Matematica Elementar I EAD UNISUL

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Universidade do Sul de Santa Catarina
Palhoça
UnisulVirtual
2006
Tópicos de Matemática 
Elementar I
Disciplina na modalidade a distância
2ª edição revista e atualizada
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Créditos
Unisul - Universidade do Sul de Santa Catarina
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Ana Luisa Mülbert
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Bernardino José da Silva
Charles Cesconetto
Diva Marília Flemming
Eduardo Aquino Hübler
Fabiano Ceretta
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Janete Elza Felisbino
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Lívia da Cruz (auxiliar)
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Figueiredo
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Marcelo Cavalcanti
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Moacir Fogaça
Moacir Heerdt
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Onei Tadeu Dutra
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Rose Clér Estivalete Beche
Raulino Jacó Brüning
Rodrigo Nunes Lunardelli
Criação e Reconhecimento de 
Cursos
Diane Dal Mago
Vanderlei Brasil
Desenho Educacional
Daniela Erani Monteiro Will 
(Coordenadora)
Design Instrucional
Ana Cláudia Taú
Carmen Maria Cipriani Pandini
Carolina Hoeller da Silva Boeing
Flávia Lumi Matuzawa
Karla Leonora Dahse Nunes
Leandro Kingeski Pacheco
Luiz Henrique Queriquelli
Lívia da Cruz 
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Márcia Loch
Viviane Bastos
Viviani Poyer
Acessibilidade
Vanessa de Andrade Manoel
Avaliação da Aprendizagem
Márcia Loch (Coordenadora)
Cristina Klipp de Oliveira
Silvana Denise Guimarães
Design Visual
Cristiano Neri Gonçalves Ribeiro 
(Coordenador) 
Adriana Ferreira dos Santos
Alex Sandro Xavier
Evandro Guedes Machado
Fernando Roberto Dias 
Zimmermann
Higor Ghisi Luciano
Pedro Paulo Alves Teixeira
Rafael Pessi
Vilson Martins Filho
Disciplinas a Distância
Enzo de Oliveira Moreira 
(Coordenador)
Gerência Acadêmica
Márcia Luz de Oliveira Bubalo
Gerência Administrativa 
Renato André Luz (Gerente)
Valmir Venício Inácio
Gerência de Ensino, Pesquisa 
e Extensão
Ana Paula Reusing Pacheco
Gerência de Produção e 
Logística
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(Gerente)
Francisco Asp 
Logística de Encontros 
Presenciais
Graciele Marinês Lindenmayr
(Coordenadora) 
Aracelli Araldi
Cícero Alencar Branco
Daiana Cristina Bortolotti
Douglas Fabiani da Cruz
Fernando Steimbach
Letícia Cristina Barbosa
Priscila Santos Alves
Formatura e Eventos
Jackson Schuelter Wiggers
Logística de Materiais
Jeferson Cassiano Almeida da 
Costa (Coordenador)
José Carlos Teixeira
Eduardo Kraus
Monitoria e Suporte
Rafael da Cunha Lara 
(Coordenador)
Adriana Silveira
Andréia Drewes
Caroline Mendonça
Cláudia Noemi Nascimento
Cristiano Dalazen
Dyego Helbert Rachadel
Edison Rodrigo Valim
Francielle Arruda
Gabriela Malinverni Barbieri
Jonatas Collaço de Souza
Josiane Conceição Leal
Maria Eugênia Ferreira Celeghin
Maria Isabel Aragon 
Priscilla Geovana Pagani 
Rachel Lopes C. Pinto
Tatiane Silva
Vinícius Maykot Serafi m
Relacionamento com o 
Mercado
Walter Félix Cardoso Júnior 
Secretaria de Ensino a 
Distância
Karine Augusta Zanoni 
Albuquerque (Secretária de 
ensino)
Ana Paula Pereira 
Andréa Luci Mandira
Andrei Rodrigues
Carla Cristina Sbardella
Deise Marcelo Antunes
Djeime Sammer Bortolotti 
Franciele da Silva Bruchado
James Marcel Silva Ribeiro
Janaina Stuart da Costa
Jenniff er Camargo
Lamuniê Souza
Liana Pamplona 
Luana Tarsila Hellmann
Marcelo José Soares
Marcos Alcides Medeiros Junior
Maria Isabel Aragon
Olavo Lajús
Priscilla Geovana Pagani
Rosângela Mara Siegel
Silvana Henrique Silva
Vanilda Liordina Heerdt
Vilmar Isaurino Vidal
Secretária Executiva
Viviane Schalata Martins
Tecnologia
Osmar de Oliveira Braz Júnior
(Coordenador)
Jeff erson Amorin Oliveira
Marcelo Neri da Silva
Pascoal Pinto Vernieri
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Apresentação
Este livro didático corresponde à disciplina Tópicos de Matemática Ele-
mentar I.
O material foi elaborado, visando a uma aprendizagem autônoma. Aborda 
conteúdos especialmente selecionados e adota linguagem que facilite seu 
estudo a distância. 
Por falar em distância, isso não signifi ca que você estará sozinho/a. Não 
se esqueça de que sua caminhada nesta disciplina também será acompa-
nhada constantemente pelo Sistema Tutorial da UnisulVirtual. Entre em 
contato, sempre que sentir necessidade, seja por correio postal, fax, tele-
fone, e-mail ou Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem. Nossa equipe terá 
o maior prazer em atendê-lo/a, pois sua aprendizagem é nosso principal 
objetivo.
Bom estudo e sucesso!
Equipe UnisulVirtual. 
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Diva Marília Flemming
Elisa Flemming Luz
Christian Wagner
Palhoça
UnisulVirtual
2006
Design instrucional
Luciano Gamez
Karla Leonora Dahse Nunes
2ª edição revista e atualizada
Tópicos de Matemática 
Elementar I
Livro didático
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510 
F62 Flemming, Diva Marília 
Tópicos de matemática elementar I : livro didático / Diva Marília 
Flemming, Elisa Flemming Luz, Christian Wagner ; design instrucional Lu-
ciano Gamez, Karla Leonora Dahse Nunes. – 2. ed. rev. e atual. – Palhoça : 
UnisulVirtual, 2006.
246 p. : il. ; 28 cm.
Inclui bibliografi a.
ISBN 85-60694-85-4 
ISBN 978-85-60694-85-3
1. Matemática. 2. Cálculo. I. Luz, Elisa Flemming. II. Wagner, Chris-
tian. III. Gamez, Luciano. IV. Nunes, Karla Leonora Dahse. VI.Título. 
Copyright © UnisulVirtual 2006
Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição
Edição - Livro didático
Professores Conteudistas
Diva Maria Flemming
Elisa Flemming Luz
Christian Wagner
Design Instrucional
Luciano Gamez
Karla Leonora Dahse Nunes
ISBN 85-60694-85-4
ISBN 978-85-60694-85-3
Ilustrador
Ricardo Manhaes (TED e MED)
Projeto Gráfi co e Capa
Equipe UnisulVirtual
Diagramação
Daniel Blass
Fernando Roberto Dias Zimmermann
Revisão
B2B
Ficha catalográfi ca elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul
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Sumário
Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Palavras dos professores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
UNIDADE 1 – Conjuntos Numéricos e operações elementares . . . . . . . . 15
UNIDADE 2 – Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
UNIDADE 3 – Funções do primeiro grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
UNIDADE 4 – Funções do segundo grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
UNIDADE 5 – Funções polinomiais e racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
UNIDADE 6 – Funções exponencial e logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
UNIDADE 7 – Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Para concluir o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Sobre os professores conteudistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Respostas e comentários das atividades de auto avaliação. . . . . . . . . . . . . 209
Para destacar
Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
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 Palavras dos professores
Prezado participante do curso
Neste texto apresentamos conteúdos de Matemática relativos à disciplina 
de Tópicos de Matemática Elementar I. Todos os conceitos apresentados 
são considerados básicos para a sua formação inicial e são discutidos a 
partir do ensino fundamental. Vamos ampliar idéias objetivando-se aten-
der as especifi cidades do projeto pedagógico do curso que preconiza a 
inserção sistemática de elementos da História da Matemática.
Considerando-se que o mundo atual exige a formação de um profi ssional 
com competência e habilidades para atuar num contexto informatizado, 
no decorrer deste texto vamos incentivá-lo e orientá-lo para o uso de dife-
rentes recursos tecnológicos.
No ambiente virtual de aprendizagem, você terá a oportunidade de 
desenvolver atividades e leituras objetivando-se a abertura de um olhar 
interdisciplinar. Especifi camente, poderá refl etir sobre aspectos didáticos 
do processo ensino-aprendizagem das funções elementares no contexto 
da Educação Básica.
Considerando que estamos trabalhando no contexto da Educação a Dis-
tância, adotamos uma linguagem coloquial na parte textual, mostrando 
sempre as diferentes linguagens utilizadas pela matemática. Essa escolha 
propiciará o uso de diferentes representações semióticas dos objetos 
matemáticos.
Para fi nalizar, gostaríamos de convidá-lo para ingressar num maravilhoso 
mundo da educação matemática. Lembre-se sempre que, no decorrer 
desta caminhada, a relação didática será dinâmica e virtual, portanto, esta-
remos sistematicamente ao seu lado, basta que “a porta esteja aberta”.
Vamos lá?
Profa. Diva Marília Flemming, Dra.
Profa. Elisa Flemming Luz, Dra.
Prof. Christian Wagner, Msc.
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Plano de estudo
O plano de estudos visa orientar você no desenvolvimento da Disciplina. 
Ele possui elementos que o ajudarão a conhecer o contexto da Disciplina e 
a organizar o seu tempo de estudos. 
O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva em conta ins-
trumentos que se articulam e se complementam, portanto, a construção 
de competências se dá sobre a articulação de metodologias e por meio 
das diversas formas de ação/mediação.
São elementos desse processo:
 Livro didático. 
 O AVA (Ambiente virtual de Aprendizagem). 
 Atividades de avaliação (complementares, a distância e presenciais).
Ementa
Conjuntos numéricos. Operações elementares. Função: conceitos, pro-
priedades, características e representações gráfi cas. Funções elementares: 
polinomiais, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas.
Carga horária
60 horas – 4 créditos
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Objetivos
Geral:
 Discutir e refl etir conceitos básicos da Matemática, oportunizando 
condições para: investigar, observar, analisar, delinear conclusões, 
testando-as na solução de problemas.
Específi cos:
 Compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáti-
cas que permitam desenvolver estudos posteriores e adquirir uma 
formação geral;
 Analisar objetos de estudo a partir de diferentes representações 
semióticas;
 Aplicar conhecimentos matemáticos nas situações do dia-a-dia, 
apoiando no processo de tomada de decisões;
 Desenvolver a capacidade de raciocínio lógico, crítico e Analítico;
 Desenvolver a capacidade de análise e resolução de problemas;
 Utilizar corretamente procedimentos e ferramentas tecnológicas na 
resolução de problemas;
 Desenvolver o espírito de equipe estimulando a pesquisa.
Conteúdo programático/objetivos
Veja, a seguir, as unidades que compõem o Livro Didático desta Disciplina 
e os seus respectivos objetivos. Estes se referem aos resultados que você 
deverá alcançar ao fi nal de uma etapa de estudo. Os objetivos de cada 
unidade defi nem o conjunto de conhecimentos que você deverá possuir 
para o desenvolvimento de habilidades e competências necessárias à sua 
formação.
Unidades de estudo
UNIDADE CONTEÚDO CARGA HORÁRIA (horas-aula)
1 Conjuntos numéricos e operações elementares 8
2 Funções 8
3 Funções do primeiro grau 8
4 Funções do segundo grau 10
5 Funções polinomiais e racionais 8
6 Funções exponencial e logarítmica 8
7 Funções trigonométricas 10
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Unidade 1 – Conjuntos numéricos e operações elementares
Nesta unidade, apresenta-se uma revisão dos conjuntos numéricos, 
ampliando-se as idéias iniciais com conceitos e propriedades operatórias. 
O estudo desta unidade permite, também, iniciar o delineamento da prá-
tica docente no contexto da educação básica.
Unidade 2: Funções
Nesta unidade, as funções são apresentadas como objetos matemáticos e 
como elementos fundamentais para a resolução de problemas do dia-a-
dia. A análise das representações gráfi cas permitirá o desenvolvimento de 
hábitos de boa leitura e visualização de propriedades e características dos 
diferentes tipos de funções.
Unidade 3: Funções do primeiro grau
As funções do primeiro grau serão amplamente discutidas nesta unidade, 
possibilitando a leitura gráfi ca, a modelagem de problemas práticos, a 
resolução de equações e sistemas de equações. Também terá a possibili-
dade de visualizar situações didáticas em diferentes ambientes e níveis de 
ensino.
Unidade 4: Funções do segundo grau
As funções do segundo grau serão discutidas possibilitando aspectos 
interdisciplinares na modelagem de problemas de Física e outras áreas. A 
visualização das propriedades e características das representações gráfi cas 
oportuniza uma nova visão didática do ensino das funções na educação 
básica.
Unidade 5: Funções polinomiais e racionais
Nesta unidade, as funções polinomiais e racionais serão apresentadas em 
diferentes representações (gráfi cas e algébricas). Especifi camente nesta 
unidade, amplia-se a visão dos recursos didáticos para a prática docente 
com o uso de recursos computacionais.
Unidade 6: Funções exponencial e logarítmica
Nesta unidade, amplia-se o conceito de modelagem com o uso das fun-
ções exponenciais e logarítmicas em diferentes tipos de problemas prá-
ticos. O contexto fi nanceiro é destacado com problemas reais de juros e 
crescimento exponencial.
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Unidade 7: Funções trigonométricas
As funções trigonométricas serão discutidas partindo-se da resolução de 
triângulos retângulos. A análise das representações gráfi cas dará a opor-
tunidade de resgatar os conceitos de domínio, imagem, periodicidade 
dentre outros. 
Agenda de atividades/ Cronograma 
 Verifi que com atenção o “AVA”, organize-se para acessar periodica-
mente o espaço da Disciplina. O sucesso nos seus estudos depende 
da priorização do tempo para a leitura, da realização de análises e 
sínteses do conteúdo e da interação com os seus colegas e tutor. 
 Não perca os prazos das atividades. Registre no espaço a seguir as 
datas com base no cronograma da disciplina disponibilizado no 
AVA.
 Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao 
desenvolvimento da Disciplina.
Atividades
Avaliação a Distância 1
Avaliação a Distância 2
Avaliação a Distância 3
Avaliação a Distância 4
Avaliação Presencial 1
Avaliação Presencial 2 (2ª. chamada)
Avaliação Final (caso necessário)
Demais atividades (registro pessoal)
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Conjuntos Numéricos e
Operações Elementares 1
 Objetivos de aprendizagem
 Identifi car conjuntos numéricos em diferentes situações 
problemas.
 Desenvolver procedimentos operatórios que envolvem os 
números reais.
 Aplicar propriedades dos números reais na resolução de 
problemas.
 Seções de estudo
 Seção 1 – Introdução
 Seção 2 – Conjuntos numéricos
 Seção 3 – Adição e subtração com números reais
 Seção 4 – Multiplicação e divisão com números reais
 Seção 5 – Resolução de equações
UNIDADE 1
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Universidade do Sul de Santa Catarina
16
 Para início de conversa
Você deve lembrar que na sua formação escolar foi preciso aprender a 
“fazer contas”. Muitos algoritmos foram apresentados e discutidos. 
Você lembra, por exemplo, como calcular a raiz quadrada de 2132?
Quase todos esquecem! E, nos dias de hoje, com os recursos tecnológicos, 
podemos de forma rápida responder essa pergunta, basta ter uma calcula-
dora na mão.
Você vai poder relembrar os conjuntos numéricos e vários procedimentos 
operatórios no decorrer desta unidade. Afi nal, você será um futuro profes-
sor de matemática!
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Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1 17
SEÇÃO 1
Introdução
O conceito de número é uma das idéias mais primitivas da humanidade e, 
por incrível que pareça, já nascemos com ela. Um bebê entre seis e doze 
meses já assimila agrupamentos de seres e objetos. Já consegue reunir 
num único grupo objetos análogos e percebe se falta algo a um desses 
conjuntos familiares. Por exemplo, se você entrega ao bebê nesta idade 
4 brinquedos e, sem que ele perceba, retira dois deles, certamente ele 
sentirá falta. Não que já saiba contar, mas porque já possui uma noção de 
número em sua formação individual.
Para fi ns de padronização, criou-se uma notação comum para representar 
os números. Utiliza-se os algarismos hindu-arábicos:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Apesar de ouvirmos sons diferentes, dependendo do idioma, se não hou-
vesse uma padronização, imagine a confusão que seria!
Olhando o passado!
Já há algum tempo, sabe-se que determinadas espécies de animais também 
são dotadas de um tipo de percepção direta sobre os números. Inúmeras ex-
periências demonstraram que os rouxinóis, as pegas e os corvos eram capazes 
de distinguir quantidades concretas de um a quatro. Veja o caso do corvo: 
“Um castelão decidiu matar um corvo que fez seu ninho na torre do castelo. Já tentara 
várias vezes surpreender o pássaro, mas ao se aproximar, o corvo deixava o ninho, 
instalava-se numa árvore próxima e só voltava quando o homem saía da torre. Um 
dia, o castelão recorreu a uma artimanha: fez entrar dois companheiros na torre. 
Instantes depois, um deles desaparecia, enquanto o outro fi cava. Mas, em vez de cair 
nesse golpe, o corvo esperava a partida do segundo para voltar a seu lugar. Da próxi-
ma vez ele fez entrar três homens, dos quais dois se afastaram em seguida: o terceiro 
pôde então esperar a ocasião para pegar o corvo, mas a esperta ave se mostrou ainda 
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Universidade do Sul de Santa Catarina
18
mais paciente que ele. Nas tentativas seguintes, recomeçou-se a experiência com 
quatro homens, sempre sem resultado. Finalmente, o estratagema teve sucesso com 
cinco pessoas, pois o corvo não conseguia reconhecer mais que quatro homens ou 
quatro objetos...” (Extraído de: IFRAH, Georges. Os números: história de uma gran-
de invenção. 8. ed. São Paulo: Globo, 1996. p. 20.)
SEÇÃO 2
Conjuntos numéricos
A noção de conjunto é conhecida desde o início dos tempos. Ao invés de 
usar símbolos para representar os números, utilizava-se a comparação de 
conjuntos.
A noção matemática de conjunto é praticamente a 
mesma que se usa na linguagem informal: é o mesmo 
que agrupamento, classe ou coleção.
Você pode formar muitos conjuntos. Se você for colecionador de alguma 
coisa, a sua coleção fará parte de um conjunto. 
Veja como é possível escrever o conjunto formado 
pelos estados brasileiros localizados na região sul:
A = {Paraná, Santa Catarina, Rio Grande do Sul}.
Ou ainda, o conjunto dos números pares positivos:
B = {2, 4, 6, 8, 10, ...}.
Nesta disciplina o que irá lhe interessar são os conjuntos formados por 
números ou os conjuntos numéricos. Em especial, o conjunto dos núme-
ros reais, que irá embasar o estudo dos diferentes tipos de funções. Então, 
veja como se chegou até estes números reais!
 Pare! Revise!
O conjunto A é dito fi nito, 
pois possui 3 elementos, já 
o conjunto B é dito infi nito 
pois possui um número infi-
nito de elementos.
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Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1 19
a) Conjunto dos números naturais
Neste conjunto numérico encontram-se os primeiros números conhecidos 
pela humanidade. Sua representação é dada por:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}.
Perceba que este é um conjunto infi nito pois é possível sempre acrescen-
tar uma unidade a cada número para que se obtenha um sucessor.
Olhando o passado! 
O número zero tem uma história interessante. Em 662 d.C. o bispo sírio 
 Severus Sebort referiu-se aos nove sinais, num trabalho público, mas não 
fazia referência ao zero. 
O zero surgiu posteriormente e não se sabe muito sobre a sua origem. Dizem 
que a sua origem está no mundo grego.
Sua forma se deve aos maias (olho meio aberto), hindus (ovo de ganso) ou 
aos gregos (letra grega ômicron que é a primeira da palavra Ouden que signi-
fi ca vazio).
b) Conjunto dos números inteiros
Olhando o presente!
Veja o seguinte problema:
P1 Um trabalhador assalariado possui uma conta no banco. No mês 
de julho ele se perdeu nas contas e acabou gastando mais do que 
deveria. Quando imprimiu o seu extrato, percebeu que o saldo era de 
R$130,00 D. O que isto signifi ca?
Este problema pode mostrar a importância dos números inteiros. 
Veja porquê! 
Nos extratos bancários a letra C indica crédito e a letra D indica débito. 
Isto signifi ca que na conta, havia 130 reais negativos, ou seja, –R$130,00, 
estava faltando R$130,00.
Veja como é importante o estudo dos números não positivos ou negati-
vos. Desde a época em que o comércio passou a fazer parte da sociedade, 
inicialmente com o sistema de trocas até que se instituísse uma moeda, a 
noção de números negativos já é amplamente utilizada.
 Pare! Revise!
Quando utilizamos a notação 
N* representamos a exclusão 
do zero:
N* = {1, 2, 3, 4, 5,...}.
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Universidade do Sul de Santa Catarina
20
Para representar estes números, usa-se o conjunto numérico chamado de 
conjunto dos números inteiros:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.
c) Conjunto dos números racionais
Além dos números naturais e inteiros, perceba que em seu dia-a-dia você 
utiliza também números fracionários. Ao comer uma fatia de um bolo divi-
dido em 8 partes iguais, por exemplo, além da água na boca, você pode 
dizer que estará comendo uma parte do todo. Estará comendo 1
8
 do bolo.
No sistema monetário usa-se funções decimais do real. Por exemplo:
 R$ 0,50 – cinqüenta centavos é a metade de um real
 R$ 0,25 – vinte e cinco centavos representa 1
4
 de um real.
Olhe para uma régua e perceba a existência de números entre os números 
inteiros que você já estudou. Entre 0 e 1 temos, por exemplo, 1
2
 ou entre 
3 e 4 o número 3,25.
As frações são representadas na forma m
n
, n ≠ 0, m, n ∈ Ζ e formam o con-
junto dos números racionais , denotado por:
Q = { x | x = m
n
, m, n ∈ Ζ e n ≠ 0}.
Veja alguns exemplos:
3
4
 10
7
 −
1
2
 9
5
.
topicos_de_matematica_elementar_20 20topicos_de_matematica_elementar_20 20 17/12/2007 09:41:1217/12/2007 09:41:12
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1 21
Veja como se faz a leitura de frações:
1
2
Um meio
1
8
Um oitavo
1
3
Um terço
1
9
Um nono
1
4
Um quarto
1
10
Um décimo
1
5
Um quinto
1
11
Um onze avos*
1
6
Um sexto
1
12
Um doze avos
1
7
Um sétimo
1
20
Um vigésimo
*Avos é um substantivo masculino empregado na leitura de frações que pos-
suem denominador maior que dez.
Toda a fração pode ser escrita em uma forma decimal. 
Veja como se faz:
1
2
 = 0,5 
3
4
 = 0,75 
1
3
 = 0,3333... 
2
7
 = 0,285714285714...
Olhando o presente!
Veja o seguinte problema:
P2 Em um restaurante um garçom só sabia dividir uma pizza em 
10 fatias iguais. Se Mário comeu a metade da pizza e sua namorada 
comeu 1
5
 quantas fatias sobraram?
Para saber quantas fatias sobraram, veja como é possível raciocinar:
 Se Mario comeu a metade da pizza, então ele comeu a metade de 
10 fatias, ou seja, 10
2
 = 5 fatias.
 Sua namorada comeu 
1
5
 da pizza, então ela comeu 1
5
 de 10 fatias, 
ou seja, ( 1
5
 de 10) = 10
5
 = 2 fatias.
Assim, Mario e sua namorada comeram juntos 5 + 2 = 7 fatias.
Portanto, sobraram 10 – 7 = 3 fatias.
 Pare! Observe!
Algumas frações possuem 
representação decimal exata 
e outras uma representação 
decimal periódica.
São dízimas 
periódicas:
51
99
 = 0,5151515151...
31
90
 = 0,3444444444...
São decimais exatas:
1
5
 = 0,2
20
4
 = 5
Para encontrar a forma 
decimal você pode realizar as 
divisões no papel ou mesmo 
em uma calculadora.
 Pare! Observe!
Todos os números inteiros 
são também números racio-
nais pois podem ser escritos 
na forma de uma fração. 
Veja:
4 = 4
1
 7 = 
7
1
topicos_de_matematica_elementar_21 21topicos_de_matematica_elementar_21 21 17/12/2007 09:41:1317/12/2007 09:41:13
Universidade do Sul de Santa Catarina
22
Olhando o passado!
Diofanto foi um matemático que viveu em Alexandria no século III. Pouco se 
sabe sobre a sua vida, mas existe uma charada que, dizem, teria sido gravada 
em seu túmulo: “Aqui jaz o matemático que passou um sexto da sua vida 
como menino. Um doze avos da sua vida passou como rapaz. Depois viveu 
um sétimo da sua vida antes de se casar. Cinco anos após nasceu seu fi lho, 
com quem conviveu metade da sua vida. Depois da morte de seu fi lho, sofreu 
mais 4 anos antes de morrer.” Você sabe quantos anos viveu Diofanto? 
Fonte: http://www.exatas.hpg.ig.com.br/curiosidades.htm.
d) Conjunto dos números reais
Para defi nir o conjunto dos números reais, é necessário considerar os 
números que não podem ser escritos na forma de m
n
 com n ≠ 0 e m, n ∈ Ζ. 
Estes números formam o conjunto dos números irracionais, que pode ser 
escrito pela letra Q .
São exemplos de números irracionais:
π = 3,141592653... e = 2,718281828... 2 = 1,41...
É comum dizer que o conjunto dos números reais é o 
resultado da união do conjunto dos números racionais 
com o conjunto dos números irracionais.
Os números reais são representados geometricamente por uma reta 
numerada, denotada por reta real.
topicos_de_matematica_elementar_22 22topicos_de_matematica_elementar_22 22 17/12/2007 09:41:1417/12/2007 09:41:14
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1 23
Olhando o passado!
Você não imagina a consternação no seio dos pitagóri-
cos quando descobriram a existência de grandezas que 
não guardam entre si uma relação de inteiro para intei-
ro. Isto aconteceu quando verifi caram a impossibilida-
de de mensurar (ou medir) a diagonal de um quadrado 
de lado igual a 1 unidade de comprimento. 
Acredita-se que os pitagóricos guardaram este segredo por muitos anos, 
pois esta constatação signifi cava a existência de seres disformes no seu 
mundo regido pelos números. Hoje já se sabe que este ser disforme é a 
raiz quadrada de dois. 
O número Pi
A história do número π está ligada à história da vida de muitos matemá-
ticos da Antigüidade. Que tal relembrar, para sermos justos, do nome de 
Arquimedes, famoso matemático e astrônomo que nasceu em Siracusa, 
mais ou menos 287 a.C. 
No tempo de Arquimedes muitos estudiosos já sabiam 
que o comprimento de uma circunferência é igual a um 
número um pouco maior que 3 vezes o seu diâmetro.
Existe o registro histórico de várias tentativas para encontrar o valor exato 
desse número um pouco maior que 3, que hoje é conhecido como número 
Pi, simbolizado por π.
Vários métodos geométricos demonstram 
que o valor do Pi é π = 3,141592653...
Você pode encher a tela do seu computador com as casas decimais do 
número Pi.
O número e
A origem do número e está associada à origem dos logaritmos. As tábuas 
de logaritmos foram inventadas para facilitar os cálculos, pois ao se usar 
logaritmos consegue-se reduzir multiplicações e divisões em simples 
topicos_de_matematica_elementar_23 23topicos_de_matematica_elementar_23 23 17/12/2007 09:41:1517/12/2007 09:41:15
Universidade do Sul de Santa Catarina
24
adições e subtrações. É usual falar “número neperiano” em homenagem 
ao matemático John Napier, uma vez que este, em 1614, apresentou uma 
maneira prática para defi nir o logaritmo de e.
Além de servir de base para um sistema de logaritmos, o número e é um 
número útil em toda a Matemática e ciências afi ns. Por exemplo, é muito 
usado na Economia, Estatística, Probabilidades etc.
Nos dias de hoje, não se usa as tábuas de logaritmos porque as calcula-
doras fazem todos os cálculos. No entanto, não se pode dispensar esse 
número de nossas vidas. Vários fenômenos são modelados por uma fração 
que envolve o número e, como por exemplo, o crescimento populacional 
e o aumento de capital e juros.
Nas próximas unidades você vai ouvir falar muito sobre o número e!
e = 2,718281828...
e) Conjunto dos números complexos
Você acha seu nome bonito? Todas as pessoas que você conhece acham 
o seu nome bonito? O nome de batismo de uma pessoa pode não ser 
bonito, mas não causa “mal entendido” porque ele tem um único signifi -
cado.
Muita gente não aceita o termo “número imaginário” ou “número com-
plexo” tal como é usado em matemática. E isto causa um mal entendido! 
Entretanto, é importante lembrar:
Quando uma palavra é defi nida precisamente e tem ape-
nas um signifi cado, não há mais razões para criticar seu 
uso.
Logo, um número imaginário ou complexo é uma idéia matemática precisa.
topicos_de_matematica_elementar_24 24topicos_de_matematica_elementar_24 24 17/12/2007 09:41:1517/12/2007 09:41:15
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1 25
Olhando o passado! 
Cardano, um grande matemático do século XVI, foi o primeiro a reconhecer 
a verdadeira importância desses números. Na sua obra “Ars Magna” discute a 
Álgebra e dá especial atenção às raízes negativas de uma equação e ao cálculo 
com números complexos.
O conjunto dos números complexosé formado por todos os números 
reais e pelas raízes negativas, podendo ser representado por:
C = { z | z = (a,b), a, b ∈ R }
Em geral os números complexos são discutidos inicialmente na forma 
 algébrica:
z = −4 = 2i = 0 + 2i = (0,2)
z = 2 + −9 = 2 + 3i = (2,3)
Ao olhar para o par ordenado (a,b) torna-se simples visualizar a parte real 
e a parte complexa ou imaginária do número complexo:
 a é a parte real;
 b é a parte imaginária.
Nas próximas seções você irá revisar as operações com os números reais, 
sendo enfatizado diferentes representações, algoritmos e métodos de tra-
tamento adequados a cada situação identifi cada.
SEÇÃO 3
Adição e subtração de números reais
Para discutir as operações de adição e subtração com números reais, veja 
inicialmente algumas propriedades:
Comutativa a ± b = b ± a
Associativa (a ± b) ± c = a ± (b ± c)
Elemento Neutro a + 0 = 0 + a = a
0 é o elemento neutro da adição.
 Pare! Revise!
Lembre-se que i = −1 .
Assim, tem-se que:
i × i = – 1
i2 = – 1
( )− 21 = –1.
 Pare! Observe!
( )− = −
= =
2
21 ( 1)
1 1 
está incorreto.
topicos_de_matematica_elementar_25 25topicos_de_matematica_elementar_25 25 17/12/2007 09:41:1517/12/2007 09:41:15
Universidade do Sul de Santa Catarina
26
Nos próximos exemplos você poderá aplicar estas propriedades em situa-
ções que envolvam a adição e a subtração com números reais.
 Exemplos
1) Efetuar as seguintes operações:
(a) 
+
+ = =
2 4 10 12 22
3 5 15 15
(b) 
+
+ = =
1 10 7 20 27
2 7 14 14
(c) 
+
+ = =
1 2 1 6 7
9 3 9 9
Perceba que esta mesma operação pode ser feita usando-se uma 
calculadora. O resultado que aparece no visor vai depender da con-
fi guração e potencialidades de sua calculadora. Por exemplo, você 
pode visualizar:
0,7777
0,777777
0,77777777
0,77777777778.
(d) +20 45
Com uma calculadora, é possível determinar os valores aproxima-
dos para 20 e 45 :
20 ≅ 4,472135955
45 ≅ 6,708203932
+20 45 ≅ 11,180339887
O cálculo é aproximado e o número de casas decimais depende de 
cada tipo de calculadora. É possível resolver esta adição usando pro-
priedades da radiciação. Na unidade 6 você verá um breve resumo 
de algumas destas propriedades.
 Pare! Observe!
É possível estabelecer uma 
regra prática para calcular 
a adição ou subtração com 
números fracionários. Consi-
dere as expressões 
a
b
 e 
c
d
 
escritas de forma que b e d 
são diferentes de zero:
a c ad bc
b d bd
±
± =
topicos_de_matematica_elementar_26 26topicos_de_matematica_elementar_26 26 17/12/2007 09:41:1617/12/2007 09:41:16
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1 27
(e) 
3
4
 – 0,3 = 0,75 – 0,3 = 0,45.
Perceba que o número fracionário foi escrito em sua forma decimal 
para que a operação fosse realizada. 
Uma outra opção é escrever o número decimal como um número 
fracionário:
−
− = − = = = =
3 3 3 30 12 18 9
0,3 0, 45.
4 4 10 40 40 20
(f ) − −− = =
1 2 3 10 7
5 3 15 15
.
(g) –0,2 + 0,37 = 0,37 – 0,2 = 0,17.
2) Um mergulhador passou da profundidade de –6 m para –4 m. Neste 
caso, ele subiu ou desceu? Quantos metros?
Perceba que o número –6 é menor que o número –4. Assim, quando o 
mergulhador passa de –6m para –4m ele aumenta duas unidades.
Isto signifi ca que ele subiu 2m pois –6m é mais fundo que –4m.
3) Imagine 3 pizzas de mesmo tamanho, cortadas de formas diferentes: 
a primeira em duas partes, a segunda em quatro partes e a terceira em 
seis partes. Se Joana come um pedaço de cada uma, ao todo, quanto terá 
comido?
Para saber quanto Joana comeu, é possível representar cada pedaço 
usando números fracionários:
• 1 pedaço da primeira pizza (cortada em duas partes) = 
1
2
;
• 1 pedaço da segunda pizza (cortada em quatro partes) = 
1
4
;
• 1 pedaço da terceira pizza (cortada em seis partes) = 
1
6
.
Podemos escrever,
.
Assim, Joana comeu , ou quase uma pizza inteira!!
topicos_de_matematica_elementar_27 27topicos_de_matematica_elementar_27 27 17/12/2007 09:41:1617/12/2007 09:41:16
Universidade do Sul de Santa Catarina
28
4) Um bondoso homem doou 1
5
 da sua fortuna para menores carentes, e 2
3
 
para um asilo de idosos. 
(a) Que fração de suas posses ele doou?
Ele doou 
+
+ = =
1 2 3 10 13
5 3 15 15
.
(b) Que fração sobrou?
Se ele doou 13
15
, então sobrou um inteiro menos esta fração:
−
− = − = =
13 1 13 15 13 2
1
15 1 15 15 15
.
As operações de adição e subtração são utilizadas em inúmeras aplicações 
que envolvem a modelagem matemática. Na próxima seção você poderá 
revisar as operações de multiplicação e divisão dos números reais.
SEÇÃO 4
Multiplicação e divisão de números reais
Assim como nas operações de adição e subtração, veja algumas proprie-
dades da multiplicação:
Comutativa a × b = b × a
Associativa (a × b) × c = a × (b × c)
Elemento Neutro a × 1 = 1 × a = a
1 é o elemento neutro da mul-
tiplicação.
topicos_de_matematica_elementar_28 28topicos_de_matematica_elementar_28 28 17/12/2007 09:41:1717/12/2007 09:41:17
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1 29
 Perceba que as propriedades listadas não são válidas para a divisão
Imagine que dois amigos foram pescar no Pantanal. Em determinado 
momento, cansados de esperar, eles conversam:
— Esses peixes são muito espertos. Foi a terceira vez que nós dois não 
pegamos nenhum.
— Nosso saldo está devedor. Já gastamos 6 iscas.
Como representar esta situação matematicamente?
(+3) × (–2) = –6
Outras situações poderiam ser modeladas por outras multiplicações. 
Por exemplo: 
(+3) × (+2) = +6
(–3) × (–2) = +6
(–3) × (+2) = –6
topicos_de_matematica_elementar_29 29topicos_de_matematica_elementar_29 29 17/12/2007 09:41:1717/12/2007 09:41:17
Universidade do Sul de Santa Catarina
30
Observando essas operações é possível escrever:
Números de sinais diferentes apresentam resultado 
negativo e números de sinais iguais apresentam resul-
tado positivo.
Resumindo simbolicamente as regras de sinais:
Divisão Multiplicação
(+) ÷ (+) = (+) (+) × (+) = (+)
(–) ÷ (+) = (–) (–) × (+) = (–)
(+) ÷ (–) = (–) (+) × (–) = (–)
(–) ÷ (–) = (+) (–) × (–) = (+)
Olhando o presente!
Veja o seguinte problema.
P3 Durante seis dias a temperatura de uma certa região esteve 
abaixo de zero, variando entre –18oC. Sabendo-se que a temperatura 
baixou o mesmo número de graus em cada dia, quantos graus teria 
abaixado por dia?
Para modelar esta situação, é possível escrever:
(–18) ÷ (+6) = (–3)
Isto signifi ca que a temperatura baixou 3oC por dia, 
até que chegasse a –18oC.
Veja a regra prática para a multiplicação que 
envolve frações, sendo b e d números diferentes 
de zero:
a c a c
b d b d
⋅
⋅ =
⋅
 Pare! Revise!
Quando uma divisão 
tem resto zero, trata-
se de uma divisão 
exata. Por exemplo, 
12 ÷ 6 = 2. 
Isto é verdade, pois 
2 × 6 = 12. 
Da mesma forma, 
35 ÷ 5 = 7, pois 
7 × 5 = 35.
topicos_de_matematica_elementar_30 30topicos_de_matematica_elementar_30 30 17/12/2007 09:41:1717/12/2007 09:41:17
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1 31
 Exemplos
1) Resolver as operações indicadas:
(a) 
⋅
⋅ = =
⋅
1 1 1 1 1
4 3 4 3 12
 (d) 0,25 × 1,3 = 0,325
(b) 
− ⋅− −
⋅ = =
⋅
5 1 5 1 5
8 4 8 4 32
 (e) 0,721 × 3,69 = 2,66049
(c) 
⋅
⋅ = = =
⋅
1 10 1 10 10
1
2 5 2 5 10
2) Se 350 corresponde ao valor total, calcule 
1
2
 e 
3
5
 deste valor.
Para resolver este problema multiplique o valor total por suas frações:
1
2
 de 350 → 1
2
·350 = 
350
2
 = 175
3
5
 de 350 → 3
5
·350 = 1050
5
 = 210.
3) Um bolo foi dividido em partes iguais entre sete pessoas. Uma pessoa 
comeu metade da sua fatia. Quanto do bolo ela comeu?
Uma (1) fatia representa a sétima parte do bolo ou 
1
7
.
A metade de 1 fatia representa 
1
14
 do bolo, ou 
1
7
 × 
1
2
 = 
1
14
.
Assim, a pessoa comeu 
1
14
 do bolo.
4) Se no bolo do problema anterior, dividido entre 7 pessoas, cada pedaço 
custasse R$ 0,80, quanto custariam três pedaços do bolo?
1 pedaço do bolo → 1
7
 → R$ 0,80
3 pedaços do bolo → 3
7
 → 3 × R$ 0,80 = R$ 2,40
Logo, três pedaços do bolocustariam R$2,40. 
topicos_de_matematica_elementar_31 31topicos_de_matematica_elementar_31 31 17/12/2007 09:41:1817/12/2007 09:41:18
Universidade do Sul de Santa Catarina
32
Olhando o passado! 
Matemático tem cada idéia!
Veja o problema histórico criado para justifi car a regra de sinais 
(–) × (–) = (+).
“Eu tinha 3 dívidas, todas de 4 moedas de ouro. Mas, as pessoas para quem eu 
devia morreram. Perdi 3 vezes a dívida de 4 moedas. Assim, fi quei 12 moedas 
mais rico”. “perdi 3 vezes a dívida de 4 moedas” → (–3) × (–4) = (12).
Quando você realiza a divisão de duas frações está multiplicando a pri-
meira fração pelo inverso da segunda.
 Exemplos
Resolver as operações indicadas:
(a) 
⋅
÷ = ⋅ = =
⋅
2 5 2 4 2 4 8
3 4 3 5 3 5 15
(b) ⋅= ⋅ = =
⋅
1
1 5 1 5 52
3 2 3 2 3 6
5
(c) − − ⋅− −÷ = ⋅ = =
⋅
5 5 5 6 5 6 30
9 6 9 5 9 5
÷5
45
÷
−
=5
6
÷3
9
÷ = −3
2
3
Após tratar das operações de multiplicação e divisão com números reais, 
é possível introduzir um importante conceito, utilizado em diversas situa-
ções de nosso dia-a-dia: a porcentagem.
É comum você se deparar com expressões do tipo:
 a infl ação no último mês foi de 4% (quatro por cento);
 promoção: descontos de 30% à vista;
 o índice da bolsa em São Paulo está em queda de 0,2%.
 Pare! Revise!
Você não pode fazer uma 
divisão por zero. Por exem-
plo, não é possível dividir 
dois por zero (2 ÷ 0), pois se 
2 ÷ 0 = x, então 
x · 0 = 2. 
Não existe número que 
multiplicado por zero seja 
igual a 2.
topicos_de_matematica_elementar_32 32topicos_de_matematica_elementar_32 32 17/12/2007 09:41:1817/12/2007 09:41:18
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1 33
 Mas o que isso signifi ca?
A porcentagem é uma forma de comparar números usando a proporção 
direta. É o valor obtido quando se aplica uma razão centesimal a um valor. 
Como o nome já diz é por 100 ou sobre 100.
Em linguagem algébrica a porcentagem de um número a, à razão 
x
100
 é:
x
100
× a.
Indica-se a expressão: 
x
100
 por x %.
Para entender melhor, veja a aplicação deste conceito nos exemplos 
abaixo apresentados.
 Exemplos
1) Calcule 10% de 500.
A razão centesimal é dada por 10% = 
10
100
. Portanto, 
10% de 500 → 10
100
·500 = 
5000
100
 = 50.
2) Calcule 25% de 210.
Neste caso, a razão centesimal é dada por 25%= 
25
100
. Portanto,
25% de 210 → 25
100
·210 = 
5250
100
 = 52,5
3) Qual a taxa porcentual de 3 sobre 4?
Equacione a taxa indicada como
x
100
 = 
3
4
4x = 3·100
4x = 300
x = 
300
4
 → Então a taxa é de 75%.
topicos_de_matematica_elementar_33 33topicos_de_matematica_elementar_33 33 17/12/2007 09:41:1917/12/2007 09:41:19
Universidade do Sul de Santa Catarina
34
4) Uma loja divulga uma promoção de 10% sobre o preço de suas merca-
dorias vendidas à vista. Se uma camisa custa R$90,00, qual será o seu valor 
com o desconto?
O desconto de 10% será sobre o valor de R$ 90,00. Assim teremos:
10% de 90 → 10
100
·90 = 
900
100
 = 9.
Isto signifi ca que a camisa custará R$ 9,00 a menos. Portanto, o preço a 
ser pago é de R$ 90,00 – R$ 9,00 = R$ 81,00.
Parada recreativa
Você lembra do matemático Diofanto? Que tal calcular quantos anos ele 
tinha quando morreu? Veja o que estava em seu túmulo:
“Aqui jaz o matemático que passou um sexto da sua vida 
como menino. Um doze avos da sua vida passou como 
rapaz. Depois viveu um sétimo da sua vida antes de se 
casar. Cinco anos após nasceu seu fi lho, com quem con-
viveu metade da sua vida. Depois da morte de seu fi lho, 
sofreu mais 4 anos antes de morrer.”
Vamos identifi car por V o tempo de vida de Diofanto, medido em anos. 
O tempo de vida de Diofanto é a soma de cada uma das frações indicadas. 
Assim, temos:
V V V V
V = + + + + +5 4
6 12 7 2
.
Resolvendo a soma de frações, teremos:
V V V V
V
V V V V V
V V V V V
V
V
+ + + − = −
+ + + − = −
+ + + −
= −
−
= −
=
9
6 12 7 2
9
6 12 7 2 1
14 7 12 42 84
9
84
9
9
84
84
topicos_de_matematica_elementar_34 34topicos_de_matematica_elementar_34 34 17/12/2007 09:41:1917/12/2007 09:41:19
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1 35
Determinando o valor de V, é possível saber que Diofanto viveu 84 anos. 
Veja na tabela abaixo a divisão destes 84 anos:
Menino
84
6
 = 14 anos Até 14 anos
Rapaz
84
12
 = 7 anos 14 aos 21 anos
Antes de casar
84
7
 = 12 anos 21 aos 33 anos
Filho nasceu 5 anos depois de casar 33+5 = 38 anos
Conviveu com o fi lho
84
2
 = 42 anos 38 aos 80 anos
Morreu 4 anos depois da morte fi lho 80+4 = 84 anos
SEÇÃO 5
Resolução de equações
Quando você está diante de um problema, pode resolvê-lo usando mais 
de um caminho ou estratégia. Se o problema requer o uso de objetos 
matemáticos, a solução pode ser obtida a partir do envolvimento de algo-
ritmos numéricos, resolução de equações ou sistemas de equações. Para 
cada situação, usa-se a ferramenta matemática adequada que poderá ser 
simples ou de nível mais complexo, como é o caso de derivadas e integrais 
(objetos matemáticos não estudados nesta disciplina).
Os problemas considerados da área econômica, em geral, são modelados 
através de expressões algébricas resultando em fórmulas práticas. Ao 
aplicar os dados, você fi ca diante de uma equação ou de um sistema de 
equações. É importante que neste momento você faça uma breve revisão 
sobre a resolução de equações do 1o e 2o graus, pois estes conceitos serão 
amplamente aplicados no estudo das funções nas próximas unidades.
Equação do 1o grau
A resolução de uma equação do 1o grau consiste na determinação da 
incógnita x, “isolando-a” em um dos lados da igualdade. Para tal, você pre-
cisa relembrar dois princípios:
 Pare! Revise!
É usual utilizar letras para 
representar os valores que 
uma variável pode assumir. 
É comum, de forma mais 
tradicional, usar o termo 
incógnita para expressar o 
valor que é desconhecido e 
se procura saber.
topicos_de_matematica_elementar_35 35topicos_de_matematica_elementar_35 35 17/12/2007 09:41:1917/12/2007 09:41:19
Universidade do Sul de Santa Catarina
36
 Princípio aditivo da igualdade: adicionando (ou subtraindo) aos 
dois membros de uma igualdade o mesmo número, a igualdade 
não se altera. Em outras palavras, ao passar um número que está 
somando (ou subtraindo) para o outro lado da igualdade, deve-se 
inverter seu sinal.
 Princípio multiplicativo da igualdade: multiplicando (ou divi-
dindo) os dois membros de uma igualdade pelo mesmo número, a 
igualdade não se altera. Em outras palavras, um número que está 
multiplicando passa para o outro lado da igualdade dividindo; já 
um número que está dividindo passa para o outro lado da igual-
dade multiplicando.
 Exemplos
1) Determinar o valor da incógnita x das seguintes equações do 1o grau:
(a) 8x + 4 = 12
8x = 12 – 4
8x = 8
x = 
8
8
x = 1
(b) –3x + 4 = –3
–3x = –3 –4
–3x = –7
x = 
−
−
7
3
x = 
7
3
(c) 
2
7
x –3 = 5
2
7
x = 5 + 3
2
7
x = 8
 x = 8·
7
2
 x = 
56
2
 x = 28
topicos_de_matematica_elementar_36 36topicos_de_matematica_elementar_36 36 17/12/2007 09:41:2017/12/2007 09:41:20
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1 37
2) O testamento de um moribundo impõe que se sua esposa, que 
está grávida, tiver um fi lho, este herdará 3
4
 e a viúva 1
4
 dos bens; mas 
se nascer uma fi lha, esta herdará 7
12
 e a viúva 5
12
 dos bens. Como devem 
ser divididos os bens no caso de nascer um casal de gêmeos?1
Este é um problema discutido na Idade Média e tem origem romana. A 
solução considerada viável faz uma suposição satisfatória pois, rigorosa-
mente, não se poderia solucioná-lo visto que não se conhece o critério 
adotado pelo moribundo, no caso de fi lhos gêmeos (poderia, por exemplo, 
ser uma escolha aleatória).
A sugestão de solução considera que o moribundo queria deixar:
 para um fi lho o valor equi-
valente ao triplo do valor da 
viúva pois:
3
4
 = 3 × 
1
4
 para uma fi lha o valor equi-
valente a 7
5
 do valor da viúva 
pois:
7
12
 = 
7
5
 × 
5
12
Assim, é possível escrever a equação:
x + 3x + 
7
5x = 1.
Considerando-se que a herança foi repartida para 3 pessoas (viúva, fi lho e 
fi lha), e mantendo-se a proporcionalidade inicialmente proposta, na equa-
ção o valor de x representa a parte da viúva.
Para resolver a equação, é possível aplicar os princípios enunciados para a 
resolução de uma equação do 1o grau. Veja:
x x x
x x x
x
x
x
+ + =
+ +
=
=
=
=
7
3 1
5
5 15 7
1
5
27
1
5
27 5
5
.
27
1 Problema extraído de EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas: 
UNICAMP, 1995, p. 314.
topicos_de_matematica_elementar_37 37topicos_de_matematica_elementar_37 37 17/12/2007 09:41:2017/12/2007 09:41:20
Universidade do Sul de Santa Catarina
38
Assim, a solução pode ser resumida da seguinte forma:
 A viúva receberá 
5
27
 dos bens, o que corresponde a 18,51% do total.
 O fi lho recebe o triplo de 
5
27
 → 3 × 5
27
 = 15
27
 dos bens, o que corres-
ponde a 55,56% do total.
 A fi lha recebe 
7
5
 de 5
27
 → 7
5
 × 5
27
 = 7
27
 dos bens, o que corresponde 
a 25,93% do total.
Equação do 2o grau
Para resolver uma equação do segundo grau é preciso utilizar algumas 
regras gerais que foram criadas para auxiliar nestes cálculos. A fórmula 
mais conhecida é a fórmula de Báskara:
b b b a c
x
a a
b b a c
x
a
b b a c
x
a
− ± ∆ − ± − ⋅ ⋅
= =
⋅ ⋅
− + − ⋅ ⋅
=
⋅
− − − ⋅ ⋅
=
⋅
2
2
1
2
2
4
2 2
4
2
4
2
 Exemplos
1) Resolver as equações do 2o grau.
a) 2x2 + 5x – 3 = 0
x
x
x
− ± − ⋅ ⋅−
=
⋅
− +
= = =
− − −
= = = −
2
1
2
5 5 4 2 3
2 2
5 7 2 1
4 4 2
5 7 12
3
4 4
topicos_de_matematica_elementar_38 38topicos_de_matematica_elementar_38 38 17/12/2007 09:41:2117/12/2007 09:41:21
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1 39
b) 16 – x2 = 0
x
x
x
− ± − ⋅− ⋅ ± ±
= = =
⋅− − −
= = −
−
−
= =
−
2
1
2
0 0 4 1 16 0 64 8
2 1 2 2
8
4
2
8
4
2
2) Encontrar o preço de equilíbrio e a respectiva quantidade para as fun-
ções de demanda e oferta, sendo x a quantidade e y o preço
x2 + 5x – y + 1 = 0
2x2 + y – 9 = 0
Para determinar o preço de equilíbrio e a quantidade vamos resolver o 
sistema de equações dado. Isolamos y = 9 – 2x2 e substituímos na primeira 
equação:
x2 + 5x – (9 – 2x2) + 1 = 0
x2 + 5x – 9 + 2x2 + 1 = 0
3x2 + 5x – 8 = 0
Aplicando os valores referentes à equação a ser solucionada, temos:
x
x
x
− ± − ⋅ ⋅− − ± + − ±
= = =
⋅
− +
= = =
− − −
= =
2
1
2
5 5 4 3 8 5 25 96 5 121
2 3 6 6
5 11 6
1
6 6
5 11 16
6 6
Como x representa a quantidade do produto, não faz sentido ser repre-
sentado por um número negativo. Assim, apenas nos interessa o valor de 
x1 = 1.
topicos_de_matematica_elementar_39 39topicos_de_matematica_elementar_39 39 17/12/2007 09:41:2117/12/2007 09:41:21
Universidade do Sul de Santa Catarina
40
Substituindo x = 1 em uma das equações, temos:
y = 9 – 2x2
y = 9 – 2·12
y = 9 – 2
y = 7
Portanto os valores y = 7 e x = 1 representam o preço de equilíbrio e a 
quantidade para as funções de demanda e oferta apresentadas.
Parada recreativa
Você já ouviu falar em Quadrados Mágicos?
Um quadrado dividido em 4, 9 ou 16 quadrados iguais é dito um qua-
drado mágico se a soma dos números numa coluna, numa linha ou em 
qualquer das diagonais for sempre a mesma. 
A origem dos quadrados mágicos é obscura. Na 
Índia muitos reis usavam o quadrado mágico como 
amuleto; um sábio do Iemen afi rmava que os 
quadrados mágicos eram preservativos de certas 
moléstias. Um quadrado mágico de prata, preso ao 
pescoço, evitava, segundo a crença de certas tribos, 
o contágio da peste.
Se a tradição for verdadeira, vale a pena completar 
o quadrado mágico proposto. Lembre-se que ao 
somar os valores das linhas, colunas e diagonais 
você deve obter o mesmo valor.
16 2
10
4
topicos_de_matematica_elementar_40 40topicos_de_matematica_elementar_40 40 17/12/2007 09:41:2117/12/2007 09:41:21
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1 41
 Síntese
Ao fi nalizar esta unidade você já pode dizer que conhece os números que 
são amplamente discutidos na Matemática e, muitas vezes, erroneamente 
utilizados em nosso dia-a-dia. Perceba que os conceitos relacionados aos 
números, as frações e as operações são importantes para que você avance 
e amplie seus estudos na Matemática.
Você ainda vai ouvir muito sobre os números nesse curso. Os conceitos 
vão sendo aprofundados, mas isto só será possível se você sanar todas 
as suas dúvidas desde já. Então aproveite! Vá até o AVA, analise as idéias 
apresentadas nos diferentes ícones e desenvolva todas as atividades pro-
postas.
Não esqueça de sanar suas dúvidas com o seu professor tutor.
Nas próximas unidades você irá estudar as funções.
Ate lá!
topicos_de_matematica_elementar_41 41topicos_de_matematica_elementar_41 41 17/12/2007 09:41:2117/12/2007 09:41:21
Universidade do Sul de Santa Catarina
42
 Atividades de auto-avaliação
1) Efetue as operações indicadas:
(a) 
2
3
 + 
5
6
 (b) 
1
9
 – 
2
7
(c) 10 ÷ 
3
4
 (d) 9 – 
4
5
(e) 
1
4
 – 0,3 (f ) 
3
4
 × 
1
3
topicos_de_matematica_elementar_42 42topicos_de_matematica_elementar_42 42 17/12/2007 09:41:2217/12/2007 09:41:22
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1 43
(g) 
 × + 
 
1 7
3
2 3
 (h) 
3
4
 ÷ 
5
3
(i) 
7
6
7
 (j) 
10
5
3
2) O salário do funcionário de uma empresa é igual a R$1200,00. No mês 
de suas férias ele recebe o seu salário mais 1
3
 referente às férias. Quanto 
ele receberá?
topicos_de_matematica_elementar_43 43topicos_de_matematica_elementar_43 43 17/12/2007 09:41:2217/12/2007 09:41:22
Universidade do Sul de Santa Catarina
44
3) Mario trabalhou 7 meses numa empresa, com salário de R$ 600,00. 
Por isso, recebeu a quantia igual a de 7
12
 de um salário, correspondente 
à parte do 13º salário. De quanto foi a quantia recebida?
4) Se 2
5
 correspondem a 180, a quanto corresponde um inteiro?
5) O tanque do carro está seco. Se pusermos 14,5 litros, num carro que 
roda, em média, 7,14 km/l, conseguiremos chegar a um hotel que fi ca a 
98 quilômetros de distância?
topicos_de_matematica_elementar_44 44topicos_de_matematica_elementar_44 44 17/12/2007 09:41:2217/12/2007 09:41:22
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1 45
6) Numa receita de bolo usa-se 0,5 litros de leite, sendo que 0,25 dessa 
quantidade vai no recheio. Que fração do litro é usada no recheio?
7) Uma mãe deu dinheiro aos três fi lhos, dizendo que era um terço para 
cada um. O primeiro fi lho gastou só um terço da sua parte. Que fração do 
total ele gastou? 
8) Um clube tem 60 associados, 18 dos quais com menos de 15 anos de 
idade. Esses jovens correspondem a que fração do quadro de associados?
topicos_de_matematica_elementar_45 45topicos_de_matematica_elementar_45 45 17/12/2007 09:41:2217/12/2007 09:41:22
Universidade do Sul de Santa Catarina
46
9) Em uma aplicação fi nanceira tem-se rendimento igual a 1,0% ao mês, 
sendo descontada uma taxa anual fi xa, relativa à administração, igual a 
5% do depósito inicial. Se um indivíduo possui R$6000,00 e aplica este 
dinheiro durante um ano e meio, qual será o seu saldo fi nal?
10) Numa pesquisa de intenção de voto, realizada com 500 pessoas de 
uma cidade, obteve-se os seguintes resultados 
apresentados na tabela ao lado:
Calcule os valores percentuais 
da pesquisa realizada.
11) Um incêndio destruiu 30% da área verde de uma fl oresta. Se 20% desta 
fl oresta é formada por rios e riachos e o restante somente por área verde, 
qual o percentual da fl oresta atingida pelo fogo?
Número de pessoas
Candidato A 132
Candidato B x
Indecisos 74
topicos_de_matematica_elementar_46 46topicos_de_matematica_elementar_46 46 17/12/2007 09:41:2217/12/2007 09:41:22
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 1 47
12) Resolva as seguintes equações:
(a) 
x
x
+
= −
3 1
5
 (b) 3x + 3 = –12
(c) 
x
x
+
=
−
2 5 1
4 2
 (d) x2 + 2x – 3 = 0
(e) x x
 − + = 
 
1
( 3) 0
2
 (f ) (2x – 5)(4 – x) = 0
topicos_de_matematica_elementar_47 47topicos_de_matematica_elementar_4747 17/12/2007 09:41:2217/12/2007 09:41:22
Universidade do Sul de Santa Catarina
48
 Saiba mais
Uma sugestão para descontrair e para que você perceba que a Matemá-
tica não está presente apenas nos livros, é a leitura do livro Mar Sem Fim 
de Amyr Klink (veja a seguir a referência completa).
Além de navegar junto com o autor, você poderá expandir seus conheci-
mentos e observará a Matemática presente em cada página, nos maravi-
lhosos relatos do autor sobre sua aventura ao redor da Antártica!
KLINK, Amyr. Mar sem fi m: 360o ao redor da Antártica. São Paulo: Com-
panhia das Letras, 2000.
topicos_de_matematica_elementar_48 48topicos_de_matematica_elementar_48 48 17/12/2007 09:41:2317/12/2007 09:41:23
Funções
 2
UNIDADE 2
 Objetivos de aprendizagem
 Identifi car funções presentes no cotidiano e que modelam 
situações problemas.
 Analisar representações grafi as dos diferentes tipos de fun-
ções.
 Analisar características e propriedades das funções;
 Seções de estudo
 Seção 1 – Introdução
 Seção 2 – Tipos de funções
 Seção 3 – Propriedades e características
 Seção 4 – Função inversa
topicos_de_matematica_elementar_49 49topicos_de_matematica_elementar_49 49 17/12/2007 09:41:2317/12/2007 09:41:23
Universidade do Sul de Santa Catarina
50
 Para início de conversa
Você vai ouvir muito a palavra função no decorrer do seu curso e terá sem-
pre a oportunidade de constatar a importância desse objeto matemático 
para a sua formação como futuro professor de matemática e também para 
a sua formação como cidadão que necessita lidar com diferentes situações 
problemas.
A Matemática está presente nos currículos escolares em uma boa parte da 
formação escolar de um cidadão, exatamente pelo fato de que estamos 
diante de um “combustível” que faz a sociedade funcionar. 
Vamos conhecer um pouco mais de perto a maravilhosa formalidade de 
objetos matemáticos!
topicos_de_matematica_elementar_50 50topicos_de_matematica_elementar_50 50 17/12/2007 09:41:2317/12/2007 09:41:23
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 2 51
SEÇÃO 1
Introdução
Você já parou para pensar onde aparecem as funções 
discutidas na matemática em sua vida? Mas antes disso, 
você sabe realmente o que é uma função?
Você pode pensar, intuitivamente, que uma função é uma relação entre 
variáveis.
Assim, por exemplo, podemos dizer que a temperatura depende da umi-
dade relativa do ar, da localização que está sendo considerada, da altitude, 
da presença de um ar condicionado, entre outras coisas.
É possível dizer, de forma simplifi cada, que a temperatura é uma função 
destas variáveis elencadas, ou seja,
Temperatura = f(umidade relativa do ar, localização, altitude, ar condi-
cionado)
Esta pode ser uma função que envolve várias variáveis.
Para entender as funções de várias variáveis, é impor-
tante que você conheça, num primeiro momento, algu-
mas funções mais simples, chamadas de funções de uma 
variável. São também relações que envolvem apenas 
duas variáveis: uma dita dependente e outra dita inde-
pendente.
Existem inúmeras situações que envolvem estas funções de uma variável, 
por exemplo:
 o espaço percorrido por um automóvel depende do tempo;
 a área de uma sala quadrada depende da medida do seu lado;
 o custo de fabricação de um produto depende do número de unida-
des produzidas.
topicos_de_matematica_elementar_51 51topicos_de_matematica_elementar_51 51 17/12/2007 09:41:2317/12/2007 09:41:23
Universidade do Sul de Santa Catarina
52
Nos exemplos colocados, é possível identifi car as variáveis dependentes e 
independentes:
 Variáveis dependentes: espaço percorrido, área da sala, custo de 
fabricação do produto;
 Variáveis independentes: tempo, medida do lado da sala, número 
de unidades produzidas.
Para modelar essas situações, são utilizadas funções do tipo y = f (x), sendo 
x a variável independente e y a variável dependente.
Para defi nir uma função é necessária a existência de dois conjuntos e uma 
relação específi ca entre eles. A Figura 2.1 mostra diagramas que represen-
tam os dois conjuntos e a relação em três diferentes situações. Observe 
que:
 todos os elementos do conjunto A têm um único correspondente 
no conjunto B;
 no conjunto D você pode ter elementos que são correspondentes 
de mais de um elemento no conjunto C;
 no conjunto F você pode ter elementos que não são utilizados na 
relação entre os dois conjuntos.
(a) (b)
C D
(c)
E F
Apresenta uma função de A 
em B: a cada elemento do con-
junto A corresponde um único 
elemento do conjunto B.
Apresenta uma função de C 
em D. Pode-se dizer que 2 é 
imagem de 1 e 4 é imagem de 
0 e 2, ou,
f (1) = 2
f (0) = f (2) = 4
Apresenta uma função de E 
em F. O conjunto F tem um 
elemento que não é imagem 
da função.
Figura 2.1 Diagramas com funções.
topicos_de_matematica_elementar_52 52topicos_de_matematica_elementar_52 52 17/12/2007 09:41:2317/12/2007 09:41:23
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 2 53
Defi nição de função
Formalmente podemos defi nir função da seguinte forma:
Sejam A e B subconjuntos do conjunto dos números 
reais. Uma função f : A → B é uma lei ou regra que a cada 
elemento de A faz corresponder um único elemento de 
B. 
Linguagem Simbólica:
:
( )
f A B
x f x
→
ou
( )
f
A B
x y f x
→
=
Podemos dizer que uma função defi nida no conjunto dos reais é uma 
relação específi ca, pois estamos diante de um subconjunto do produto 
cartesiano R × R.
Assim, a representação gráfi ca de uma função y = f (x) é o conjunto dos 
pares ordenados (x, f (x)), e para cada valor de x existe um único corres-
pondente y.
É usual identifi car:
Domínio de uma função: conjunto em que a função é 
defi nida (conjunto A).
Contra-domínio de uma função: conjunto em que a fun-
ção toma valores (conjunto B).
Conjunto Imagem de uma função ou simplesmente Ima-
gem da função: conjunto dos valores f(x). Pare! Observe!
Na linguagem mais coloquial 
é usual confundir as nota-
ções f com f(x): f é a função 
f : A → B, enquanto que 
f (x) é o valor que a função 
assume em x. Costuma-se 
falar que f (x) é a ima-
gem de x.
topicos_de_matematica_elementar_53 53topicos_de_matematica_elementar_53 53 17/12/2007 09:41:2417/12/2007 09:41:24
Universidade do Sul de Santa Catarina
54
Olhando o passado!
Euler foi um escritor prolífi co da história da matemática. Sua produtividade 
surpreendente não foi prejudicada quando fi cou cego. Publicou 530 trabalhos 
durante sua vida e muitos manuscritos publicados após a sua morte. É muito 
grande a sua contribuição para a matemática. Destaca-se aqui, a sua autoria 
por notações matemáticas que permanecem imutáveis através dos séculos. 
Por exemplo, a notação de funções y = f (x).
Acompanhe os exemplos a seguir:
 Exemplos
1) Considere as funções apresentadas na Figura 2.1. Determine o domínio 
D(f), o contra-domínio CD(f) e o conjunto imagem Im(f).
(a)
f : A → B
D( f ) = {1,2}
CD( f ) = {2,4}
Im( f ) = {2,4}
(b)
f : C → D
D( f ) = {0,1,2}
CD( f ) = {2,4}
Im( f ) = {2,4}
(c)
f : E → F
D( f ) = {1,2}
CD( f ) = {2,4,7}
Im( f ) = {2,4}
Em geral os conjuntos A e B são subconjuntos do conjunto dos números 
reais.
Neste caso, as funções são ditas reais com variáveis reais e a representação 
usual é a representação algébrica da lei de formação que defi ne a relação 
entre os conjuntos.
2) Para cada uma das funções, identifi cadas a partir de sua representação 
algébrica, calcule a imagem nos pontos 1, –3 e 1
2
:
(a) f (x) = x – 1
Para calcular a imagem nos pontos indicados, é necessário fazer 
x = 1, x = –3 e x = 1
2
. Assim, temos:
f (1) = 1 – 1 = 0
f (–3) = –3 – 1 = –4
f
− −  = − = = 
 
1 1 1 2 1
1
2 2 2 2
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Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 2 55
(b) g(t ) = –t 2
Neste caso, vamos fazer t = 1, t = –3 e t = 1
2
. Assim, temos:
g (1) = –12 = –1
g (–3) = –(–3)2 = –9
g
  = − = −   
   
21 1 1
.
2 2 4
SEÇÃO 2
Tipos de funções
Para fi ns didáticos é interessante que as funções sejam classifi cadas de 
acordo com algumas características. Nesta disciplina você terá a oportu-
nidade de aprofundar o estudo das funções polinomiais do primeiro e 
segundo graus (unidades 3 e 4), das funções racionais e polinomiais com 
grau maior do que 2 (unidade 5), das funções exponenciais e logarítmicas 
(unidade 6) e, por fi m, das funções trigonométricas (unidade 7).
Neste momento, você terá apenas uma panorâmica geral destes tipos de 
funções, para que possa estudá-las separadamente nas demais unidades. 
Verefi que nas Figuras 2.2 até 2.8, exemplos gráfi cos de diferentes tipos de 
funções.
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
f(x)
Figura 2.2 Função polinomial 
do primeiro grau y = x + 1
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
3
x
f(x)
Figura 2.3 Função polinomial 
do segundo grau y = x2 + 1
 Pare! Observe!
Veja a diferença entre a ima-
gem e o conjunto imagem 
de uma função: o conjunto 
imagem são todos os pontos 
que a função pode assumir, 
ou seja, todos os valores 
que a variável y assume. A 
imagem de uma função é 
calculada para cada ponto 
identifi cado. Assim, é possí-
vel calcular f (1), 
f (–3) ou f (½ ) que serão, 
respectivamente, a imagem 
da função no ponto 1, –3 
ou ½ . 
topicos_de_matematica_elementar_55 55topicos_de_matematica_elementar_55 55 17/12/2007 09:41:2517/12/2007 09:41:25
Universidade do Sul de Santa Catarina
56
-3 -2 -1 1 2 3
-2
-1
1
2
3
x
f(x)
Figura 2.4 Função polinomial 
do terceiro grau y = x 3 + 1
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
f(x)
Figura 2.5 Função racional y
x
=
+
1
1
-2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
f(x)
Figura 2.6 Função exponencial y = 2x
-2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
f(x)
Figura 2.7 Função logarítmica y = log x
2 -
-1
1
x
f(x)
Figura 2.8 Função trigonométrica y = sen x
topicos_de_matematica_elementar_56 56topicos_de_matematica_elementar_56 56 17/12/2007 09:41:2517/12/2007 09:41:25
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 2 57
Olhando o futuro!
Existem vários softwares matemáticos que auxiliam no tratamento de gráfi cos 
de funções. Os gráfi cos apresentados neste material foram feitos no software 
GRAPH 2.6, que está disponível para download em http://www.padowan.dk/
graph/.
Mas você pode utilizar qualquer outro software para fazer gráfi cos de fun-
ções. Experimente procurar na Internet. Lá encontrará várias versões demo 
prontas para download. Vale a pena tentar! Experimente!
Olhando o presente!
Os problemas estão ao nosso redor mostrando exemplos de funções. 
Confi ra!
P1 A equação de demanda de um produto é p2 + 2p + 2x – 24 = 0, 
sendo p o preço de uma unidade da mercadoria e x o número de 
unidades da mercadoria. Se o produto fosse de graça, qual seria a 
demanda?
Para resolver este problema, é importante entender o que é a equação de 
demanda. Num primeiro momento, perceba que estamos trabalhando 
com duas variáveis:
 p o preço de uma unidade da mercadoria;
 x a quantidade de mercadoria demandada.
Usando métodos estatísticos e dados econômicos, você pode montar uma 
equação de demanda que pode representar funções do tipo p = f (x) 
(função preço) ou x = g (y) (função de demanda).
Em situações econômicas normais, o domínio dessas funções é um sub-
conjunto dos números reais não negativos.
Ao fazer o gráfi co dessas funções é usual na área de Economia representar 
a variável p no eixo horizontal e a função fi ca defi nida em intervalos con-
venientes.
Podemos considerar também a equação de oferta envolvendo as 
variáveis:
 p o preço de uma unidade da mercadoria;
 x a quantidade de mercadoria a ser ofertada por um produtor.
topicos_de_matematica_elementar_57 57topicos_de_matematica_elementar_57 57 17/12/2007 09:41:2617/12/2007 09:41:26
Universidade do Sul de Santa Catarina
58
Numa situação econômica normal a curva de oferta é 
crescente. Quando o preço da mercadoria aumenta, 
o produtor aumenta a oferta para tirar vantagem dos 
preços altos. A curva da demanda é decrescente, pois 
quando o preço aumenta a procura do produto diminui.
O equilíbrio de mercado ocorre quando a quantidade de mercadoria 
demandada a um dado preço é igual à quantidade de mercadoria ofer-
tada àquele preço. Em outras palavras, o equilíbrio de mercado ocorre 
quando tudo que é oferecido para a venda de um determinado preço é 
comprado. No decorrer deste texto vamos voltar a discutir sobre esse tipo 
de problema que pode ser modelado por funções polinomiais.
A partir destas considerações, podemos defi nir a demanda, para a situação 
apresentada em P1, caso o produto fosse de graça. A representação gráfi ca 
da função defi nida a partir da equação de demanda p2 + 2p + 2x – 24 = 0 
poderá auxiliar neste momento.
Podemos determinar a função de demanda dada por x = f (p) e para isto, 
vamos isolar a variável x na equação de demanda do produto:
p p x
x p p
p p
x
x p p
+ + − =
= − − +
− − +
=
−
= − +
2
2
2
2
2 2 24 0
2 2 24
2 24
2
1
12
2
topicos_de_matematica_elementar_58 58topicos_de_matematica_elementar_58 58 17/12/2007 09:41:2617/12/2007 09:41:26
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 2 59
Usando um software matemático, podemos fazer o gráfi co da função 
x p p
−
= − +2
1
12
2
, conforme mostra a Figura 2.9:
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
2
4
6
8
10
12
x
p
Figura 2.9 Curva de demanda do produto.
Olhando para o gráfi co da Figura 2.9 é possível determinar que, se o pro-
duto fosse de graça, ou seja, a variável p = 0, o valor da variável x seria 
igual a 12, ou seja, a demanda seria de 12 unidades do produto analisado.
É possível encontrar este valor de forma algébrica, fazendo p = 0 na fun-
ção encontrada:
x p p
x
x
−
= − +
−
= − +
=
2
2
1
12
2
1
0 0 12
2
12.
SEÇÃO 3
Propriedades e características
Quando você for trabalhar com funções, é importante que reconheça as 
diversas linguagens utilizadas em sua representação. Em especial, nas 
representações gráfi cas onde é possível visualizar propriedades e carac-
terísticas das funções sem a necessidade de desenvolvimentos algébricos 
mais elaborados.
 Pare! Observe!
No contexto econômico 
costuma-se representar a 
função inversa para que 
se tenha o preço no eixo 
vertical.
topicos_de_matematica_elementar_59 59topicos_de_matematica_elementar_59 59 17/12/2007 09:41:2617/12/2007 09:41:26
Universidade do Sul de Santa Catarina
60
Veja a seguir, a formalização das principais propriedades e características 
das funções, que serão estudadas de forma específi ca para cada tipo de 
função nas próximas unidades.
 Representação algébrica: É a lei de formação da função. Usual-
mente utiliza-se a notação y = f (x)
 Representação gráfi ca: É o gráfi co da função no sistema cartesiano 
de coordenadas.
 Domínio: São os valores que a variável independente pode assumir. 
Na representação gráfi ca, é possível identifi cá-lo a partir da análise 
do eixo x.
 Conjunto imagem: São os valores que a variável y assume. Na 
representação gráfi ca, é possível identifi cá-lo a partir da análise do 
eixo y.
 Zero ou raiz: Quando igualamos a lei de formação a zero (y = 0), 
haverá um valor correspondente de x. Assim, o(s) valor(es) de x tais 
que f (x) = 0 será(ão) o(s) zero(s) da função. Grafi camente é o ponto 
em que o gráfi co corta o eixo x.
 Sinal de uma função: O sinal de uma função é dado pelo sinal da 
imagem da função. Quando os valores de y assumem sinal posi-
tivo, dizemos que f (x) > 0, ou seja, a função assume sinal positivo. 
Quando os valores de y assumem sinal negativo, dizemos que 
f (x) < 0, ou seja, a função assume sinal negativo. Grafi camente, a 
função é positiva acima do eixo x e é negativa abaixo deste eixo.
 Crescimento ou decrescimento: Uma função é crescente se, para 
dois valores quaisquer x1 e x2, com x1 < x2, tivermos f (x1) < f (x2). 
Uma função é decrescente se, para dois valores quaisquer x1 e x2, 
com x1 < x2, tivermosf (x1) > f (x2).
Olhando o presente!
Veja o seguinte problema.
P2 Numa indústria, verifi cou-se que quando o preço de uma peça 
era igual a R$5,00, os clientes encomendavam 50 unidades por dia. 
Quando o preço passou a ser R$4,50, as encomendas passaram 
para 60 unidades por dia. Como podemos representar a função de 
demanda desta peça?
topicos_de_matematica_elementar_60 60topicos_de_matematica_elementar_60 60 17/12/2007 09:41:2717/12/2007 09:41:27
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 2 61
Para resolver este problema, vamos inicialmente fazer o gráfi co da função 
p = f (x) sendo p o preço e x a quantidade demandada. Com os dados do 
problema, podemos dizer que esta função passará pelos pontos (50,5) e 
(60;4,5), conforme mostra o gráfi co da Figura 2.10.
20 40 60 80 100 120 140
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
p
Figura 2.10 Representação gráfi ca da função de demanda da peça.
Para esta função, vamos analisar suas propriedades e características:
 Representação algébrica: A lei de formação desta função é dada 
por y = –0,05x + 7,5.
 Representação gráfi ca: Veja a Figura 2.10.
 Domínio: A variável x assume valores que vão de 0 até 150. Por-
tanto temos: D( f ) = [0,150]. Observe que na prática x é um número 
inteiro, mas na área econômica esse formalismo é relaxado.
 Conjunto imagem: Analisando o eixo y do gráfi co, podemos perce-
ber que a variável y assume valores que vão de 0 até 7,5. Portanto, 
temos: Im( f ) = y ∈ [0;7,5]
 Zero ou raiz: O zero da função é o ponto cujo gráfi co corta o eixo x. 
Nesta função, isto acontece quando x = 150.
 Sinal de uma função: Esta função é toda positiva pois o seu gráfi co 
está todo acima do eixo x.
 Crescimento ou decrescimento: É uma função decrescente pois 
a medida em que os valores de x aumentam, os valores de y dimi-
nuem. Dos dados do problema podemos mostrar que se x1 = 50 e 
x2 = 60, com x1 < x2, teremos: f (x1) = 5, f (x2) = 4,5 e f (x1) > f (x2).
topicos_de_matematica_elementar_61 61topicos_de_matematica_elementar_61 61 17/12/2007 09:41:2717/12/2007 09:41:27
Universidade do Sul de Santa Catarina
62
Olhando o futuro!
Estamos de forma sistemática incentivando o uso de softwares. Veja, no 
exemplo desenvolvido, que a expressão que defi ne a lei de formação foi forne-
cida pelo software Graph. Colocamos os pontos dados usando a ferramenta 
Function e Insert point series. Para fazer o traçado do gráfi co usamos um ajus-
te de curva com a ferramenta Function e Insert trendline escolhendo a opção 
linear.
Se você ainda não dispõe de um software não perca tempo, pesquise o mais 
rápido possível um que seja livre na Internet, pois ele vai ser seu ajudante no 
decorrer desta disciplina.
SEÇÃO 4
Função inversa
Ao defi nirmos uma função y = f (x) na forma f : A → B, ressaltamos que se 
trata de uma lei ou regra que a cada elemento de A se faz corresponder 
um único elemento de B.
Em algumas funções para cada y ∈ B existe exatamente um valor x ∈ A 
tal que y = f (x). Nestes casos, defi ne-se uma função g : B → A na forma 
x = g (y) .
A função g é dita inversa de f, e é denotada por f –1.
Nem todas as funções possuem inversa. As funções do segundo grau, por 
exemplo, não possuem inversa, a não ser que seja feita uma restrição con-
veniente no seu domínio e contra-domínio.
Acompanhe os exemplos a seguir:
 Exemplos
1) Determinar a função inversa de f (x) = 2x – 1.
Para determinar a representação algébrica da função inversa de f (x), 
troca-se o x pelo y na função dada. Assim tem-se:
x = 2y – 1.
topicos_de_matematica_elementar_62 62topicos_de_matematica_elementar_62 62 17/12/2007 09:41:2717/12/2007 09:41:27
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 2 63
Isolando a variável y determina-se a função inversa:
x y
x
y
+ =
+
=
1 2
1
2
Portanto, 
x
f −
+
=1
1
2
.
2) Verifi car a existência da função inversa de y = x2 – 4x + 3. Faça sua repre-
sentação gráfi ca, caso exista.
Veja na Figura 2.11 a representação gráfi ca da função y = x2 – 4x + 3:
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
f(x)
Figura 2.11 Gráfi co da função y = x2 – 4x + 3
Na função do segundo grau é necessário realizar uma restrição no domí-
nio pois para cada y ∈ B existem mais de um x ∈ A correspondente. Veja 
no gráfi co que quando y = 3 ⇒ x = 0 ou x = 4.
Portanto, a função inversa só poderá ser identifi cada caso haja uma res-
trição no domínio da função. Suponha que a função passe a ser defi nida 
como f : [2,+∞) → R. Veja na Figura 2.12 o gráfi co da função:
topicos_de_matematica_elementar_63 63topicos_de_matematica_elementar_63 63 17/12/2007 09:41:2817/12/2007 09:41:28
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-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
f(x)
Figura 2.12 Gráfi co da função y = x2 – 4x + 3 defi nida de [2,+∞) → R
Grafi camente, observa-se uma simétria em relação à reta y = x. 
Veja a representação gráfi ca das duas funções na Figura 2.13.
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
f(x)
Figura 2.13 Função f : [2,+∞) → R, y = x2 – 4x + 3 e sua inversa.
topicos_de_matematica_elementar_64 64topicos_de_matematica_elementar_64 64 17/12/2007 09:41:2817/12/2007 09:41:28
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 2 65
Parada recreativa
Malba Tahan, foi um escritor famoso por suas atividades recreativas envol-
vendo a matemática. Veja se você consegue resolver a seguinte situação 
apresentada para “o calculista”.
Como pagamento de pequeno lote de carneiros, três criadores de 
damasco receberam 21 vasos de vinho:
 7 cheios;
 7 meio-cheios;
 7 vazios.
Como dividir em partes iguais, de forma que cada um deles recebera o 
mesmo número de vasos e a mesma quantidade de vinho, sem abrir os 
vasos?
 Síntese
Ao fi nalizar esta unidade, é importante que você perceba que está com 
uma ferramenta matemática poderosa e muito útil na modelagem de 
problemas práticos. O detalhamento dos itens que foram aqui mostra-
dos será apresentado no decorrer das próximas unidades. Mas não siga 
adiante sem antes sanar todas as suas dúvidas.
Não esqueça de analisar os conceitos destacados no AVA e as leituras indi-
cadas na midiateca.
Procure seu professor tutor para ajudá-lo na resolução das atividades 
apresentadas no AVA, caso você encontre difi culdades.
A próxima unidade tratará das funções do primeiro grau.
Até mais!
topicos_de_matematica_elementar_65 65topicos_de_matematica_elementar_65 65 17/12/2007 09:41:2817/12/2007 09:41:28
Universidade do Sul de Santa Catarina
66
 Atividades de auto-avaliação
1) Calcule f (0) e f ( 1
2
) para as funções representadas algebricamente por:
(a) f (x) = x2 – x + 1 (b) f (x) = 
x
x
+
−
1
1
2) A função que expressa o custo total, em reais, de fabricação de um 
produto é dada por C(q) = q3 – 10q2 + 100q + 100, sendo q o número de 
unidades do produto.
(a) Calcule o custo de fabricação de cinco unidades.
(b) Qual o custo de fabricação da quinta unidade?
topicos_de_matematica_elementar_66 66topicos_de_matematica_elementar_66 66 17/12/2007 09:41:2817/12/2007 09:41:28
Tópicos de Matemática Elementar I
Unidade 2 67
3) Sejam as funções representadas grafi camente nas fi guras 2.14 e 2.15:
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
f(x)
Figura 2.14 Gráfi co de f (x).
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5
10
x
g(x)
Figura 2.15 Gráfi co de g (x).
topicos_de_matematica_elementar_67 67topicos_de_matematica_elementar_67 67 17/12/2007 09:41:2917/12/2007 09:41:29
Universidade do Sul de Santa Catarina
68
Complete a tabela com as características e propriedades das funções f (x) 
e g (x).
f(x) g(x)
Domínio
Conjunto imagem
Zero ou raiz
Sinal da função
Intervalo de 
crescimento
Intervalo de 
decrescimento
4) Determine a representação algébrica da função inversa de:
(a) f (x) = 
x
+ 3
2
 (b) y = 4 – 5x
topicos_de_matematica_elementar_68 68topicos_de_matematica_elementar_68 68 17/12/2007 09:41:2917/12/2007