Dimensionamento de elementos sob compressão curtos e mediamentos esbeltos

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Estruturas de aço
Aula 6: Dimensionamento de elementos sob compressão
curtos e medianamentos esbeltos
Apresentação
Nesta aula, aprenderemos a classi�car um elemento sob a compressão em per�l simples simétrico estudaremos as
particularidades e os cuidados que devem ser tomados em cada caso.
Serão consideradas as in�uências da �ambagem global e das �ambagens locais, de alma e de mesa.
Objetivos
Descrever o comportamento do elemento de aço sob compressão;
Identi�car per�s metálicos sob a solicitação de compressão.
Dimensionamento de elementos submetido à compressão para as
estruturas de aço
Características geométricas
A estrutura de aço deve ser veri�cada por meio de per�l padrão ou comercial, sendo necessário, comumente, o uso de dois ou
mais per�s metálicos.
Para isso, você deverá realizar a caracterização geométrica. Assim, será possível o uso de per�s compostos.
Dimensionamento do per�l metálico à compressão
Válido para per�l laminado.
Como visto anteriormente, elementos comprimidos são sujeitos ao fenômeno da �ambagem, fato que pode reduzir a sua
capacidade de carga, já que a instabilidade devida à �ambagem deve ser evitada.
Leonhad Euler, um matemático e físico suíço que viveu no século XVIII, dentre diversas contribuições ciência, determinou a
carga crítica de �ambagem (P ), também conhecida como carga de Euler, que expressa o valor máximo resistido antes da
ocorrência da �ambagem.
cr
  =Pcr
 . E . Iπ2
L2fl
λ  =   k . L
r
Onde:
E – Módulo de elasticidade para o aço o valor de E=210.000Mpa;
I – Momento de inércia (cm );
L – Comprimento de �ambagem (cm);
k – Parâmetro de �ambagem, depende da vinculação;
r – Menor raio de giração (cm).
Como L = k.L e I = r².A, podemos escrever:
4
ft
�
  =     =     ∴Pcr
 . E . Iπ2
(k . L)2
 . E .   . Aπ2 r2
 . λ2 r2
A tensão crítica de �ambagem é:
  =     =     =  σcr
Pcr
A
 . Eπ2
λ2
210.000
λ2
 Quadro 1 – Parâmetros de flambagem – Tab, E.1 da NBR 8800:2008.
A NBR 8800:2008 limita o valor de = 200λmáx
Comentário
Cabe aqui comentar que a teoria de Euler foi desenvolvida para o caso birrotulado, representado na
letra d da tabela.
Como a teoria não trata as outras formas de vinculação, a ideia é adotar um elemento birrotulado equivalente como modelo
que possua comportamento análogo.
Para isso, foi introduzido o fator K que modi�ca o comprimento da peça original de forma que o projeto trate o problema de
qualquer vinculação nas extremidades por um birrotulado equivalente com comprimento afetado pelo fator k.
Exemplo
Uma peça de 1,0m biengastada (letra a do Quadro 1) será projetada como se fosse uma birrotulada de
comprimento KL = 0,65 . 1,0 = 0,65m.
Dimensionamento das barras comprimidas
Resistência de cálculo de barras comprimidas.
  =  X.Q.Nn Ny
A expressão pode ser lida assim:
A resistência nominal é determinada pela força que leva a seção à tensão de
escoamento ( ), afetada por 2 fatores redutores de resistência (
). O primeiro fator, X, é associado à perda de resistência ligada à
esbeltez (�ambagem global) e o segundo, , associado a perdas de
resistência ligadas a possíveis ocorrências de �ambagens locais que podem
acontecer tanto na mesa como na alma.
Agfy
X e Q
Q
A fragilidade relacionada à �ambagem local é tratada em função de proporções geométricas estabelecidas na seção escolhida,
onde a relação fundamental é a razão entre a dimensão livre da mesa ou da alma (b) e a sua espessura (t).
Ao longo da aula, a determinação dos fatores será esclarecida.
Seções com relações b e t favoráveis não estão sujeitas aos efeitos de �ambagem local e, portanto, nesses casos, o fator 
deve ser adotado como unitário, já que não existirão perdas por �ambagem local.
X e Q
Q
 .     =  0, 90 .  X .    .  Q .     ≥  ϕc Nn fy Ag Nd
A expressão de dimensionamento pode ser lida como sendo a
resistência nominal do elemento comprimido, afetado pelo fator de
ponderação (0,9), deve se igualar ou superar o esforço normal de
projeto .
ϕc
Nd
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O anexo F da NBR 8800:2008 traz algumas informações para o dimensionamento do elemento metálico sob compressão.
Pode-se notar (exceto seções circulares):
1
AA
Duas bordas longitudinais vinculadas
2
AL
Apenas uma borda longitudinal vinculada
Observa-se o que os itens do Anexo F da NBR 8800:2008 destaca:
F.1.2 As barras submetidas à força axial de compressão, nas quais todos os elementos componentes da
seção transversal possuem relações entre largura e espessura (relações b/t) que não superam os valores de
(b/t) dados na Tabela F.1, têm o fator de redução total Q igual a 1,00. (NBR 8800:2008)lim
F.1.3 As barras submetidas à força axial de compressão, nas quais os elementos componentes da seção
transversal possuem relações b/t maiores que os valores de (b/t) dados na Tabela F.1 (elementos esbeltos)
têm o fator de redução total Q dado por:
lim
Q  =    .  QS Qa
Onde:
Qs – Elementos exclusivos AL (componentes da seção com uma extremidade Apoiada e outra Livre, como as
mesas de uma seção I, por exemplo);
Qa – Elementos exclusivos AA (componentes da seção com as duas extremidades Apoiadas, como a alma de
uma seção I, por exemplo).
A determinação dos valores de Q para peças do tipo AL pode ser veri�cada no Quadro 2 (ref.: Tabela F.1 – da NBR 8800:2008).
Elementos Grupo Descrição dos Alguns exemplos com indicação de b e t (b/t)lim
elementos
AA
1
• Mesas ou almas de
seções tubulares
retangulares;
• Lamelas e chapas
de diafragmas entre
linhas de parafusos
ou soldas.
2
• Almas de seções I,
H ou U;
• Mesas ou almas de
seção-caixão;
• Todos os demais
elementos que não
integram o Grupo 1.
1, 40 E
fy
−−
√
1, 49 E
fy
−−
√
AL
3
• Abas de cantoneiras
simples ou múltiplas
providas de chapas
de travejamento.
4
• Mesas de seções I,
H, T ou U laminadas;
• Abas de cantoneiras
ligadas
continuamente ou
projetadas de seções
I, H, T ou U laminadas
ou soldadas;
• Chapas projetadas
de seções I, H, T ou U
laminadas ou
soldadas.
5
• Mesas de seções I,
H, T ou U soldadas.
6 • Almas de seções T.
O valor de k deve ser determinado como visto.
0, 45 E
fy
−−
√
0, 56 E
fy
−−
√
0, 64 E
( )
fy
kc
/
− −−−−−
√
0, 75 E
fy
−−
√
c
 Quadro 2 – Valor referente a tabela F.1 – valores de (b/t) .min
Clique nos botões para ver as informações.
Para elementos do Grupo 3 – AL 
      para      
      para      
= 1, 340 − 0, 76. .QS
b
t
fy
E
−−
√ 0, 45. < ≤ 0, 91.E
( )fy
− −−
√ bt
E
( )fy
− −−
√
  =  QS
0,53 . E
 . fy ( )
b
t
2
> 0, 91 .  b
t
E
( )fy
− −−
√
Para elementos do Grupo 4 
      para      
      para      
= 1, 415 − 0, 74. .QS
b
t
fy
E
−−
√ 0, 56. < ≤ 1, 03.E
( )fy
− −−
√ bt
E
( )fy
− −−
√
  =  QS
0,69 . E
 . fy ( )
b
t
2
> 1, 03 .  b
t
E
( )fy
− −−
√
Para elementos do Grupo 5 
   para   
      para      
= 1, 415 − 0, 65. .QS
b
t
fy
 . Ekc
− −−−
√ 0, 64. < ≤ 1, 17E
( )
fy
kc
/
− −−−−−
√
b
t
E
fy
kc
/
− −−−
√
  =  QS
0,90E . kc
fy( )
b
t
2
> 1, 17b
t
E
fy
kc
/
− −−−
√
Para valores de kc 
, sendo 0,35 ≤ kc ≤ 0,76  =  kc 4
h
tw
/√
Para elementos do Grupo 6 
   para   
      para      
= 1, 908 − 1, 22. .QS
b
t
fy
E
−−
√ 0, 75 < ≤ 1, 03E
fy
−−
√ bt
E
fy
−−
√
  =  QS
0,90E
fy( )
b
t
2
> 1, 03b
t
E
fy
−−
√
Atenção
Para a aplicação das equações acima, deve-se usar:
t = espessura da chapa da alma;
h = altura da alma;
b e t são a largura e espessura do elemento, ver Quadro 2.
w
Elementos comprimidos em AA
          Qa = Aef
Ag
= − ∑ (b − ). tAef Ag bef
= 1, 92. t. . [1 − ] ≤ bbef Eσ
−−
√ ca
b
t
/
E
σ
−−
√
C = 0,38 para tubos retangulares;
C = 0,34 para os demais per�s.
a
a
σ = X. fy
Pode-se adotar de forma conservadora o valor de Q = 1,0 portanto .
Determinação do fator , responsável pela redução da capacidade resistente do elemento comprimido em função da sua
esbeltez.
σ = fy
X
 Gráfico 01 - Figura 11 — Valor de X em função do índice de esbeltez λ . / Fonte: NBR8800:20080
=λ0
Q. .Ag fy
Ne
− −−−−
√ =Ne .E.Iπ
2
(k.ℓ)2
A forma grá�ca é interessante visualmente e vale a pena mencionar que se trata de uma adaptação da curva de Euler, teórica,
afetada por resultados de ensaios utilizando elementos em aço.
A curva possui um ponto de in�exão em que a divide em 2 trechos, de forma que:
Para 
Para 
= 1, 5λ0
≤ 1, 5 :  X = 0,λ0 658
λ0
2
> 1, 5 :  X =λ0
0,877
λ0
2
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Portanto, pode-se determinar o valor de X, tanto pelo grá�co (menos preciso) como pelas equações.
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Atividade
1. Determinar a capacidade de carga de um per�l I com comprimento de 3000mm, com valor de k=0,80.
 Figura 1 – Viga metálica para determinação da capacidade resistente.
A = 56,4cm²
I = 3.931,13cm
I = 322,42cm
r = 8,348cm
r = 2,39cm
f = 250MPa
f = 400MPa
g
x
4
y
4
x
y
y
u
2. Dimensionar o banzo superior N sabendo que: g = -59,33kN, g = -41,47kN, g = -39,46kN, q = -49,25kN, q = -13,9kN, q =
+22,10kN com dimensão igual a 1600mm. Adotar per�l laminado C 6” x 23,10 aço ASTM A36 – f = 250MPa e f = 400MPa.
19 1 2 3 1 2 3
y u
Para um per�l – C 6” x 23,10
A = 29,40cm²
I = 815cm
I = 52,4cm
x = 1,38cm
r = 5,27cm
r = 1,33cm
f = 250MPa
f = 400MPa
g
x
4
y
4
x
y
y
u
t = 1,42cm
t = 0,87cm
b = 5,79cm
w
f
f
Referências
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 8800: projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de
aço e concreto de edifícios. Rio de Janeiro: ABTN, 2008.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 6123: Força devido ao vento em edi�cações. Rio de Janeiro:
ABTN, 1988.
Próxima aula
Dimensionamento de elementos sob compressão peças compostas.
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