Lógica e Raciocinio - Faculdade Descomplica

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Proposições 
Matemáticas, 
Conectivos e 
Condicionais 
Chamamos de proposição toda oração declarativa que pode ser 
classificada como verdadeira ou falsa. Sendo assim, uma proposição: 
• Possui sujeito e predicado; 
• Não é uma oração interrogativa ou exclamativa. 
Além disto, toda proposição satisfaz os seguintes princípios: 
• Princípio da Não Contradição: Uma proposição não pode ser 
verdadeira e falsa ao mesmo tempo. 
• Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição ou é verdadeira 
ou é falsa, não há uma terceira possibilidade. 
 
São exemplos de proposições: 
• Pedro Álvares Cabral descobriu o Brasil. 
• Onze é maior do que sete. (11>7) 
• Buenos Aires é a capital do Brasil. 
 
E não são proposições: 
• X elevado ao quadrado mais um. (x2+1) 
• O número Pi é um número irracional? 
• O dobro de um número somado com dois é igual a doze 
(2x+2=12) 
 
Na primeira temos que a sentença não possui um predicado, a 
segunda é uma oração interrogativa, e na terceira não temos como 
classificar a sentença como verdadeira ou falsa, pois depende do valor 
de x. 
 
A partir de uma proposição p podemos construir uma nova proposição, 
chamada de negação de p, denotada por ~p, cujo valor lógico é 
sempre o oposto da proposição original p. 
Exemplos de negação: 
 
 p: Buenos Aires é a capital do Brasil. (Falso) 
~p: Buenos Aires não é a capital do Brasil. (Verdadeiro) 
 
 p: Cinco vezes sete é igual a trinta e cinco (7⋅5=35) (Verdadeiro) 
~p: Cinco vezes sete é diferente de trinca e cinco (7⋅5≠35) (Falso) 
 
 p: Sete é um número inteiro (7∈ Z). (Verdadeiro) 
~p: Sete não é um número inteiro (7∉ Z) (Falso) 
 
Conectivos são símbolos lógicos utilizados para gerar novas 
proposições a partir de uma proposição inicial. 
 
Conectivo de conjunção: ∧ (lê-se “e”) 
 
Exemplo: 
 p: O número 7 é primo. 
 q: O número 2 é par. 
p ∧ q: O número 7 é primo e o número 2 é par. 
 
 p: 5>7 
 q: 5≠2 
p ∧ q: 5>7 e 5≠2. 
 
Uma conjunção p ∧ q é verdadeira somente se p e q são ambas 
verdadeiras. Se pelo menos uma destas sentenças possuem o valor 
lógico como falso, então a conjunção é falsa. Com isto, a conjunção do 
primeiro exemplo é verdadeira, enquanto a do segundo exemplo, é 
falsa. 
 
Conectivo de disjunção: ∨ (lê-se “ou”) 
 
Exemplo: 
 p: 2 é um número primo. 
 q: 2 é um número composto. 
p ∨ q: 2 é um número primo ou um número composto. 
 
 p: 10 é um número ímpar. 
 q: 4 é um número primo. 
p ∨ q: 10 é um número ímpar ou 4 é um número primo. 
Uma disjunção p ∨ q só será falsa se ambas as proposições p e q 
forem falsas. Se pelo menos uma delas for verdadeira, então o valor 
lógico da disjunção é verdadeiro. No exemplo anterior, temos que a 
primeira disjunção é verdadeira, enquanto a segunda disjunção é 
falsa. 
 
Existe outro modo de gerar novas proposições a partir de duas 
proposições iniciais, utilizando os símbolos lógicos condicionais. 
 
Condicional → (lê-se: “se p, então q”) 
Exemplo: 
 p: Cinco é divisor de vinte (5|20) 
 q: Vinte é divisor de 100 (20|100) 
p q: Se cinco é divisor de vinte, então vinte é divisor de 100 
(5|20→20|100) 
 
 p: Um quadrado possui todos os lados com a mesma medida. 
 q: Todo quadrilátero é um paralelogramo. 
p q: Se um quadrado possui todos os lados com a mesma medida, 
então todo quadrilátero é um paralelogramo. 
 
A condicional p q terá o valor lógico como sendo falso somente 
quando p é uma proposição verdadeira e q é uma proposição falsa. Do 
contrário, a condicional será verdadeira. No exemplo anterior, a 
primeira condicional é verdadeira, e a segunda, falsa. 
 
Condicional (lê-se: “p, se e somente se, q”) 
 p: Cinco é divisor de vinte (5|20) 
 q: Vinte é divisor de 100 (20|100) 
p q: Cinco é divisor de vinte, se e somente se, vinte é divisor de 100. 
 (5|20↔20|100) 
 
 p: Um quadrado possui todos os lados com a mesma medida. 
 q: Todo quadrilátero é um paralelogramo. 
p ↔ q: Um quadrado possui todos os lados com a mesma medida, se 
e somente se, todo quadrilátero é um paralelogramo. 
 
A condicional p ↔ q será verdadeira se p e q tiverem o mesmo valor 
lógico, isto é, ou p e q são ambas verdadeiras, ou ambas falsas. Se p 
e q tiverem valores lógicos distintos, então a condicional será falsa. No 
exemplo anterior, a primeira condicional é verdadeira, enquanto a 
segunda é falsa. 
 
Podemos resumir as relações de valores lógicos na seguinte tabela: 
 
 
01 
Observe as sentenças abaixo: 
I. João e Maria. 
II. Um quadrado é um polígono de quatro lados. 
III. x+5=2. 
IV. 8 divide 72 (8 | 72). 
As sentenças que são proposições são: 
1. I e II 
2. II e III 
3. I e IV 
4. II e IV 
5. I e III 
02 
Observe as proposições abaixo: 
I. 5 é um número primo. 
II. 2+5=9. 
III. Todo quadrilátero é um paralelogramo ou 2 divide 8. 
IV. 10-3=6, se e somente se, Buenos Aires é a capital do Brasil. 
Com relação aos seus valores lógicos, podemos classificá-las, 
respectivamente, como: 
1. Verdadeira, falsa, verdadeira, verdadeira 
2. Verdadeira, verdadeira, falsa, verdadeira 
3. Falsa, falsa, verdadeira, falsa 
4. Verdadeira, falsa, verdadeira, falsa 
5. Verdadeira, falsa, falsa, falsa 
03 
Se a proposição p possui valor lógico verdadeiro e q o valor lógico falso, 
assinale a alternativa cuja proposição tenha valor lógico verdadeiro. 
1. ~p 
2. p ∧ q 
3. p ∨ q 
4. p → q 
5. p ↔ q 
04 
Sobre a proposição composta “1/2 é menor do que 3/4 ou 5 divide 11”, 
podemos afirmar que: 
1. A sentença é falsa, pois em uma disjunção basta que uma das 
sentenças seja falsa para que a proposição composta seja falsa, o 
que ocorre neste caso 
2. A sentença é verdadeira, pois em uma conjunção é necessário que 
ambas as sentenças sejam verdadeiras para que a proposição 
composta seja verdadeira, o que ocorre neste caso 
3. A sentença é verdadeira, pois em uma disjunção basta que uma 
sentença seja verdadeira para que a proposição composta seja 
verdadeira, o que ocorre neste caso 
4. A sentença é falsa, pois em uma conjunção basta que pelo menos 
uma das sentenças seja falsa para que a proposição composta seja 
falsa, o que ocorre neste caso 
05 
Na sentença “Todo retângulo é um paralelogramo se e somente se todo 
número primo diferente de 2 é um número ímpar”, podemos afirmar 
que: 
1. A sentença é falsa, pois em uma condicional “se, e somente se” os 
valores-lógicos das sentenças envolvidas precisam ser iguais para 
que a proposição composta seja verdadeira, o que não é o caso 
2. A sentença é verdadeira, pois em uma condicional “se, e somente 
se” os valores-lógicos das sentenças envolvidas precisam ser iguais 
para que a proposição composta seja verdadeira, o que é o caso 
3. A sentença é falsa, pois em uma condicional “se, e somente se” os 
valores-lógicos das sentenças envolvidas precisam ser diferentes 
para que a proposição composta seja verdadeira, o que não é o 
caso 
4. A sentença é verdadeira, pois em uma condicional “se, e somente 
06 
Na sentença “dois que multiplica quatro é igual a vinte e um”, podemos 
afirmar que: 
1. A sentença possui valor-lógico falso, e a sua negação é “dois que 
multiplica quatro é igual a vinte”, que possui valor-lógico 
verdadeiro 
2. A sentença possui valor-lógico verdadeiro, e a sua negação é “dois 
que multiplica quatro é diferente de vinte e um”, que possui valor-
lógico falso 
3. A sentença possui valor-lógico falso, e a sua negação é “dois que 
multiplica quatro é diferente de vinte e um”, que possui valor-
lógico verdadeiro 
4. A sentença possui valor-lógico verdadeiro, e a sua negação é “dois 
que multiplica quatro é igual a vinte”, que possui valor-lógico falso 
5. Tautologia e 
Relações Lógicas 
6. Uma tautologia é uma proposição composta logicamente 
verdadeira, isto é, quando seu valor lógicoé sempre verdadeiro. 
7. 
8. Exemplo: p∨~(p ∧ q) 
9. 
10. Exemplo: p∨~(p ∧ q) 
11. 
12. Uma contradição é uma proposição composta logicamente 
falsa, isto é, é aquela que seu valor lógico é sempre falso. 
13. 
14. Exemplo: q∧~q 
15. 
16. Exemplo: (p ∧ q) ∧ ~(p ∨ q) 
17. 
18. Exemplo: (p ∨ ~q) ↔ (~p ∧ q) 
19. 
20. Uma proposição p implica em uma proposição q se q é 
verdadeira todas as vezes que p é verdadeira, isto é, quando a 
condicional p → q é verdadeira. Neste caso, indicamos p ⇒ q. 
21. Toda proposição implica em uma tautologia e somente uma 
contradição implica em uma contradição. 
 
22. Exemplo: (p → q) ∧ p ⇒ q 
23. 
24. Dizemos que p é equivalente a q quando p e q tem os 
mesmos valores lógicos, isto é, quando a condicional p < - > q é 
verdadeira. Neste caso, indicamos p < = > q. 
25. 
Se p e q são ambas tautologias ou ambas contradições, então p 
e q são equivalentes. 
26. Exemplo: p < = > ~(~p) 
27. 
28. Exemplo: p - > (p ∧ q) < = > p - > q 
29. 
01 
Observe as seguintes proposições: 
I. p → (q → (q → p)) 
II. (p → q) → (p ∧ q) 
III. p → (~p → q) 
IV. (p ∨ ~q) ↔ (~p ∧ q) 
Podemos afirmar que: 
1. São tautologias as proposições I e IV, apenas 
2. São contradições as proposições III e IV, apenas 
3. São tautologias as proposições I e III, apenas 
4. São contradições as proposições I e II, apenas 
5. As proposições II e IV não são nem tautologias e nem contradições 
02 
Observe a seguinte tabela-verdade: 
 
A alternativa que preenche corretamente as lacunas (1), (2) e (3), 
respectivamente, é: 
1. Falso, Verdadeiro, Verdadeiro 
2. Verdadeiro, Falso, Verdadeiro 
3. Verdadeiro, Falso, Falso 
4. Verdadeiro, Falso, Falso 
5. Falso, Falso, Verdadeiro 
03 
Observe as sentenças abaixo: 
I. p ∧ q ⇔ p 
II. p ∧ (p ∨ q) ⇔ p 
III. ~(p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q 
IV. ~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q 
Estão corretas as relações: 
1. I e II, apenas 
2. I, II e III, apenas 
3. I e IV, apenas 
4. II, III e IV, apenas 
5. I, II e IV, apenas 
04 
Considere as sentenças abaixo com valores-lógicos verdadeiros: 
p: Roberto é advogado. 
q: Andreza é engenheira. 
r: Lucas é carpinteiro. 
Então a proposição composta (p ∧ q) ⇔ r é lida como: 
1. Roberto ser advogado ou Andreza ser engenheira é equivalente a 
Lucas ser carpinteiro 
2. Roberto ser advogado e ou Andreza ser engenheira implica em 
Lucas ser carpinteiro 
3. Roberto ser advogado e Andreza ser engenheira implica em Lucas 
ser carpinteiro 
4. Roberto ser advogado e Andreza ser engenheira equivale a Lucas 
ser carpinteiro 
5. Roberto é advogado e Andreza é engenheira se e somente se 
05 
Considere as sentenças abaixo com valores-lógicos verdadeiros: 
p: Hoje está chovendo. 
q: Amanhã irei trabalhar. 
r: Comprei um café. 
Então a proposição composta (p ∨ r) ⇒ q ∧ r é lida como: 
1. Hoje está chovendo ou comprei um café implica em que amanhã 
irei trabalhar e irei comprar um café 
2. Hoje está chovendo e comprei um café implica em que amanhã irei 
trabalhar ou irei comprar um café 
3. Hoje está chovendo ou comprei um café é equivalente a amanhã 
irei trabalhar e irei comprar um café 
4. Hoje está chovendo e comprei um café é equivalente a amanhã irei 
trabalhar ou irei comprar um café 
5. Se hoje está chovendo e comprei um café então amanhã irei 
trabalhar e irei comprar um café 
06 
Considere as sentenças abaixo com valores-lógicos verdadeiros: 
p: A seleção brasileira ganhou o último jogo amistoso. 
q: Neymar já jogou pela seleção brasileira. 
Então a proposição composta ~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q é lida como: 
1. A negação de que a seleção brasileira ganhou o último jogo 
amistoso ou que o Neymar já jogou pela seleção brasileira é 
equivalente a seleção brasileira não ter ganho o último jogo 
amistoso e o Neymar nunca ter jogado pela seleção brasileira 
2. A negação de que a seleção brasileira ganhou o último jogo 
amistoso e que o Neymar já jogou pela seleção brasileira é 
equivalente a seleção brasileira não ter ganho o último jogo 
amistoso ou o Neymar nunca ter jogado pela seleção brasileira 
3. A negação de que a seleção brasileira ganhou o último jogo 
amistoso e que o Neymar já jogou pela seleção brasileira é 
equivalente a seleção brasileira não ter ganho o último jogo 
amistoso e o Neymar nunca ter jogado pela seleção brasileira 
4. A negação de que a seleção brasileira ganhou o último jogo 
amistoso ou que o Neymar já jogou pela seleção brasileira é 
equivalente a seleção brasileira não ter ganho o último jogo 
amistoso ou o Neymar nunca ter jogado pela seleção brasileira 
5. A seleção brasileira ganhou o último jogo amistoso ou o Neymar já 
jogou pela seleção brasileira é equivalente a seleção brasileira ter 
ganho o último jogo amistoso e o Neymar já ter jogado pela seleção 
brasileira 
Sentenças Abertas e 
Quantificadores 
Uma sentença aberta p(x) é aquela cujo valor lógico depende de uma 
variável x (ou mais de uma). Por exemplo: 
• p(x): x + 1 = 7 
Para x = 6 é verdadeira, mas para x = 5 é falsa. 
 
• p(y): y é um número natural e y > 2 
Para y = 5 é verdadeira, mas para y = 1 é falsa. 
 
• p(Q): Q é um polígono que possui um ângulo interno de 90º. 
Se Q é um triângulo retângulo, um quadrado... é verdadeira, mas 
se Q for um triângulo equilátero, então a sentença é falsa. 
 
• p(x,y): x, y ∈ R e x > y 
Para (x, y) = (2, 1) é verdadeira, mas para (x, y) = (0, 5) é falsa. 
 
O conjunto-verdade Vₚ de uma sentença aberta p(x) é o conjunto de 
todos os elementos/valores/objetos a tais que p(a) é uma proposição 
verdadeira. Nos exemplos anteriores temos que os conjuntos-verdade 
são, respectivamente, V p= {6}, V p= {y ∈ N ; y > 2} = {3, 4, 5, 6...}, Vₚ = 
polígonos que possuem um ângulo interno reto , Vₚ = {(x, y) ∈ R²; x > 
y} 
 
Sendo A o conjunto de todos os possíveis valores/objetos da 
variável x da sentença aberta p(x), temos três possibilidades: 
• p(x) é verdadeira para todo x ∈ A. Neste caso Vₚ = A e p(x) é 
uma propriedade universal no conjunto A. 
• p(x) é verdadeira somente para alguns x ∈ A. Neste caso Vₚ é 
um subconjunto próprio de A e p(x) é uma propriedade 
possível no conjunto A. 
• p(x) é falsa para todo x ∈ A. Neste caso, Vₚ = Ø e p(x) é 
uma propriedade impossível no conjunto A. 
Para atribuir um valor-lógico às sentenças abertas, usamos os 
quantificadores. O quantificador universal é indicado pelo símbolo e 
lê-se: “para todo”, ou “qualquer que seja”. Por exemplo: 
• (∀x ∈ N) (x + 5 = 7) 
“Para todo número natural x, temos que x + 5 = 7.” 
Valor-lógico: Falso. 
 
• ∀y ∈ R, y² + 1 > 0 
“Para todo número real y, temos que y² + 1 > 0.” 
Valor-lógico: Verdadeiro. 
 
• 2z > z, ∀z∈N 
“O dobro de z é maior do que z, para todo número natural z.” 
Valor-lógico: Verdadeiro. 
Se p(x) é uma sentença aberta em A, então o quantificador a torna 
uma proposição (∀x ∈ A) (p(x)). 
• Se Vₚ = A, a proposição é verdadeira; 
• Se Vₚ ≠ A, a proposição é falsa. 
 
O quantificador existencial é indicado pelo símbolo ∃! e lê-se: 
“existe”, ou “existe pelo menos um”. 
 
• (∃ x ∈ N) (x + 5 = 7) 
“Existe um número natural x tal que x + 1 = 7.” 
Valor-lógico: Verdadeiro. 
 
• ∃ y ∈ R; y² + 1 < 0 
“Existe um número real y tal que y² + 1 < 0.” 
Valor-lógico: Falso 
 
• ∃ z ∈ Z; 2z < z 
“Existe um número inteiro z tal que o dobro de z é menor do que z” 
Valor-lógico: Falso 
 
Se p(x) é uma sentença aberta em A, então o quantificador ∃ a torna 
uma proposição (∃ x ∈ A) (p(x)). 
• Se Vₚ ≠ Ø, a proposição é verdadeira; 
• Se Vₚ = Ø, a proposição é falsa. 
 
Quando o quantificador existencial é escrito ∃! significa que além da 
existência, é garantida a unicidade, e lê-se “existe e é único” ou “existe 
apenas um”. 
• (∃! x ∈ N) (x + 5 = 7) 
“Existe um único número natural x tal que x + 1 = 7.” 
Valor-lógico: Verdadeiro 
 
• ∃! y ∈ R; y² + 1 < 0 
“Existe um único número real y tal que y² + 1 < 0.” 
Valor-lógico: Falso• ∃! z ∈ Z; 2z < z 
“Existe apenas um número inteiro z tal que o dobro de z é menor do 
que z." 
Valor-lógico: Falso 
 
Se p(x) é uma sentença aberta em A, então o quantificador ∃! a torna 
uma proposição (∃x! ∈ A) (p(x)). 
• Se Vₚ = {a} a proposição é verdadeira; 
• Se Vₚ ≠ {a} , a proposição é falsa. 
01 
Qual das alternativas a seguir é uma sentença aberta? 
1. Existem números reais que são soluções da equação x3-1=0 
2. Vinte é máximo divisor comum de quarenta e sessenta 
3. x2+1=0 
4. Brasília é a capital do Brasil 
5. x2+1=0, para x=1 e x=-1 
02 
Considerando o conjunto dos números reais, observe as sentenças 
abertas abaixo: 
I. x2-1=0 
II. y<y+1 
III. √z2=z 
IV. x-1=0 
Para transformá-las corretamente em proposições lógicas cujo valor-
lógico é verdadeiro, podemos usar, respectivamente, os seguintes 
quantificadores: 
1. ∃,∀,∀,∃ 
2. ∃!,∃,∀,∃ 
3. ∀,∃,∀,∀ 
4. ∃,∀ ,∃,∃! 
5. ∃,∀,∃!,∀ 
03 
Observe as sentenças abaixo: 
I. Existe pelo menos um professor de matemática na escola. 
II. Todo brasileiro tem direito à saúde pública de qualidade. 
III. Um único estudante irá passar em 1º lugar no vestibular de medicina. 
IV. Qualquer estudante pode participar da assembleia estudantil. 
Foram empregadas nas sentenças acima, respectivamente, os seguintes 
quantificadores: 
1. Existencial, existencial, existencial, universal 
2. Universal, existencial, universal, existencial 
3. Existencial, universal, existencial, universal 
4. Universal, Existencial, existencial, universal 
5. Existencial, universal, existencial, existencial 
04 
Observe as sentenças quantificadas a seguir: 
(∀ x ∈ R) (x2+7=56) 
Existe um único número real x tal que x+7=14. 
Todo retângulo é um paralelogramo. 
(∃ x∈ N ) (x2-x=0) 
Podemos classificar o valor-lógico das sentenças como sendo, 
respectivamente: 
1. Verdadeiro, verdadeiro, falso, verdadeiro 
2. Falso, verdadeiro, verdadeiro, falso 
3. Falso, falso, verdadeiro, verdadeiro 
4. Verdadeiro, falso, falso, verdadeiro 
5. Falso, verdadeiro, verdadeiro, verdadeiro 
05 
Observe as sentenças abertas a seguir, onde em todas elas x∈ R: 
I. x2+1=7 
II. x<2 
III. x3=3x² 
A única alternativa que possui os quantificadores necessários para 
transformar as sentenças em proposições lógicas com valores-lógicos 
falsos é: 
1. Universal, existencial, existencial 
2. Existencial, universal, universal 
3. Existencial com unicidade, existencial, existencial 
4. Universal, existencial com unicidade, universal 
5. Universal, existencial, existencial com unicidade 
06 
A única sentença aberta que se torna uma proposição lógica com valor-
lógico verdadeiro através do quantificador existencial com unicidade (∃!) 
é: 
1. 2x2 - 10x + 8 = 0 
2. 18 < x < 21 
3. 6 n + 4 ≤ 34 
4. (y-1) . (y+1) = y2 - 1 
5. 3z - 3 = 9 
Negação de Proposições 
Lógicas 
Sendo p, q proposições, a negação de uma conjugação é a dada 
por: 
~(p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q 
 
Exemplos: 
 p: 2 é um número par. 
 q: 2 é um número primo. 
 (p ∧ q): 2 é um número par e 2 é um número primo. 
~(p ∧ q): 2 não é um número par ou 2 não é um número primo. 
 
 p: Usar roupa preta. 
 q: Ir ao cinema. 
 (p ∧ q): Usar roupa preta e ir ao cinema. 
~(p ∧ q): Não usar roupa preta ou não ir ao cinema. 
 
Sendo p, q proposições, a negação de uma disjunção é dada por: 
~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q 
 
Exemplos: 
 p: 2 é um número par. 
 q: 2 é um número primo. 
 (p ∧ q): 2 é um número par ou 2 é um número primo. 
~(p ∧ q): 2 não é um número par e 2 não é um número primo. 
 
 p: Usar roupa preta. 
 q: Ir ao cinema. 
 (p ∨ q): Usar roupa preta ou ir ao cinema. 
~(p ∨ q): Não usar roupa preta e não ir ao cinema. 
 
Sendo p, q proposições, a negação de uma condicional simples é 
dada por: 
~(p → q) ⇔ p ∧ ~q 
 
Exemplos: 
 p: 7 é um número racional. (7∈ Q) 
 q: 7 é um número real. (7∈ R) 
(p → q): Se 7 é um número racional então 7 é um número real. 
(7∈ Q →7∈ R) 
~(p → q): 7 é um número racional e 7 não é um número real. (7∈ Q e 
7∉ R) 
p: Usar roupa preta. 
 q: Ir ao cinema. 
 (p → q): Se usar roupa preta então irá ao cinema. 
~(p → q): Usar roupa preta e não ir ao cinema. 
 
Sendo p uma proposição, a negação do quantificador universal é 
dada por: 
~(∀x)(p(x)) ⇔ (∃x)(~p(x)) 
 
Exemplos: 
p(x): x fala alemão. 
(∀x)(p(x)): Toda pessoa fala alemão. 
~(∀x)(p(x)): Existe pelo menos uma pessoa fala que alemão. 
 
p(x): x+7=1. 
(∀x∈ R)(p(x)): Para todo x ∈ R, x+7=1 
~(∀x)(p(x)): Existe pelo menos um x∈ R tal que x+7≠1. 
 
Sendo p uma proposição, a negação do quantificador existencial é 
dada por: 
~(∃x)(p(x)) ⇔ (∀x)(~p(x)) 
 
Exemplos: 
p(x): x foi a Marte. 
(∃x)(p(x)): Existe uma pessoa que foi a Marte. 
~(∃x)(p(x)): Todas as pessoas não foram a Marte. 
 
p(x): x+7=1. 
(∃x∈ R)(p(x)): Existe um x ∈ R tal que x+7=1. 
~(∃x)(p(x)): Para todo x ∈ R, x+7≠1. 
 
Sendo p uma proposição, a negação do quantificador existencial 
com unicidade é dada por: 
~(∃!L)(p(L)) ⇔ (∀L)(~p(L)) ∨ (∃L ₁,L₂)(p(L ₁) ∧ p(L₂)) 
 
Exemplos: 
p(L): O losango L é um quadrado. 
(∃!L∈ R)(p(L)): Existe um único losango L que é um quadrado. 
~(∃!L)(p(L)): Para todo losango L temos que L não é um quadrado, ou 
existem pelo menos dois losangos L ₁ e L₂ que não são quadrados. 
01 
A negação de “Se m é ímpar e n é par, então m + n é par” é: 
1. Se m é par e n é ímpar, então m + n é ímpar 
2. Se m é ímpar e n é par, então m + n é ímpar 
3. Se m + n é ímpar, então m é par ou n é par 
4. m é ímpar, n é par e m + n é ímpar 
5. m é par, n é ímpar e m + n é par 
02 
A negação para a proposição “existe um losango que não é quadrado e 
todo número primo é ímpar” é dada por: 
1. “Todo losango é um quadrado e todo número primo é par” 
2. “Todo losango não é um quadrado ou todo número par é par” 
3. “Existe um único losango que não é um quadrado e existe um 
número primo que é par” 
4. “Todo losango é um quadrado ou existe um número primo que é 
par” 
5. “Existe um losango que não é quadrado ou todo número primo é 
ímpar” 
03 
Em uma vaga de emprego, as exigências mínimas eram que “o candidato 
tivesse fluência em inglês ou espanhol, e além disto, também tivesse pelo 
menos 5 anos de experiência na função”. Se um candidato foi descartado 
do processo seletivo por não cumprir as exigências mínimas então 
podemos afirmar com toda a certeza que: 
1. O candidato tinha fluência em inglês e não tinha fluência em 
espanhol, ou não tinha pelo menos 5 anos de experiência na função 
2. O candidato tinha fluência em inglês e espanhol, e não tinha pelo 
menos 5 anos de experiência no cargo 
3. O candidato não tinha fluência em inglês ou em espanhol, mas 
tinha pelo menos 5 anos de experiência no cargo 
4. O candidato tinha fluência em inglês e em espanhol, mas não tinha 
pelo menos 5 anos de experiência no cargo 
5. O candidato não tinha fluência em inglês e não tinha fluência em 
espanhol, ou não tinha pelo menos 5 anos de experiência no cargo 
04 
A negação correta da sentença “existe apenas um único número real x tal 
que x2-1=0”, assim como o valor-lógico desta negação, é: 
1. Para todo número real x vale que x2-1≠0, com valor-lógico falso 
2. Existem dois números reais x1 , x2 tais que x2-1=0, com valor-lógico 
verdadeiro 
3. Para todo número real x vale que x2 - 1 ≠ 0 ou existem pelo menos dois 
números reais x1, x2 tais que x2 - 1 = 0, com valor-lógico verdadeiro. 
4. Para todo número real x vale que x2 - 1 ≠ 0 ou existem pelo menos dois 
números reais x1, x2 tais que x2 - 1 = 0, com valor-falso. 
5. Para todo número real x vale que x2 - 1 = 0 ou existem pelo menos dois 
números reais x1, x2 tais que x2 - 1 ≠ 0, com valor-falso. 
05 
A negação da sentença “existe um único gerente responsável por este 
assunto, e nenhum outro funcionário pode resolver esta questão” é:1. Existe pelo menos dois gerentes responsáveis por este assunto ou 
existe um outro funcionário que pode resolver esta questão 
2. Nenhum gerente é responsável por este assunto, mas outro 
funcionário pode resolver esta questão 
3. Nenhum gerente é responsável por este assunto, ou pelo menos 
existem dois gerentes responsáveis por este assunto, ou existe um 
outro funcionário que pode resolver esta questão 
4. Nenhum gerente é responsável por este assunto, ou pelo menos 
existem dois gerentes responsáveis por este assunto, e existe um 
outro funcionário que pode resolver esta questão 
5. Nenhum gerente é responsável por este assunto, ou pelo menos 
existem dois gerentes responsáveis por este assunto, ou qualquer 
outro funcionário que pode resolver esta questão 
06 
A negação da sentença lógica (p ∧ q) → (∀ x)(r(x)) é dada por: 
1. (p ∨ q) → (∃ x)(~r(x)) 
2. (p ∨ q) → (∀ x)(~r(x)) 
3. (p ∧ q) ∧ (∃ x)(~r(x)) 
4. (p ∨ q) ∧ (∃ x)(~r(x)) 
5. (p ∨ q) ∨ (∀ x)(~r(x)) 
Postulados, Teoremas e 
Conjecturas 
Uma definição é um nome que damos para uma classe de objetos 
com características em comum, ou para abreviar a escrita de um 
objeto. Por exemplo: 
• Chamamos de número primo os números naturais que são 
divisíveis por exatamente dois números: pelo 1 e por ele mesmo. 
• Um número é composto quando ele não é um número primo. 
• Um triângulo é uma figura plana formada por três segmentos de 
reta que se intersectam dois a dois em suas extremidades. 
 
Observe que um mesmo objeto pode ser definido segundo duas 
regras diferentes, mas que são equivalentes para descrever o mesmo 
tipo de objeto: 
• Um triângulo isósceles é um triângulo onde pelo menos dois 
de seus lados possuem a mesma medida. 
• Um triângulo isósceles é um triângulo onde pelo menos dois 
de seus ângulos internos possuem a mesma medida. 
 
Em uma definição não estamos interessados em garantir que a família 
de objetos definida exista ou seja útil, apenas que a definição é clara e 
sem ambiguidades. Por exemplo, se B é o conjunto dos números 
primos e pares maiores do que 10, como o único número primo e par 
é o número 2, o conjunto B não possui nenhum elemento, é um 
conjunto vazio. 
 
Postulados e axiomas são as regras iniciais de uma teoria, que não 
são provadas ou demonstradas. São consideradas “verdades 
absolutas”, e deles que derivam os primeiros teoremas e resultados 
demonstráveis. 
• Axiomas são obrigatoriamente independentes entre si, um 
axioma não pode ser demonstrável a partir dos demais axiomas 
e postulados. 
• Postulados não são obrigatoriamente independentes entre si, 
um postulado pode ser demonstrável a partir dos demais 
axiomas e postulados. 
 
Lemas, proposições, teoremas e corolários são resultados 
demonstráveis a partir de postulados, axiomas e resultados 
previamente demonstrados. Existe a seguinte hierarquia entre estes 
conceitos: 
• Proposições: São resultados de relevância “padrão”, úteis, 
porém não possuem destaque. 
• Teoremas: São resultados de maior relevância na teoria 
estudada. 
• Lemas: São resultados prévios, normalmente técnicos, para a 
demonstração de uma proposição ou teorema. 
• Corolário: Resultado cuja demonstração utiliza um resultado 
provado logo antes. 
• Escólio: Resultado imediato de um resultado anterior, de 
demonstração imediata. 
 
Conjecturas são candidatas a proposições/teoremas que ainda não 
foram provadas como verdadeiras ou falsas. São suposições não 
verificadas. Também podem ser chamadas de hipóteses. 
 
Proposta pelo matemático prussiano Christian Goldbach, a Conjectura 
de Goldbach é um dos problemas mais antigos não resolvidos na 
matemática, com origem em 1742. 
 
Conjectura de Goldbach (1742): Todo número par maior do que 2 
pode ser representado pela soma de dois números primos. 
 
4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 12 = 5 + 7 
 
Melhor versão provada (Ramaré, 1995): Todo número par é a soma 
de no máximo 6 números primos. 
 
 
Atividade Extra 
A demonstração de um teorema pode levar vários anos, e envolver 
diversas áreas distintas da matemática. O Último Teorema de Fermat 
é um resultado que envolveu desde o Teorema de Pitágoras até 
equações elípticas. 
 
A atividade extra é a leitura do livro O Último Teorema de Fermat: A 
história do enigma que confundiu as mais brilhantes mentes do mundo 
durante 358 anos, de Simon Singh, onde o autor relata a história deste 
teorema, de forma lúdica, intrigante e acessível ao público leigo. 
01 
É correto afirmar que: 
1. Ao desenvolver uma teoria matemática, um pesquisador pode 
estabelecer um postulado que é demonstrável, porém por sua 
complexidade ou desconhecimento à priori de uma demonstração, 
faz parte do rol das “regras iniciais” da teoria 
2. Todo postulado é também um axioma, mas nem todo axioma é um 
postulado 
3. Uma definição pode ser ambígua, isto é, com a mesma redação 
podemos definir duas classes de objetos diferentes, sem que 
tenham quaisquer propriedades em comum 
4. Uma hipótese que ainda não foi demonstrada pode ser 
considerada como um escólio, até que se encontre um 
contraexemplo ou uma demonstração válida, passando a ser 
chamada de conjectura 
5. Lemas e proposições são resultados menores de uma teoria, e 
sempre podem ser descartados, pois não são necessários para 
demonstrar nenhum teorema ou outro resultado 
02 
Um dos mais famosos teoremas matemáticos, o Último Teorema de Fermat é 
uma generalização do Teorema de Pitágoras. Em seu teorema, escrito como 
uma nota de canto em suas anotações, Fermat afirmava que não existia uma 
trinca de números naturais tais que a equação an = bn + cn, para n > 2. 
Apesar de Fermat afirmar que possuía uma demonstração para tal 
resultado, ele nunca a divulgou. Levaram-se 358 anos até que o 
matemático Andrew Wiles em 1995 encontrasse uma demonstração 
válida, utilizando métodos matemáticos extremamente modernos e 
complexos. 
Com respeito ao Último Teorema de Fermat, podemos afirmar que: 
1. Tal resultado sempre foi considerado um teorema, pois Fermat já 
havia informado que tinha uma prova, apesar de nunca ter sido 
divulgada 
2. Tal resultado é atualmente um teorema, porém durante 358 anos 
foi considerado como uma conjectura, pois sua demonstração não 
havia sido divulgada até 1995 
3. Tal resultado é atualmente um teorema, porém durante 358 anos 
foi considerado como um postulado, pois era uma sentença 
considerada válida para o desenvolvimento da geometria, e não 
contradizia nenhum dos demais postulados de Euclides 
4. Apesar do nome de teorema, tal resultado é na verdade um escólio 
do Teorema de Pitágoras, pois é um resultado imediato do 
teorema pitagórico 
5. Tal resultado é atualmente um teorema, porém durante 358 anos 
foi considerado como um axioma, pois era uma sentença 
considerada válida para o desenvolvimento da geometria, e é 
independente dos demais postulados de Euclides 
03 
O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece condições para se 
calcular a integral de uma função através da derivada de sua primitiva. 
Sobre tal teorema, podemos afirmar que: 
1. Apesar do nome de teorema, tal resultado é na verdade um 
postulado, pois é fundamental nos estudos das funções, e não 
possui uma demonstração comprovada 
2. Por ser fundamental, tal sentença não é demonstrável, mas sim 
assumida como verdade inicial, sendo assim um axioma 
3. Apesar de ser um resultado fundamental, tal sentença é um 
teorema, logo possui uma demonstração 
4. Por ser fundamental, tal sentença é considerada uma definição 
matemática 
5. Tal resultado não possui uma demonstração, e por conta disto, é 
uma conjectura, e não possui aplicações na engenharia, medicina 
ou estatística 
04 
Considere a seguinte questão matemática: Pedro comprou 5 bananas e 7 
laranjas, onde o total da compra foi de R$ 8,90. Sabendo que o custo total 
das bananas foi 3 reais a menos que o das laranjas, calcule o preçode 
cada unidade de banana e cada unidade de laranja. 
Para resolver tal questão, Pedro escreveu: Seja B o preço de uma banana 
e L o preço de uma laranja, então: 
{5�+7�=8,90�=�−3{5B+7L=8,90B=L−3 
Sobre as incógnitas B e L, podemos afirmar que: 
1. Dizer que B é o preço de uma banana e L é o preço de uma laranja é 
definir o que são as incógnitas B e L, isto é, são definições, que 
valem em qualquer contexto, problema, teorema ou teoria 
matemática 
2. Dizer que B é o preço de uma banana e L é o preço de uma laranja é 
definir o que são as incógnitas B e L, porém é um tipo de definição 
restrita ao problema proposto, isto é, em outro contexto uma 
incógnita B ou L provavelmente terá outro significado 
3. Como B e L são preços de frutas em uma situação-problema, não 
são definições, pois suas propriedades e características se 
restringem somente a uma situação-problema em específico, não 
sendo uma característica geral em uma teoria matemática 
4. As incógnitas B e L foram definidas de modo inválido, pois 
obrigatoriamente qualquer incógnita deve ser definida utilizando 
somente letras minúsculas 
5. Como B e L são, ao final das contas, apenas números, B e L não são 
definições, e sim apenas incógnitas de uma situação-problema 
05 
A Hipótese de Goldbach (1742) estabelece que todo número par maior 
do que 2 pode ser escrito como a soma de dois números primos. Em 
1995 o matemático Ramaré demonstrou que todo número par maior do 
que 2 pode escrito como a soma de no máximo seis números primos. 
Com isto, podemos afirmar que: 
1. A Hipótese de Goldbach foi refutada por Ramaré, pois o resultado 
de Ramaré estabelece uma quantidade de números primos maior 
do que a conjecturada por Goldbach 
2. Apesar do resultado de Ramaré, em nada ele contribui para a 
Hipótese de Goldbach, pois é um resultado menos preciso que o de 
Goldbach, logo descartável e sem valor na matemática 
3. Apesar do resultado de Ramaré não demonstrar a Hipótese de 
Goldbach, ela embasa intuitivamente que a Conjectura de 
Goldbach deve ser verdadeira, porém ainda precisa de uma 
demonstração formal 
4. O resultado de Ramaré prova parcialmente a Hipótese de 
Goldbach, logo intuitivamente podemos considerar a Hipótese de 
Goldbach válida, logo sendo um teorema fundamental para a 
Teoria dos Números 
5. O resultado de Ramaré e a Hipótese de Goldbach não possuem 
nenhuma relação em comum, se tratando de áreas completamente 
distintas da matemática 
06 
Uma proposição é estruturada em uma hipótese (ou pré-requisitos) que 
resultam em uma tese (ou resultado da proposição). Apesar de, ao utilizarmos 
uma proposição, estarmos mais interessados em sua tese, é importante 
verificar se os pré-requisitos são todos satisfeitos. Por exemplo, na proposição 
“Se n é um número natural, então n2 ≥ n” é válida, porém se tentarmos utilizar 
esta proposição em um número que não é natural, ela pode não ser válida 
(para q sendo um número racional entre 0 e 1, temos que q2 < q). 
 
Tendo em vista a importância da hipótese e da tese de uma proposição (ou 
teorema, lema...), podemos afirmar que: 
1. Um teorema só é válido, a princípio, quando todas as condições de 
sua hipótese são verificadas. Caso alguma delas não seja verificada, 
a tese pode ser válida ou não 
2. Ao modificarmos a hipótese de um teorema, temos um novo 
resultado, que é automaticamente válido, pois se trata de uma 
pequena modificação de um teorema de já demonstrado, portanto 
matematicamente validado 
3. Se uma proposição é válida para um conjunto numérico, podemos 
sempre considerar que ela é válida para um conjunto numérico 
maior (isto é, que contém o conjunto numérico original) 
4. Se uma proposição é válida para um conjunto numérico, e 
restringimos para um conjunto de números menor (isto é, contido 
no conjunto numérico original), a proposição automaticamente se 
torna inválida, por modificarmos suas hipóteses 
5. Existe um nível de tolerância na matemática para que um 
resultado seja considerado automaticamente válido, caso ele seja 
uma variação de um resultado previamente demonstrado e 
validado 
Tipos de Provas 
Matemáticas I 
Uma prova (demonstração) matemática é uma cadeia de 
argumentos lógicos que tem, como premissa, os axiomas, postulados 
e resultados previamente provados. Toda demonstração segue uma 
lógica dedutiva: 
 
Hipótese ⇒ Tese 
 
Observe que testar apenas para alguns casos não significa que a tese 
é válida para o todo. A Intuição não substitui a dedução. Por exemplo, 
temos a Conjectura de Euler: 
 
Conjectura de Euler - Caso particular (1769): Não existem números 
naturais que satisfaçam: 
x⁴+y⁴+z⁴=w⁴ 
Testando diversos números, a conjectura de Euler parece ser válida, 
porém após dois séculos, em 1986, Noam Elkies encontrou um 
contraexemplo que provava que a conjectura de Euler era falsa: 
 
2.862.440 ⁴ +15.365.639⁴+18.796.760⁴=20.615.673⁴ 
 
Este é um exemplo que mostra a necessidade de que, uma prova 
matemática, deve ser um encadeamento de argumentos lógico-
matemáticos que cobrem todos os casos possíveis, e não somente 
uma (grande) quantidade de casos particulares. 
Uma prova (demonstração) direta é uma prova que se baseia na 
relação lógica “se p então q” (p⇒q). Por exemplo: Se x e y são números 
reais não-negativos, então: 
�⋅�=�−�2x⋅y=2x−y 
Prova: “Sejam x, y ∈ R não-negativos, temos que: 
(�−�)2(x−y)2≥0 
Desenvolvendo o produto notável: 
�2−2�.�+�2x2−2x.y+y2 ≥ 0 
→→ �2+2�.�+�2x2+2x.y+y2 ≥ 4�.�4x.y 
(�+�)2(x+y)2 ≥ 4�.�4x.y 
(�+�)(x+y) ≥ 2�.�2x.y 
�+�22x+y ≥ �.�x.y 
Obtendo assim o resultado desejado. 
 
C.Q.D. 
A sigla “C.Q.D. significa “como queríamos demonstrar”, e é comum 
que uma demonstração matemática termine com esta sigla, ou com o 
símbolo ◼️, indicando que a demonstração está finalizada. 
Uma prova (demonstração) indireta, ou por contradição, é 
baseada em se negar a tese e manter válida a hipótese, a fim de 
encontrar uma contradição lógica. Por exemplo, para provar a 
inequação anterior através de uma prova indireta: 
Prova: Suponha por absurdo que existem x, y ∈ R tais que: 
�.�x.y > �+�22x+y 
→→ �.�x.y >(�+�)244(x+y)2 
→→ 4�.�>�2+2�.�+�24x.y>x2+2x.y+y2 
→→ 0 > �2−2�.�+�2x2−2x.y+y2 
→→ 0 > (�−�)2(x−y)2 ≥ 0 
O que é um absurdo pois zero não é maior do que zero. Logo a 
inequação é válida. ◼️ 
 
Uma prova (demonstração) por indução, ou por recorrência, é 
baseada em duas etapas: 
 
1. Base da indução: provar que o enunciado é válido para um 
primeiro caso; 
2. Passo Indutivo: Provar que, se o resultado vale para um n = k, 
então também será valido para o n = k +1. 
 
Por exemplo, para todo número n ∈ N vale que: 
1+2+3+...+�=�⋅(�+1)21+2+3+...+n=2n⋅(n+1) 
Prova: Base da indução: Para n = 1 temos que: 
1=1⋅(1+1)2=11=21⋅(1+1)=1 
Isto é, o enunciado é válido para este caso. 
 
Hipótese de Indução: Suponha que a igualdade seja válida para 
algum n = k, provamos que também é válida para: 
1+2+...+(�+1)=(�+1).(�+2)21+2+...+(k+1)=2(k+1).(k+2) 
Indução: Temos que: 
1+...+�+(�+1)=�.(�+1)2+(�+1)=�.(�+1)+2(�+1)2=(
�+1).(�+2)21+...+k+(k+1)=2k.(k+1)
+(k+1)=2k.(k+1)+2(k+1)=2(k+1).(k+2) 
Logo, pelo Princípio da Indução, temos que a igualdade é válida para 
todo n ∈ N. ∎ 
01 
Sobre demonstrações matemáticas, podemos afirmar que: 
1. Uma demonstração pode ser feita testando casos particulares até 
um número satisfatório e, se não encontrarmos nenhuma 
contradição, o resultado é considerado válido. Esta é a prova 
intuitiva 
2. Uma demonstração por indução pode ser feita verificando o 
resultado para os primeiros 100 casos, e sendo válida nestes casos, 
estende-se a validade para todos os números naturais 
3. Uma demonstração não pode ser pautada somente em testes de 
casos particulares, porém um caso particular pode verificar que a 
implicação hipótese-tese é falsa, como é o caso da Conjectura de 
Euler 
4. Em uma prova direta, supomos a hipótese e negamos a tese, afim 
de encontrar uma falha lógica 
5. Em uma demonstração indireta, utilizamos a relação lógica “p ⇨ q" 
02 
Sobre demonstrações matemáticas, podemos afirmar que: 
1. Em uma prova por indução não é necessário verificar a base da 
indução, pois ele serve apenas de intuição para o argumento de 
indução, e não possui importância no argumento lógico-
matemático 
2. Uma prova direta consiste em duas etapas: a base da prova e o 
passo indutivo 
3. A prova indireta é pouco utilizada pois não possui base lógica para 
validar teoremas e proposições 
4. Em uma prova por indução é necessário verificar a base de 
indução, pois sem ela não é possível garantir que o resultado é 
válido 
5. Uma prova indireta consiste em duas etapas: a base da prova e o 
passo dedutivo, porém este tipo de prova só funciona para 
demonstrações geométricas 
03 
Um matemático adota a seguinte estratégia para demonstrar um 
teorema: partindo da hipótese inicial, demonstra para um caso particular 
inicial indexado pelos Naturais, e supondo válido para algum número 
natural genérico, verifica que a tese é válida para o sucessor deste 
número. 
A estratégia de demonstração utilizada por este matemático é: 
1. Prova direta 
2. Prova indireta 
3. Prova por contradição 
4. Prova por indução 
5. Prova por dedução finita 
04 
Uma demonstração matemática pode envolver diversas técnicas já 
conhecidas (de fato, esta é uma prática muito comum). Suponha que um 
matemático adota a seguinte estratégia para demonstrar um lema 
técnico: partindo da hipótese inicial, demonstra através da estrutura de 
implicações “p ⇨ q” um resultado particular, e indexado pelos números 
naturais, demonstra que se o resultado é válido para um número natural 
genérico, que a tese é válida para o sucessor deste número, utilizando 
nesta etapa da demonstração um argumento via contradição, chegando 
ao resultado inicial desejado, e finalizando a demonstração. 
Podemos dizer que o matemático adotou as seguintes técnicas: 
1. Prova por indução, utilizando dentro da indução a prova direta e a 
prova intuitiva 
2. Prova direta, utilizando a prova por indução e prova inversa 
3. Prova por indução, utilizando dentro da indução a prova indireta e 
a prova por contradição 
4. Prova por indução, utilizando dentro da indução a prova direta e a 
prova indireta 
5. Prova indireta, utilizando dentro da contradição um argumento de 
indução e de contradição 
05 
Um estudante de matemática adotou a seguinte estratégia para 
demonstrar um teorema: indexando pelos números inteiros, 
demonstrou que se o resultado é válido para os números 1, 2 e 3, 
concluindo diretamente que ele seria válido para todos os números 
naturais. A demonstração para o número 1 foi via prova direta, e dos 
casos 2 e 3, utilizando a argumento da contradição. 
A demonstração apresentada pelo estudante possui erros, que são: 
1. O estudante tentou aplicar o conceito da demonstração por 
indução, porém provou apenas a base da indução, não 
demonstrando o passo indutivo. Além disto, ele indexou a indução 
nos números inteiros ao invés dos naturais 
2. O estudante tentou aplicar o conceito da demonstração por 
indução, porém provou apenas o passo indutivo, não 
demonstrando a base da indução 
3. A demonstração por indução, utilizada pelo estudante, não pode 
ser usada junto da técnica da demonstração por contradição, pois 
invalida o resultado demonstrado 
4. O estudante tentou aplicar o conceito da demonstração por 
dedução, deduzindo que se o resultado é válido para os primeiros 
casos, então automaticamente ele é válido para qualquer número 
inteiro. O erro consiste que para isto ele deveria ter demonstrado 
todos os casos utilizando somente a prova direta 
5. O estudante tentou aplicar o conceito da demonstração por 
dedução, porém esqueceu de fazer o passo dedutivo 
6 
Uma das fórmulas mais famosas do ensino básico é a Fórmula Resolutiva 
da Equação Quadrática (conhecida no Brasil como “Fórmula de 
Bhaskara”). Dada uma equação do segundo grau na forma 
��2+��+�=0;ax2+bx+c=0; 
�,�,�∈a,b,c∈ R e �≠0a =0 
temos que a fórmula resolutiva é dada por: 
�=−�±�2−4.�.�2.�x=2.a−b±b2−4.a.c 
Sua demonstração consiste na seguinte manipulação algébrica: 
��2+��+�=0ax2+bx+c=0 →→ �2+���+��=0x2+
abx+ac=0 →→ 
(�+�2�)2−�24�2+��=0(x+2ab)2−4a2b2+ac=0 →→ 
(�+�2�)2=�24�2−��(x+2ab)2=4a2b2−ac →→ 
(�+�2�)2=�2−4.�.�4�2(x+2ab)2=4a2b2−4.a.c →→ 
�+�2�=±�2−4.�.�2�x+2ab=±2ab2−4.a.c →→ 
�=−�±�2−4⋅�⋅�2.�x=2.a−b±b2−4⋅a⋅c 
Este tipo de demonstração pode ser classificada como: 
1. Prova direta 
2. Prova indireta 
3. Prova por contradição 
4. Prova por indução 
5. Prova por dedução finita 
Tipos de Provas 
Matemáticas II 
Uma prova (demonstração) por contraposição se baseia em na 
relação lógica (p→ q) ⇔ ~q → ~p, isto é, nega-se a tese e conclui-se 
que a hipótese também é negada. 
Exemplo: Se x² é um número par, então x é par. 
Prova: Iremos provar que se x não é um número par, então x² não é 
um número par. Se x não é par, então é um número ímpar, logo como 
o produto de dois números ímpares é um número ímpar, então x⋅x = 
x² é ímpar.∎ 
Observe que as provas por contradição e por contraposição são 
parecidas, pois ambas negam a tese. Entretanto, na demonstração por 
contradição assumimos a hipótese, para chegar em uma contradição, 
enquanto na pôr contraposição procuramos negar a hipótese. 
 
Uma prova (demonstração) por construção demonstra a 
existência de um objeto matemático através de um algoritmo para a 
construção dele. 
Exemplo: Todo segmento de reta ��‾AB possui um ponto médio. 
Prova: Do ponto A, traça-se um segmento de reta ��‾AC com 
direção e sentido ao interior de um dos semiplanos definidos 
por ��↔AB↔. Do ponto B, traça-se um segmento de 
reta ��‾BD com mesmo tamanho, direção e sentido contrário 
à ��‾AC. Traça-se o segmento ��‾CD. Os 
segmentos ��‾AB e ��‾CD intersectam-se em um ponto M. A 
imagem abaixo ilustra a situação. 
 
Afirmamos que o ponto M é o ponto médio de ��‾AB. De fato, 
traçando os segmentos ��‾AB e ��‾BC temos que os 
triângulos CAB e DBA são congruentes por LAL. 
 
Com isto, temos que os triângulos CAD e DBC são congruentes por 
LLL e os triângulos AMD e BMC são congruentes por ALA. 
 
Logo, os segmentos ��‾AM e ��‾MB têm a mesma medida, 
donde M é ponto médio de ��‾AB. ∎ 
Observe que o ponto M foi construído, assim como os triângulos que 
foram utilizados na demonstração. Apesar da construção neste 
exemplo ser geométrica, uma prova por construção pode ser realizada 
em outros contextos. Por exemplo, as demonstrações dos Teoremas 
de Picard-Lindelöf e do Ponto Fixo de Banach se baseiam na 
construção de uma função através de uma sequência de funções com 
propriedades específicas, e a demonstração do Teorema do Elipsóide 
de John baseia-se na construção de um conjunto que satisfaz as 
condições impostas pelo teorema. Por se tratarem de demonstrações 
avançadas e complexas, elas não serão abordadas neste material. 
 
Uma prova (demonstração) por exaustão ou por casos consiste 
em dividir a demonstração em um número finito de casos, e provar 
cada um separadamente. 
Exemplo: Para todo n ∈ N, vale que n³+2n é divisível por 3. 
Prova: Iremos dividir em três casos: 
n = 3k : Neste caso temos que: 
n³ + 2n = 27k³ + 6k = 3 ⋅ (9k³ + 2k) 
Logo é divisível por 3. 
n = 3k + 1 : Neste caso observe a seguinte equivalência: 
n³ + 2n = n ⋅ (n² + 2) = (3k + 1) ⋅ ((3k + 1)² + 2) 
Logo: 
 (3k + 1)² + 2= 9k² + 3k + 1 + 2 = 3 (3k² + k + 1) 
n = 3k + 2: Neste caso observe a seguinte equivalência: 
n³ + 2n = (3k + 2) ⋅ ((3k + 2)² + 2) 
Logo: 
(3k+2)² + 2 = 9k² + 12k + 6 = 3 (3k² + 4k +2) 
Sendo assim divisível por 3. 
C.Q.D. 
Observe ainda que abrangemos uma quantidade infinita de 
números, porém divididos em um número finito de casos (3 casos). 
Em uma demonstração por exaustão, é comum dividirmos em 2 ou 3 
casos, porém é possível haver milhares oumilhões de casos. A 
primeira demonstração do Teorema das Quatro Cores foi uma prova 
dividida em 1.936 casos, e a versão mais refinada, dividida em 600 
casos. 
 
Uma prova (demonstração) por força bruta consiste em 
demonstrar o resultado para todos os casos possíveis. 
 
Exemplo: Existem apenas 5 poliedros regulares convexos. 
 
Ideia da prova: Um poliedro regular satisfaz as seguintes relações: 
2A = n ⋅ F e 2A = p ⋅ V 
Logo: 
�=�⋅�2;A=2n⋅F; �=�⋅��V=pn⋅F 
Como o poliedro é convexo, vale a Relação de Euler: 
�=�−�=2→�⋅��−=�⋅�2+�=2V=F−A=2→pn⋅F
−=2n⋅F+F=2 
Fazendo algumas manipulações e considerações, chega-se que n<6 
e que 3≤ p <6. 
Testando cada possível combinação por força-bruta, temos que: 
• n = 3 e p = 3: tetraedro regular 
• n = 3 e p = 4: octaedro regular 
• n = 3 e p = 5: icosaedro regular 
• n = 4 e p = 3: Cubo (hexaedro regular) 
• n = 5 e p = 3: Dodecaedro regular 
 
As demais combinações não geram poliedros, logo, por força bruta, 
temos que existem apenas 5 poliedros regulares. ∎ 
 
Observe que desta vez foi apresentado apenas a ideia da prova, pois 
alguns detalhes foram subtraídos, pois fogem do escopo deste 
material. Todavia, a demonstração completa pode ser encontrada em 
qualquer livro de geometria espacial. 
 
É importante salientar que uma prova por força-bruta não consiste em 
tentar um número finito de casos para um resultado com infinitas 
possibilidades, entretanto, o método da força-bruta pode ser utilizado 
para encontrar contraexemplos e demonstrar que uma conjectura é 
falsa. Um exemplo desta estratégia foi adotado para resolver o 
problema booleano dos trios pitagóricos, em 2016. 
01 
Sobre demonstrações matemáticas, podemos afirmar que: 
1. As demonstrações por contradição e por contraposição são o 
mesmo método e não possuem qualquer distinção entre elas 
2. Apesar de semelhantes, as demonstrações por contraposição e 
contradição se diferem no fato da segunda se basear na negação da 
hipótese, enquanto a primeira, a negação da tese 
3. O método da demonstração por construção só pode ser utilizado 
no contexto da geometria, pois é pautada essencialmente nas 
técnicas de construções geométricas 
4. Se quisermos demonstrar uma hipótese para um número infinito 
de possibilidades divididas em uma quantidade finita de casos, 
devemos usar obrigatoriamente o método da força-bruta 
5. O método da demonstração por exaustão só pode usar utilizada se 
tivermos uma quantidade finita de casos, mesmo que a quantidade 
de possibilidades seja infinita 
02 
É comum que em demonstrações mais elaboradas um matemático 
utilize diversas técnicas ao longo da demonstração, dividindo-a em 
etapas. Para a demonstração do teorema de existência e unicidade de 
soluções das equações ordinárias lineares de primeira ordem, utiliza-se a 
seguinte estratégia: 
i. A partir de uma função inicial, inicia-se um processo de iteração, a fim 
de construir uma função específica que satisfaz a hipótese e a tese do 
teorema, provando a sua existência; 
ii. Para provar a unicidade, supõe-se que existem duas funções que 
satisfazem a hipótese e a tese do teorema, a fim de encontrar uma falha 
lógica nesta suposição. 
Dentre as técnicas de demonstração estudadas, podemos afirmar que: 
1. A primeira etapa (existência) utiliza a prova por construção, e a 
segunda etapa (unicidade), a prova por exaustão. 
2. A primeira etapa (existência) utiliza a prova por contraposição, e a 
segunda etapa (unicidade), a prova indireta 
3. A primeira etapa (existência) utiliza a prova direta, e a segunda 
etapa (unicidade), a prova por força bruta 
4. A primeira etapa (existência) utiliza a prova por construção, e a 
segunda etapa (unicidade), a prova por absurdo 
5. A primeira etapa (existência) utiliza a prova por contraposição, e a 
segunda etapa (unicidade), a prova por construção 
03 
Observe a seguinte proposição e a sua demonstração: 
Proposição: Se n∈ N é tal que n!>(n+1), então n>2. 
Prova: Provaremos que n ≤ 2 ⇒ n!≤ n + 1. De fato, se n=1 então 1! = 1 ≤ 1 
+ 1 = 2, e se n = 2 então 2! = 2 ≤ 2 + 1 = 3. Logo n! > (n + 1) implica em n > 
2. ∎ 
Podemos afirmar que: 
1. A demonstração utilizou o método da prova direta 
2. A demonstração utilizou o método da contraposição e da força-
bruta 
3. A demonstração utilizou o método da contradição e da exaustão 
4. A demonstração utilizou o método da indução e da força-bruta 
5. A demonstração utilizou o método da contraposição e da indução 
04 
Para demonstrar uma proposição, um estudante de matemática fez a 
seguinte argumentação: 
Proposição: Se x é um número inteiro e par, então x+5 é um número 
ímpar. 
Prova: Suponha que (x+5) é um número par, isto é, (x+5)=2k para algum 
k∈ Z. Logo temos que: 
�+5=2�x+5=2k ⇒ �=2�−5x=2k−5 ⇒ �=2�−2.2−1x=2k−
2.2−1 ⇒ �=2(�−2)−1x=2(k−2)−1 
Isto é, x é um número ímpar, e a proposição é válida. 
C.Q.D. 
A demonstração feita pelo estudante pode ser classificada como: 
1. Prova direta 
2. Prova indireta 
3. Prova por contraposição 
4. Prova por construção 
5. Prova por exaustão 
05 
Em um exercício sobre demonstrações matemáticas, um estudante 
deveria provar, via contraposição, a seguinte proposição: se x e y são dois 
inteiros cujo produto é par, então pelo menos um deles precisa ser um 
número par. 
O estudante deu a seguinte argumentação: “Suponha que x e y são ambos 
números inteiros e ímpares, então temos que: 
x ⋅ y = (2k + 1) ⋅ (2p + 1) = 4k ⋅ p +2k + 2p + 1 = 2 (2k ⋅ p +k + p) +1 
Como por hipótese x⋅y é um número par, temos então um erro lógico, e 
sendo assim, a proposição não é válida, e existem inteiros pares tal que o 
produto entre eles é um número ímpar.” 
Sobre a argumentação do estudante, podemos dizer que: 
1. O estudante está correto, pois sua demonstração por 
contraposição foi feita corretamente 
2. Apesar da demonstração por contraposição estar correta, o 
estudante estava equivocado em sua conclusão final, pois a 
proposição é de fato válida 
3. O estudante não fez a demonstração utilizando o método de modo 
correto, pois ele partiu da negação da tese, mas supôs a hipótese, o 
que seria uma demonstração indireta. Além disto, a sua conclusão 
final estava equivocada, pois a proposição é de fato válida 
4. O estudante não fez a demonstração utilizando o método 
solicitado, pois ele realizou uma demonstração indireta. Todavia, a 
sua conclusão final está correta, pois a proposição de fato possui 
exceções 
5. Uma vez que a demonstração foi realizada com incógnitas x e y 
representando números, não podemos afirmar nada sobre a 
paridade dos mesmos ou do produto entre eles, e por conta 
exclusivamente deste fato, a demonstração para tal proposição não 
é válida 
06 
Em todo triângulo temos que a soma dos ângulos internos é igual a 180º. 
Observe a seguir a demonstração deste fato da geometria euclidiana: 
“Seja ABC um triângulo qualquer. Prolongando os lados B e C pelo vértice 
A, e traçando uma reta r paralela ao lado BC passando por A. Pelo 
postulado das retas paralelas, temos que os ângulos transportados 
em �^B ̂e �^C ̂formam, junto de �^A ,̂ um ângulo raso, logo a 
soma dos ângulos internos do triângulo é igual a 180º. C.Q.D.” 
 
Temos que esta demonstração utiliza a técnica de: 
1. Prova indireta 
2. Prova por construção 
3. Prova por contraposição 
4. Prova por força-bruta 
5. Prova por exaustão 
Paradoxos, Sofismas e 
Falácias 
Um paradoxo é uma sentença aparentemente verdadeira, mas que 
possui uma contradição lógica ou contradiz o senso-comum. Podemos 
classificar os paradoxos em subtipos: 
• Paradoxos verídicos: dão resultados contra o senso-comum, 
mas logicamente corretos. 
• Paradoxos falsídicos: dão resultados incorretos, utilizando um 
raciocínio lógico falso. 
• Antinomias: são aqueles que possuem falhas no raciocínio, 
axiomas ou definições. 
 
Paradoxo Verídico - Paradoxo do Aniversário: Dado um grupo de 
23 pessoasaleatórias, a probabilidade de que pelo menos duas delas 
farão aniversário no mesmo dia é maior do que 50%. Acima de 57 
pessoas, a probabilidade é maior do que 99%. 
O paradoxo consiste em contradizer a intuição de que se não temos 
pelo menos 183 pessoas (metade da quantidade de dias em um ano), 
então a probabilidade deveria ser inferior à 50%. Todavia, supondo um 
ano de 365 dias, a probabilidade de que n pessoas façam aniversário 
em dias distintos: 
�1(�)=365365.364365.363365.P1(n)=365365.365364
.365363. ...... . (1−�−1365)=(1−365n−1
)= 365365�⋅(365−�)!365n⋅(365−n)!365 
Logo a probabilidade de pelo menos duas pessoas fazerem 
aniversário no mesmo dia é: p(n)=1-p'(n), e para n=23, p(23)≈50,7%. 
A tabela a seguir mostra a relação da quantidade de pessoas versus 
a probabilidade de duas pessoas fazerem aniversário no mesmo dia. 
 
Paradoxo Verídico – O Hotel de Hilbert: Um dos mais clássicos 
paradoxos da matemática. Um hotel possui infinitos quartos, um quarto 
para cada número natural, com todos ocupados. Um novo hóspede 
chega. Como acomodá-lo em um quarto do hotel? 
 
O gerente do hotel pede para que o hóspede do quarto 1 vá para o 
quarto 2; o hóspede do quarto 2 vai para o quarto 3, o hóspede do 
quarto 3 para o quarto 4, e assim por diante. O hóspede do quarto n 
vai para o quarto n + 1, e como são infinitos quartos, todos estes 
hóspedes são acomodados em um novo quarto. Agora, o quarto 1 está 
livre, e o novo hóspede pode se hospedar no hotel. 
 
E se agora, chegam-se infinitos ônibus (enumeráveis) com infinitos 
passageiros (enumeráveis), como podemos acomodá-los? 
O gerente do hotel pede para que os quartos ímpares sejam 
esvaziados. Os hóspedes destes quartos são acomodados nos 
quartos com número 3 n(o primeiro hóspede no quarto 3¹, o segundo 
no 3² = 9, e assim por diante). Os passageiros do 1º ônibus são 
acomodados nos quartos com número 5ⁿ. Os passageiros do 2º 
ônibus são acomodados nos quartos com número 7ⁿ. 
Os passageiros do -ésimo ônibus são acomodados nos 
quartos ��+1�pi+1n onde, ��+1pi+1 é o (- +1) -ésimo número 
primo 
O paradoxo do Hotel de Hilbert mostra que quando estamos tratando 
de quantidades infinitas (os números naturais), as propriedades não 
são tão intuitivas. As propriedades de conjuntos infinitos são diferentes 
dos conjuntos finitos. 
 
Paradoxo Falsídico – O Paradoxo do Mentiroso: Se uma pessoa 
diz “estou mentindo agora”. Ela é mentirosa ou está falando a verdade? 
 
Se a frase for verdadeira, então ele está mentindo, logo é um 
mentiroso, e a frase é falsa. Mas se a frase for falsa, então a pessoa 
não está mentindo, porém a frase é falsa, então ele está mentindo. 
 
Uma falácia é um erro lógico, consistente ou não, que forma juízo 
equivocado sobre o assunto em pauta, conduzindo a formulação de 
conceitos ilegítimos. Uma pessoa pode cometer uma falácia sem 
intenção ou sem consciência do erro que está cometendo. 
 
Um paralogismo ocorre quando o locutor comete a falácia de modo 
involuntário, sem a intenção de enganar o interlocutor. Já 
um sofisma ocorre quando o locutor comete a falácia de modo 
proposital, com a intenção de enganar o interlocutor. 
 
Sofismas matemáticos, ou falácias matemáticas, são argumentos 
falsos para ludibriar o interlocutor. São muito comuns nas redes 
sociais, como uma espécie de desafio “encontre o erro”. 
 
Exemplo: Onde está o erro? 
�−�=5�−5�a−a=5a−5a 
(�−�)=5.(�−�)(a−a)=5.(a−a) 
(�−�)(�−�)=5(a−a)(a−a)=5 
1=51=5 
O erro está na penúltima linha, onde efetua-se, erroneamente, uma 
divisão por zero. 
 
Exemplo: Onde está o erro? 
1=(−1)⋅(−1)1=(−1)⋅(−1) 
1=−1⋅−11=−1⋅−1 
1=�1=i ⋅ �i 
1=�21=i2 
1=−11=−1 
O erro está na segunda linha. A raiz quadrada não pode ser quebrada 
pelo produto quando se trata de números negativos. 
Exemplo: Na figura abaixo temos que a área do quadrado é igual à 21² 
= 441 u.a. 
 
Porém, na figura abaixo, composta pelos mesmos polígonos da figura 
acima, temos que a área do retângulo é dada por (21+13) ⋅13=442 u.a. 
 
Neste sofisma o erro é mais sutil: na verdade não temos um retângulo 
perfeito, pois as peças não se encaixam perfeitamente, gerando a área 
adicional. 
 
01 
Observe a falácia matemática abaixo: 
�=�a=b 
�+�=�+�a+a=a+b 
2�=�+�2a=a+b 
2�−2�=�+�−2�2a−2b=a+b−2b 
2(�−�)=�−�2(a−b)=a−b 
2.(�−�)�−�=�−��−�a−b2.(a−b)=a−ba−b 
2=12=1 
Temos que o erro está: 
1. Na primeira linha, pois não sabemos quais são os valores de a e b 
para poder validar ou não as linhas seguintes 
2. Na segunda linha, pois adicionamos a do lado esquerdo e b do lado 
direito, perdendo a relação de igualdade entre o 1º e 2º membro 
da equação 
3. Na quarta linha, pois não podemos subtrair 2b dos dois lados de 
uma equação sem saber o valor de b 
4. Na quinta linha, pois não podemos colocar (a-b) em evidência, uma 
vez que a=b 
5. Na sexta linha, pois não podemos dividir ambos os lados da 
equação por (a-b), uma vez que a=b 
02 
Observe a falácia matemática abaixo: 
�=−2x=−2 
�x ⋅ �x=-2�2x 
�2=−2�x2=−2x 
�2=−2�x2=−2x 
�=−2�x=−2x 
�=(−2).(−2)x=(−2).(−2) 
�=4x=4 
�=2x=2 
−2=2−2=2 
Temos que o erro está: 
1. Na terceira linha, pois para escrever que �.�=�2x.x=x2, 
estamos assumindo que x é positivo 
2. Na quarta linha, pois não podemos extrair a raiz quadrada do 
número negativo −2�−2x 
3. Na quinta linha, pois para escrever que �2=�x2=x, estamos 
assumindo que x é não-negativo 
4. Na sexta linha, pois para substituir �=−2x=−2, 
obrigatoriamente devemos substituir todos os x’, incluindo o do 1º 
membro da equação 
5. Na oitava linha, pois ao extrair a raiz quadrada 44, não 
consideramos o caso 4=−24=−2 
03 
Está correto afirmar que: 
1. Paradoxos e sofismas têm como objetivo ludibriar o interlocutor, 
fazendo-o acreditar em argumentos com falhas lógicas 
2. Um argumento matemático pautado em paradoxos sempre possui 
um valor lógico falso 
3. Paradoxos falsídicos e sofismas possuem a característica comum 
de trazerem um argumento com uma ou mais falhas lógicas, 
porém com a diferença de que o primeiro tem como objetivo expor 
a falha, enquanto o segundo, escondê-la 
4. Antinomias e falácias possuem a característica comum de 
trazerem um argumento com falhas lógicas, porém com a 
diferença de que o primeiro tem o objetivo de esconder a falha, 
enquanto o segundo, exibi-la 
5. Paradoxos e sofismas sempre possuem valores-lógicos falsos 
04 
Uma argumentação pode ser analisada segundo a lógica matemática, a 
fim de se verificar se é um silogismo (argumento válido) ou um sofisma. 
Observe as seguintes sentenças: 
I. Se o jardineiro cometeu o crime, suas mãos terão resquícios de sangue. 
Todavia, as mãos do jardineiro não contém nenhum traço de sangue, 
logo conclui-se que o jardineiro não cometeu o crime. 
II. Se o jardineiro cometeu o crime, então ele fornecerá detalhes que 
somente o próprio assassino saberia. O jardineiro não forneceu detalhes 
que somente o próprio assassino saberia durante o interrogatório, logo 
ele não cometeu o crime. 
Com relação às sentenças I e II, podemos afirmar que: 
1. Ambas as sentenças são silogismos 
2. Ambos as sentenças são sofismas 
3. A sentença (I) é um silogismo e a sentença (II) um sofisma 
4. A sentença (II) é um sofisma e a sentença (I) é um silogismo 
5. Ambas as sentenças são falácias 
05 
Observe as seguintes sentenças: 
I. Se o funcionário for eficiente, ele receberá uma promoção. O 
funcionário não é competente, logo não será promovido. 
II. Se o funcionário receber uma promoção, então alguém terá de ser 
demitido. O funcionário foi promovido, logo alguém foi demitido. 
1. Ambas as sentenças são silogismos 
2. Ambos as sentenças são sofismas 
3. A sentença (I) é um silogismo e a sentença (II) um sofisma 
4. A sentença (II) é um sofisma e a sentença (I) é um silogismo 
5. Ambas as sentenças não são silogismos 
06 
Observe as seguintes sentenças: 
I. Se os acionistas aceitarema oferta da direção, a empresa não irá à 
falência. Os acionistas não aceitaram a oferta da direção, logo a empresa 
foi à falência. 
II. Se a direção da empresa fizer uma boa proposta, os acionistas irão 
aprová-la. A direção da empresa não fez uma boa proposta, logo os 
acionistas reprovaram-na. 
1. Ambas as sentenças são silogismos 
2. Ambas as sentenças são sofismas 
3. A sentença (I) é um silogismo e a sentença (II) um sofisma 
4. A sentença (II) é um sofisma e a sentença (I) é um silogismo 
5. Ambas as sentenças são falácias