Equações diferenciais de movimento de fluidos

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Equações
diferenciais de
movimento de
�uidos
Prof. Fábio Bicalho Cano
Descrição
A interpretação matemática do escoamento de fluidos estruturada nas equações diferenciais da
continuidade e de Navier-Stokes.
Propósito
Ter o entendimento das equações da continuidade e de Navier-Stokes, que se aplicam a todos os pontos no
campo de escoamento dos fluidos, é fundamental na formação do engenheiro, principalmente quando a
complexidade matemática exige a aplicação de um código de dinâmica dos fluidos computacional. Assim, a
descrição do escoamento é conseguida com a solução dessas equações acopladas às condições de
contorno ou iniciais.
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Preparação
Antes de iniciar o seu estudo, certifique-se de ter acesso à calculadora científica e faça o download do
Solucionário.
Objetivos
Módulo 1
Equações de Navier-Stokes
Reconhecer as equações diferenciais da continuidade e da quantidade de movimento.
Módulo 2
Soluções para escoamento laminar
Aplicar a equação da quantidade de movimento ao escoamento laminar.
Módulo 3
Introdução à dinâmica de �uidos computacional
Identificar os fundamentos da dinâmica dos fluidos computacional (DFC).

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Introdução
Confira agora a analise dos conceitos que serão desenvolvidos neste conteúdo: equação diferencial da
continuidade; equações de Navier-Stokes; e conceitos iniciais relacionados com a DFC.
1 - Equações de Navier-stokes
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer as equações diferenciais da
continuidade e da quantidade de movimento.
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Vamos começar!
Equações diferenciais da continuidade e da quantidade
de movimento
Confira agora o desenvolvimento matemático que permite traduzir o princípio de conservação de massa
através da equação diferencial da continuidade e o princípio da conservação da quantidade de movimento
através das equações de Navier-Stokes.
Equação diferencial da lei de conservação de massa
As formas diferenciais das leis básicas de conservação permitem determinar as quantidades integrais. Uma
metodologia para a obtenção das formas diferenciais das leis de conservação consiste em identificar um
elemento infinitesimal no espaço e aplicar sobre ele as leis de conservação.
A conservação da massa, aplicada a um elemento infinitesimal, permite a obtenção da equação de
continuidade, que relaciona os campos de massa específica e de velocidade
.
A denominação campo se deve ao fato de a propriedade dependente, no caso ou ,
ser função de mais de uma variável independente.

ρ = ρ(x, y, z, t)
V = V (x, y, z, t)
ρ V
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Para a determinação da equação da continuidade, vamos considerar a imagem a seguir, na qual os
componentes do fluxo mássico no centro do elemento de volume de controle infinitesimal, nas direções 
e , respectivamente, são iguais a: e . O balanço de massa para esse volume infinitesimal (um
diminuto volume de controle, VC) estabelece que o fluxo mássico líquido no volume é igual à variação de
massa no volume, ou seja:
Rotacione a tela. 
Onde:
 ó fluxo de massa que entra.
 ó o fluxo de massa que sai.
 é a massa do volume de controle.
Assim, considerando a notação da imagem a seguir, temos para o balanço de massa em coordenadas
cartesianas, quando consideramos a variação do fluxo mássico do centro do volume para uma das faces
afastada de uma distância , ou , ou , dependendo da direção escolhida. Veja:
Volume de controle infinitesimal em coordenadas cartesianas.
Matematicamente, podemos escrever o balanço em massa, como:
Rotacione a tela 
x, y
z ρu, ρv ρw
ṁentra  − ṁsai =
∂
∂t
mVC
ṁentra 
ṁsai 
mVC
dx/2 dy/2 dz/2
[ρu −
∂(ρu)
∂x
dx
2
]dydz − [ρu +
∂(ρu)
∂x
dx
2
]dydz+
+ [ρv −
∂(ρv)
∂y
dy
2
]dxdz − [ρv +
∂(ρv)
∂y
dy
2
]dxdz+
+ [ρw −
∂(ρw)
∂z
dz
2
]dxdy − [ρw +
∂(ρw)
∂z
dz
2
]dxdy =
∂
∂t
(ρdxdydz)
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Rotacione a tela. 
Dividindo toda a expressão acima por dxdydz, podemos escrever:
Rotacione a tela. 
Aplicando a regra de diferenciação para o produto de duas variáveis, temos:
Rotacione a tela. 
A derivada substancial ou derivada material leva em consideração uma variação temporal local da
propriedade e uma variação devido ao transporte convectivo, traduzida pelo operador:
Rotacione a tela. 
Assim, temos para o balanço de massa:
Rotacione a tela. 
Essa é a equação diferencial da continuidade que expressa o princípio da conservação da massa.
Considerando o operador gradiente ou "del" e os vetores unitários e , nas direções e ,
respectivamente, temos:
Rotacione a tela. 
Podemos, então, escrever a equação diferencial da continuidade como:
∂ρ
∂t
+
∂(ρu)
∂x
+
∂(ρv)
∂y
+
∂(ρw)
∂z
= 0
∂ρ
∂t
+ u
∂ρ
∂x
+ v
∂ρ
∂y
+ w
∂ρ
∂z
+ ρ( ∂u
∂x
+
∂v
∂y
+
∂w
∂z
) = 0
D
Dt
=
∂
∂t
+ u
∂
∂x
+ v
∂
∂y
+ w
∂
∂z
Dρ
Dt
+ ρ( ∂u
∂x
+
∂v
∂y
+
∂w
∂z
) = 0
→ı,→ȷ →k x, y z
→∇ =
∂
∂x
→ı +
∂
∂y
→ȷ +
∂
∂z
→k
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Rotacione a tela. 
Em que é denominado divergente da velocidade.
Para um fluido com massa específica constante ao longo de uma linha de corrente, a equação da
continuidade é escrita conforme a expressão:
Rotacione a tela. 
Equação diferencial da quantidade de movimento
A Segunda Lei de Newton, aplicada a um elemento de volume infinitesimal, irá gerar três equações
diferenciais denominadas equações de Navier-Stokes, que relacionam os campos de velocidade, pressão e
massa específica, além de levar em consideração as forças viscosas e a força de campo gravitacional.
Muitos problemas de engenharia estão relacionados com escoamentos
isotérmicos e incompressíveis, nos quais a temperatura não tem influência. Para
esses escoamentos, as três equações de Navier-Stokes e a equação da
continuidade representam quatro equações diferenciais, que permitem a obtenção
dos campos de velocidade e de pressão.
Para tanto, as equações diferenciais parciais necessitam da especificação de valores para as variáveis
independentes, de modo que as variáveis dependentes sejam quantificadas. Nesse contexto, se a variável
independente é o tempo, as condições são chamadas de condições iniciais, e, se a variável independente é
uma coordenada espacial, as condições são denominadas de condições de contorno.
Na mecânica dos fluidos, as condições de contorno fundamentam-se em:
Condições de não escorregamento para um escoamento viscoso, em que o fluido em contato íntimo com
a superfície apresenta a mesma velocidade da superfície.
Existência única da componente normal da velocidade, em que os efeitos viscosos são desprezíveis.
Dρ
Dt
+ ρ →∇ ⋅ →V = 0
→∇ ⋅ →V
→∇ ⋅ →V = 0
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Conhecimento da pressão na interface de um escoamento que envolve uma superfície livre.
Conhecimento da temperatura ou de seu gradiente no contorno de uma superfície.
Na determinação da equação da conservação da quantidade de movimento para um elemento de partícula
de fluido infinitesimal, vamosconsiderar que as tensões que atuam sobre o elemento de fluido, em
coordenadas cartesianas, seguem a notação da imagem a seguir.
Observe a notação para as tensões normais (geradas por forças normais) e tensões de cisalhamento 
(geradas por forças tangentes) no elemento de fluido, em que o primeiro subscrito representa o plano, e o
segundo a direção da força distribuída aplicada.
Notação para as tensões normais e tensões de cisalhamento .
Vamos considerar agora a notação da imagem a seguir, que apresenta as forças que atuam sobre a
partícula infinitesimal de fluido, com força de campo gravitacional em uma direção arbitrária.
Podemos escrever para a orientação espacial e, de forma equivalente, para as demais orientações,
quando consideramos as tensões na direção no centro das faces, afastadas de uma distância , ou
, ou , dependendo da face, e que as componentes do fluxo mássico no centro do volume
infinitesimal de fluido, nas direções e , são, respectivamente, iguais a e .
σ τ
σ τ
x
x dx/2
dy/2 dz/2
x, y z ρu, ρv ρw
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Forças de superfície, de campo e de contato, que atuam sobre uma partícula infinitesimal de fluido.
Para o balanço do momento, temos:
Rotacione a tela. 
Assim, podemos escrever para a orientação espacial:
Rotacione a tela. 
De forma equivalente para direção y:
− + =
⎛⎜⎝  Taxa de  momento  que entra ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝  Taxa de  momento  que sai  ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝  Somatório das  forças que atuam  no sistema  ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝  Taxa de  acúmulo do  momento  ⎞⎟⎠[ρu →V − ∂(ρu →V )∂x dx2 ]dydz − [ρu →V + ∂(ρu →V )∂x dx2 ]dydz+[σxx + ∂σxx∂x dx2 ]dydz − [σxx − ∂σxx∂x dx2 ]dydz+[τyx + ∂τyx∂y dy2 ]dxdz − [τyx − ∂τyx∂y dy2 ]dxdz+[τzx + ∂τzx∂z dz2 ]dxdy − [τzx − ∂τzx∂z dz2 ]dxdy++ ρgxdxdydz = ∂∂t (ρu)dxdydz
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Rotacione a tela. 
Para a direção z:
Rotacione a tela. 
Dividindo todos os termos da equação acima por dxdydz, obtemos:
Rotacione a tela. 
[ρv →V −
∂(ρv →V )
∂y
dy
2
]dxdz − [ρv →V +
∂(ρv →V )
∂y
dy
2
]dxdz+
[σyy +
∂σyy
∂y
dy
2
]dxdz − [σyy −
∂σyy
∂y
dy
2
]dxdz+
[τxy +
∂τxy
∂x
dx
2
]dydz − [τxy −
∂τxy
∂x
dx
2
]dydz+
[τzy +
∂τzy
∂z
dz
2
]dxdy − [τzy −
∂τzy
∂z
dz
2
]dxdy+
+ ρgydxdydz =
∂
∂t
(ρv)dxdydz
[ρw →V −
∂(ρw →V )
∂z
dz
2
]dxdy − [ρw →V +
∂(ρw →V )
∂z
dz
2
]dxdy+
[σzz +
∂σzz
∂z
dz
2
]dxdy − [σzz −
∂σzz
∂z
dz
2
]dxdy+
[τxz +
∂τxz
∂x
dx
2
]dydz − [τxz −
∂τxz
∂x
dx
2
]dydz+
[τyz +
∂τyz
∂y
dy
2
]dxdz − [τyz −
∂τyz
∂y
dy
2
]dxdz+
+ ρgzdxdydz =
∂
∂t
(ρw)dxdydz
∂σxx
∂x
+
∂σyy
∂y
+
∂σzz
∂z
+
∂τyx
∂y
+
∂τzx
∂z
+
∂τxy
∂x
+
∂τzy
∂z
+
∂τxz
∂x
+
∂τyz
∂y
+
+ ρ (gx + gy + gz) =
∂
∂t
(ρu) +
∂
∂t
(ρv) +
∂
∂t
(ρw) +
∂(ρu →V )
∂x
+
∂(ρv →V )
∂y
+
∂(ρw →V )
∂z
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A pressão é gerada por forças normais compressivas, portanto: . Considerando a derivada
substancial e sabendo que, para o elemento de fluido infinitesimal , e , temos a
seguinte expressão vetorial para a equação acima:
Rotacione a tela. 
O termo do lado esquerdo da equação acima, assume a seguinte forma vetorial:
Rotacione a tela. 
Aplicando as regras de diferenciação, temos:
Rotacione a tela. 
Reagrupando, temos:
Rotacione a tela. 
Ou seja:
Rotacione a tela. 
O termo entre colchetes é a equação diferencial da continuidade, sendo igual a zero. Assim, temos, para a
equação diferencial da quantidade de movimento, com base na derivada substancial:
Rotacione a tela. 
p = −σii
τyx = τxy τzx = τxz τzy = τyz
∂
∂t (ρu) +
∂
∂t (ρv) +
∂
∂t (ρw) +
∂(ρu →V )
∂x +
∂(ρv →V )
∂y +
∂(ρw →V )
∂z = −
→∇p + →∇ ⋅ →τij + ρ→g
∂
∂t
(ρ →V ) +
∂
∂x
(ρu →V ) +
∂
∂y
(ρv →V ) +
∂
∂z
(ρw →V )
ρ
∂ →V
∂t
+ →V
∂ρ
∂t
+ ρu
∂ →V
∂x
+ →V
∂(ρu)
∂x
+ ρv
∂ →V
∂y
+ →V
∂(ρv)
∂y
+ ρw
∂ →V
∂z
+ →V
∂(ρw)
∂z
→V [ ∂ρ∂t +
∂(ρu)
∂x +
∂(ρv)
∂y +
∂(ρw)
∂z ] + ρ(
∂ →V
∂t + u
∂ →V
∂x + v
∂ →V
∂y + w
∂ →V
∂z )
→V [
∂ρ
∂t
+ →∇ ⋅ (ρ →V )] + ρ(
∂ →V
∂t
+ u
∂ →V
∂x
+ v
∂ →V
∂y
+ w
∂ →V
∂z
)
ρ D
→V
Dt
= − →∇p + →∇ ⋅ →τij + ρ→g
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Na equação acima, quando os efeitos viscosos são desprezíveis, temos a equação de Euler:
Rotacione a tela. 
Os fluidos newtonianos obedecem às seguintes relações:
Rotacione a tela. 
Para a situação de fluido newtoniano, isotrópico (apresenta propriedades independentes da direção),
homogêneo (as propriedades dos fluidos são independentes da posição) e incompressível, as equações
diferenciais da quantidade de movimento passam a ser denominadas de equações de Navier-Stokes,
assumindo a seguinte forma vetorial:
Rotacione a tela. 
Em que o operador laplaciano é definido por:
Rotacione a tela. 
ρ D
→V
Dt
= − →∇p + ρ→g
σxx = −2μ
∂u
∂x
+
2
3
μ( →∇ ⋅ →V )
σyy = −2μ
∂v
∂y
+
2
3
μ( →∇ ⋅ →V )
σzz = −2μ
∂w
∂z
+
2
3
μ( →∇ ⋅ →V )
τxy = τyx = −μ(
∂u
∂y
+
∂v
∂x
)
τyz = τzy = −μ(
∂v
∂z
+
∂w
∂y
)
τzx = τxz = −μ(
∂w
∂x
+
∂u
∂z
)
ρ
D →V
Dt
= − →∇p + ρ→g + μ →∇2 →V
∇2 =
∂ 2
∂x2
+
∂ 2
∂y2
+
∂ 2
∂z2
−→
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otac o e a te a. 
E e é denominado laplaciano da velocidade.
As equações de Navier-Stokes, em relação às coordenadas e , considerando as suas respectivas
componentes de velocidade nessas direções, , são escritas como:
Rotacione a tela. 
Equação de Navier-Stokes: exemplos práticos
Agora é hora de vermos alguns exemplos a partir da equação de Navier-Stokes. Vamos lá?
Exemplo 1
A integração da equação de Euler ao longo de uma linha de corrente permite a obtenção da equação de
Bernoulli, aplicada ao escoamento em regime permanente de fluidos invíscidos e incompressíveis.
Considere a representação a seguir de uma linha de corrente genérica, em que é o vetor unitário
perpendicular à linha de corrente, é o vetor unitário tangente à linha de corrente, é o vetor unitário na
direção vertical e é a velocidade genérica tangente à linha de corrente. Diante dessas informações, a
partir da equação de NavierStokes, obtenha a equação de Bernoulli.
→∇2 →V
x, y z
u, v,w
ρ
Du
Dt
= −
∂p
∂x
+ ρgx + μ(
∂ 2u
∂x2
+
∂ 2u
∂y2
+
∂ 2u
∂z2
)
ρ
Dv
Dt
= −
∂p
∂y
+ ρgy + μ(
∂ 2v
∂x2
+
∂ 2v
∂y2
+
∂ 2v
∂z2
)
ρ
Dw
Dt
= −
∂p
∂z
+ ρgz + μ(
∂ 2w
∂x2
+
∂ 2w
∂y2
+
∂ 2w
∂z2
)
n̂
ŝ k̂
z V
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Linha de corrente genérica para obtenção da equação de Bernoulli.
Solução
Equação de Navier-Stokes:
Rotacione a tela. 
Desprezando os efeitos viscosos, temos a equação de Euler:
Rotacione a tela. 
Para a representação no plano, vamos considerar as orientações espaciais tangente e normal à linha de
corrente. Então, temos para a velocidade:
Rotacione a tela. 
Para uma linha de corrente, todas as partículas de fluido seguem essa linha com velocidade tangente, e não
se considera movimento em outra direção, ou seja, só existem variações das propriedades na direção do
vetor unitário . Assim, temos:
ρ D
→V
Dt
= − →∇p + →∇ ⋅ →τij + ρ→g
ρ D
→V
Dt
= − →∇p + ρ→g
→V = V ŝ + Vnn̂
ŝ
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Rotacione a tela. 
O termo representa a variação na direção do vetor unitário tangente à linha de corrente em relação à
direção normal, ou seja, uma variação que deve ser desconsiderada. Logo:
Rotacione a tela. 
O termo representaa variação na direção do vetor unitário tangente à linha de corrente em relação à
direção normal, ou seja, uma variação que deve ser desconsiderada. Logo:
Rotacione a tela. 
Para a variação da pressão ao longo da linha de corrente:
Rotacione a tela. 
Então, temos para a equação de Euler:
Rotacione a tela. 
Conforme a representação acima, devemos observar:
→V = V ŝ
D →V
Dt
=
∂(V ŝ)
∂t
+ V
∂(V ŝ)
∂s
=
∂(V ŝ)
∂t
+ V (V
∂ŝ
∂s
+ ŝ
∂V
∂s
)
∂ŝ/∂s
D →V
Dt
=
∂(V ŝ)
∂t
+ V ŝ
∂V
∂s
=
∂(V ŝ)
∂t
+ V
∂V
∂s
∂ŝ/∂s
D →V
Dt
=
∂(V ŝ)
∂t
+ V ŝ
∂V
∂s
=
∂(V ŝ)
∂t
+ V
∂V
∂s
→∇p =
∂p
∂s
ŝ +
∂p
∂n
n̂ =
∂p
∂s
ŝ =
∂p
∂s
ρ [
∂(V ŝ)
∂t
+ V
∂V
∂s
] = −
∂p
∂s
− ρg
∂z
∂s
k̂s = k̂ cos(90 − θ) = k̂ sen θ
gs = −g sen θ
sen θ =
dz
ds
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Rotacione a tela. 
Portanto:
Rotacione a tela. 
Para o escoamento em regime permanente, não existe variação temporal, assim:
Rotacione a tela. 
Para uma mesma diferencial em relação a s, considerando a massa específica constante, temos:
Rotacione a tela. 
A análise matemática da expressão acima define:
Rotacione a tela. 
Ou seja, ao longo de uma linha de corrente para um escoamento em regime permanente de um fluido
incompressível e invíscido, estabelece-se que a soma das pressões dinâmica, estática e de coluna é
constante, definindo-se a equação anterior, chamada de equação de Bernoulli.
Exemplo 2
Verifique se o escoamento descrito pelo campo de velocidade a seguir é incompressível.
Rotacione a tela. 
ρ→g = −ρgs = −ρg
dz
ds
ρV
∂V
∂s
+
∂p
∂s
+ ρg
dz
ds
= 0
d
ds
( ρV
2
2
+ p + ρgz) = 0
ρV 2
2
+ p + ρgz =  constante 
→V = −yt→ı + xt→ȷ
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Solução
Considerando o perfil de velocidades fornecido e os vetores unitários na direção e y iguais a e ,
respectivamente, temos:
Rotacione a tela. 
A equação da continuidade para um fluido incompressível estabelece que:
Rotacione a tela. 
x →ı →ȷ
u = −yt
v = xt
→∇ ⋅ →V = 0
∂u
∂x
+
∂v
∂y
= 0
∂(−yt)
∂x
= 0
∂(xt)
∂y
= 0
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Assinale a opção que contém a equação da continuidade para um fluido incompressível.
A ∂ρ
∂t = −
→∇ ⋅ (ρ →V )
B Dρ
Dt
= − →∇ ⋅ (ρ →V )
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Parabéns! A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
A formulação da equação de Navier-Stokes apresentada a seguir, aplica-se a que tipo de fluido?
Parabéns! A alternativa C está correta.
C Dρ
Dt
= −ρ(∇ ⋅ →V )
D →∇ ⋅ →V = 0
E constante→V =
ρ D
→V
Dt
= − →∇p + ρ→g + μ →∇2 →V
A Qualquer fluido viscoso.
B Pseudoplático.
C Newtoniano.
D Dilatante.
E Bingham.
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Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
2 - Soluções para escoamento laminar
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar a equação da quantidade de movimento ao
escoamento laminar.
Vamos começar!
Como aplicar a equação da quantidade de movimento
ao escoamento laminar?

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Confira agora como resolver um exemplo prático de escoamento laminar através da aplicação da equação
de conservação da quantidade de movimento.
Escoamento laminar em tubos
Um escoamento totalmente desenvolvido é aquele em que o perfil de velocidades não se altera na direção
do escoamento.
Para o equacionamento de um escoamento laminar, caracterizado por número de Reynolds relativamente
baixo, as grandezas físicas, como velocidade, pressão, temperatura etc., que caracterizam o escoamento,
são invariantes no tempo, uma vez que qualquer perturbação ao escoamento será imediatamente
amortecida pelos efeitos viscosos.
Dessa forma, vamos considerar o volume elementar de fluido representado na imagem a seguir, que
considera um escoamento laminar totalmente desenvolvido no interior de um tubo.
Escoamento totalmente desenvolvido em duto de seção reta circular.
O balanço de forças sobre o volume elementar de fluido fornece:
Rotacione a tela. 
∑ →F = 0
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Isso porque o perfil de velocidades não se altera, mantendo constante a quantidade de movimento e
permitindo estabelecer que a força resultante é zero.
Assim, com base na representação do elemento de volume de fluido da imagem anterior, temos para a força
resultante:
Rotacione a tela. 
Considerando a direção ao longo do eixo de simetria do tubo inclinado e a direção perpendicular à base
que define um ângulo de inclinação para o tubo, podemos observar a seguinte relação trigonométrica:
Rotacione a tela. 
Portanto, temos:
Rotacione a tela. 
Considerando que, para o escoamento laminar, vale a equação de fluido newtoniano:
Rotacione a tela. 
Nesse caso, o sinal "negativo" faz com que a tensão de cisalhamento seja numericamente positiva,
satisfazendo o balanço de forças, que, na formulação apresentada, considera essa tensão em módulo.
Nessa análise, devemos observar que . Logo:
Rotacione a tela. 
pπr2 − (p + dp)πr2 − τ(2πr)dx + γπr2dx sen θ = 0
x h
θ
sen θ =
−dh
dx
pπr2 − (p + dp)πr2 − τ(2πr)dx − γπr2dx
dh
dx
= 0
⇒ τ(2πr)dx = −πr2dp − γπr2dh
⇒ τ = −
r
2
d
dx
(p + γh)
τ = −μdu/dr
du/dr < 0
−μ
du
dr
= −
r
2
d
dx
(p + γh)
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Integrando a equação anterior:
Rotacione a tela. 
Esse perfil de velocidades é parabólico, e esse tipo de escoamento é denominado escoamento de
Poiseuille.
Para o cálculo da velocidade média, temos:
Rotacione a tela. 
Substituindo o valor de :
Rotacione a tela. 
Para o escoamento totalmente desenvolvido, é constante e, para um tubo na horizontal, .
Assim, para um tubo horizontal de comprimento total , à medida que aumentamos o comprimento do tubo,
aumentamos a queda de pressão. Já para o fluido em escoamento, à medida que aumentamos ,
reduzimos a pressão do escoamento. Ou seja:
Rotacione a tela. 
∫
u(r)
u=o
du = ∫
r
r=r0
r
2μ
d
dx
(p + γh)dr
u(r) =
1
4μ
d
dx
(p + γh) (r2 − r20)
v̄ =
Q
ASR
=
∫ vdA
ASR
=
∫ r00 u(r)2πrdr
πr20
u(r)
v̄ =
2
r20
∫
r0
0
1
4μ
d
dx
(p + γh) (r2 − r20)rdr
v̄ =
1
2r20μ
d
dx
(p + γh) [∫
r0
0
r3dr − ∫
r0
0
r20rdr] =
1
2r20μ
d
dx
(p + γh)[
r40
4
−
r40
2
]
v̄ = −
r20
8μ
d
dx
(p + γh)
dp/dx h = 0
L
x
p
Δp
L
= −
dp
dx
=
8μv̄
r20
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
A velocidade é máxima quando . Assim, temos:
Rotacione a tela. 
Para a tensão de cisalhamento de um fluido newtoniano, temos:
Rotacione a tela. 
Considerando um tubo horizontal de comprimento e chamando de a tensão de cisalhamento na
parede. Veja:
Rotacione a tela. 
Ou seja, a queda de pressão na tubulação será determinada por:
Rotacione a tela. 
Vamos considerar, agora, um parâmetro adimensional, que representa uma tensão de cisalhamento
adimensional na parede do duto, conhecida como fator de atrito , definido pela expressão:
Rotacione a tela. 
Em queé a pressão dinâmica. Então, podemos escrever para a queda de pressão na tubulação:
Rotacione a tela. 
r = 0
uma ́x = −
1
4μ
d
dx
(p + γh)r20 = 2v̄
τ = −μ
du
dr
= −
r
2
d
dx
(p + γh)
L τ0
τ0 = −
r0
2
dp
dx
=
r0
2
Δp
L
Δp =
2τ0L
r0
f
f ≡
τ0
1/8ρv̄2
ρv̄2
Δp =
2τ0L
r0
=
2L
r0
fρv̄2
8
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Como o diâmetro do tubo é o dobro do raio , e o peso específico do fluido, no SI (Sistema Internacional
de Unidades), é determinado por , temos, para a queda de pressão na tubulação:
Rotacione a tela. 
Definindo a perda de carga , temos:
Rotacione a tela. 
A equação acima é chamada de equação de Darcy-Weisbach.
Para o escoamento laminar, , o que permite escrever:
Rotacione a tela. 
Escoamento laminar entre placas paralelas
Considere o elemento de volume de um fluido incompressível representado na imagem a seguir, de
comprimento unitário na direção z, ortogonal ao plano da imagem, pertencente a um escoamento
totalmente desenvolvido entre placas planas paralelas, em regime permanente, em que a placa superior tem
velocidade constante U e a inferior é estacionária.
D r0
γ = ρg
Δp =
L
r0
fρv̄2
4
=
2L
D
fγv̄2
4g
= f
L
D
v̄2
2g
γ
hL
hL ≡
Δp
γ
= f
L
D
v̄2
2g
f = 64/Re
hL = f
L
D
v̄2
2g
=
64
ρv̄D/μ
L
D
v̄2
2g
=
32μLv̄
γD2
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Escoamento totalmente desenvolvido entre placas planas paralelas.
Como o perfil de velocidades é constante, não existe variação de quantidade de movimento para o elemento
de volume na direção , o que permite estabelecer que o . Assim:
Rotacione a tela. 
Para um pequeno espaçamento entre placas , podemos considerar que a pressão é dependente somente
da direção . Dividindo a expressão anterior por , que representa o volume do elemento de fluido, uma
vez que , temos:
Rotacione a tela. 
Da relação trigonométrica para o ângulo de inclinação das placas: , considerando
 e a viscosidade constante, temos:
Rotacione a tela. 
Ou seja:
Rotacione a tela 
x ∑ →Fx = 0
pdy − (p + dp)dy − τdx + (τ + dτ)dx + γ(dxdy) sen θ = 0
a
x dxdy
dz = 1
dτ
dy
=
dp
dx
− γ sen θ
sen θ = −dh/dx
τ = μdu/dy
μ
d2u
dy2
=
dp
dx
+ γ
dh
dx
d2u
dy2
=
1
μ
d
dx
(p + γh)
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Rotacione a tela. 
Para a solução dessa equação, devemos observar que o lado esquerdo da equação é função somente de ,
e que o lado direito é função somente de . Assim, essa igualdade só tem sentido matemático se as
derivadas igualadas representarem uma constante. Logo, para a determinação do perfil de velocidades,
podemos associar o seguinte processo de integração:
Rotacione a tela. 
Em que e são as constantes de integração.
A condição de contorno: quando , permite a determinação: .
Temos ainda: quando . Portanto:
Rotacione a tela. 
Dessa forma, o perfil de velocidades tem como expressão:
Rotacione a tela. 
Essa expressão representa um perfil de velocidades parabólico e, se esse escoamento for originado
somente pelo movimento da placa superior, ele será denominado de escoamento de Couette. .
Vamos considerar, agora, que a placa superior também é estacionária, ou seja, U = 0. Assim, o perfil de
velocidades será dado por:
Rotacione a tela. 
Para uma profundidade de placa unitária , a vazão entre placas será quantificada como:
y
x
u(y) =
y2
2μ
d
dx
(p + γh) + C1y + C2
C1 C2
u = 0 y = 0 C2 = 0
u = U y = a
U =
a2
2μ
d
dx
(p + γh) + C1a ⇒ C1 =
U
a
−
a
2μ
d
dx
(p + γh)
u(y) =
1
2μ
d
dx
(p + γh) (y2 − ya) +
U
a
y
u(y) =
1
2μ
d
dx
(p + γh) (y2 − ya)
dA = 1 ⋅ dy Q
21/09/2023, 18:27 Equações diferenciais de movimento de fluidos
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Rotacione a tela. 
Para a velocidade média, temos:
Rotacione a tela. 
Para as placas na horizontal, supondo um comprimento , temos para o escoamento entre placas, a
seguinte queda de pressão:
Rotacione a tela. 
A velocidade máxima ocorre quando , ou seja:
Rotacione a tela. 
Para a tensão de cisalhamento, podemos escrever:
Rotacione a tela. 
Como:
Rotacione a tela. 
Então:
Q = ∫ udA = ∫
y=a
y=0
1
2μ
d
dx
(p + γh) (y2 − ya)dy = −
a3
12μ
d
dx
(p + γh)
v̄ =
Q
a × 1
= −
a2
12μ
d
dx
(p + γh)
L
Δp
L
= −
dp
dx
=
12μv̄
a2
y = a/2
uma ́x =
1
2μ
dp
dx
( a24 −
a
2 a) = −
a2
8μ
dp
dx
= 32 v̄
τ = μ
du
dy
u(y) =
1
2μ
dp
dx
(y2 − ya)
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Rotacione a tela. 
A tensão de cisalhamento na parede será quantificada em :
Rotacione a tela. 
Considera-se o fator de atrito adimensional definido por:
Rotacione a tela. 
Assim, podemos escrever para a perda de carga no escoamento entre placas planas paralelas com
profundidade unitária:
Rotacione a tela. 
Assim, temos para o fator de atrito em um escoamento laminar entre placas paralelas estacionárias:
Rotacione a tela. 
Portanto, temos para a perda de carga:
Rotacione a tela. 
τ =
1
2
dp
dx
(2y − a)
τ0 y = 0
τ0 = −
a
2
dp
dx
=
a
2
Δp
L
f =
τ0
1/8ρv̄2
hL
hL =
Δp
γ
= f
L
2a
v̄2
2g
f =
8τ0
ρv̄2
=
8
ρv̄2
(− a
2
dp
dx
) = 8
ρv̄2
( a
2
)( 12μv̄
a2
) = 48μ
ρv̄a
=
48
Re
hL = (
48μ
ρv̄a
)
L
2a
v̄2
2g
=
12μv̄L
γa2
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
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Questão 1
Para o escoamento laminar de fluido newtoniano em regime permanente entre duas placas planas
paralelas infinitas e estáticas, o perfil de velocidades é igual a:
Parabéns! A alternativa B está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
(IE/EA Exame de Admissão ao Estágio de Adaptação de Oficiais Engenheiros da Aeronáutica (EAOEAR)
- 2009) Em um escoamento laminar completamente desenvolvido de um fluido incompressível entre
placas paralelas, cuja distância entre as placas é , conforme a imagem a seguir, a equação do
momento é dada por: , onde é a tensão de cisalhamento e é a pressão.
A V = 12μ
∂p
∂x (z − h)
B V = 12μ
∂p
∂x (z
2 − h2)
C V = 18μ
∂p
∂x (z − h)
D V = 132μ
∂p
∂y
(z2 − h2)
E V = 132μ
∂p
∂y (z − h)
a
dτyx
dy
= ∂p∂x′ τyx p
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Sabe-se que a tensão de cisalhamento varia conforme a expressão: , onde é a
viscosidade do fluido e representa a velocidade na direção .
Dito isso, assinale a opção que apresenta a expressão correta para a velocidade máxima entre as
placas, que ocorre na posição equidistante.
Parabéns! A alternativa A está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
τyx = μ
du
dy
μ
u x
A umax = − 18μ (
∂p
∂x )a
2
B umax = − 18μ (
∂p
∂x
)a4
C umax = − 132μ (
∂p
∂x )a
4
D umax = − 132μ (
∂p
∂x )a
2
E umax = − 116μ (
∂p
∂x )a3
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3 - Introdução à dinâmica de �uidos computacional
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car os fundamentos da dinâmica dos �uidos
computacional (DFC).
Vamos começar!
Fundamentos da dinâmica dos �uidos computacional
Assista agora a uma introdução à dinâmica dos fluidos computacional (DFC), seus elementos definidores,a
geração de malha e a discretização das equações diferenciais.

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Visão geral da dinâmica dos �uidos computacional (DFC)
As equações diferenciais da continuidade e de Navier-Stokes, associadas às condições de contorno ou
iniciais, descrevem o escoamento dos fluidos. Em função da complexidade matemática dessas equações,
somente para alguns casos envolvendo escoamento laminar, as soluções são analíticas. No entanto, a
integração das equações diferenciais por cálculo numérico computacional não apresenta restrições à
análise de qualquer tipo de escoamento de fluido.
Os métodos numéricos de cálculos, voltados para a descrição do escoamento dos fluidos, formam a base
da dinâmica dos fluidos computacional (DFC) ou, conforme a sigla em inglês, CFD (computational fluid
dynamics) que, de forma geral, descreve o escoamento através de uma malha estruturada cartesiana no
espaço bidimensional.
Como os computadores só realizam operações algébricas, ou seja, operações de
adição, subtração, multiplicação e divisão, faz-se necessária a discretização das
equações diferenciais da continuidade e de Navier-Stokes. Geralmente, essa
discretização é realizada pelo método dos volumes de controle (MVC), ou método
dos volumes finitos (MVF), que transformam as equações diferenciais em
equações algébricas.
Existem, no mercado, diversos softwares comerciais, como Fluent, Ansys e Flow-3D. Porém, apesar de
apresentarem uma interface gráfica amigável e um elevado poder de processamento de dados, a adequada
utilização desses pacotes de DFC exige do usuário o conhecimento dos modelos físicos e numéricos
aplicados, além de uma experiência na utilização do software.
Qualquer código de DFC é composto, basicamente, por três partes: a entrada de dados, o programa de
execução de cálculos e a saída de dados. Vamos conferi-los?
21/09/2023, 18:27 Equações diferenciais de movimento de fluidos
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Entrada de dados
Na entrada de dados, o usuário deve entrar com os valores das propriedades físicas do fluido, selecionar o
regime de escoamento e identificar a geometria de contorno para o escoamento. Geralmente, os pacotes de
DFC possuem bibliotecas contendo dados de propriedades físicas, como massa específica, viscosidade
etc., para diversos fluidos. Quaisquer outras informações, necessárias ao estudo em questão, além
daquelas contidas nas bibliotecas, devem ser fornecidas.
Os pacotes de DFC possuem também modelos físicos que descrevem o tipo de
escoamento. Nesse momento, a experiência do usuário é fundamental na seleção
do modelo mais adequado ao estudo em questão. Com o apoio dos pacotes de
DFC, é possível resolver com facilidade, problemas de escoamento laminar, mas a
obtenção de uma solução aceitável para um problema envolvendo escoamento
turbulento, só ocorrerá se houver a seleção adequada do modelo de turbulência. Os
modelos de turbulência padrão existentes nos pacotes de DFC fornecem resultados
razoáveis para diversos problemas práticos de engenharia.
A geometria física em torno do escoamento é definida com a criação de um sistema de malha ou grade. Os
pacotes de DFC permitem a seleção de diversos tipos de geometrias de contorno, em que a mais adequada,
indiscutivelmente, melhora a velocidade dos cálculos e a exatidão dos resultados.
Programa de execução de cálculos
Muitos usuários dos pacotes de DFC desconhecem os algoritmos e as técnicas numéricas utilizadas nos
cálculos. O programa de execução de cálculos é composto, basicamente, por duas partes: uma que
converte as equações diferenciais parciais em um grupo de equações algébricas, e outra que, em um
procedimento iterativo, emprega essas equações para encontrar a solução convergente que satisfaz às
condições iniciais e de contorno.
Entre as técnicas numéricas, são utilizados os seguintes métodos:
Método das diferenças �nitas
Mét d li d t t itó i tili lh i l t l
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Saída de dados
A apresentação dos resultados se dá de forma gráfica com a exibição da geometria e da malha ou grade
utilizada. O usuário pode decidir, ainda, pela exibição das linhas de corrente ou de trajetória.
Método aplicado em escoamentos transitórios, e que utiliza uma malha espacial e temporal, a
qual determina as condições em um ponto particular e em um passo de tempo futuro, com
base em condições vigentes nos pontos adjacentes.
Método dos elementos �nitos
Método em que o fluido é dividido em pequenas porções (“elementos finitos”), nas quais as
equações que descrevem o escoamento dentro de cada elemento são aplicadas de forma a
satisfazer às condições de contorno nos cantos ou nós dos elementos adjacentes. Nele as
malhas apresentam forma irregular, permitindo adequação a qualquer tipo de contorno. O
método dos elementos finitos é mais complexo que o método das diferenças finitas, porém,
apresenta maior acurácia.
Método dos volumes �nitos
Método que combina o que tem de melhor no método das diferenças finitas e no dos
elementos finitos. Nele cada um dos diminutos volumes de controle considera a taxa
temporal de variação local dentro do volume de controle e o fluxo convectivo através da
superfície de controle para a variável de escoamento. A variação local e o fluxo convectivo
são convertidos em um conjunto de equações algébricas, as quais são resolvidas por método
numérico iterativo.
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Fundamentos de solução – malha
Para o escoamento laminar em regime permanente de um fluido newtoniano e incompressível, temos as
seguintes equações básicas do movimento:
Equação da continuidade: 
Equação de Navier-Stokes: 
Para a resolução numérica das equações apresentadas, precisamos selecionar um domínio computacional,
que é a região no plano (2-D) ou no espaço (3-D), na qual as equações serão resolvidas pela DFC.
Uma célula é um subconjunto do domínio computacional, conforme podemos observar na representação da
imagem a seguir:
Domínio computacional bidimensional (2-D) e a representação de uma célula.
A malha, também denominada de grade, é gerada dividindo-se o domínio computacional em muitas células,
em que cada célula pode ser considerada como um diminuto volume de controle, no qual versões discretas
→∇ ⋅ →V = 0
( →V ⋅ →∇) →V = − 1
ρ
→∇p + v →∇2 →V
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das equações do movimento serão resolvidas. Devemos observar que a qualidade de uma solução em DFC
é diretamente dependente da qualidade da malha.
Para um escoamento 2-D, as condições de contorno são especi�cadas em cada aresta do
domínio computacional.
Os valores iniciais de todas as variáveis do campo de escoamento devem ser especificados para cada
célula; sendo corretos ou não, são necessários como ponto de partida para a sequência do processo
iterativo. Convém destacar que, para processos transientes, as condições iniciais, obrigatoriamente, devem
estar corretas.
Com as condições iniciais definidas, as formas discretas das equações da continuidade e de Navier-Stokes
passam a ser resolvidas iterativamente, em geral, para o centro de cada célula.
Atenção!
A etapa mais importante de uma solução de DFC é a geração da malha, que é definida em todo o domínio
computacional, em que a pressão, a velocidade, ou qualquer outra propriedade de interesse do escoamento
serão calculadas em cada célula.
Os pacotes de DFC possuem rotinas geradoras de malhas, que podem ser estruturadas ou não estruturadas.
A imagem a seguir apresenta um exemplo de malha estruturada. Vamos conferir!
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Malha estruturada 2-D.
Podemos observar, na imagem anterior, que cada célula da malha 2-D é numerada conforme os índices e .
Nesse exemplo, para construir a malha estruturada, nove nós foram especificados nas arestas superior e
inferior, gerando intervalos correspondentes a até e, cinco nós foram especificados nas arestas
à esquerda e à direita, gerando intervalos de até . Dessa forma, em uma malha estruturada 2-D
cada célula é especificada ou identificada por um único par . A célula sombreada corresponde a 
e . Alguns pacotes de DFC, ao invés de numerar os intervalos, numeram os nós.
Já uma malha 2-D não estruturada é composta por células na forma de triângulos ou de quadriláteros,
conforme a representação da imagem a seguir, em que não é possível localizar ou identificar todas as
células por um único par .
Malhas não estruturadas: célula triangular e célula quadrilátera.
Comparando as imagens anteriores, a da malha estruturada 2-D com as das malhas não estruturadas,
podemos verificar que o número de nós e suas posições nas arestas são correspondentes. Geralmente, os
pacotes de DFC processam malhas estruturadas e não estruturadas. Pela equivalência dos nós nas
imagens, podemos inferir que uma malha estruturada gera menos células que a malha não estruturada: na
imagem da malha estruturada 2-D temos 32 células, enquanto na imagem das malhas não estruturadas
temos 76 células em e 38 em .
Agora, independentemente do tipo de malha (estruturada e não estruturada), o fator
mais crítico na obtenção da solução numérica é a qualidade da malha. Células
muito inclinadas, como a célula sombreada no canto superior direito da imagem
das malhas não estruturadas , podem causar dificuldades de convergência e
imprecisão na solução numérica. Outros fatores como variações bruscas no
tamanho das células e razão de aspecto (razão: largura/altura da célula) muito
grande, reduzem a qualidade da malha. Devemos observar que uma malha não
i j
i = 1 i = 8
j = 1 j = 4
(i, j) i = 4
j = 3
(i, j)
(a) (b)
(a) (b)
(a)
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estruturada de alta qualidade é melhor que uma malha estruturada de baixa
qualidade.
De modo geral, a malha estruturada é preferível. Essa malha permite, ainda, a sua divisão em blocos, cujos
nós nas arestas comuns entre blocos devem ser, obrigatoriamente, coincidentes.
A imagem a seguir apresenta exemplos de malhas estruturada em blocos:
Malhas estruturadas em blocos: com superfície plana; com superfície curva.
Uma malha híbrida combina blocos de malha estruturada com blocos de malha não estruturada, conforme o
exemplo apresentado na imagem a seguir:
(a) (b)
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Malha híbrida 2-D.
De modo geral, a geração de uma boa malha é um processo lento e tedioso. Quando a malha é boa, os
resultados da DFC são mais confiáveis e apresentam convergência mais rápida, enquanto uma malha de
baixa qualidade pode levar a uma solução incorreta. Um procedimento usual para testar a independência da
malha é aumentar a resolução de, pelo menos, um fator de 20% em todas as direções e, repetir a simulação.
Caso os resultados não se alterem de forma significativa, isso é um forte indicativo de que a malha original
está adequada.
Fundamentos de solução – discretização
Como exemplo de discretizacão, vamos considerar a imagem a seguir que representa um escoamento de
um fluido com massa específica e viscosidade cinemática , entre placas, sendo uma placa estacionária e
outra móvel.
Escoamento em regime permanente entre placas planas, a superior estacionária e a inferior móvel, com velocidade constante.
ρ v
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O domínio espacial é definido por , em que é o espaçamento entre placas. Esse domínio pode
ser discretizado, por exemplo, por pontos de malha ou de grade fixos igualmente distribuídos, tal que:
Rotacione a tela. 
Onde .
Para o domínio do tempo, vamos considerar o intervalo de tempo até que o escoamento alcance o estado
estacionário, onde . Assim, o domínio temporal será definido por , que pode ser
discretizado, por exemplo, por níveis temporais igualmente espaçados, tal que:
Rotacione a tela. 
A discretização espacial e temporal, descritas para o escoamento observado na imagem anterior, segue a
representação da imagem a seguir, em que o eixo espacial está posicionado na horizontal. Veja:
Sistema de malhas e níveis temporais para o escoamento entre placas representado na imagem anterior.
0 ≤ y ≤ H H
yj = (j − 1)Δy, j = 1, 2, 3, … ,JL
JL = H
t = T 0 ≤ t ≤ T
n
tn = nΔt, n = 0, 1, 2, …
y
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Nessa imagem, cada ponto no domínio discretizado tem coordenadas . Devemos observar, ainda,
que é a distância entre dois pontos adjacentes da malha, e é o tamanho do passo temporal.
Assim, a solução da equação de Navier-Stokes é:
Rotacione a tela. 
Em que é a velocidade na direção e deve apresentar resultados somente nos pontos de
malha e nos níveis temporais.
A solução discretizada será representada por:
Rotacione a tela. 
Como as rotinas computacionais só realizam operações aritméticas de soma, subtração, multiplicação e
divisão, podemos considerar o seguinte teorema:
Se uma função e suas derivadas são contínuas, então o valor dessa função, em
qualquer ponto, pode ser escrito em termos de e suas derivadas em qualquer outro
ponto utilizando, para isso, uma expansão em séries de Taylor, desde que o outro
ponto esteja dentro do raio de convergência da série.
Assim, podemos escrever as seguintes séries de Taylor:
Rotacione a tela. 
Os operadores de diferenças, apresentados a seguir, são obtidos através de operações diretas das séries de
Taylor acima:
(yj, t
n)
Δy Δt
∂u
∂t
= v
∂ 2u
∂y2
u x u = u(y, t)
unj = u (yj, t
n)
uj+1 = uj + (
∂u
∂y
)
j
Δy + (
∂ 2u
∂y2
)
j
Δy2
2!
+ (
∂ 3u
∂y3
)
j
Δy3
3!
+ ⋯
uj−1 = uj − (
∂u
∂y
)
j
Δy + ( ∂
2u
∂y2
)
j
Δy2
2!
− ( ∂
3u
∂y3
)
j
Δy3
3!
+ ⋯
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Rotacione a tela. 
Assim:
Rotacione a tela. 
Porém:
Rotacione a tela. 
Portanto:
Rotacione a tela. 
Ou seja:
Rotacione a tela. 
Nos operadores apresentados, os termos e representam os erros de truncamento na série
de Taylor, que recebem as seguintes denominações: precisão de primeira ordem para os operadores que
( ∂u
∂y
)
j
=
uj+1 − uj
Δy
+ O(Δy)
( ∂u
∂y
)
j
=
uj − uj−1
Δy
+ O(Δy)
uj+1 − uj−1 = uj − uj + 2(
∂u
∂y
)
j
Δy
( ∂u∂y )
j
=
uj+1−uj−1
2Δy + 0 (Δy
2)
( ∂ 2u
∂y2
)
j
= [uj+1 − uj − ( ∂u∂y )
j
Δy] 2
Δy2
−( ∂u
∂y
)
j
Δy = uj−1 − uj − (
∂ 2u
∂y2
)
j
Δy2
2
(
∂ 2u
∂y2
)
j
= [uj+1 − uj + uj−1 − uj − (
∂ 2u
∂y2
)
j
Δy2
2
]
2
Δy2
( ∂
2u
∂y2
)
j
=
uj+1 − 2uj + uj−1
Δy2
+ 0 (Δy2)
O(Δy) O (Δy2)
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apresentam erro de truncamento e precisão de segunda ordem para os operadores que apresentam
erro de truncamento .
Finalmente, temos a equação de Navier-Stokes discretizada:
Rotacione a tela. 
Em que 
Nessa equação, vamos considerar que a solução no tempo é conhecida e que a solução no tempo é
procurada.
A solução dessa equação pode ser obtida por método explícito, onde , ou seja, todas as derivadas
espaciais serão calculadas no tempo , o nível de tempoanterior no qual a solução é conhecida. Assim,
com o operador de tempo à frente e para o operador , temos:
Rotacione a tela. 
Sendo assim, com precisão temporal de primeira ordem e precisão espacial de segunda ordem.
Como a incógnita procurada é , a expressão acima pode ser reescrita como:
Rotacione a tela. 
As condições de contorno são:
Rotacione a tela. 
Outro método de solução é o método implícito, onde , ou seja, todas as derivadas espaciais
serão calculadas em , o novo nível de tempo no qual a solução é desconhecida.
O(Δy)
O (Δy2)
( ∂u
∂t
+ v
∂ 2u
∂y2
)
n′
t
n ≤ n′ ≤ n + 1
tn tn+1
n′ = n
tn
(∂u/∂y)j (∂ 2u/∂y2)j
un+1j − u
n
j
Δt
= v
unj+1 − 2u
n
j + u
n
j−1
Δy2
+ O (Δt, Δy2)
un+1j
un+1
j
= βunj−1 + (1 − 2β)u
n
j + βu
n
j+1, β = v
Δt
Δy2
un1 = u
n+1
1 = V0
unJL = u
n+1
JL
= 0
n′ = n + 1
tn+1
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Assim, temos:
Rotacione a tela. 
A equação acima pode ser reescrita isolando-se . Assim, temos:
Rotacione a tela. 
A equação acima pode ser reescrita isolando-se . Assim, temos:
Rotacione a tela. 
un+1j − u
n
j
Δt
= v
un+1j+1 − 2u
n+1
j + u
n+1
j−1
Δy2
+ 0 (Δt, Δy2)
un
j
un+1
j
− un
j
Δt
= v
un+1
j+1 − 2u
n+1
j
+ un+1
j−1
Δy2
+ O (Δt, Δy2)
un
j
unj = −βu
n+1
j−1 + (1 − 2β)u
n+1
j − βu
n+1
j+1 , β = v
Δt
Δy2
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Para as representações abaixo de (a) até (d), as malhas processadas pela dinâmica dos fluidos
computacional são, respectivamente, do tipo:
A Híbrida, estruturada, não estruturada, híbrida.
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Parabéns! A alternativa B está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
As equações diferenciais parciais na dinâmica dos fluidos computacional (DFC), em função do
processo de discretizaccão, exigem o truncamento das séries de potência para gerar os operadores de
diferenças. Assim, para a equação de Navier-Stokes discretizada,
O método explícito de solução permite escrever:
Dito isso, o que representa o termo ?
B Estruturada, não estruturada, não estruturada, híbrida.
C Não estruturada, estruturada, não estruturada, estruturada.
D Estruturada, híbrida, estrutura, não estruturada.
E Não estruturada, não estruturada, estruturada, híbrida.
( ∂u∂t + v
∂ 2u
∂y2
)
n′
t
un+1j −u
n
j
Δt = v
unj+1−2u
n
j +u
n
j−1
Δy2
+ O (Δt, Δy2)
O (Δt, Δy2)
A Erros de truncamento, sendo linear no tempo e quadrado no espaço.
B
Incremento de passos, sendo a precisão de primeira ordem no tempo, e a de segunda
ordem no espaço.
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Parabéns! A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Considerações �nais
Vimos as equações de continuidade de fluidos e como podemos determinar o volume de controle através
da variação do volume máximo e da derivada parcial em relação ao tempo.
Compreendemos que, para uma análise completa sobre fluidos, é necessário compreender a taxa em
função do tempo e em função do espaço.
Vimos como é possível deduzir a equação de Bernoulli da equação de continuidade, e como se destacam as
equações diferenciais das equações de continuidade e de Navier-Stokes. Além disso, fizemos uma breve
introdução à dinâmica dos fluidos computacional.
Podcast
C Erros de truncamento, sendo a precisão de primeira ordem no tempo, e a de segunda
ordem no espaço.
D Erros de truncamento, sendo a precisão de terceira ordem no tempo e no espaço.
E Incremento de passos, sendo linear no tempo e quadrado no espaço.

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Para encerrar, ouça mais sobre alguns conceitos importantes associados ao equacionamento do
movimento dos fluidos.
Explore +
Confira as indicações que separamos para você!
Leia o artigo Uma interface de controle para a fluidodinâmica computacional, escrito por Fernandes e
Moreira em 2019, e publicado no volume 41 da Revista Brasileira de Ensino de Física, que apresenta uma
proposta para a utilização da dinâmica de fluidos computacional sob uma perspectiva educacional.
Pesquise sobre a expansão das equações da continuidade e de Navier-Stokes em coordenadas cilíndricas. É
importante ter conhecimento de que as equações diferenciais da continuidade e de Navier-Stokes podem
ser escritas, por conveniência do problema sobre investigação, em coordenadas cilíndricas.
Como sugestão, você pode ler o capítulo 9 da obra Mecânica dos fluidos: Fundamentos e aplicações,
edição de 2015, dos autores Çengel e Cimbala, especificamente os trechos das páginas 439 a 445 e 468 a
470.
O capítulo 5 da obra Introdução à Mecânica dos Fluidos, edição de 2018, de Fox e outros autores, também
aborda o tema sob essa mesma perspectiva, especificamente nos seguintes intervalos de páginas: 154-162,
166-167, 183-185, 201-202.
Referências
21/09/2023, 18:27 Equações diferenciais de movimento de fluidos
https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04389/index.html# 51/51
ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos fluidos: Fundamentos e aplicações. 3 ed. Porto Alegre: AMGH,
2015.
COELHO, J. C. M. Energia e Fluidos: Mecânica dos Fluidos. v. 2. São Paulo: Blucher, 2016. Cap. 5, 8 e 11.
ELGER, D. F. Mecânica dos Fluidos para Engenharia. 11 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2019.
FOX, R. W.; MCDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J.; MICHTELL, J. W. Introdução à Mecânica dos Fluidos. 9 ed.
Rio de Janeiro: LTC, 2018. Cap. 5 e 6.
HIBBELER, R. C. Mecânica dos Fluidos. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2016.
OLIVEIRA, L. A.; LOPES, A. G. Mecânica dos Fluidos. 3. ed. Lisboa: Lidel Edições Técnicas, 2010.
POTTER, M. C.; WIGGERT, D. C.; RAMADAN, B. H. Mecânica dos Fluídos. São Paulo: Cengage Learning Brasil,
2014.
WHITE, F. M. Mecânica dos Fluidos. 8. ed. Porto Alegre: AMGH, 2018.
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