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VIBRAÇÃO LIVRE – 
SISTEMAS EM 
TRANSLAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
Gabriel de Sant’ Anna Vitor Barbieri 
 
 
 
 Vibração livre – Sistemas em translação 
 
2 
 
Olá aluno (a) Unifacear! 
Seja bem-vindo (a) à aula Vibração Livre – Sistemas em Translação. 
 
INTRODUÇÃO 
 
Vibrações estão presentes na maioria das atividades ou funções humanas. 
Por exemplo, no corpo humano, há oscilações de baixa frequência dos pulmões e 
do coração, de alta frequência como oscilações do ouvido, oscilações da laringe enquanto 
se fala e oscilações induzida por movimentos rítmicos do corpo, como andar, pular e 
dançar. 
Neste sentido, existe atualmente uma grande preocupação na associação de 
conceitos físicos e biológicos para melhorar vários aspectos da vida humana bem como 
confecção de equipamentos e componentes como próteses, válvulas cardíacas, aparelhos 
acústicos etc. 
Nas indústrias, em geral, vibração é um bom indicativo do comportamento de 
máquinas e equipamentos. O sinal vibratório é muito utilizado em sistemas de 
manutenção e monitoramento de máquinas. Alguns problemas mecânicos somente são 
detectados com máquinas e equipamentos em funcionamento. Desbalanceamento rotativo 
e desalinhamento de eixos são exemplos típicos de problemas dinâmicos. 
Além destes defeitos, folgas indevidas, problemas em mancais e engrenagens, 
ruídos, e outros problemas dinâmicos são detectados por sinais de vibrações. 
Projetos estruturais podem ser facilmente prejudicados sem uma análise adequada 
de vibração livre e forçada. Por exemplo, um dos maiores problemas estruturais está 
relacionado com a ressonância. A ressonância é uma condição operacional que ocorre 
quando a frequência natural do sistema tem valor próximo de uma frequência de excitação 
dele. Esta condição operacional pode danificar, modificar ou mesmo levar o sistema a um 
colapso. 
Além disso, as propriedades mecânicas são afetadas por condições do meio 
ambiente como variação de temperatura, chuvas, ventos, que podem influir nos 
parâmetros vibratórios ou na condição de funcionamento das estruturas. 
Alguns conceitos modernos como robótica e automação, estão na maioria das 
vezes relacionados com controle de forças e movimentos, ou seja, com a condição 
dinâmica dos sistemas. 
 Vibração livre – Sistemas em translação 
 
3 
 
Desta forma, estas áreas estão intimamente interligadas com estudo de vibração. 
Manutenção preditiva ou manutenção baseada na condição operacional de 
máquinas e equipamentos utiliza-se de vários parâmetros mecânicos para 
desenvolvimento de um sistema inteligente de monitoramento. 
Dentre estes parâmetros, vibrações é o mais utilizado justamente por ser capaz de 
detectar uma grande variedade de problemas mecânicos. O sistema é baseado na coleta 
de dados (vibratórios), tratamento e análise dos dados através de monitoramento online 
ou periódicos. 
Modificações nos sinais ao longo do tempo pode indicar defeitos nas máquinas ou 
equipamentos. Se o sistema de monitoramento for inteligente, pode indicar qual o 
componente danificado e qual o melhor momento de intervenção no sistema. 
 
COMPONENTES DE UM SISTEMA VIBRATÓRIO 
 
Os sistemas mecânicos que possuem comportamento vibratório devem ser 
modelados matematicamente para que seus principais parâmetros sejam determinados e 
seus comportamentos vibratórios sejam previstos. 
Um sistema vibratório pode ser modelado a partir de três componentes básicos e 
suas diversas possibilidades de associações. 
Um sistema vibratório normalmente é composto por: 
 
• Um meio de armazenar energia cinética: massa ou inércia (Figura 1) 
• Um meio de armazenar energia potencial: mola ou elasticidade (Figura 2) 
• Um meio de dissipar energia: amortecedor (Figura 3). 
 
Os três elementos combinados formam o sistema massa-mola-amortecedor, 
amplamente utilizado no estudo de vibrações mecânicas. 
 
Figura 1. Massa 
 
Fonte: Jazar, 2017. 
 Vibração livre – Sistemas em translação 
 
4 
 
Figura 2. Mola 
 
Fonte: Jazar, 2017. 
 
Figura 3. Amortecedor 
 
Fonte: Jazar, 2017. 
 
Os três elementos citados se relacionam através da segunda lei de Newton 
(princípio fundamental da dinâmica). De acordo com esta lei física, o somatório de forças 
que incidem sobre um corpo deve ser igual ao produto entre sua massa e sua aceleração. 
Desta maneira, matematicamente, temos: 
 
∑ �⃗� = 𝑚 ∙ �⃗� = 𝑚 ∙ �̈� (1) 
 
onde 𝐹 representa as forças que agem sobre o sistema, 𝑚 a massa do corpo e 𝑎 a 
aceleração. A notação de derivada no domínio do tempo é feita através de um ponto sobre 
a variável, desta maneira, �̈� representa a derivada de segunda ordem, no domínio do 
tempo, do deslocamento da massa. 
Em um sistema massa-mola-amortecedor, quando fora do equilíbrio estático, 
existem forças relacionadas à mola e ao amortecedor. 
 Vibração livre – Sistemas em translação 
 
5 
 
Uma mola é caracterizada por sua rigidez, 𝑘 [N/m]. A força para gerar uma 
deflexão na mola é proporcional ao deslocamento relativo entre suas extremidades 
(Figura 2). Matematicamente a força de uma mola pode ser expressa por: 
 
𝐹𝑚𝑜𝑙𝑎 = −𝑘 ∙ (𝑥 − 𝑦) (2) 
 
onde 𝑥 e 𝑦 representam os deslocamentos das extremidades da mola. O sinal 
negativa na equação 2 demonstra que a força da mola é sempre contrária ao sentido da 
deformação imposta sobre ela. Se uma mola é comprimida, ela irá gerar uma força no 
sentido de sua expansão. Analogamente, se uma mola é esticada, a força é no sentido de 
sua compressão. 
Um amortecedor viscoso, componente responsável por dissipar a energia 
armazenada no sistema, funciona pela ação da movimentação de um êmbolo no interior 
de uma câmara preenchida por um líquido viscoso (óleo, por exemplo). 
A viscosidade do fluido cria uma resistência à movimentação livre do êmbolo e 
por isso a força desenvolvida em um amortecedor viscoso também é sempre oposta ao 
sentido de movimento. Neste caso, a força é proporcional a velocidade de deslocamento 
do pistão. 
Um amortecedor viscoso é caracterizado pela constante de amortecimento, c 
[N/m.s]. Matematicamente, a força desenvolvida em um amortecedor dessa natureza é: 
 
𝐹𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑜𝑟 = −𝑐 ∙ (�̇� − �̇�) (3) 
 
Na equação 3 é possível notar que a força em um amortecedor é proporcional a 
velocidade de deslocamento das suas extremidades (Figura 3). 
 
SINAL NO DOMÍNIO DO TEMPO 
 
Vibração mecânica pode ser definida como a oscilação de um corpo, ou sistema, 
em torno de uma posição de equilíbrio. Matematicamente, o tipo de função que apresenta 
este tipo de comportamento são as funções harmônicas (seno e cosseno). 
O movimento vibratório, não amortecido, de um corpo, no domínio do tempo, 
pode ser descrito por um gráfico semelhante ao gráfico da Figura 4. 
 Vibração livre – Sistemas em translação 
 
6 
 
Figura 4. Sinal no domínio do tempo. 
 
 
Fonte: Inman, 2014. 
 
Um movimento vibratório, x(t), é caracterizado pelo período T que é o intervalo 
de tempo para o sistema realizar um ciclo completo de vibração. O número de ciclos por 
unidade de tempo é a frequência, 𝑓. Se a unidade de tempo for segundo a unidade de 
frequência é o Hertz (Hz). A frequência pode-se relacionar com o período através da 
seguinte equação: 
 
𝑓 =
1
𝑇
 (4) 
 
Em vibrações teóricas normalmente se utiliza a frequência angular, ω [rad/s]. A 
frequência angular se relaciona com a frequência de acordo com a expressão: 
 
𝜔 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓(5) 
 
 
 
 Vibração livre – Sistemas em translação 
 
7 
 
A amplitude do sinal do vibratório, 𝐴, é o maior desvio do sinal em relação à 
posição de equilíbrio. Desta forma, o sinal vibratório em regime estacionário pode ser 
definido por uma expressão como: 
 
𝑥(𝑡) = 𝐴 ∙ cos⁡(𝜔 ∙ 𝑡) (6) 
 
VIBRAÇÃO LIVRE NÃO AMORTECIDA 
 
A análise de sistemas em vibração irá se iniciar em um sistema que não possui 
amortecimento e se movimenta de maneira retilínea, ou seja, está em translação. O 
sistema apresenta apenas um grau de liberdade, ou seja, basta determinar o deslocamento 
do sistema, em função do tempo, para que o comportamento do sistema seja 
completamente descrito. 
Na Figura 5 é possível observar um sistema que se move em translação de acordo 
com vibração livre não amortecida. O termo vibração livre está relacionado a ausência de 
força externa contínua atuando sobre o sistema. 
Logicamente que, pela ausência de alguma força externa, caso o sistema não seja 
tirado do equilíbrio, ele permanecerá em equilíbrio estático. Desta maneira, deve-se 
considerar que existe um deslocamento inicial em relação a essa configuração de 
equilíbrio, permitindo que o sistema vibre. 
 
Figura 5. Sistema massa mola em translação e diagrama de corpo livre. 
 
 
Fonte: adaptado de Ogata, 2010. 
 Vibração livre – Sistemas em translação 
 
8 
 
Impondo um deslocamento x(t), positivo para a direita, a mola irá exercer uma 
força de oposição (sentido oposto ao movimento), conforme representado no diagrama 
de corpo livre do sistema (Figura 5). 
Aplicando a segunda Lei de Newton ao sistema, obtêm-se: 
 
+⃗⃗⃗ ∑ 𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎(𝑡) ∴ −𝐾 ∙ 𝑥(𝑡) = 𝑚 ∙ �̈�(𝑡) ∴ 𝑚 ∙ �̈�(𝑡) + 𝑘 ∙ 𝑥(𝑡) = 0 
(7) 
 
A equação 7 trata-se de uma equação diferencial ordinária (EDO) de segunda 
ordem e, portanto, trata-se de um problema de condição inicial. Para determinar a função 
de deslocamento do sistema, x(t), objetivo da análise, é necessário conhecer os parâmetros 
iniciais do movimento. 
Como a EDO é de segunda ordem, é necessário conhecer ao menos duas 
informações (por exemplo deslocamento e velocidade iniciais). 
A solução sugerida para a equação 7 é da forma: 
 
𝑥(𝑡) = 𝐴 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑛 ∙ 𝑡) + 𝐵 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑛 ∙ 𝑡) (8) 
 
onde 𝐴 e 𝐵 são constantes e 𝜔𝑛 representa a frequência natural do sistema. O valor 
da frequência natural, em rad/s, pode ser determinado por: 
 
𝜔𝑛 = √
𝐾
𝑚
 (9) 
 
Para verificar se a solução proposta (eq. 8) é válida basta derivá-la duas vezes em 
relação ao tempo e substituir o resultado obtido na equação do movimento (eq. 7). 
Derivando duas vezes obtém-se: 
 
�̇�(𝑡) = −𝜔𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑛𝑡) + 𝜔𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑛𝑡) (10) 
 
�̈�(𝑡) = −𝜔𝑛
2𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑛𝑡) − 𝜔𝑛
2𝐵𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑛𝑡) = −𝜔𝑛
2(𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑛𝑡) + 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑛𝑡)) =
−𝜔𝑛
2𝑥(𝑡) (11) 
 
 Vibração livre – Sistemas em translação 
 
9 
 
Substituindo na equação 7, têm-se: 
−𝑚𝜔𝑛
2𝑥(𝑡) + 𝑘𝑥(𝑡) = 0 (12) 
 
Dividindo por m: 
−𝜔𝑛
2𝑥(𝑡) + (
𝑘
𝑚
) 𝑥(𝑡) = 0⁡ ∴ −𝜔𝑛
2𝑥(𝑡) + 𝜔𝑛
2𝑥(𝑡) = 0 (13) 
 
O que valida a solução proposta. 
A determinação dos valores das constantes A e B é realizada, normalmente, a 
partir das condições iniciais de movimento como 𝑥(𝑡 = 0) = 𝑥0 e �̇�(𝑡 = 0) = 𝑣0. 
Fazendo t = 0 na equação 8 e posteriormente t = 0 na equação 10, têm-se: 
 
𝑥(𝑡 = 0) = 𝑥0 = 𝐴 (14) 
�̇�(𝑡 = 0) = 𝑣0 = 𝜔𝑛𝐵 ∴ 𝐵 =
𝑣0
𝜔𝑛⁄ 
(15) 
 
Outra solução possível é dada por: 
𝑥(𝑡) = 𝑋𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑛𝑡 − 𝜙) (16) 
 
onde: 𝑋 é a amplitude da solução e 𝜙 é o ângulo de fase (representa a defasagem 
da solução em relação à origem do sistema de referências). Derivando a equação 16 em 
relação ao tempo: 
�̇�(𝑡) = −𝜔𝑛𝑋𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑛𝑡 − 𝜙) (17) 
 
Igualando o tempo a zero nas equações 16 e 17, têm-se: 
𝑥(𝑡 = 0) = 𝑥0 = 𝑋𝑐𝑜𝑠(−𝜙) (18) 
�̇�(𝑡 = 0) = 𝑣0 = −𝜔𝑛𝑋𝑠𝑖𝑛(−𝜙) ∴ −
𝑣0
𝜔𝑛⁄ = 𝑋𝑠𝑖𝑛(−𝜙) 
(19) 
Elevando as equações 18 e 19 ao quadrado e somando os resultados obtidos, 
encontra-se: 
𝑥0
2 + (𝑣0/𝜔𝑛)
2 = 𝑋2(𝑐𝑜𝑠2(𝜙) + 𝑠𝑒𝑛2(𝜙)) = 𝑋2 ∴ 𝑋 = √𝑥0
2 + (𝑣0/𝜔𝑛)2 
(20) 
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Para se obter o ângulo de fase basta dividir a equação 19 pela equação 20, de modo 
que: 
 
−
𝑣0
𝜔𝑛𝑥0
=
𝑋𝑠𝑖𝑛(−𝜙)
𝑋𝑐𝑜𝑠(−𝜙)
= 𝑡𝑔(−𝜙) ∴ 𝜙 = 𝑡𝑔−1 (
𝑣0
𝜔𝑛𝑥0
) (21) 
 
Nota-se que para determinar a amplitude da função harmônica e o ângulo de fase 
são necessários os dados a respeito das condições iniciais de movimento, assim como na 
primeira solução proposta. 
Por fim, pode-se substituir a função harmônica da equação 16 pela função 
senoidal. A solução ocorrerá de maneira análoga e os resultados obtidos são: 
 
𝑥(𝑡) = 𝑋1𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑛𝑡 + 𝜙1) (22) 
 
𝑋1 = √𝑥0
2 + (𝑣0/𝜔𝑛)2 (23) 
 
𝜙1 = 𝑡𝑔
−1 (
𝜔𝑛𝑥0
𝑣0
) (24) 
 
ASSOCIAÇÃO DE MOLAS E AMORTECEDORES 
 
O caso analisado até o presente momento apresentava apenas uma mola, presa ao 
corpo em questão em uma extremidade e presa a um anteparo fixo na extremidade oposta. 
Na prática, um sistema mecânico, pode apresentar uma associação de molas, ou 
amortecedores, em série ou em paralelo, ou ainda, em uma configuração mista que 
apresente os dois tipos de associação desses elementos. O que aconteceria com as 
expressões caso houvesse uma associação de molas? 
Na figura 6 pode-se observar uma associação de três molas em série. 
 
 
 
 
 
 
 Vibração livre – Sistemas em translação 
 
11 
 
Figura 6. Associação de molas em série 
 
Fonte: Jazar, 2017. 
 
Se uma força F for aplicada na extremidade superior da mola 1, essa força irá ser 
transmitida para as demais molas com a mesma intensidade, ou seja, cada mola estará 
sujeita a mesma intensidade de força F. 
Desta maneira, o deslocamento total da associação de molas, 𝑥𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙, será igual a 
soma do deslocamento de cada uma das molas sujeitas a força F, ou seja: 
 
𝑥𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 (25) 
 
Sabendo que a força em cada umas das molas é a mesma e pode ser expressa 
matematicamente por: 
𝐹 = 𝑘 ∙ 𝑥 (26) 
 
Substituindo os deslocamentos em cada umas das molas na equação 25, têm-se: 
𝐹
𝑘𝑒𝑞
=
𝐹
𝑘1
+
𝐹
𝑘2
+
𝐹
𝑘3(27) 
 
onde 𝑘𝑒𝑞 é a rigidez equivalente do sistema, ou seja, a rigidez de uma mola única 
que substituiria a associação de molas mantendo o comportamento do sistema. 
Dividindo todos os termos da equação 27 por F, têm-se: 
1
𝑘𝑒𝑞
=
1
𝑘1
+
1
𝑘2
+
1
𝑘3
 (28) 
 
 
 Vibração livre – Sistemas em translação 
 
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Generalizando para qualquer quantidade de molas associadas em série, têm-se: 
 
𝑘𝑒𝑞 =
1
∑
1
𝑘𝑖
 (29) 
 
Os mesmos resultados podem ser obtidos para uma associação de amortecedores 
em série substituindo a rigidez da mola k pela constante de amortecimento c. 
Na figura 7 pode-se observar uma associação de três molas em paralelo. 
 
Figura 7. Associação de molas em paralelo 
 
 
Fonte: Jazar, 2017. 
 
Nesse caso, considerando uma superfície rígida na extremidade móvel das molas, 
de modo que o deslocamento de cada mola seja o mesmo, a força resultante nas molas é 
igual à soma das forças de cada uma das molas. Desta maneira, matematicamente, têm-
se: 
𝐹𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹3 = −𝑘1 ∙ 𝑥 − 𝑘2 ∙ 𝑥 − 𝑘3 ∙ 𝑥 
(30) 
 
Que pode ser reescrita como: 
𝐹𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = −𝑘𝑒𝑞 ∙ 𝑥 (31) 
 Vibração livre – Sistemas em translação 
 
13 
 
onde 𝑘𝑒𝑞 é a constante equivalente de rigidez dada por: 
𝑘𝑒𝑞 = 𝑘1 + 𝑘2 + 𝑘3 (32) 
 
Generalizando para qualquer quantidade de molas em paralelo, têm-se: 
𝑘𝑒𝑞 = ∑𝑘𝑖 (33) 
 
Os mesmos resultados podem ser obtidos para uma associação de amortecedores 
em paralelo substituindo a rigidez da mola k pela constante de amortecimento c. 
 
VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA 
 
Vamos agora adicionar o amortecedor ao sistema massa-mola da figura 5. 
Suponha o sistema de 1 grau de liberdade mostrado na Figura 8. Suponha que o sistema 
só possa transladar na horizontal. Fazendo o diagrama de corpo livre (Figura 8) têm-se: 
 
Figura 8. Sistema massa-mola-amortecedor e diagrama de corpo livre 
 
 
 
Fonte: adaptado de Ogata, 2010. 
 
Aplicando a segunda Lei de Newton ao sistema, obtêm-se: 
+⃗⃗⃗ ∑ 𝐹 = 𝑚𝑎(𝑡) ∴ ⁡−𝑐�̇�(𝑡) − 𝐾𝑥(𝑡) = 𝑚�̈�(𝑡) ∴ 𝑚�̈�(𝑡) + 𝑐�̇�(𝑡) + 𝑘𝑥(𝑡) = 0 
(34) 
 Vibração livre – Sistemas em translação 
 
14 
 
Propondo uma solução da forma: 
𝑥(𝑡) = 𝐶𝑒𝑠𝑡 
(35) 
 
derivando a equação 35 duas vezes em relação ao tempo: 
�̇�(𝑡) = 𝑠𝐶𝑒𝑠𝑡 
(36) 
 
�̈�(𝑡) = 𝑠2𝐶𝑒𝑠𝑡 (37) 
 
Substituindo as equações 35 a 37 em 34: 
𝑚𝑠2𝐶𝑒𝑠𝑡 + 𝑐𝑠𝐶𝑒𝑠𝑡 + 𝑘𝐶𝑒𝑠𝑡 = 0 (38) 
 
Pondo o termo comum em evidência, obtêm-se: 
(𝑚𝑠2 + 𝑐𝑠 + 𝑘)𝐶𝑒𝑠𝑡 = 0 
(39) 
 
Para que a equação 39 seja válida é necessário que o termo fora dos parênteses ou 
o termo dentro dos parênteses seja igual a zero. Não tem sentido o termo fora dos 
parênteses ser igual a zero, uma vez que este termo somente é nulo quando a constante C 
é nula, ou seja, seria um sistema em vibração não amortecida. 
Desta forma, implica que o termo dentro dos parênteses obrigatoriamente dever 
ser nulo, ou seja: 
 
𝑚𝑠2 + 𝑐𝑠 + 𝑘 = 0 
(40) 
 
Nota-se que a equação 40 é uma equação de segundo grau cujas raízes são: 
𝑠1,2 =
−𝑐
2𝑚
±
√𝑐2−4𝑚𝑘
2𝑚
=
−𝑐
2𝑚
±√(
𝑐
2𝑚
)
2
−
𝑘
𝑚
 (41) 
 
 
 
 Vibração livre – Sistemas em translação 
 
15 
 
Existem 3 soluções distintas para a equação acima, quando: 
 
(
𝑐
2𝑚
)
2
−
𝑘
𝑚
{
= 0⁡𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠⁡𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠⁡𝑒⁡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠
< 0⁡𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠⁡𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑎𝑠⁡𝑒⁡𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
> 0⁡𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠⁡𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠⁡𝑒⁡𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
 
(42) 
 
a) 1º caso: sistema criticamente amortecido 
Este caso ocorre quando o termo dentro do radical das raízes da equação 41 é igual 
a zero, ou seja: 
 
(
𝑐
2𝑚
)
2
−
𝑘
𝑚
= 0 
(43) 
 
Logo, as raízes (autovalores) são reais e igual e valem: 
 
𝑠1,2 =
−𝑐
2𝑚
 (44) 
 
Para este caso o amortecimento é chamado de crítico. Definindo o amortecimento 
crítico como 𝑐𝑐 , para encontrar o valor deste parâmetro deve-se fazer 𝑐 = 𝑐𝑐 na equação 
43, ou seja: 
 
(
𝑐𝑐
2𝑚
)
2
−
𝑘
𝑚
= 0 (45) 
 
Logo: 
 
𝑐𝑐 = 2𝑚√
𝑘
𝑚
= 2√𝑚𝑘 = 2𝑚𝜔𝑛 
(46) 
Outro parâmetro vibratório importante é o fator de amortecimento, 𝜉, que é 
definido como uma relação do amortecimento do sistema e o amortecimento crítico, ou 
seja: 
 Vibração livre – Sistemas em translação 
 
16 
 
ξ =
𝑐
𝑐𝑐
=
𝑐
2√𝑚𝑘
=
𝑐
2𝑚𝜔𝑛
 
(47) 
 
Da eq. 47, é possível obter: 
 
𝑐
2𝑚
= ξ⁡𝜔𝑛 (48) 
 
Logo, as raízes podem ser reescritas por: 
 
𝑠1,2 =
−𝑐
2𝑚
= −ξ⁡𝜔𝑛 (49) 
 
Para o caso criticamente amortecido 𝑐 = 𝑐𝑐, e como: 
 
ξ =
𝑐
𝑐𝑐
= 1 (50) 
 
Desta forma: 
 
𝑠1,2 = −ξ⁡𝜔𝑛 = −𝜔𝑛 
(51) 
 
Na solução proposta na equação 35 é necessário levar em consideração as duas 
raízes. Como as duas raízes são iguais, uma das respostas deve ser multiplicada pela 
variável dependente t, ou seja: 
 
𝑥(𝑡) = 𝐶1𝑒
𝑠1𝑡 + 𝑡𝐶2𝑒
𝑠2𝑡 (52) 
 
Substituindo os valores das raízes (eq. 51): 
 
𝑥(𝑡) = 𝐶1𝑒
−𝜔𝑛𝑡 + 𝑡𝐶2𝑒
−𝜔𝑛𝑡 
(53) 
 
 Vibração livre – Sistemas em translação 
 
17 
 
Para encontrar os valores das constantes 𝐶1e 𝐶2 é necessário aplicar as condições 
de contorno 𝑥(𝑡 = 0) = 𝑥0 e �̇�(𝑡 = 0) = 𝑣0. Derivando a eq. 53 em relação ao tempo: 
 
�̇�(𝑡) = −𝜔𝑛𝐶1𝑒
−𝜔𝑛𝑡 + 𝐶2𝑒
−𝜔𝑛𝑡 − 𝑡𝜔𝑛𝐶2𝑒
−𝜔𝑛𝑡 
(54) 
 
Fazendo t=0 em (eq. 53) e (eq. 54): 
 
𝑥(𝑡 = 0) = 𝑥0 = 𝐶1 (55) 
 
�̇�(𝑡 = 0) = 𝑣0 = −𝜔𝑛𝐶1 + 𝐶2 ou 𝐶2 = 𝑣0 + 𝜔𝑛𝑥0 (56) 
 
A solução com todos os parâmetros conhecidos fica: 
 
𝑥(𝑡) = (𝑥0 + 𝑡(𝑣0 + 𝜔𝑛𝑥0))𝑒
−𝜔𝑛𝑡 
(57) 
 
A Figura 9 mostra um gráfico típico de uma possível resposta do sistema, descrita 
através da equação 57. As duas curvas mostradas correspondem a condições iniciais 
diferentes. 
 
Figura 9. Resposta de um sistema criticamente amortecidoFonte: AUTOR, 2023. 
 Vibração livre – Sistemas em translação 
 
18 
 
b) 2º caso: sistema subamortecido 
 
Este caso ocorre quando o termo dentro do radical das raízes na equação 41 é 
menor do que zero, ou seja: 
 
(
𝑐
2𝑚
)
2
−
𝑘
𝑚
< 0 (58) 
 
Isolando a constante de amortecimento c, têm-se: 
 
𝑐 < 2√𝑚𝑘 = 2𝑚𝜔𝑛 = 𝑐𝑐 (59) 
 
Logo: 
 
ξ =
𝑐
𝑐𝑐
< 1 (60) 
 
As raízes (autovalores) são complexas e diferentes: 
 
𝑠1,2 =
−𝑐
2𝑚
±√(
𝑐
2𝑚
)
2
−
𝑘
𝑚
 (61) 
 
Da eq. 47 é possível obter: 
 
𝑐
2𝑚
= ξ⁡𝜔𝑛 (62) 
 
Logo: 
 
𝑠1,2 = −ξ⁡𝜔𝑛 ± √(ξ⁡𝜔𝑛)2 − 𝜔𝑛2 (63) 
 
Ou 
 
𝑠1,2 = −ξ⁡𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛√ξ2 − 1 (64) 
 Vibração livre – Sistemas em translação 
 
19 
 
Como o fator de amortecimento é menor do que 1 as raízes são complexas. Pode-
se escrever: 
𝑠1,2 = −ξ⁡𝜔𝑛 ± 𝑖𝜔𝑛√1 − ξ2 
(65) 
 
Como as duas raízes são diferentes pode-se escrever: 
 
𝑥(𝑡) = 𝐶1𝑒
𝑠1𝑡 + 𝐶2𝑒
𝑠2𝑡 (66) 
 
Logo: 
 
𝑥(𝑡) = 𝐶1𝑒
(−ξ⁡𝜔𝑛+𝑖𝜔𝑛√1−ξ2)𝑡 + 𝐶2𝑒
(−ξ⁡𝜔𝑛−𝑖𝜔𝑛√1−ξ2)𝑡 (67) 
 
Usando as relações de Euler para números complexos: 
 
𝑒±𝑖𝜔𝑛√1−ξ
2𝑡 = 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑛√1 − ξ2𝑡) ± 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑛√1 − ξ2𝑡) (68) 
 
Desta forma: 
 
𝑥(𝑡) = 𝑒−ξ⁡𝜔𝑛𝑡[(𝐶1 + 𝐶2)𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑛√1 − ξ2𝑡) + 𝑖(𝐶1 − 𝐶2)𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑛√1 − ξ2𝑡)] 
(69) 
 
Como 𝐶1e 𝐶2 são constantes: 
 
𝐴 = 𝐶1 + 𝐶2 (70) 
 
𝐵 = 𝑖(𝐶1 − 𝐶2) (71) 
 
Logo, a resposta de um sistema subamortecido é: 
𝑥(𝑡) = 𝑒−ξ⁡𝜔𝑛𝑡[𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑛√1 − ξ2𝑡) + 𝐵𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑛√1 − ξ2𝑡)] 
(72) 
 Vibração livre – Sistemas em translação 
 
20 
 
A Figura 10 mostra o gráfico da resposta de um sistema subamortecido. 
 
Figura 10. Resposta de um sistema subamortecido 
 
Fonte: AUTOR, 2023. 
 
Nota-se que a resposta tem oscilação. Logo, o período de oscilação é o período 
amortecido, 𝜏𝑑. A frequência de oscilação é 𝑓𝑑 =
1
𝜏𝑑
 [Hz] ou 𝜔𝑑 = 2𝜋𝑓𝑑 [rad/s]. A 
frequência amortecida está contida na eq. 72 e vale: 𝜔𝑑 = 𝜔𝑛√1 − ξ2. Na resposta da 
equação 72 o termo fora dos colchetes é responsável pelo decaimento da resposta e o 
termo dentro dos colchetes é responsável pela resposta ser harmônica. A eq. 72 pode ser 
escrita como: 
 
𝑥(𝑡) = 𝑒−ξ⁡𝜔𝑛𝑡[𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑑𝑡) + 𝐵𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑𝑡)] 
(73) 
 
Para encontrar os valores das constantes A e B necessita substituir as condições de 
contorno, logo: 
 
�̇�(𝑡) = −ξ⁡𝜔𝑛𝑒
−ξ⁡𝜔𝑛𝑡[𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑑𝑡) + 𝐵𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑑𝑡)] + 𝑒
−ξ⁡𝜔𝑛𝑡[−𝜔𝑑𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑑𝑡) +
𝜔𝑑𝐵𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑑𝑡)] (74) 
 Vibração livre – Sistemas em translação 
 
21 
 
Fazendo t=0 nas equações 73 e 74, têm-se: 
 
𝑥(𝑡 = 0) = 𝑥0 = 𝐴 (75) 
 
�̇�(𝑡 = 0) = 𝑣0 = −ξ⁡𝜔𝑛𝐴 + 𝜔𝑑𝐵 ou 𝐵 =
𝑣0+ξ⁡𝜔𝑛𝑥0
𝜔𝑑
 (76) 
 
Outra solução: 
 
𝑥(𝑡) = 𝑒−ξ⁡𝜔𝑛𝑡X𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑑𝑡 − 𝜃) 
(77) 
 
�̇�(𝑡) = −ξ⁡𝜔𝑛𝑒
−ξ⁡𝜔𝑛𝑡X𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑑𝑡 − 𝜃) − 𝑒
−ξ⁡𝜔𝑛𝑡𝜔𝑑X𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑑𝑡 − 𝜃) 
(78) 
 
Fazendo t=0 em (eq. 77) e (eq. 78), têm-se: 
 
𝑥(𝑡 = 0) = 𝑥0 = X𝑐𝑜𝑠(−𝜃) 
(79) 
 
�̇�(𝑡 = 0) = 𝑣0 = −ξ⁡𝜔𝑛X𝑐𝑜𝑠(−𝜃) − 𝜔𝑑X𝑠𝑖𝑛(−𝜃) −
(𝑣0+ξ⁡𝜔𝑛𝑥0)
𝜔𝑑
= X𝑠𝑖𝑛(−𝜃) 
(80) 
 
Elevando (eq. 79) e (eq. 80) ao quadrado e somando-se os resultados: 
 
𝑥0
2 + (−
𝑣0+ξ⁡𝜔𝑛𝑥0
𝜔𝑑
)
2
= X2𝑐𝑜𝑠2(−𝜃) + X2𝑠𝑒𝑛2(−𝜃) ∴ X =
√𝑥0
2 + (−
𝑣0+ξ⁡𝜔𝑛𝑥0
𝜔𝑑
)
2
 (81) 
 
Dividindo eq. 80 por eq. 79: 
−
𝑣0+ξ⁡𝜔𝑛𝑥0
𝜔𝑑
𝑥0
=
X𝑠𝑖𝑛(−𝜃)
X𝑐𝑜𝑠(−𝜃)
= 𝑡𝑔(−𝜃) ∴ 𝜃 = 𝑡𝑔−1 (
𝑣0+ξ⁡𝜔𝑛𝑥0
𝜔𝑑𝑥0
) (82) 
 Vibração livre – Sistemas em translação 
 
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c) 3º caso: sistema superamortecido 
 
Este caso ocorre quando o termo dentro do radical das raízes (eq. 41) é maior do 
que zero, ou seja: 
 
(
𝑐
2𝑚
)
2
−
𝑘
𝑚
> 0 (83) 
 
Isolando a constante de amortecimento c, têm-se: 
 
𝑐 > 2√𝑚𝑘 = 2𝑚𝜔𝑛 = 𝑐𝑐 (84) 
 
Logo: 
 
ξ =
𝑐
𝑐𝑐
> 1 (85) 
 
As raízes (autovalores), nesse caso, são reais e diferentes, e valem: 
 
𝑠1,2 =
−𝑐
2𝑚
±√(
𝑐
2𝑚
)
2
−
𝑘
𝑚
 (86) 
 
Da eq. 47 é possível obter: 
 
𝑐
2𝑚
= ξ⁡𝜔𝑛 (87) 
 
Logo: 
 
𝑠1,2 = −ξ⁡𝜔𝑛 ± √(ξ⁡𝜔𝑛)2 − 𝜔𝑛2 (88) 
 
Ou 
 
𝑠1,2 = −ξ⁡𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛√ξ2 − 1 (89) 
 Vibração livre – Sistemas em translação 
 
23 
 
Como as duas raízes são diferentes pode-se escrever: 
 
𝑥(𝑡) = 𝐶1𝑒
𝑠1𝑡 + 𝐶2𝑒
𝑠2𝑡 (90) 
 
Logo: 
 
𝑥(𝑡) = 𝐶1𝑒
(−ξ⁡𝜔𝑛+𝜔𝑛√ξ2−1)𝑡 + 𝐶2𝑒
(−ξ⁡𝜔𝑛−𝜔𝑛√ξ2−1)𝑡 (91) 
 
Que pode ser escrita como: 
 
𝑥(𝑡) = 𝑒−ξ⁡𝜔𝑛𝑡 (𝐶1𝑒
𝜔𝑛√ξ2−1𝑡 + 𝐶2𝑒
−𝜔𝑛√ξ2−1𝑡) 
(92) 
E sua derivada: 
 
�̇�(𝑡) = −ξ⁡𝜔𝑛𝑒
−ξ⁡𝜔𝑛𝑡 (𝐶1𝑒
𝜔𝑛√ξ2−1𝑡 + 𝐶2𝑒
−𝜔𝑛√ξ2−1𝑡) +
⁡⁡⁡⁡⁡𝑒−ξ⁡𝜔𝑛𝑡 ⁡(𝜔𝑛√ξ2 − 1𝐶1𝑒
𝜔𝑛√ξ2−1𝑡−𝜔𝑛√ξ2 − 1𝐶2𝑒
−𝜔𝑛√ξ2−1𝑡) (93) 
 
Substituindo tempo igual a zero nas equações 92 e 93, têm-se: 
 
 𝑥(𝑡 = 0) = 𝑥0 = 𝐶1 + 𝐶2 
(94) 
 
�̇�(𝑡 = 0) = 𝑣0 = −ξ⁡𝜔𝑛(𝐶1 + 𝐶2) + 𝜔𝑛√ξ2 − 1(𝐶1 − 𝐶2) ∴ 𝑣0 + ξ⁡𝜔𝑛𝑥0 =
𝜔𝑛√ξ2 − 1(𝐶1 − 𝐶2) (95) 
 
Isolando 𝐶1 em (eq. 94), têm-se: 𝑥0 − 𝐶2 = 𝐶1 e substituindo em (eq. 95): 
 
𝑣0 + ξ⁡𝜔𝑛𝑥0 = 𝜔𝑛√ξ2 − 1(𝑥0 − 𝐶2 − 𝐶2) ∴ 𝐶2 = −⁡
𝑣0+ξ⁡𝜔𝑛𝑥0−𝑥0𝜔𝑛√ξ2−1
2𝜔𝑛√ξ2−1
 
(96) 
 
 Vibração livre – Sistemas em translação 
 
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Isolando 𝐶2 em (eq. 94), têm-se: 𝑥0 − 𝐶1 = 𝐶2 e substituindo em (eq. 95): 
 
𝑣0 + ξ⁡𝜔𝑛𝑥0 = 𝜔𝑛√ξ2 − 1(𝐶1−𝑥0 + 𝐶1) ∴ 𝐶1 =
𝑣0+ξ⁡𝜔𝑛𝑥0+𝑥0𝜔𝑛√ξ2−1
2𝜔𝑛√ξ2−1(97) 
 
A Figura 11 mostra o gráfico típico da resposta de um sistema superamortecido. 
 
Figura 11. Resposta de um sistema superamortecido 
 
Fonte: AUTOR, 2023. 
 
RESUMO 
 
Vibrações mecânicas podem ser definidas como a oscilação de um corpo, ou 
sistema, em torno de uma configuração de equilíbrio. 
Elementos rotativos tendem a apresentar sinais vibratórios que se intensificam 
quando danos nos componentes do sistema estão presentes. Através do monitoramento 
do sinal vibratório de um sistema é possível identificar danos como desalinhamento, 
desbalanceamento rotativo, danos em engrenagens, danos em motores elétricos, danos 
em eixos, danos em mancais de rolamento, entre outros. 
 
 Vibração livre – Sistemas em translação 
 
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Os sinais vibratórios também são importantes indicativos do estado de uma grande 
estrutura como pontes e edifícios. Algumas catástrofes já ocorreram, como, por exemplo, 
o colapso da ponte Tacoma Narrows, devido a fenômenos vibratórios como a ressonância. 
Os operadores, dependendo da atividade que exercem, também estão 
constantemente expostos a sinais vibratórios que devem ser controlados e minimizados. 
Motoristas de tratores, por exemplo, estão expostos a vibrações no corpo todo, enquanto 
operadores de marteletes, motosserras, furadeiras, estão constantemente expostos a 
vibrações nos membros superiores. 
Uma elevada exposição a níveis de vibrações não controlados pode gerar uma 
série de consequências com relação à saúde. Dentre os sintomas, podem ser citados 
tonturas, problemas cardiovasculares, lesões por esforços repetitivos, entre outros. 
Os sistemas vibratórios são modelados a partir de sistemas massa-mola-
amortecedor que consistem em sistemas que apresentam um meio de armazenar energia 
cinética, armazenar energia potencial e dissipar a energia do sistema. 
As molas e amortecedores podem estar dispostos em série, em paralelo, podem 
ser únicos ou ainda podem apresentar associação mista. Para cada um desses casos é 
importante se calcular as constantes de rigidez e de amortecimento equivalente do 
sistema. 
Sistemas massa-mola-amortecedor, quando tirados do equilíbrio, sem a presença 
de forças externas, podem apresentar quatro tipos distintos de comportamento. O sistema 
pode ser não amortecido (quando não há efeito de dissipação de energia) e se comporta 
de acordo com uma função harmônica, oscilando com amplitude de movimento 
constante. 
O sistema pode ser subamortecido, quando apresenta comportamento oscilatório, 
mas com amplitude decrescente de movimento. O sistema pode ser criticamente 
amortecido, quando tende a configuração de equilíbrio no menor tempo possível (nesse 
caso o sistema não apresenta comportamento oscilatório). Por fim, o sistema pode ser 
superamortecido. Nesse caso o sistema também não apresenta comportamento oscilatório 
e apresenta amplitude menor de deslocamento (a medida que o fator de amortecimento 
aumenta). 
 
 
 
 Vibração livre – Sistemas em translação 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
BALACHANDRAN, Balakumar; MAGRAB, Edward B. Vibrations. 2. ed. Toronto: 
Cengage Learning, 2009. 
 
INMAN, Daniel J. Engineering Vibration. 4. ed. Pearson Education Limited, 2014. 
 
JAZAR, Reza N. Vehicle Dynamics. 3. ed. Springer International Publishing, 2017. 
 
OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 5. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2010. 
 
 
RAO, Singiresu S. Vibrações Mecânicas. 4. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 
2008.