Deflexão de Vigas

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UNIESP CENTRO UNIVERSITÁRIO
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
ALYSON LIRA NASCIMENTO
GABRIELLE PEREIRA RODRIGUES
 Resumo de Resistência de Materias 
João Pessoa
Maio/2021
ALYSON LIRA NASCIMENTO
GABRIELLE PEREIRA RODRIGUES
Resumo de Resistência dos Materiais apresentado ao Professor José Leonilo Romeu de Figueiredo Lima, para obtenção de aprovação na disciplina de Resistência dos Materiais do curso de graduação em Engenharia Civil.
João Pessoa
Maio/ 2021
SUMÁRIO
Transformação de Tensão
Transformação da deformação
Flambagem
Deflexão de vigas
Principio do Trabalho virtual
Questões e suas respectivas soluções
Deflexão de Vigas
Ocorre quando se tem uma viga que possui um eixo longitudinal reto, que está recebendo a atuação de uma carga por forças laterais, o eixo é deformado em uma curva denominada de curva de deflexão. O diagrama da deflexão que passa pelo eixo longitudinal que passa pelo centroide de cada área da seção transversal da viga é denominado linha elástica. 
O equilíbrio de um corpo exige um equilíbrio de forças para impedir a translação ou um movimento acelerado do corpo ao longo de uma trajetória reta ou curva, e um equilíbrio de momentos, para impedir que o corpo gire. Essa grandeza mostra o grau de deslocamento da estrutura quando submetida a uma carga.
Existem diversos métodos analíticos usados para estipular os valores da deflexão, como por exemplo: Analogias de Mohr, Funções Singulares, Teorema do Momento de Área, entre vários outros. No nosso estudo vamos usar o método da Integração da Linha Elástica.
1. Linha Elástica
Basicamente, a linha elástica é uma curva que define o eixo de uma viga após sua deformação. Isso ocorre quando a estrutura está sujeita a um carregamento (ver figura 1).
Figura 1 - Linha elástica
Para utilizar o método da Integração da Linha Elástica precisamos considerar hipóteses básicas.
2. Curvatura
Uma relação muito significativa no estudo da deflexão envolve o momento fletor da vida e o raio de curvatura da linha elástica. Combinando a lei de hooke ( com a fórmula da tensão a flexão , encontramos uma equação para o raio de curvatura :
Onde M é o momento fletor da viga no ponto que se deseja calcular o raio de curvatura. O Produto (EI) entre o módulo da elasticidade do material (E) e o momento de inércia da viga em relação ao eixo neutro (I) é chamado de rigidez à flexão. Em uma situação que o momento fletor é variável, considerando a viga no regime elástico, encontramos:
Sendo x a distancia da extremidade esquerda da viga até a seção considerada.
3. Equação da Linha Elástica
A equação diferencial de segunda ordem, abaixo, explica o comportamento da linha elástica.
Podemos escrever essa expressão com uma outra notação:
Para encontrar a equação da linha elástica devemos usar a equação diferencial mostrada acima e realizar a integração dessa expressão, ficando com:
A expressão da declividade é obtida definindo 
Novamente, vamos realizar uma integração para obter a equação da linha elástica:
As constantes de integração C1​ e C2​ são obtidas seguindo as exigências das condições de contorno. O termo y  representa a flecha.
Pra esse método, existem hipóteses importantes a serem consideradas:
I. A hipótese de Navier, que diz que as seções planas permanecem planas. Essa hipótese desempenha um papel fundamental nesse estudo, pois ela leva à hipótese de Bernoulli-Euler.
II. A hipótese de Bernoulli-Euler expressa a variação linear das tensões, onde a tensão é definida pela razão entre o momento fletor e o momento de área (momento de inércia).
Ainda, devemos admitir a linearidade do problema para poder aplicar esse método. Em outras palavras, admite-se a linearidade física de acordo com a lei de Hooke e da linearidade geométrica segundo a hipótese de pequenas deformações e deslocamentos.
Vamos condicionar o estudo de método em quatro hipóteses básicas.
1. As deformações, as rotações e os deslocamentos são pequenos;
2. A viga é composta por um material homogêneo, isótropo e elástico linear;
3. A viga tem eixo reto na configuração indeformada, e a variação das dimensões da seção transversal é pequena ao longo da viga.
4. As seções transversais permanecem planas e perpendiculares ao eixo deformado da barra (hipótese de Navier).
OBS: Um material homogêneo apresenta as mesmas propriedades mecânicas em todos os seus pontos, e dizer que um material é isótropo significa que em cada ponto, as suas propriedades mecânicas não mudam com a direção! O material elástico possui a tensão e a deformação relacionadas linearmente.
Analisando a hipótese 1, concluímos que as equações do equilíbrio podem ser escritas na configuração inicial da estrutura, ou seja, que ainda não se deformou. Na nossa análise vamos usar três coordenadas (ver figura 2).
Figura 2 - Momento fletor na viga
Com base na figura, adotamos o eixo x como positivo para direita ao longo do eixo longitudinal da viga. Esse eixo vai ser utilizado para localizar o elemento infinitesimal dx. O eixo v, positivo para cima, mede o deslocamento do centroide da área da seção transversal do elemento. Uma coordenada y é usada para referenciar a posição de uma fibra da viga, como mostra a figura abaixo:
	
Para encontrar a relação entre o momento fletor e o raio de curvatura, consideramos que a viga, inicialmente reta, deforma elasticamente pelas cargas aplicadas. Devido ao carregamento, a deformação da viga é provocada tanto pela força de cisalhamento interna como pelo momento fletor:
Quando o momento fletor M deforma o elemento da viga, o ângulo entre as seções transversais vira dθ. O arco dx representa parte da linha elástica. O raio de curvatura desse arco é definido como a distância ρ, medida do centro de curvatura O’ para dx. A deformação no arco ds, localizado a uma distância y do eixo neutro é:
Nós temos que:
Portanto:
Lembrando que representa a deformação. Organizando essa equação, obtemos:
 (1)
Considerando que o material é homogêneo e comporta-se de maneira linear elástica, podemos usar a lei de Hooke, onde:
Sendo E o módulo de elasticidade longitudinal.
Ainda devemos lembrar que a fórmula da flexão é igual a:
Onde I é o momento de inércia em relação a linha neutra.
Combinando a lei de Hooke com a fórmula da flexão e substituindo isso na equação (1), encontramos uma equação que define a curvatura:

Onde, ρ é o raio de curvatura, M é o momento fletor, E é o módulo de elasticidade e I é o momento de área (momento de inércia) da seção transversal em relação à linha neutra.
Se essa viga estiver submetida à flexão pura, ou seja, apenas sob ação do momento fletor, ela se encurva formando um arco de circunferência, com mesma curvatura ao longo de todo o comprimento da viga:
No regime elástico, a curvatura da superfície neutra pode ser dada por:
Agora, vamos considerar uma viga sujeita a um carregamento transversal. Nessa situação, o momento fletor e a curvatura da superfície neutra variam de seção para seção:
Ainda, considerando a viga no regime elástico, temos que:
	
Sendo x a distância da extremidade esquerda da viga até a seção considerada.
Para determinar a equação da linha elástica, vamos seguir essa receitinha abaixo:
1. Adotar um sistema de referência, como na imagem:
	
2. Determinar a equação do momento fletor M(x) para o sistema de referência;
3. Substituir a equação do M(x) na equação diferencial a seguir:
4. Realizar a integração da equação encontrada no passo 3:
	
5. Efetuar a integração da equação obtida no passo 4:
Aqui, podemos enxergar que essa equação poderia ter sido encontrada por meio da segunda integração da equação determinada no passo 3:
6. Calcular as constantes de integração C_1C1​ e C_2C2​ seguindo as exigências das condições de contorno;
7. Escrever as equações finais para θ(x) e y(x), considerando os valores das constantes de integração calculadas no passo 6;
8. Determinar os valores da declividadeθ e da flecha y nas seções pedidas pelo exercício.
PRINCÍPIO DO TRABALHO VIRTUAL
Método clássico para solução de casos relativos a equilíbrio de corpos rígidos é o uso das equações básicas de força (F) e momento (M):
O princípio do trabalho virtual é uma alternativa que pode simplificar os cálculos. Aqui são consideradas forças coplanares, mas pode ser estendido para forças no espaço. No exemplo da figura 1, um corpo está sob a ação de forças que de forma genérica, produziriam um deslocamento .
Seja a relação de equilíbrio de força de (1A) dada em termos de magnitudes dos componentes nos eixos de coordenadas:
Multiplicando cada relação pelo respectivo componente do vetor deslocamento,
Figura 1 - diagrama de forças
Essas igualdades correspondem à soma dos produtos escalares das forças pelos deslocamentos:
Produto escalar de força e deslocamento corresponde à grandeza física trabalho. Portanto, na condição de equilíbrio, pode-se dizer que cada é um deslocamento virtual e que cada parcela dessa soma é um trabalho virtual. E a igualdade (1D) pode ser resumida na forma: Na condição de equilíbrio estático, é nula a soma dos trabalhos virtuais de cada força atuante.
QUESTÕES E SUAS RESPECTIVAS SOLUÇÕES
(Q1) Detemine a curva da linha elástica para a viga em balanço utilizando a coordenada x. Determine também a inclinação máxima e a deflexão máxima. EI é constante. 
(Q2) Determine as equações da linha elástica para a viga utilizando as coordenadas e . Especifique a deflexão máxima da viga. EI é constante.
(Q3) Determine o deslocamento do ponto C da viga feita de aço A-36 com momento de inércia I= 21() . Problema 14.92
(Q4) Determine o deslocamento do ponto A da viga de aço mostrada na Figura 14.38 a. I = 175,8 () , = 200 GPa.