U15-A44-Oscilacoes-Amortecimento

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Aula 44 ‐‐‐‐ O Oscilador Harmônico Amortecido 
OBJETIVOS 
— ESTUDAR O MOVIMENTO HARMÔNICO AMORTECIDO 
 
 
44.1 ‐‐‐‐ Introdução: 
Nas aulas anteriores estudamos o movimento harmônico simples, cujas 
características fundamentais são a ausência de atrito e a presença de uma força 
restauradora proporcional à deformação do sistema. Nesse caso, o movimento 
depende apenas da ação dessa força e da inércia da partícula, determinada pela 
sua massa . O oscilador harmônico simples tem uma grande importância em 
Física porque ele serve de base para a descrição de um grande número de 
fenômenos periódicos, tais como o comportamento de átomos e moléculas e a 
propagação de ondas mecânicas e eletromagnéticas. 
Em muitos casos, entretanto, o movimento harmônico se faz na presença de forças 
de atrito, que mudam as características dele de tal forma Essas forças podem ser 
de natureza tal que a descrição do movimento se torna difícil Felizmente, na 
maioria dos casos importantes, as velocidades são baixas e a força de atrito pode 
ser considerada como proporcional à velocidade. Assim, se é a força de atrito, 
ela se escreve: 
 
em que é uma constante que depende da natureza de interação que produz o 
atrito. O sinal negativo indica que a força de atrito se opõe à velocidade.Notemos 
que a unidade de no Sistema Internacional é kg/s. 
Um oscilador harmônico sujeito a uma força restauradora e outra de atrito função 
da velocidade é chamado de oscilador harmônico amortecido. Sua equação de 
movimento, de acordo com a segunda lei de Newton, é: 
 
em que a variável é o deslocamento do oscilador relativamente a sua posição de 
equilíbrio. A equação acima pode ser escrita: 
 (44.1) 
ou: 
 (44.2) 
em que . 
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A solução dessa equação é estudada em cursos de Cálculo no tópico de equações 
diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes; por isso, não a 
discutiremos aqui, e nos limitaremos a discutir os efeitos físicos descritos por ela. 
O efeito da força restauradora sobre a partícula é fazê‐la oscilar em torno de uma 
posição de equilíbrio onde ela se anula; a grandeza que a caracteriza é, como 
vimos, a constante . O efeito da força de atrito é o de causar uma diminuição do 
deslocamento da partícula à medida que passa o tempo; de acordo com as 
expressões acima, a grandeza que a caracteriza é . Esses dois efeitos combinados 
causam o movimento real do oscilador. Podemos, então, considerar três casos : 
 
 (a) a força restauradora é mais importante que a de atrito; o oscilador terá o seu 
movimento oscilatório, mas a força de atrito diminui a amplitude desse movimento 
até a partícula parar na sua posição de equilíbrio. O movimento resultante é 
chamado de movimento sub-amortecido ou subcrítico; 
 (b) a força de atrito é mais importante que a restauradora; não há movimento 
periódico e a partícula tende lentamente a parar na sua posição de equilíbrio sem 
oscilar. O movimento é dito ser movimento super amortecido super crítico; 
 (c) as duas forças são comparáveis; aí, ocorre um caso limite entre os anteriores e 
o movimento é chamado de movimento amortecido crítico. 
 
44.2 ‐‐‐‐ Movimento Subamortecido 
 
A solução da equação (44.2) é: 
 (44.3) 
em que: 
 (44.4) 
é a frequência angular de oscilação do oscilador. Note que ela não é a mesma que 
a frequência natural de oscilação ( ); ela é menor que e depende do atrito. 
A equação (44.3) pode ser decomposta em duas partes: uma constituída pelo 
termo cosseno, que descreve a oscilação, e outra, não periódica, que é interpretada 
como sendo a amplitude inicial do movimento, afetada pelo termo exponencial 
(note que o expoente é negativo). Então, a amplitude inicial diminui 
exponencialmente com o tempo, influenciada apenas pelo atrito. A Figura XVII‐15 
mostra o gráfico da equação (44.3) em função do tempo para o caso em que . 
Podemos ver que as oscilações vão diminuindo até o oscilador parar pelo efeito do 
atrito. 
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Figura 44.1: Movimento subamortecido 
 
A curva que envolve as oscilações é a representação gráfica da função . 
 
44.3 Movimento Superamortecido 
 
A solução da equação (44.2) nesse caso é: 
 (44.5) 
em que: 
 (44.6) 
e as constantes e são determinadas pelas condições iniciais do movimento. 
Essa equação nos mostra que a partícula tende a voltar para sua posição de 
equilíbrio de modo exponencial. De fato, a solução é uma soma de duas 
exponenciais, em que a primeira decai mais lentamente que a segunda. A Figura 
44.2 mostra o gráfico do deslocamento para esse movimento. 
 
 
 
 
Figura 44.2: Movimento superamortecido 
 
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44.4 ‐‐‐‐ Movimento Crítico 
A solução da equação (44.2) nesse caso é: 
 
 (44.7) 
 
onde, novamente, e são constantes determinadas pelas condições iniciais do 
movimento. O decaimento aqui é mais rápido que o do caso anterior porque este 
possui o termo com expoente positivo na exponencial. 
Esse tipo de movimento tem uma aplicação prática muito grande. Ele é o princípio 
da construção de ponteiros de instrumentos analógicos como amperímetro, 
voltímetros etc., onde é necessário que o ponteiro volte à posição de origem da 
escala no menor tempo possível. Outra aplicação, por exemplo, está na construção 
de mecanismos de molas que fazem portas se fecharem automaticamente. Quando 
a porta é solta, ela tem que fechar de modo tal que, ao chegar ao batente, ela 
também esteja em repouso, para que não colida com o batente. 
A Figura 44.3 mostra o gráfico do deslocamento em função do tempo para o 
movimento crítico, comparando com os outros dois. 
 
 
Figura 44.3: Movimento superamortecido