CAP 2 - Modelos Matemáticos de Sistemas de Controle

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CAP 2 
MODELOS MATEMA TICOS DE SISTEMAS DE CONTROLE 
 
2.1 – INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 1 
2.2 – MODELAGEM MATEMÁTICA NO DIAGRAMA DE BLOCOS ............................ 1 
2.3 – FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA ............................................................................... 2 
2.4 – MODELAGEM DE SISTEMAS MECÂNICOS .......................................................... 4 
2.4.1 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ................................................................................... 4 
2.5 – MODELAGEM DE SISTEMAS ELÉTRICOS ............................................................ 9 
2.5.1 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ................................................................................... 9 
2.6 – MODELAGEM DE SISTEMAS ELETRO-MECÂNICOS ....................................... 12 
2.7 – TRANSFORMAÇÕES COM DIAGRAMAS DE BLOCOS ..................................... 16 
2.7.1 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ................................................................................. 18 
2.8 – DIAGRAMA DE FLUXO DE SINAIS (DFS) ........................................................... 21 
2.8.1 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ................................................................................. 23 
2.8.2 – FÓRMULA DE GANHO DE MASON ................................................................... 25 
2.8.3 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ................................................................................. 26 
2.9 – GRAFO DE FLUXO DE SINAIS AMOSTRADO .................................................... 31 
2.10 – MATLAB .................................................................................................................. 36 
2.11 – LISTA DE EXERCÍCIOS ......................................................................................... 36 
 
 1 
2.1 – INTRODUÇÃO 
 
A modelagem matemática de sistemas de controle tem como objetivo obter um modelo matemático que 
represente uma relação de entrada e saída em um sistema de controle qualquer, ou seja, sua função de 
transferência. A representação gráfica do modelo matemático é baseada, principalmente, no Diagrama 
de Blocos. 
 
2.2 – MODELAGEM MATEMÁTICA NO DIAGRAMA DE BLOCOS 
 
O Diagrama de Blocos contém informações relativas ao comportamento dinâmico do sistema de 
controle. Na modelagem matemática as variáveis de entrada e de saída são representadas no diagrama e 
o processo é representado por sua Função de Transferência, normalmente, no domínio de Laplace. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Somente três operações são representadas pelo Diagrama de Blocos: 
 
1ª Produto de Transmitância: 
 
 ( ) ( ) ( )C s G s R s 
2ª Soma/Subtração: 
 
 
 
 
 
 
3ª Ramificação: 
 
 
 
 
 
 
 
_ + 
_ 
+ a 
b 
a - b a 
b 
a - b OU 
G(s) 
R(s) C(s) 
R(s) C(s) 
G(s) 
Função de 
Transferência 
(Transmitância) 
Sinal de 
Entrada 
Sinal de 
Saída 
R(s) C(s) 
 2 
Para sistemas de controle digital utiliza-se a transformada pulsada ou a transformada 𝒵 para a representação das 
funções de transferência. 
 
 
 
 
 
 
ou 
 
 
 
 
 
2.3 – FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
 
A função de transferência é uma relação matemática entre uma entrada e uma saída de um sistema de 
controle. Para sistemas contínuos utiliza-se a Transformada de Laplace para representar essa função. 
 
𝐹𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝐺(𝑠) =
ℒ[𝑠𝑎í𝑑𝑎]
ℒ[𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎]
|
𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çõ𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠 𝑛𝑢𝑙𝑎𝑠
 
 
O conceito de função de transferência é limitado a sistemas de equações diferenciais lineares e 
invariantes no tempo. Essas equações representadas no domínio de Laplace dão origem a funções 
polinomiais na forma: 
 
𝐺(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)
=
𝑏0𝑠
𝑚 + 𝑏1𝑠
𝑚−1 + ⋯ + 𝑏𝑚−1𝑠 + 𝑏𝑚
𝑎0𝑠𝑛 + 𝑎1𝑠𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑠 + 𝑎𝑛
 𝑚 ≤ 𝑛 
 
As raízes do polinômio do numerador da função de transferência são chamadas de ZEROS da função e 
as raízes do polinômio do denominador são os PÓLOS da função ou do sistema de controle. 
 
A resposta impulsiva de um sistema de controle permite obter o modelo do sistema, ou seja, 
 
𝑌(𝑠) = 𝐺(𝑠)𝑋(𝑠) 
𝑌(𝑠) = 𝐺(𝑠)∆(𝑠) = 𝐺(𝑠) 
 
Assim, a função característica do sistema é obtida pela transformada inversa de Laplace da resposta 
impulsiva do sistema de controle: 
 
𝑔(𝑡) = ℒ−1[𝑌(𝑠)] 
 
 
𝑅(𝑠) 𝑅∗(𝑠) 
𝐺∗(𝑠) 
𝑌∗(𝑠) 
𝑅(𝑧) 
𝐺(𝑧) 
𝑌(𝑧) 
Amostrador Fictício 
(possui mesmo 𝑇𝑠) 
não alterando 𝑌(𝑧). 
𝑌∗(𝑠) 
𝑇𝑠 𝑇𝑠 
 3 
Em um sistema realimentado, como o representado na figura abaixo, 
 
 
 
 
 
 
 
a função de transferência de malha aberta é a relação entre o sinal de realimentação, 𝐵(𝑠), e o sinal 
de erro atuante, 𝐸(𝑠), ou seja: 
 
𝐵(𝑠)
𝐸(𝑠)
= 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) 
 
A função de transferência do ramo direto, por outro lado, é a relação entre o sinal de saída, 𝐶(𝑠), e o 
erro atuante, 𝐸(𝑠): 
 
𝐶(𝑠)
𝐸(𝑠)
= 𝐺(𝑠) 
 
Em sistemas com realimentação unitária a função de transferência do ramo direto é igual à função de 
transferência de malha aberta. 
 
A relação entre o sinal de saída, 𝐶(𝑠), e o sinal de entrada, 𝑅(𝑠), de um sistema de malha fechada é 
chamada de função de transferência de malha fechada e é obtida, a partir do diagrama de blocos, da 
seguinte forma: 
 
{
𝐶(𝑠) = 𝐺(𝑠)𝐸(𝑠) (𝑖)
𝐸(𝑠) = 𝑅(𝑠) − 𝐵(𝑠) (𝑖𝑖)
𝐵(𝑠) = 𝐻(𝑠)𝐶(𝑠) (𝑖𝑖𝑖)
 
 
Substituindo (𝑖𝑖𝑖) em (𝑖𝑖) e o resultado em (𝑖), tem-se: 
 
𝐶(𝑠) = 𝐺(𝑠)[𝑅(𝑠) − 𝐻(𝑠)𝐶(𝑠)] 
𝐶(𝑠) + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)𝐶(𝑠) = 𝐺(𝑠)𝑅(𝑠) 
𝐶(𝑠)[1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)] = 𝐺(𝑠)𝑅(𝑠) 
 
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐺(𝑠)
1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)
 
 
 
 
G(s) 
H(s) 
- 
+ R(s) C(s) E(s) 
B(s) 
 4 
k
b
2.4 – MODELAGEM DE SISTEMAS MECÂNICOS 
 
Elementos ideais básicos e suas equações. 
 
ELEM SÍMBOLO EQUAÇÃO CONTÍNUA EQUAÇÃO DISCRETA 
Mola 
 
 
 
𝑓(𝑡) = 𝑘𝑥(𝑡) 𝐹(𝑠) = 𝑘𝑋(𝑠) 𝑓[𝑛] = 𝑘𝑥[𝑛] 𝐹(𝑧) = 𝑘𝑋(𝑧) 
 
Freio 
 
 𝑓(𝑡) = 𝑏�̇�(𝑡) 𝐹(𝑠) = 𝑏𝑠𝑋(𝑠) 𝑓[𝑛] = 𝑏𝑥[𝑛 − 1] 𝐹(𝑧) = 𝑏𝑧−1𝑋(𝑧) 
Massa 
 
 
 
𝑓(𝑡) = 𝑚�̈�(𝑡) 𝐹(𝑠) = 𝑚𝑠2𝑋(𝑠) 𝑓[𝑛] = 𝑚𝑥[𝑛 − 2] 𝐹(𝑧) = 𝑚𝑧−2𝑋(𝑧) 
Inércia 
 
 
 
𝑓(𝑡) = 𝐽�̈�(𝑡) 𝐹(𝑠) = 𝐽𝑠2𝑋(𝑠) 𝑓[𝑛] = 𝐽𝑥[𝑛 − 2] 𝐹(𝑧) = 𝐽𝑧−2𝑋(𝑧) 
 
2.4.1 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1. Um sistema de amortecimento de impacto para veículos de passeio é mostrado na figura abaixo. 
Sabendo que o sistema possui uma mola e um dispositivo de freio para oscilação, obtenha a 
representação esquemática do sistema bem como o seu modelo matemático. 
 
 
 
m 
𝐽 
 5 
SOLUÇÃO 
 
Representação Esquemática do Sistema 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Modelagem Matemática 
 
0 forças 
)()()()( tybtymtkytu   
 
No domínio de Laplace, considerando que o sistema se encontra em repouso com condições iniciais 
nulas. 
 
)()()()( 2 sbsYsYmsskYsU  
 2)()( msbsksYsU  
 
kbsmssU
sY


2
1
)(
)(
 
 
Diagrama de Blocos 
 
 
 
 
 
 
 
m 
k
b )(ty
)(tu
Entrada (força) 
Saída (deslocamento) 
1
𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑘
 
𝑌(𝑠) 𝑈(𝑠) 
 6 
2. (DORF E2.20 Modificado) O sistema de posicionamento de alta precisão de uma peça deslizante 
está mostrado na figura abaixo. Determine a função de transferência 𝑋(𝑠) 𝐹(𝑠)⁄ quando o 
coeficiente de atrito viscoso da aste acionadora é 𝑏1 = 1[𝑁 ∙ 𝑠 𝑚⁄ ], a constante de mola da aste 
acionadora é 𝑘 = 3[𝑁 𝑚⁄ ], a massa é 𝑚 = 3[kg] e o atrito de deslizamento é 𝑏2 = 2[𝑁 ∙ 𝑠 𝑚⁄ ]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO 
∑ 𝐹 = 0 
𝑓(𝑡) − 𝑏1�̇�(𝑡) − 𝑘𝑥(𝑡) − 𝑏2�̇�(𝑡) − 𝑚�̈�(𝑡) = 0 
𝑓(𝑡) = 𝑏1�̇�(𝑡) + 𝑘𝑥(𝑡) + 𝑏2�̇�(𝑡) + 𝑚�̈�(𝑡) 
𝐹(𝑠) = 𝑏1𝑠𝑋(𝑠) + 𝑘𝑋(𝑠) + 𝑏2𝑠𝑋(𝑠) + 𝑚𝑠
2𝑋(𝑠) 
𝐹(𝑠) = 𝑋(𝑠)[𝑏1𝑠 + 𝑘 + 𝑏2𝑠 + 𝑚𝑠
2] 
𝑋(𝑠)
𝐹(𝑠)
=
1
𝑚𝑠2 + (𝑏1+𝑏2)𝑠 + 𝑘
 
𝑋(𝑠)
𝐹(𝑠)
=
1 𝑚⁄
𝑠2 +
(𝑏1+𝑏2)
𝑚 𝑠 +
𝑘
𝑚
 
 
Assim,𝑋(𝑠)
𝐹(𝑠)
=
1 3⁄
𝑠2 + 𝑠 + 1
 
 
x(t) f(t) 
Carrinho 
m 
k 
b1 
b2 
 7 
3. Um sistema de controle é mostrado na figura abaixo. Obtenha o Diagrama de Blocos desse sistema 
bem como suas funções de transferência. Considere 𝑀1 = 100[𝑘𝑔], 𝑀2 = 10[𝑘𝑔], 𝑏1 =
2[𝑁 ∙ 𝑠 𝑚⁄ ], 𝑏2 = 1[𝑁 ∙ 𝑠 𝑚⁄ ] e 𝑘 = 10 [𝑁 𝑚⁄ ] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO 
Modelo Matemático 
Modelagem do bloco 𝑀1 
∑ 𝐹𝑀1 = 0 
𝑟(𝑡) = 𝑀1�̈�1(𝑡) + 𝑏1�̇�1(𝑡) + 𝑏2{�̇�1(𝑡) − �̇�2(𝑡)} 
𝑅(𝑠) = {𝑀1𝑠
2 + (𝑏1 + 𝑏2)𝑠}𝑌1(𝑠) − 𝑏2𝑠𝑌2(𝑠) 
𝑅(𝑠) = (100𝑠2 + 3𝑠)𝑌1(𝑠) − 𝑠𝑌2(𝑠) 
𝑅(𝑠)
𝑠
= (100𝑠 + 3)𝑌1(𝑠) − 𝑌2(𝑠) 
𝑌2(𝑠) = (100𝑠 + 3)𝑌1(𝑠) −
𝑅(𝑠)
𝑠
 (𝑖) 
 
Modelagem do bloco 𝑀2 
∑ 𝐹𝑀2 = 0 
𝑏2{�̇�1(𝑡) − �̇�2(𝑡)} = 𝑀2�̈�2(𝑡) + 𝑘𝑦2(𝑡) 
𝑏2𝑠𝑌1(𝑠) = {𝑀2𝑠
2 + 𝑏2𝑠 + 𝑘}𝑌2(𝑠) 
𝑠𝑌1(𝑠) = (10𝑠
2 + 𝑠 + 10)𝑌2(𝑠) 
𝑌1(𝑠) = (
10𝑠2 + 𝑠 + 10
𝑠
) 𝑌2(𝑠) (𝑖𝑖) 
 
 
M2 
M1 
1b
2b
k
)(2 ty
)(1 ty
)(tr
 8 
O Diagrama de Blocos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para obtenção das funções de transferência 
𝑌1(𝑠)
𝑅(𝑠)
 e 
𝑌2(𝑠)
𝑅(𝑠)
 basta substituir a equação (ii) na equação (i) para 
)(1 sY e )(2 sY . 
 
Substituindo em )(2 sY para obtenção da função de transferência 
𝑌1(𝑠)
𝑅(𝑠)
: 
{
𝑠
10𝑠2 + 𝑠 + 10
𝑌1(𝑠)} = (100𝑠 + 3)𝑌1(𝑠) −
𝑅(𝑠)
𝑠
 
{
𝑠
10𝑠2 + 𝑠 + 10
− (100𝑠 + 3)} 𝑌1(𝑠) = −
𝑅(𝑠)
𝑠
 
{
𝑠 − (100𝑠 + 3)(10𝑠2 + 𝑠 + 10)
10𝑠2 + 𝑠 + 10
} 𝑌1(𝑠) = −
𝑅(𝑠)
𝑠
 
{
1000𝑠3 + 130𝑠2 + 1002𝑠 + 30
10𝑠2 + 𝑠 + 10
} 𝑌1(𝑠) =
𝑅(𝑠)
𝑠
 
𝑌1(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
10𝑠2 + 𝑠 + 10
𝑠(1000𝑠3 + 130𝑠2 + 1002𝑠 + 30)
 
 
Substituindo em )(1 sY para obtenção da função de transferência 
𝑌2(𝑠)
𝑅(𝑠)
: 
𝑌2(𝑠) = (100𝑠 + 3) {
(10𝑠2 + 𝑠 + 10)
𝑠
𝑌2(𝑠)} −
𝑅(𝑠)
𝑠
 
 
𝑠𝑌2(𝑠) − (100𝑠 + 3)(10𝑠
2 + 𝑠 + 10)𝑌2(𝑠) = −𝑅(𝑠) 
𝑌2(𝑠){𝑠 − (100𝑠 + 3)(10𝑠
2 + 𝑠 + 10)} = −𝑅(𝑠) 
𝑌2(𝑠)
𝑅(𝑠)
= −
1
𝑠 − (100𝑠 + 3)(10𝑠2 + 𝑠 + 10)
 
𝑌2(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
1
1000𝑠3 + 130𝑠2 + 1002𝑠 + 30
 
 
Da teoria de Sinais e Sistemas, sabemos que se o sistema é LTI, então a equação característica deve ser a 
mesma para todo o sistema, independentemente da quantidade de entradas e saídas, assim, 
𝑌2(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝑠
𝑠(1000𝑠3 + 130𝑠2 + 1002𝑠 + 30)
 
 
 
1
𝑠
 
R(s) Y2(s) 
10𝑠2 + 𝑠 + 10
𝑠
 100𝑠 + 3 
Y1(s) 
_ 
+ 
 9 
2.5 – MODELAGEM DE SISTEMAS ELÉTRICOS 
 
Elementos ideais básicos e suas equações. 
ELEMENTO SÍMBOLO EQUAÇÃO CONTÍNUA 
Resistor 
 
 
 
𝑣(𝑡) = 𝑅𝑖(𝑡) 𝑉(𝑠) = 𝑅𝐼(𝑠) 
Capacitor 
 
 
 
𝑣(𝑡) =
1
𝐶
∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 𝑉(𝑠) =
𝐼(𝑠)
𝑠𝐶
 
 
Indutor 
 
 
𝑣(𝑡) = 𝐿
𝑑
𝑑𝑡
𝑖(𝑡) 𝑉(𝑠) = 𝑠𝐿𝐼(𝑠) 
Amplificador 
 
 
 
 
𝑣𝑐(𝑡) = 𝐾[𝑣𝑎(𝑡) − 𝑣𝑏(𝑡)] 𝑉(𝑠) = 𝐾[𝑉𝑎(𝑠) − 𝑉𝑏(𝑠)] 
 
 
ELEMENTO SÍMBOLO EQUAÇÃO DISCRETA 
Resistor 
 
 
 
𝑣[𝑛] = 𝑅𝑖[𝑛] 𝑉(𝑧) = 𝑅𝐼(𝑧) 
Capacitor 
 
 
 
𝑣[𝑛] =
1
𝐶
∑ 𝑖[𝑛]
𝑛
𝑘=0
 𝑉(𝑧) =
1
𝐶(1 − 𝑧−1)
𝐼(𝑧) 
 
Indutor 
 
 𝑣[𝑛] = 𝐿𝑖[𝑛 − 1] 𝑉(𝑧) = 𝐿𝑧−1𝐼(𝑧) 
Amplificador 
 
 
 
 
𝑣𝑐[𝑛] = 𝐾[𝑣𝑎[𝑛] − 𝑣𝑏[𝑛]] 𝑉(𝑧) = 𝐾[𝑉𝑎(𝑧) − 𝑉𝑏(𝑧)] 
OBS: O uso de impedâncias é válido somente quando as condições iniciais forem nulas. 
 
2.5.1 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
4. Um circuito de chaveamento é usado para converter um nível de tensão CC em uma saída de 
tensão CC. O circuito do filtro destinado a eliminar as frequências altas está mostrado na figura 
abaixo. Obtenha a função de transferência 2 1( ) ( )V s V s . 
 
 
 
 
 
 
+ _ 
L 
1( )v t
C 
2 ( )v tR 
L 
C 
R 
+ 
− 
𝑣𝑎 
𝑣𝑏 
𝑣𝑐 
L 
C 
R 
+ 
− 
𝑣𝑎 
𝑣𝑏 
𝑣𝑐 
 10 
SOLUÇÃO 
 
Levando o circuito para o domínio da frequência e fazendo o divisor de tensão: 
 
𝑉2(𝑠) =
𝑅
𝑅 + 𝑠𝐿 +
1
𝑠𝐶
𝑉1(𝑠) 
 
𝑉2(𝑠)
𝑉1(𝑠)
=
𝑠𝐶𝑅
𝑠𝐶𝑅 + 𝑠2𝐶𝐿 + 1
 
 
𝑉2(𝑠)
𝑉1(𝑠)
=
𝑠
𝑅
𝐿
𝑠2 + 𝑠
𝑅
𝐿 +
1
𝐶𝐿
 
 
5. Seja o circuito abaixo, obtenha a Função de transferência e o Diagrama de Blocos do Sistema. 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
1º) Queda de tensão no resistor. 
 
 
R
tete
ti
tRitete
i
i
)()(
)(
)()()(
0
0



 
Aplicando Laplace: 
0( ) ( )( ) i
E s E s
I s
R

 
 
Diagrama de Blocos Parcial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
_ 
C 
R 
+ _ )(tei )(0 te
C 
R 
+ _ )(tei )(0 te)(ti
 11 
2º) Queda de tensão no capacitor. 
 
0
1
( ) ( )e t i t dt
C
  
Aplicando Laplace: 0
( )
( )
I s
E s
sC
 
Diagrama de Blocos Parcial: 
 
 
 
 
 
3º) O Diagrama de Blocos Completo 
 
 
 
 
 
 
4º) A Função de Transferência 
 
 Da modelagem matemática de um sistema de malha fechada com realimentação negativa, 
temos: 
)()(1
)(
sHsG
sG
FT

 
Do Diagrama de Blocos do Problema, 
sCR
sG
11
)(  , portanto, 
sRC
sG
1
)(  e 1)( sH . 
Assim, a FT do sistema é: 
1
1
1
1
)(
)(0


sRC
sRC
sE
sE
i
, portanto, 
1
1
)(
)(0


sRCsE
sE
i
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
_ 
 
 12 
2.6 – MODELAGEM DE SISTEMAS ELETRO-MECÂNICOS 
 
Motor de Corrente contínua. 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑇𝑚(𝑡) = 𝐾𝑖𝑖𝑎(𝑡) 
𝑒𝑏(𝑡) = 𝐾𝑏
𝑑
𝑑𝑡
𝜃𝑚(𝑡) 
𝑇𝑗(𝑡) = 𝐽𝑚
𝑑2
𝑑𝑡2
𝜃𝑚(𝑡) 
𝑇𝑏(𝑡) = 𝐵𝑚
𝑑
𝑑𝑡
𝜃𝑚(𝑡) 
 
6. (Kuo 4.18 Adaptado) O diagrama esquemático de um laminador de placas a quente é mostrado na 
figura abaixo. A placa de aço passa por dois rolos compressores a uma velocidade 𝑣 [𝑚 𝑠⁄ ]. A 
distância entre os rolos e o sensor de espessura é de 𝑑 [𝑚], proporcionando um atraso de leitura 
após a deformação da placa. O ângulo de rotação do eixo do motor, 𝜃𝑚, é convertido linearmente 
em deslocamento da distância entre os rolos de compressão, ou seja, 𝑦𝑟(𝑡) = 𝑛𝜃𝑚(𝑡), onde 𝑛 é uma 
constante positiva dada em [𝑚 𝑟𝑎𝑑⁄ ]. A inércia equivalente da carga, representada pela caixa de 
engrenagens e atuador linear é dada por 𝐽𝐿. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: O atraso é representado pela exponencial laplaciana do tempo de atraso: 𝑒−〈𝑎𝑡𝑟𝑎𝑧𝑜〉.𝑠 
a) Obtenha as equações matemáticas que representem todo o modelo esquemático. 
b) Construa o Diagrama de Blocos Matemático do modelo esquemático. 
 
𝑦(𝑡) 
𝑑 
𝑣 
M 
𝐾 
Amplificado
r 
𝐺𝑐(𝑠) 
Controlador 
𝐾𝑠 
Sensor de 
Espessura 
Caixa de 
Engrenagens 
Atuador 
Linear 
+ 
+ 
+ 
_ _ _ 
𝑒𝑎 𝑒𝑏 
𝑅𝑎 𝐿𝑎 
𝑖𝑎 
𝜃𝑚 
𝑇𝑚 
𝑒(𝑡) 𝑟(𝑡) 
𝑏(𝑡) 𝐾𝑖 𝐾𝑏 𝐽𝑚 𝐵𝑚 
+ _ M 
+ 
_ _ 
𝑒𝑎 𝑒𝑏 
𝑅𝑎 𝐿𝑎 
𝑖𝑎 
𝜃𝑚 
𝑇𝑚 
𝐾𝑖 𝐾𝑏 𝐽𝑚 𝐵𝑚 
 13 
SOLUÇÃO 
𝑒(𝑡) = 𝑟(𝑡) − 𝑏(𝑡) 
𝑏(𝑡) = 𝐾𝑠𝑦(𝑡) , onde 𝑦(𝑡) é o valor medido pelo sensor. 
𝐸𝑎(𝑠) = 𝐾𝐸(𝑡)𝐺𝑐(𝑠) 
𝑒𝑎(𝑡) − 𝑅𝑎𝑖𝑎(𝑡) − 𝐿𝑎
𝑑
𝑑𝑡
𝑖𝑎(𝑡) − 𝑒𝑏(𝑡) = 0 
𝑒𝑏(𝑡) = 𝐾𝑏
𝑑
𝑑𝑡
𝜃𝑚(𝑡) 
𝑇𝑚(𝑡) = 𝐾𝑖𝑖𝑎(𝑡) = (𝐽𝑚 + 𝐽𝐿)
𝑑2
𝑑𝑡2
𝜃𝑚(𝑡) + 𝐵𝑚
𝑑
𝑑𝑡
𝜃𝑚(𝑡) 
𝑡𝑑 =
𝑑
𝑣
 
𝑦𝑟(𝑡) = 𝑛𝜃𝑚(𝑡) , onde 𝑦𝑟(𝑡) é o valor posicionado entre os rolos de compressão. 
𝑦(𝑡) = 𝑦𝑟(𝑡 − 𝑡𝑑) 
 
No domínio de Laplace: 
𝐸(𝑠) = 𝑅(𝑠) − 𝐵(𝑠) 
𝐵(𝑠) = 𝐾𝑠𝑌(𝑠) 
𝐸𝑎(𝑠) = 𝐾𝐸(𝑠)𝐺𝑐(𝑠) 
𝐸𝑎(𝑠) − 𝐸𝑏(𝑠) = (𝑅𝑎 + 𝑠𝐿𝑎)𝐼𝑎(𝑠) 
𝐸𝑏(𝑠) = 𝑠𝐾𝑏𝜃𝑚(𝑠) 
𝑇𝑚(𝑠) =
𝐾𝑖
𝑠2(𝐽𝑚 + 𝐽𝐿) + 𝑠𝐵𝑚
𝐼𝑎(𝑠) = 𝜃𝑚(𝑠) 
𝑡𝑑 =
𝑑
𝑣
 
𝑌𝑟(𝑠) = 𝑛𝜃𝑚(𝑠) 
𝑌(𝑠) = 𝑌𝑟(𝑠)𝑒
−𝑡𝑑𝑠 
Diagrama de Blocos 
 
 
 
 
 
 
+ 
_ 
𝐸(𝑠) 𝑅(𝑠) 
𝐺𝑐(𝑠) 𝐾 
+ 
_ 
𝐸𝑏(𝑠) 
𝐸𝑎(𝑠) 1
𝑅𝑎 + 𝑠𝐿𝑎
 
𝐼𝑎(𝑠) 𝐾𝑖
𝑠2(𝐽𝑚 + 𝐽𝐿) + 𝑠𝐵𝑚
 
𝜃𝑚(𝑠) 
𝑠𝐾𝑏 
𝑛 
𝑌𝑟(𝑠) 
𝐾𝑠𝑒
−𝑡𝑑𝑠 
𝐵(𝑠) 
 14 
7. O diagrama esquemático de um posicionador de porta é mostrado na figura abaixo. Um motor 
controla a abertura da porta posicionando-a em um ângulo desejado. O ângulo de rotação do eixo do 
motor, 𝜃𝑚, é convertido pela caixa de engrenagens girando o eixo da porta que, por sua vez, está 
presa por uma mola localizada a 15cm do centro do eixo e um amortecedor para a porta não bater. A 
relação de transformação da caixa de engrenagens é de 10:1,ou seja, 𝑇𝐿 𝑇𝑚 = 10⁄ . A inércia 
equivalente da carga, representada pelo cilindro e mola é dada por 𝐽𝐿. Com a porta fechada a mola 
não está tensionada. A equação do encoder é dada por 𝑏(𝑡) = 𝐾𝑒𝜃𝐿(𝑡). 
 
 
 
 
 
 
 
a) Obtenha as equações matemáticas que representem todo o modelo esquemático. 
b) Construa o Diagrama de Blocos Matemático do modelo esquemático. 
 
SOLUÇÃO 
a) No Tempo: 
𝑒(𝑡) = 𝑟(𝑡) − 𝑏(𝑡) 
𝑏(𝑡) = 𝐾𝑒𝜃𝐿(𝑡) 
𝒆𝒂(𝒕) = 𝑲𝒆(𝒕) ∗ 𝒈𝒄(𝒕) 
𝒆𝒂(𝒕) − 𝑹𝒂𝒊𝒂(𝒕) − 𝑳𝒂
𝒅
𝒅𝒕
𝒊𝒂(𝒕) − 𝒆𝒃(𝒕) = 𝟎 
𝒆𝒃(𝒕) = 𝑲𝒃
𝒅
𝒅𝒕
𝜽𝒎(𝒕) 
𝑻𝒎(𝒕) = 𝑲𝒊𝒊𝒂(𝒕) = 𝑱𝒎
𝒅𝟐
𝒅𝒕𝟐
𝜽𝒎(𝒕) + 𝑩𝒎
𝒅
𝒅𝒕
𝜽𝒎(𝒕) 
𝑇𝐿 𝑇𝑚 = 10⁄ 
𝑻𝑳(𝒕) = 𝑱𝑳
𝒅𝟐
𝒅𝒕𝟐
𝜽𝑳(𝒕) + 𝑩𝑳
𝒅
𝒅𝒕
𝜽𝑳(𝒕) + 𝑲𝑳𝟎, 𝟏𝟓𝜽𝑳(𝒕) 
 
Em Laplace: 
𝐸(𝑠) = 𝑅(𝑠) − 𝐵(𝑠) 
𝐵(𝑠) = 𝐾𝑒𝜃𝐿(𝑠) 
𝑬𝒂(𝒔) = 𝑲𝑬(𝒔)𝑮𝒄(𝒔) 
𝑰𝒂(𝒔) =
𝑬𝒂(𝒔) − 𝑬𝒃(𝒔)
𝑹𝒂 + 𝒔𝑳𝒂
 
𝐾𝑖 𝐾𝑏 𝐽𝑚 𝐵𝑚 
𝐾𝐿 
𝐺𝑐(𝑠) 
Controlador 
Encoder 
Caixa de 
Engrenagens 
+ 
+ 
+ 
_ _ _ 
𝑒𝑏 
𝑅𝑎 𝐿𝑎 
𝑖𝑎 
𝜃𝑚 
𝑇𝑚 
𝑒(𝑡) 𝑟(𝑡) 
𝑏(𝑡) 
𝐾 
Amplificado
r 
𝜃𝐿 
𝑇𝐿 
𝐵𝐿 
M 𝑒𝑎 
 15 
𝑬𝒃(𝒔) = 𝒔𝑲𝒃𝜽𝒎(𝒔) 
𝜽𝒎(𝒔) =
𝑲𝒊
𝒔𝟐𝑱𝒎 + 𝒔𝑩𝒎
𝑰𝒂(𝒔) 
𝑇𝐿(𝑠) = (𝐽𝐿𝑠
2 + 𝐵𝐿𝑠 + 𝐾𝐿0,15)𝜃𝐿(𝑠) = 10𝑇𝑚 = 10𝐾𝑖𝐼𝑎(𝑠) 
𝜽𝑳(𝒔) =
𝟏𝟎𝑲𝒊
𝑱𝑳𝒔𝟐 + 𝑩𝑳𝒔 + 𝑲𝑳𝟎, 𝟏𝟓
𝑰𝒂(𝒔) 
𝑇𝐿 = 10𝑇𝑚 
 
b) Diagrama: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ 
_ 
𝐸(𝑠) 𝑅(𝑠) 
𝐺𝑐(𝑠) 𝐾 
+ 
_ 
𝐸𝑏(𝑠) 
𝐸𝑎(𝑠) 1
𝑅𝑎 + 𝑠𝐿𝑎
 
𝐼𝑎(𝑠) 
𝐾𝑖
𝑠2𝐽𝑚 + 𝑠𝐵𝑚
 
𝜃𝐿(𝑠) 
𝐾𝑒 
𝐵(𝑠) 
10𝐾𝑖
𝐽𝐿𝑠
2 + 𝐵𝐿𝑠 + 𝐾𝐿0,15
 
𝑠𝐾𝑏 
𝜃𝑚 
 16 
2.7 – TRANSFORMAÇÕES COM DIAGRAMAS DE BLOCOS 
 
1) Funções de Transferência em Série (ou em cascata) 
 
 
 
 Prova: 
 
223
112
XGX
XGX


   1123 XGGX     1213 XGGX  
 
2) 
 
 
 
 
 Prova: 
   321 XGXX   321 XGXGX  
 
 
3) 
 
 
 
 
 Prova: 
 21 XGX  
 
4) 
 
 
 
 
 Prova: 
 21 XGX   
G
X
X 21  
 
5) 
 
 
 
 
 Prova: 
 321 XXGX   3
2
1 XG
G
X
X 





 
 
G 1
X
3X
± 
+ 
2X
G 
1X 3X
± 
+ 
2X
G 
G 1
X 2X
2X
G 
1X 2X
2X G 
G 1
X 2X
1X
G 
1X 2X
1X
G
1
 
G 1
X
3X
± 
+ 
2X
G 
1X 3X
± 
+ 
2X
G
1
 
1G
 
2G
 
1X 2X 3X
21GG
 
1X 3X
 17 
 
6) 
 
 
 
 
 
 
 
 Prova: 
   3421 XXXX     3241 XXXX  
 
7) 
 
 
 
 
 
 Prova: (Veja item 2.3 das notas de aula) 
 
8) Funções de Transferência em Paralelo 
 
 
 
 
 
 
 Prova: 
   )()()()()()()()()( 2121 sCsGsGsRsCsGsRsGsR  
 
 
OBS: Qualquer sistema de malha fechada pode ser convertido em um sistema com realimentação 
unitária 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
X
3X± 
+ 
4X
± 
+ 
2X
1X 3X
± 
+ 
2X
± 
+ 
4X
)()( 21 sGsG  
R(s) C(s) 
G2(s) 
R(s) 
G1(s) 
± 
+ C(s) 

G(s) 
H(s) 
± 
+ R(s) C(s) E(s) 
B(s) 
 )()(1
)(
sHsG
sG

 
R(s) C(s) 
𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) 
− 
𝑅(𝑠) 𝐶(𝑠) 𝐺(𝑠) 
𝐻(𝑠) 
− 
𝑅(𝑠) 𝐶(𝑠) 
 
1
𝐻(𝑠)
 
 18 
2.7.1 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
8) Efetue a simplificação do Diagrama de Blocos Abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1G
2G
3G 4G+ _ + _ + 
+ 
5G
R C 
1G
2G
3G + _ + 
+ 
5G
R C 
4G
4G
+ _ 
3G
1G
2G
3G 4G+ _ + _ + 
+ 
5G
R C 
1G
2G
3G + _ + 
+ 
5G
R C 
4G
4G
+ _ 
3G
 19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1G
2G
3 4G G + _ + 
+ 
5G
R C 
4G
+ _ 
3 4G G
1G
2G
3 4G G + 
+ 
5G
R C 
4G
+ _ 
3 4G G
+ _ 
1G
2G
3 4G G + _ + 
+ 
5G
R C 
4G
+ _ 
3 4G G
1G
2G
3 4G G + 
+ 
5G
R C 
4G
+ _ 
3 4G G
+ _ 
1G
2G
3 4G G + 
+ 
5G
R C 
4G
+ _ 
3 4G G
+ _ 
 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1G
2G
3 4G G + 
+ 
5G
R C 
4G
+ _ 
3 4G G
+ _ 
1 2 3 4( )G G G G
5
4 51
G
G G
R C 
+ _ 
3 4G G
1 2 3 4( )G G G G
5
4 5 3 4 51
G
G G G G G 
R C 
5 1 2 3 4
4 5 3 4 5
( )
1
G G G G G
G G G G G

 
R C 
1 2 3 4( )G G G G
5
4 51
G
G G
R C 
+ _ 
3 4G G
 21 
2.8 – DIAGRAMA DE FLUXO DE SINAIS (DFS) 
 
O Diagrama de Fluxo de Sinais (DFS) ou Grafo de Fluxo de Sinais (GFS) é um diagrama que representa 
um conjunto de equações algébricas lineares simultâneas. Ele mostra o fluxo dos sinais de controle de 
um ponto a outro do sistema e contém as mesmas informações que o Diagrama de Blocos. 
 
TERMINOLOGIA 
 
Nó: É um ponto do diagrama que representa uma variável ou um sinal. 
 
Transmitância: É o ganho entre dois nós e pode ser expresso em termos de funções de transferência 
entre os dois nós. 
 
Ramo: É o segmento direcionado unindo os dois nós. 
 
Nó de Entrada ou Fonte: É um nó que tem somente ramos de saída. Corresponde a uma variável 
independente. 
 
Nó de Saída ou Sorvedouro: É um nó que tem somente ramos que chegam. Corresponde a uma variável 
dependente. 
 
Nó Misto: Possui tanto ramos que chegam quanto ramos que saem. 
 
Caminho: Percurso através dos ramos conectados no sentido das setas. 
 
Malha: É um caminho fechado, ou seja, começa e termina no mesmo nó. 
 
Loop: É uma malha que toca em apenas um nó. 
 
Ganho de Malha: É o produto das transmitâncias dos ramos da malha. 
 
Malhas que Não se Tocam: São as que não possuem nó em comum. 
Caminho de Avanço: É o caminho que inicia em um nó fonte e termina em um nó sorvedouro sem 
passar mais de uma vez por algum nó. 
 
Ganho do Caminho de Avanço: É o produto das transmitâncias de seus ramos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1x
2x 3x
4x
3x
a b
c
d
1
Nó Misto 
Nó de Saída 
Nó de Entrada 
Nó de Entrada 
Malha 
5x
e
f
Loop 
 22 
PROPRIEDADES 
 
1. Um sinal percorre um ramo apenas no sentido da seta. 
2. Um nó soma os sinais de todos os ramos que chegam e transmite a soma para todos os ramos que 
saem. 
3. Para um dado sistema, o DFS não é único. 
 
ÁLGEBRA DO DFS 
 
1) 
 
 
 Interpretação: 
 12 axx  
 
 
2) 
 
 
 
 
 
 
 Interpretação: 
 213 bxaxx  
 
3) 
 
 
 
 Prova: 
 
23
12
bxx
axx


  
 
13
123
abxx
axbbxx


 
 
 
4) 
 
 
 
 
 Prova: 
   1112 xbabxaxx  
 
 
1x 2x
a
1x
3x
a
2x
b
1x 2x 3xa b  1
x
3xab
 1
x 2xba 
1x 2x
b
a
 23 
5) 
 
 
 
 
 
 
 Prova: 
 
34
213
cxx
bxaxx


    21214 bcxacxbxaxcx  
 
6) 
 
 
 
 
 
 
 Prova: 
 
23
312
bxx
cxaxx


 31
3 cxax
b
x
  313 bcxabxx     13 1 abxbcx   13
1
x
bc
ab
x

 
 
 
 
2.8.1 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
8) Simplifique o diagrama a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
1x
3x
a
2x
b
4x
c

1x
4x
ac
2x
bc
1x
2x
3xa b
c

3xab
1x
bc
 1x 3x
bc
ab
1
1( )G s 2 ( )G s
( )Y s
1
s1K1
( )R s
3( )H s
1( )H s
3G
1( )G s 2 ( )G s
( )Y s
1
s1K1
( )R s
3( )H s
1( )H s
3G
 24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 2
1 3
( ) ( )
1 ( ) ( )
G s G s
G s H s
( )Y s
1
sK1
( )R s
1( )H s
3G
1
1 3
( )
1 ( ) ( )
G s
G s H s 2 ( )G s
( )Y s
1
sK1
( )R s
1( )H s
3G
𝐾𝐺1𝐺2
𝑠(1 + 𝐺1𝐻3 + 𝐻1𝐺1𝐺2)
 
1 2
1 3
1 1 2
1 3
( ) ( )
1 ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1 ( ) ( )
KG s G s
G s H s
H s G s G s
G s H s



( )Y s
1
s1
( )R s
3G
( )Y s
1
( )R s
3G
𝑌
𝑅
=
𝐾𝐺1𝐺2
𝑠(1 + 𝐺1𝐻3 + 𝐻1𝐺1𝐺2)
+ 𝐺3 𝑌
𝑅
=
𝑠𝐺3(1 + 𝐺1𝐻3 + 𝐻1𝐺1𝐺2) + 𝐾𝐺1𝐺2
𝑠(1 + 𝐺1𝐻3 + 𝐻1𝐺1𝐺2)
 
 25 
2.8.2 – FÓRMULA DE GANHO DE MASON 
 
Usada para a obtenção do GANHO GERAL ENTRE DOIS NÓS a partir do diagrama de fluxo de 
sinais. 
 
 
 
 


k
kkPP
1
 
 
 
 
 
 
 
dfe
fed
bccb
a
a LLLLLL 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
k é obtido da mesma forma que  só que retirando todas as malhas que tocam o caminho direto kP . 
 
 
Ganho do Caminho Direto 
de ordem k 
Cofator do Caminho k 
Determinante do Grafo 
Soma dos produtos dos ganhos 
das malhas de todas as 
possíveis combinações de 3 
malhas que não se tocam. 
Soma dos produtos dos ganhos 
das malhas de todas as 
possíveis combinações de 2 
malhas que não se tocam. 
Soma dos ganhos das malhas. 
 26 
2.8.3 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
9) O engenheiro de controle, N. Minorsky, no ano de 1930, projetou um sistema de direção de 
navio inovador para a marinha dos Estados Unidos. O sistema está representado pelo diagrama 
de fluxo de sinal mostrado abaixo, onde ( )Y s é o curso do navio, ( )R s é o curso desejado e ( )A s 
é o ângulo do leme. Determine a função de transferência ( ) ( )Y s R s usando Mason. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO 
 
 
 
1 1
1 2 3 4
1
1
k k
k
P
FT P
L L L L

  
    
 
 
 
 
1 2 3 4
1 3 1 2 1 2 1 2
1
1
L L L L
G H G G H H KG G s
     
     
 
 1 1 2P KG G s 
 1 1  
 
 
1 2
1 3 1 2 1 2 1 21
KG G sY
R G H G G H H KG G s
 
   
 
 
 
1( )G s 2 ( )G s
( )Y s
1
s1K1
( )R s
( )A s
2 ( )H s
3( )H s
1( )H s
1
 27 
10) Para o circuito da figura abaixo, elabore as seguintes tarefas: 
a. Construa o Diagrama de Fluxo de Sinais (DFS). 
b. Obtenha a FT usando Fórmula de Mason. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
 
 
 
1 2
1
1
( ) ( )
( )
V s V s
I s
R

 
 
 
 
 
 
 
 2 1 2( ) ( ) ( )V s sL I s I s  
 
 
 
2 2 2 3
2 2 2 3
32
2
2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( )
V s R I s V s
R I s V s V s
V sV s
I s
R R
 
 
 
 
 
 
 
2
3
( )
( )
I s
V s
sC
 
 
 
C L 
R1 
V1(s) V3(s) 
+ + 
_ _ 
R2 
V2(s) 
I1(s) I2(s) 
2 ( )V s
3( )V s
2
1
R
2 ( )I s
2
1
R

2 ( )I s
1
sC
3 ( )V s
1( )V s
2 ( )V s
1
1( )I s
1
1
1
R
2 ( )V s1( )I s
sL
2 ( )I s
1
1
 28 
Juntando as partes, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obtenção da FT por Mason 
 
 Caminhos Diretos: 
1
1 2
L
P
CR R
 
 Loops: 
1
1
sL
L
R
  2
2
sL
L
R
  3
2
1
L
sCR
  
 Deltas:  1 2 3 1 31 L L L L L      1 1  
 A FT: 3
1
( ) 1
( )
k k
k
V s
P
V s
 

 
3 1 2
1
1 2 2 1 2
( )
1( )
1
L
V s CR R
sL sL sLV s
R R sCR R sCR

   
 
3 1 2
2 2
1 2 2 1 11
1 2
( )
( )
L
V s CR R
sCR R s CLR s CLR R sLV s
sCR R

   
 
 3
2 2
1 1 2 2 1 1
( )
( )
V s sL
V s sCR R s CLR s CLR R sL

   
 
 
   
 
   
3
2
1 2 1 1 2 1
2 13
1 2 1 2 1
2 1 2 1
( )
( )
1
( )
( )
V s sL
V s s LC R R s CR R L R
ou
s
C R RV s
V s CR R L R
s s
LC R R LC R R

   
 
 
 

   
    
    
 
1( )V s
1
1( )I s
1
1
1
R
2 ( )V s
sL
1
2
1
R
2 ( )I s
2
1
R

1
sC
3 ( )V s
 29 
11) Um mecanismo antibloqueio do sistema de freio nas quatro rodas de um automóvel utiliza 
retroação eletrônica para controlar a força de frenagem em cada uma das rodas. Um diagrama 
de fluxo simplificado do sistema de controle de freio está mostrado na figura abaixo, em que 
( )dF s e ( )tF s são, respectivamente, as forças de frenagem nas rodas dianteiras e traseiras e, 
( )R s é a resposta desejada do automóvel em uma pista de rodovia. Determine ( ) ( )dF s R s . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 SOLUÇÃO: 
 
De acordo com o princípio da superposição, pode-se ignorar outras entradas/saídas no sistema 
para considerar a influência de uma entrada/saída específica. Essa característica do princípio é 
usada também com sinais de distúrbios. Ainda, a fórmula de Mason é do ganho total entre dois 
nós do grafo, assim. 
 
 Por Mason: 
 1 2
( ) 1
1
( )
d
k k
k
F s
P L L
R s
     

 
 
Existe 1 caminho direto 
1 1 2
1
1 1 2 1 2 1 3 2
1
P G G
L G G H L G G H

 
   
 
 
Assim 
 
 
 
 
1 1
1 2
1 2
1 2 1 1 3 2
1 2
1 2 1 3 2
( ) 1 1
( ) 1
( )
( ) 1
( )
( ) 1
d
k k
k
d
d
F s
P P
R s L L
F s G G
R s G G H G G H
F s G G
R s G G H G H
   
  

  

 

 
 
 
2 ( )G s
1( )G s1( )R s
3( )G s
( )dF s
( )tF s
2 ( )H s
1( )H s
 30 
12) Obtenha a FT do grafo abaixo usando a fórmula de Mason. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 SOLUÇÃO: 
 
 
 
1 1 2 2
1 2
1
1
k k
k
P P
FT P
L L
  
  
  
 
 
 
 1 2
1 3 1 2 1
1
1
L L
G H G G H
   
   
 
 
 1 1 2P KG G s 
 1 1  
 
 2 3P G 
 2 1 3 1 2 11 G H G G H    
𝑌
𝑅
=
𝐾𝐺1𝐺2
𝑠 + 𝐺3
(1 + 𝐺1𝐻3 + 𝐺1𝐺2𝐻1)
1 + 𝐺1𝐻3 + 𝐺1𝐺2𝐻1
 
 
𝑌
𝑅
=
𝐺3(1 + 𝐺1𝐻3 + 𝐺1𝐺2𝐻1)𝑠 + 𝐾𝐺1𝐺2
𝑠(1 + 𝐺1𝐻3 + 𝐺1𝐺2𝐻1)
 
 
 
 
1( )G s 2 ( )G s
( )Y s
1
s1K1
( )R s
3( )H s
1( )H s
3G
 31 
2.9 – GRAFO DE FLUXO DE SINAIS AMOSTRADO 
Uma vez que sistemas de controle com dados discretos contém sinais tanto analógicos quanto discretos, 
a Fórmula do Ganho de Mason não pode ser utilizada diretamente no sistema original. Ela pode ser 
usada em um sistema com todos os componentes analógicos ou todos discretos, mas não com a mistura 
destes. 
 
O primeiro passo para obter um grafo de sinais amostrado é expressar todas as equações como variáveis 
discretas seguindo as seguintes etapas: 
 
1. Identifique as variáveis de entrada e de saída. 
 
Entradas: 𝑅(𝑠), 𝐸∗(𝑠) 
Saídas: 𝐸(𝑠), 𝐶(𝑠) 
 
2. Construa um GFS equivalente ao diagrama de blocos do sistema. 
 
3. Escreva as equações de causa e efeito do sistema para o GFS equivalente. 
 
Relação entre 𝑅(𝑠) e 𝐸(𝑠): 
 
𝐸(𝑠) = 𝑅(𝑠) 
 
Relação entre 𝑅(𝑠) e 𝐶(𝑠): 
 
Não há 
 
Relação entre 𝐸∗(𝑠) e 𝐸(𝑠): 
 
𝐸(𝑠) = −𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)𝐸∗(𝑠) 
 
Relação entre 𝐸∗(𝑠) e 𝐶(𝑠): 
 
𝐶(𝑠) = 𝐺(𝑠)𝐸∗(𝑠) 
 
𝑅(𝑠) 
𝑅(𝑠) 
 32 
 
 33 
4. Aplique a transformada pulsada nos dois lados de cada equação de causa e efeito. 
𝐸∗(𝑠) = 𝑅∗(𝑠) 
 
𝐸∗(𝑠) = [−𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)𝐸∗(𝑠)]∗ 
𝐸∗(𝑠) = −𝐺𝐻∗(𝑠)𝐸∗(𝑠) 
 
𝐶∗(𝑠) = [𝐺(𝑠)𝐸∗(𝑠)]∗ 
𝐶∗(𝑠) = 𝐺∗(𝑠)𝐸∗(𝑠) 
 
5. Desenhe o GFS amostrado usando apenas as equações com as variáveis discretas obtidas no 
passo anterior. 
 
 
6. Uma vez tendo o GFS amostrado é possível utilizar a Fórmula de Mason. 
 
𝐶∗(𝑠)
𝑅∗(𝑠)
=
𝐺∗(𝑠)
1 + 𝐺𝐻∗(𝑠)
 
 
𝐸∗(𝑠)
𝑅∗(𝑠)
=
1
1 + 𝐺𝐻∗(𝑠)
 
 
7. O GFS composto é obtido combinando o GFS equivalente com o GFS amostrado. 
 
A fórmula de Mason pode ser usada para calcular os ganhos no GFS composto. 
 
𝐶(𝑠)
𝑅∗(𝑠)
=
𝐺(𝑠)
1 + 𝐺𝐻∗(𝑠)
 
 34 
EXEMPLO 
 
13. O Diagrama de Blocos de um sistema de controle discreto multimalha é mostrado na figura 
abaixo. Obtenha GFS Composto. 
 
 
SOLUÇÃO 
 
1. Identifique as variáveis de entrada e de saída. 
 
Entradas: 𝑅(𝑠), 𝐸∗(𝑠), 𝐶∗(𝑠) 
Saídas: 𝐸(𝑠), 𝐶(𝑠) 
 
2. Construa um GFS equivalente ao diagrama de blocos do sistema. 
 
 
 
3. Escreva as equações de causa e efeito do sistema para o GFS equivalente. 
 
Relação entre 𝑅(𝑠) e 𝐸(𝑠): 
 
𝐸(𝑠) = 𝑅(𝑠) 
 
Relação entre 𝑅(𝑠) e 𝐶(𝑠): 
 
Não há 
 
 35 
Relação entre 𝐸∗(𝑠) e 𝐸(𝑠): 
 
𝐸(𝑠) = −𝐺1(𝑠)𝐺2(𝑠)𝐸
∗(𝑠) 
 
Relação entre 𝐸∗(𝑠) e 𝐶(𝑠): 
 
𝐶(𝑠) = 𝐺1(𝑠)𝐺2(𝑠)𝐸
∗(𝑠) 
 
Relação entre 𝐶∗(𝑠) e 𝐸(𝑠): 
 
𝐸(𝑠) = 𝐻(𝑠)𝐺2(𝑠)𝐶
∗(𝑠) 
 
Relação entre 𝐶∗(𝑠) e 𝐶(𝑠): 
 
𝐶(𝑠) = −𝐻(𝑠)𝐺2(𝑠)𝐶
∗(𝑠) 
 
4. Aplique a transformada pulsada nos dois lados de cada equação de causa e efeito. 
 
𝐸∗(𝑠) = 𝑅∗(𝑠) 
 
𝐸∗(𝑠) = [−𝐺1(𝑠)𝐺2(𝑠)𝐸
∗(𝑠)]∗ 
𝐸∗(𝑠) = −𝐺1𝐺2
∗(𝑠)𝐸∗(𝑠) 
 
𝐶∗(𝑠) = [𝐺1(𝑠)𝐺2(𝑠)𝐸
∗(𝑠)]∗ 
𝐶∗(𝑠) = 𝐺1𝐺2
∗(𝑠)𝐸∗(𝑠) 
 
𝐸∗(𝑠) = [𝐺2(𝑠)𝐻(𝑠)𝐶
∗(𝑠)]∗ 
𝐸∗(𝑠) = 𝐺2𝐻
∗(𝑠)𝐶∗(𝑠) 
 
𝐶∗(𝑠) = [−𝐺2(𝑠)𝐻(𝑠)𝐶
∗(𝑠)]∗ 
𝐶∗(𝑠) = −𝐺2𝐻
∗(𝑠)𝐶∗(𝑠) 
 
5. Desenhe o GFS amostrado usando apenas as equações com as variáveis discretasobtidas no 
passo anterior. 
 
 
 
 
 36 
6. Uma vez tendo o GFS amostrado é possível utilizar a Fórmula de Mason. 
 
𝐶∗(𝑠)
𝑅∗(𝑠)
=
𝐺1𝐺2
∗(𝑠)
1 + 𝐺1𝐺2
∗(𝑠) + 𝐺2𝐻∗(𝑠) − 𝐺1𝐺2
∗(𝑠)𝐺2𝐻∗(𝑠) + 𝐺1𝐺2
∗(𝑠)𝐺2𝐻∗(𝑠)
 
 
𝐶∗(𝑠)
𝑅∗(𝑠)
=
𝐺1𝐺2
∗(𝑠)
1 + 𝐺1𝐺2
∗(𝑠) + 𝐺2𝐻∗(𝑠)
 
 
7. O GFS composto é obtido combinando o GFS equivalente com o GFS amostrado. 
 
A fórmula de Mason pode ser usada para calcular os ganhos no GFS composto. 
 
𝐶(𝑠)
𝑅∗(𝑠)
=
𝐺1(𝑠)𝐺2(𝑠)[1 + 𝐺2𝐻
∗(𝑠)] − 𝐺2(𝑠)𝐻(𝑠)𝐺1𝐺2
∗(𝑠)
1 + 𝐺1𝐺2
∗(𝑠) + 𝐺2𝐻∗(𝑠)
 
 
 
2.10 – MATLAB 
 
a) Funções de Transferência 
i. sys = tf(num,den); 
ii. [num,den] = series(num1,den1,num2,den2); 
iii. [num,den] = parallel(num1,den1,num2,den2); 
iv. [num,den] = feedback(num1,den1,num2,den2); 
 
2.11 – LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
OGATA: A3.1 a A3.5, A3.14 a A3.20, A3.23 a A3.27, B3.1 a B3.3, B3.5 a B3.7, B3.13, B3.14, B3.16, 
B3.18 a B3.21, B3.25 a B3.29. 
 
DORF: E2.1 a E2.3, E2.5 a E2.17, E2.20 a E2.26, E2.28 a E2.30, P2.1, P2.2(b), P2.3(b), P2.4, P2.5 a 
P2.18, P2.20 a P2.42, P2.44 a P2.49, P2.50(a,b,d), P2.51(a,b,d). 
 
KUO: