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589 Aula 44 ‐‐‐‐ O Oscilador Harmônico Amortecido OBJETIVOS — ESTUDAR O MOVIMENTO HARMÔNICO AMORTECIDO 44.1 ‐‐‐‐ Introdução: Nas aulas anteriores estudamos o movimento harmônico simples, cujas características fundamentais são a ausência de atrito e a presença de uma força restauradora proporcional à deformação do sistema. Nesse caso, o movimento depende apenas da ação dessa força e da inércia da partícula, determinada pela sua massa . O oscilador harmônico simples tem uma grande importância em Física porque ele serve de base para a descrição de um grande número de fenômenos periódicos, tais como o comportamento de átomos e moléculas e a propagação de ondas mecânicas e eletromagnéticas. Em muitos casos, entretanto, o movimento harmônico se faz na presença de forças de atrito, que mudam as características dele de tal forma Essas forças podem ser de natureza tal que a descrição do movimento se torna difícil Felizmente, na maioria dos casos importantes, as velocidades são baixas e a força de atrito pode ser considerada como proporcional à velocidade. Assim, se é a força de atrito, ela se escreve: em que é uma constante que depende da natureza de interação que produz o atrito. O sinal negativo indica que a força de atrito se opõe à velocidade.Notemos que a unidade de no Sistema Internacional é kg/s. Um oscilador harmônico sujeito a uma força restauradora e outra de atrito função da velocidade é chamado de oscilador harmônico amortecido. Sua equação de movimento, de acordo com a segunda lei de Newton, é: em que a variável é o deslocamento do oscilador relativamente a sua posição de equilíbrio. A equação acima pode ser escrita: (44.1) ou: (44.2) em que . 590 A solução dessa equação é estudada em cursos de Cálculo no tópico de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes; por isso, não a discutiremos aqui, e nos limitaremos a discutir os efeitos físicos descritos por ela. O efeito da força restauradora sobre a partícula é fazê‐la oscilar em torno de uma posição de equilíbrio onde ela se anula; a grandeza que a caracteriza é, como vimos, a constante . O efeito da força de atrito é o de causar uma diminuição do deslocamento da partícula à medida que passa o tempo; de acordo com as expressões acima, a grandeza que a caracteriza é . Esses dois efeitos combinados causam o movimento real do oscilador. Podemos, então, considerar três casos : (a) a força restauradora é mais importante que a de atrito; o oscilador terá o seu movimento oscilatório, mas a força de atrito diminui a amplitude desse movimento até a partícula parar na sua posição de equilíbrio. O movimento resultante é chamado de movimento sub-amortecido ou subcrítico; (b) a força de atrito é mais importante que a restauradora; não há movimento periódico e a partícula tende lentamente a parar na sua posição de equilíbrio sem oscilar. O movimento é dito ser movimento super amortecido super crítico; (c) as duas forças são comparáveis; aí, ocorre um caso limite entre os anteriores e o movimento é chamado de movimento amortecido crítico. 44.2 ‐‐‐‐ Movimento Subamortecido A solução da equação (44.2) é: (44.3) em que: (44.4) é a frequência angular de oscilação do oscilador. Note que ela não é a mesma que a frequência natural de oscilação ( ); ela é menor que e depende do atrito. A equação (44.3) pode ser decomposta em duas partes: uma constituída pelo termo cosseno, que descreve a oscilação, e outra, não periódica, que é interpretada como sendo a amplitude inicial do movimento, afetada pelo termo exponencial (note que o expoente é negativo). Então, a amplitude inicial diminui exponencialmente com o tempo, influenciada apenas pelo atrito. A Figura XVII‐15 mostra o gráfico da equação (44.3) em função do tempo para o caso em que . Podemos ver que as oscilações vão diminuindo até o oscilador parar pelo efeito do atrito. 591 Figura 44.1: Movimento subamortecido A curva que envolve as oscilações é a representação gráfica da função . 44.3 Movimento Superamortecido A solução da equação (44.2) nesse caso é: (44.5) em que: (44.6) e as constantes e são determinadas pelas condições iniciais do movimento. Essa equação nos mostra que a partícula tende a voltar para sua posição de equilíbrio de modo exponencial. De fato, a solução é uma soma de duas exponenciais, em que a primeira decai mais lentamente que a segunda. A Figura 44.2 mostra o gráfico do deslocamento para esse movimento. Figura 44.2: Movimento superamortecido 592 44.4 ‐‐‐‐ Movimento Crítico A solução da equação (44.2) nesse caso é: (44.7) onde, novamente, e são constantes determinadas pelas condições iniciais do movimento. O decaimento aqui é mais rápido que o do caso anterior porque este possui o termo com expoente positivo na exponencial. Esse tipo de movimento tem uma aplicação prática muito grande. Ele é o princípio da construção de ponteiros de instrumentos analógicos como amperímetro, voltímetros etc., onde é necessário que o ponteiro volte à posição de origem da escala no menor tempo possível. Outra aplicação, por exemplo, está na construção de mecanismos de molas que fazem portas se fecharem automaticamente. Quando a porta é solta, ela tem que fechar de modo tal que, ao chegar ao batente, ela também esteja em repouso, para que não colida com o batente. A Figura 44.3 mostra o gráfico do deslocamento em função do tempo para o movimento crítico, comparando com os outros dois. Figura 44.3: Movimento superamortecido
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