EXERCICIOS LOGICA E RACIOCINIO

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01
Observe as sentenças abaixo:
I. João e Maria.
II. Um quadrado é um polígono de quatro lados.
III. x+5=2.
IV. 8 divide 72 (8 | 72).
As sentenças que são proposições são:
I e II
II e III
I e IV
II e IV
I e III
02
Observe as proposições abaixo:
I. 5 é um número primo.
II. 2+5=9.
III. Todo quadrilátero é um paralelogramo ou 2 divide 8.
IV. 10-3=6, se e somente se, Buenos Aires é a capital do Brasil.
Com relação aos seus valores lógicos, podemos classificá-las, respectivamente, como:
Verdadeira, falsa, verdadeira, verdadeira
Verdadeira, verdadeira, falsa, verdadeira
Falsa, falsa, verdadeira, falsa
Verdadeira, falsa, verdadeira, falsa
Verdadeira, falsa, falsa, falsa
03
Se a proposição p possui valor lógico verdadeiro e q o valor lógico falso, assinale a alternativa
cuja proposição tenha valor lógico verdadeiro.
~p
p ∧ q
p ∨ q
p → q
p ↔ q
04
Sobre a proposição composta “1/2 é menor do que 3/4 ou 5 divide 11”, podemos afirmar que:
A sentença é falsa, pois em uma disjunção basta que uma das sentenças seja falsa para que a
proposição composta seja falsa, o que ocorre neste caso
A sentença é verdadeira, pois em uma conjunção é necessário que ambas as sentenças sejam
verdadeiras para que a proposição composta seja verdadeira, o que ocorre neste caso
A sentença é verdadeira, pois em uma disjunção basta que uma sentença seja verdadeira para
que a proposição composta seja verdadeira, o que ocorre neste caso
A sentença é falsa, pois em uma conjunção basta que pelo menos uma das sentenças seja falsa
para que a proposição composta seja falsa, o que ocorre neste caso
Não é possível atribuir valor-lógico para esta sentença, pois ela é composta por uma
proposição de valor-lógico verdadeira e outra proposição de valor-lógico falsa
05
Na sentença “Todo retângulo é um paralelogramo se e somente se todo número primo
diferente de 2 é um número ímpar”, podemos afirmar que:
A sentença é falsa, pois em uma condicional “se, e somente se” os valores-lógicos das
sentenças envolvidas precisam ser iguais para que a proposição composta seja verdadeira, o
que não é o caso
A sentença é verdadeira, pois em uma condicional “se, e somente se” os valores-lógicos das
sentenças envolvidas precisam ser iguais para que a proposição composta seja verdadeira, o
que é o caso
A sentença é falsa, pois em uma condicional “se, e somente se” os valores-lógicos das
sentenças envolvidas precisam ser diferentes para que a proposição composta seja verdadeira,
o que não é o caso
A sentença é verdadeira, pois em uma condicional “se, e somente se” os valores-lógicos das
sentenças envolvidas precisam ser diferentes para que a proposição composta seja verdadeira,
o que é o caso
Não é possível atribuir valor-lógico para esta sentença, pois ela é composta por uma
proposição de valor-lógico verdadeira e outra proposição de valor-lógico falsa
06
Na sentença “dois que multiplica quatro é igual a vinte e um”, podemos afirmar que:
A sentença possui valor-lógico falso, e a sua negação é “dois que multiplica quatro é igual a
vinte”, que possui valor-lógico verdadeiro
A sentença possui valor-lógico verdadeiro, e a sua negação é “dois que multiplica quatro é
diferente de vinte e um”, que possui valor-lógico falso
A sentença possui valor-lógico falso, e a sua negação é “dois que multiplica quatro é diferente
de vinte e um”, que possui valor-lógico verdadeiro
A sentença possui valor-lógico verdadeiro, e a sua negação é “dois que multiplica quatro é
igual a vinte”, que possui valor-lógico falso
A sentença possui valor-lógico falso, e a sua negação é “dois que multiplica quatro é diferente
de vinte e um”, que possui valor-lógico falso
01
Observe as seguintes proposições:
I. p → (q → (q → p))
II. (p → q) → (p ∧ q)
III. p → (~p → q)
IV. (p ∨ ~q) ↔ (~p ∧ q)
Podemos afirmar que:
São tautologias as proposições I e IV, apenas
São contradições as proposições III e IV, apenas
São tautologias as proposições I e III, apenas
São contradições as proposições I e II, apenas
As proposições II e IV não são nem tautologias e nem contradições
02
Observe a seguinte tabela-verdade:
A alternativa que preenche corretamente as lacunas (1), (2) e (3), respectivamente, é:
Falso, Verdadeiro, Verdadeiro
Verdadeiro, Falso, Verdadeiro
Verdadeiro, Falso, Falso
Verdadeiro, Falso, Falso
Falso, Falso, Verdadeiro
03
Observe as sentenças abaixo:
I. p ∧ q ⇔ p
II. p ∧ (p ∨ q) ⇔ p
III. ~(p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q
IV. ~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q
Estão corretas as relações:
I e II, apenas
I, II e III, apenas
I e IV, apenas
II, III e IV, apenas
I, II e IV, apenas
04
Considere as sentenças abaixo com valores-lógicos verdadeiros:
p: Roberto é advogado.
q: Andreza é engenheira.
r: Lucas é carpinteiro.
Então a proposição composta (p ∧ q) ⇔ r é lida como:
Roberto ser advogado ou Andreza ser engenheira é equivalente a Lucas ser carpinteiro
Roberto ser advogado e ou Andreza ser engenheira implica em Lucas ser carpinteiro
Roberto ser advogado e Andreza ser engenheira implica em Lucas ser carpinteiro
Roberto ser advogado e Andreza ser engenheira equivale a Lucas ser carpinteiro
Roberto é advogado e Andreza é engenheira se e somente se Lucas não é carpinteiro
05
Considere as sentenças abaixo com valores-lógicos verdadeiros:
p: Hoje está chovendo.
q: Amanhã irei trabalhar.
r: Comprei um café.
Então a proposição composta (p ∨ r) ⇒ q ∧ r é lida como:
Hoje está chovendo ou comprei um café implica em que amanhã irei trabalhar e irei comprar
um café
Hoje está chovendo e comprei um café implica em que amanhã irei trabalhar ou irei comprar
um café
Hoje está chovendo ou comprei um café é equivalente a amanhã irei trabalhar e irei comprar
um café
Hoje está chovendo e comprei um café é equivalente a amanhã irei trabalhar ou irei comprar
um café
Se hoje está chovendo e comprei um café então amanhã irei trabalhar e irei comprar um café
06
Considere as sentenças abaixo com valores-lógicos verdadeiros:
p: A seleção brasileira ganhou o último jogo amistoso.
q: Neymar já jogou pela seleção brasileira.
Então a proposição composta ~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q é lida como:
A negação de que a seleção brasileira ganhou o último jogo amistoso ou que o Neymar já
jogou pela seleção brasileira é equivalente a seleção brasileira não ter ganho o último jogo
amistoso e o Neymar nunca ter jogado pela seleção brasileira
A negação de que a seleção brasileira ganhou o último jogo amistoso e que o Neymar já
jogou pela seleção brasileira é equivalente a seleção brasileira não ter ganho o último jogo
amistoso ou o Neymar nunca ter jogado pela seleção brasileira
A negação de que a seleção brasileira ganhou o último jogo amistoso e que o Neymar já
jogou pela seleção brasileira é equivalente a seleção brasileira não ter ganho o último jogo
amistoso e o Neymar nunca ter jogado pela seleção brasileira
A negação de que a seleção brasileira ganhou o último jogo amistoso ou que o Neymar já
jogou pela seleção brasileira é equivalente a seleção brasileira não ter ganho o último jogo
amistoso ou o Neymar nunca ter jogado pela seleção brasileira
A seleção brasileira ganhou o último jogo amistoso ou o Neymar já jogou pela seleção
brasileira é equivalente a seleção brasileira ter ganho o último jogo amistoso e o Neymar já ter
jogado pela seleção brasileira
01
Qual das alternativas a seguir é uma sentença aberta?
Existem números reais que são soluções da equação x3-1=0
Vinte é máximo divisor comum de quarenta e sessenta
x2+1=0
Brasília é a capital do Brasil
x2+1=0, para x=1 e x=-1
02
Considerando o conjunto dos números reais, observe as sentenças abertas abaixo:
I. x2-1=0
II. y<y+1
III. √z2=z
IV. x-1=0
Para transformá-las corretamente em proposições lógicas cujo valor-lógico é verdadeiro,
podemos usar, respectivamente, os seguintes quantificadores:
∃,∀,∀,∃
∃!,∃,∀,∃
∀,∃,∀,∀
∃,∀ ,∃,∃!
∃,∀,∃!,∀
03
Observe as sentenças abaixo:
I. Existe pelo menos um professor de matemática na escola.
II. Todo brasileirotem direito à saúde pública de qualidade.
III. Um único estudante irá passar em 1º lugar no vestibular de medicina.
IV. Qualquer estudante pode participar da assembleia estudantil.
Foram empregadas nas sentenças acima, respectivamente, os seguintes quantificadores:
Existencial, existencial, existencial, universal
Universal, existencial, universal, existencial
Existencial, universal, existencial, universal
Universal, Existencial, existencial, universal
Existencial, universal, existencial, existencial
04
Observe as sentenças quantificadas a seguir:
(∀ x ∈ R) (x2+7=56)
Existe um único número real x tal que x+7=14.
Todo retângulo é um paralelogramo.
(∃ x∈ N ) (x2-x=0)
Podemos classificar o valor-lógico das sentenças como sendo, respectivamente:
Verdadeiro, verdadeiro, falso, verdadeiro
Falso, verdadeiro, verdadeiro, falso
Falso, falso, verdadeiro, verdadeiro
Verdadeiro, falso, falso, verdadeiro
Falso, verdadeiro, verdadeiro, verdadeiro
05
Observe as sentenças abertas a seguir, onde em todas elas x∈ R:
I. x2+1=7
II. x<2
III. x3=3x²
A única alternativa que possui os quantificadores necessários para transformar as sentenças
em proposições lógicas com valores-lógicos falsos é:
Universal, existencial, existencial
Existencial, universal, universal
Existencial com unicidade, existencial, existencial
Universal, existencial com unicidade, universal
Universal, existencial, existencial com unicidade
06
A única sentença aberta que se torna uma proposição lógica com valor-lógico verdadeiro
através do quantificador existencial com unicidade (∃!) é:
2x2 - 10x + 8 = 0
18 < x < 21
6 n + 4 ≤ 34
(y-1) . (y+1) = y2 - 1
3z - 3 = 9
01
A negação de “Se m é ímpar e n é par, então m + n é par” é:
Se m é par e n é ímpar, então m + n é ímpar
Se m é ímpar e n é par, então m + n é ímpar
Se m + n é ímpar, então m é par ou n é par
m é ímpar, n é par e m + n é ímpar
m é par, n é ímpar e m + n é par
02
A negação para a proposição “existe um losango que não é quadrado e todo número primo é
ímpar” é dada por:
“Todo losango é um quadrado e todo número primo é par”
“Todo losango não é um quadrado ou todo número par é par”
“Existe um único losango que não é um quadrado e existe um número primo que é par”
“Todo losango é um quadrado ou existe um número primo que é par”
“Existe um losango que não é quadrado ou todo número primo é ímpar”
03
Em uma vaga de emprego, as exigências mínimas eram que “o candidato tivesse fluência em
inglês ou espanhol, e além disto, também tivesse pelo menos 5 anos de experiência na
função”. Se um candidato foi descartado do processo seletivo por não cumprir as exigências
mínimas então podemos afirmar com toda a certeza que:
O candidato tinha fluência em inglês e não tinha fluência em espanhol, ou não tinha pelo
menos 5 anos de experiência na função
O candidato tinha fluência em inglês e espanhol, e não tinha pelo menos 5 anos de
experiência no cargo
O candidato não tinha fluência em inglês ou em espanhol, mas tinha pelo menos 5 anos de
experiência no cargo
O candidato tinha fluência em inglês e em espanhol, mas não tinha pelo menos 5 anos de
experiência no cargo
O candidato não tinha fluência em inglês e não tinha fluência em espanhol, ou não tinha pelo
menos 5 anos de experiência no cargo
04
A negação correta da sentença “existe apenas um único número real x tal que x2-1=0”, assim
como o valor-lógico desta negação, é:
Para todo número real x vale que x2-1≠0, com valor-lógico falso
Existem dois números reais x1 , x2 tais que x2-1=0, com valor-lógico verdadeiro
Para todo número real x vale que x2 - 1 ≠ 0 ou existem pelo menos dois números
reais x1, x2 tais que x2 - 1 = 0, com valor-lógico verdadeiro.
Para todo número real x vale que x2 - 1 ≠ 0 ou existem pelo menos dois números
reais x1, x2 tais que x2 - 1 = 0, com valor-falso.
Para todo número real x vale que x2 - 1 = 0 ou existem pelo menos dois números
reais x1, x2 tais que x2 - 1 ≠ 0, com valor-falso.
05
A negação da sentença “existe um único gerente responsável por este assunto, e nenhum
outro funcionário pode resolver esta questão” é:
Existe pelo menos dois gerentes responsáveis por este assunto ou existe um outro funcionário
que pode resolver esta questão
Nenhum gerente é responsável por este assunto, mas outro funcionário pode resolver esta
questão
Nenhum gerente é responsável por este assunto, ou pelo menos existem dois gerentes
responsáveis por este assunto, ou existe um outro funcionário que pode resolver esta questão
Nenhum gerente é responsável por este assunto, ou pelo menos existem dois gerentes
responsáveis por este assunto, e existe um outro funcionário que pode resolver esta questão
Nenhum gerente é responsável por este assunto, ou pelo menos existem dois gerentes
responsáveis por este assunto, ou qualquer outro funcionário que pode resolver esta questão
06
A negação da sentença lógica (p ∧ q) → (∀ x)(r(x)) é dada por:
(p ∨ q) → (∃ x)(~r(x))
(p ∨ q) → (∀ x)(~r(x))
(p ∧ q) ∧ (∃ x)(~r(x))
(p ∨ q) ∧ (∃ x)(~r(x))
(p ∨ q) ∨ (∀ x)(~r(x))
01
É correto afirmar que:
Ao desenvolver uma teoria matemática, um pesquisador pode estabelecer um postulado que é
demonstrável, porém por sua complexidade ou desconhecimento à priori de uma
demonstração, faz parte do rol das “regras iniciais” da teoria
Todo postulado é também um axioma, mas nem todo axioma é um postulado
Uma definição pode ser ambígua, isto é, com a mesma redação podemos definir duas classes
de objetos diferentes, sem que tenham quaisquer propriedades em comum
Uma hipótese que ainda não foi demonstrada pode ser considerada como um escólio, até que
se encontre um contraexemplo ou uma demonstração válida, passando a ser chamada de
conjectura
Lemas e proposições são resultados menores de uma teoria, e sempre podem ser descartados,
pois não são necessários para demonstrar nenhum teorema ou outro resultado
02
Um dos mais famosos teoremas matemáticos, o Último Teorema de Fermat é uma
generalização do Teorema de Pitágoras. Em seu teorema, escrito como uma nota
de canto em suas anotações, Fermat afirmava que não existia uma trinca de
números naturais tais que a equação an = bn + cn, para n > 2. 
Apesar de Fermat afirmar que possuía uma demonstração para tal resultado, ele nunca a
divulgou. Levaram-se 358 anos até que o matemático Andrew Wiles em 1995 encontrasse
uma demonstração válida, utilizando métodos matemáticos extremamente modernos e
complexos.
Com respeito ao Último Teorema de Fermat, podemos afirmar que:
Tal resultado sempre foi considerado um teorema, pois Fermat já havia informado que tinha
uma prova, apesar de nunca ter sido divulgada
Tal resultado é atualmente um teorema, porém durante 358 anos foi considerado como uma
conjectura, pois sua demonstração não havia sido divulgada até 1995
Tal resultado é atualmente um teorema, porém durante 358 anos foi considerado como um
postulado, pois era uma sentença considerada válida para o desenvolvimento da geometria, e
não contradizia nenhum dos demais postulados de Euclides
Apesar do nome de teorema, tal resultado é na verdade um escólio do Teorema de Pitágoras,
pois é um resultado imediato do teorema pitagórico
Tal resultado é atualmente um teorema, porém durante 358 anos foi considerado como um
axioma, pois era uma sentença considerada válida para o desenvolvimento da geometria, e é
independente dos demais postulados de Euclides
03
O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece condições para se calcular a integral de uma
função através da derivada de sua primitiva. Sobre tal teorema, podemos afirmar que:
Apesar do nome de teorema, tal resultado é na verdade um postulado, pois é fundamental nos
estudos das funções, e não possui uma demonstração comprovada
Por ser fundamental, tal sentença não é demonstrável, mas sim assumida como verdade
inicial, sendo assim um axioma
Apesar de ser um resultado fundamental, tal sentença é um teorema, logo possui uma
demonstração
Por ser fundamental, talsentença é considerada uma definição matemática
Tal resultado não possui uma demonstração, e por conta disto, é uma conjectura, e não possui
aplicações na engenharia, medicina ou estatística
04
Considere a seguinte questão matemática: Pedro comprou 5 bananas e 7 laranjas, onde o total
da compra foi de R$ 8,90. Sabendo que o custo total das bananas foi 3 reais a menos que o
das laranjas, calcule o preço de cada unidade de banana e cada unidade de laranja.
Para resolver tal questão, Pedro escreveu: Seja B o preço de uma banana e L o preço de uma
laranja, então:
Sobre as incógnitas B e L, podemos afirmar que:
Dizer que B é o preço de uma banana e L é o preço de uma laranja é definir o que são as
incógnitas B e L, isto é, são definições, que valem em qualquer contexto, problema, teorema
ou teoria matemática
Dizer que B é o preço de uma banana e L é o preço de uma laranja é definir o que são as
incógnitas B e L, porém é um tipo de definição restrita ao problema proposto, isto é, em outro
contexto uma incógnita B ou L provavelmente terá outro significado
Como B e L são preços de frutas em uma situação-problema, não são definições, pois suas
propriedades e características se restringem somente a uma situação-problema em específico,
não sendo uma característica geral em uma teoria matemática
As incógnitas B e L foram definidas de modo inválido, pois obrigatoriamente qualquer
incógnita deve ser definida utilizando somente letras minúsculas
Como B e L são, ao final das contas, apenas números, B e L não são definições, e sim apenas
incógnitas de uma situação-problema
05
A Hipótese de Goldbach (1742) estabelece que todo número par maior do que 2 pode ser
escrito como a soma de dois números primos. Em 1995 o matemático Ramaré demonstrou
que todo número par maior do que 2 pode escrito como a soma de no máximo seis números
primos. Com isto, podemos afirmar que:
A Hipótese de Goldbach foi refutada por Ramaré, pois o resultado de Ramaré estabelece uma
quantidade de números primos maior do que a conjecturada por Goldbach
Apesar do resultado de Ramaré, em nada ele contribui para a Hipótese de Goldbach, pois é
um resultado menos preciso que o de Goldbach, logo descartável e sem valor na matemática
Apesar do resultado de Ramaré não demonstrar a Hipótese de Goldbach, ela embasa
intuitivamente que a Conjectura de Goldbach deve ser verdadeira, porém ainda precisa de
uma demonstração formal
O resultado de Ramaré prova parcialmente a Hipótese de Goldbach, logo intuitivamente
podemos considerar a Hipótese de Goldbach válida, logo sendo um teorema fundamental
para a Teoria dos Números
O resultado de Ramaré e a Hipótese de Goldbach não possuem nenhuma relação em comum,
se tratando de áreas completamente distintas da matemática
06
Uma proposição é estruturada em uma hipótese (ou pré-requisitos) que resultam
em uma tese (ou resultado da proposição). Apesar de, ao utilizarmos uma
proposição, estarmos mais interessados em sua tese, é importante verificar se os
pré-requisitos são todos satisfeitos. Por exemplo, na proposição “Se n é um número
natural, então n2 ≥ n” é válida, porém se tentarmos utilizar esta proposição em um
número que não é natural, ela pode não ser válida (para q sendo um número
racional entre 0 e 1, temos que q2 < q).
Tendo em vista a importância da hipótese e da tese de uma proposição (ou
teorema, lema...), podemos afirmar que:
Um teorema só é válido, a princípio, quando todas as condições de sua hipótese são
verificadas. Caso alguma delas não seja verificada, a tese pode ser válida ou não
Ao modificarmos a hipótese de um teorema, temos um novo resultado, que é
automaticamente válido, pois se trata de uma pequena modificação de um teorema de já
demonstrado, portanto matematicamente validado
Se uma proposição é válida para um conjunto numérico, podemos sempre considerar que ela
é válida para um conjunto numérico maior (isto é, que contém o conjunto numérico original)
Se uma proposição é válida para um conjunto numérico, e restringimos para um conjunto de
números menor (isto é, contido no conjunto numérico original), a proposição
automaticamente se torna inválida, por modificarmos suas hipóteses
Existe um nível de tolerância na matemática para que um resultado seja considerado
automaticamente válido, caso ele seja uma variação de um resultado previamente
demonstrado e validado
01
Sobre demonstrações matemáticas, podemos afirmar que:
Uma demonstração pode ser feita testando casos particulares até um número satisfatório e, se
não encontrarmos nenhuma contradição, o resultado é considerado válido. Esta é a prova
intuitiva
Uma demonstração por indução pode ser feita verificando o resultado para os primeiros 100
casos, e sendo válida nestes casos, estende-se a validade para todos os números naturais
Uma demonstração não pode ser pautada somente em testes de casos particulares, porém um
caso particular pode verificar que a implicação hipótese-tese é falsa, como é o caso da
Conjectura de Euler
Em uma prova direta, supomos a hipótese e negamos a tese, a fim de encontrar uma falha
lógica
Em uma demonstração indireta, utilizamos a relação lógica “p ⇨ q"
02
Sobre demonstrações matemáticas, podemos afirmar que:
Em uma prova por indução não é necessário verificar a base da indução, pois ele serve apenas
de intuição para o argumento de indução, e não possui importância no argumento lógico-
matemático
Uma prova direta consiste em duas etapas: a base da prova e o passo indutivo
A prova indireta é pouco utilizada pois não possui base lógica para validar teoremas e
proposições
Em uma prova por indução é necessário verificar a base de indução, pois sem ela não é
possível garantir que o resultado é válido
Uma prova indireta consiste em duas etapas: a base da prova e o passo dedutivo, porém este
tipo de prova só funciona para demonstrações geométricas
03
Um matemático adota a seguinte estratégia para demonstrar um teorema: partindo da hipótese
inicial, demonstra para um caso particular inicial indexado pelos Naturais, e supondo válido
para algum número natural genérico, verifica que a tese é válida para o sucessor deste
número.
A estratégia de demonstração utilizada por este matemático é:
Prova direta
Prova indireta
Prova por contradição
Prova por indução
Prova por dedução finita
04
Uma demonstração matemática pode envolver diversas técnicas já conhecidas (de fato, esta é
uma prática muito comum). Suponha que um matemático adota a seguinte estratégia para
demonstrar um lema técnico: partindo da hipótese inicial, demonstra através da estrutura de
implicações “p ⇨ q” um resultado particular, e indexado pelos números naturais, demonstra
que se o resultado é válido para um número natural genérico, que a tese é válida para o
sucessor deste número, utilizando nesta etapa da demonstração um argumento via
contradição, chegando ao resultado inicial desejado, e finalizando a demonstração.
Podemos dizer que o matemático adotou as seguintes técnicas:
Prova por indução, utilizando dentro da indução a prova direta e a prova intuitiva
Prova direta, utilizando a prova por indução e prova inversa
Prova por indução, utilizando dentro da indução a prova indireta e a prova por contradição
Prova por indução, utilizando dentro da indução a prova direta e a prova indireta
Prova indireta, utilizando dentro da contradição um argumento de indução e de contradição
05
Um estudante de matemática adotou a seguinte estratégia para demonstrar um teorema:
indexando pelos números inteiros, demonstrou que se o resultado é válido para os números 1,
2 e 3, concluindo diretamente que ele seria válido para todos os números naturais. A
demonstração para o número 1 foi via prova direta, e dos casos 2 e 3, utilizando a argumento
da contradição.
A demonstração apresentada pelo estudante possui erros, que são:
O estudante tentou aplicar o conceito da demonstração por indução, porém provou apenas a
base da indução, não demonstrando o passoindutivo. Além disto, ele indexou a indução nos
números inteiros ao invés dos naturais
O estudante tentou aplicar o conceito da demonstração por indução, porém provou apenas o
passo indutivo, não demonstrando a base da indução
A demonstração por indução, utilizada pelo estudante, não pode ser usada junto da técnica da
demonstração por contradição, pois invalida o resultado demonstrado
O estudante tentou aplicar o conceito da demonstração por dedução, deduzindo que se o
resultado é válido para os primeiros casos, então automaticamente ele é válido para qualquer
número inteiro. O erro consiste que para isto ele deveria ter demonstrado todos os casos
utilizando somente a prova direta
O estudante tentou aplicar o conceito da demonstração por dedução, porém esqueceu de fazer
o passo dedutivo
06
Uma das fórmulas mais famosas do ensino básico é a Fórmula Resolutiva da Equação
Quadrática (conhecida no Brasil como “Fórmula de Bhaskara”). Dada uma equação do
segundo grau na forma
temos que a fórmula resolutiva é dada por:
Sua demonstração consiste na seguinte manipulação algébrica:
Este tipo de demonstração pode ser classificado como:
Prova direta
Prova indireta
Prova por contradição
Prova por indução
Prova por dedução finita
01
Sobre demonstrações matemáticas, podemos afirmar que:
As demonstrações por contradição e por contraposição são o mesmo método e não possuem
qualquer distinção entre elas
Apesar de semelhantes, as demonstrações por contraposição e contradição se diferem no fato
da segunda se basear na negação da hipótese, enquanto a primeira, a negação da tese
O método da demonstração por construção só pode ser utilizado no contexto da geometria,
pois é pautada essencialmente nas técnicas de construções geométricas
Se quisermos demonstrar uma hipótese para um número infinito de possibilidades divididas
em uma quantidade finita de casos, devemos usar obrigatoriamente o método da força-bruta
O método da demonstração por exaustão só pode usar utilizada se tivermos uma quantidade
finita de casos, mesmo que a quantidade de possibilidades seja infinita
02
É comum que em demonstrações mais elaboradas um matemático utilize diversas técnicas ao
longo da demonstração, dividindo-a em etapas. Para a demonstração do teorema de existência
e unicidade de soluções das equações ordinárias lineares de primeira ordem, utiliza-se a
seguinte estratégia:
i. A partir de uma função inicial, inicia-se um processo de iteração, a fim de construir uma
função específica que satisfaz a hipótese e a tese do teorema, provando a sua existência;
ii. Para provar a unicidade, supõe-se que existem duas funções que satisfazem a hipótese e a
tese do teorema, a fim de encontrar uma falha lógica nesta suposição.
Dentre as técnicas de demonstração estudadas, podemos afirmar que:
A primeira etapa (existência) utiliza a prova por construção, e a segunda etapa (unicidade), a
prova por exaustão.
A primeira etapa (existência) utiliza a prova por contraposição, e a segunda etapa (unicidade),
a prova indireta
A primeira etapa (existência) utiliza a prova direta, e a segunda etapa (unicidade), a prova por
força bruta
A primeira etapa (existência) utiliza a prova por construção, e a segunda etapa (unicidade), a
prova por absurdo
A primeira etapa (existência) utiliza a prova por contraposição, e a segunda etapa (unicidade),
a prova por construção
03
Observe a seguinte proposição e a sua demonstração:
Proposição: Se n∈ N é tal que n!>(n+1), então n>2.
Prova: Provaremos que n ≤ 2 ⇒ n!≤ n + 1. De fato, se n=1 então 1! = 1 ≤ 1 + 1 = 2, e se n = 2
então 2! = 2 ≤ 2 + 1 = 3. Logo n! > (n + 1) implica em n > 2. ∎
Podemos afirmar que:
A demonstração utilizou o método da prova direta
A demonstração utilizou o método da contraposição e da força-bruta
A demonstração utilizou o método da contradição e da exaustão
A demonstração utilizou o método da indução e da força-bruta
A demonstração utilizou o método da contraposição e da indução
04
Para demonstrar uma proposição, um estudante de matemática fez a seguinte argumentação:
Proposição: Se x é um número inteiro e par, então x+5 é um número ímpar.
Prova: Suponha que (x+5) é um número par, isto é, (x+5)=2k para algum k∈ Z. Logo temos
que:
 ⇒ ⇒ x=2$(k-2)-1
Isto é, x é um número ímpar, e a proposição é válida.
C.Q.D.
A demonstração feita pelo estudante pode ser classificada como:
x + 5 = 2k ⇒ x = 2k − 5 x = 2k − 2 ⋅ 2 − 1
Prova direta
Prova indireta
Prova por contraposição
Prova por construção
Prova por exaustão
05
Em um exercício sobre demonstrações matemáticas, um estudante deveria provar, via
contraposição, a seguinte proposição: se x e y são dois inteiros cujo produto é par, então pelo
menos um deles precisa ser um número par.
O estudante deu a seguinte argumentação: “Suponha que x e y são ambos números inteiros e
ímpares, então temos que:
x ⋅ y = (2k + 1) ⋅ (2p + 1) = 4k ⋅ p +2k + 2p + 1 = 2 (2k ⋅ p +k + p) +1
Como por hipótese x⋅y é um número par, temos então um erro lógico, e sendo assim, a
proposição não é válida, e existem inteiros pares tal que o produto entre eles é um número
ímpar.”
Sobre a argumentação do estudante, podemos dizer que:
O estudante está correto, pois sua demonstração por contraposição foi feita corretamente
Apesar da demonstração por contraposição estar correta, o estudante estava equivocado em
sua conclusão final, pois a proposição é de fato válida
O estudante não fez a demonstração utilizando o método de modo correto, pois ele partiu da
negação da tese, mas supôs a hipótese, o que seria uma demonstração indireta. Além disto, a
sua conclusão final estava equivocada, pois a proposição é de fato válida
O estudante não fez a demonstração utilizando o método solicitado, pois ele realizou uma
demonstração indireta. Todavia, a sua conclusão final está correta, pois a proposição de fato
possui exceções
Uma vez que a demonstração foi realizada com incógnitas x e y representando números, não
podemos afirmar nada sobre a paridade dos mesmos ou do produto entre eles, e por conta
exclusivamente deste fato, a demonstração para tal proposição não é válida
06
Em todo triângulo temos que a soma dos ângulos internos é igual a 180º. Observe a seguir a
demonstração deste fato da geometria euclidiana:
“Seja ABC um triângulo qualquer. Prolongando os lados B e C pelo vértice A, e traçando
uma reta r paralela ao lado BC passando por A. Pelo postulado das retas paralelas, temos que
os ângulos transportados em B ̂ e C ̂ formam, junto de A ̂, um ângulo raso, logo a soma dos
ângulos internos do triângulo é igual a 180º. C.Q.D.”
Temos que esta demonstração utiliza a técnica de:
Prova indireta
Prova por construção
Prova por contraposição
Prova por força-bruta
Prova por exaustão
01
Observe a falácia matemática abaixo:
 
 
 
2(a-b)=a-b$
 
Temos que o erro está:
a = b
a + a = a + b
2a = a + b
2a − 2b = a + b − 2b
 =a − b
2. a − b( )
 
a − b
a − b
2 = 1
Na primeira linha, pois não sabemos quais são os valores de a e b para poder validar ou não as
linhas seguintes
Na segunda linha, pois adicionamos a do lado esquerdo e b do lado direito, perdendo a
relação de igualdade entre o 1º e 2º membro da equação
Na quarta linha, pois não podemos subtrair 2b dos dois lados de uma equação sem saber o
valor de b
Na quinta linha, pois não podemos colocar (a-b) em evidência, uma vez que a=b
Na sexta linha, pois não podemos dividir ambos os lados da equação por (a-b), uma vez que
a=b
02
Observe a falácia matemática abaixo:
 ⋅ =-
 
Temos que o erro está:
x = −2
x x 2x
x =2 −2x
=x2 −2x
x = −2x
x = )(−2).(−2
x = 4
x = 2
−2 = 2
Na terceira linha, pois para escrever que x⋅x=x², estamos assumindo que x é positivo
Na quarta linha, pois não podemos extrair a raiz quadrada do número negativo √(-2x)
Na quinta linha, pois para escrever que √(x^2 )=x, estamos assumindo que x é não-negativo
Na sexta linha, pois para substituir x=-2, obrigatoriamente devemos substituirtodos os x’,
incluindo o do 1º membro da equação
Na oitava linha, pois ao extrair a raiz quadrada √4, não consideramos o caso √4=-2
03
Está correto afirmar que:
Paradoxos e sofismas têm como objetivo ludibriar o interlocutor, fazendo-o acreditar em
argumentos com falhas lógicas
Um argumento matemático pautado em paradoxos sempre possui um valor lógico falso
Paradoxos falsídicos e sofismas possuem a característica comum de trazerem um argumento
com uma ou mais falhas lógicas, porém com a diferença de que o primeiro tem como
objetivo expor a falha, enquanto o segundo, escondê-la
Antinomias e falácias possuem a característica comum de trazerem um argumento com falhas
lógicas, porém com a diferença de que o primeiro tem o objetivo de esconder a falha,
enquanto o segundo, exibi-la
Paradoxos e sofismas sempre possuem valores-lógicos falsos
05
Observe as seguintes sentenças:
I. Se o funcionário for eficiente, ele receberá uma promoção. O funcionário não é competente,
logo não será promovido.
II. Se o funcionário receber uma promoção, então alguém terá de ser demitido. O funcionário
foi promovido, logo alguém foi demitido.
Ambas as sentenças são silogismos
Ambos as sentenças são sofismas
A sentença (I) é um silogismo e a sentença (II) um sofisma
A sentença (II) é um sofisma e a sentença (II) é um silogismo
Ambas as sentenças não são silogismos
04
Uma argumentação pode ser analisada segundo a lógica matemática, a fim de se verificar se é
um silogismo (argumento válido) ou um sofisma. Observe as seguintes sentenças:
I. Se o jardineiro cometeu o crime, suas mãos terão resquícios de sangue. Todavia, as mãos do
jardineiro não contém nenhum traço de sangue, logo conclui-se que o jardineiro não cometeu
o crime.
II. Se o jardineiro cometeu o crime, então ele fornecerá detalhes que somente o próprio
assassino saberia. O jardineiro não forneceu detalhes que somente o próprio assassino saberia
durante o interrogatório, logo ele não cometeu o crime.
Com relação às sentenças I e II, podemos afirmar que:
Ambas as sentenças são silogismos.
Ambos as sentenças são sofismas.
A sentença (I) é um silogismo e a sentença (II) um sofisma.
A sentença (II) é um sofisma e a sentença (II) é um silogismo.
Ambas as sentenças são falácias.
06
Observe as seguintes sentenças:
I. Se os acionistas aceitarem a oferta da direção, a empresa não irá à falência. Os acionistas
não aceitaram a oferta da direção, logo a empresa foi à falência.
II. Se a direção da empresa fizer uma boa proposta, os acionistas irão aprová-la. A direção da
empresa não fez uma boa proposta, logo os acionistas reprovaram-na.
Ambas as sentenças são silogismos.
Ambas as sentenças são sofismas.
A sentença (I) é um silogismo e a sentença (II) um sofisma.
A sentença (II) é um sofisma e a sentença (II) é um silogismo.
Ambas as sentenças são falácias.