Cinemática e Dinâmica

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DINÂMICA 
Ricardo Lauxen
Cinemática da 
partícula: movimento 
em uma dimensão — 
movimento retilíneo 
uniformemente variado
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 Calcular a aceleração média de um sistema a partir das informações
de velocidade e tempo.
 Resolver problemas de movimento envolvendo acelerações
constantes.
 Construir gráficos de aceleração em função do tempo a partir de
gráficos de velocidade em função do tempo.
Introdução
A partir da observação conceitual das grandezas posição, velocidade 
e aceleração, é possível estabelecer relações entre elas, chegando a 
expressões que resolvam quantitativamente situações sobre o movimento 
com variação uniforme de velocidade.
Neste capítulo, estudaremos a cinemática da partícula em movimen-
tos unidimensionais com aceleração constante, também conhecida como 
movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV).
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Aceleração
O estudo do MRUV de uma partícula é o estudo de corpos que, sujeitos 
a uma aceleração constante, movimentam-se em linha reta. O objetivo 
aqui é determinar como as quantidades posição (x) e velocidade (v) variam 
ao longo do tempo (t), quando a aceleração (a) é constante, isto é, a taxa 
de variação da velocidade ao longo do tempo não muda, como expresso 
na Equação (1): 
O fato de a aceleração ser constante também é expresso graficamente. 
O gráfico da aceleração contra o tempo, mostrado na Figura 1, demonstra 
que o seu valor não muda conforme o tempo passa. A partir de (1), podemos 
encontrar as equações para v(t) e x(t).
Figura 1. Gráfico da aceleração contra o tempo. 
A aceleração não tem o seu valor alterado com o 
passar do tempo — ou seja, é constante. 
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Velocidade
Para determinar v(t), deve-se partir de (1), escrevendo:
De modo que, integrando em ambos os lados, obtém-se:
em que v0 = v(0). v0 = v(0). Integrando ambos os lados, o resultado é:
Logo,
A Equação (2) nos mostra que a relação entre a velocidade e o tempo é linear, 
de modo que o gráfico será uma reta, com a aceleração, a, desempenhando o 
papel da inclinação dessa reta, ou seja, se a > 0, a inclinação é positiva (Figura 
2a), mas se a < 0, a inclinação é negativa (Figura 2b).
Figura 2. Gráfico da velocidade versus tempo: (a) caso aceleração positiva; (b) caso ace-
leração negativa.
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Os gráficos da velocidade contra o tempo, mostrados na Figura 2, não partem da 
origem (0,0). Isso acontece porque o objeto cujo movimento está sendo representado 
já possui uma velocidade inicial, v
0
 ≠ 0. Você pode identificar essa velocidade a partir 
do gráfico, sempre no ponto onde a reta toca o eixo da velocidade. 
Posição
A posição da partícula pode ser determinada de maneira análoga à velocidade. 
Lembrando que a velocidade instantânea é a dada pela derivada da posição 
com respeito ao tempo:
Substituindo (3) em (2), obtemos:
sendo x0 = x(0).
No caso da posição, a relação com a variável tempo é quadrática, de modo 
que o seu gráfico será uma parábola, cuja concavidade muda de sentido de 
acordo com a aceleração. Se a aceleração é positiva, a concavidade do grá-
fico é voltada para cima, como mostrado na Figura 3a; caso seja negativa, a 
concavidade é voltada para baixo, como mostrado na Figura 3b.
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Figura 3. Gráfico da posição versus tempo: (a) caso aceleração positiva; (b) caso aceleração 
negativa. Nos casos representados, o objeto parte do repouso, ou seja, v
0
 = 0.
Equação de Torricelli
No caso em que não temos informações sobre o tempo transcorrido no mo-
vimento, existe a possibilidade de determinar a velocidade de uma partícula 
a partir da sua posição, caso seja conhecida. Para obtermos uma equação 
independente do tempo, podemos pensar em dividir a Equação (1) pela Equação 
(3), o que nos resulta em:
Mesmo sendo uma forma simplificada de obter a equação, a equação é 
válida. Então, resolvendo, temos esta equação diferencial separável:
que é conhecida como Equação de Torricelli. 
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Em uma estrada, um motorista dirige sempre na velocidade máxima permitida. Após 
passar por um trecho onde a velocidade máxima permitida era 50 km/h, ele acelera 
o carro, de maneira uniforme, até atingir 80 km/h, que é a nova velocidade máxima 
permitida indicada pela sinalização. 
Utilizando o computador de bordo do carro, o motorista pode determinar que a 
distância necessária para essa mudança de velocidade foi 160 m. Determine a aceleração 
do carro e o tempo necessário para atingir os 80 km/h.
Resposta
O primeiro passo é identificar as variáveis e transformar as velocidades para unidades 
do sistema internacional de unidades:
Como não temos o tempo percorrido, para determinar a aceleração, precisamos 
utilizar a Equação de Torricelli. 
Sendo ∆x = x – x
0
 = 180 m, a aceleração é:
Observe que a medida da velocidade é a que tem a menor precisão, dois algarismos 
significativos. Assim, o resultado da aceleração foi arredondado para 0,94 m/s². 
De posse da aceleração, podemos utilizar (2) para determinar o tempo:
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Na queda livre, temos somente a aceleração da gravidade; portanto, também é um 
MRUV. Suponha que uma bola cai da beira de uma janela, no segundo andar de um 
prédio, localizada a 4,2 m de altura do chão. 
Considerando que o movimento da bola até o chão foi de queda livre, determine a 
velocidade atingida pela bola no final do movimento e o tempo de queda.
Resposta 
Como o movimento é na vertical, o primeiro passo aqui é a definição do eixo y com 
sentido positivo sendo para baixo. Nesse caso, a aceleração da gravidade aponta no 
sentido positivo do eixo. Assim, as equações para a velocidade são:
em que h = y – y
0
. Observe que, se o sentido do eixo fosse o contrário, o sinal da 
aceleração mudaria, seria negativa. Como o objeto parte do repouso, a velocidade 
final atingida é:
O resultado da velocidade foi arredondado para 9,1 m/s, pois a medida da altura 
possui apenas dois algarismos significativos. 
Por fim, o tempo em segundos é:
Não esqueça de determinar o sentido do eixo. Lembre-se de que os eixos são in-
dependentes e de que, portanto, você pode determinar o sentido conforme achar 
conveniente. Mas muita atenção na escolha, pois o sentido do eixo determina o sinal 
da aceleração, como mencionado no exemplo acima.
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