Prévia do material em texto
Planos Parte 2 – Laura Helena de Melo Passoni 31) Dada a equação geral do plano 𝜋: 3𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 − 6 = 0 , determinar o sistema de equações paramétricas de 𝜋. //inicialmente encontramos os pontos A, B, C para que depois possamos definir dois vetores diretores. Ponto A Se: X = 0 Y = 0 Z = ? 0x − 0y − z − 6 = 0 −𝑧 − 6 = 0 𝑧 = 6 𝐴 (0,0,6) Ponto B Se: X = 0 Y = ? Z = 0 0𝑥 − 2𝑦 − 0 − 6 = 0 −2𝑦 − 6 = 0 𝑦 = −3 𝐵(0,−3,0) Ponto C Se: X = ? Y = 0 Z = 0 3𝑥 − 0𝑦 − 0 − 6 = 0 3𝑥 − 6 = 0 𝑥 = 2 𝐶(2,0, 0) //Agora usamos os pontos para encontrar os vetores diretores Vetor 𝐴𝐵 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ : 𝐴𝐵 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 𝐴𝐵 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (0,−3,0) − (0,0,6) 𝐴𝐵 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (0,−3,−6) Vetor 𝐴𝐶 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ : 𝐴𝐶 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐶 − 𝐴 𝐴𝐶 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = ( 1 3 , 0, 0) − (0,0,6) 𝐴𝐶 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (2,0,−6) //Para montarmos a equação paramétrica temos: { x = 0 + 0λ + 2λ2 y = 0 + −3λ + 0λ2 z = 6 + −6λ − 6λ2 { x = 2λ2 y = −3λ z = 6 + −6λ − 6λ2 33) Determinar o ângulo entre os seguintes planos: a) 𝜋1: 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 10 = 0 𝑒 𝜋2: 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 1 = 0 // para calcular o ângulo dos planos utilizamos a seguinte formula: 𝑐𝑜𝑠𝜃 = |𝑛1⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑛2⃗⃗⃗⃗ | |𝑛1⃗⃗⃗⃗ | ∙ |𝑛2⃗⃗⃗⃗ | 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 |𝑛1⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑛2⃗⃗⃗⃗ | |𝑛1⃗⃗⃗⃗ | ∙ |𝑛2⃗⃗⃗⃗ | //para o plano π₁: x + 2y + z - 10 = 0 𝑢 = (1,2,1) //para o plano π₂: 2x + y - z + 1 = 0 v = (2,1,-1) //Calculando o produto escalar entre os vetores u e v: 𝑢𝑣⃗⃗ ⃗⃗ = 1.2 + 2.1 + 1. (−1) 𝑢𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 + 2 − 1 𝑢𝑣⃗⃗ ⃗⃗ = 3 //Calculando a norma do vetor u: |𝑢|² = 1² + 2² + 1² ||𝑢||² = 1 + 4 + 1 |𝑢| = √6 //Calculando a norma do vetor v: |𝑣|² = 2² + 1² + (−1)² |𝑣||² = 4 + 1 + 1 |𝑣|² = 6 |𝑣| = √6 //Sendo assim, temos que o ângulo entre os vetores u e v é igual a: 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 3 √6 . √6 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 3 6 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 1 2 𝜃 = 60º b) 𝜋1: 2𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0 𝑒 𝜋2: 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0 //para o plano 𝜋1: 2𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0 𝑢 = (2,−2, 0) //para o plano 𝜋2: 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0 𝑣 = (2, −1,−1) //Calculando o produto escalar entre os vetores u e v: 𝑢𝑣⃗⃗ ⃗⃗ = 2.2 + (−2). (−1) + 0. (−1) 𝑢𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4 + 2 − 0 𝑢𝑣⃗⃗ ⃗⃗ = 6 //Calculando a norma do vetor u: |u|² = 2² + (−2)² + 0² |𝑢|² = 4 + 4 + 0 |𝑢| = √8. //Calculando a norma do vetor v: |𝑣|² = 2² + (−1)² + (−1)² |𝑣||² = 4 + 1 + 1 |𝑣|² = 6 |𝑣| = √6 //Sendo assim, temos que o ângulo entre os vetores u e v é igual a: 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 6 √8 . √6 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 6 √48 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 6 √(24 ⋅ 3) 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 6 4√3 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 3 2√3 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 3 2√3 . √3 √3 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 3√3 2. 3 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = √3 2 √3 2 = 𝑐𝑜𝑠30° ∴ 𝜃 = 30° 35) Determinar a e b, de modo que os planos π1: ax + by + 4z − 1 = 0 e π2: 3x − 5y − 2z + 5 = 0 Sejam Paralelos. //Encontrar os vetores normais (classifica o plano), portanto 𝑁1 (𝑎, 𝑏, 4) 𝑒 𝑁2 (3,−5,−2) //Os vetores precisam ser paralelos para que os planos sejam paralelos através de uma constante 𝜉, portanto 𝑁2 = 𝜉.𝑁1 (3, −5,−2) = 𝜉. (𝑎, 𝑏, 4) (3, −5,−2) (𝑎, 𝑏, 4) = 𝜉 ∴ • 3. 𝜉 = 𝑎 • −5. 𝜉 = 𝑏 • −2. 𝜉 = 4 → 𝜉 = −2 //Assim utiliza-se o valor de 𝜉 = −2 nas outras equações para encontrar os valores de a e b Para a 3. 𝜉 = 𝑎 3.−2 = 𝑎 𝑎 = −6 Para b −5. 𝜉 = 𝑏 −5.−2 = 𝑏 𝑏 = 10 36) Determinar m de modo que os planos (1/2) 𝜋1: 2𝑚𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0 𝑒 𝜋2: 3𝑥 − 𝑚𝑦 + 2z − 1 = 0 Sejam Perpendiculares. //Para que os planos sejam perpendiculares, o produto escalar dos vetores normais deve ser igual a 0. Portanto os vetores são 𝑁1 (2𝑚, 2, −1) 𝑒 𝑁2 (3, −𝑚, 2) //Fazer o produto e igualar a 0 𝑁1 𝑁2 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (2𝑚, 2, −1) . (3, −𝑚, 2) = 0 𝑁1 𝑁2 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 6𝑚 − 2𝑚 − 2 = 0 4𝑚 − 2 = 0 4𝑚 = 2 𝑚 = 2 4 ∴ 𝑚 = 1 2 //Para que os planos sejam perpendiculares o valor de 𝑚 = 1 2⁄ 42) Mostrar que a reta r { 𝑥 = 3𝑡 + 1 𝑦 = −2𝑡 − 1 𝑧 = 𝑡 É paralela ao plano 𝜋: 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 + 3 = 0 // Tendo o vetor normal do plano (1, 2, 1) e o reta vetor diretor (3, −2, 1), para que a reta seja paralela o produto escalar entre os vetores deve ser 0, já que o cos90 = 0 𝑟 . �⃗� = (1, 2, 1) . (3, −2, 1) = 0 r . n⃗ = (3 − 4 + 1) = 0 r . n⃗ = 0 = 0 ∴ O ângulo formado entre os componentes(vetores) é de 90°, assim o plano e a reta são paralelos.