Teoria dos números

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Teoria dos Números:
Sobre explicações e argumentos matemáticos
Quadrado = Triângulo?
• José levanta a mão freneticamente, exclamando: 
"Consigo PROVAR que um triângulo é igual a um 
quadrado". A professora pede a ele para contar mais à 
turma sobre sua descoberta. José vai para o canto onde 
estão os blocos e retorna com dois meios blocos 
quadrados, dois meios blocos triangulares e um bloco 
retangular. 
• Embora a maneira de José falar — sua afirmação de que 
as formas eram “iguais" — não seja matematicamente 
correta (por exemplo, as formas não são congruentes), 
fico intrigado com a sua explicação e seu uso do termo 
prova. E se, por exemplo, ele. tivesse dito: “A área 
deste quadrado é igual à área deste triângulo porque 
cada um deles é metade da área do mesmo retângulo 
maior”, e continuasse com sua demonstração? Em que 
saludo isso pode ser considerado uma prova ou, pelo 
menos, uma demonstração convincente? 
Prova e Demonstração?
• Segundo o Houaiss:
• Provar: demonstrar a verdade, a realidade, a autenticidade de (uma coisa) 
com razões, fatos, etc.
• Demonstrar: tornar evidente através de provas; comprovar.
• Etimologicamente:
• Provar: lat. prŏbo,as,āvi,ātum,āre no sentido de ‘ensaiar, examinar, verificar, 
reconhecer por experiência, julgar, aceitar’.
• Demonstrar: lat. demonstro,as,āvi,ātum,āre no sentido de 
'fazer ver, dar a conhecer, indicar, comprovar’.
• Segundo LALANDE (1999, p. 239): Uma demonstração é uma 
dedução destinada a provar a verdade da sua conclusão apoiando-se 
sobre premissas reconhecidas ou admitidas como verdadeiras.
• A história das explicações e dos argumentos matemáticos é complicada 
pelo fato de que aquilo que hoje aceitamos como paradigmático da prova 
matemática é uma metodologia que surgiu por volta de 300 a. C., em 
grande parte graças aos esforços de Euclides de Alexandria.
• A luz de Os elementos, de Euclides, os argumentos e explicações 
anteriores devem ser consideradas demonstrações convincentes. Isso 
porque há uma diferença essencial entre a prova indiana (upapattis) e a 
prova grega (apodeixis). O objetivo de um estudioso indiano em 
convencer o aluno inteligente da validade, de forma que uma 
demonstração visual era uma forma aceitável de argumento. A apodeixis 
grega, por outro lado, ainda que muitas vezes incluísse uma 
demonstração geométrica, era construída a partir de axiomas 
selecionados e se baseava na lógica proposicional. Mas ambas 
empregavam a dedução lógica.
RACIOCÍNIO E PROVA A PARTIR DE UMA PERSPECTIVA DO 
DESENVOLVIMENTO
• A noção de prova ocorre muito cedo no desenvolvimento de uma pessoa. 
José, o aluno da educação infantil, certamente apresentou uma 
demonstração convincente— que depende da forma dos blocos, da forma 
dos quadrados e da forma do retângulo produzido. A abordagem 
experimental de José à prova é um tanto típica do que se vê no currículo 
do ensino fundamental. Consigo provar que 5 é a solução para 3 + ? = 8 
experimentando números de 1 a 10.
• Mais ou menos na 3º ano, costuma acontecer uma mudança na eficácia 
percebida do método de tentativa e erro. As habilidades de contagem de 
crianças se desenvolvem até o ponto onde elas começam a perceber que 
“os números avançam para sempre”. Enunciados como: Um número par 
mais um número ímpar é igual a um número ímpar, embora 
demonstráveis para números de tamanho moderado, não o são quando 
“se tratam de” números verdadeiramente grandes. Muitas vezes se pede 
que as crianças acreditem na estrutura de um sistema que já não podem 
contar nos dedos. 
VARIEDADES DE PROVA 
• Prova por exaustão;
• Prova por postulados;
• Prova por indução;
• Prova por contradição.
Prova por exaustão
• Tenho moedas de 1, 5 e 10 centavos no bolso e pego 
três delas. Quais seriam as diferentes quantias que eu 
poderia ter?
Prova por postulados
• Por exemplo: Quaisquer números pares somados resulta 
num número par.
• Para demonstrar essa conjectura posso imaginar os números 
pares 2n e 2m, com n e m sendo números naturais quaisquer. 
Assim: 2n + 2m = 2 (n + m). E o dobro de qualquer número é 
um número par.
• Observe que, nesse caso, precisamos usar dois postulados:
1. Todo número que pode ser escrito na forma 2n é um número par;
2. Quando duas parcelas possuem um termo comum, podemos coloca-
lo em evidência, utilizando a propriedade distributiva da 
multiplicação em relação à soma.
• Prove que a soma de um número par mais um número 
ímpar é sempre um número ímpar.
Prova por indução
• A ideia é a seguinte: 
1. Demonstra que o primeiro enunciado de uma sequência 
infinita de enunciados é verdadeiro (a propósito, não é 
necessário começar com 0). 
2. A seguir, provo (efetivamente, uma prova por postulados) 
que, se o enunciado arbitrário , na sequência infinita de 
enunciados é verdadeiro, como são todos os enunciados 
anteriores a esse enunciado arbitrário, a próxima instrução , 
também é. 
Prova por contradição
• Você prova que a conjectura está correta, 
demonstrando que se não for verdadeira, há sempre 
uma contradição.
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	Prova e Demonstração?
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	RACIOCÍNIO E PROVA A PARTIR DE UMA PERSPECTIVA DO DESENVOLVIMEN
	VARIEDADES DE PROVA
	Prova por exaustão
	Prova por postulados
	Prova por indução
	Prova por contradição