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Caṕıtulo 5
Espaços com Produto Interno
5.1 Produto Interno
Um dos conceitos fundamentais quando estudamos os vetores da Geometria Anaĺıtica é o con-
ceito de “produto escalar”, que associa, a cada par ordenado de vetores (�u, �v) ∈ V3 × V3
o número real �u • �v = ‖ �u ‖ . ‖ �v ‖ . cos θ, sendo θ o ângulo entre os vetores �u e �v. Além
disso, se B = {�i, �j, �k} é uma base ortonormal do espaço V3, �u = x1 �i + x2 �j + x3 �k e
�v = y1�i + y2�j + y3 �k, então �u • �v = x1 y1 + x2 y2 +x3 y3.
Neste Caṕıtulo, generalizaremos a definição de “produto escalar”e introduziremos o conceito
de “distância”. Para tal, apresentaremos uma noção que completa a estrutura de um espaço
vetorial, uma vez que os axiomas que definem espaço vetorial não são suficientes para abordar
noções geométricas como, por exemplo, ângulo, perpendicularismo, comprimento, distância.
Isto se torna posśıvel quando introduzimos no espaço vetorial um produto interno.
Definição: Seja V um espaço vetorial real de dimensão finita. Chama-se produto interno
sobre V a uma aplicação de V × V em R que transforma cada par ordenado (u, v) ∈ V × V
em um número real (denotado por <u, v> ou ainda por u • v), satisfazendo às seguintes
condições: para quaisquer que sejam u, v, w ∈ V e para todo α ∈ R,
(a) <u, u> é um número real maior do que zero, se u �= 0;
(b) <u, v> = <v, u>;
(c) <u + v, w> = <u, w> + <v, w>;
(d) < α u, v> = α. <u, v>.
Nomenclatura: (V, < >) é chamado um espaço vetorial real com produto interno ou espaço
euclidiano ou espaço vetorial real munido de um produto interno.
131
Álgebra Linear - Notas de Aula 132
Exemplo 1: Produto interno usual (ou canônico) do Rn:
Dados os vetores u = (x1, x2, . . . , xn) e v = (y1, y2, . . . , yn) do R
n, a aplicação
Rn × Rn −→ R
(u, v) 
−→ < u, v> = x1 y1 + x2 y2 + . . . + xn yn
é um produto interno em Rn.
Observação: Quando nos referirmos ao Rn como espaço euclidiano, estamos considerando o
produto interno usual acima definido.
Exemplo 2: Seja Pn(R) o espaço vetorial dos polinômios de grau · n. A aplicação:
Pn(R) × Pn(R) −→ R
(f(t), g(t)) 
−→ < f(t), g(t)> =
∫ 1
0
f(t) g(t) dt
é um produto interno em Pn(R).
Propriedades do produto interno
Seja V um espaço vetorial real munido de um produto interno. Considere os vetores u, v w,
u1, u2, . . . , un, v1, v2, . . . , vm e os números reais α, α1, α2, . . . , αn, β1, β2, . . . , βm, sendo
m, n ≥ 1. Valem as seguintes propriedades:
P1. <0, u> = <u, 0> = 0
De fato: 0︸︷︷︸
real
.u = 0︸︷︷︸
vetor
e, portanto <0, u> = <0.u, u>
def
= 0.<u, u> = 0
P2. <u, α v> = α <u, v>
De fato: <u, α v>
(b)
= < α v, u>
(d)
= α < v, u>
(b)
= α <u, v>
P3. <u, v + w> = <u, v> + <u, w>
De fato: <u, v + w>
(b)
= <v + w, u>
(c)
= < v, u> + <w, u>
(b)
= <u, v> + <u, w>
Álgebra Linear - Notas de Aula 133
P4. <
∑n
i=1 αi ui, v> =
∑n
i=1 αi <ui, v>
De fato: A prova é feita por indução sobre o número n.
• para n = 1: < α1 u1, v>
(d)
= α1 <u1, v> =
∑1
i=1 αi <ui, v>
• para n = 2: < α1 u1 + α2 u2, v>
(c)
= < α1 u1, v> + < α2 u2, v>
(d)
=
= α1 <u1, v> + α2 <u2, v> =
∑2
i=1 αi <ui, v>
• Suponhamos verdadeiro para n - 1, isto é, <∑n−1i=1 αi ui, v> =
∑n−1
i=1 αi <ui, v>
e mostremos que é verdadeiro para n:
<
∑n
i=1 αiui, v> = < α1u1 +
∑n
i=2 αiui, v>
(c)
= < α1u1, v> + <
∑n
i=2 αiui, v>
(HI)
=
= < α1u1, v> +
∑n
i=2 αi <ui, v> =
∑n
i=1 αi <ui, v>
P5. <u,
∑m
j=1 βj vj > =
∑m
j=1 βj <u, vj >
De fato: <u,
∑m
j=1 βj vj >
(b)
= <
∑m
j=1 βj vj, u>
P4=
∑m
j=1 βj <vj, u>
(b)
=
=
∑m
j=1 βj <u, vj >
P6. <
∑n
i=1 αi ui,
∑m
j=1 βj vj > =
∑n
i=1
∑m
j=1 αi βj <ui, vj >
De fato: A prova desta propriedade é aplicação direta de P4 e de P5, sucessivamente:
<
∑n
i=1 αi ui,
∑m
j=1 βj vj >
P4=
∑n
i=1 αi <ui,
∑m
j=1 βj vj >
P5=
=
∑n
i=1 αi
∑m
j=1 βj < ui, vj > =
∑n
i=1
∑m
j=1 αi βj < ui, vj >
5.2 Norma e Distância
Definição: Seja V um espaço euclidiano com produto interno (u, v) 
−→ <u, v>. Dado um
vetor u ∈ V, indicamos por ‖ u ‖ e chamamos norma de u ao número real positivo ou nulo
dado por
‖ u ‖ def= √< u, u >
Álgebra Linear - Notas de Aula 134
Exemplo: Considerando no Rn o produto interno usual, se u = (x1, x2, . . ., xn) ∈ Rn, então
‖ u ‖ def=
√
x21 + x
2
2 + . . . + x
2
n
Convenção: Para não haver confusão, denotaremos o módulo de um número real α por | α |
e a norma de um vetor v ∈ V por ‖ v ‖.
Proposição 1: Em todo espaço euclidiano V, temos:
(i) ‖α u‖ = | α | . ‖ u ‖, para todo α ∈ R e todo u ∈ V.
(ii) ‖ u ‖ ≥ 0, para todo u ∈ V e ‖ u ‖ = 0 ⇐⇒ u = 0
Prova:
(i) ‖α u‖ def= √< αu, αu > =
√
α2 < u, u > = | α | √< u, u > = | α | . ‖ u ‖
(ii) ‖ u ‖ ≥ 0 pelas definições de produto interno e de norma de um vetor. Além disso,
‖ u ‖ = 0 ⇐⇒ √< u, u > = 0 ⇐⇒ <u, u> = 0 ⇐⇒ u = 0
Proposição 2: (Desigualdade de Cauchy-Schwarz - DCS)
Para quaisquer que sejam os vetores u, v em um espaço euclidiano V, vale:
| < u, v > | · ‖ u ‖ . ‖ v ‖
Prova: Temos duas possibilidades a considerar:
1o Caso : O vetor v é nulo; isto é, v = 0.
Neste caso, temos que <u, v> = <u, 0> = 0 e ‖ u ‖ . ‖ v ‖ = ‖ u ‖ . ‖ 0 ‖ = 0,
e, portanto, a desigualdade é válida.
2o Caso : O vetor v é não nulo; isto é, v �= 0.
Neste caso, considerando α ∈ R, temos que ‖ u + α v ‖2 ≥ 0 e, portanto,
0 · ‖ u + α v ‖2 = < u + α v, u + α v > = < u, u > + < u, α v > +
+ < α v, u > + < α v, α v > = ‖ u ‖2 + α < u, v > + α < v, u > +
+ α2 ‖ v ‖2 = ‖ v ‖2 . α2 + 2 < u, v > . α + ‖ u ‖2
Assim, temos que: ‖ v ‖2 . α2 + 2 < u, v > . α + ‖ u ‖2 ≥ 0.
Álgebra Linear - Notas de Aula 135
Em outras palavras, obtivemos um trinômio do 2o grau (pois ‖ v ‖2 �= 0) que é sempre ≥ 0
e, portanto, seu discriminante deve ser negativo ou nulo. Isto é:
∆ = 4 < u, v > 2 − 4 . ‖ v ‖2 . ‖ u ‖2 · 0 =⇒ < u, v > 2 · ‖ u ‖2 . ‖ v ‖2
e, portanto, | < u, v > | · ‖ u ‖ . ‖ v ‖
Corolário: (Desigualdade de Triangular - DT)
Para quaisquer que sejam os vetores u, v em um espaço euclidiano V, vale:
‖ u + v ‖ · ‖ u ‖ + ‖ v ‖
Prova: Temos que:
‖ u + v ‖2 = < u + v, u + v > = < u, u > + < u, v > + < v, u > +
+ < v, v > = ‖ u ‖2 + ‖ v ‖2 + 2. < u, v > · ‖ u ‖2 + ‖ v ‖2 + 2. | < u, v > | ·
�
C−S ‖ u ‖2 + ‖ v ‖2 + 2.‖ u ‖ . ‖ v ‖ = (‖ u ‖ + ‖ v ‖)2, de onde conclui-se que
‖ u + v ‖ · ‖ u ‖ + ‖ v ‖
Em um espaço euclidiano V com produto interno (u, v) 
−→ <u, v>, consideremos a aplicação
d : V × V −→ R
definida por d(u, v) = ‖ u − v ‖, u, v ∈ V.
Para quaisquer que sejam u, v, w ∈ V, a aplicação acima definida satisfaz as seguintes pro-
priedades:
P1. d(u, v) ≥ 0 e d(u, v) = 0 ⇐⇒ u = v
De fato: Como d(u, v)
def
= ‖ u − v ‖ e u - v é um vetor de V, o resultado segue
como conseqüência direta da Proposição 1, (ii).
P2. d(u, v) = d(v, u)
De fato: d(u, v)
def
= ‖ u − v ‖ = ‖ (−1).(v − u) ‖ Prop.1(i)= | −1 |.‖ v − u ‖ =
= ‖ v − u ‖ def= d(v, u)
Álgebra Linear - Notas de Aula 136
P3. d(u, v) · d(u, w) + d(w, v)
De fato: d(u, v)
def
= ‖ u − v ‖ = ‖ (u − w) + (w − v) ‖
DT
· ‖ u − w ‖ +
+ ‖ w − v ‖ def= d(u, w) + d(w, v)
Definição: Uma aplicação d : V × V −→ R satisfazendo às propriedades P1, P2 e P3 acima
é chamada uma métrica no espaço euclidiano V.
5.2.1 Aplicação da Desigualdade de Cauchy-Schwarz: ângulo entre
vetores em um espaço euclidiano
Considere u e v dois vetores não nulos em um espaço euclidiano V. Da DCS
| < u, v > | · ‖ u ‖ . ‖ v ‖
segue que − ‖ u ‖ . ‖ v ‖ · < u, v > · ‖ u ‖ . ‖ v ‖
e portanto, como u e v não são nulos,
− 1 · <u, v>‖ u ‖ . ‖ v ‖ · 1
Logo, existe um único número real θ tal que 0 · θ · π e cos θ = <u, v>‖ u ‖ . ‖ v ‖ .
Observação: Quando o espaço vetorial V = R2 ou V = R3 e o produto interno é o produto
interno usual destes espaços, o número θ é exatamente a medida do ângulo entre os segmentos
orientados que representam os vetores u e v. Dessa forma, por analogia com o que ocorre em
R2 e R3, temos a seguinte
Definição: O número real θ tal que cos θ = <u, v>‖ u ‖ . ‖ v ‖ é chamado de ângulo entre os
vetores ue v.
Exerćıcios:
1. Considerando o espaço euclidiano R3, calcular o produto interno <u, v> para cada um dos
seguintes casos:
• u = (1, 2, 3) e v = (2, -1, -4)
<u, v> = <(1, 2, 3), (2, - 1, - 4)> = 1.2 + 2.(-1) + 3.(-4) = 2 - 2 - 12 = - 12
Álgebra Linear - Notas de Aula 137
• u = (1, 2, 3) e v = (2, −1
2
, −1
3
)
<u, v> = <(1, 2, 3), (2, −1
2
, −1
3
) > = 1.2 + 2.(−1
2
) + 3.(−1
3
) = 2 - 1 - 1 = 0
• u = (1, 2, 3) e v = (2, 1
2
, −1
3
)
<u, v> = <(1, 2, 3), (2, 1
2
, −1
3
) > = 1.2 + 2.1
2
+ 3.(−1
3
) = 2 + 1 - 1 = 2
2. Considerando em P2(R) o produto interno definido por <f(t), g(t)> =
∫ 1
0
f(t).g(t) dt,
calcule <f(t), g(t)> para cada um dos seguintes casos:
• f(t) = t e g(t) = 1 - t2
<f(t), g(t)> =
∫ 1
0
t.(1 - t2) dt =
∫ 1
0
(t - t3) dt = ( t
2
2
− t4
4
)|1
0
= 1
2
− 1
4
= 1
2
• f(t) = t - 1 e g(t) = 1 - t
<f(t), g(t)> =
∫ 1
0
(t - 1).(1 - t) dt =
∫ 1
0
(- t2 + 2 t - 1) dt = (− t3
3
+ t2 − t )|1
0
=
= −1
3
+ 1 − 1 = −1
3
3. No espaço vetorial R2, dados u = (x1, x2) e v = (y1, y2) dois elementos arbitrários, defina
<u, v> = x1.y1
a2
+ x2.y2
b2
, sendo a, b ∈ R fixos e nãos nulos. Prove que <u, v> define um
produto interno no R2.
Solução: Vamos verificar que <u, v> satisfaz satisfaz as quatro propriedades da definição de
produto interno. Para isso, consideremos u = (x1, x2), v = (y1, y2) e w = (z1, z2) três elementos
arbitrários do R2 e α ∈ R. Então:
• <u, u> = x1.x1
a2
+ x2.x2
b2
= (x1a )
2 + (x2b )
2 ≥ 0, sendo a igualdade
verdadeira se, e somente se, u = 0.
• <u, v> = x1.y1
a2
+ x2.y2
b2
= y1.x1
a2
+ y2.x2
b2
= <v, u>.
• <u + w, v> = (x1+z1).y1
a2
+ (x2+z2).y2
b2
= x1.y1 + z1.y1
a2
+ x2.y2 + z2.y2
b2
=
= (x1.y1
a2
+ x2.y2
b2
) + (z1.y1
a2
+ z2.y2
b2
) = <u, v> + <w, v>.
• < αu, v> = (αx1).y1
a2
+ (αx2).y2
b2
= α(x1.y1
a2
+ x2.y2
b2
) = α <u, v>.
Álgebra Linear - Notas de Aula 138
4. Em um espaço euclidiano V, considere dois vetores u e v de modo que ‖ u ‖ = ‖ v ‖ = 1
e ‖ u − v ‖ = 2. Determine <u, v>.
Solução: 4 = ‖ u − v ‖2 = < u− v, u− v > = < u, u− v > + < −v, u− v > =
= < u,u > + < u,−v > + < −v, u > + < −v,−v > = ‖ u ‖2 − 2 < u, v > +
+ ‖ v ‖2
e, portanto, 2 <u, v> = ‖ u ‖2 + ‖ v ‖2 − 4 = 1 + 1 − 4 = − 2
5. Em um espaço euclidiano V, mostre que vale a identidade:
‖ u + v ‖2 − ‖ u − v ‖2 = 4. <u, v>
Solução: Temos que:
‖ u + v ‖2 = < u + v, u + v > = < u, u > + < u, v > + < v, u > + < v, v > =
= ‖ u ‖2 + 2 < u, v > + ‖ v ‖2
e, por outro lado,
‖ u − v ‖2 = < u− v, u− v > = < u, u > − < u, v > − < v, u > + < v, v > =
= ‖ u ‖2 − 2 < u, v > + ‖ v ‖2, o que nos leva a
‖u + v‖2 − ‖u− v‖2 = (‖u‖2 + 2 < u, v > + ‖v‖2) − (‖u‖2 − 2 < u, v > + ‖v‖2) =
= 4. <u, v>, como enunciado.
6. No espaço vetorial euclidiano R3, considere o vetor u = (6, a, -1). Determine o valor do
número real a para que ‖ u ‖ =
√
41.
Solução: Temos que:
41 = ‖ u ‖2 = < u, u > = 36 + a2 + 1 = 37 + a2 ⇐⇒ a2 = 4 ⇐⇒ a = ± 2
7. Encontre o ângulo θ entre os seguintes pares de vetores do R3:
• u = (1, 1, 1) e v = (1
2
, -1, 1
2
)
cos θ =
<u, v>
‖ u ‖.‖ v ‖ =
1.1
2
+ 1.(−1) + 1.1
2√
1 + 1 + 1 .
√
1
4
+ 1 + 1
4
= 0√
3 .
√
3
2
= 0 =⇒ θ = π
2
Álgebra Linear - Notas de Aula 139
• u = (1, - 1, 0) e v = (2, - 1, 2)
cos θ =
<u, v>
‖ u ‖.‖ v ‖ =
1.2 + (−1).(−1) + 0.2√
1 + 1 .
√
4 + 1 + 4
= 3√
9
= 1 =⇒ θ = π
4
Exerćıcios
1. Sejam u = (x1, x2) e v = (y1, y2) vetores genéricos do R
2. Encontre os valores de t ∈ R
para os quais a função <u, v> = x1y1 + tx2y2 é um produto interno em R
2.
2. Verifique se a expressão abaixo define um produto interno no R2:
< u, v > = x1 y1 - x1 y2 - x2 y1 + 3 x2 y2, com u = (x1, x2) e y = (y1, y2).
3. Mostre que se <u, v> = 0 para todo vetor v, então u = 0.
4. Em V = P3(R) considere o produto interno dado por <f, g> =
∫ 1
0
f(t).g(t) dt. Calcule
<f(t), g(t)>, ‖ f(t) ‖, ‖ g(t) ‖ e ‖ f(t) + g(t) ‖, para:
(a) f(t) = t3 - t - 1 e g(t) = t2 + 1 e (b) f(t) = 2 e g(t) = t3 + t + 1
5. Dado um automorfismo T : V −→ V do espaço vetorial V, prove que: se <u, v> é um
produto interno sobre V, então o mesmo acontece com a função PT : V × V −→ R definida
por PT(u, v) = <T(u), T(v)>.
6. Seja V um espaço vetorial euclidiano de dimensão 3. Dada uma base B = {e1, e2, e3} de V,
seja A = (aij) ∈ M3(R) a matriz tal que aij = <ei, ej >, para i, j = 1, 2, 3.
(a) Prove que A é uma matriz simétrica.
(b) Mostre que se u =
∑3
i=1 xiei e v =
∑3
i=1 yiei, então o produto escalar em V pode ser
expresso na seguinte forma matricial: <u, v> = (x1 x2 x3).A.(y1 y2 y3)
t.
(c) Generalize os resultados acima para um espaço vetorial euclidiano de dimensão n.
7. Seja V um espaço com produto interno <u, v>. Encontre os valores de α ∈ R para os
quais a aplicação (u, v) 
−→ α. <u, v> também é um produto interno sobre V.
8. Chama-se traço de uma matriz quadrada A = (aij) ∈ Mn(R) ao número real dado pela
soma dos elementos da diagonal principal de A; isto é, tr(A) = a11 + a22 + ... + ann. Mostre
que: <A, B> = tr(BtA) é um produto interno sobre Mm×n(R).
Álgebra Linear - Notas de Aula 140
9. Considere oa vetores u = (1, 5) e v = (3, 4) em R2. Calcule:
(a) < u, v > em relação ao produto interno usual do R2.
(b) < u, v > em relação ao produto interno de R2 dado no Exerćıcio 2.
(c) ‖ v ‖, usando o produto interno usual do R2.
(d) ‖ v ‖, usando o produto interno de R2 dado no Exerćıcio 2.
10. No espaço vetorial V = M2(R), considere o produto interno definido no Exerćıcio 8. Calcule
<A, B>, ‖ A ‖, ‖ B ‖ e d(A, B), quando A =
(
1 1
0 1
)
e B =
(
1 0
0 0
)
.
11. No espaço vetorial R4, considere os vetores u = (1, 2, 0, 1) e v = (3, 1, 4, 2). Calcule:
<u, v>, ‖ u ‖, ‖ v ‖, d(u, v), u + v‖ u + v ‖ , e o cosseno do ângulo entre os vetores u e v.
12. Sejam u e v dois vetores não nulos de um espaço vetorial euclidiano e θ o ângulo entre
eles. Mostre que ‖ u + v ‖2 = ‖ u ‖2 + ‖ v ‖2 + 2 ‖ u ‖.‖ v ‖.cos θ
13. Sejam u e v dois vetores de um espaço euclidiano. Determine o cosseno do ângulo entre
eles, sabendo que ‖ u ‖ = 5, ‖ v ‖ = 8 e ‖ u + v ‖ =
√
129.
14. Verifique que num espaço euclidiano V é válida a Lei do Paralelogramo: para quaisquer
u, v ∈ V, tem-se: ‖ u + v ‖2 + ‖ u − v ‖2 = 2‖ u ‖2 + 2‖ v ‖2
15. Sejam u = (x1, x2) vetores genéricos do R
2.
(a) Mostre que <u, v> = x1y1 - 2x1y2 - 2x2y1 + 5x2y2 é um produto interno sobre o R
2;
(b) Dado o vetor u = (1, 2), determine sua norma em relação ao produto interno usual do
R2 e também em relação ao produto interno definido no item (a).
16. Num espaço euclidiano V, considere vetores u e v tais que ‖ u ‖ = 3 e ‖ v ‖ = 5.
Determine α ∈ R de modo que <u + α v, u − α v> = 0.
17. Use a desigualdade de Cauchy-Schwarz no espaço euclidiano R3 (produto interno usual)
para mostrar que, dados os números reais estritamente positivos a1, a2, a3, vale a desigualdade:
(a1 + a2 + a3).(
1
a1
+ 1
a2
+ 1
a3
) ≥ 9
18. Num espaço vetorial euclidiano, prove que:
(a) ‖ u ‖ = ‖ v ‖ ⇐⇒ < u + v, u − v > = 0
(b) ‖ u + v ‖2 = ‖ u ‖2 + ‖ v ‖2 ⇐⇒ < u, v > = 0
Álgebra Linear - Notas de Aula 141
19. Sejam u = (x1, x2) e v = (y1, y2) vetores genéricos do R
2 e M = (aij)n =
(
a11 a12
a21 a21
)
∈
∈ M2(R). Defina <u, v> = a11 x1 y1 + a12 x1 y2 + a21 x2 y1 + a22 x2 y2.
(a) Mostre que o produto assim definido satisfaz as duas últimas condições da definição de
produto interno.
(b) Mostre que a condição (b) da definição de produto interno é válida se, e somente se, a
matriz M é simétrica.
(c) Qual matriz M dá origem ao produto interno usual do R2?
(d) Utilizando a definição de <u, v> acima, verifique quais das seguintes matrizes definem
produtos internos sobre o R2:
(
2 1
1 1
) (
−1 0
1 0
) (
1 1
1 1
)
20. Determinar a norma de cada um dos seguintes vetores:
(a) u = (3, 1, 2, 1) ∈ R4;
(b) f(t) = t2 + t - 1, em relação ao produto interno <f(t), g(t)> =
∫ 1
0
f(t).g(t) dt;
(c) f(t) = t, em relação ao produto interno <f(t), g(t)> =
∫ 1
0
f(t).g(t) dt;
(d) A =
(
1 2
2 1
)
, em relação aoproduto interno proposto no Exerćıcio 8.
21. Encontrar a distância de u a v e o cosseno do ângulo entre u a v, nos casos:
(a) u = (1, 1, 1, 1) e v = (0, 0, 1, 1), com o produto interno usual do R4;
(b) u = 1 + t - t2 e v = 3 t3, com o produto considerado no item (b) do Exerćıcio 20;
(c) A =
(
1 1
0 0
)
e B =
(
0 1
1 0
)
, com o produto proposto no Exerćıcio 8.
22. Sejam u = (1, 1, 0) e v = (0, 1, 2) no espaço euclidiano R3. Determine todos os vetores
w ∈ R3 tais que ‖ w ‖ = 1 e < u, w > = < v, w > = 0.
23. Considere o espaço vetorial dos polinômios de qualquer grau P(t), munido do produto
interno <f(t), g(t)> =
∫ 1
0
f(t).g(t) dt. Dados os polinômios f(t) = t + 2, g (t) = 3t - 2 e
h(t) = t2 - 2t - 3,
(a) Calcule < f, g > e < f, h >. (b) Calcule ‖ f || e ‖ g ||
(c) Normalize f e g.
Álgebra Linear - Notas de Aula 142
5.3 Ortogonalidade
Em Geometria Anaĺıtica estudamos o espaço vetorial V3 e vimos que dois vetores não nulos
�u e �v são ortogonais se, e somente se, o produto escalar entre eles é nulo. Isto motiva a
seguinte definição mais geral:
Definições:
[1] Dois vetores u, v de um espaço euclidiano V são ortogonais se, e somente se,
<u, v> = 0.
[2] Um subconjunto S = {u1, u2, ... , un} ⊂ V é dito ortonormal se, e somente se,
(i) ‖ ui ‖ = 1, i = 1, 2, ... n
e
(ii) quaisquer dois vetores distintos de S são ortogonais.
Exemplo: No Rn, para n ≥ 2, o conjunto constitúıdo pelos vetores da base canônica é orto-
normal.
De fato: Basta ver que S = {e1, e2, ... , en}, sendo e1 = (1, 0, ... , 0), e2 = (0, 1, ... , 0), ... ,
en = (0, 0, ..., 1) e, portanto ‖ e1 ‖ = ‖ e2 ‖ = ... = ‖ en ‖ = 1 .
Além disso, <ei, ej > = δij =
{
1, se i = j
0, se i �= j
Definição: A função δij acima definida é a chamada função delta de Kronecker.
Proposição 3: Sejam V um espaço euclidiano e S = {g1, g2, ... , gn} um subconjunto
ortonormal de V. Então S é linearmente independente.
Prova: Nas condições do enunciado, suponhamos que α1 g1 + α2 g2 + ... + αn gn = 0 (1)
Multiplicando-se (1) escalarmente por g1, obtemos:
0 = <0, g1 > = α1 < g1, g1 > + α2 < g1, g2 > + ... + αn < gn, g1 > = α1,
uma vez que <gi, gj > = δij =
{
1, se i = j
0, se i �= j , por se tratar de uma base
ortonormal. Provamos, portanto, que α1 = 0 e, de modo análogo, obteremos α2 = α3 =
... = αn = 0, o que conclui a demonstração doo resultado enunciado.
Álgebra Linear - Notas de Aula 143
Proposição 4: Sejam V um espaço euclidiano e S = {g1, g2, ... , gn} um subconjunto
ortonormal de V. Então, para todo vetor u ∈ V, o vetor
v = u − <u, g1 > .g1 − ... − <u, gn > .gn
é ortogonal a todo vetor do subespaço gerado pelos vetores de S.
Prova: Afirmamos, inicialmente, que o vetor v é ortogonal ao vetor gi, para todo i = 1, ... , n.
De fato:
< v, gi > = < u − < u, g1 > .g1 − ... − < u, gi > .gi − ... − < u, gn > .gn, gi > =
= < u, gi > − < u, g1 > . < g1, gi > − < u, g2 > . < g2, gi > − ... − < u, gn > . < gn, gi >
Mas: < gi, gj > = δij e, portanto, < v, gi > = < u, gi > − < u, gi > = 0
Acabamos, dessa forma, de provar que o vetor v é ortogonal a cada um dos vetores do subcon-
junto S. Mostremos, agora, que v é ortogonal a w, para todo w ∈ [ S ]. Para isso, consideremos
w = a1 g1 + a2 g2 + ... + an gn um vetor genérico de [ S ]. Então:
< v, w > = a1. < v, g1 > + a2. < v, g2 > +...+ ar. < v, gr > = 0
Definição 5: No espaço vetorial euclidiano V de dimensão finita, consideremos o subconjunto
B = {g1, g2, ... , gn}. Dizemos que B é uma base ortonormal de V se, e somente se
(i) B é uma base de V;
(ii) B é ortonormal.
Exemplo: A base canônica do Rn é uma base ortonormal deste espaço.
Teorema 1: (Processo de Ortonormalização de Gram-Schmidt)
Todo espaço vetorial euclidiano de dimensão finita n > 0 admite uma base ortonormal.
Prova: • Suponhamos que dim V = 1 e consideremos B = {u} uma base de V. Afirmamos
que o conjunto S = {g1} é uma base ortonormal de V, sendo g1 = 1‖ u ‖.u
De fato: S é LI, pois g1 �= 0 e, além disso
‖ g1 ‖ = ‖ 1‖ u ‖ . u ‖ = 1‖ u ‖ . ‖ u ‖ = 1
Álgebra Linear - Notas de Aula 144
• Suponhamos, agora, que dim V = 2 e seja B = {u1, u2} uma base de V. Vamos construir,
a partir da base B, uma base ortonormal S de V. Para isso, consideremos g1 =
1
‖ u1 ‖.u1.
Pela Proposição 4, o vetor v2 = u2 − < u2, g1 > g1 é ortogonal ao vetor g1. Logo, o vetor
g2 =
1
‖ v2 ‖.v2 também é ortogonal a g1 e, além disso, ‖ g2 ‖ = 1. Assim, S = {g1, g2}
é um subconjunto ortonormal de V. Finalmente, pela Proposição 3, S é LI e como S é formado
por 2 = dim V vetores, segue que S é uma base ortonormal de V.
• Suponhamos, agora, que dim V = 3 e seja B = {u1, u2, u3} uma base de V. Novamente,
utilizaremos a base B para construir uma base ortonormal S de V. Como anteriormente, con-
sideremos g1 =
1
‖ u1 ‖.u1, v2 = u2 − < u2, g1 > g1 e g2 =
1
‖ v2 ‖.v2. Como
vimos acima, o conjunto {g1, g2} é um subconjunto ortonormal de V. Consideremos, agora,
v3 = u3 − < u3, g1 > g1 − < u3, g2 > g2 e g3 = 1‖ v3 ‖.v3. Pela Proposição 4, v3 é
ortogonal a g1 e a g2. Além disso, ‖ g3 ‖ = 1, o que completa a prova de que o conjunto
S = {g1, g2, g3} é uma base ortonormal de V, constrúıda a partir da base dada B.
Para dim V > 3, basta repetir o processo.
Exemplo: Considere no R3, com o seu produto interno usual, a base B = {u1, u2, u3}, sendo
u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 1) e u3 = (0, 1, 2). Aplicando o processo de ortonormalização
de Gram-Schmidt, encontre, a partir de B, uma base ortonormal de R3.
Solução: • g1 =
u1
‖ u1 ‖ =
(1, 0, 0)√
12+02+02
= (1, 0, 0).
• g2 = ?
Seja v2 = u2 − < u2, g1 > . g1. Como < u2, g1 > = (0, 1, 1) . (1, 0, 0) = 0, segue que
v2 = u2 = (0, 1, 1). Basta, então, considerarmos
g2 =
v2
‖ v2 ‖ =
(0, 1, 1)√
02+12+12
= (0, 1, 1)√
2
= (0,
√
2
2 ,
√
2
2 )
• g3 = ?
Seja v3 = u3 − < u3, g1 > . g1 − < u3, g2 > . g2. Como < u3, g1 > =
(0, 1, 2) . (1, 0, 0) = 0 e < u3, g2 > = (0, 1, 2) . (0,
√
2
2
,
√
2
2
) =
√
2
2
+ 2 .
√
2
2
= 3
√
2
2
,
segue que v3 = u3 − 0.g1 − 3
√
2
2
. g2 = (0, 1, 2) − (0, 32 , 32) = (0, −12 , 12). Basta, então,
considerarmos
g3 =
v3
‖ v3 ‖ =
(0, −1
2
, 1
2
)√
02+(−1
2
)2+(1
2
)2
=
(0, −1
2
, 1
2
)√
1
2
=
(0, −1
2
, 1
2
)√
2
2
= (0, − 1, 1)√
2
=
= (0, −
√
2
2 ,
√
2
2 )
Álgebra Linear - Notas de Aula 145
Logo: C = {(1, 0, 0), (0,
√
2
2
,
√
2
2
), (0, −
√
2
2
,
√
2
2
)} é a base ortonormal procurada, obtida a
partir da base B.
Seja V um espaço vetorial euclidiano. Dado U ⊂
sev
V, seja U⊥ o seguinte subconjunto de V:
U⊥ = {v ∈ V : <v, u> = 0, para todo u ∈ U}
Lema 1: U⊥ é um subespaço vetorial de V.
Prova: Verifiquemos que são válidas as condições para que um subconjunto de V seja um
subespaço vetorial de V. Para isso, consideremos k ∈ R e u1, u2 ∈ U⊥. Então, para todo
u ∈ V, <u1, u> = <u2, u> = 0 e, dessa forma,
• 0 ∈ U⊥, uma vez que, para todo u ∈ U, tem-se <0, u> = 0
• <k u1 + u2, u> = k.<u1, u> + <u2, u> = k.0 + 0 = 0
o que mostra o resultado enunciado.
Definição: O subespaço vetorial U⊥ de V é chamado de complemento ortogonal de U.
Exemplo: Considere no espaço vetorial R3 o subespaço U = {(x, y, 0) : x, y ∈ R}. Encontre
o subespaço U⊥.
Solução: Inicialmente, observemos que U = [u1, u2], sendo u1 = (1, 0, 0) e u2 = (0, 1, 0).
Além disso, temos que U⊥
def
= { v = (a, b, c) ∈ R3 : <v, u> = 0, ∀ u ∈ U} e portanto,
dado v = (a, b, c) ∈ U⊥, em particular para u1 e u2, segue que:
• 0 = <v, u1 > = <(a, b, c), (1, 0, 0)> = a.1 + b.0 + c.0 = a
• 0 = <v, u2 > = <(a, b, c), (1, 0, 0)> = a.0 + b.1 + c.0 = b
Dessa forma, v = (0, 0, c), para c ∈ R, ou seja, U⊥ = {(0, 0, z) : z ∈ R} = [(0, 0, 1)].
Proposição 5: Sejam V um espaço vetorial euclidiano de dimensão finita n e U um subespaço
vetorial de V. Então V = U ⊕ U⊥.
Prova: Devemos mostrar que V = U + U⊥ e que U ∩ U⊥ = {0}.
• V = U + U⊥:
Seja B = {g1, g2, ... , gr} uma base ortonormal de U. Dado v ∈ V, pela Proposição 4, o vetor
w = v - <v, g1 > . g1 - ... - <v, gr > . gr é ortogonal atodo elemento de U; ou, em outras
Álgebra Linear - Notas de Aula 146
palavras, w ∈ U⊥. Dessa forma:
v = [< v, g1 > . g1 + · · · + < v, gr > . gr]︸ ︷︷ ︸
∈ U
+ w︸︷︷︸
∈ U⊥
∈ U + U⊥
• U ∩ U⊥ = {0}:
Seja w ∈ U ∩ U⊥. Como w ∈ U⊥, segue que w é ortogonal a todo vetor de U. Em particular,
w é ortogonal a si próprio; isto é, w ⊥ w e, portanto,
‖ w ‖2 = < w, w > = 0 ⇐⇒ w = 0
o que completa a prova de que V = U ⊕ U⊥.
Observe que: Pelo que acabamos de ver, em um espaço vetorial euclidiano V de dimensão finita
n, se B [ {g1, g2, ... , gr} é uma base ortonormal de um subespaço vetorial U, então todo vetor
v ∈ V se decompões, de modo único, como soma de um elemento u de U com um elemento w
de U⊥, (e, portanto, u é ortogonal a w), da seguinte forma:
v = [< v, g1 > . g1 + · · · + < v, gr > . gr]︸ ︷︷ ︸
∈ U
+ w︸︷︷︸
∈ U⊥
Nesta decomposição, a parcela u = < v, g1 > . g1 + · · · + < v, gr > . gr ∈ U é
chamada projeção ortogonal de v sobre o subespaço U. Além disso, a aplicação
E : V −→ V dada por
E(u) = < v, g1 > . g1 + · · · + < v, gr > . gr
é chamada de projeção ortogonal de V sobre U e satisfaz às seguintes propriedades:
1. E é um operador linear ;
2. E2 = E (isto é, E é idempotente);
3. Ker E = U⊥ e Im E = U e, portanto, V = Im (E) ⊕ Ker (E).
Exerćıcios
1. Consideremos no R2 o produto interno dado por <u, v> = x1 y1 + 2 x2 y2, para todo
par de vetores u = (x1, x2), v = (y1, y2). Verificar se u e v são ortogonais em relação a este
produto, em cada um dos seguintes casos:
(a) u = (1, 1) e v = (2, -1) (b) u = (2, 1) e v = (-1, 1) (c) u = (3, 2) e v = (2, -1)
Álgebra Linear - Notas de Aula 147
2. Considere no R2 o produto interno dado por <u, v> = x1 x2 + 2 y1 y2 - x1 y2 - x2 y1,
para todo par de vetores u = (x1, y1), v = (x2, y2) do R
2.
(a) Determinar m para que os vetores u = (1 + m, 2) e v = (3, m - 1) sejam ortogonais.
(b) Determinar todos os vetores do R2 que são ortogonais a w = (2, 1).
(c) Determinar todos os vetores u = (m, m - 1) de norma igual a 1.
3. Consideremos em P2(R) o produto interno dado por <p(t), q(t)> =
∫ 1
0
p(t).q(t) dt. Para
que valor de m p(t) = m t2 - 1 é ortogonal a q(t) = t, segundo este produto interno?
4. Idem para <p(t), q(t)> =
∫ 1
−1 p(t).q(t) dt.
5. Num espaço vetorial euclidiano V, considere os vetores w �= 0 e v. Mostre que
c =
< v, w >
< w, w > =
< v, w >
‖ w‖2
é o único escalar para o qual v′ = v - c w é ortogonal a w.
6. Determinar todos os vetores do R3 de norma igual a 2 que sejam ortogonais simultaneamente
a u = (2, 1, 2) e v = (-1, 3, 4).
7. Ortonormalizar a base u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, -1, 1), u3 = (-1, 0, 1) do R
3, utilizando o
processo de Gram-Schmidt.
8. Determinar uma base ortonormal de cada um dos seguintes subespaços do R4 utilizando o
processo de Gram-Schmidt:
(a) W = [(1, 1, 0, 0), (0, 1, 2, 0), (0, 0, 3, 4)].
(b) W = [(2, 0, 0, 0), (1, 3, 3, 0), (3, -3, -3, 0)].
9. Encontre uma base ortonormal para o subespaço W = {(x, y, z) ∈ R3 : x - y = 0} do R3.
10. Considere a aplicação linear F : R3 −→ R2 definida por F(x, y, z) = (x - y - z, 2z - x).
Determine uma base ortonormal para Ker F.
11. Em P2(R) considere o produto interno definido por: <p(t), q(t)> =
∫ 1
0
p(t).q(t) dt
(a) Ortonormalizar a base {1, 1 + t, 2 t2}.
(b) Achar o complemento ortogonal do subespaço W = [5, 1 + t].
12. Determinar uma base ortonormal de W e uma base ortonormal de W⊥, sabendo que W é
o subespaço do R4 dado por W = {(x, y, z, t) : x + y = 0 e 2x + z = y}.
Álgebra Linear - Notas de Aula 148
13. Determinar um vetor unitário do R3 que seja ortogonal a todos os vetores do subespaço
W = [(1, 2, -1), (-1, 0, 2)].
14. Determinar a projeção ortogonal do vetor u = (1, 1, 0, -1) ∈ R4 sobre o subespaço
W = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x - y - z = 0 e z - 2t = 0}.
15. Provar que os vetores 1, t e t2 − 1
3
de P2(R) são dois a dois ortogonais em relação ao
produto interno definido por:
∫ 1
−1 p(t).q(t) dt.
16. Determinar uma base ortonormal do subespaço W = [(1, 1, 1), (1, -2, 3)] do R3 em
relação ao produto interno <u, v> = x1 y1 + 2 x2 y2 + x3 y3, para todo par de vetores
u = (x1, x2, x3) e v = (y1, y2, y3).
17. Sejam U e V subespaços vetoriais de um espaço euclidiano de dimensão finita. Provar que
(U ∩ V)⊥ = U⊥ + V⊥.
18. Considere os vetores u = (2, 2, 2) e v = (3, 3, 1), ambos do R3.
(a) Determinar dois vetores v1 e v2 tais que v = v1 + v2; v1 é ortogonal a u e v2 = λ u, (λ ∈ R);
(b) Se w = (-5, 1, -1), decompor v em uma parcela de W = [u, w] e uma parcela de W⊥;
(c) Determinar uma base ortonormal de W.
19. Seja P2(R) munido do produto interno <p(t), q(t)> =
∫ 1
0
p(t).q(t) dt. Ortonormalizar
a base canônica C = {1, t, t2}, utilizando o processo de Gram-Schmidt.
20. Considere o subespaço U = [v1, v2, v3] do R
4, sendo v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (1, 1, 2, 4) e
v3 = (1, 2, -4, -3). Encontre
(a) uma base ortogonal de U.
(b) uma base ortonormal de U.
21. Considere o espaço vetorial dos polinômios de qualquer grau P(t), munido do produto
interno <f(t), g(t)> =
∫ 1
0
f(t).g(t) dt. Aplique o Processo de Ortogonalização de Gram-
Schmidt ao conjunto B = {1, t, t2} para obter um conjunto ortogonal C = {f0, f1, f2} com
coeficientes inteiros.
5.4 Isometrias
Daremos neste parágrafo a definição de um operador que dá origem ao conceito de distância.
Definição: Seja V um espaço euclidiano de dimensão finita. Um operador linear T : V −→ V
Álgebra Linear - Notas de Aula 149
é chamado uma isometria sobre V (ou ainda um operador ortogonal sobre V) se satisfaz a
propriedade
‖ T(u) ‖ = ‖ u ‖, ∀u ∈ V
Ou seja: uma isometria é um operador linear que preserva normas de vetores.
Exemplo: Seja T : R2 −→ R2 dado por T(x, y) = (x cos θ - y sen θ, x sen θ + y xos θ),
com 0 · θ · 2π. Então, para cada u = (x, y) ∈ R2, temos que:
‖ T(u) ‖2 = ‖ T(x, y) ‖2 = (x2 cos2θ - 2 x y sen θ cos θ + y2 sen2θ) +
+ (x2 sen2θ + 2 x y sen θ cos θ + y2 cos2θ)
= x2(cos2θ + sen2θ) + y2(sen2θ + cos2θ)
= x2 + y2 = ‖ (x, y) ‖2 = ‖ u ‖2
Proposição 6: Toda isometria T : Vn −→ Vn de um espaço euclidiano é um isomorfismo.
Prova: É suficiente mostrarmos que T é uma aplicação injetora, uma vez que o operador T
está definido em um espaço vetorial de dimensão finita n. Para isto, consideremos um vetor
arbitrário u ∈ Ker T. Então:
T(u) = 0 =⇒ ‖ T(u) ‖ = 0 =⇒ ‖ u ‖ = 0 =⇒ u = 0 =⇒ Ker T = { 0 }
e, portanto, T é injetora.
Proposição 7: Seja T : Vn −→ Vn um operador linear em um espaço euclidiano. São
equivalentes as seguintes afirmações:
(i) T é isometria
(ii) T transforma bases ortonormais de V em bases ortonormais de V
(iii) < T(u), T(v) > = < u, v >, ∀ u, v ∈ V
Álgebra Linear - Notas de Aula 150
Prova: (i) =⇒ (ii)
Seja B = { g1, g2, . . . , gn} uma base ortonormal de V. Mostraremos que T(B) também é uma
base ortonormal de V. Como T é um isomorfismo, temos que T(B) = { T(g1), T(g2), . . . ,
T(gn)} é uma base de V
Afirmamos que: T(B) é ortonormal.
De fato: Temos que:
‖ gi + gj ‖2 = ‖ gi ‖2 + ‖ gj ‖2 + 2 < gi, gj >
e
‖ T(gi) + T(gj) ‖2 = ‖ T(gi) ‖2 + ‖ T(gj) ‖2 + 2 < T(gi), T(gj) >
De T ser uma isometria, segue que ‖ gi + gj ‖2 = ‖ T(gi) + T(gj) ‖2 e também que
‖ gi ‖2 = ‖ T(gi) ‖2, para quaisquer 1 · i, j · n. Portanto,
‖ gi ‖2 + ‖ gj ‖2 + 2 < gi, gj > = ‖ T(gi) ‖2 + ‖ T(gj) ‖2 + 2 < T(gi), T(gj) >
e dáı segue que < T(gi), T(gj) > = < gi, gj >, ∀ 1 · i, j · n.
Como { g1, g2, . . . , gn} é uma base ortonormal de V, segue que { T(g1), T(g2), . . . , T(gn)}
também é uma base ortonormal de V.
(ii) =⇒ (iii)
Seja B = { g1, g2, . . . , gn} uma base ortonormal de V. Então, dados u, v ∈ V arbitrários, ,
temos que u =
∑n
i=1 αi gi e v =
∑n
i=1 βi gi. Portanto, usando a notação:
δij
not
=
{
1, se i = j
0, se i �= j
temos que
< T(u), T(v) > = <
∑n
i=1 αi T(gi),
∑n
j=1 βj T(gj) > =
∑n
i=1
∑n
j=1 αiβj < T(gi), T(gj) > =
Álgebra Linear - Notas de Aula 151
=
∑n
i=1
∑n
j=1 αiβj δij =
∑n
i=1 αiβi
Por outro lado:
< u, v > = <
∑n
i=1 αi gi,
∑n
j=1βj gj > =
∑n
i=1
∑n
j=1 αiβj < gi, gj > =
∑n
i=1
∑n
j=1 αiβj δij =
=
∑n
i=1 αiβi, o que conclui a prova de que < T(u), T(v) > = < u, v >.
(iii) =⇒ (i)
‖ T(u) ‖2 = < T(u), T(u) > hip= < u, u > = ‖ u ‖2
Ou seja, ‖ T(u) ‖ = ‖ u ‖, e, portanto, T é uma isometria.
Lembre que: Uma matriz quadrada M é dita ortogonal se M−1 = Mt (ou M Mt = I).
Proposição 8: Seja T : Vn −→ Vn um operador linear definido em um espaço euclidiano
V. Então: T é uma isometria se, e somente se, a matriz de T em relação a uma base ortonormal
é uma matriz ortogonal.
5.5 Operadores Auto-Adjuntos e Espaços Hermitianos.
Operadores Auto-Adjuntos:
Definição: Seja V um espaço vetorial euclidiano. Um operador linear A ∈ L(V) é chamado
auto-adjunto se, e somente se,
< A(u), v > = < u, A(v) >, ∀ u, v ∈ V
Quando dim V = n < ∞, os operadores auto-adjuntos admitem uma caracterização matricial
bastante simples, como veremos a seguir:
Proposição 9: Sejam V um espaço vetorial euclidiano de dimensão finita e A ∈ L(V) um
operador linear definido em V. Então: A é auto-adjunto se, e somente se, a matriz de A em
relação a uma base ortonormal de V é simétrica.
Álgebra Linear - Notas de Aula 152
Espaços Hermitianos:
Seja V um espaço vetorial complexo.
Definição: Um produto interno sobre V é uma aplicação
V × V −→ C
(u, v) 
−→ < u, v >
de modo que, para todos u, v, w ∈ V, α ∈ C, estão satisfeitas as condições:
(a) <u, u> é um número real maior do que zero, se u �= 0;
(b) <u, v> = < v, u >;
(c) <u + v, w> = <u, w> + <v, w>;
(d) < α u, v> = α. <u, v>.
Exemplo: Considere em V = Cn os vetores u = (x1, x2, . . . , xn) e v = (y1, y2, . . . , yn). A
aplicação:
(u, v) 
−→ < u, v > def= x1.y1 + x2.y2 + . . . + xn.yn
define o produto interno usual em Cn.
Definição: Um espaço vetorial complexo munido de um produto interno é chamado um
espaço hermitiano.