anos? 
Solução 01: 
Temos que expressar i e nem relação à mesma unidade de tempo. 
Vamos inicialmente trabalhar com BIMESTRE (dois meses): 
i = 10% a.b. = 10/100 = 0,10 
n = 5 anos = 5 x 6 = 30 bimestres (pois um ano possui 6 bimestres) 
Então: J = R$ 12.000,00 x 0,10 x 30 = R$ 36.000,00 
Solução 02: 
Para confirmar, vamos refazer as contas, expressando o tempo em meses. 
Teríamos: i = 10% a x b = 10/2 = 5% ao mês = 5/100 = 0,05 n = 5 anos = 5 x 12 = 60 meses 
Então: J = R$ 12.000,00 x 0,05 x 60 = R$ 36.000,00 
02 Um certo capital é aplicado em regime de juros simples, a uma taxa mensal de 5%. Depois de quanto tempo este 
capital estará duplicado? 
Solução 01: 
Temos: M = P(1 + in). Logo, o capital estará duplicado quando M = 2P. Logo, vem: 
2P = P(1 + 0,05n); (observe que i = 5% a.m. = 5/100 = 0,05). Simplificando, fica: 
2 = 1 + 0,05n 1 = 0,05n, de onde conclui-se n = 20 meses ou 1 ano e oito meses. 
Exercício Proposto 02: 
Um certo capital é aplicado em regime de juros simples, a uma taxa anual de 10%. Depois de quanto tempo este capital 
estará triplicado? 
Resposta: (?) anos. 
2. Tratamento da informação: interpretação de situações apresentadas na forma de 
tabela ou gráfico
Gráficos e Tabelas 
Os gráficos são recursos utilizados para representar um fenômeno que possa ser mensurado, quantificado ou ilustrado 
de forma mais ou menos lógica. Assim como os mapas indicam uma representação espacial de um determinado 
acontecimento ou lugar, os gráficos apontam uma dimensão estatística sobre um determinado fato. 
Por esse motivo, interpretar corretamente os gráficos disponibilizados em textos, notícias,entre outras situações, é de 
suma importância para compreender determinados fenômenos. Eles, geralmente, comparam informações qualitativas 
e quantitativas, podendo envolver também o tempo e o espaço. 
Existe uma grande variedade de tipos de gráficos, dentre os quais podemos destacar os de coluna, em barras, pizza, 
área, linha e rede. 
Gráficos De Coluna 
Juntamente aos gráficos em barra, são os mais utilizados. Indicam, geralmente, um dado quantitativo sobre diferentes 
variáveis, lugares ou setores e não dependem de proporções. Os dados são indicados na posição vertical, enquanto as 
divisões qualitativas apresentam-se na posição horizontal. 
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Gráfico em colunas apontando as maiores populações do mundo por país 
Gráficos em barra 
Possuem basicamente a mesma função dos gráficos em colunas, com os dados na posição horizontal e as informações 
e divisões na posição vertical. 
Gráfico em barras indicando a taxa de mortalidade infantil no Brasil 
Gráficos Em Pizza 
É um tipo de gráfico, também muito utilizado, indicado para expressar uma relação de proporcionalidade, em que todos 
os dados somados compõem o todo de um dado aspecto da realidade. 
Gráfico em pizza com a distribuição da água e da água doce no mundo 
Semelhantes aos gráficos de pizza, existem os gráficos circulares. A lógica é a mesma, a divisão de uma esfera em 
várias partes para indicar as diferentes partes de um todo em termos proporcionais. 
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Gráficos Em Linhas 
O gráfico de linha é utilizado para demonstrar uma sequência numérica de um certo dado ao longo do tempo. É indicado 
para demonstrar evoluções (ou regressões) que ocorrem em sequência para que o comportamento dos fenômenos e 
suas transformações seja observado. 
Distribuição residencial da população brasileira em um exemplo de gráfico em linhas 
Gráfico De Áreas 
É semelhante ao gráfico em linhas, diferenciando-se apenas por evidenciar uma noção de proporção sobre o todo. É 
também usado para apontar a relação dos diferentes dados entre si. 
Gráfico ilustrativo sobre as taxas populacionais em casos de transição demográfica 
Gráfico Em Rede 
Esse tipo de gráfico não é tão comum na disciplina geográfica, sendo mais frequentemente utilizado para medição de 
termos especificamente estatísticos e até em jogos de videogames, on-line ou do tipo RPG. Sua utilidade é comparar 
valores distintos de uma mesma variável. 
Gráfico em rede sobre a distribuição das atividades no meio rural em um país fictício. Além desses tipos acima 
apresentados, existem outras várias formas de representar dados e informações sobre a realidade. O mais importante, 
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além de conhecer cada tipo de gráfico, é procurar observar com calma todos os dados fornecidos para uma correta 
leitura das informações disponíveis. Evolução do número de alunos da escola. 
Esse exemplo revela claramente que para cada informação que se quer comunicar há uma linguagem mais adequada-
aí se incluem textos, gráficos e tabelas. "Eles são usados para facilitar a leitura do conteúdo, já que apresentam as 
informações de maneira mais visual", explica Cleusa Capelossi Reis, formadora de Matemática da Secretaria Municipal 
de Educação de São Caetano do Sul, na Grande São Paulo. 
Logo no início do Ensino Fundamental, as crianças precisam aprender a ler e interpretar esses tipos de recurso com o 
qual elas se deparam no dia a dia. Além disso, esse é um conteúdo importante da Matemática que vai acompanhá-las 
durante toda a escolaridade no estudo de diversas disciplinas. 
Um Gráfico Mais Adequado Para Cada Tipo De Informação Barras 
Usado para comparar dados quantitativos e formado por barras de mesma largura e comprimento variável, pois 
dependem do montante que representam. A barra mais longa indica a maior quantidade e, com base nela, é possível 
analisar como certo dado está em relação aos demais. 
Os Prédios Mais Altos Do Mundo 
As espécies animais ameaçadas de extinção na mata Atlântica 
Setor 
Útil para agrupar ou organizar quantitativamente dados considerando um total. A circunferência representa o todo e é 
dividida de acordo os números relacionados ao tema abordado. Evolução do desmatamento na região da Amazônia. 
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Linhas 
Apresenta a evolução de um dado. Eixos na vertical e na horizontal indicam as informações a que se refere e a linha 
traçada entre eles, ascendente, descendente constante ou com vários altos e baixos mostra o percurso de um fenômeno 
específico. 
Regularidades ajudam A Compreender Os Fenômenos 
Existem vários tipos de gráficos (como os de barras, de setor e de linha) e tabelas (simples e de dupla entrada). O uso 
de cada um deles depende da natureza das informações. É importante que os alunos sejam apresentados a todos eles 
e estimulados a interpretá-los. "Aqui tem mais quantidade porque esta torre (barra) é maior que a outra" e "a pizza 
está dividida em três partes. Então são três coisas representadas" são falas comuns e que revelam o quanto a turma já 
sabe a respeito. 
Na EMEB Donald Savazoni, na capital paulista, Cláudia de Oliveira pediu que os estudantes do 3º ano pesquisassem 
gráficos e tabelas em diversos portadores de texto, como os jornais, e analisou o material com eles. Além dos diferentes 
visuais, ela trabalhou elementos imprescindíveis, como o título (que indica o que está sendo representado), a fonte 
(que revela a origem das informações) e, no caso dos gráficos, especificamente, a legenda (que decodifica as cores, 
por exemplo). 
De que assunto trata o gráfico? Quantos dados são apresentados? Como eles aparecem? Esses são questionamentos 
pertinentes para fazer aos alunos. Essas intervenções, apoiadas em exemplos, são uma forma de encaminhar a turma 
a notar que há certas regularidades que permitem a interpretação independentemente do conteúdo. Por exemplo: num 
gráfico de barras verticais, é a altura que mostra a variação de quantidade e não a largura das barras. No caso dos 
eixos, presentes no gráfico de barras e no de linhas, os intervalos entre as marcações são sempre do mesmo tamanho. 
Isso serve para garantir a proporcionalidade das informações apresentadas. 
Quanto às tabelas, há diversas formas de usá-las para organizar as informações. Elas podem aparecer em ordem 
crescente ou decrescente, no caso de números, ou em ordem alfabética, quando são compostas de nomes, por exemplo. 
Ao selecionar o material para trabalhar em sala, lembre-se de atentar para a complexidade de cada um. "Quanto mais 
informações reunirem, mais complicados são. Para essa faixa etária, melhor usar material com poucos dados, dando 
preferência aos números absolutos", explica Leika Watabe, assessora técnica educacional da Secretaria Municipal de 
Educação de São Paulo. 
Escolher temas e assuntos que fazem parte do universo da garotada também é importante. Para as crianças do 3º ano, 
Cláudia organizou um estudo do tempo de vida de uma série de animais e organizou os dados em uma tabela e um 
gráfico de barras. Na tabela, elas tinham de identificar o assunto tratado e verificar as informações sobre os bichos, 
relacionando os dados. Depois, compararam no gráfico as diferenças entre a expectativa de vida de cada um deles. Por 
fim, a educadora propôs alguns problemas para que todos calculassem a diferença de idade entre dois animais. Os 
alunos confrontaram os resultados com o gráfico e concluíram que os valores eram proporcionais ao intervalo entre as 
barras que representavam os bichos. 
Importante: gráficos e tabelas podem ser explorados com muitos conteúdos, de diversas disciplinas - desde que o 
material não seja simplesmente exposto em um cartaz na sala. Trabalhar a interpretação é fundamental. Somente com 
essa estratégia em jogo, o grupo vai criar familiaridade com esse tipo de representação, se apropriar dele com segurança 
e seguir em frente, construindoseus próprios gráficos e tabelas. 
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Simples 
Usada para apresentar a relação entre uma informação e outra (como produto e preço). É formada por duas colunas 
e deve ser lida horizontalmente. 
De Dupla Entrada 
Útil para mostrar dois ou mais tipos de dado (como altura e peso) sobre um item (nome). Deve ser lida na vertical e na 
horizontal simultaneamente para que as linhas e as colunas sejam relacionadas. 
De Dupla Entrada 
 
MEDIDAS DE COMPRIMENTO 
As medidas de comprimento são mecanismos de medição eficazes, uma vez que utilizam como recurso medidas 
convencionais, tais como milímetro, centímetro, metro, quilômetro. 
Elas foram criadas justamente para mitigar a probabilidade de ocorrência de erros no momento em que era necessário 
mensurar as coisas. 
Aqui você vai conhecer essas unidades de medida e vai aprender como calcular cada uma delas. 
Metro 
A medida base no Sistema Internacional de Medidas (SI) é o metro. O metro possui múltiplos, que correspondem a 
grandes distâncias e submúltiplos, que por sua vez correspondem a pequenas distâncias. 
Assim, são múltiplos do metro: quilômetro (km), hectômetro (hm) e decâmetro (dam). 
Enquanto são submúltiplos do metro: decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm). 
Como vimos, os múltiplos do metro são as grandes distâncias. Eles são chamados de múltiplos porque resultam de uma 
multiplicação que tem como referência o metro. 
Os submúltiplos, ao contrário, como pequenas distâncias, resultam de uma divisão que tem igualmente como referência 
o metro. Eles aparecem do lado direito na tabela acima, cujo centro é a nossa medida base - o metro. 
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Durante o cálculo em algum problema ou até mesmo no dia a dia pode ser necessário realizar a conversão de um dos 
múltiplos e submúltiplos do metro para outro. 
Dessa forma, para converter de uma unidade maior para outra menor basta multiplicar por 10. Para converter de uma 
unidade menor para uma maior basta dividir por 10. Veja o esquema na imagem a seguir: 
Exemplo: 
Assim, se quisermos converter 1 km para metro devemos multiplicar por 10 três vezes. 
; 
1 km . 10 . 10 . 10 = 1000 m. 
Obviamente, caro leitor, você já sabe fazer isso de cabeça, correto? É apenas para demonstrar como é na prática. 
Exemplo: 
Agora um exemplo mais difícil, converter 120 km em centímetro: 
; 
120 km . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 12.000.000 cm
Exemplo: 
Outro exemplo é converter 1200 mm para metro: 
1200 mm ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 = 1,2 m
Perceba que para converter de unidades maiores para menores nós multiplicamos por 10, e para converter de unidades 
menores para maiores nós dividimos, como já mencionamos acima. 
3. Raciocínio lógico
O que é uma Proposição?
Proposição: É uma sentença declarativa, seja ela expressa de forma afirmativa ou negativa, na qual podemos atribuir 
alguns exemplos:
Brasília é a capital do Brasil É uma sentença declarativa expressa de forma afirmativa. Podemos atribuir um valor 
A argentina não é um país pertencente ao continente Africano É uma sentença declarativa expressa na forma negativa. 
Todos os homens são mortais É uma sentença declarativa expressa na forma afirmativa. Podemos atribuir um valor 
lógico, como a sentença é verdadeira, seu valor
10 é um número par positivo É uma sentença declarativa expressa na forma afirmativa. Podemos atribuir um valor 
7+5 = 10 É uma sentença declarativa expressa na forma afirmativa. Podemos atribuir um valor lógico, como a 
x -2=5 
-
Vejamos;
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@empregosparauapebaspa
Para todo x, x pertencente aos Z (números inteiros), x-2=5. É uma proposição pois agora podemos atribuir-lhe um 
Agora que sabemos o que são proposições, automaticamente as sentenças que não são proposições são;
Sentenças Exclamativas:
Poemas
proposição bastaremos usar os chamados .
Passaremos agora para o estudo dos princípios que regem as Proposições:
1. Princípio da Identidade: Uma proposição Verdadeira é Verdadeira, e uma proposição Falsa é Falsa
2. Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição ou é verdadeira ou falsa não existindo uma terceira 
possibilidade.
3. Princípio da Não-Contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente.
Representação das proposições: As proposições são representadas por letras minúsculas. Gera
Classificações das proposições logicas 
As proposições lógicas podem ser classificadas em dois tipos:
Proposição simples - São representadas de forma única. Ex: O cachorro é um mamífero
Proposição composta - São formadas por um conjunto de proposições simples, ( duas ou mais proposições 
Ex: Brasília é a capital do Brasil ou Lima é a capital do Peru.
Podemos ver que atribuir um valor lógico para uma proposição simples é fácil, mas e para uma proposição composta 
como faremos isso?
Utilizaremos um recurso chamado de tabelas verdade.
As tabelas verdade são usadas para representar todos os valores lógicos possíveis de uma proposição. Voltemos ao 
exemplo anterior.
Brasília a na tabela verdade, temos:
Sabendo que uma tabela verdade é a representação de todas as possibilidades lógicas de uma proposição, agora 
vamos estudar os conectivos lógicos que ligam as proposições compostas para sim podermos analisar os valores 
lógicos de uma proposição composta.
Conectivos Lógicos
Operação Conectivo Estrutura Lógica Exemplos
Negação ¬ Não p A bicicleta não é azul
P
V
F
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Conjunção ^ P e q Thiago é 
médico e João é 
Engenheiro
Disjunção Inclusiva v P ou q Thiago é 
médico ou João é 
Engenheiro
Disjunção Exclusiva v Ou p ou q Ou Thiago é 
Médico ou João é 
Engenheiro
Condicional Se p então q Se Thiago é 
Médico então João é 
Engenheiro
Bicondicional P se e somente se q Thiago é médico se e 
somente se João é 
Engenheiro
Conjunção: Vimos pela tabela acima que a operação da conjunção liga duas ou mais proposições simples pelo 
e
Irei ao cinema e ao clube. Vamos montar a tabela verdade para a proposição composta destacando todas as valorações 
possíveis.
Conjunção: p^q(p e q)
P Q P ^ Q
V V V
V F F
F V F
F F F
P: Irei ao cinema
Q: Irei ao clube
Disjunção Inclusiva: Vimos que a operação da disjunção inclusiva liga duas ou mais proposições simples pelo 
Dar-te-ei uma camisa ou um calção. Vamos montar a tabela verdade para a proposição composta destacando todas as 
valorações possíveis.
Disjunção: p v q (p ou q)
P Q P v Q
V V V
V F V
APOSTILA DE MATEMÁTICA 
@empregosparauapebaspa
F V V
F F F
P: Dar-te-ei uma camisa
Q: Dar-te-ei um calção
Disjunção Exclusiva:
Ex: Ou irei jogar basquete ou irei à casa de João
Montando a tabela verdade teremos
Disjunção Exclusiva: p v q (ou p ou q)
P Q P v Q
V V F
V F V
F V V
F F F
P: Irei Jogar Basquete
Q: Irei à casa de João
Observe a diferença entre a disjunção inclusiva e 
a proposição resultante desta operação será falsa.
Condicional; Vimos que a estrutura condicional refere-
Ex:Se nasci em Salvador , então sou Baiano.
P: Nasci em salvador
Q: Sou Baiano
Nesta estrutura vale destacar os termos suficiente e necessário
Observe que:
Se nasci em Salvador suficientemente sou Baiano, Agora, se sou Baiano necessariamente nasci em Salvador
Regra: O que esta a esquerda da seta é sempre condição suficiente e o que está à direita é sempre condição 
necessária. q).
Tabela Verdade da estrutura condicional.
q (Se... então)
P Q Q
V V V
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@empregosparauapebaspa
V F F
F V V
F F V
Observe que a condicional só será falsa se a antecedente (lado esquerdo da seta) for verdadeiro e a consequente (lado 
direito) da seta for falso.
Bicondicional
Observe que; 
Ex:
4 é maior que 2 se e somente se 2 for menor que 4 .
P: 4 é maior que 2
Q: 2 é menor que 
Temos que a Bicondicional é equivalente á:
Q (Se 4 é maior que 2, então 2 é menor que 4)
P( Se 2 é menor que 4, então 4 é maior que 2)
A Bicondicional expressa uma condição suficientee necessária.
4 ser maior que 2 é condição suficiente e necessária para 2 ser menor do que 4.
Tabela Verdade
q ( p se e somente se q)
P Q P Q
V V V
V F F
F V F
F F V
A proposição resultante da bicondicional só será falsa se as proposições individuais possuírem valoração diferente.
Negação: ¬p
P: O Brasil é um País pertencente a América do Sul.
¬P: O Brasil não é um País pertencente a América do Sul
Q: X é Par 
¬Q:X não é par
As tabelas verdades são apenas um meio de saber a valoração das proposições consideradas, não há a necessidade de 
serem decoradas, uma vez que são fáceis de serem entendidas. Porém existem pessoas que acham mais fácil decorá-
las, enfim vai do pensamento de cada um.
Analisemos a sentença como uma promessa
 E
O que se espera dessa proposição (promessa)?
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@empregosparauapebaspa
Que o indivíduo vá para a argentina e também para o Chile ( V e V= V V
Agora;
Suponhamos que ele só vá a Argentina e não vá ai Chile ( V e F = F F
Suponhamos que ele não vá a Argentina e somente vai ao Chile ( F e V = F) Promessa descumprida,
Suponhamos que ela não vá a Argentina nem ao Chile (F e F F
TABELA VERDADE
Para determinar o valor (verdade) das proposições compostas, conhecidos as proposições simples que as compõem, 
usaremos tabela verdade.
O número de linhas de uma tabela verdade é dada por 2n onde n representa o número de proposições simples.
Exemplos
Se temos uma proposição simples do tipo Melissa é teimosa teremos então uma única proposição (n=1). Assim a tabela 
verdade terá 21 = 2 linhas.
Sendo p e q proposições, a tabela verdade têm-se: 22 = 4 linhas 
Sendo p, q e r proposições, a tabela verdade têm-se: 23 = 8 linhas 
Exemplos: considerando uma proposição simples P teremos uma coluna e duas linhas.
Considerando duas proposições P e Q
A seguir veremos a construção da tabela verdade para cada um dos cincos conectivos lógicos e a aplicação nas soluções 
dos exercícios.
1) Disjunção não exclusiva: (ou) 
2) Disjunção exclusiva: (ou ....ou...) 
F F F
3) Conjunção: (e) 
P Q P ^ Q
V V V
V F F
F V F
F F F
4) Condicional: (se......então) 
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P Q
Q
V V V
V F F
F V V
F F V
Importante: a proposição p é chamada de condição suficiente e q é chamada de condição necessária.
Esse conectivo é mais frequente em questões e portanto deve ser analisado em detalhes.
1) Se A, B. . 
2) B, se A. 
3) Quando A, B. 
4) A implica B. 
5) Todo A é B
6) A é condição suficiente para B.
7) B é condição necessária para A.8) A somente se B.
1) Se chove, fico molhado. 
2) Fico molhado, se chove. 
3) Quando chove, fico molhado. 
4) Chover implica ficar molhado. 
5) Toda vez que chove, fico molhado 6)Chover é condição suficiente para fico molhado. 
6) Ficar molhado é condição necessária para chover. 
7) Chove somente se fico molhado.
5) Bicondicional: se e somente se 
P Q
Q
V V V
V F F
F V F
F F V
Importante: p é uma condição necessária e suficiente para q e q é uma condição necessária e suficiente para 
p.
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Podem- xpressões: 
1. A se e só se B. 
2. Se A então B e se B então A. 
3. A implica B e B implica A. 
4. Todo A é B e todo B é A. 
5. A somente se B e B somente se A. 
6. A é condição suficiente e necessária para B. 
7. B é condição suficiente e necessária para A.
3. EQUIVALENCIA LÓGICA
Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes ou simplesmente equivalentes quando satisfazem 
às duas condições seguintes:
Uma consequência prática da equivalência lógica é que ao trocar uma dada proposição por qualquer outra que 
lhe seja equivalente, estamos apenas mudando amaneira de dizê-la.
A equivalência lógica entre duas proposições, A e B, pode ser representada simbolicamente como: (lê-
se: A é equivalente a B).
r) V s. 
Solução: observe que a proposição A apresenta uma proposição r que não existe em B; isso já é suficiente 
para dizermos que A e B não são equivalentes.
Com a finalidade de acelerar a solução dos exercícios devemos gravar os principais casos de equivalências 
lógicas cobrados pelas bancas examinadoras. São eles:
1 - CONDICIONAL: existem duas proposições equivalentes a ela.
a) (chamada de contrapositiva)
b) bastardinha
se beber então não fume
equivalentes a ela:
1) contra positiva se for dirigir não beba não beba ou não dirija
2 - DISJUNÇÃO NÃO EXCLUSIVA: existem duas proposições equivalentes a ela.
a)
b) P V Q =
gosto de fruta ou de doce
Podemos criar outras duas proposições equivalentes a ela:
1) Se não gosto de fruta então gosto de doce
2) Se não gosto de doce então gosto de fruta. 
Exercício resolvido:
Uma proposição X é dita logicamente equivalente a uma outra, Y, quando ocorrer que elas tenham sempre o 
mesmo valor lógico, ou seja, sempre que uma das duas é verdadeira a outra também é verdadeira e sempre que uma 
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das duas é falsa a outra também é falsa. Com base nesta definição assinale a única proposição abaixo que não é 
a) Todo A é B.
b) A é condição suficiente para B.
c) Se B então A.
d) Se não B então não A.
e) B é condição necessária para A.
Resposta: C 
3.1 NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
Um problema de grande importância para a lógica é o da identificação de proposições equivalentes à negação 
de uma proposição dada. Negar uma proposição simples é uma tarefa que não oferece grandes obstáculos. Entretanto 
podem surgir algumas dificuldades quando procuramos identificar a negação de uma proposição composta.
Como vimos anteriormente, a negação de uma proposição deve ter sempre valor lógico oposto ao da proposição 
dada. Deste modo, sempre que uma proposição A for verdadeira, a sua negação ~A deve ser falsa e sempre que A
for falsa, ~A deve ser verdadeira.
Em outras palavras a negação de uma proposição deve ser contraditória com a proposição dada.
o significado de negação.
A seguir veremos os casos principais de negação de proposições compostas. É fundamenta-la memorização 
dessas regras para se acertar os problemas de negação, muito frequentes nas provas de raciocínio lógico.
Negação das proposições compostas
Observe os exemplos abaixo:
A: Ela estudou muito ou teve sorte na prova.
~A: Ela não estudou muito e não teve sorte na prova.
B: O tempo será frio e chuvoso.
~B: O tempo não será frio ou não será chuvoso.
C: Se o tempo está chuvoso então está frio.
~C: O tempo está chuvoso e não está frio.
Leis de Morgan
~(~A v ~ B) = A ^ B
~(~A ^ ~ B ) = A V B
Exercício resolvido
Sejam as proposições p:João é inteligente e q:Paulo joga tênis Então, ~ (~p v q ), em linguagem 
corrente, é: 
a) João é inteligente ou Paulo não joga tênis. 
~ (A V B) ~A ^ ~B
~ (A ^ B) ~A v ~B
A ^ ~B
~(A VB)
A V B
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b) João é inteligente e Paulo não joga tênis. 
c) João não é inteligente e Paulo não joga tênis. 
d) João não é inteligente ou Paulo joga tênis. 
e) João é inteligente ou Paulo joga tênis.
Solução: ~ (~p v q ) = p ^ ~q 
João é inteligente e Paulo não joga tênis. 
(Alternativa b)
4. PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS DIAGRAMAS LÓGICO
Em algumas situações, símbolos matemáticos são usados para facilitar a compreensão e o estudo de temas mais 
teóricos, inclusive de outras áreas, como a Lógica Matemática. Os diagramas de Venn são ferramentas utilizadas para 
facilitar o estudo de sentenças lógicas argumentativas. Veja os exemplos:
Exemplo: todo mamífero é um animal.
Podemos ter 2 possibilidades de representação em forma de diagramas. 
Todo elemento de A é elemento de B ou seja A B
 Caso genérico Caso particular
Algum A é B
Exemplo: algum número par é primo.
Essa proposição nos leva a pensar em 4 possibilidades de 
Exemplo: algum pesquisador não é professor. 
Podemos ter 3 possibilidades de representação existe elemento de A que nãofaz parte de B. 
Caso genérico Caso particular
Quando dizemos algum não podemos deixar de pensar na possibilidade de serem todos.
Diagramas
B
A
A = B
B
A
BA
Diagramas
B
A
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Exemplo: nenhum número par é impar
Esta proposição afirma que A e B são dois conjuntos disjuntos ( intersecção vazia ).
 representação (diagramas)
5. LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO
Chama-se argumento a afirmação de que um grupo de proposições iniciais redunda em uma outra proposição 
final, que será consequência das primeiras. 
Dito de outra forma, argumento é a relação que associa um conjunto de proposições P1, P2,.......Pn, chamadas 
premissas do argumento, a uma proposição C, chamada de conclusão do argumento. No lugar dos termos premissa 
e conclusão podem ser também usados os correspondentes hipótese e tese, respectivamente. 
Vejamos alguns exemplos de : 
Exemplo 
1) P1: . 
P2: . C: . 
2) P1: . 
P2: . 
C: . 
Existem argumentos com apenas uma premissa e uma conclusão. Veja o exemplo: 
A
B
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Premissa: Todos os peixes precisam de água. 
Conclusão: este peixe também precisa de água. 
Importante dizer que nem sempre a conclusão é a última proposição. 
Observe o exemplo: 
Organizando o argumento teríamos:
P1: há nuvens no céu.
P2: sempre chove quando há nuvens no céu. C:hoje vai chover.
Da mesma forma nada impede que a conclusão seja colocada entre duas premissas. Veja o seguinte argumento; 
Organizando o argumento teríamos: P1: Roberto faltou a mais da metade das aulas P2: Roberto 
tem frequência inferior a 50%.
C: Roberto reprovou por faltas.
5.1 FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DO ARGUMENTO 
1ª forma: Premissa 1.Premissa 2 | Conclusão 
2ª forma: Premissa 1
Premissa 2 __________
Conclusão 
O tipo de argumento ilustrado nos exemplos anteriores é chamado silogismo.
Silogismo é o argumento formado por duas premissas e a conclusão.
5.2 TIPOS DE ARGUMENTO: DEDUTIVO E INDUTIVO
Dedutivo
Argumento dedutivo é aquele que parte de proposições cada vez mais universais para proposições 
particulares, proporcionando o que chamamos de demonstração, pois que sua inferência (a conclusão é extraída das 
premissas) é a inclusão de um termo menos extenso em outro de maior extensão. De forma mais prática partindo do 
genérico concluímos o particular.
dedutivo
Os seguintes exemplos podem elucidar melhor:
Exemplo 1 
Todo homem é mortal.
João é homem
Logo, João é mortal.
Observe que no primeiro exemplo o argumento parte de uma premissa universal para uma conclusão com 
proposição particular (porque a segunda premissa é também particular)
Exemplo 2 
Todo brasileiro é mortal 
Todo paulista é brasileiro.
Logo, todo paulista é mortal.
GERAL PARTICULAR
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@empregosparauapebaspa
No segundo argumento, todas as premissas, bem como a conclusão, são universais. No entanto, em ambos ocorrem a 
inferência, pois que os termos dados (mortal, homem e João primeiro argumento, mortal, brasileiro e paulista segundo 
argumento) possuem uma relação de extensão entre si que vai do maior termo (geral), passando pelo médio (através 
do qual há mediação) e chegando, por fim, ao termo menor (particular).
Indutivo
O segundo tipo de argumento é o indutivo. Esta parte de proposições particulares ou com termos relativamente 
menores do que os que estão na conclusão, e chega a termos mais universais ou mais extensos. Veja os exemplos 
abaixo:
 
 
indutivo
Exemplo 1
O ferro conduz eletricidade. O ouro conduz eletricidade. O chumbo conduz eletricidade. 
A prata conduz eletricidade. 
Logo, todo metal conduz eletricidade. 
Exemplo 2 Todo cão é mortal.
Todo gato é mortal.
Todo peixe é mortal.
Todo pássaro é mortal.
Logo, todo animal é mortal.
Portanto, são duas as formas de se fazer argumentos: por dedução ou por indução. Cada uma é aplicada 
segundo as necessidades da investigação e a natureza do problema suscitado pela razão humana.
5.3 ARGUMENTO VÁLIDO
Dizemos que um argumento é válido (ou ainda legítimo ou bem construído), quando a sua conclusão é uma 
consequência obrigatória do seu conjunto de premissas. 
Veremos em alguns exemplos adiante que as premissas e a própria conclusão poderão ser visivelmente falsas 
(e até absurdas!), e o argumento, ainda assim, será considerado válido. Isto pode ocorrer porque, na Lógica, o estudo 
dos argumentos não leva em conta a verdade ou a falsidade das premissas que compõem o argumento, mas tão 
somente a validade deste. 
A validade de um argumento não tem nada a ver com o fato das premissas e a conclusão serem falsas ou 
verdadeiras (no mundo real).
Exemplo: Considere o argumento
P1: Todos os homens são pássaros. 
P2: Nenhum pássaro é animal. 
C: Portanto, nenhum homem é animal. 
O argumento está perfeitamente bem construído, sendo, portanto, é um argumento válido, muito embora a 
veracidade das premissas e da conclusão sejam totalmente questionáveis. 
PARTICULAR GERAL
APOSTILA DE MATEMÁTICA 
@empregosparauapebaspa
Como saber que um determinado argumento é mesmo válido? 
Uma forma simples e eficaz de comprovar a validade de um argumento é utilizando-se de diagramas de conjuntos. 
Trata-se de um método muito útil e que será usado com frequência em questões que pedem a verificação da validade 
de um argumento qualquer. Vejamos como funciona, usando esse exemplo abaixo: 
Quando se afirma, na premissa P1
da seguinte maneira:
Pássaros
Homens
Observem que todos os elementos do conjunto menor (homens) estão incluídos, ou seja, pertencem ao 
conjunto maior (dos Todo A é B
Dois conjuntos, um dentro do outro, estando o conjunto menor a representar o grupo de quem se segue à 
palavra . 
Façamos a representação gráfica da segunda premissa. 
desta 
sentença é . E a ideia que ela exprime é de uma total entre os dois conjuntos. Vejamos como 
fica sua representação gráfica:
Pássaro Animal
Será sempre assim a representação gráfica de uma sentença 
nenhum ponto em comum. 
Tomemos agora as representações gráficas das duas premissas vistas acima e as analisemos em conjunto. Teremos:
Agora, comparemos a conclusão do nosso argumento homem é animal com o desenho das 
premissas acima. E aí? Será que podemos dizer que esta conclusão é uma consequência necessária das premissas? Claro 
que sim! Observemos que o conjunto dos homens está totalmente separado (total dissociação!) do conjunto dos animais. 
Resultado: este é um argumento válido!
5.4 ARGUMENTO INVÁLIDO
Dizemos que um argumento é inválido também denominado ilegítimo, mal construído, falacioso ou sofisma 
quando a verdade das premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão. 
Pássaros
Homens Animal
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@empregosparauapebaspa
Entenderemos melhor com um exemplo. 
Exemplo: 
Veremos a seguir que este é um argumento inválido, falacioso, mal construído, pois as premissas não garantem 
(não obrigam) a verdade da conclusão. 
Melissa pode gostar de chocolate mesmo que não seja criança, pois a primeira premissa não afirmou que somente 
as crianças gostam de chocolate. 
Da mesma forma que utilizamos diagramas de conjuntos para provar a validade do argumento anterior, 
provaremos, utilizando-nos do mesmo artifício, que o argumento em análise é inválido. Vamos lá:
Comecemos pela primeira p
representa graficamente esse tipo de estrutura. Teremos:
Chocolate Criança
é pegar o 
diagrama acima (da primeira premissa) e nele indicar onde poderá estar localizada a Melissa, obedecendo ao que consta 
nesta segunda premissa. 
Vemos facilmente que a Melissa só não poderá estar dentro do conjunto das crianças. É a única restrição que 
faz a segunda premissa! Isto posto, concluímos que a Melissa poderá estar em dois lugares distintos do diagrama: 
1º) Fora do conjunto maior; 
2º) Dentro do conjunto maior (sem tocar o conjunto das crianças). 
Vejamos:
Olhando para o desenho acimaobservamos que pode ser que ela goste de chocolate, mas também pode ser 
que não goste (caso esteja fora do retângulo grande). 
Assim, temos então um argumento considerado inválido uma vez que as premissas não nos permitem chegar a 
conclusão nenhuma.
O é , pois as premissas não a veracidade da conclusão!
Importante observar que a validade de um argumento não tem nenhuma relação com a veracidade das 
premissas e conclusão no mundo real e sim com a forma como ele está construído.
Podemos ter premissas e conclusão falsas ( no mundo real ) e mesmo assim o argumento ser válido. Observe o 
exemplo:
P1: Todo peixe tem asa. (Falso) 
P2: Todo o cão é peixe. (Falso) 
C: Todo o cão tem asa. (Falso)
Veja a representação gráfica das premissas:
Criança
Chocolate
Melissa
Melissa
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asas
peixe
cão
Pelo diagrama concluímos que todo cão tem asa que exatamente a conclusão apresentada pelo argumento. Dessa 
forma a conclusão está de acordo com as premissas tornando o argumento válido. Observe que a validade do argumento 
não tem nada haver com o fato das proposições serem absurdas (falsas) quando pensamos no mundo real. O que vale 
mesmo é o fato do argumento estar bem construído.
TIPOS DE PROPOSIÇÕES
Simples: Pedro é funcionário público.
Composta: Pedro é funcionário público ou comissionado.
As proposições compostas apresentam os .
Proposição Forma Símbolo
Disjunção não 
exclusiva
Ou V
Importante: o símbolo ~ ou ¬ representa a negação da sentença. Se a proposição P for verdadeira ~P será 
falsa.
Disjunção 
exclusiva
Ou ....ou V
Conjunção E ^
Condicional Se...então
Bicondicional Se e somente se
A B ~A ~B A^B AVB AVB
V V F F V V F V V
V F F V F V V F F
F V V F F V V V F
F F V V F F F V V
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@empregosparauapebaspa
Tabela verdade
Nº de colunas = nº de proposições simples = n
Nº de linhas = 2n
e, portanto, a tabela verdade terá 23 = 8 linhas.
Tabela verdade dos 5 conectivos 
Exemplo: Se existe justiça então ela deve ser para todos.
P: 
Q: 
1) Se A, B 2) Quando A, B 3) Caso A, B
4) A é condição suficiente para B
5) A é condição necessária para B
6) A, se B 7) Todo A é B
8) A implica em B 9) A somente se B
Alguns exemplos: -
guarda-
Equivalência Lógica
1- CONDICIONAL
São consideradas proposições equivalentes:
Contrapositiva: os salários não são corrigidos então a inflação não 
Bastardinha: ou os salários são corrigidos.
Disjunção não exclusiva
Negação de proposições
1- PROPOSIÇÕES SIMPLES
 P: Denize é engenheira ambiental
~P: Denize não é engenheira ambiental 
~P: não é verdade que Denize é engenheira ambiental
~P: é falso que Denize é engenheira ambiental
Casos particulares P: Nenhum professor é rico.
APOSTILA DE MATEMÁTICA 
@empregosparauapebaspa
~P: Algum professor é rico.
Q: Todo homem é fiel.
~Q: Algum homem não é fiel.
O 
2-NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÃO COMPOSTA
~ (A V 
B)
~A ^ 
~B
~ (A ^ 
B)
~A v 
~B
~(A A ^ ~B
~(A V
B)
~(A A V B
Afirmação: 
A Justiça tarda e não falha. Negação: a Justiça não tarda ou falha.
b) Afirmação: Kaká vai à praia ou estuda. Negação: Kaká 
não vai à praia e não estuda.
c) Afirmação: Ou Melissa brinca ou Leo joga. Negação: 
Melissa brinca se e somente se Leo joga.
d) Afirmação: Se beber não dirija.
Negação: Beba e dirija
e)
Afirmação: Trabalho se e somente se você ajudar.
Negação: Trabalho e você não ajuda ou você ajuda e não trabalho.
OPERAÇOES COM CONJUNTOS
Quando falamos de operação lembramos logo de adição, subtração, divisão, multiplicação entre números.
É possível também operar conjuntos.
Essas operações recebem nomes diferentes, como: união de conjuntos, intersecção de conjuntos, diferença de 
conjunto e conjunto complementar.
Todas essas operações são representadas por símbolos diferentes. 
Veja a representação de cada uma delas:
União de conjuntos (U)
Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {6, 7}, a união deles seria pegar todos os elementos de A e de 
B e unir em apenas um conjunto (sem repetir os elementos comuns). O conjunto que irá representar essa união ficará 
assim:{1,2,3,4,5,6,7}.
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A representação da união de conjuntos é feita pelo símbolo U. Então A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Quando queremos a intersecção de dois conjuntos é o mesmo que dizer que queremos os elementos que eles 
têm em comum. Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6, 7}, a intersecção é representada pelo símbolo 
elementos que pertencem a ambos.
Se dois conjuntos não têm nenhum elemento comum, a intersecção deles será um conjunto vazio.
Dentro da intersecção de conjuntos há algumas propriedades:
1) A intersecção de um conjunto por ele mesmo é o próprio 
2) A propriedade comutatividade na intersecção de dois 
3) A propriedade associativa na intersecção de conjuntos é:A 
Fórmula da União 
Existe uma fórmula que relaciona o número de elementos da união, da intersecção e dos conjuntos individuais. 
A fórmula é dada por: n (A U B) = n (A) + n (B) 
Exemplo: Calcule o número de elementos da união dos conjuntos A e B a partir dos seguintes dados: n(A) =10, 
n(B) = 7, 
Solução: substituiremos os dados na fórmula da união. 
Teremos: 
n(AUB) = n(A) + n(B) - 5 = 12
Diferença entre conjunto
Dados o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e o conjunto B = {5, 6, 7}, a diferença desses conjuntos é representada 
por outro conjunto, chamado de conjunto diferença. Então os elementos de A B serão os elementos do conjunto A 
menos os elementos que pertencerem ao conjunto B. Portanto A B = {0, 1, 2, 3, 4}.
Observe que na operação A B o resultado é formado por elementos exclusivos de A.
{0, 1, 2, 3, 4, 5} - {5, 6, 7}, = { 0,1,2,3,4}
Se queremos B A , teremos no resultado os elementos exclusivos de B.
{5, 6, 7} - {0, 1, 2, 3, 4, 5} = { 6, 7}
Conjunto complementar
Conjunto complementar está relacionado com a diferença de conjunto.Para que exista o conjunto complementar 
é necessário que um conjunto esteja contido em outro. Caso contrário não é possível existir a operação de complementar. 
Observe:
Se A = {2, 3, 5, 6, 8} e B = {6,8} então B está contido em A. 
Assim definimos como complementar de B o conjunto B ou B tal que: B B = A B = {2, 3, 5}.
Importante: 
: pertence : existe
: não 
pertence
: não existe
: está 
contido
: para todo (ou qualquer que 
seja)
APOSTILA DE MATEMÁTICA 
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Se A = {1,2,3,4} e B = { 1,2,7} então B não está contido em A logo não existe o complementar de B em relação 
a A.
Simbologia 
TEORIA DOS CONJUNTOS Símbolos
: não está contido : conjunto vazio
: contém N : conjunto dos números 
naturais
: não contém Z : conjunto dos números 
inteiros
: tal que Q : conjunto dos números 
racionais
: implica que Q'=I : conjunto dos números 
irracionais
: se, e somente se R : conjunto dos números 
reais
Símbolos de pertinência
Para relacionar elementos com conjuntos devemos utilizar os símbolos de pertence ou não pertence.
Por exemplo, considerando o conjunto {1,2,3,4} dizemos que 1 pertence ao conjunto A (1 A) e 5 não pertence 
ao conjunto A (5 A).
Para relacionar dois conjuntos entre sí devemos usar outros símbolos está contido , não está contido ou 
contém .
Por exemplo o conjunto A = {2,4} está contido no conjunto B 
= {1,2,3,4} então dizemos que A B.
Por outro lado, o conjunto A = {2,4} não está contido em B = {1,2,3} ou seja A B.
Importante: 
1- Quando um conjunto A está contido em um conjunto B dizemos que A é subconjunto de B.
2- O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto ou seja está contido em qualquer outro 
conjunto.
3- A quantidade de subconjuntos de um conjunto é dada pela expressão 2n onde n é o número de elementos 
do conjunto considerado. Por exemplo, se A = {2,3,4} então A tem n = 3 elementos. 
O número de subconjunto de A será sub(A) = 23 = 8 subconjuntos. 
São eles: {2}, {3}, {4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {2,3,4} e 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Faça o diagrama dos conjuntos A = {1, 2, 3}