Equações diferenciais de movimento de fluidos

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Equações
diferenciais de
movimento de
�uidos
Prof. Fábio Bicalho Cano
Descrição
A interpretação matemática do escoamento de fluidos estruturada nas
equações diferenciais da continuidade e de Navier-Stokes.
Propósito
Ter o entendimento das equações da continuidade e de Navier-Stokes,
que se aplicam a todos os pontos no campo de escoamento dos fluidos,
é fundamental na formação do engenheiro, principalmente quando a
complexidade matemática exige a aplicação de um código de dinâmica
dos fluidos computacional. Assim, a descrição do escoamento é
conseguida com a solução dessas equações acopladas às condições
de contorno ou iniciais.
Preparação
Antes de iniciar o seu estudo, certifique-se de ter acesso à calculadora
científica e faça o download do Solucionário.
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Objetivos
Módulo 1
Equações de Navier-Stokes
Reconhecer as equações diferenciais da continuidade e da
quantidade de movimento.
Módulo 2
Soluções para escoamento laminar
Aplicar a equação da quantidade de movimento ao escoamento
laminar.
Módulo 3
Introdução à dinâmica de �uidos
computacional
Identificar os fundamentos da dinâmica dos fluidos computacional
(DFC).
Introdução
Confira agora a analise dos conceitos que serão desenvolvidos
neste conteúdo: equação diferencial da continuidade; equações
de Navier-Stokes; e conceitos iniciais relacionados com a DFC.

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1 - Equações de Navier-stokes
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer as equações diferenciais da
continuidade e da quantidade de movimento.
Vamos começar!
Equações diferenciais da
continuidade e da quantidade de
movimento
Confira agora o desenvolvimento matemático que permite traduzir o
princípio de conservação de massa através da equação diferencial da
continuidade e o princípio da conservação da quantidade de movimento
através das equações de Navier-Stokes.

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Equação diferencial da lei de
conservação de massa
As formas diferenciais das leis básicas de conservação permitem
determinar as quantidades integrais. Uma metodologia para a obtenção
das formas diferenciais das leis de conservação consiste em identificar
um elemento infinitesimal no espaço e aplicar sobre ele as leis de
conservação.
A conservação da massa, aplicada a um elemento infinitesimal, permite
a obtenção da equação de continuidade, que relaciona os campos de
massa específica e de velocidade .
A denominação campo se deve ao fato de a propriedade
dependente, no caso ou , ser função de mais de uma
variável independente.
Para a determinação da equação da continuidade, vamos considerar a
imagem a seguir, na qual os componentes do fluxo mássico no centro
do elemento de volume de controle infinitesimal, nas direções e ,
respectivamente, são iguais a: e . O balanço de massa para
esse volume infinitesimal (um diminuto volume de controle, VC)
estabelece que o fluxo mássico líquido no volume é igual à variação de
massa no volume, ou seja:
Onde:
 ó fluxo de massa que entra.
 ó o fluxo de massa que sai.
 é a massa do volume de controle.
ρ = ρ(x, y, z, t) V = V (x, y, z, t)
ρ V
x, y z
ρu, ρv ρw
ṁentra  − ṁsai =
∂
∂t
mVC
ṁentra 
ṁsai 
mVC
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Assim, considerando a notação da imagem a seguir, temos para o
balanço de massa em coordenadas cartesianas, quando consideramos
a variação do fluxo mássico do centro do volume para uma das faces
afastada de uma distância , ou , ou , dependendo da
direção escolhida. Veja:
Volume de controle infinitesimal em coordenadas cartesianas.
Matematicamente, podemos escrever o balanço em massa, como:
Dividindo toda a expressão acima por dxdydz, podemos escrever:
Aplicando a regra de diferenciação para o produto de duas variáveis,
temos:
A derivada substancial ou derivada material leva em consideração uma
variação temporal local da propriedade e uma variação devido ao
transporte convectivo, traduzida pelo operador:
dx/2 dy/2 dz/2
[ρu − ∂(ρu)
∂x
dx
2
]dydz − [ρu + ∂(ρu)
∂x
dx
2
]dydz+
+ [ρv −
∂(ρv)
∂y
dy
2
]dxdz − [ρv +
∂(ρv)
∂y
dy
2
]dxdz+
+ [ρw −
∂(ρw)
∂z
dz
2
]dxdy − [ρw +
∂(ρw)
∂z
dz
2
]dxdy = ∂
∂t
(ρdxdydz)
∂ρ
∂t
+
∂(ρu)
∂x
+
∂(ρv)
∂y
+
∂(ρw)
∂z
= 0
∂ρ
∂t
+ u
∂ρ
∂x
+ v
∂ρ
∂y
+ w
∂ρ
∂z
+ ρ( ∂u
∂x
+
∂v
∂y
+
∂w
∂z
) = 0
D
Dt
=
∂
∂t
+ u
∂
∂x
+ v
∂
∂y
+ w
∂
∂z
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Assim, temos para o balanço de massa:
Essa é a equação diferencial da continuidade que expressa o princípio
da conservação da massa.
Considerando o operador gradiente ou "del" e os vetores unitários e 
, nas direções e , respectivamente, temos:
Podemos, então, escrever a equação diferencial da continuidade como:
Em que é denominado divergente da velocidade.
Para um fluido com massa específica constante ao longo de uma linha
de corrente, a equação da continuidade é escrita conforme a expressão:
Equação diferencial da quantidade de
movimento
A Segunda Lei de Newton, aplicada a um elemento de volume
infinitesimal, irá gerar três equações diferenciais denominadas
equações de Navier-Stokes, que relacionam os campos de velocidade,
pressão e massa específica, além de levar em consideração as forças
viscosas e a força de campo gravitacional.
Muitos problemas de engenharia estão relacionados
com escoamentos isotérmicos e incompressíveis, nos
Dρ
Dt
+ ρ( ∂u
∂x
+
∂v
∂y
+
∂w
∂z
) = 0
→ı,→ȷ →k
x, y z
→∇ =
∂
∂x
→ı +
∂
∂y
→ȷ +
∂
∂z
→k
Dρ
Dt
+ ρ →∇ ⋅ →V = 0
→∇ ⋅ →V
→∇ ⋅ →V = 0
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quais a temperatura não tem influência. Para esses
escoamentos, as três equações de Navier-Stokes e a
equação da continuidade representam quatro
equações diferenciais, que permitem a obtenção dos
campos de velocidade e de pressão.
Para tanto, as equações diferenciais parciais necessitam da
especificação de valores para as variáveis independentes, de modo que
as variáveis dependentes sejam quantificadas. Nesse contexto, se a
variável independente é o tempo, as condições são chamadas de
condições iniciais, e, se a variável independente é uma coordenada
espacial, as condições são denominadas de condições de contorno.
Na mecânica dos fluidos, as condições de contorno fundamentam-se
em:
Condições de não escorregamento para um escoamento viscoso,
em que o fluido em contato íntimo com a superfície apresenta a
mesma velocidade da superfície.
Existência única da componente normal da velocidade, em que os
efeitos viscosos são desprezíveis.
Conhecimento da pressão na interface de um escoamento que
envolve uma superfície livre.
Conhecimento da temperatura ou de seu gradiente no contorno de
uma superfície.
Na determinação da equação da conservação da quantidade de
movimento para um elemento de partícula de fluido infinitesimal, vamos
considerar que as tensões que atuam sobre o elemento de fluido, em
coordenadas cartesianas, seguem a notação da imagem a seguir.
Observe a notação para as tensões normais (geradas por forças
normais) e tensões de cisalhamento (geradas por forças tangentes)
no elemento de fluido, em que o primeiro subscrito representa oplano, e
o segundo a direção da força distribuída aplicada.
σ
τ
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Notação para as tensões normais e tensões de cisalhamento .
Vamos considerar agora a notação da imagem a seguir, que apresenta
as forças que atuam sobre a partícula infinitesimal de fluido, com força
de campo gravitacional em uma direção arbitrária.
Podemos escrever para a orientação espacial e, de forma equivalente,
para as demais orientações, quando consideramos as tensões na
direção no centro das faces, afastadas de uma distância , ou
, ou , dependendo da face, e que as componentes do fluxo
mássico no centro do volume infinitesimal de fluido, nas direções e
, são, respectivamente, iguais a e .
Forças de superfície, de campo e de contato, que atuam sobre uma partícula infinitesimal de fluido.
Para o balanço do momento, temos:
σ τ
x
x dx/2
dy/2 dz/2
x, y
z ρu, ρv ρw
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Assim, podemos escrever para a orientação espacial:
De forma equivalente para direção y:
Para a direção z:
− + =
⎛⎜⎝  Taxa de  momento  que entra ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝  Taxa de  momento  que sai  ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝  Somatório das  forças que atuam  no sistema  ⎞⎟⎠ ⎛⎜⎝  Taxa de  acúmulo do  momento  ⎞⎟⎠[ρu →V − ∂(ρu →V )∂x dx2 ]dydz − [ρu →V + ∂(ρu →V )∂x dx2 ]dydz+[σxx + ∂σxx∂x dx2 ]dydz − [σxx − ∂σxx∂x dx2 ]dydz+[τyx + ∂τyx∂y dy2 ]dxdz − [τyx − ∂τyx∂y dy2 ]dxdz+[τzx + ∂τzx∂z dz2 ]dxdy − [τzx − ∂τzx∂z dz2 ]dxdy++ ρgxdxdydz = ∂∂t (ρu)dxdydz[ρv →V − ∂(ρv →V )∂y dy2 ]dxdz − [ρv →V + ∂(ρv →V )∂y dy2 ]dxdz+
[σyy +
∂σyy
∂y
dy
2
]dxdz − [σyy −
∂σyy
∂y
dy
2
]dxdz+
[τxy +
∂τxy
∂x
dx
2
]dydz − [τxy −
∂τxy
∂x
dx
2
]dydz+
[τzy +
∂τzy
∂z
dz
2
]dxdy − [τzy −
∂τzy
∂z
dz
2
]dxdy+
+ ρgydxdydz =
∂
∂t
(ρv)dxdydz
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Dividindo todos os termos da equação acima por dxdydz, obtemos:
A pressão é gerada por forças normais compressivas, portanto:
. Considerando a derivada substancial e sabendo que, para o
elemento de fluido infinitesimal , e , temos
a seguinte expressão vetorial para a equação acima:
O termo do lado esquerdo da equação acima, assume a seguinte forma
vetorial:
Aplicando as regras de diferenciação, temos:
Reagrupando, temos:
[ρw →V −
∂(ρw →V )
∂z
dz
2
]dxdy − [ρw →V +
∂(ρw →V )
∂z
dz
2
]dxdy+
[σzz +
∂σzz
∂z
dz
2
]dxdy − [σzz −
∂σzz
∂z
dz
2
]dxdy+
[τxz +
∂τxz
∂x
dx
2
]dydz − [τxz −
∂τxz
∂x
dx
2
]dydz+
[τyz +
∂τyz
∂y
dy
2
]dxdz − [τyz −
∂τyz
∂y
dy
2
]dxdz+
+ ρgzdxdydz =
∂
∂t
(ρw)dxdydz
∂σxx
∂x
+
∂σyy
∂y
+
∂σzz
∂z
+
∂τyx
∂y
+
∂τzx
∂z
+
∂τxy
∂x
+
∂τzy
∂z
+
∂τxz
∂x
+
∂τyz
∂y
+
+ ρ (gx + gy + gz) =
∂
∂t
(ρu) +
∂
∂t
(ρv) +
∂
∂t
(ρw) +
∂(ρu →V )
∂x
+
∂(ρv →V )
∂y
+
∂(ρw →V )
∂z
p = −σii
τyx = τxy τzx = τxz τzy = τyz
∂
∂t (ρu) +
∂
∂t (ρv) +
∂
∂t (ρw) +
∂(ρu →V )
∂x +
∂(ρv →V )
∂y +
∂(ρw →V )
∂z = −
→∇p + →∇ ⋅ →τij + ρ→g
∂
∂t
(ρ →V ) +
∂
∂x
(ρu →V ) +
∂
∂y
(ρv →V ) +
∂
∂z
(ρw →V )
ρ
∂ →V
∂t
+ →V
∂ρ
∂t
+ ρu
∂ →V
∂x
+ →V
∂(ρu)
∂x
+ ρv
∂ →V
∂y
+ →V
∂(ρv)
∂y
+ ρw
∂ →V
∂z
+ →V
∂(ρw)
∂z
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Ou seja:
O termo entre colchetes é a equação diferencial da continuidade, sendo
igual a zero. Assim, temos, para a equação diferencial da quantidade de
movimento, com base na derivada substancial:
Na equação acima, quando os efeitos viscosos são desprezíveis, temos
a equação de Euler:
Os fluidos newtonianos obedecem às seguintes relações:
Para a situação de fluido newtoniano, isotrópico (apresenta
propriedades independentes da direção), homogêneo (as propriedades
dos fluidos são independentes da posição) e incompressível, as
equações diferenciais da quantidade de movimento passam a ser
denominadas de equações de Navier-Stokes, assumindo a seguinte
forma vetorial:
→V [ ∂ρ∂t +
∂(ρu)
∂x +
∂(ρv)
∂y +
∂(ρw)
∂z ] + ρ(
∂ →V
∂t + u
∂ →V
∂x + v
∂ →V
∂y + w
∂ →V
∂z )
→V [ ∂ρ
∂t
+ →∇ ⋅ (ρ →V )] + ρ( ∂
→V
∂t
+ u
∂ →V
∂x
+ v
∂ →V
∂y
+ w
∂ →V
∂z
)
ρ D
→V
Dt
= − →∇p + →∇ ⋅ →τij + ρ→g
ρ D
→V
Dt
= − →∇p + ρ→g
σxx = −2μ
∂u
∂x
+
2
3
μ( →∇ ⋅ →V )
σyy = −2μ
∂v
∂y
+
2
3
μ( →∇ ⋅ →V )
σzz = −2μ
∂w
∂z
+
2
3
μ( →∇ ⋅ →V )
τxy = τyx = −μ(
∂u
∂y
+
∂v
∂x
)
τyz = τzy = −μ(
∂v
∂z
+
∂w
∂y
)
τzx = τxz = −μ(
∂w
∂x
+
∂u
∂z
)
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Em que o operador laplaciano é definido por:
E e é denominado laplaciano da velocidade.
As equações de Navier-Stokes, em relação às coordenadas e ,
considerando as suas respectivas componentes de velocidade nessas
direções, , são escritas como:
Equação de Navier-Stokes: exemplos
práticos
Agora é hora de vermos alguns exemplos a partir da equação de Navier-
Stokes. Vamos lá?
Exemplo 1
A integração da equação de Euler ao longo de uma linha de corrente
permite a obtenção da equação de Bernoulli, aplicada ao escoamento
em regime permanente de fluidos invíscidos e incompressíveis.
Considere a representação a seguir de uma linha de corrente genérica,
em que é o vetor unitário perpendicular à linha de corrente, é o vetor
unitário tangente à linha de corrente, é o vetor unitário na direção
ρ
D →V
Dt
= − →∇p + ρ→g + μ →∇2 →V
∇2 =
∂ 2
∂x2
+
∂ 2
∂y2
+
∂ 2
∂z2
−→
→∇2 →V
x, y z
u, v,w
ρ
Du
Dt
= −
∂p
∂x
+ ρgx + μ(
∂ 2u
∂x2
+
∂ 2u
∂y2
+
∂ 2u
∂z2
)
ρ
Dv
Dt
= −
∂p
∂y
+ ρgy + μ(
∂ 2v
∂x2
+
∂ 2v
∂y2
+
∂ 2v
∂z2
)
ρ
Dw
Dt
= −
∂p
∂z
+ ρgz + μ(
∂ 2w
∂x2
+
∂ 2w
∂y2
+
∂ 2w
∂z2
)
n̂ ŝ
k̂
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vertical e é a velocidade genérica tangente à linha de corrente.
Diante dessas informações, a partir da equação de NavierStokes,
obtenha a equação de Bernoulli.
Linha de corrente genérica para obtenção da equação de Bernoulli.
Solução
Equação de Navier-Stokes:
Desprezando os efeitos viscosos, temos a equação de Euler:
Para a representação no plano, vamos considerar as orientações
espaciais tangente e normal à linha de corrente. Então, temos para a
velocidade:
Para uma linha de corrente, todas as partículas de fluido seguem essa
linha com velocidade tangente, e não se considera movimento em outra
direção, ou seja, só existem variações das propriedades na direção do
vetor unitário . Assim, temos:
z V
ρ D
→V
Dt
= − →∇p + →∇ ⋅ →τij + ρ→g
ρ D
→V
Dt
= − →∇p + ρ→g
→V = V ŝ + Vnn̂
ŝ
→V = V ŝ
D →V
Dt
=
∂(V ŝ)
∂t
+ V
∂(V ŝ)
∂s
=
∂(V ŝ)
∂t
+ V (V
∂ŝ
∂s
+ ŝ
∂V
∂s
)
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O termo representa a variação na direção do vetor unitário
tangente à linha de corrente em relação à direção normal, ou seja, uma
variação que deve ser desconsiderada. Logo:
O termo representa a variação na direção do vetor unitário
tangente à linha de corrente em relação à direção normal, ou seja, uma
variação que deve ser desconsiderada. Logo:
Para a variação da pressão ao longo da linha de corrente:
Então, temos para a equação de Euler:
Conforme a representação acima, devemos observar:
Portanto:
Para o escoamento em regime permanente, não existe variação
temporal, assim:
∂ŝ/∂s
D →V
Dt
=
∂(V ŝ)
∂t
+ V ŝ
∂V
∂s
=
∂(V ŝ)
∂t
+ V
∂V
∂s
∂ŝ/∂s
D →V
Dt
=
∂(V ŝ)
∂t
+ V ŝ
∂V
∂s
=
∂(V ŝ)
∂t
+ V
∂V
∂s
→∇p =
∂p
∂s
ŝ +
∂p
∂n
n̂ =
∂p
∂s
ŝ =
∂p
∂s
ρ [
∂(V ŝ)
∂t
+ V
∂V
∂s
] = −
∂p
∂s
− ρg
∂z
∂s
k̂s = k̂ cos(90 − θ)= k̂ sen θ
gs = −g sen θ
sen θ =
dz
ds
ρ→g = −ρgs = −ρg
dz
ds
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Para uma mesma diferencial em relação a s, considerando a massa
específica constante, temos:
A análise matemática da expressão acima define:
Ou seja, ao longo de uma linha de corrente para um escoamento em
regime permanente de um fluido incompressível e invíscido, estabelece-
se que a soma das pressões dinâmica, estática e de coluna é constante,
definindo-se a equação anterior, chamada de equação de Bernoulli.
Exemplo 2
Verifique se o escoamento descrito pelo campo de velocidade a seguir é
incompressível.
Solução
Considerando o perfil de velocidades fornecido e os vetores unitários na
direção e y iguais a e , respectivamente, temos:
A equação da continuidade para um fluido incompressível estabelece
que:
ρV
∂V
∂s
+
∂p
∂s
+ ρg
dz
ds
= 0
d
ds
(
ρV 2
2
+ p + ρgz) = 0
ρV 2
2
+ p + ρgz =  constante 
→V = −yt→ı + xt→ȷ
x →ı →ȷ
u = −yt
v = xt
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→∇ ⋅ →V = 0
∂u
∂x
+
∂v
∂y
= 0
∂(−yt)
∂x
= 0
∂(xt)
∂y
= 0
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Assinale a opção que contém a equação da continuidade para um
fluido incompressível.
Parabéns! A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no
campo Preparação.
Questão 2
A formulação da equação de Navier-Stokes apresentada a seguir,
aplica-se a que tipo de fluido?
A ∂ρ∂t = −
→∇ ⋅ (ρ →V )
B Dρ
Dt
= − →∇ ⋅ (ρ →V )
C Dρ
Dt
= −ρ(∇ ⋅ →V )
D →∇ ⋅ →V = 0
E constante→V =
ρ D
→V
Dt
= − →∇p + ρ→g + μ →∇2 →V
A Qualquer fluido viscoso.
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Parabéns! A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no
campo Preparação.
2 - Soluções para escoamento laminar
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar a equação da quantidade de movimento ao
escoamento laminar.
Vamos começar!
B Pseudoplático.
C Newtoniano.
D Dilatante.
E Bingham.
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Como aplicar a equação da
quantidade de movimento ao
escoamento laminar?
Confira agora como resolver um exemplo prático de escoamento
laminar através da aplicação da equação de conservação da quantidade
de movimento.
Escoamento laminar em tubos
Um escoamento totalmente desenvolvido é aquele em que o perfil de
velocidades não se altera na direção do escoamento.
Para o equacionamento de um escoamento laminar, caracterizado por
número de Reynolds relativamente baixo, as grandezas físicas, como
velocidade, pressão, temperatura etc., que caracterizam o escoamento,
são invariantes no tempo, uma vez que qualquer perturbação ao
escoamento será imediatamente amortecida pelos efeitos viscosos.
Dessa forma, vamos considerar o volume elementar de fluido
representado na imagem a seguir, que considera um escoamento
laminar totalmente desenvolvido no interior de um tubo.

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Escoamento totalmente desenvolvido em duto de seção reta circular.
O balanço de forças sobre o volume elementar de fluido fornece:
Isso porque o perfil de velocidades não se altera, mantendo constante a
quantidade de movimento e permitindo estabelecer que a força
resultante é zero.
Assim, com base na representação do elemento de volume de fluido da
imagem anterior, temos para a força resultante:
Considerando a direção ao longo do eixo de simetria do tubo inclinado
e a direção perpendicular à base que define um ângulo de inclinação 
para o tubo, podemos observar a seguinte relação trigonométrica:
Portanto, temos:
Considerando que, para o escoamento laminar, vale a equação de fluido
newtoniano:
Nesse caso, o sinal "negativo" faz com que a tensão de cisalhamento
seja numericamente positiva, satisfazendo o balanço de forças, que, na
formulação apresentada, considera essa tensão em módulo. Nessa
análise, devemos observar que . Logo:
∑ →F = 0
pπr2 − (p + dp)πr2 − τ(2πr)dx + γπr2dx sen θ = 0
x
h θ
sen θ =
−dh
dx
pπr2 − (p + dp)πr2 − τ(2πr)dx − γπr2dx
dh
dx
= 0
⇒ τ(2πr)dx = −πr2dp − γπr2dh
⇒ τ = −
r
2
d
dx
(p + γh)
τ = −μdu/dr
du/dr < 0
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Integrando a equação anterior:
Esse perfil de velocidades é parabólico, e esse tipo de escoamento é
denominado escoamento de Poiseuille.
Para o cálculo da velocidade média, temos:
Substituindo o valor de :
Para o escoamento totalmente desenvolvido, é constante e, para
um tubo na horizontal, . Assim, para um tubo horizontal de
comprimento total , à medida que aumentamos o comprimento do
tubo, aumentamos a queda de pressão. Já para o fluido em
escoamento, à medida que aumentamos , reduzimos a pressão do
escoamento. Ou seja:
A velocidade é máxima quando . Assim, temos:
−μ
du
dr
= −
r
2
d
dx
(p + γh)
∫
u(r)
u=o
du = ∫
r
r=r0
r
2μ
d
dx
(p + γh)dr
u(r) =
1
4μ
d
dx
(p + γh) (r2 − r20)
v̄ =
Q
ASR
=
∫ vdA
ASR
=
∫ r00 u(r)2πrdr
πr20
u(r)
v̄ =
2
r20
∫
r0
0
1
4μ
d
dx
(p + γh) (r2 − r20)rdr
v̄ =
1
2r20μ
d
dx
(p + γh) [∫
r0
0
r3dr − ∫
r0
0
r20rdr] =
1
2r20μ
d
dx
(p + γh)[
r40
4
−
r40
2
]
v̄ = −
r20
8μ
d
dx
(p + γh)
dp/dx
h = 0
L
x p
Δp
L
= −
dp
dx
=
8μv̄
r20
r = 0
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Para a tensão de cisalhamento de um fluido newtoniano, temos:
Considerando um tubo horizontal de comprimento e chamando de 
a tensão de cisalhamento na parede. Veja:
Ou seja, a queda de pressão na tubulação será determinada por:
Vamos considerar, agora, um parâmetro adimensional, que representa
uma tensão de cisalhamento adimensional na parede do duto,
conhecida como fator de atrito , definido pela expressão:
Em que é a pressão dinâmica. Então, podemos escrever para a
queda de pressão na tubulação:
Como o diâmetro do tubo é o dobro do raio , e o peso específico do
fluido, no SI (Sistema Internacional de Unidades), é determinado por
, temos, para a queda de pressão na tubulação:
Definindo a perda de carga , temos:
uma ́x = −
1
4μ
d
dx
(p + γh)r20 = 2v̄
τ = −μ
du
dr
= −
r
2
d
dx
(p + γh)
L τ0
τ0 = −
r0
2
dp
dx
=
r0
2
Δp
L
Δp =
2τ0L
r0
f
f ≡
τ0
1/8ρv̄2
ρv̄2
Δp =
2τ0L
r0
=
2L
r0
fρv̄2
8
D r0
γ = ρg
Δp =
L
r0
fρv̄2
4
=
2L
D
fγv̄2
4g
= f
L
D
v̄2
2g
γ
hL
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A equação acima é chamada de equação de Darcy-Weisbach.
Para o escoamento laminar, , o que permite escrever:
Escoamento laminar entre placas
paralelas
Considere o elemento de volume de um fluido incompressível
representado na imagem a seguir, de comprimento unitário na direção z,
ortogonal ao plano da imagem, pertencente a um escoamento
totalmente desenvolvido entre placas planas paralelas, em regime
permanente, em que a placa superior tem velocidade constante U e a
inferior é estacionária.
Escoamento totalmente desenvolvido entre placas planas paralelas.
Como o perfil de velocidades é constante, não existe variação de
quantidade de movimento para o elemento de volume na direção , o
quepermite estabelecer que o . Assim:
hL ≡
Δp
γ
= f
L
D
v̄2
2g
f = 64/Re
hL = f
L
D
v̄2
2g
=
64
ρv̄D/μ
L
D
v̄2
2g
=
32μLv̄
γD2
x
∑ →Fx = 0
pdy − (p + dp)dy − τdx + (τ + dτ)dx + γ(dxdy) sen θ = 0
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Para um pequeno espaçamento entre placas , podemos considerar que
a pressão é dependente somente da direção . Dividindo a expressão
anterior por , que representa o volume do elemento de fluido, uma
vez que , temos:
Da relação trigonométrica para o ângulo de inclinação das placas:
, considerando e a viscosidade constante,
temos:
Ou seja:
Para a solução dessa equação, devemos observar que o lado esquerdo
da equação é função somente de , e que o lado direito é função
somente de . Assim, essa igualdade só tem sentido matemático se as
derivadas igualadas representarem uma constante. Logo, para a
determinação do perfil de velocidades, podemos associar o seguinte
processo de integração:
Em que e são as constantes de integração.
A condição de contorno: quando , permite a determinação:
.
Temos ainda: quando . Portanto:
Dessa forma, o perfil de velocidades tem como expressão:
a
x
dxdy
dz = 1
dτ
dy
=
dp
dx
− γ sen θ
sen θ = −dh/dx τ = μdu/dy
μ
d2u
dy2
=
dp
dx
+ γ
dh
dx
d2u
dy2
=
1
μ
d
dx
(p + γh)
y
x
u(y) =
y2
2μ
d
dx
(p + γh) + C1y + C2
C1 C2
u = 0 y = 0
C2 = 0
u = U y = a
U =
a2
2μ
d
dx
(p + γh) + C1a ⇒ C1 =
U
a
−
a
2μ
d
dx
(p + γh)
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Essa expressão representa um perfil de velocidades parabólico e, se
esse escoamento for originado somente pelo movimento da placa
superior, ele será denominado de escoamento de Couette. .
Vamos considerar, agora, que a placa superior também é estacionária,
ou seja, U = 0. Assim, o perfil de velocidades será dado por:
Para uma profundidade de placa unitária , a vazão entre
placas será quantificada como:
Para a velocidade média, temos:
Para as placas na horizontal, supondo um comprimento , temos para o
escoamento entre placas, a seguinte queda de pressão:
A velocidade máxima ocorre quando , ou seja:
Para a tensão de cisalhamento, podemos escrever:
Como:
u(y) =
1
2μ
d
dx
(p + γh) (y2 − ya) +
U
a
y
u(y) =
1
2μ
d
dx
(p + γh) (y2 − ya)
dA = 1 ⋅ dy Q
Q = ∫ udA = ∫
y=a
y=0
1
2μ
d
dx
(p + γh) (y2 − ya)dy = −
a3
12μ
d
dx
(p + γh)
v̄ =
Q
a × 1
= −
a2
12μ
d
dx
(p + γh)
L
Δp
L
= −
dp
dx
=
12μv̄
a2
y = a/2
uma ́x =
1
2μ
dp
dx
( a24 −
a
2 a) = −
a2
8μ
dp
dx
= 32 v̄
τ = μ
du
dy
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Então:
A tensão de cisalhamento na parede será quantificada em :
Considera-se o fator de atrito adimensional definido por:
Assim, podemos escrever para a perda de carga no escoamento
entre placas planas paralelas com profundidade unitária:
Assim, temos para o fator de atrito em um escoamento laminar entre
placas paralelas estacionárias:
Portanto, temos para a perda de carga:
u(y) =
1
2μ
dp
dx
(y2 − ya)
τ =
1
2
dp
dx
(2y − a)
τ0 y = 0
τ0 = −
a
2
dp
dx
=
a
2
Δp
L
f =
τ0
1/8ρv̄2
hL
hL =
Δp
γ
= f
L
2a
v̄2
2g
f =
8τ0
ρv̄2
=
8
ρv̄2
(− a
2
dp
dx
) = 8
ρv̄2
( a
2
)( 12μv̄
a2
) = 48μ
ρv̄a
=
48
Re
hL = (
48μ
ρv̄a
) L
2a
v̄2
2g
=
12μv̄L
γa2
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Para o escoamento laminar de fluido newtoniano em regime
permanente entre duas placas planas paralelas infinitas e estáticas,
o perfil de velocidades é igual a:
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Parabéns! A alternativa B está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no
campo Preparação.
Questão 2
(IE/EA Exame de Admissão ao Estágio de Adaptação de Oficiais
Engenheiros da Aeronáutica (EAOEAR) - 2009) Em um escoamento
laminar completamente desenvolvido de um fluido incompressível
entre placas paralelas, cuja distância entre as placas é , conforme
a imagem a seguir, a equação do momento é dada por: ,
onde é a tensão de cisalhamento e é a pressão.
Sabe-se que a tensão de cisalhamento varia conforme a expressão:
, onde é a viscosidade do fluido e representa a
velocidade na direção .
A V = 12μ
∂p
∂x (z − h)
B V = 12μ
∂p
∂x (z
2 − h2)
C V = 18μ
∂p
∂x (z − h)
D V = 132μ
∂p
∂y (z
2 − h2)
E V = 132μ
∂p
∂y (z − h)
a
dτyx
dy
= ∂p∂x′
τyx p
τyx = μ
du
dy
μ u
x
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Dito isso, assinale a opção que apresenta a expressão correta para
a velocidade máxima entre as placas, que ocorre na posição
equidistante.
Parabéns! A alternativa A está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no
campo Preparação.
A umax = − 18μ (
∂p
∂x
)a2
B umax = − 18μ (
∂p
∂x )a
4
C umax = − 132μ (
∂p
∂x )a
4
D umax = − 132μ (
∂p
∂x )a2
E umax = − 116μ (
∂p
∂x )a
3
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3 - Introdução à dinâmica de �uidos computacional
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car os fundamentos da dinâmica dos �uidos
computacional (DFC).
Vamos começar!
Fundamentos da dinâmica dos �uidos
computacional
Assista agora a uma introdução à dinâmica dos fluidos computacional
(DFC), seus elementos definidores, a geração de malha e a discretização
das equações diferenciais.

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Visão geral da dinâmica dos �uidos
computacional (DFC)
As equações diferenciais da continuidade e de Navier-Stokes,
associadas às condições de contorno ou iniciais, descrevem o
escoamento dos fluidos. Em função da complexidade matemática
dessas equações, somente para alguns casos envolvendo escoamento
laminar, as soluções são analíticas. No entanto, a integração das
equações diferenciais por cálculo numérico computacional não
apresenta restrições à análise de qualquer tipo de escoamento de fluido.
Os métodos numéricos de cálculos, voltados para a descrição do
escoamento dos fluidos, formam a base da dinâmica dos fluidos
computacional (DFC) ou, conforme a sigla em inglês, CFD
(computational fluid dynamics) que, de forma geral, descreve o
escoamento através de uma malha estruturada cartesiana no espaço
bidimensional.
Como os computadores só realizam operações
algébricas, ou seja, operações de adição, subtração,
multiplicação e divisão, faz-se necessária a
discretização das equações diferenciais da
continuidade e de Navier-Stokes. Geralmente, essa
discretização é realizada pelo método dos volumes de
controle (MVC), ou método dos volumes finitos (MVF),
que transformam as equações diferenciais em
equações algébricas.
Existem, no mercado, diversos softwares comerciais, como Fluent,
Ansys e Flow-3D. Porém, apesar de apresentarem uma interface gráfica
amigável e um elevado poder de processamento de dados, a adequada
utilização desses pacotes de DFC exige do usuário o conhecimento dos
modelos físicos e numéricos aplicados, além de uma experiência na
utilização do software.
Qualquer código de DFC é composto, basicamente, por três partes: a
entrada de dados, o programa de execução de cálculos e a saída de
dados. Vamos conferi-los?
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Entrada de dados
Na entrada de dados, o usuário deve entrar com os valores das
propriedades físicas do fluido, selecionar o regime de escoamento e
identificar a geometria de contorno para o escoamento. Geralmente, os
pacotes de DFC possuem bibliotecas contendo dados de propriedades
físicas, como massa específica, viscosidade etc., para diversos fluidos.
Quaisquer outras informações, necessárias ao estudo em questão, além
daquelas contidas nas bibliotecas, devem ser fornecidas.
Os pacotes de DFC possuem também modelos físicos
que descrevem o tipo de escoamento. Nesse
momento, a experiência do usuário é fundamental na
seleção do modelo mais adequado ao estudo em
questão. Com o apoio dos pacotes de DFC, é possível
resolver com facilidade, problemas de escoamento
laminar, mas a obtenção de uma solução aceitável para
um problema envolvendo escoamento turbulento, só
ocorrerá se houver a seleção adequada do modelo de
turbulência. Os modelos de turbulência padrão
existentes nos pacotes de DFC fornecem resultados
razoáveis para diversos problemas práticos de
engenharia.
A geometria física em torno do escoamento é definida com a criação de
um sistema de malha ou grade. Os pacotes de DFC permitem a seleção
de diversos tipos de geometrias de contorno, em que a mais adequada,
indiscutivelmente, melhora a velocidade dos cálculos e a exatidão dos
resultados.
Programa de execução de cálculos
Muitos usuários dos pacotes de DFC desconhecem os algoritmos e as
técnicas numéricas utilizadas nos cálculos. O programa de execução de
cálculos é composto, basicamente, por duas partes: uma que converte
as equações diferenciais parciais em um grupo de equações algébricas,
e outra que, em um procedimento iterativo, emprega essas equações
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para encontrar a solução convergente que satisfaz às condições iniciais
e de contorno.
Entre as técnicas numéricas, são utilizados os seguintes métodos:
 Método das diferenças �nitas
Método aplicado em escoamentos transitórios, e
que utiliza uma malha espacial e temporal, a qual
determina as condições em um ponto particular e
em um passo de tempo futuro, com base em
condições vigentes nos pontos adjacentes.
 Método dos elementos �nitos
Método em que o fluido é dividido em pequenas
porções (“elementos finitos”), nas quais as
equações que descrevem o escoamento dentro de
cada elemento são aplicadas de forma a satisfazer
às condições de contorno nos cantos ou nós dos
elementos adjacentes. Nele as malhas apresentam
forma irregular, permitindo adequação a qualquer
tipo de contorno. O método dos elementos finitos é
mais complexo que o método das diferenças
finitas, porém, apresenta maior acurácia.
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Saída de dados
A apresentação dos resultados se dá de forma gráfica com a exibição
da geometria e da malha ou grade utilizada. O usuário pode decidir,
ainda, pela exibição das linhas de corrente ou de trajetória.
Fundamentos de solução – malha
Para o escoamento laminar em regime permanente de um fluido
newtoniano e incompressível, temos as seguintes equações básicas do
movimento:
Equação da continuidade: 
Equação de Navier-Stokes: 
Para a resolução numérica das equações apresentadas, precisamos
selecionar um domínio computacional, que é a região no plano (2-D) ou
no espaço (3-D), na qual as equações serão resolvidas pela DFC.
Uma célula é um subconjunto do domínio computacional, conforme
podemos observar na representação da imagem a seguir:
 Método dos volumes �nitos
Método que combina o que tem de melhor no
método das diferenças finitas e no dos elementos
finitos. Nele cada um dos diminutos volumes de
controle considera a taxa temporal de variação
local dentro do volume de controle e o fluxo
convectivo através da superfície de controle para a
variável de escoamento. A variação local e o fluxo
convectivo são convertidos em um conjunto de
equações algébricas, as quais são resolvidas por
método numérico iterativo.
→∇ ⋅ →V = 0
( →V ⋅ →∇) →V = − 1
ρ
→∇p + v →∇2 →V
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Domínio computacional bidimensional (2-D) e a representação de uma célula.
A malha, também denominada de grade, é gerada dividindo-se o
domínio computacional em muitas células, em que cada célula pode ser
considerada como um diminuto volume de controle, no qual versões
discretas das equações do movimento serão resolvidas. Devemos
observar que a qualidade de uma solução em DFC é diretamente
dependente da qualidade da malha.
Para um escoamento 2-D, as condições de contorno são
especi�cadas em cada aresta do domínio computacional.
Os valores iniciais de todas as variáveis do campo de escoamento
devem ser especificados para cada célula; sendo corretos ou não, são
necessários como ponto de partida para a sequência do processo
iterativo. Convém destacar que, para processos transientes, as
condições iniciais, obrigatoriamente, devem estar corretas.
Com as condições iniciais definidas, as formas discretas das equações
da continuidade e de Navier-Stokes passam a ser resolvidas
iterativamente, em geral, para o centro de cada célula.
Atenção!
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A etapa mais importante de uma solução de DFC é a geração da malha,
que é definida em todo o domínio computacional, em que a pressão, a
velocidade, ou qualquer outra propriedade de interesse do escoamento
serão calculadas em cada célula.
Os pacotes de DFC possuem rotinas geradoras de malhas, que podem
ser estruturadas ou não estruturadas. A imagem a seguir apresenta um
exemplo de malha estruturada. Vamos conferir!
Malha estruturada 2-D.
Podemos observar, na imagem anterior, que cada célula da malha 2-D é
numerada conforme os índices e . Nesse exemplo, para construir a
malha estruturada, nove nós foram especificados nas arestas superior e
inferior, gerando intervalos correspondentes a até e, cinco
nós foram especificados nas arestas à esquerda e à direita, gerando
intervalos de até . Dessa forma, em uma malha estruturada
2-D cada célula é especificada ou identificada por um único par . A
célula sombreada corresponde a e . Alguns pacotes de DFC,
ao invés de numerar os intervalos, numeram os nós.
Já uma malha 2-D não estruturada é composta por células na forma de
triângulos ou de quadriláteros, conforme a representação da imagem a
seguir, em que não é possível localizar ou identificar todas as células por
um único par .
i j
i = 1 i = 8
j = 1 j = 4
(i, j)
i = 4 j = 3
(i, j)
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Malhas não estruturadas: célula triangular e célula quadrilátera.
Comparando as imagens anteriores, a da malha estruturada 2-D com as
das malhas não estruturadas, podemos verificar que o número de nós e
suas posições nas arestas são correspondentes. Geralmente, os
pacotes de DFC processam malhas estruturadas e não estruturadas.
Pela equivalência dos nós nas imagens, podemos inferir que uma malha
estruturada gera menos células que a malha não estruturada: na
imagem da malha estruturada 2-D temos 32 células, enquanto na
imagem das malhas não estruturadas temos 76 células em e 38 em
.
Agora, independentemente do tipo de malha
(estruturada e não estruturada), o fator mais crítico na
obtenção da solução numérica é a qualidade da malha.
Células muito inclinadas, como a célula sombreada no
canto superior direito da imagem das malhas não
estruturadas , podem causar dificuldades de
convergência e imprecisão na solução numérica.Outros fatores como variações bruscas no tamanho
das células e razão de aspecto (razão: largura/altura
da célula) muito grande, reduzem a qualidade da
malha. Devemos observar que uma malha não
estruturada de alta qualidade é melhor que uma malha
estruturada de baixa qualidade.
De modo geral, a malha estruturada é preferível. Essa malha permite,
ainda, a sua divisão em blocos, cujos nós nas arestas comuns entre
blocos devem ser, obrigatoriamente, coincidentes.
A imagem a seguir apresenta exemplos de malhas estruturada em
blocos:
(a) (b)
(a)
(b)
(a)
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Malhas estruturadas em blocos: com superfície plana; com superfície curva.
Uma malha híbrida combina blocos de malha estruturada com blocos de
malha não estruturada, conforme o exemplo apresentado na imagem a
seguir:
Malha híbrida 2-D.
De modo geral, a geração de uma boa malha é um processo lento e
tedioso. Quando a malha é boa, os resultados da DFC são mais
confiáveis e apresentam convergência mais rápida, enquanto uma
(a) (b)
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malha de baixa qualidade pode levar a uma solução incorreta. Um
procedimento usual para testar a independência da malha é aumentar a
resolução de, pelo menos, um fator de 20% em todas as direções e,
repetir a simulação. Caso os resultados não se alterem de forma
significativa, isso é um forte indicativo de que a malha original está
adequada.
Fundamentos de solução –
discretização
Como exemplo de discretizacão, vamos considerar a imagem a seguir
que representa um escoamento de um fluido com massa específica e
viscosidade cinemática , entre placas, sendo uma placa estacionária e
outra móvel.
Escoamento em regime permanente entre placas planas, a superior estacionária e a inferior móvel,
com velocidade constante.
O domínio espacial é definido por , em que é o
espaçamento entre placas. Esse domínio pode ser discretizado, por
exemplo, por pontos de malha ou de grade fixos igualmente distribuídos,
tal que:
Onde .
Para o domínio do tempo, vamos considerar o intervalo de tempo até
que o escoamento alcance o estado estacionário, onde . Assim, o
domínio temporal será definido por , que pode ser
ρ
v
0 ≤ y ≤ H H
yj = (j − 1)Δy, j = 1, 2, 3, … ,JL
JL = H
t = T
0 ≤ t ≤ T
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discretizado, por exemplo, por níveis temporais igualmente
espaçados, tal que:
A discretização espacial e temporal, descritas para o escoamento
observado na imagem anterior, segue a representação da imagem a
seguir, em que o eixo espacial está posicionado na horizontal. Veja:
Sistema de malhas e níveis temporais para o escoamento entre placas representado na imagem
anterior.
Nessa imagem, cada ponto no domínio discretizado tem coordenadas
. Devemos observar, ainda, que é a distância entre dois
pontos adjacentes da malha, e é o tamanho do passo temporal.
Assim, a solução da equação de Navier-Stokes é:
Em que é a velocidade na direção e deve apresentar resultados
 somente nos pontos de malha e nos níveis temporais.
A solução discretizada será representada por:
n
tn = nΔt, n = 0, 1, 2, …
y
(yj, t
n) Δy
Δt
∂u
∂t
= v
∂ 2u
∂y2
u x
u = u(y, t)
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Como as rotinas computacionais só realizam operações aritméticas de
soma, subtração, multiplicação e divisão, podemos considerar o
seguinte teorema:
Se uma função e suas derivadas são contínuas, então
o valor dessa função, em qualquer ponto, pode ser
escrito em termos de e suas derivadas em qualquer
outro ponto utilizando, para isso, uma expansão em
séries de Taylor, desde que o outro ponto esteja dentro
do raio de convergência da série.
Assim, podemos escrever as seguintes séries de Taylor:
Os operadores de diferenças, apresentados a seguir, são obtidos através
de operações diretas das séries de Taylor acima:
Assim:
Porém:
unj = u (yj, t
n)
uj+1 = uj + (
∂u
∂y
)
j
Δy + ( ∂
2u
∂y2
)
j
Δy2
2!
+ ( ∂
3u
∂y3
)
j
Δy3
3!
+ ⋯
uj−1 = uj − (
∂u
∂y
)
j
Δy + ( ∂
2u
∂y2
)
j
Δy2
2!
− ( ∂
3u
∂y3
)
j
Δy3
3!
+ ⋯
( ∂u
∂y
)
j
=
uj+1 − uj
Δy
+ O(Δy)
( ∂u
∂y
)
j
=
uj − uj−1
Δy
+ O(Δy)
uj+1 − uj−1 = uj − uj + 2(
∂u
∂y
)
j
Δy
( ∂u∂y )
j
=
uj+1−uj−1
2Δy + 0 (Δy
2)
( ∂ 2u∂y2 )
j
= [uj+1 − uj − ( ∂u∂y )
j
Δy] 2Δy2
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Portanto:
Ou seja:
Nos operadores apresentados, os termos e 
representam os erros de truncamento na série de Taylor, que recebem as
seguintes denominações: precisão de primeira ordem para os
operadores que apresentam erro de truncamento e precisão de
segunda ordem para os operadores que apresentam erro de
truncamento .
Finalmente, temos a equação de Navier-Stokes discretizada:
Em que 
Nessa equação, vamos considerar que a solução no tempo é
conhecida e que a solução no tempo é procurada.
A solução dessa equação pode ser obtida por método explícito, onde
, ou seja, todas as derivadas espaciais serão calculadas no
tempo , o nível de tempo anterior no qual a solução é conhecida.
Assim, com o operador de tempo à frente e para o operador
, temos:
Sendo assim, com precisão temporal de primeira ordem e precisão
espacial de segunda ordem.
−( ∂u
∂y
)
j
Δy = uj−1 − uj − (
∂ 2u
∂y2
)
j
Δy2
2
( ∂
2u
∂y2
)
j
= [uj+1 − uj + uj−1 − uj − (
∂ 2u
∂y2
)
j
Δy2
2
] 2
Δy2
( ∂
2u
∂y2
)
j
=
uj+1 − 2uj + uj−1
Δy2
+ 0 (Δy2)
O(Δy) O (Δy2)
O(Δy)
O (Δy2)
( ∂u
∂t
+ v
∂ 2u
∂y2
)
n′
t
n ≤ n′ ≤ n + 1
tn
tn+1
n′ = n
tn
(∂u/∂y)j
(∂ 2u/∂y2)
j
un+1j − u
n
j
Δt
= v
un
j+1 − 2u
n
j
+ un
j−1
Δy2
+ O (Δt, Δy2)
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Como a incógnita procurada é , a expressão acima pode ser
reescrita como:
As condições de contorno são:
Outro método de solução é o método implícito, onde , ou
seja, todas as derivadas espaciais serão calculadas em , o novo
nível de tempo no qual a solução é desconhecida.
Assim, temos:
A equação acima pode ser reescrita isolando-se . Assim, temos:
A equação acima pode ser reescrita isolando-se . Assim, temos:
un+1j
un+1
j
= βunj−1 + (1 − 2β)u
n
j + βu
n
j+1, β = v
Δt
Δy2
un1 = u
n+1
1 = V0
unJL = u
n+1
JL
= 0
n′ = n + 1
tn+1
un+1j − u
n
j
Δt
= v
un+1j+1 − 2u
n+1
j + u
n+1
j−1
Δy2
+ 0 (Δt, Δy2)
un
j
un+1
j
− un
j
Δt
= v
un+1
j+1 − 2u
n+1
j
+ un+1
j−1
Δy2
+ O (Δt, Δy2)
un
j
unj = −βu
n+1
j−1 + (1 − 2β)u
n+1
j − βu
n+1
j+1 , β = v
Δt
Δy2
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Para as representações abaixo de (a) até (d), as malhas
processadas pela dinâmica dos fluidos computacional são,
respectivamente, do tipo:
A Híbrida, estruturada, não estruturada, híbrida.
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Parabéns! A alternativa B está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no
campo Preparação.
Questão 2
As equações diferenciais parciais na dinâmica dos fluidos
computacional (DFC), em função do processo de discretizaccão,
exigem o truncamento das séries de potência para gerar os
operadores de diferenças. Assim, para a equação de Navier-Stokes
discretizada,
O método explícito de solução permite escrever:Dito isso, o que representa o termo ?
B
Estruturada, não estruturada, não estruturada,
híbrida.
C
Não estruturada, estruturada, não estruturada,
estruturada.
D Estruturada, híbrida, estrutura, não estruturada.
E
Não estruturada, não estruturada, estruturada,
híbrida.
( ∂u∂t + v
∂ 2u
∂y2
)
n′
t
un+1j −u
n
j
Δt = v
unj+1−2u
n
j +u
n
j−1
Δy2
+ O (Δt, Δy2)
O (Δt, Δy2)
A
Erros de truncamento, sendo linear no tempo e
quadrado no espaço.
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Parabéns! A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no
campo Preparação.
Considerações �nais
Vimos as equações de continuidade de fluidos e como podemos
determinar o volume de controle através da variação do volume máximo
e da derivada parcial em relação ao tempo.
Compreendemos que, para uma análise completa sobre fluidos, é
necessário compreender a taxa em função do tempo e em função do
espaço.
Vimos como é possível deduzir a equação de Bernoulli da equação de
continuidade, e como se destacam as equações diferenciais das
equações de continuidade e de Navier-Stokes. Além disso, fizemos uma
breve introdução à dinâmica dos fluidos computacional.
B
Incremento de passos, sendo a precisão de primeira
ordem no tempo, e a de segunda ordem no espaço.
C
Erros de truncamento, sendo a precisão de primeira
ordem no tempo, e a de segunda ordem no espaço.
D
Erros de truncamento, sendo a precisão de terceira
ordem no tempo e no espaço.
E
Incremento de passos, sendo linear no tempo e
quadrado no espaço.
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Podcast
Para encerrar, ouça mais sobre alguns conceitos importantes
associados ao equacionamento do movimento dos fluidos.
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Confira as indicações que separamos para você!
Leia o artigo Uma interface de controle para a fluidodinâmica
computacional, escrito por Fernandes e Moreira em 2019, e publicado
no volume 41 da Revista Brasileira de Ensino de Física, que apresenta
uma proposta para a utilização da dinâmica de fluidos computacional
sob uma perspectiva educacional.
Pesquise sobre a expansão das equações da continuidade e de Navier-
Stokes em coordenadas cilíndricas. É importante ter conhecimento de
que as equações diferenciais da continuidade e de Navier-Stokes podem
ser escritas, por conveniência do problema sobre investigação, em
coordenadas cilíndricas.
Como sugestão, você pode ler o capítulo 9 da obra Mecânica dos
fluidos: Fundamentos e aplicações, edição de 2015, dos autores Çengel
e Cimbala, especificamente os trechos das páginas 439 a 445 e 468 a
470.
O capítulo 5 da obra Introdução à Mecânica dos Fluidos, edição de
2018, de Fox e outros autores, também aborda o tema sob essa mesma
perspectiva, especificamente nos seguintes intervalos de páginas: 154-
162, 166-167, 183-185, 201-202.
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Referências
ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos fluidos: Fundamentos e
aplicações. 3 ed. Porto Alegre: AMGH, 2015.
COELHO, J. C. M. Energia e Fluidos: Mecânica dos Fluidos. v. 2. São
Paulo: Blucher, 2016. Cap. 5, 8 e 11.
ELGER, D. F. Mecânica dos Fluidos para Engenharia. 11 ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2019.
FOX, R. W.; MCDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J.; MICHTELL, J. W.
Introdução à Mecânica dos Fluidos. 9 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018.
Cap. 5 e 6.
HIBBELER, R. C. Mecânica dos Fluidos. São Paulo: Pearson Education
do Brasil, 2016.
OLIVEIRA, L. A.; LOPES, A. G. Mecânica dos Fluidos. 3. ed. Lisboa: Lidel
Edições Técnicas, 2010.
POTTER, M. C.; WIGGERT, D. C.; RAMADAN, B. H. Mecânica dos Fluídos.
São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2014.
WHITE, F. M. Mecânica dos Fluidos. 8. ed. Porto Alegre: AMGH, 2018.
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