MAPA INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA LINEAR - 542023

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MAPA – INTRODUÇÃO A ÁLGEBRA LINEAR - 54/2023 
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“Uma economia é um sistema bastante complexo com muitas relações entre os diversos 
setores da economia e os bens e serviços que produzem e consomem. Determinar preços e 
níveis de produção ótimos sujeitos a metas econômicas desejadas requer modelos 
matemáticos sofisticados. A álgebra linear tem provado ser uma ferramenta poderosa para 
o desenvolvimento e análise de tais modelos econômicos.” 
 
Fonte: POOLE, D. Álgebra Linear: uma introdução moderna. 2. ed. São Paulo: Cengage 
Learning, 2016. p. 107. 
 
O modelo econômico fechado de Leontief pode ser expresso como um sistema de 
equações lineares, cuja forma matricial é dada por Ex = x, em que a matriz E é chamada 
matriz de trocas e o vetor x é o vetor de preços. “Para encontrar o vetor de preços x que 
 
 
satisfaz Ex = x, resolvemos a equação homogênea equivalente (E – I)x = 0”, em que I 
corresponde à matriz identidade de mesma ordem que a matriz E.” 
 
Fonte: POOLE, D. Álgebra Linear: uma introdução moderna. 2. ed. São Paulo: Cengage 
Learning, 2016. p. 235. 
 
Considere uma economia fechada, com apenas três setores: agricultura, serviços e 
tecelagem. Cada setor utiliza uma quantidade de bens produzidos por si mesmo e pelos 
outros setores, isto é: 
 
– A receita (em milhares) do setor de agricultura tem 1/2 consumido por si mesmo, 2/5 
consumido pelo setor de serviços e 1/5 consumido pelo setor de tecelagem. 
 
– A receita (em milhares) do setor de serviços tem 1/3 consumido por si mesmo, 1/4 
consumido pelo setor de agricultura e 1/10 consumido pelo setor de tecelagem. 
 
– A receita (em milhares) do setor de tecelagem tem 7/10 consumido por si mesmo, 1/4 
consumido pelo setor de agricultura e 4/15 consumido pelo setor de serviços. 
 
Com base na situação apresentada e no modelo fechado de Leontief, responda: 
 
a) Elabore a forma matricial do problema apresentado. 
b) Determine a solução do sistema de equações apresentado no item a. 
c) Caso a receita do setor de serviços seja de R$ 45.000,00, qual é a receita obtida pelos 
setores de agricultura e tecelagem? 
d) Nesta situação, é possível que a receita do setor de agricultura seja de R$ 52.000,00, de 
serviços seja R$ 30.000,00 e de tecelagem seja R$ 75.000,00? Justifique sua resposta. 
 
 
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