Lista 1 RESOLVIDA

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Os vetores que vão da origem até os pontos A, B, C, D são, �⃗� = 𝑖+̂ 𝑗+̂ �̂�, �⃗�⃗ = 2𝑖+̂ 3𝑗,̂ �⃗� = 3𝑖+̂ 5𝑗−̂ 
2�̂�, �⃗�⃗ = �̂� − 𝑗 ̂Demonstrar que as linhas 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 são paralelas.
Listar 1
.
1
.
f = (1 , 1, 1) ; B = (2 , 5 , 0) ; C = (3 , 5 , - 2) : D= 10 , -1 ,1)
AB / ID = B / O
AB = B - A = (1
,
2
,
-1) e (5= D - C = (-3
,
+
, 3)
IBI IDE AB = K . ED, Ba
.. = -
1 = (1 , 2, - 1) =
-
11
- 3
,
-6
,
3)
Calcular o produto escalar, o produto vetorial e o ângulo entre os vetores �⃗� e �⃗�⃗, �⃗� = −𝑖+̂ 7𝑗+̂ 6�̂� 
e �⃗� ⃗= −𝑖−̂ 6𝑗+̂ 6�̂�.
L
.
P . escolar
A. = ( - 1
,
7
,
b) . ( - 1
,
- 6
,
6) = +1 . - 1) + (7 . - b) + 16 . 6) = 1 - 42 + 36 = -5
P
.
retorial
i = N e- ( - + uzi + 4b) - 16j -7k - 3xi)
~- - by
+ 42i + 6k +b+ 7 + 36 i
- 78i + 13k
in Fx = (78
,
0
,
13)
↑
Angula F . B = - 5
coso=
-
Il IBI /Al =47+ 5 = 1 + 49 + 36 = 06
181 = (76+ (5 = 1 + 36 + 36 = 73
005 8:a 8
= 105
-
26 = 13 , 34
Determinar o valor de a para que os vetores �⃗� e �⃗�⃗ sejam perpendiculares, �⃗� = 𝑎𝑖+̂ 4𝑗+̂ 3�̂�, 
�⃗�⃗ = 4𝑖+̂ 2𝑗−̂ 4�̂�
Demonstrar que os vetores �⃗�, �⃗� ⃗e �⃗� formam os lados de um triangulo retângulo, 
�⃗� = 2𝑖−̂ 𝑗+̂ �̂�, �⃗�⃗ = 𝑖−̂ 3𝑗−̂ 5�̂�, �⃗� = 3𝑖−̂ 4𝑗−̂ 4�̂�
Elevar ao quadrado ambos os lados da equação �⃗� = �⃗� + �⃗�.⃗ Da interpretação geométrica do 
resultado provar a “lei dos cossenos”.
Usando o produto escalar, encontrar o cosseno do ângulo entre a diagonal principal de um cubo e 
uma das arestas do cubo. 
3
Condição . = 0
F= (a ; 4 , 5) eB= (4 , 2 , - 4)
A . B = Ya + 8 - 12 = 0 =) Ha = 1b - 8 = Ya = 4 ... a = 1
4 .
f = (2 , - 1 , 1) ; B
= (1
,
- 3
,
- 5)0c= 13
,
- 4
,
- 4)
H
*
0a + + 2 => (5)= (71+ 15 = (9 + 16 + 6) = (4 + 1 +1) + (1 + 9 + 25) = 41 = 6 + 37 ... 41 = 41
Soz lades du um triângulo re
1
tangulo
5..
C = A + B = j
=
= (F- 5(2 = 38= Fa - 1 .1 . 5 + y
2 A. B = 2 /151 ceso ...
2
= F+
2
- 21 rest
sobe - so quer III = /FF= /I* . A .: A = A = C= A + B - 2A . B . ceso.
6.
(a
,
a
,
a) (D) = (3 !â) = D = 53a
-10,a ,a)Sà O2
(a
,
0
,
0) CES8 = = est = 2 = 1
10
,0 , a)
IB1
.
Ial Ba
Demonstrar que o gradiente de uma função escalar é um vetor cujo modulo é a derivada direcional 
máxima no ponto em bquestão e cujo sentido é o da máxima variação da mesma neste ponto.
7
sejar uma funcât escolar : f= f(x , y, z) e du=dux + dyg+ digt
-f + df)
d (x + Ex
, y+dy, z
+ dz) f apontar nadireção dar menor raniose dar funços ~ tem module igual a maximar vaniacc hur f(x ,y, g)
· f(x , y, z)
--in (f(x+dx , y-hy8+dy)-fwyz) * E teft-drf= 6taxdy+ fag= 5. e
F . = Fxx + Fycby + Ezz e dis = bx + dyj+ dizer ... f =2 + by+ if - fix , yz)
=
=* -E e
abs
V8>
82828384
* duf = f . dis = IFf) . 165/coso
so = deslocamente se manter sobre falatel
df= 0 = cos(t) = 0 = = = 90
* Considerande dis em diferentes direções
dof=15f) . as as
e
*
É maior quando o = 0 - ces 16 = [5f//d5] ... dufmón fl . Ins
Demonstrar que o vetor unitário normal à superfície de 𝜑(𝑟)⃗ = constante é �̂� = ∇𝜑 |∇𝜑| e encontre �̂� 
para a superfície 𝜑 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦.
8
Calcular o gradiente da função 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 − 𝑥𝑦 + 3𝑧^2
Encontrar o gradiente de r ou seja do |𝑟|⃗ e explicar qual o sentido da resposta
Considerar uma barra metálica fina e de formato retangular. Imaginar que você segura com a 
mão um canto da barra e coloca o canto diagonalmente oposto numa chama a 800 oC. Fazer 
o esboço de uma função campo escalar da temperatura, mostrando linhas de isotermas. 
Indicar em seu esboço a direção e o sentido gradiente da temperatura. 
9
f(x ,y, z) = x - xy + 3z2
· fixyz =(f(x , y, z,fix
, y,gf(x
,y, g)
=
f(x, yz)= 11- y ,
-x e
10
.
ir= Tiny
11
.
Se 𝑟 for o módulo do vetor 𝑟 ⃗e f(r) for uma função arbitrária de r, provar que 
Fazer um esboço de campos vetoriais que tenha divergente zero e diferente de zero. 
Citar exemplos
12. Mostrar que re de r so respectivamente , zre - /r .
5f(r) = GfIr
* , se f(r) = r = F(rY =(r) = 2r = 2r
2r
* 5ef(r =1 = f(r) = 0(1/r)
=
/r)r
=
Ee
15. Jfirs = buf
if(r)=fin .; via direçõe e o sentido de e
Cerne um reter é Tempeste per médule, direção e sentide , temes que i = r., ande = 151 ...
i = I = /fin = f(r)=
14 .
Demonstrar o teorema da divergência considerando um vetor �⃗� = 𝐴𝑥𝑖+̂ 𝐴𝑦𝑗+̂𝐴𝑧�̂� e um cubo de volume 
𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧. Calcular o fluxo em cada face e a seguir tomar o limite do fluxo por unidade volume 
quando o volume tende a zero. No contexto estudado qual a importância deste cálculo?
15
.
Fazer o esboço de um campo vetorial que tenha rotacional não nulo e nulo. Discutir 
um exemplo.
Considerando a situação particular em que 𝑑�⃗� = 𝑑𝑎�̂�, demonstre o teorema de Stokes. 
No contexto estudado qual a importância deste cálculo?
16
.
17
.
Encontrar o divergente e o rotacional do vetor �⃗� = (𝑥^2 + 𝑦𝑧)𝑖+̂ (𝑦^2 + 𝑧𝑥)𝑗+̂(𝑧^2 + 𝑥𝑦)�̂�.18 .
dir (i) =
1x tytaty e notic a Frag
Ax Ay Az
Ax
>
1
A tygie+g - ylh ... div (1) = 2x + y+ Gy
rotiol -I
dy tag six asay=2/2x
xxyz)(yge) (g2 + xy) (x yg) (y+zx)
(gixgletlxgggzlygx). ygxgy. e
(xi +
yy + zk) - (zk + xi + yj)= (0 , 0 , 0)
19. Ser for um reter que vai da origem até a ponte Ixy, g) , demonstran quer 5 . = 3 : xr = 0 , e ( . 1) r =
r = (x
,y, z)
= Y. =2+y +E
e Yxx = i I by siste j8/ax Ray 2/2 =7
x
8
X
y z y
5x =
/agtxj + yh)-(x-gitzg) = 10 e e
In . :- No yo
+go ) (x . y, g) = /xo, yo , ga) e
Mostrar que . Construir o gráfico para visualizar a função e veja 
o sentido do divergente neste caso
20 . Prevor que 1 . F(r)=I af r
5
..
F(e) = e) r ;= vr = i ==
=
E(r)=f(re e
21
21
.
V .(2) = -Es
·(E)=( ) = )r----
22 . Calculor e retacional de um reter considerande au situoro pontimlon em que dia= daufr , iste e , a áreau está restritor
as plone (x, y)
1
F = Azk + ret (1) = 5 . 1 - 8 : j
2 8/8x 2/Yay 2z ay
= rot() =
28
+ 0 + 0 -(0+0 +8 deO o
g
O
23 . Mestran que + x 14 = 0 . onde é uma função escolor .
5x5f = 0 , +f = ( -2 , f) -5x e e
I
by ag
Magosx