Uma economia é um sistema bastante complexo com muitas relações entre os diversos setores da economia e os bens e serviços que produzem e consomem. Determinar preços e níveis de produção ótimos sujeit

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MAPA – INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA LINEAR - 54/2023
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“Uma economia é um sistema bastante complexo com muitas relações entre os diversos setores da economia e os bens e serviços que produzem e consomem. Determinar preços e níveis de produção ótimos sujeitos a metas econômicas desejadas requer modelos matemáticos sofisticados. A álgebra linear tem provado ser uma ferramenta poderosa para o desenvolvimento e análise de tais modelos econômicos.” 
Fonte: POOLE, D. Álgebra Linear: uma introdução moderna. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016. p. 107
O modelo econômico fechado de Leontief pode ser expresso como um sistema de equações lineares, cuja forma matricial é dada por Ex = x, em que a matriz E é chamada matriz de trocas e o vetor x é o vetor de preços. “Para encontrar o vetor de preços x que satisfaz Ex = x, resolvemos a equação homogênea equivalente (E – I)x = 0”, em que I corresponde à matriz identidade de mesma ordem que a matriz E.”
Fonte: POOLE, D. Álgebra Linear: uma introdução moderna. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016. p. 235
Considere uma economia fechada, com apenas três setores: agricultura, serviços e tecelagem. Cada setor utiliza uma quantidade de bens produzidos por si mesmo e pelos outros setores, isto é:
– A receita (em milhares) do setor de agricultura tem 1/2 consumido por si mesmo, 2/5 consumido pelo setor de serviços e 1/5 consumido pelo setor de tecelagem
– A receita (em milhares) do setor de serviços tem 1/3 consumido por si mesmo, 1/4 consumido pelo setor de agricultura e 1/10 consumido pelo setor de tecelagem.
– A receita (em milhares) do setor de tecelagem tem 7/10 consumido por si mesmo, 1/4 consumido pelo setor de agricultura e 4/15 consumido pelo setor de serviços.
Com base na situação apresentada e no modelo fechado de Leontief, responda:
a) Elabore a forma matricial do problema apresentado.
b) Determine a solução do sistema de equações apresentado no item a.
c) Caso a receita do setor de serviços seja de R$ 45.000,00, qual é a receita obtida pelos setores de agricultura e tecelagem?
d) Nesta situação, é possível que a receita do setor de agricultura seja de R$ 52.000,00, de serviços seja R$ 30.000,00 e de tecelagem seja R$ 75.000,00? Justifique sua resposta.
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