Livro de Mecânica - UNIASSELVI

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Indaial – 2021
Mecânica
Prof. Diego Milnitz
Prof. Henrique Gonçalves Pereira
Prof. Leonardo Garcia dos Santos
2a Edição
Copyright © UNIASSELVI 2021
Elaboração:
Prof. Diego Milnitz
Prof. Henrique Gonçalves Pereira
Prof. Leonardo Garcia dos Santos
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
M659m
 Milnitz, Diego
 
 Mecânica. / Diego Milnitz; Henrique Gonçalves Pereira; 
Leonardo Garcia dos Santos. – Indaial: UNIASSELVI, 2021.
 
 196 p.; il.
 ISBN 978-65-5663-944-4
 ISBN Digital 978-65-5663-945-1 
 
 1. Energia mecânica. - Brasil. I. Milnitz, Diego. II. Pereira, 
Henrique Gonçalves. III. Santos, Leonardo Garcia dos. IV. Centro 
Universitário Leonardo Da Vinci.
 CDD 620
apresentação
Olá, acadêmico! Seja muito bem-vindo à disciplina de Mecânica. Este 
livro está dividido em três unidades. 
Na Unidade 1, você compreenderá os conceitos fundamentais da 
mecânica, entenderá os movimentos dos objetos, assim como suas progressões 
temporais e as relações matemáticas que os definam; conhecerá os tipos de 
movimento mais recorrentes e usualmente discutidos, como o movimento 
retilíneo uniforme, o movimento uniformemente variado e o lançamento de 
um projétil; e, por fim, discutirá os movimentos relativo, circular e rotação. 
Na Unidade 2, você compreenderá os conceitos de trabalho e energia; 
entenderá a relação entre o trabalho de uma força e a energia de um sistema; 
conhecerá os tipos e os conceitos de energia mecânica; aprenderá sobre o 
princípio da conservação de energia; e, por útltimo, conseguirá aplicar o 
princípio da conservação de energia em situações práticas.
Por último, na Unidade 3, você compreenderá a relação entre 
velocidade e aceleração linear e angular; conseguirá resolver problemas que 
envolvem energia, torque e momento angular de um corpo rígido.
Desejamos a você uma excelente jornada pelo caminho desta 
disciplina! Bons estudos!
Prof. Diego Milnitz
Prof. Henrique Gonçalves Pereira
Prof. Leonardo Garcia dos Santos
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novi-
dades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagra-
mação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui 
para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilida-
de de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assun-
to em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
Olá, acadêmico! Iniciamos agora mais uma disciplina e com ela 
um novo conhecimento. 
Com o objetivo de enriquecer seu conhecimento, construímos, além do livro 
que está em suas mãos, uma rica trilha de aprendizagem, por meio dela você 
terá contato com o vídeo da disciplina, o objeto de aprendizagem, materiais complemen-
tares, entre outros, todos pensados e construídos na intenção de auxiliar seu crescimento.
Acesse o QR Code, que levará ao AVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo.
Conte conosco, estaremos juntos nesta caminhada!
LEMBRETE
suMário
UNIDADE 1 — CINEMÁTICA E LEIS DE NEWTON .................................................................... 1
TÓPICO 1 — CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA ............................................... 3
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 3
2 GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS .................................................................................. 3
2.1 NOTAÇÃO ...................................................................................................................................... 4
2.2 IGUALDADE DE VETORES ......................................................................................................... 6
2.3 ADIÇÃO DE VETORES ................................................................................................................. 7
2.4 MULTIPLICAÇÃO DE VETORES ................................................................................................ 8
2.4.1 Multiplicação de um vetor por um escalar ........................................................................ 8
2.4.2 Produto escalar ....................................................................................................................... 9
2.4.3 Produto vetorial ..................................................................................................................... 9
3 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES .......................................................................... 10
3.1 UNIDADES DE BASE .................................................................................................................. 11
3.2 UNIDADES DERIVADAS ........................................................................................................... 12
3.3 UNIDADES SUPLEMENTARES ................................................................................................ 13
4 OUTROS CONCEITOS BÁSICOS DA MECÂNICA ................................................................. 14
4.1 CORPO OU ENTIDADE .............................................................................................................. 14
4.1.1 Partícula ou ponto material ................................................................................................ 15
4.1.2 Corpo extenso ....................................................................................................................... 15
4.2 REFERENCIAL ............................................................................................................................. 16
4.3 TRAJETÓRIA ................................................................................................................................. 18
4.4 ESPAÇO PERCORRIDO .............................................................................................................. 19
4.5 DESLOCAMENTO ....................................................................................................................... 19
4.6 TEMPO ........................................................................................................................................... 20
4.7 VELOCIDADE ............................................................................................................................... 21
4.8 ACELERAÇÃO ............................................................................................................................ 23
5 FECHAMENTO .................................................................................................................................. 25
RESUMO DO TÓPICO 1.....................................................................................................................27
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 28
TÓPICO 2 — MRU, MRUV E LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS ................................................ 31
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 31
2 MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME (MRU) ....................................................................... 31
3 MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV) ................................ 33
4 MOVIMENTO DE PROJÉTIL (LANÇAMENTO VERTICAL) ................................................. 36
4.1 FUNÇÃO HORÁRIA DA VELOCIDADE ................................................................................ 36
4.2 FUNÇÃO HORÁRIA DA POSIÇÃO ......................................................................................... 37
4.3 EQUAÇÃO DE TORRICELLI ..................................................................................................... 38
5 MOVIMENTO DE PROJÉTIL (LANÇAMENTO OBLÍQUO) .................................................. 40
5.1 ALCANCE HORIZONTAL ......................................................................................................... 41
5.2 ALTURA MÁXIMA ...................................................................................................................... 43
6 FECHAMENTO ................................................................................................................................. 45
RESUMO DO TÓPICO 2..................................................................................................................... 46
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 47
TÓPICO 3 — MOVIMENTO RELATIVO, CIRCULAR E ROTAÇÃO ...................................... 49
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 49
2 MOVIMENTO RELATIVO .............................................................................................................. 50
3 MOVIMENTO CIRCULAR ............................................................................................................. 54
4 MOVIMENTO DE ROTAÇÃO ....................................................................................................... 57
4.1 MOVIMENTO DE ROTAÇÃO UNIFORME ............................................................................ 58
4.2 MOVIMENTO DE ROTAÇÃO UNIFORMEMENTE ACELERADO .................................... 59
5 FECHAMENTO .................................................................................................................................. 62
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................ 63
RESUMO DO TÓPICO 3..................................................................................................................... 71
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 72
REFERÊNCIAS ...................................................................................................................................... 74
UNIDADE 2 — ENERGIA E MOVIMENTO .................................................................................. 75
TÓPICO 1 — TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA ..................................................................... 77
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 77
2 ENERGIA CINÉTICA ....................................................................................................................... 77
3 TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA ........................................................................................... 80
3.1 TEOREMA DO TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA ........................................................... 82
3.2 TRABALHO REALIZADO PELA GRAVIDADE ..................................................................... 84
3.3 TRABALHO REALIZADO POR UMA MOLA ........................................................................ 87
3.4 TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA VARIÁVEL ................................................. 90
4 POTÊNCIA .......................................................................................................................................... 91
4.1 UNIDADE ..................................................................................................................................... 92
RESUMO DO TÓPICO 1..................................................................................................................... 94
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 96
TÓPICO 2 — ENERGIA POTENCIAL ............................................................................................. 99
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 99
2 ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL ............................................................................ 101
3 ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA ........................................................................................... 104
RESUMO DO TÓPICO 2................................................................................................................... 107
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 108
TÓPICO 3 — CONSERVAÇÃO DE ENERGIA ............................................................................ 111
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 111
2 CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA ......................................................................... 111
2.1 ENERGIA MECÂNICA ............................................................................................................ 112
3 CONSERVAÇÃO DA ENERGIA TOTAL EM UM SISTEMA ISOLADO .......................... 116
LEITURA COMPLEMENTAR .......................................................................................................... 119
RESUMO DO TÓPICO 3................................................................................................................... 122
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 123
REFERÊNCIAS .................................................................................................................................... 126
UNIDADE 3 — CINEMÁTICA E DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO .................................... 127
TÓPICO 1 — SISTEMAS DE PARTÍCULAS E CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ............ 129
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 129
2 CENTRO DE MASSA ..................................................................................................................... 129
3 MOMENTO LINEAR DE UMA PARTÍCULA ........................................................................... 135
4 COLISÕES ......................................................................................................................................... 139
RESUMO DO TÓPICO 1................................................................................................................... 141
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................142
TÓPICO 2 — CINEMÁTICA ROTACIONAL .............................................................................. 144
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 144
2 ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO ............................................................................ 144
3 ENERGIA CINÉTICA DA ROTAÇÃO ........................................................................................ 151
RESUMO DO TÓPICO 2................................................................................................................... 161
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 163
TÓPICO 3 — DINÂMICA ROTACIONAL ................................................................................... 165
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 165
2 TORQUE DE UMA FORÇA .......................................................................................................... 165
3 MOMENTO ANGULAR ................................................................................................................ 171
LEITURA COMPLEMENTAR .......................................................................................................... 180
RESUMO DO TÓPICO 3................................................................................................................... 183
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 185
REFERÊNCIAS .................................................................................................................................... 187
1
UNIDADE 1 — 
CINEMÁTICA E LEIS DE NEWTON
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• compreender os conceitos fundamentais da mecânica diante da sua 
significância ao estudo da cinética;
• entender os movimentos dos objetos, assim como suas progressões 
temporais e as relações matemáticas que os definam;
• conhecer os tipos de movimento mais recorrentes e usualmente discutidos, 
como o movimento retilíneo uniforme, o movimento uniformemente 
variado e o lançamento de um projétil;
• discutir os movimentos relativo, circular e rotação.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade, 
você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo 
apresentado.
TÓPICO 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA.
TÓPICO 2 – MRU, MRUV E LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS.
TÓPICO 3 – MOVIMENTO RELATIVO, CIRCULAR E ROTAÇÃO.
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos 
em frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá 
melhor as informações.
CHAMADA
2
3
TÓPICO 1 — 
UNIDADE 1
CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA
1 INTRODUÇÃO
Para o estudo e o compreendimento da mecânica em particular, é preciso 
iniciar com alguns conceitos primordiais. Necessita-se fazer ainda algumas 
conjecturas admissíveis. Dois dos conceitos mais fundamentais são o espacial 
e o temporal. Neste ensinamento inicial do estudo das forças associadas ao 
movimento, ciência do movimento e cinética, será proposto que o ambiente físico 
dos ensaios comuns é apresentado adequadamente pelo espaço matemático de 
três dimensões da geometria (BEER; JOHNSTON JUNIOR; CLAUSEN, 2006). 
Com relação à conceituação temporal, será proposto que um encadeamento 
ordenado de eventos pode ser medido em uma proporção de tempo absoluta e 
uniforme. Além disso, também será proposto que o espaço e o tempo são entes 
distintos e independentes (HIBBELER, 2011). Entretanto, quando se estuda a 
teoria da relatividade, essas definições para espaço e tempo mudam, pois estes 
não são independentes e nem absolutos. Todavia, isto é um tema relativamente 
recente que complementa a mecânica clássica, em alguns aspectos, e, em outros, 
nos leva a reflexões muito intrigantes sobre a física e como o universo funcionam 
verdadeiramente.
Para determinar a posição de um objeto no espaço, é preciso ter um 
conjunto de referência. No estudo da mecânica, esse conjunto de referência é 
comumente denominado de sistema de coordenadas. O modelo fundamental de 
sistema de coordenadas que contenta as finalidades deste estudo é o sistema de 
coordenadas cartesianas ou retangulares, isto é, uma composição de três linhas 
retas ou eixos reciprocamente perpendiculares. Para especificar a posição de um 
ponto neste sistema cartesiano, serão empregadas as três coordenadas: x, y e z. 
As coordenadas de um ponto móvel alteram ao longo do tempo, portanto, são 
funções do valor “t”, medido segundo a grandeza de tempo escolhida. 
A partir dessas definições básicas sobre tempo e espaço, conforme 
Marques (2016), outra significação muito relevante para o estudo da mecânica 
está relacionada ao entendimento das grandezas escalares e vetoriais.
2 GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS
Para Hibbeler (2005), uma grandeza física que é inteiramente explicitada 
por um só número é denominada de escalar. Alguns exemplos conhecidos de 
escalares são a massa, o comprimento, o tempo, a temperatura etc. A Figura 1 
UNIDADE 1 — CINEMÁTICA E LEIS DE NEWTON
4
apresenta um exemplo prático de um escalar. Imagine que você está passeando em 
São Paulo e observa um termômetro de rua marcando 15 ºC. Para o entendimento 
real da situação, você não precisa de mais nenhuma informação. Pela leitura do 
termômetro, é possível entender que neste dia estava bem frio em São Paulo.
FIGURA 1 – EXEMPLO DA GRANDEZA ESCALAR TEMPERATURA
FONTE: <https://bit.ly/2ZBLXcp>. Acesso em: 5 maio 2021.
Na matemática, escalares são conhecidos como números reais comuns. 
Esses números reais comuns satisfazem a todas as regras algébricas de adição, 
subtração, multiplicação, divisão, entre outras (YOUNG; FREEDMAN, 2010).
Por outro lado, existem certas grandezas físicas que possuem uma 
propriedade direcional, como um deslocamento de um lugar para outro no 
ambiente. Essas grandezas precisam de uma direção, sentido e um módulo para 
as suas totais parametrizações. Estas grandezas são denominadas de vetores. Um 
vetor é uma entidade matemática caracterizada por ter um sentido, uma direção 
e um módulo (intensidade).
Além da mudança de posição no ambiente, outros exemplos conhecidos 
de vetores são impulso, quantidade de movimento, campo elétrico etc. A 
definição de vetor e o aprimoramento de toda uma matemática de grandezas 
vetoriais consiste em imprescindível desenvolvimento da Mecânica, neste caso 
em específico, da cinética. 
2.1 NOTAÇÃO 
Geralmente, as grandezas vetoriais são caracterizadas em algumas obras 
por tipo em negrito, por exemplo “A”, enquanto tipo itálico “A” representa 
quantidades escalares (YOUNG; FREEDMAN, 2010). Entretanto, a forma mais 
comum encontrada em trabalhos da área física e matemática é a utilização de 
TÓPICO 1 — CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA
5
O lado direito da equação demonstra o vetor A segundo as componentes 
de um sistema de coordenadas específico. Nesse caso, é submetido ao sistema de 
coordenadas cartesianas (x, y, z), a menos que seja especificado outro tipo. 
A título de exemplo, se o vetor A simula um movimento de um ponto Pa 
(xa; ya; za) até o ponto Pb (xb; yb; zb), logo Ax = xb-xa, Ay = yb-ya, Az = zb-za. Se 
A caracteriza uma força, desse modo, Ax é a componente x da força, e igualmente 
às demais componentes apresentadas. Notoriamente, os valores das componentes 
escalares de um vetor estão amarradas à definição dos eixos de coordenadas.
Reduzindo o estudo sobre vetores em um ambiente plano, nesse caso, é 
preciso apenas duas componentes. Entretanto, pode-se determinar um espaço 
matemático de infinitas dimensões. Então o símbolo [Ax, Ay, Az, ..., An] demonstra 
um vetor n-dimensional.
uma flecha,A, para caracterizar um vetor.
Caracteriza-se um vetor A por seu módulo, sua direção e sentido, no que 
diz respeito a algum sistema de referência selecionado. Já quando se representa 
um vetor por meio de um esquema ou gráfico, este deve ser um segmento de reta 
direcionado, como representado na Figura 2. 
→
→
→
→
→
→
FIGURA 2 – COMPONENTES DE UM VETOR EM UM SISTEMA CARTESIANO DE COORDENADAS
FONTE: O autor
Um vetor pode ainda ser caracterizado pela relação de seus componentes 
ou representações em cima dos eixos das coordenadas. O símbolo desses 
componentes [Ax, Ay, Az] será utilizado como uma reprodução possível para 
um vetor. 
A = [Ax, Ay, Az] Equação (1)
UNIDADE 1 — CINEMÁTICA E LEIS DE NEWTON
6
2.2 IGUALDADE DE VETORES
Se dois vetores são idênticos, então, os vetores são equivalentes e têm o 
mesmo tamanho, mas não têm essencialmente a mesma localização (YOUNG; 
FREEDMAN, 2010). A Figura 3 exemplifica de forma gráfica dois vetores iguais. 
FIGURA 3 – DEMONSTRAÇÃO GRÁFICA DA IGUALDADE DE VETORES
FONTE: O autor
Note que os vetores podem formar lados contrários de um paralelogramo. 
Vetores iguais não são essencialmente equivalentes por completo. Portanto, é 
possível que duas forças vetoriais idênticas que atuem em pontos distintos de um 
elemento podem gerar resultados mecânicos desiguais.
A equação,
A = B Equação (2)
ou,
[Ax, Ay] = [Bx, By] Equação (3)
é análoga às três equações
Ax = Bx; Ay = By Equação (4)
Ou seja, dois vetores serão idênticos se, e somente se, suas devidas 
componentes forem idênticas.
→ →
TÓPICO 1 — CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA
7
2.3 ADIÇÃO DE VETORES
O somatório de dois vetores é análogo ao terceiro lado de um triângulo, 
dois lados do qual são os vetores informados (YOUNG; FREEDMAN, 2010). 
O somatório dos vetores está demonstrado na Figura 4. A adição é permitida 
além disso pela regra do paralelogramo, como é possível observar na figura em 
questão.
FIGURA 4 – SOMATÓRIO DE DOIS VETORES
FONTE: O autor
A soma de dois vetores é determinada pela equação:
A + B Equação (5)
que é igual:
[Ax, Ay] + [Bx, By] Equação (6)
que também é igual:
[Ax + Bx; Ay + By] Equação (7)
O somatório de dois vetores é um vetor em que as componentes são as 
adições das componentes dos vetores informados.
Igualmente é possível realizar a subtração de dois vetores, conforme a 
seguir: 
→ →
UNIDADE 1 — CINEMÁTICA E LEIS DE NEWTON
8
A - B Equação (8)
que é igual:
A + (-1)* B Equação (9)
que também é igual:
[Ax - Bx; Ay - By] Equação (10)
Exemplo 1 – Dados os vetores 
encontre o vetor resultante da soma entre eles. Encontre também o seu módulo 
(FROEHLICH, 2012, p. 6).
Solução 
Para encontrar o vetor resultante da soma, fazemos:
O módulo pode ser obtido como segue:
2.4 MULTIPLICAÇÃO DE VETORES
Existem três possibilidades para multiplicar vetores, que são a 
multiplicação de um vetor por um escalar, produto escalar e produto vetorial. 
Contudo, o que se denomina de multiplicação de vetores não é, via de regra, uma 
elementar multiplicação algébrica (YOUNG; FREEDMAN, 2010).
2.4.1 Multiplicação de um vetor por um escalar
Este é o caso mais simples em que se multiplica um vetor por um escalar. 
Por exemplo, a multiplicação do escalar “t” pelo vetor A.
Onde,
A= [Ax + Ay + Az] Equação (11)
→
→
→
→
→
→
TÓPICO 1 — CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA
9
O resultado dessa multiplicação é igual a:
t* A = [t*Ax + t*Ay + t*Az] Equação (12)
Resultando num novo vetor com um fator igual a “t”.
2.4.2 Produto escalar
O produto escalar, ou produto interno, é a multiplicação entre dois 
vetores, que resulta num escalar e é definido pela equação:
A * B Equação (13)
que é igual:
[Ax*Bx + Ay*By] Equação (14)
que também é igual por meio da aplicação da lei dos cossenos:
A * B * cos θ Equação (15)
2.4.3 Produto vetorial
O produto vetorial de dois vetores A e B é definido pelo vetor em que os 
componentes são apresentados pela equação:
A * B Equação (16)
que é igual:
A * B * sen θ Equação (17)
Ainda, caso sejam consideradas as três coordenadas cartesianas, têm-se 
também:
[Ay*Bz – Az*By; Az*Bx – Ax*Bz; Ax*By – Ay*Bx] Equação (18)
Exemplo 2 – Dados os vetores , 
encontre o produto escalar e os módulos entre eles (FROEHLICH, 2012, p. 7).
Solução
→
→
→
→
→
→
→
UNIDADE 1 — CINEMÁTICA E LEIS DE NEWTON
10
Para encontrar o produto escalar, utiliza-se a multiplicação com seus 
vetores unitários,
Para encontrar os seus módulos:
3 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
Ao longo do tempo, vários foram os sistemas de unidades instituídas 
nas diversas regiões do mundo. Em função do escambo global de produtos e 
informações, bem como da própria contradição entre unidades anteriormente 
seguidas, estabeleceu-se nos anos 1960, por meio do Bureau Internacional de Pesos 
e Medidas (BIPM), um conjunto coerente de unidades, o Sistema Internacional de 
Unidades (SI).
As unidades de medida são essenciais para a realização de uma mensuração, 
instituída por um padrão, segundo um acordo comum, regional, nacional ou internacional.
IMPORTANT
E
O Bureau Internacional de Pesos e Medidas tem por incumbência garantir 
a unificação mundial das medidas físicas, tendo como responsabilidade:
• Estabelecer os padrões básicos e as escalas das grandezas físicas fundamentais 
e manter os protótipos internacionais.
• Realizar a comparação dos padrões nacionais e internacionais.
• Garantir a coordenação das técnicas de medidas adequadas.
• Coordenar as determinações relativas às constantes físicas que interferem nas 
atividades de mensuração (BIPM, 2018).
A adesão das unidades do SI no Brasil é uma exigência legal e ocasiona 
alguns pontos positivos como:
• Clareza no entendimento das informações em nível internacional (vantagem 
comercial e científica).
TÓPICO 1 — CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA
11
• Comprovação de maturidade técnico-científica por meio da renúncia de 
sistemas superados.
• Simplificação das equações que relatam os fenômenos físicos, pelo fato de 
existir consistência entre as unidades das grandezas envolvidas (BIPM, 2018).
No Sistema Internacional, distinguem-se três classes de unidades, que são: 
 
 I. Unidades de base.
 II. Unidades derivadas.
 III. Unidades suplementares (BIPM, 2018).
3.1 UNIDADES DE BASE
No Sistema Internacional de Unidades, somente sete grandezas físicas 
independentes são definidas, as denominadas unidades de base. Todas as demais 
unidades são derivadas dessas sete (BIPM, 2018). As definições dessas grandezas 
serão expostas na Quadro 1. Ainda que o valor de cada grandeza seja sempre fixo, 
não é raro que a forma de determinar uma grandeza apresente alteração.
Quando acontecem, essas alterações são causadas por algum avanço 
tecnológico que cria melhores condições de representação do valor unitário dessa 
grandeza, ou seja, facilidade e menores erros.
QUADRO 1 – UNIDADES DE BASE DO SISTEMA INTERNACIONAL
GRANDEZA 
FUNDAMENTAL UNIDADE DEFINIÇÃO
UNIDADE 
SÍMBOLO
Comprimento
O metro é o comprimento do trajeto 
percorrido pela luz no vácuo durante o intervalo 
de tempo de 1/299792458 do segundo.
m
Massa O quilograma é a unidade de massa: ele é igual à massa do protótipo internacional do quilograma. kg
Tempo
O segundo é a duração de 9.192.631.770 períodos da 
radiação correspondente à transição entre dois níveis 
hiperfinos do estado fundamental do césio 133.
s
Intensidade de 
corrente elétrica
O ampère é a intensidade de uma corrente elétrica 
constante que, mantida entre dois condutores 
paralelos, retilíneos, de comprimento infinito, de 
seção circular desprezível e situada à distância 
de 1 metro entre si, no vácuo, produz entre esses 
condutores uma força igual a 2 x 10-7 newton por 
metro de comprimento.
A
Temperatura 
termodinâmica
O kelvin, unidade de temperatura termodinâmica, 
é a fração 1/273,16 da temperatura termodinâmica 
do ponto tríplice da água.K
UNIDADE 1 — CINEMÁTICA E LEIS DE NEWTON
12
Intensidade 
luminosa
A candela é a intensidade luminosa, numa dada 
direção de uma fonte, que emite uma radiação 
monocromática de frequência 540 x 1012, cuja 
intensidade energética nessa direção é 1/683 watt 
por esterradiano.
cd
Quantidade de 
matéria
O mol é a quantidade de matéria de um sistema 
contendo tantas entidades elementares quanto 
átomos presentes em 0,012 quilogramas de 
carbono 12.
mol
FONTE: Alves (1998, p. 23)
3.2 UNIDADES DERIVADAS
Unidades derivadas são as unidades que são constituídas pela combinação 
das unidades de base segundo relações algébricas que correlacionam as 
apropriadas grandezas. Compõem a maioria das grandezas em utilização. 
O Quadro 2 apresenta algumas dessas grandezas. Por serem muito 
utilizadas, algumas recebem designação característica, como newton, pascal, 
watt, hertz etc. (a escrita com iniciais em letras minúsculas é propositada e é para 
distinguir dos respectivos nomes próprios Newton, Pascal, Watt, Hertz etc.).
QUADRO 2 – UNIDADES SI DERIVADAS
Grandeza Nome Símbolo
Superfície metro quadrado m²
Volume metro cúbico m³
Velocidade metro por segundo m/s
Aceleração metro por segundo ao quadrado m/s²
Número de ondas 1 por metro
Massa específica quilograma por metro cúbico kg/m³
Concentração quant. matéria mol por metro cúbico mol/m³
Volume específico metro cúbico por quilograma m³/kg
Luminância candela por metro quadrado cd/m²
Frequência hertz Hz
Força newton N
Pressão pascal Pa
Energia, trabalho, quantidade de calor joule J
Potência, fluxo energético watt W
Carga elétrica coulomb C
Tensão elétrica volt V
Capacitância elétrica farad F
Resistência elétrica ohm Ω
TÓPICO 1 — CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA
13
FONTE: Alves (1998, p. 24)
Condutância siemens S
Fluxo de indução magnética weber Wb
Indução magnética tesla T
Indutância henry H
Fluxo luminoso lumen lm
Iluminamento ou aclaramento lux lx
Viscosidade dinâmica pascal segundo Pa.s
3.3 UNIDADES SUPLEMENTARES
No Sistema Internacional são também determinadas as unidades 
suplementares. São unidades cujo sentido é puramente matemático, sem que 
um padrão ou elemento físico seja mandatório. Trata-se fundamentalmente das 
unidades de ângulo plano e ângulo sólido, como mostra o Quadro 3. O ângulo 
plano é a relação entre dois comprimentos e o ângulo sólido é a relação entre uma 
área e o quadrado de um comprimento. 
São unidades sem dimensão. Nota-se que essas unidades também podem 
ser combinadas com as unidades base para formar novas unidades derivadas.
QUADRO 3 – UNIDADES SI SUPLEMENTARES E SUAS DERIVADAS
FONTE: Alves (1998, p. 25)
Grandeza Nome Símbolo
Ângulo plano Radiano rad
Ângulo sólido Esterradiano sr
Velocidade angular Radiano por segundo rad/s
Aceleração angular Radiano por segundo quadrado rad/s²
Intensidade energética Watt por esterradiano W/sr
Luminância energética Watt por metro quadrado esterradiano W/m².sr
O Bureau Internacional de Pesos e Medidas verificou que os usuários do 
Sistema Internacional terão necessidade de utilizar em conjunto algumas unidades 
que não fazem parte do SI, contudo estão vastamente difundidas. Essas unidades 
exercem papel tão importante que é indispensável conservá-las para uso geral 
com o Sistema Internacional de Unidades (BIPM, 2018). Elas são apresentadas no 
Quadro 4.
UNIDADE 1 — CINEMÁTICA E LEIS DE NEWTON
14
QUADRO 4 – UNIDADES QUE NÃO FAZEM PARTE DO SI, MAS SÃO AMPLAMENTE USADAS
FONTE: Alves (1998, p. 25)
Nome Símbolo Valor
Minuto min 1 min = 60 s
Hora h 1 h = 60 min = 3.600 s
Dia d 1 d = 24 h = 86.400 s
Grau ° 1° = (p/180) rad
Minuto ' 1' = (1/60)° = (p/10.800) rad
Segundo " 1" = (1/60)' = (p/648.000) rad
Litro l, L 1l = 1dm³ = 10¯³ m³
Tonelada t 1 t = 10³ kg
A associação de unidades desse quadro com unidades SI, para formar 
unidades compostas, não deve ser empregada senão em casos restritos, a fim de 
não perder as vantagens de consistência das unidades SI.
Exemplo 3 – Calcule o número de km em 6 milhas (FROEHLICH, 2012, 
p. 14).
Solução
Temos que 1 km = 0,6214 mi. A regra é simples, multiplicamos a unidade 
que desejamos converter (1 mi) pela unidade que desejamos obter (1 km) e 
dividimos pelo seu equivalente na unidade que queremos substituir (0,6214 mi).
4 OUTROS CONCEITOS BÁSICOS DA MECÂNICA
Além do entendimento sobre vetores e as diversas unidades de medida 
do Sistema Internacional, outros conceitos básicos para o estudo da mecânica 
serão apresentados na sequência, como o conceito de corpo e ponto material, 
referencial, espaço, tempo, deslocamento, trajetória, velocidade e aceleração.
4.1 CORPO OU ENTIDADE
No estudo da mecânica, a definição de corpo é compreendida como sendo 
uma entidade material que ocupa um lugar no espaço e no tempo (OLIVEIRA, 
2013). Além disso, segundo Marques (2016), sofre dois tipos de classificação, 
TÓPICO 1 — CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA
15
dependendo do referencial que se utiliza na comparação, ou seja, uma entidade 
pode ser classificada como sendo uma partícula ou ponto material, e também 
pode ser considerada como sendo um corpo extenso. 
4.1.1 Partícula ou ponto material
Uma entidade é classificada como partícula ou ponto material em física 
quando suas medidas são desprezíveis na circunstância estudada (OLIVEIRA, 
2013). Na Figura 5 será apresentado um exemplo de uma partícula ou ponto 
material, que nesse caso é o barco se comparado ao mar.
FIGURA 5 – EXEMPLO DE UMA PARTÍCULA OU PONTO MATERIAL
FONTE: <https://bit.ly/3ij15Sz>. Acesso em: 5 maio 2021.
Nesse caso, um barco se movimenta no mar, portanto, pode-se considerar 
esse barco como sendo um ponto material, já que seu tamanho, quando comparado 
com a extensão do mar, é totalmente desprezível.
4.1.2 Corpo extenso
Um corpo extenso é aquele que não possui tamanho ou dimensões 
insignificantes na circunstância considerada (OLIVEIRA, 2013). Na Figura 6 
será apresentado um exemplo de um corpo extenso, que nesse caso é o barco se 
comparado ao estaleiro onde está sendo construído.
UNIDADE 1 — CINEMÁTICA E LEIS DE NEWTON
16
FIGURA 6 – EXEMPLO DE UM CORPO EXTENSO
FONTE: <https://bit.ly/2Y2UQeV>. Acesso em: 5 maio 2021.
Esse barco, que no mar pode ser entendido como um ponto material ou 
partícula, dentro de um estaleiro não será mais insignificante, pois ocupará um 
espaço considerável do estaleiro onde está sendo construído, portanto, ele passa 
a ser compreendido com um corpo extenso.
É interessante lembrar que essas representações são possíveis por meio 
de outro importante conceito em física que também é aplicado ao estudo da 
mecânica. Uma entidade pode ser definida como um ponto material ou um corpo 
extenso, isso estará sujeito à referência considerada na circunstância, no primeiro 
exemplo, o mar, e, no segundo, o estaleiro. No próximo subitem será abordada 
em mais detalhes a definição de referencial.
4.2 REFERENCIAL
De maneira formal, um referencial pode ser entendido como um conjunto 
de elementos que formam um sistema de referência, ou seja, que serve de 
referência (HIBBELER, 2005). Talvez o entendimento prático seja possível por 
meio da resposta a uma simples pergunta: “neste momento, você está parado ou 
em movimento?”.
Inicialmente, essa questão pode aparentar ser sem muita relevância e com 
resposta inequívoca, entretanto, se parar para refletir é possível entender que essa 
resposta não é tão simples. Pode-se considerar parado em relação ao chão da sua 
casa, por exemplo, ou como se está contido na Terra, consequentemente também 
sofre influência dos movimentos que ela apresenta, isto é, rotação e translação. 
Desse modo, em relação ao sol, por exemplo, pode-se considerar em movimento.
TÓPICO 1 — CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA
17
Para Hibbeler (2005), a definição de referencial é muito relevante, 
principalmente no que diz respeito a trajetórias de um movimento. Nas Figuras 
7 e 8 serão apresentados exemplos de dois observadores olhando o mesmo 
fenômeno, em que cada um analisa uma trajetória diferente. 
FIGURA 7 –AVIÃO SOLTANDO UMA BOMBA E EVENTO SENDO OBSERVADO POR UMA PESSOA
FONTE: O autor
FONTE: O autor
No evento da Figura 7, um avião bombardeiro solta um míssil em campo 
aberto. Note que para o observador olhando de fora do avião bombardeiro, o 
míssil cai formando uma curva (parábola), ou seja, essa é a sua trajetória.
A Figura 8 ilustra o mesmo evento observado do ponto de vista do piloto.
FIGURA 8 – AVIÃO SOLTANDO UMA BOMBA E EVENTO SENDO OBSERVADO PELO PILOTO
UNIDADE 1 — CINEMÁTICA E LEIS DE NEWTON
18
Tendo o piloto como observador do míssil caindo sempre abaixo de seu 
avião bombardeiro, ele sempre observa uma trajetória reta. Obviamente, nesse 
caso, considerando nula a resistência do ar.
4.3 TRAJETÓRIA
Segundo Hibbeler (2005), a trajetória pode ser definida como o caminho 
efetivado por uma determinada entidade no espaço, baseado em um sistema de 
coordenadas preestabelecido. Como visto nos exemplos das Figuras 7 e 8, em que 
um avião bombardeiro solta um míssil, temos que:
Na Figura 7, quando o referencial observa o evento de fora do avião, ele 
observa uma trajetória curva da bomba em relação ao distanciamento do avião e 
à aproximação com o solo.
Já na Figura 8, quando o referencial é o piloto do avião bombardeiro, este 
observa uma trajetória reta do míssil se afastando do avião em direção ao solo.
Exemplo 4 – Um trem anda sobre trilhos horizontais retilíneos com 
velocidade constante igual a 80 km/h. No instante em que o trem passa por uma 
estação, cai um objeto, inicialmente preso ao teto do trem, conforme apresentado 
na Figura 9.
FIGURA 9 – EXEMPLO DE TRAJETÓRIA
FONTE: <http://muitafisica.blogspot.com/2009/03/cinematica.html>. Acesso em: 5 maio 2021.
Pergunta-se:
a) Qual a trajetória do objeto, vista por um passageiro parado dentro do trem?
b) Qual a trajetória do objeto, vista por um observador parado na estação? 
(Suponha que o trem vai em sentido à estação).
Resposta: levando em consideração a definição apresentada nesse caso, a 
trajetória do objeto vista pelo passageiro dentro do trem será reta em direção ao 
chão do trem. Já a trajetória vista pelo observador na estação será curva, conforme 
os exemplos apresentados nas Figuras 7 e 8.
TÓPICO 1 — CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA
19
4.4 ESPAÇO PERCORRIDO
O espaço percorrido é compreendido como uma grandeza escalar, 
contrariamente ao deslocamento. O espaço ou distância transcorrida é o somatório 
dos módulos de todos os deslocamentos retos que derivam no deslocamento 
integral de uma entidade (BEER; JOHNSTON JUNIOR; CLAUSEN, 2006). Ainda, 
o espaço transcorrido pode ser medido com a soma total das distâncias que a 
entidade realiza até atingir a posição final. O espaço percorrido pode ainda ser 
denominado de deslocamento escalar. Na Figura 10 há um exemplo de espaço 
percorrido.
FIGURA 10 – EXEMPLO DE ESPAÇO PERCORRIDO
FONTE: <https://bit.ly/3ileidI>. Acesso em: 21 maio 2021.
Na Figura 10, o espaço percorrido é o somatório total da distância realizada 
entre o ponto A e o ponto B, sendo representado pela curva na cor preta, ou seja, 
o espaço percorrido ou distância foi de 50 km.
4.5 DESLOCAMENTO
Deslocamento é uma grandeza vetorial que é medida pela subtração de 
duas grandezas vetoriais: a posição final (SF) e a posição inicial (S0) de um objeto, 
isto é, o deslocamento de uma entidade corresponde à distância entre esses dois 
pontos, assim sendo, se essa entidade se move e retorna para o ponto de onde 
partiu, seu deslocamento constará como nulo (BEER; JOHNSTON JUNIOR; 
CLAUSEN, 2006). A Figura 11 ilustra um exemplo de deslocamento entre dois 
pontos, A e B.
UNIDADE 1 — CINEMÁTICA E LEIS DE NEWTON
20
FIGURA 11 – EXEMPLO DE DESLOCAMENTO
FONTE: <https://bit.ly/3ileidI>. Acesso em: 21 maio 2021.
Na Figura 11, o deslocamento é a subtração entre a distância do ponto A até 
o ponto B, sendo representado pela reta na cor vermelha, ou seja, o deslocamento 
foi de 30 km.
Matematicamente, o deslocamento pode ser representado por meio de 
uma equação algébrica que represente a relação a seguir, onde:
Deslocamento = Posição Final – Posição Inicial
Pode-se representar essa relação por:
• Deslocamento – igual a Δx (sendo que o “Δ” representa a variação entre as 
posições calculadas x).
• Posição inicial – igual a “xi” é a posição inicial.
• Posição final – igual a “xf” é a posição final.
Portanto, tem-se:
Δx = xf - xi Equação (19)
Desse modo, com a expressão anterior é possível calcular o deslocamento 
para qualquer situação.
4.6 TEMPO
Na física, especialmente na mecânica clássica, o tempo é a grandeza 
física rigorosamente relacionada ao correto sequenciamento, por meio da 
ordem de acontecimentos, dos fatos naturais, definidos segundo casualidades 
respectivamente espaciais e temporais entre tais fatos e as referências de um ou 
mais relógios devidamente dispostos, sincronizados e atrelados ao ponto inicial 
e aos eixos de coordenadas de referência em que se define o tempo (OLIVEIRA, 
2013).
TÓPICO 1 — CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA
21
De outra forma, pode ser compreendido com uma grandeza “t” empregada 
para contar as alterações das posições e mostrar se o objeto se encontra em 
movimento ou parado. Em um determinado intervalo de tempo “Δt”, a sincronia 
e a precedência de um acontecimento são independentes de quem observa. 
É importante salientar que esse conceito de tempo aplicado na mecânica 
clássica se altera quando tratado a partir dos ensinamentos da mecânica quântica, 
principalmente pela teoria da relatividade restrita de Einstein. Entretanto, esse 
assunto não será abordado neste livro.
4.7 VELOCIDADE
A velocidade pode ser compreendida como uma grandeza vetorial “ ” que 
determina a rapidez com que um objeto se movimenta. A velocidade ainda pode 
ser definida como velocidade média, ou velocidade instantânea. A velocidade 
média pode ser definida como a razão entre a variação do deslocamento pela 
variação do tempo. Na figura a seguir será apresentado um gráfico que exemplifica 
as velocidades média e instantânea.
FIGURA 12 – GRÁFICO DAS VELOCIDADES MÉDIA E INSTANTÂNEA
FONTE: Froehlich (2012, p. 19)
reta tangente à curva 
das posições
Matematicamente, podemos representar por:
 Equação (20)
Assim,
 Equação (21)
UNIDADE 1 — CINEMÁTICA E LEIS DE NEWTON
22
Já a velocidade instantânea é definida pela taxa de variação no tempo de 
deslocamento, ou seja, é representada pela derivada da posição em relação ao 
tempo. Portanto,
 Equação (22)
Assim,
 Equação (23)
Exemplo 5 – Utilizando os dados do exemplo anterior, encontre a 
velocidade média e a velocidade instantânea da partícula móvel (FROEHLICH, 
2012, p. 19).
Solução 
A velocidade média é dada pela definição, , sendo a posição 
inicial igual a zero e o tempo inicial também igual a zero. Assim, encontramos:
A velocidade instantânea é dada pela derivada da posição, . 
Assim, devemos encontrar a derivada de x e de y:
TÓPICO 1 — CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA
23
Substituindo o tempo por 15 segundos, temos:
Dessa maneira, o vetor velocidade instantânea se torna,
4.8 ACELERAÇÃO 
A aceleração pode ser compreendida como uma grandeza física que 
mostra como a velocidade de um objeto varia no tempo. A aceleração geralmente 
é provocada por um agente físico chamado de força. Quando um objeto é 
submetido à ação de uma força, ou de um sistema de forças, pode ficar sujeito a uma 
aceleração e, por conseguinte, apresentará variação de velocidade. A aceleração 
ainda pode ser definida como aceleração média, ou aceleração instantânea.
Por definição, a aceleração média é a razão entre a variação de velocidade 
e a variação do intervalo de tempo. Matematicamente, podemos representar por:
Equação (24)
Equação (25)
Assim,
Já a aceleração instantânea é definida pela taxa de variação no tempo da 
velocidade, ou seja, é representada pela derivada da velocidade em relação ao 
tempo. Portanto,
UNIDADE 1 — CINEMÁTICA E LEIS DE NEWTON
24
Assim,Equação (27)
Exemplo 6 – Um ponto material se desloca em linha reta, de modo que a 
sua posição é definida pelo diagrama da figura a seguir (FROEHLICH, 2012, p. 23).
FIGURA 13 – POSIÇÃO “Y” EM FUNÇÃO DO TEMPO “X”.
FONTE: Froehlich (2012, p. 23)
Encontre a função da velocidade e da aceleração em função do tempo. 
Mostre os gráficos.
Solução
A velocidade é a derivada da posição no tempo ,
que descreve o comportamento do gráfico da figura a seguir.
FIGURA 14 – VELOCIDADE “Y” EM FUNÇÃO DO TEMPO “X”
FONTE: Froehlich (2012, p. 24)
TÓPICO 1 — CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA
25
No gráfico da velocidade v(m/s) em função do tempo t(s), a velocidade 
inicial é zero em zero segundos, em t = 2 s o corpo atinge a velocidade máxima de 
12 m/s, depois volta a decrescer até zero, quando volta a aumentar em módulo. O 
sinal negativo indica que o ponto material está se aproximando da origem.
A aceleração é dada pela derivada da função da velocidade , 
que descreve o comportamento do gráfico na figura a seguir.
FIGURA 15 – ACELERAÇÃO “Y” EM FUNÇÃO DO TEMPO “X”
FONTE: Froehlich (2012, p. 24)
No gráfico da velocidade v(m/s) em função do tempo t(s), a aceleração 
inicial é de 12 m/s2 e, em t = 2 s, a aceleração se anula.
5 FECHAMENTO
Neste capítulo, foram abordados dois dos conceitos fundamentais da 
mecânica, que são o espacial e o temporal. Nesse ensinamento inicial do estudo 
das forças associadas ao movimento, ciência do movimento e cinética, foi definido 
que o ambiente físico dos ensaios comuns é apresentado adequadamente pelo 
espaço matemático de três dimensões da geometria. 
Com relação à conceituação temporal, foi definido que um encadeamento 
ordenado de eventos pode ser medido em uma proporção de tempo absoluta e 
uniforme. Além disso, também foram definidos que o espaço e o tempo são entes 
distintos e independentes. 
Para determinar a posição de um objeto no espaço, é preciso ter um 
conjunto de referência. No estudo da mecânica, esse conjunto de referência é 
comumente denominado de sistema de coordenadas. O modelo fundamental de 
sistema de coordenadas que contenta as finalidades desse estudo é o sistema de 
coordenadas cartesianas ou retangulares, isto é, uma composição de três linhas 
retas ou eixos reciprocamente perpendiculares. Para especificar a posição de um 
UNIDADE 1 — CINEMÁTICA E LEIS DE NEWTON
26
ponto nesse sistema cartesiano, foram empregadas as três coordenadas, x, y e z. 
As coordenadas de um ponto móvel alteram ao longo do tempo, portanto, são 
funções do valor “t” medido segundo a grandeza de tempo escolhida. 
A partir dessas definições básicas de tempo e espaço, outra significação 
muito relevante para o estudo da mecânica está relacionada ao entendimento das 
grandezas escalares e vetoriais. 
27
Neste tópico, você aprendeu que:
• É fundamental o entendimento do que é um vetor, bem como as operações 
básicas com vetores.
• Existem diversos tipos de unidades de grandezas mecânicas no Sistema 
Internacional (SI).
• É importante a caracterização e a compreensão sobre corpo extenso de ponto 
material.
• A definição de espaço, tempo e referencial é primordial para o estudo da 
mecânica.
• Os conceitos de deslocamento e trajetória são cruciais aos estudos da cinemática.
• A velocidade e a aceleração têm uma relação importante com o tempo.
RESUMO DO TÓPICO 1
28
1 Um carro se movimenta sobre uma ponte, como mostra a figura, onde o 
corpo se desloca do ponto A, considerado posição inicial (S0), e o ponto B, 
considerado a posição final (SF), a uma aceleração constante de 12 m/s e 
um intervalo de tempo de 18 segundos, avaliando que a variação de espaço 
percorrido é calculada pela diferença entre a posição final e a inicial.
AUTOATIVIDADE
Com base nas informações apresentadas, responda às questões:
a) Qual a distância percorrida (variação de espaço) pelo carro em cima da 
ponte? Apresente o cálculo.
b) Utilizando a fórmula, calcule a velocidade média durante o deslocamento 
do carro sobre a ponte.
2 A velocidade de um corpo é definida pela relação entre o deslocamento 
de um corpo em um tempo determinado. É classificada, também, como a 
grandeza que mede o quão rápido um corpo se desloca. Sobre o exemplo 
de um tigre em um zoológico que demora 4 segundos para atravessar sua 
jaula de 12 metros, analise as sentenças a seguir:
I- A velocidade é definida como a variação no tempo do vetor deslocamento.
II- A velocidade média que o tigre se desloca é de 5 m/s.
III- A velocidade é determinada pela variação da posição em que se encontra, 
em relação ao deslocamento percorrido.
IV- A velocidade média que o tigre se desloca é de 3 m/s.
Assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) As sentenças II e IV estão corretas.
b) ( ) As sentenças I, III e IV estão corretas.
c) ( ) As sentenças I, II e III estão corretas.
d) ( ) As sentenças I e IV estão corretas.
29
3 O Sistema Internacional de Unidades (SI) deveria estabelecer para cada 
grandeza somente uma unidade. Do mesmo modo, foram estabelecidos 
os seus símbolos, as unidades derivadas, as unidades suplementares e os 
prefixos. O progresso científico e tecnológico tem possibilitado a redefinição 
dos padrões dessas grandezas. Sobre as unidades de base, conforme os 
símbolos, analise as sentenças a seguir:
I- Intensidade de corrente elétrica - A (ampère).
II- Temperatura - K (kelvin).
III- Quantidade de matéria - mol.
IV- Temperatura - C (celsius).
Assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) As sentenças I, II e III estão corretas.
b) ( ) As sentenças I, III e IV estão corretas.
c) ( ) Somente a sentença I está correta.
d) ( ) As sentenças II, III e IV estão corretas.
4 Uma pessoa que se movimenta sobre uma calçada, desloca-se do ponto 
A, considerado posição inicial (S0 = 0m), até um ponto B, considerado 
a posição final (SF = 100m), a uma aceleração constante de 1 m/s e um 
intervalo de tempo de 60 segundos, avaliando que a variação de espaço 
percorrido é calculada pela diferença entre a posição final e a inicial. Com 
base nas informações apresentadas, responda à questão a seguir:
Qual é a velocidade média durante o deslocamento da pessoa sobre a calçada?
5 Isaac Newton foi uma das mentes mais brilhantes que apareceram em nosso 
planeta em todos os tempos. Os benefícios de suas descobertas foram e 
ainda são de grande importância em áreas como a engenharia. A afirmação: 
“os corpos permanecem em repouso ou em movimento retilíneo uniforme 
a não ser que sobre eles atue alguma força resultante diferente de zero” 
corresponde à:
FONTE: FROEHLICH, M. L. Física geral. Indaial: UNIASSELVI, 2011.
a) ( ) Primeira Lei de Newton.
b) ( ) Segunda Lei de Newton.
c) ( ) Terceira Lei de Newton.
d) ( ) Quarta Lei de Newton.
30
31
TÓPICO 2 — 
UNIDADE 1
MRU, MRUV E LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS
1 INTRODUÇÃO
A Mecânica é a parte da Física encarregada de estudar os movimentos dos 
objetos, assim como suas progressões temporais e as relações matemáticas que 
os definam. Para Merian e Kraige (2008), é um conhecimento de extraordinária 
relevância, com inúmeras aplicações, como na Geofísica, na Medicina, na 
Astrofísica e, principalmente, na Engenharia.
Os pilares do que compreendemos como Mecânica Clássica foram 
difundidos inicialmente por Galileu Galilei, Johannes Kepler e Isaac Newton. 
De modo geral, a Mecânica Clássica é dividida em Cinemática e Dinâmica 
(MARQUES, 2016), sendo que este capítulo é focado no estudo da Cinemática. 
A cinemática preconiza o ensinamento matemático dos movimentos. 
As causas que os ocasionam não são estudadas, apenas suas classificações e 
comparações são consideradas. Alguns exemplos de assuntos abordados pela 
cinemática e que serão descritos neste tópico e no próximo, são: movimento 
uniforme, movimento uniformemente variado, movimento circular, entre outros.
2 MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME (MRU)
No movimento retilíneo uniforme (MRU), a velocidade é constante ao 
longo do tempo, assim sendo, a aceleração é anulada (HIBBELER, 2011). O objeto 
semovimenta em extensões iguais com períodos de tempo iguais, importante 
destacar que, em virtude de não se ter a aceleração sobre o objeto no movimento 
retilíneo uniforme, a resultante das forças sobrepostas é anulada. 
Uma das características do MRU é que sua velocidade em qualquer 
instante é igual à velocidade média (HIBBELER, 2011). Portanto,
 Equação (28)
Sabendo que a taxa de variação do deslocamento em função do tempo nos 
fornece a velocidade, portanto, pode-se escrever que:
 Equação (29)
32
UNIDADE 1 — CINEMÁTICA E LEIS DE NEWTON
Ainda, essa equação pode ser reagrupada de outra forma, como segue:
Integrando o lado esquerdo em relação ao deslocamento, e o lado direito 
em relação ao tempo, tem-se:
Como a velocidade é constante, pode-se posicioná-la fora do símbolo de 
integral e realizar a operação da seguinte forma:
Resolvendo as integrais, tem-se:
Como t0 = 0 e, reagrupando a equação para isolar o vetor deslocamento 
(S), tem-se:
 Equação (30)
Essa equação é compreendida como a função horária da posição do 
movimento retilíneo uniforme, em que:
• S é a posição ou espaço final.
• S é a posição ou espaço inicial.
• V é a velocidade.
• t é o tempo.
Exemplo 7 – Um automóvel em movimento retilíneo uniforme (MRU) 
tem a seguinte função horária s = 30 + 2t. Considerando que os valores estão no 
Sistema Internacional de Unidades, determine:
a) A posição do automóvel no instante inicial do deslocamento.
b) A sua posição após 60s.
Solução
Comparando a função dada com a função horária, é possível ver que o 
valor da posição inicial é igual a 30 m.
→
→
→
→
0
TÓPICO 2 — MRU, MRUV E LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS
33
Para encontrar a posição pedida, devemos substituir o valor de t na função. 
Dessa forma, temos: s = 30 + 2*60 = 150 m
3 MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)
Para Hibbeler (2011), o Movimento Retilíneo Uniformemente Variado é 
o movimento no qual a velocidade escalar altera uniformemente no transcorrer 
do tempo. O movimento diferencia-se por possuir uma aceleração constante e 
não nula. No MRUV, a aceleração é constante em qualquer instante ou período 
de tempo. Além disso, o movimento também é considerado acelerado, pois o 
valor absoluto da velocidade de qualquer objeto aumenta ou diminui ao longo 
do tempo.
Como a taxa de variação da velocidade em função do tempo proporciona 
a aceleração, explicada no tópico anterior, pode-se representar tal qual:
 Equação (31)
Ainda, essa equação pode ser reagrupada de outra forma, como segue:
Integrando o lado esquerdo em relação à velocidade, e o lado direito em 
relação ao tempo, tem-se:
Como a aceleração é constante, pode-se posicioná-la fora do símbolo de 
integral e realizar a operação da seguinte forma:
Resolvendo as integrais, tem-se:
Como t0 = 0 e, reagrupando a equação para isolar o vetor velocidade (V), 
tem-se:
 Equação (32)
Essa equação é compreendida como a função horária da velocidade, em 
que:
→
34
UNIDADE 1 — CINEMÁTICA E LEIS DE NEWTON
• V é a velocidade final.
• V é a velocidade inicial.
• a é a aceleração.
• t é o tempo.
No Movimento Retilíneo Uniformemente Variado, a função horária para 
a posição pode ser determinada de forma análoga ao se adotar a taxa de variação 
do deslocamento em relação ao tempo e integrá-la, portanto, tem-se:
 Equação (33)
Ainda, essa equação pode ser reagrupada de outra forma, como segue:
Integrando o lado esquerdo em relação ao deslocamento, e o lado direito 
em relação ao tempo, tem-se:
Como a velocidade no MRUV não é constante, deve-se considerar na 
integral, como:
Então, deve-se substituir na equação anterior e realizar a integração, 
assim, tem-se:
Resolvendo as integrais, tem-se:
Como t0 = 0 e, reagrupando a equação para isolar o vetor deslocamento 
(S), tem-se:
 Equação (34)
Essa equação é compreendida como a função horária da posição no 
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado. Ainda, a partir da equação 
anterior e considerando algumas definições e resoluções algébricas, é possível 
se obter uma nova equação independente do tempo, também denominada de 
Equação de Torricelli, que é representada da seguinte forma:
→
→
→
→
TÓPICO 2 — MRU, MRUV E LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS
35
 Equação (35)
Exemplo 8 – Uma aplicação dos conceitos abordados até aqui é um sistema 
de polias, como o da figura a seguir, em que um cursor A e um bloco E estão 
ligados por uma corda que passa sobre três polias C, D e B. As polias B e D estão 
fixas. A polia C está presa a um cursor e é puxada para baixo com velocidade 
constante igual a 2m/s. No instante t = 0, o cursor A inicia o movimento para 
baixo, a partir da posição P, com uma aceleração constante. Sabendo-se que a 
velocidade do cursor A é 8m/s, ao passar pelo ponto Q, determine o tempo que o 
cursor A levou para alcançar o ponto Q (FROEHLICH, 2012, p. 28).
FIGURA 16 – SISTEMA COM POLIAS
FONTE: Froehlich (2012, p. 28)
Solução
Escolhemos a origem como sendo o plano horizontal superior e o sentido 
positivo de y para baixo (observe a figura a seguir). Notamos que, em t = 0, o 
cursor A está na posição P e sua velocidade inicial é zero, ν = 0. Quando o cursor 
passar pela posição Q, sua velocidade é ν = 8m/s e Δγ = γ - γ = 5m , assim é correto 
escrever:
Agora, podemos determinar o tempo que o cursor A levou para alcançar 
o ponto Q,
A0
A0A A A
36
UNIDADE 1 — CINEMÁTICA E LEIS DE NEWTON
4 MOVIMENTO DE PROJÉTIL (LANÇAMENTO VERTICAL)
O movimento de um projétil na vertical é uma movimentação sob uma 
única dimensão em que não se considera o atrito com o ar (MARQUES, 2016). 
Esse tipo de deslocamento acontece quando um objeto é lançado no sentido 
vertical, isto é, para cima. O deslocamento apresentado pelo objeto é retardado 
pela aceleração da gravidade até que ele alcance a sua elevação máxima. Em 
seguida, o deslocamento começa a ser apresentado como uma queda livre.
O movimento de um projétil na vertical é um evento peculiar de 
movimento uniformemente variado (MUV), já que acontece sob a atuação de 
uma aceleração constante (MARQUES, 2016). Nessa situação, a aceleração da 
gravidade contrapõe à velocidade do movimento do projétil, que tem orientação 
positiva.
Na Figura 17, será esquematizado o movimento de um projétil na vertical.
FIGURA 17 – MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL NA VERTICAL
FONTE: O autor
As expressões que governam esse tipo de movimento são as mesmas 
empregadas para os eventos comuns do movimento uniformemente variado, 
sujeitas a breves modificações.
4.1 FUNÇÃO HORÁRIA DA VELOCIDADE
Uma das primeiras expressões é a função horária da velocidade para o 
arremesso vertical. Nesta, tem-se a velocidade final ν , a velocidade de arremesso 
do objeto ν , a aceleração da gravidade “g” e o tempo “t”. A seguir, veja a equação 
da velocidade para o movimento de um projétil na vertical:
γ
0γ
TÓPICO 2 — MRU, MRUV E LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS
37
 Equação (36)
Por meio dessa expressão, pode-se calcular o tempo que o objeto leva 
para subir. Para isso, deve-se cuidar que, ao alcançar a sua elevação máxima, a 
velocidade vertical é zero. 
Além do mais, o deslocamento altera o sentido e passa a apresentar uma 
queda livre. Na expressão original "V + gt"com a mudança de sentido fica, "V - gt"e 
admitindo que a velocidade vertical é anulada na posição mais alta do arremesso 
vertical, tem-se:
então,
 Equação (37)
4.2 FUNÇÃO HORÁRIA DA POSIÇÃO
Outra expressão do movimento uniformemente variado, denominada de 
função horária da posição, também sofreu algumas adequações. Essa fórmula 
possibilita definir em qual elevação “γ ” um objeto se encontra em um dado 
período de tempo “t”. Para tal, deve-se conhecer de qual elevação o objeto foi 
arremessado “H”, sendo que:
e em qual velocidade aconteceu o arremesso “V ”. Se trocarmos o tempo 
de subida nas variáveis “t” na fórmula, é admissível definir uma relação entre a 
elevação máxima alcançada e a velocidade de arremesso do objeto “V ”. Assim 
sendo, tem-se:Equação (38)
A equação alterada da função horária é:
 Equação (39)
0γ
0γ
0γ
0γ
38
UNIDADE 1 — CINEMÁTICA E LEIS DE NEWTON
então,
realizando os cálculos algébricos e rearranjos, tem-se:
como, H = Δγ = (γ - γ ), então:
 Equação (40)
4.3 EQUAÇÃO DE TORRICELLI
De forma análoga às equações anteriores que foram adequadas a partir 
dos conceitos do movimento uniformemente variado, a equação de Torricelli 
também foi adequada para o caso de movimento de um projétil na vertical. Assim 
sendo, tem-se:
 Equação (41)
Na expressão anterior, “V ” é a velocidade final que o objeto alcança para 
um dado momento de tempo “t”. A velocidade inicial “V ” é a velocidade com 
que o objeto é arremessado, nesse caso, pode ser positivo, quando o arremesso 
é para cima, ou negativo, se o arremesso for para baixo, isto é, ao sentido da 
gravidade. As alturas final e inicial do arremesso são definidas como “γ” e “γ0”, 
e estão contidas na variação de altura “Δγ ”, e “g” é a aceleração da gravidade no 
local do arremesso.
0
γ
0γ
Nos estudos de Movimentos Verticais, existe o denominado de Queda Livre – 
este é caracterizado pelo abandono de um corpo a uma certa altura em relação ao solo.
IMPORTANT
E
TÓPICO 2 — MRU, MRUV E LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS
39
Exemplo 9 – Um projétil de 2 kg é lançado verticalmente para cima, a 
partir do solo, com velocidade de 20 m/s (MARQUES, 2016). Dados: g = 10 m/s². 
Determine:
a) O tempo total de subida do projétil.
b) A altura máxima atingida pelo projétil.
c) A velocidade do projétil nos instantes t = 1,0 s e t = 3,0 s. Explique o resultado 
obtido.
Solução
a) Podemos calcular o tempo de subida do projétil usando uma das equações 
mostradas ao longo do texto:
 
Para usar essa equação, é preciso lembrar que, no ponto de altura 
máxima, a velocidade final do projétil é nula. Como foi informado pelo exercício, 
a velocidade de lançamento do projétil é de 20 m/s. Dessa forma:
b) Sabendo o tempo necessário para o projétil atingir sua altura máxima, podemos 
calcular facilmente essa altura. Para isso, utilizaremos a seguinte relação:
No cálculo anterior, levamos em conta que o projétil foi lançado a partir 
do solo, por isso, γ0 = 0.
c) Podemos calcular facilmente a velocidade do projétil para os instantes t = 1,0 s 
e t = 3,0 s usando a função horária da velocidade. Observe:
40
UNIDADE 1 — CINEMÁTICA E LEIS DE NEWTON
Feitos os cálculos, encontramos os valores de 10 m/s e de -10 m/s para os 
instantes de tempo t = 1,0 s e t = 3,0 s, respectivamente. Isso indica que, no tempo 
de 3,0 s, o projétil se encontra na mesma altura que no tempo de 1,0 s. No entanto, 
o movimento ocorre em sentido contrário, uma vez que o tempo de subida desse 
projétil é de 2,0 s. Após a passagem desse intervalo de tempo, o projétil inicia seu 
movimento de queda livre.
5 MOVIMENTO DE PROJÉTIL (LANÇAMENTO OBLÍQUO)
O movimento de projétil no lançamento oblíquo pode ser visto como uma 
composição de dois movimentos diferentes e simultâneos, em que no mesmo 
instante que existe um deslocamento retilíneo uniforme na direção “y”, isto é, na 
vertical, subindo e descendo, também realiza um deslocamento uniformemente 
variado na direção “x”, ou na horizontal (MARQUES, 2016). De outra forma, o 
lançamento oblíquo pode ser compreendido como aquele que acontece quando 
um corpo inicia seu deslocamento formando um determinado ângulo com o eixo 
horizontal. A Figura 18 ilustra a trajetória realizada por um objeto quando do seu 
lançamento oblíquo.
FIGURA 18 – MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL COM MOVIMENTO OBLÍQUO
FONTE: O autor
TÓPICO 2 — MRU, MRUV E LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS
41
A Figura 18 apresenta a trajetória de um objeto que realiza um deslocamento 
oblíquo. Essas formas de deslocamento podem ser observadas, por exemplo, no 
lançamento de uma bola na direção da cesta, realizado por um jogador em uma 
partida de basquete, no momento da tacada em uma bola de beisebol, entre outros 
eventos em que a trajetória é similar à apresentada.
O estudo do lançamento oblíquo precisa ser realizado considerando 
o deslocamento no sentido vertical (geralmente é o eixo y) e o deslocamento 
no sentido horizontal (geralmente no eixo x) (MARQUES, 2016). Com relação 
ao deslocamento no eixo y, o cuidado deve ser determinar a elevação máxima 
alcançada pelo objeto, pois existe a influência da gravidade no eixo vertical, assim 
o movimento será uniformemente variado. Os estudos do deslocamento no eixo 
x definirão o comprimento horizontal do deslocamento, ou seja, a extensão entre 
a origem e o local de chegada. No sentido horizontal, o movimento será retilíneo 
e uniforme.
5.1 ALCANCE HORIZONTAL
O comprimento horizontal é o deslocamento entre os locais de início e fim 
do lançamento oblíquo do corpo (MARQUES, 2016). Para realizar esse cálculo, 
será utilizada a função horária da posição para o movimento retilíneo uniforme 
(MRU), com alguns ajustes em função da trajetória do objeto no espaço.
Um ponto muito importante na análise do deslocamento oblíquo é o 
ângulo que o objeto faz em relação aos eixos vertical (y) e horizontal (x), dessa 
forma, quando da utilização dos devidos componentes do vetor velocidade, deve-
se considerar também o ângulo formado, assim, tem-se:
 Equação (42)
 Equação (43)
Como a função horária da posição para o MRU é:
Então, pode-se representar da seguinte forma:
Fazendo os ajustes algébricos necessários, tem-se:
42
UNIDADE 1 — CINEMÁTICA E LEIS DE NEWTON
Geralmente, o ΔS, que representa a variação do deslocamento no eixo x, 
é substituído pela letra “A”, que é denominada de alcance do objeto. Portanto, a 
equação final fica:
Das deduções do item 4.1, é possível compreender que o tempo total gasto 
para que um corpo alcance a altura máxima vertical seja:
 Equação (44)
Como nesse caso a fórmula mostra o tempo total gasto para o alcance da 
altura máxima, ou seja, tempo de subida, portanto, para considerar o tempo total 
entre subida e descida, é necessário multiplicar por “2”, e, além disso, deve-se 
considerar o ângulo em relação ao componente da velocidade na fórmula, assim 
sendo, tem-se:
Dessa forma, a fórmula do alcance do objeto pode ser reescrita assim:
Fazendo os cálculos algébricos, a fórmula fica:
Nessa fórmula, ainda é possível substituir a expressão“ ” pela 
identidade trigonométrica “ ”, assim, tem-se:
 Equação (45)
→
O alcance máximo possível para um objeto lançado de forma oblíqua é quando 
o ângulo de lançamento for igual a 45°.
IMPORTANT
E
TÓPICO 2 — MRU, MRUV E LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS
43
5.2 ALTURA MÁXIMA
A altura é o deslocamento no sentido vertical do eixo, geralmente, 
definido como sendo o eixo “y” do lançamento oblíquo do objeto (MARQUES, 
2016). Para realizar o cálculo da altura máxima que o objeto consegue atingir, 
será utilizada a equação de Torricelli do movimento uniformemente variado, 
independente do tempo, com alguns ajustes em função da trajetória do objeto no 
espaço. Essa equação é apresentada no item 3 e adequada no item 4.3 e a forma 
básica é apresentada como sendo:
 Equação (46)
Como se está analisando a altura máxima pelo eixo y, as velocidades 
serão referenciadas neste eixo e a variação de deslocamento “ΔS” será substituída 
por “H”. Além disso, nesse caso, a aceleração “a” é substituída pela forma da 
gravidade que está atuando no objeto. O sinal negativo na fórmula a seguir 
representa o movimento na ascendente, contrário ao sentido da gravidade. Dessa 
forma, tem-se:
Como “Vγ0” pode ser reescrito como “V0 * sen
θ” e a velocidade final na 
altura máxima é nula, tem-se:
0 = (V0 * senθ)2 - 2 * g * H
Realizando os cálculos algébricos para determinar a altura máxima, tem-se:
H = _____ Equação (47)
A expressão anterior representa a altura máxima que um corpo pode 
alcançar executando o movimento oblíquo.
Exemplo 10 – Uma pedra é projetada de um rochedo íngreme, de altura 
h, com velocidade inicial de 42 m/s, direcionada em um ângulo de 600 acima dahorizontal. (figura a seguir). A pedra cai em um ponto A, 5,5 s após o lançamento. 
Encontre (a) a altura h do rochedo, (b) a velocidade da pedra imediatamente antes 
do impacto em A, e (c) a altura máxima H, alcançada acima do chão (FROEHLICH, 
2012, p. 32).
→
→
→
⁽V₀ * senθ⁾
2 * g
44
UNIDADE 1 — CINEMÁTICA E LEIS DE NEWTON
FIGURA 19 – MOVIMENTO DO PROJÉTIL
FONTE: Froehlich (2012, p. 32)
Solução
a) A altura h é a coordenada y do deslocamento como tempo igual a 5,5 s e 
dada pela equação . Sendo , substituindo 
 encontramos a velocidade inicial na direção y como sendo 
. Sabendo que quando a pedra foi lançada ela 
se encontrava na origem das posições e que a aceleração da gravidade 
vale g = 9,8m/s, podemos encontrar a altura do rochedo, h = y:
b) Para encontrar a velocidade da pedra ao bater no rochedo, precisamos encontrar 
as coordenadas de x e y para a velocidade e calcular o seu módulo. Na direção 
x, o movimento é uniforme, portanto, a velocidade nesta direção é constante. 
Assim:
A velocidade na direção y pode ser encontrada mediante a equação:
TÓPICO 2 — MRU, MRUV E LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS
45
c) Observe a figura anterior. Na altura máxima, a componente y da velocidade 
é igual a zero, vy = 0. Podemos utilizar a equação da velocidade em y para 
encontrar o tempo e utilizar na equação da posição de y para determinar a 
altura máxima H.
Substituindo esse tempo na equação para y, encontramos:
6 FECHAMENTO 
A Mecânica é a parte da Física encarregada de estudar os movimentos 
dos objetos, assim como suas progressões temporais e as relações matemáticas 
que os definam. É um conhecimento de extraordinária relevância, com inúmeras 
aplicações, como na Geofísica, na Medicina, na Astrofísica e, principalmente, na 
Engenharia.
Os pilares do que compreendemos como Mecânica Clássica foram 
difundidos inicialmente por grandes pensadores. De modo geral, a Mecânica 
Clássica é dividida em cinemática e dinâmica, sendo que neste capítulo foi 
apresentado e discutido o estudo da cinemática. 
A cinemática preconiza o ensinamento matemático dos movimentos. 
As causas que os ocasionam não são estudadas, apenas suas classificações e 
comparações são consideradas. Alguns exemplos de assuntos abordados pela 
cinemática e que foram descritos neste tópico são: o movimento uniforme, o 
movimento uniformemente variado e o movimento de projétil.
46
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• O movimento retilíneo uniforme é o movimento cujo trajeto é realizado em 
linha reta e a aceleração é considerada nula. Desse modo, o objeto se movimenta 
com velocidade constante.
• Em um movimento uniformemente variado com aceleração constante e não 
nula, a velocidade do objeto é uma função que depende do tempo.
• O deslocamento de projétil pode ser representado por dois tipos de movimentos 
independentes: um na direção y em MRU, e outro na direção x em MRUV, em 
que existe a interação da força gravitacional.
47
1 O MRU, ou também chamado de movimento retilíneo uniforme, é o 
movimento que define variações de espaços iguais em intervalos de tempos 
iguais, em outras palavras, a velocidade é constante. Observe a figura a 
seguir em que o rapaz percorre espaços iguais em tempos iguais. Ele leva 
2 s para percorrer cada 10 m, ou seja, quando está a 10 m se passaram 2 s, 
quando está em 20 m se passaram 4 s e assim sucessivamente. Calcule a 
velocidade em cada uma das posições descritas (comparadas com a posição 
inicial) utilizando a função horária do MRU.
2 Um objeto parte do repouso em movimento retilíneo e acelera com acele-
ração escalar constante e igual a 2,0 m/s². Pode-se dizer que sua velocidade 
escalar e a distância percorrida após 3,0 segundos, valem, respectivamente:
a) ( ) 6,0 m/s e 9,0 m.
b) ( ) 6,0 m/s e 18 m.
c) ( ) 3,0 m/s e 12 m.
d) ( ) 12 m/s e 35 m.
e) ( ) 2,0 m/s e 12 m.
3 O movimento de projétil no lançamento oblíquo pode ser visto como 
uma composição de dois movimentos diferentes e simultâneos, em que 
no mesmo instante que existe um deslocamento retilíneo uniforme na 
direção “y”, isto é, na vertical, subindo e descendo, também realiza um 
deslocamento uniformemente variado na direção “x”, ou na horizontal. Por 
exemplo, um objeto é arremessado num ângulo de 30° com o horizonte e 
velocidade de 200 m/s. Considerando a aceleração da gravidade igual a 
10 m/s2 e desconsiderando a resistência do ar, o período de tempo entre 
as passagens do objeto pelos pontos de altura 480 m acima do ponto de 
arremesso, em segundos, é:
(DADOS: sen 30° = 0,50 e cos 30° = 0,87)
a) ( ) 2,0.
b) ( ) 4,0.
c) ( ) 6,0.
d) ( ) 8.0.
e) ( ) 12.
AUTOATIVIDADE
48
4 A função horária do espaço de um carro em movimento retilíneo uniforme 
é informada pela seguinte expressão: x = 85 + 6.t. Sobre o momento em que 
esse móvel passará pela posição 225 m, assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) 23,33 segundos.
b) ( ) 19,85 segundos.
c) ( ) 51,66 segundos.
d) ( ) 24,72 segundos.
5 No movimento retilíneo uniforme (MRU), a velocidade é constante ao longo 
do tempo, assim sendo, a aceleração é anulada. O objeto se movimenta 
em extensões iguais com períodos de tempos iguais, importante destacar 
que, em virtude de não se ter a aceleração sobre o objeto no movimento 
retilíneo uniforme, a resultante das forças sobrepostas é anulada. Dada a 
função horária do espaço de um carro em movimento retilíneo uniforme 
pela seguinte expressão: x = 115 + 9.t, qual é o momento em que esse móvel 
passará pela posição 240 m?
49
TÓPICO 3 — 
UNIDADE 1
MOVIMENTO RELATIVO, CIRCULAR E ROTAÇÃO
1 INTRODUÇÃO
A cinemática é a parte da Física que foca na descrição dos movimentos 
das entidades, sem se embrenhar na análise de suas causas, que é tratada na parte 
da dinâmica. De modo geral, neste campo da física, estuda-se as partículas ou 
pontos materiais, objetos em que todos os seus pontos se deslocam de forma igual 
e em que são desconsideradas suas dimensões em relação ao evento.
Nesta unidade, no Tópico 1, foram apresentados os conceitos fundamentais 
da mecânica clássica, no Tópico 2, foram discutidos os tipos de movimento mais 
recorrentes e usualmente discutidos, como o movimento retilíneo uniforme, o 
movimento uniformemente variado e o lançamento de um projétil. Agora, no 
Tópico 3, serão apresentados e discutidos os movimentos relativo, circular e 
rotação. 
O movimento relativo, de maneira geral, pode ser compreendido como 
todo e qualquer movimento (BEER; JOHNSTON JUNIOR; CLAUSEN, 2006). O 
termo “relativo” evidencia que o movimento é sempre mensurado em relação a 
alguma coisa, que pode ser, como já foi discutido nos tópicos iniciais, o referencial 
ou um observador. Um mesmo objeto pode ter seu deslocamento caracterizado 
por diversos observadores, isto é, relativo a múltiplos referenciais específicos.
Outro tipo de movimento que será apresentado neste tópico é o movimento 
circular, que na mecânica clássica, principalmente no estudo da cinemática, 
é aquele em que um corpo ou ponto material se movimenta em um caminho 
redondo, também chamado de circular. Nesse tipo de movimento existe uma força 
centrípeta que modifica a direção do vetor velocidade, sendo ininterruptamente 
aplicada para o centro da circunferência.
Por fim, será estudado o movimento de rotação. Na matemática, uma 
rotação é um movimento físico rígido que, oposto de uma translação, sustenta 
um ponto fixo. Essa descrição se emprega nas rotações incluindo dois e três eixos 
(em um plano e no espaço, simultaneamente). Uma rotação é meramente uma 
orientação radial gradativa para um ponto comum. 
50
UNIDADE 1 — CINEMÁTICA E LEIS DE NEWTON
2 MOVIMENTO RELATIVO
Como já foi apresentado no início deste tópico, o movimento relativo é 
todo e qualquer deslocamento. Além disso, a expressão “relativo” demonstra 
que o movimento é continuamente mensurado em relação a alguma coisa, que é 
chamado de referencial ou também de observador. O referencial está contido no 
eixo de coordenadas empregado