Álgebra Linear

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Disciplina: Álgebra Linear 
1. Considere o espaço vetorial ℝ𝟑 , com produto interno ⟨ , ⟩ usual. Seja 
𝒖 = (𝟑, −𝟐, 𝟏 ) e 𝐯 = (𝟓, 𝟎, 𝟔) , calcule ⟨𝒖, 𝒗 ⟩. 
 
⟨𝑢, 𝑣⟩ = 3.5 + (−2 ). 0 + 1.6 = 15 + 0 + 6 = 21 
 
2. Considere o espaço vetorial ℝ𝟑 , com produto interno ⟨ , ⟩ usual. 
Verifique se a base 𝜷 = {(𝟏, 𝟏, 𝟏), (−𝟐, 𝟏, 𝟏 ), (𝟎, −𝟏, 𝟏) } é ortogonal. 
 
Para verificar se essa base é ortogonal, precisamos calcular o produto 
interno de todos os vetores da base, dois a dois. Assim: 
⟨(1,1,1), (−2,1,1 )⟩ = 1. (−2 ) + 1.1 + 1.1 == 2 + 1 + 1 = 0 
⟨(1,1,1), (0, −1,1 )⟩ = 1.0 + 1. (−1 ) + 1.1 = 0 
⟨(−2,1,1 ), (0, −1,1 )⟩ = −2.0 + 1. (−1 ) + 1.1 = 0 
 
Portanto, podemos concluir que a base é ortogonal. 
 
3. Considere o espaço vetorial ℝ𝟐 , com produto interno ⟨ , ⟩ usual. 
Normalize o vetor v = (-2 ,1). (Obs: Faça a conferência se a norma do 
vetor normalizado resulta em 1). 
 
 Normalizar v = (-2 ,1). 
Primeiro vamos calcular a norma de v. 
‖ 𝑣 ‖ = √ ⟨𝑣, 𝑣 ⟩ = √ 〈(−2 ,1 ), (−2 ,1 )〉 = √ (−2) 2 + 1 2 = √5 
Vamos calcular 𝑢 , o vetor normalizado. 
𝑢 =
𝑣
‖ 𝑣 ‖ ⇔ 𝑢 =
(-2, 1)
√5
= (
−2
√5
,
1
√5
) 
 Vamos conferir, ou seja, calcular a ‖ 𝑢‖ 
‖ 𝑢‖ = √ ⟨𝑢, 𝑢⟩ = √ 〈(
−2
√5
,
1
√5
) , (
−2
√5
,
1
√5
) 〉 = √ (
−2
√5
)
2
+ (
1
√5
)
2
= √
4
5 +
1
5 =
√ 5
5 = 1 
4. Considere o espaço vetorial ℝ𝟐 , com produto interno ⟨, ⟩ usual. 
Calcule o ângulo 𝜽 entre os vetores u= (2,2) e v=(0,2). 
cos 𝜃 =
⟨𝑢, 𝑣⟩
‖ 𝑢‖‖ 𝑣 ‖ 
Primeiro vamos calcular a norma dos vetores: 
‖ 𝑢‖ = √ ⟨𝑢, 𝑢⟩ = √ ⟨(2,2),(2,2)⟩ = √ 22 + 2 2 = √4 + 4 = √8 = 2 √2 
‖ 𝑣 ‖ = √ ⟨𝑣, 𝑣 ⟩ = √ ⟨(0,2),(0,2)⟩ = √ 02 + 2 2 = √4 = 2 
 
Agora, calculamos o produto interno entre u e v: 
⟨𝑢, 𝑣⟩ = 2.0 + 2.2 = 4 
Por fim, utilizamos a fórmula do ângulo entre vetores para calcular o cos θ e 
a tabela dos ângulos notáveis para encontrar o valor de θ. 
 
cos 𝜃 =
⟨𝑢, 𝑣⟩
‖ 𝑢‖‖ 𝑣 ‖ =
4
2.2√2
=
4
4√2
=
1
√2
√2
√2
= √
2
√4
= √
2
2 
 
Portanto, 𝜃 = 45° 
 
 
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