MÉTODO DE COULOMB

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MÉTODO DE COULOMB
Apresentação
Nesta Unidade de Aprendizagem, você estudará o método de Coulomb para definição do cálculo 
do empuxo lateral de solo. Além disso, poderá verificar as considerações, bem como limitações 
deste método mais complexo e genérico do que de Rankine. Por fim, verá um exemplo de cálculo 
utilizando o método de Coulomb.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Compreender a importância do método de cálculo de empuxos laterais de Coulomb.•
Verificar as considerações do método de empuxos laterais de Coulomb.•
Aplicar um exemplo pelo método de Coulomb.•
Desafio
Considere um muro de arrimo de gravidade constituído de concreto ciclópico executado em um 
talude com problemas de instabilidade. O terrapleno possui inclinação de 20°. Qual a magnitude do 
empuxo ativo exercido pela massa de solo sobre a estrutura? E qual a sua direção e ponto de 
aplicação?
Para a resposta, considere as informações apresentadas na imagem a seguir.
Infográfico
Veja no infográfico algumas considerações geométricas ligadas ao método de Coulomb.
Conteúdo do livro
Acompanhe a abordagem de Coulomb para cálculo de empuxos laterais. Leia o capítulo Método de 
Coulomb, da obra "Mecânica dos Solos Aplicada".
Boa leitura.
MECÂNICADOS 
SOLOS APLICADA
 
Cleber Floriano
Método de Coulomb
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve obter os seguintes aprendizados:
  Conhecer o método de cálculo de empuxos laterais de Coulomb.
  Verifi car as considerações do método de empuxos laterais de Coulomb.
  Aplicar um exemplo pelo método de Coulomb.
Introdução
Neste capítulo, vamos estudar o método de Coulomb para definição do 
cálculo do empuxo lateral de solo. Verificaremos as considerações, bem 
como limitações deste método mais complexo e genérico do que de 
Rankine. Por fim, faremos um exemplo de cálculo utilizando o método 
de Coulomb.
Teoria de Coulomb
O método de Coulomb é um método analítico de cálculo de empuxos laterais 
ativos e passivos que atuam em uma estrutura de contenção. As equações 
utilizadas na teoria de Coulomb fundamentam-se nas seguintes hipóteses:
  Resistência ao cisalhamento do solo obedece a lei de Coulomb e estado 
de tensões bidirecional;
  A coesão efetiva é nula;
  Não há nível de água no solo acima da fundação da estrutura;
  Não há sobrecarga na superfície do terreno;
  Admite tardoz inclinado;
  Existe atrito entre solo e tardoz do muro, mas não há adesão;
  A direção do empuxo é dependente do ângulo de atrito solo-estrutura.
Com base nestas hipóteses, pode-se estabelecer o Empuxo ativo de Coulomb.
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As superfícies críticas tanto do método de Coulomb quanto de Rankine são planas. 
Existem outras teorias mais complexas como a de Caquot-Kerisel, que no caso apresenta 
uma superfície de ruptura em forma de espiral logarítmica. Os valores para empuxo 
ativo são muito semelhantes, no entanto, para empuxos passivos pode ocorrer grande 
divergência na magnitude.
Empuxo ativo de Coulomb
Como visto nos capítulos anteriores, o estado ativo é a condição do solo se 
movendo contra a estrutura. 
A teoria de Coulomb é anterior a teoria de Rankine. No entanto, verifica-se 
que há convergência de resultados do valor de empuxo ativo quando se assume 
as mesmas hipóteses de Rankine em Coulomb.
A teoria de Coulomb é explicada através do equilíbrio de forças de diagrama 
de corpo livre, como pode ser observado na Figura 1.
Figura 1. Diagrama de corpo livre de Coulomb.
Pela teoria de Coulomb, o atrito entre o solo e o tardoz do muro (δ) não é 
negligenciado, sendo considerado na análise com um valor igual ou menor 
do que o ângulo de atrito do solo “ Ø ”. Valores de δ foram vistos na aula 
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introdutória de empuxos e dependem da granulometria do solo e da rugosidade 
do contato.
Como o ângulo “ρ” da cunha ativa é dependente do atrito interno no tardoz 
do muro, a expressão do empuxo ativo pode ser escrita:
Onde: 
Sendo que a área corresponde:
De modo a simplificar o uso da teoria, para o caso geral de terreno inclinado 
(β), muro com tardoz inclinado (α) e consideração de atrito solo-estrutura (δ), 
como mostrado na Figura 2, tem-se as seguintes equações para definição do 
diagrama de tensões.
Figura 2. Incógnitas no método de Coulomb.
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Portanto, através de Coulomb, chega-se também na conhecida equação de 
Ea do caso particular de solos puramente friccionais apresentado no capítulo 
do método de Rankine, observando o diagrama de pressões horizontais. No 
entanto, por efeito da consideração de β, α e δ no equacionamento de Coulomb, 
o valor de ka é definido para um valor crítico do ângulo da cunha ativa em 
relação a horizontal (ρ) e corresponde ao máximo valor de Ea. Assim, temos:
Como a direção do empuxo ativo Ea é inclinada, pode-se calcular a com-
ponente horizontal do empuxo ativo Eav e a componente vertical, Eav:
No caso específico de um muro com tardoz vertical (α = 90°) e terreno 
horizontal (β = 0), tem-se que:
Ou seja, neste caso específico, observamos apenas influência do ângulo 
de atrito solo-estrutura (δ) na decomposição do empuxo. Este exemplo serve 
para comparar também com o método de Rankine. Pois, nota-se que os valo-
res calculados por Rankine são suscetivelmente maiores que os empuxos da 
componente horizontal de Coulomb. 
Por fim, chega-se aos mesmos valores de empuxo horizontal para Rankine 
e Coulomb, quando anulamos o valor do ângulo de atrito solo-estrutura (δ) 
de Coulomb, assim, anula-se a componente vertical de Coulomb, Eav = 0, 
permanecendo com máximo da componente horizontal correspondente ao 
Empuxo horizontal de Rankine.
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O empuxo ativo pode ser determinado através de métodos gráficos seguindo a análise 
paramétrica de Coulomb. O método funciona com processo iterativo, variando o ângulo 
ρ e controlando a distância (x) onde a superfície crítica irá interceptar a superfície do 
terreno. Assim, tem-se a possibilidade de calcular o máximo valor de empuxo para 
qualquer variação de superfície do terreno, não apenas com uma única inclinação. 
Em um determinado ponto, teremos ρcrit e xcrit no valor de empuxo ativo máximo. 
Este método auxilia no desenvolvimento de programação de softwares de cálculo 
de estrutura de arrimo.
Empuxo passivo de Coulomb
No empuxo passivo, o equacionamento é semelhante ao apresentado no empuxo 
ativo. De forma geral, podemos obter os valores de empuxo passivo com as 
seguintes equações:
Importante destacar que a formulação de Coulomb para empuxos passivos embora 
exista e possa ser aplicada, elas não são recomendadas na prática, pois a consideração 
de atrito solo-estrutura eleva ainda mais o empuxo passivo. Pode-se admitir, portanto, 
uma condição sem atrito de contato quando propicia-se o uso de empuxos passivos, 
recaindo-se na formulação de Rankine.
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Exemplo de cálculo utilizando o método de 
Coulomb
O exemplo a seguir objetiva a elaboração do diagrama de pressões e determi-
nação dos empuxos laterais resultantes através do uso do método de Coulomb. 
Importante notar que o exemplo é de um solo coesivo. Apesar de o método 
de Coulomb ser formulado para solos puramente friccionais, existe uma 
aproximação aceitável para os solos com coesão. 
a) Determinação do ângulo α:
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b) Coeficientes de empuxo ativo pela formulação de Coulomb:
 
c) Coeficientes de empuxo passivo pela formulação de Rankine:
d) Pressões verticais efetivas:
e) Pressões horizontais:
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f) Diagrama de pressões horizontais:
g) Profundidade da trinca de tração (ht):
 ■ Por semelhança de triângulos:
 ■ Igualando a equação das pressões a zero:
h) Empuxos:
Neste caso, segundo a Teoria de Coulomb, a resultante das pressões (empuxo 
ativo Ea) possui direção inclinada de δ da direção ortogonal à face do muro. 
O ponto de aplicação do Ea, 1/3 da altura do diagrama resultante de pressões 
ativas positivas (H-ht).
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Novamente, é importante destacar que o empuxo de água é apresentado como um 
diagrama adicional aos empuxos de solo causado pelas tensões efetivas horizontais. 
Para calcular o empuxo de água basta na equação geral: σágua = γw . z. O diagrama de 
pressão de água (poro-pressões no solo ou pressões neutras) é triangular.
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BROOKS, H.; NIEALSEN, J. P. Basic of retaining wall design: a design for earth retaining 
structures. 10. ed. Newport Beach: HBA Puplications, 1992.
CAPUTO, H. P.; CAPUTO, A. N. Mecânica dos solos e suas aplicações: fundamentos. Rio 
de Janeiro: LTC, 2016. v.2.
GRAIG, R. F.; KNAPPETT, J. A. Graig mecânica dos solos. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015.
FERNANDES M. M. Mecânica dos solos: introdução a engenharia geotécnica. São Paulo: 
Oficina de textos, 2014. v. 2.
HACHICH, W. et al. Fundações: teoria e prática. 2. ed. São Paulo: Pini, 2009.
MOLITERNO, A. Caderno de muros de arrimo. São Paulo: Blucher, 1994.
RIO DE JANEIRO. Fundação Instituto de Geotécnica. Manual técnico de encostas. Rio de 
Janeiro: GeoRio, 2000. v. 2.
TAYLOR, D. W. Fundamentals of soil mechanics. New York: John Wiley e Sons, 1948.
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242Método de Coulomb
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Dica do professor
Veja como os empuxos passivo e ativo podem ser calculados através do método de Coulomb. 
Assista o vídeo a seguir!
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
 
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/56d25b1cd2919a1bdbcc752b57c8d387
Exercícios
1) Uma estrutura de contenção foi executada em um maciço com c’=0kPa e ɸ=27°.O tardoz da 
estrutura possui inclinação de 80° em relação à horizontal e o terrapleno possui inclinação 
de 10°. Suponha ângulo de atrito solo/estrutura equivalente a 2/3 do ângulo de atrito do 
material. Qual o coeficiente de empuxo ativo pelo método de Coulomb? 
A) 0,708.
B) 0,354.
C) 1,412.
D) 1,416.
E) 0.
2) Considere uma escavação vertical de 6m em um terreno horizontal com solo de c’=0kPa, 
ɸ=33° e ɤ=17kN/m3. Na sequência é instalado um muro de arrimo de concreto ciclópico 
com tardoz vertical. Qual a tensão horizontal ativa a 6m de profundidade através do método 
de Coulomb? 
A) 26,92kPa
B) 53,84kPa
C) 13,46kPa
D) 0,264kPa
E) 102kPa
3) Imagine a mesma situação do exercício 1. Considere que a estrutura tenha face vertical, com 
cerca de 1metro de embutimento e o material defronte a ela tenha superfície horizontal. 
Qual o coeficiente de empuxo passivo pelo método de Coulomb? 
A) 4,75.
B) 9,5.
C) 2,375.
D) 0,21.
E) 0.
4) Utilizando a questão 3, qual o empuxo passivo que será mobilizado pela massa de solo por 
conta do deslocamento da estrutura? Utiliza ɤ=18kN/m3. 
A) Ep=85,5kN/m e yEp=0,33m.
B) Ep=85,5kN/m e yEp=0,66m.
C) Ep=42,75kN/m e yEp=0,33m.
D) Ep=-42,75kN/m e yEp=0,33m.
E) Ep=42,75kN/m e yEp=1m.
5) Considere a seguinte frase: “uma vez que o método de Coulomb fornece valores maiores de 
empuxo passivo do que o método de Rankine, é preferível que seja usado pois assim 
estaremos dimensionando uma estrutura em favor da segurança”. Você concorda? Por quê? 
A) Sim, pois valores maiores de empuxo passivo conduzem à maior segurança.
B) Sim, pois o método de Rankine é muito arcaico e não é tão confiável quanto o de Coulomb. 
C) Não, pois o método de Coulomb fornece valores menores de empuxo passivo do que o 
método de Rankine.
D) Não, pois tendo em vista que o método de Coulomb fornece valores maiores que o método 
de Rankine, sua utilização nos levará a uma menor segurança, portanto é preferível utilizar o 
método de Rankine.
E) Não, pois a utilização dos dois métodos é indiferente e sempre retornam valores iguais.
Na prática
As superfícies críticas de ruptura, tanto do método de Coulomb quanto de Rankine, são planas. 
Existem outras teorias mais complexas, como a de Caquot-Kerisel, que apresenta uma superfície de 
ruptura em forma de espiral logarítmica. Os valores para empuxo ativo são muito semelhantes, no 
entanto, para empuxos passivos pode ocorrer grande divergência na magnitude. O empuxo ativo 
também pode ser determinado por meio de métodos gráficos seguindo a análise paramétrica de 
Coulomb.
 
 
Este método auxilia no desenvolvimento de programação de softwares de cálculo de estrutura de 
arrimo e é de fácil implementação.
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Análisis de muros de contención - método de Coulomb.
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Empuxos de terra.
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Mecanica dos Solos e Fundações.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
https://www.youtube.com/embed/if733dcgZMM
http://www.ufjf.br/nugeo/files/2009/11/ms2_unid06.pdf
https://dspace.uevora.pt/rdpc/handle/10174/19306