HALLIDAY Capítulo 16 resposta

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ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
GILSON SCHEIBE DA COSTA
TRABALHO DE FÍSICA II
Caṕıtulo 16
SÃO BENTO DO SUL
2020
GILSON SCHEIBE DA COSTA
TRABALHO DE FÍSICA II:
Caṕıtulo 16
Trabalho de F́ısica II, apresentado
à disciplina de F́ısica Geral II,
na Graduação de Engenharia de
Controle e Automação do Instituto
Federal Catarinense – Campus São
Bento do Sul, requisitado pela
professor Samuel Isidoro dos Santos
Junior.
SÃO BENTO DO SUL
2020
2
Exerćıcios do livro do Halliday ed. 9a, vol 2 ,Questões do Cap 16 .
1. Questão 2
Uma onda humana. A “ola” é uma onda, criada pela torcida, que se propaga nos
estádios em eventos esportivos (Fig. 16-29). Quando a onda chega a um grupo
de espectadores, eles ficam em pé com os braços levantados e depois tornam a se
sentar. Em qualquer instante, a largura L da onda é a distância entre a borda
dianteira (as pessoas que estão começando a se levantar) e a borda traseira (as
pessoas que estão começando a se sentar). Suponha que uma ola percorre uma
distância de 853 assentos de um estádio em 39s e que os espectadores levam, em
média, 1,8s para responder à passagem da onda levantando-se e voltando a se sentar.
Determine:
 
(a) a velocidade v da onda (em assentos por segundo)
Distância percorrido = 853 assentos com o tempo = 39 segundos
Temos que a velocidade v é igual a
v = 853assentos
39s
= 21, 87 assentos/s
(b) Para largura da onda temos L = V x Tempo médio.
L = 21, 87ass/s× 1, 8s = 39 assentos
2. Questão 4
Um escorpião da areia pode detectar a presença de um besouro (sua presa) pelas
ondas que o movimento do besouro produz na superf́ıcie da areia (Fig. 16-30).
As ondas são de dois tipos: transversais, que se propagam com uma velocidade
vt = 50m/s, e longitudinais, que se propagam com uma velocidade vl = 150m/s. Se
um movimento brusco produz essas ondas, o escorpião é capaz de determinar a que
distância se encontra o besouro a partir da diferença δt entre os instantes em que
as duas ondas chegam à perna que está mais próxima do besouro. Se ∆t = 4ms, a
que distância está o besouro?
3
Para descobrir a distancia devemos usar a equação λ = v.t.
A proporção entre os intervalos de tempo é de 150
50
= 3t
Para ∆T = 4× 103
Assim:
4× 103 = 3t− t
t = 2× 10−3 ,
sabendo o tempo: λ = 150× 2× 10−3 = 0, 30cm
3. Questão 6
Uma onda senoidal se propaga em uma corda sob tração. A Fig. 16-31 mostra a
inclinação da corda em função da posição no instante t = 0. A escala do eixo x é
definida por xs = 0, 80m. Qual é a amplitude da onda?
Para descobrirmos a amplitude da onde no respectivo problema , deves ser usada a
equação
Y m = Ymáx
k
e sabendo que
k = 2π
λ
k = 2π
0,40
= 15, 7 ondas
Assim como Ymáx = 0, 2
temos: Ym =
0,2
15,7
Ym = 1, 3cm
4
4. Questão 8
A Fig. 16-32 mostra a velocidade transversal u em função do tempo t para o
ponto da uma corda situado em x = 0, quando uma onda passa pelo ponto. A
escala do eixo vertical é definida por us = 4m/s. A onda tem a forma y(x, t) =
ymsen(kx–ωt + θ). Qual é o valor de θ? (Atenção: As calculadoras nem sempre
mostram o valor correto de uma função trigonométrica inversa; por isso, verifique
se o valor obtido para θ é o valor correto, substituindo-o na função y(x, t), usando
um valor numérico qualquer para ω e plotando a função assim obtida.)
Para descobrirmos θ devemos extrair tais informações no enunciado
Um = 5m/s U = −4m/s e T = 0s
Utilizando da equação U = −ωym cos(ωt+ θ) chegamos arcos (4
5
)
θ = 0, 64 .
5. Questão 10
A equação de uma onda transversal que se propaga em uma corda muito longa é
y = 6 sen(0, 020px + 4πt), em que x e y estão em cent́ımetros e t em segundos.
Determine
(a) a amplitude,
A amplitude da onda é Ym = 6cm
(b) o comprimento de onda,
Para λ usaremos da equação λ = 2π
k
Sabendo que K = 0, 020
λ = 2π
2×10−2 = 1× 10
2cm.
(c) a frequência,
Para achar a frequência da onda será usada a equação∫
= ω
2π
,
Como ω = 4π , temos ;∫
= 4π
2π
= 2Hz.
5
(d) a velocidade,
Para velocidade de onda tem como equação V = λ×
∫
,
Como os valores já obtidos nas questões anteriores : v = 100×2 = 2×102m/s.
(e) o sentido de propagação da onda e
Como o argumento da função trigonométrica é positivo, o sentido é negativo
de acordo com o livro.
(f) a máxima velocidade transversal de uma part́ıcula da corda.
Para a velocidade transversal da onda V = Ym × ω
Desse modo V = 6× 4π = 7, 5−1m/s.
(g) Qual é o deslocamento transversal em x = 3, 5cm para t = 0, 26s?
O deslocamento transversal da onda será
Y = 6× sin[2× 10−2π × 3, 5] + 4π(0, 26) = −2cm
6. Questão 12
A função y(x, t) = (15cm) cos(px–15πt), com x em metros e t em segundos, descreve
uma onda em uma corda esticada. Qual é a velocidade transversal de um ponto da
corda no instante em que o ponto possui um deslocamento y = +12cm?
Para descobrirmos a velocidade transversal da onda tem-se a equação
u = −ω× ym× cos[xπ− 15πt]. Como o enunciado forneceu as informações temos ;
12 = 15× cos[xπ − 15πt] = 12
15
=⇒ cos[xπ − 15πt],
agora com todos os valores
u = −15π × 0, 15× 0, 8 = 5, 65m/s
7. Questão 14
A equação de uma onda transversal em uma corda é
y = (2mm) sen[(20m–1)x–(600s–1)t].
A tração da corda é 15 N.
(a) Qual é a velocidade da onda?
Para descobrir a velocidade da corda tensionada temos V = ω
k
como já foram dados os valores;
V = 600
20
= 30m/s
(b) Determine a massa espećıfica linear da corda em gramas por metro.
A massa espećıfica pode ser encontrada através de u = t
v2
como também já foram dados os valores
u = 15
302
=⇒ 1,7 ×10−2kg/m
6
8. Questão 16
A velocidade de uma onda transversal em uma corda é 170m/s quando a tração
da corda é 120N . Qual deve ser o valor da tração para que a velocidade da onda
aumente para 180m/s?
Para descobrir T2 sera usado a relação de proporção
v21
v2
= t1
t2
como já se tem os devidos valores para a resolução da questão
t2 = 120× 180
2
170
= 134, 53N
9. Questão 18
A corda mais pesada e a corda mais leve de certo violino têm massas espećıficas
lineares de 3 e 0, 29g/m, respectivamente. Qual é a razão entre o diâmetro da corda
mais leve e o da corda mais pesada, supondo que as cordas são feitas do mesmo
material?
Para saber a relação de diâmetros devemos ter a noção que ,u = π×ρ×d
2
4
Encontrando na equação o diâmetro ao quadrado na massa espećıfica da corda,
como quer uma relação entre 2 cordas;
d21
d2
= u1
u2
Desse modo;
d1
d2
=
√
3
0,24
=3,2m.
10. Questão 20
A tração em um fio preso nas duas extremidades é duplicada sem que o comprimento do
fio sofra uma variação apreciável. Qual é a razão entre a nova e a antiga velocidade das
ondas transversais que se propagam no fio?
Como V =
√
τ/µ Temos:
Vnova
Vantiga
=
√
τnova/µnova√
τantiga/µantiga
=
√
2.
11. Questão 22
Uma onda senoidal se propaga em uma corda com uma velocidade de 40cm/s. O deslocamento
da corda em x = 10cm varia com o tempo de acordo com a equação y = (5cm) sen[1, 0–(4s−1)t].
A massa espećıfica linear da corda é 4g/cm.
(a) Qual é a frequência e
Para achar a frequência da onda tem a equação
∫
= ω
2π
Como ω = 4rad/s∫
= 4
2π
= 0, 64Hz
(b) qual o comprimento de onda da onda? Se a equação da onda é da forma
y(x, t) = ym sen(kx± ωt), determine:
Ja para o comprimento de onda λ tem como equação
7
λ = 2π
k
Como k = 0, 1
λ = 2π
0,1
= 62, 83cm .
(c) ym,
Como o enunciado já deu certas informações Ym = 5cm
(d) k,
Assim como a questão anterior a informação já dada pela equação, k = 0, 1cm−1
(e) ω e
Como o enunciado já deu certas informações ω = 4rad/s
(f) o sinal que precede ω.
Na equação proposta no problema observa-se que ω tem sinal negativo.
(g) Qual é a tração da corda?
Para tensão da corda temos V =
√
t
u
Desse modo isolando o T temos
T = ω
2×u
K2
T = 4
2×4s−1
0,12
= 6, 4× 10−2N
12. Questão 24
Na Fig. 16-36a, acorda 1 tem uma massa espećıfica linear de 3g/m e a corda 2 tem
uma massa espećıfica linear de 5g/m. As cordas estão submetidas à tração produzida por
um bloco suspenso, de massa M = 500g. Calcule a velocidade da onda
(a) na corda 1 e
Para tração da corda foi considerado o seguinte T = m.g
2
,
Assim
V =
√
m.g
2.u
V =
√
500.(9,8
2.(3)
= 28, 6m/s
(b) na corda 2. (Sugestão: Quando uma corda envolve metade de uma polia, ela
exerce sobre a polia uma força duas vezes maior que a tração da corda.) Em
8
seguida, o bloco é dividido em dois blocos com (M1 + M2 = M) e o sistema é
montado como na Fig. 16-36b. Determine
Assumindo agora que a massa espećıfica é 5g/m;
Temos
√
500.(9,8)
2.(5)
= 22, 1m/s
(c) M1 e
Para descobrir M1 do sistema usa-se a seguinte equação
M1 =
M
1+
u2
U1
Assim:
M1 =
500
1+ 5
3
= 187, 53g
(d) M2 para que as velocidades das ondas nas duas cordas sejam iguais.
Basta para encontrar M2 uma manipulação algébrica de M = M1 +M2, desse
jeito M2 = 500− 187, 53 = 312, 47g
13. Questão 26
Uma corda na qual ondas podem se propagar tem 2, 70m de comprimento e 260 g de
massa. A tração da corda é 36, 0N . Qual deve ser a frequência de ondas progressivas com
uma amplitude de 7, 70mm para que a potência média seja 85, 0 W?
Para resolução desse problema considera-se a equação de potência como
P = 1
2
× u× v × vw2 × y2.
Sabendo que W = 2π × f
Logo implementamos os valores nas condições acima 85, 0 = 0, 5(0, 096)(19, 4)(2πf)2(0.0077)2
Chegando f
√
85×2
(0,096)(19,4)(0,0077)2
f = 197, 53Hz
14. Questão 28
Use a equação de onda para determinar a velocidade de uma onda dada por
y(x, t) = (3mm) sen[(4m−1)x–(7s−1)t].
Referente a essa questão analiza-se a equação da onda, assim o pode extrair os devidos
parâmetros para a velocidade
V = ω
k
V = 7
4
= 1, 75m/s
15. Questão 30
Use a equação de onda para determinar a velocidade de uma onda dada em termos de
uma função genérica h(x, t):
y(x, t) = (4mm)h[(30m−1)x+ (6s−1)t].
Como o enunciado da respectiva questão nos da os valores dos parâmetros necessários
para achar a velocidade, basta :
9
V = ω
k
V = 6
30
= 0, 20m/s
16. Questão 32
Que diferença de fase entre duas ondas iguais, a não ser pela constante de fase, que se
propagam no mesmo sentido em corda esticada, produz uma onda resultante de amplitude
1, 5 vez a amplitude comum das duas ondas? Expresse a resposta
(a) em graus,
para acharmos a diferença de base , basta faze a função inversa de
2Ym cos(
θ
2
) = 150ym
Desse modo θ = 2 cos−1(1,50
2
) = 82, 8o.
(b) em radianos e
θ = 1, 45 rad.
(c) em comprimentos de onda.
Para λ = 2π , como se quer 1, 45 rad se trabalha em proporção
1,45
2π
= 0, 203λ.
17. Questão 34
Uma onda senoidal de frequência angular de 1200 rad/s e amplitude 3mm é produzida
em uma corda de massa espećıfica linear 2g/m e 1200N de tração.
(a) Qual é a taxa média com a qual a energia é transportada pela onda para a
extremidade oposta da corda?
Para essa questão deve ter conhecimento da equação de potência
P = u×v×ω
2×ym2
2
Substituindo os valores já dados no enunciado temos que
P = 10W
(b) Se, ao mesmo tempo, uma onda igual se propaga em uma corda vizinha,
de mesmas caracteŕısticas, qual é a taxa média total com a qual a energia
é: transportada pelas ondas para as extremidades opostas das duas cordas?
Se, em vez disso, as duas ondas são produzidas ao mesmo tempo na mesma
corda, qual é a taxa média total com a qual elas transportam energia quando
a diferença de fase entre as duas ondas é
De certo modo analisando a teoria do livro e observando a questão, como as
ondas na˜o se propagam em um corda, temos que ambas não sofrem interferência,
no entanto sua potência dobra de valor chegando a P = 20w
(c) 0
Quando as ondas se propagam na mesma corda, existe interferência. Se a
diferença de fase é 0 , a interferência é totalmente construtiva, a amplitude
10
da onda resultante é o dobro da amplitude de uma das ondas e a potência é
quatro vezes maior P = 40W
(d) 0, 4π rad e
Se a diferença de fase é 0, 4rad , a amplitude da onda resultante é
2y cos(0, 2π) = 1, 61y. Isso significa que a potência é (1, 618)2 = 2, 618 vezes
maior. Neste caso, portanto, P = 26W
(e) π rad?
Se a diferença de fase é de π a interferência de onda é destrutiva, e a potência
é 0.
18. Questão 36
Quatro ondas são produzidas na mesma corda e no mesmo sentido:
y1(x, t) = (4mm)sen(2πx–400πt)
y2(x, t) = (4mm)sen(2πx–400pt+ 0, 7π)
y3(x, t) = (4mm)sen(2πx–400πt+ π)
y4(x, t) = (4mm)sen(2πx–400πt+ 1, 7π).
Qual é a amplitude da onda resultante?
As ondas se cancelam em Y1 e Y3 ; em Y2 e Y4, pois tem a diferença de πrad assim geram
uma interferência destrutiva.
19. Questão 38
Duas ondas senoidais de mesma frequência e mesmo sentido são produzidas em uma
corda esticada. Uma das ondas tem uma amplitude de 5, 0mm e a outra uma amplitude
de 8, 0mm.
(a) Qual deve ser a diferença de fase θ1 entre as duas ondas para que a amplitude
da onda resultante seja a menor posśıvel?
Para se cancelarem devem ter uma diferença de fase de πrad.
(b) Qual é essa amplitude mı́nima?
Para a amplitude mı́nima deve fazer a diferença das duas ondas
Ymin = 8− 5 = 3mm
(c) Qual deve ser a diferença de fase θ2 entre as duas ondas para que a amplitude
da onda resultante seja a maior posśıvel?
A amplitude será máxima quando a diferença de fase é 0 rad.
(d) Qual é essa amplitude máxima?
Para este caso a amplitude resultante são as somas das amplitudes das outras
ondas Ymáx = 8− 5 = 13mm
(e) Qual é a amplitude resultante se o ângulo de fase é (θ1–θ2)/2 ?
11
Utilizando um fazor para esta duas ondas, temos que o ângulo entre esses dois
vetores é 90o, através desse dado pode ser utilizado do teorema de pitágoras
para descobrir a amplitude Y =
√
82 + 52 = 9, 4mm.
20. Questão 40
Duas ondas senoidais com comprimentos de onda e amplitudes iguais se propagam em
sentidos opostos em uma corda com uma velocidade de 10cm/s. Se o intervalo de tempo
entre os instantes nos quais a corda fica reta é 0, 50s, qual é o comprimento de onda das
ondas?
Como passa duas vezes em um elemento temos que o péııodo T = 2× 0, 50 = 1s
Sabendo que a frequência é o inverso do peŕıodo temos que f = 1Hz
Como já foi dado a velocidade, temos que λ = 10
1
= 10cm.
21. Questão 42
Uma corda submetida a uma tração ti oscila no terceiro harmônico com uma frequência
f3, e as ondas na corda têm um comprimento de onda λ3. Se a tração é aumentada para
tf = 4tt e a corda é novamente posta para oscilar no terceiro harmônico,
(a) qual é a frequência de oscilação em termos de f3 e
Para saber a frequência, temos que antes de mais nada analisar a equação de
velocidade, e como de acordo com as equações aplicadas no respectivo problema
Vf = 2vi aplicando a outra equação relacionada a tensão e massa espećıfica
chega - se F1
F2
= 1
2
Logo F F3 = 2× F i3.
(b) qual o comprimento de onda das ondas em termos de λ3 ?
λ dos harmônicos comentados no enunciado são iguais, então λf = λi .
22. Questão 44
Uma corda com 125cm de comprimento tem uma massa de 2g e uma tração de 7, 00N .
(a) Qual é a velocidade de uma onda na corda?
Para velocidade em uma corda tensionada usa-se a equação V =
√
t
u
como já nos foram dados os valores temos V =
√
7
1,6×10−3 = 66, 1m/s.
(b) Qual é a menor frequência de ressonância da corda?
Para a frequência usa-se ,geralmente, a equação f = v
λ
66,1
2×(1,25) = 26, 4Hz
23. Questão 46
A corda A está esticada entre duas presilhas separadas por uma distância L. A corda
B, com a mesma massa espećıfica linear e a mesma tração que a corda A, está esticada
entre duas presilhas separadas por uma distância igual a 4L. Considere os primeiros oito
harmônicos da corda B. Para quais dos oito harmônicos de B a frequência coincide com
a frequência
12
(a) do primeiro harmônicode A,
Sendo a frequência do primeiro harmônicoFa =
n
2L
√
t
u
Sendo a frequência do oitavo harmônico Fa =
n
8L
√
t
u
.
É posśıvel analisar que para terem a mesma frequência Fb =
1
4
FA
(b) do segundo harmônico de A e
Como mostrado na questão anterior, a uma proporção de 1
4
,
desse modo F2A = F8B.
(c) do terceiro harmônico de A ?
Para a corda B não tem nenhum harmônico que corresponda ao da corda A
24. Questão 48
Se uma linha de transmissão em um clima frio fica coberta de gelo, o aumento do diâmetro
leva à formação de vórtices no vento que passa. As variações de pressão associadas
aos vórtices podem fazer a linha oscilar (galopar), principalmente se a frequência das
variações de pressão coincidir com uma das frequências de ressonância da linha. Em linhas
compridas, as frequências de ressonância estão tão próximas que praticamente qualquer
velocidade do vento pode excitar um modo de ressonância com amplitude suficiente para
derrubar as torres de sustentação ou curto-circuitar as linhas. Se uma linha de transmissão
tem um comprimento de 347m , uma massa espećıfica linear de 3, 35kg/m e uma tração
de 65, 2 MN ,
(a) qual é a frequência do modo fundamental e
Para frequência temos a equação f = v
2L
.
Para resolver este problema ainda falta a velocidade, no entanto já temos os
valores necessários para descobri-la
V =
√
t
u
V =
√
65,2×106
3,35
= 4412m/s
Desse modo f = 4412
2(347)
= 6, 36Hz.
(b) qual é a diferença de frequência entre modos sucessivos?
a diferença é de 6, 36Hz.
25. Questão 50
Uma onda estacionária transversal em uma corda longa possui um antinó em x = 0 e um
nó vizinho em x = 0, 10m. O deslocamento y(t) da part́ıcula da corda situada em x = 0
é mostrado na Fig. 16-40, em que a escala do eixo y é definida por ys = 4cm. Para
t = 0, 50s, qual é o deslocamento da part́ıcula da corda situada
13
 
(a) em x = 0, 20m e
Para o deslocamento da corda em x = 0, 20m temos que resolver tal equação
y = −0, 04 cos(Kx) sin(ωt) , como já temos todos os valores y = 0, 040m.
(b) em x = 0, 30m ? Qual é a velocidade transversal da part́ıcula situada em
x = 0, 20m.
Para o deslocamento da corda em x = 0, 30m temos que resolver tal equação
y = −0, 04 cos(Kx) sin(ωt), como já temos todos os valores y = 0m.
(c) no instante t = 0, 50s e
Para encontrar a velocidade transversal da onda, tem-se
y = −0, 04ω cos(Kx)cos(ωt) =0m/s.
(d) no instante t = 1s ?
Utilizando novamente a equação anterior, que é a derivado do deslocamento,
em t = 1s e x = 0, 20m, a velocidade transversal da onda é ;
y = −0, 04ω cos(Kx) cos(ωt) = 0, 13m/s.
(e) Plote a onda estacionária, no intervalo de x = 0 a x = 0, 40m , para o instante
t = 0, 50s.
A figura mostra o gráfico da função no instante t = 0, 50s para 0 ≤ x ≤ 0, 40m:
 
14