04 - Aula_ForcaTorque_em_espira

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Força Magnética em fio percorrido por corrente e Torque
em espira
Prof. Abimael
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1.1 Força em fio percorrido por corrente
Quando uma carga atravessa um campo magnético, uma força de origem magnética, atua sobre a
carga. Esta força é dada pela expressão:
~F = q~v × ~B (1.1)
~F vetor Força magnética;
q carga
~v velocidade
~B é o campo magnético
Para obter apenas o módulo desta força:
F = qvBsen(Φ) (1.2)
onde φ é o ângulo entre os vetores ~v e ~B.
Pode-se utilizar a regra da mão direita também para determinar o sentido da força.
Figura 1.1: Regra da mão direita
Entretanto, quando se tem um condutor percorrido por corrente, tem-se várias cargas. Se este
condutor está em um campo magnético, tem-se uma força magnética sobre as cargas e, como as
cargas estão em grande quantidade, o trecho de comprimento do condutor que está dentro do campo
magnético sofre ação de uma força magnética, que não é devida apenas sobre uma única carga, mas
devido à corrente que percorre o condutor. A figura 1.2 mostra o esquema da corrente no condutor
e o sentido do comprimento do condutor.
A expressão para esta força é dada por:
~F = i~L× ~B (1.3)
Ou apenas o módulo:
F = iLBsenφ (1.4)
Onde :
F : Força magnética devido ao condutor;
i : corrente elétrica
1.1. FORÇA EM FIO PERCORRIDO POR CORRENTE 3
Figura 1.2: Corrente em condutor (fonte Halliday & Resnick)
L : comprimento do condutor
B : intensidade do campo magnético
φ : ângulo entre B e L
Observar que L é vetor comprimento que tem a mesma direção do fio e o sentido
convencional da corrente no condutor
Então, um fio condutor que está preso em suas extremidades pode ter o seguinte comportamento
(quando na presença de um campo magnético)
Figura 1.3: Corrente em condutor (fonte Halliday & Resnick)
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1.2 Torque em Espira
Em todo mundo,uma grande quantidade de motores elétricos são utilados para as mais diversas
tarefas em todo o mundo. Todos estes motores tem o princípio baseado no torque que uma espira
(ou várias espiras) experimenta quando é percorrida por corrente e está inserida em um campo
magnético. Estudaremos o torque em espira percorrida por uma corrente, que é o princípio básico
de motor de corrente contínua.
Figura 1.4: Elementos de um motor elétrico mínimo (fonte Halliday & Resnick
A figura 1.4 mostra uma espira inserida em um campo magnético uniforme. Ao ser percorrida
por uma corrente, surgem forças no condutor.
Desconsiderando as ligações necessárias para que a corrente possa percorrer no condutor, vamos
fazer uma análise do que acontece em cada parte do condutor.
Figura 1.5: Espira percorrida por corrente (fonte Halliday & Resnick
Observar que há um “eixo” mantendo a espira suspensa dentro do campo magnético.
Veja o vídeo vídeo mostrando espira em campo magnético para uma demonstração mais inter-
essante.
A figura 1.5 mostra uma espira dentro do campo magnético que entra na folha de papel. Ela
é formada por “4 lados”, sendo 2 de comprimento a e os outros 2 de comprimento b. Nos lados
https://youtu.be/Cwe6swMCx6M?t=195
1.2. TORQUE EM ESPIRA 5
menores há um eixo mantendo a espira suspensa e livre para girar, que foi omitido na figura.
Percebe-se haverá uma força magnética atuando sobre a espira. Esta força é a soma vetorial
das forças em cada seção ou parte da espira. Chamando cada seção da espira de lado 1, lado 2 ,
lado 3 e lado 4, tem-se forças F1 até F4.
Para melhor identificar a espira, um vetor normal ~n ao plano da espira é definido. Para identificá-
lo, pode-se utilizar a mão direita, com o dedo polegar apontando o sentido deste vetor e os outros
dedos indicando a direção da corrente na espira. A figura 1.6 mostra um esquema para compreensão
.
Figura 1.6: Regra da mão direita para indicar o vetor ~n (fonte Halliday & Resnick
Para obter as forças em cada “lado” da espira, utilizaremos um referencial em que o comprimento
para a direita é positivo e para cima também é positivo.
Lembrando da equação de Força Magnética em Fio percorrido por corrente:
~F = i~L× ~B (1.5)
Ou
F = iLBsenφ (1.6)
Onde :
F : Força magnética devido ao condutor;
i : corrente elétrica
L : comprimento do condutor
B : intensidade do campo magnético
φ : ângulo entre B e L
Para o lado 1, a força F1 é dada por:
F1 = iaBsen(φ)
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Para o lado 2, a força F2 é dada por:
F2 = ibBsen(φ)
Para o lado 3, a força F3 é dada por:
F3 = −iaBsen(φ)
Para o lado 4, a força F4 é dada por:
F4 = −ibBsen(φ)
A figura 1.7 mostra as forças sobre a espira.
Figura 1.7: Espira percorrida por corrente (fonte Halliday & Resnick
As forças F2 e F4 são iguais em módulo, mas com sentidos opostos e cancelam-se. Da mesma
forma, os torques destas forças são nulos, pois estão sobre o eixo de sustentação da espira. As forças
F1 e F3 também são opostas, porém há um torque dado pela força e pelo “braço de alavanca” até
o eixo. O torque é dado pelo valor da força vezes o comprimento do braço de alavanca:
τ = F1
b
2sen(θ) + F3
b
2sen(θ)
Onde :
F1, F3 : forças nos lados da espira;
b/2 : metade do comprimento do lado da espira;
θ: ângulo entre o vetor normal ~n e o campo magnético.
A figura 1.8 mostra as forças e o braço de alavanca, que provoca a rotação.
1.2. TORQUE EM ESPIRA 7
Figura 1.8: Vista lateral mostrando as forças e o braço de alavanca (fonte Halliday & Resnick
O Torque na espira τ então é calculado por :
τ = iaB b2sen(θ) + iaB
b
2sen(θ) = iabBsen(θ)
Onde :
τ : torque da espira
i: corrente na espira;
a: comprimento do segmentos (lados) 1 e 3 da espira
b : comprimento do lado da espira;
B módulo do campo magnético;
θ: ângulo entre o vetor normal ~n e o campo magnético.
Observando atentamente, percebe-se que o valor dado por ab é a área limitada pela espira.
Então, pode-se expressar a equação do torque de uma espira por:
τ
′ = iABsen(θ) (1.7)
Se a espira é circular, a Área é a área de uma circunferência:
τ
′ = iπr2Bsen(θ) (1.8)
Onde:
• r : raio da espira
Se várias espiras forem construídas próximas de modo que estejam no mesmo plano, tem-se que
o torque é dado por:
τ = Nτ ′ = NiABsen(θ) (1.9)
Onde:
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• N : número de espiras;
• i : corrente que percorre as N espiras;
• A : área de uma bobina;
• B : módulo da intensidade do campo magnético
Percebe-se que a espira tenderá se alinhar de modo que o torque tenderia ao seu valor mínimo
ou 0. Para evitar esta situação, os motores são construídos de modo que há uma inversão na cor-
rente, provocando nova rotação. O dispositivo responsável por esta inversão é o comutador, que é
constituindo de um disco com material condutor e vinculado ao eixo de rotação do motor. Quando
a espira fica em posição de 90o com relação ao campo magnético, o comutador altera o sentido da
corrente.
Assista o vídeo disponibilizado no site Youtube para melhor compreensão:
vídeo mostrando Torque espira em campo magnético
1.3 Momento Magnético Dipolar
Uma bobina percorrida por corrente tem comportamento similar a um imã de barra, e de forma
similar, a bobina tem dois pólos, ou seja, um dipolo magnético. Além desta observação, associa-se
ao torque exercido pelo campo magnético sobre a bobina, um momento denominado momento
magnético dipolar, simbolizado por ~µ.
A direção do vetor ~µ é dado pelo vetor normal ~n e pode ser obtido pela regra da mão direita,
conforme a figura 1.6.
O vetor ~µ tem módulo dado por :
µ = NiA (1.10)
Ou vetorialmente:
~µ = NiA~n (1.11)
Onde :
N : Número de espiras da bobina;
i : corrente elétrica que percorre a espira
A : área da espira
e a unidade de µ é Amperem2 ou Am2 Com esta definição, pode-se definir o valor do torque τ
como:
τ = ~µ× ~B (1.12)
O vetor momento magnético tem “tendência” de alinhamento com o campo magnético, por isto
surge o “torque ” magnético. Com esta tendência de alinhamento, associa-se a idéia de Energia
Potencial Magnética.
https://www.youtube.com/watch?v=Cwe6swMCx6M
1.3. MOMENTO MAGNÉTICO DIPOLAR 9
1.3.1 Energia Potencial Magnética
Define-se energia Potencial Magnética como a energia que um dipolo magnético possui quando está
na presença de umcampo magnético. É dada por:
U(θ) = −~µ · ~B (1.13)
Como U é dada em Joules, a unidade de µ pode ser dada por J/T (Joule por Tesla).
Quando o dipolo gira de uma ângulo inicial θi para o ângulo θf , o torque aplicado realiza trabalho
Wa sobre o dipolo. Se o dipolo permanecer em repouso após o giro, tem-se que o trabalho é dado
por:
Wa = Uf − Ui (1.14)
Assim como uma espira percorrida por corrente é um dipolo magnético, também a Terra produz
um dipolo magnético. As partículas subatômicas, tais como elétron ou próton também tem dipolo
magnético. Então um bom modelo para estas entidades pode ser uma bobina ou espiras percorrida
por corrente elétrica.
Responda: quando o dipolo tem energia mínima ?
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Exemplo 1
Uma bobina circular de 250 espiras com uma área A de 2, 52 × 10−4m2, percorrida por uma
corrente de 100µ A. A bobina está em repouso em um campo magnético uniforme B = 0,85T, com
seu momento dipolar magnético ~µ inicialmente alinhado com ~B. Qual é o trabalho que um agente
externo teria que realizar sobre a bobina para fazê-la girar de 90o em relação a orientação inicial, ou
seja, tornar ~µ perpendicular a ~B com a bobina novamente em repouso?
Wa = U(90o)− U(0o)
Wa = −µBcos(90)− (−µBcos(0)) = 0 + µB
Wa = µB
Wa = NiAB = 5, 355× 10−6J ≈ 5, 4µJ
Resposta: quando o dipolo tem energia mínima ? A menor energia é dada pelo valor
−µBcos(0o) = −µB, ou seja, quando o dipolo está alinhado ao campo magnético.
1.4 Aplicações
O estudo de torque em espiras ou momento magnético permite a construção de alguns artefatos
tecnológicos interessantes.
O principal é o motor elétrico de corrente contínua, que conduziu ao desenvolvimento de motores
de corrente alternada, com ampla utilização na sociedade moderna.
1.4.1 Galvanômetro
Outro dispositivo interessante é o Galvanômetro. Este dispositivo permite que uma deflexão an-
gular seja transferida a uma agulha indicadora ao se fazer passar corrente elétrica em uma bobina
inserida em um campo magnético constante. A figura 1.9 mostra um esquema da montagem de um
galvanômetro.
Figura 1.9: Esquema de um galvanômetro (fonte:http://www.expertsmind.com/topic/meter-
movements/arsonval-movement-99056.aspx)
1.4. APLICAÇÕES 11
O funcionamento do galvanômetro é baseado na força que surge na bobina ao ser percorrida por
uma corrente. O ponteiro é ajustado de modo que existe uma proporcionalidade entre a corrente
circulante na bobina e o ângulo de deflexão.
1.4.2 Ressonância Magnética
Outra importante aplicação tecnológica é a Ressonância Magnética. O funcionamento de um equipa-
mento de RM é baseado justamente nos momentos magnéticos.
Figura 1.10: Equipamento de Ressonância Magnética
O corpo humano, assim como outros seres é formado em grande parte por vários tipos de tecidos,
estes formados por células que contém em seu interior, moléculas de água. As moléculas de água
são contém um átomo de hidrogênio, com um núcleo formado por apenas um próton.
O próton tem momento angular intrinseco, chamado SPIN. Este momento angular deve-se ao
fato de que o próton está girando. Esta característica pode ser entendida como se houvesse uma
espira minúscula com uma carga em movimento nesta espira. Como já estudamos, uma espira tem
Momento de Dipolo Magnético. Por isto, diz-se que o próton (e outras partículas) tem momento
de spin ou momento magnético devido ao giro.
Atenção: momento angular (ou SPIN) do próton não é momento de dipolo magnético
do próton
Quando submetidos a um campo magnético, os momentos magnético dos prótons tendem a
alinhar-se com o campo magnético, porém alguns alinham-se de modo “paralelo” ao campo, en-
quanto outros em modo “antiparalelo”. A figura 1.11 mostra um esquema destes alinhamentos.
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Figura 1.11: Esquema de alinhamento do momento magnético de prótons (fonte:
http://users.fmrib.ox.ac.uk/ peterj
Quando submetidos a uma campo magnético, os momentos dos prótons tendem a alinhar-se
com o campo, porém eles não permanecem parados. Os momentos rotacionam em determinada
frequência, chamada de Frequência de Larmor. As figuras 1.12 e 1.13 mostram como é a precessão
do próton.
Figura 1.12: Precessão de próton
submetido a um campo magnético
(fonte:http://www.rise.duke.edu/)
Figura 1.13: Precessão de próton
submetido a um campo magnético
(fonte:http://www.quora.com/)
A frequência de precessão dos prótons depende do valor do campo magnético aplicado, e é dada
por:
ω0 = γB0
onde:
ω0 : frequência de precessão
γ : razão giromagnética; para prótons = 2, 68× 108 rads−1T−1;
1.4. APLICAÇÕES 13
B0 : campo magnético aplicado
Dividindo a Frequência angular de Larmor por 2π, tem-se frequência da ordem de MHz. Ao
aplicar um pulso nesta frequência, os prótons alinham-se ao campo B. Isto é chamada ressonância, e
os prótons alinham-se mas com seus momentos magnéticos invertidos, então tem-se a maior energia
magnética dos prótons. Este estado de energia não é estável e os prótons tendem a liberar a energia
e voltar ao seu estado anterior, ainda alinhados com o campo B.
O equipamento de ressonância magnética captura esta energia liberada. Como cada tecido libera
esta energia de forma específica, é possivel obter uma identificação da posição e do tipo de tecido.
Esta energia é capturada por bobinas especiais, denominadas Bobinas de Gradiente e permitem
uma resolução onde cada pixel da imagem corresponde a 0, 5mm3. O campo magnético para
produzir o alinhamento dos momentos magnéticos é imenso, da ordem de 1 a 3 T e é produzido
por bobinas construídas com elementos nobres como niobio-titânio, que são refrigerados até sua
Temperatura Crítica, em torno 4,2 K, que transforma os condutores em supercondutores, retirando
toda resistência elétrica e permitindo uma corrente imensa, para produzir o campo.
Figura 1.14: Bobina supercondutora para Ressonância Magnética (fonte:
http://www.supraconductivite.fr/)
A figura 1.15 mostra um diagrama em corte de um equipamento de resson
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Figura 1.15: Diagrama mostrando um equipamento de MRI internamente (fonte:
http://www.catholica.com.au/)
Os equipamentos de Ressonância Magnética permitem visualização do interior do corpo com
bastante precisão e detalhamento, com a vantagem de não necessitar de aplicação de radiação
ionizante. Além disto, o procedimento não é invasivo e o paciente não sente nada durante o exame.
Os softwares empregados permitem visualização dos tecidos em qualquer posição. As figuras 1.16 e
1.17 mostram imagens de exames com ressonância magnética.
Figura 1.16: Imagem de RM da cabeça (Fonte: http://www.plymouthhospitals.nhs.uk/)
1.4. APLICAÇÕES 15
Figura 1.17: Imagem de RM - Projeto Homem Visível (Fonte:
http://www.nlm.nih.gov/research/visible/)
Bibliografia:
Halliday & Resnick & Walker Fundamentos da Física Vol. 3 9a edição, capítulo 28 p.206
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1.5 Apêndice
Torque ou momento de força é grandeza vetorial definida pela componente perpendicular de um
força aplicada sobre um eixo de rotação. A distância até o eixo é chamada braço de alavanca ou
braço do momento.
Figura 1.18: Torque em um parafuso
Figura 1.19: Torque de força aplicada
A figura 1.18 mostra o torque de uma força F aplicada a distância d do parafuso. A distância d
é o Braço de Alavanca ou Braço de momento
1.5. APÊNDICE 17
O Torque é calculado pelo produto vetorial entre a distância dada pelo vetor ~r e pela força ~F
τ = ~r × ~F = |r||̇F |sen(θ) (1.15)
Onde
τ Torque ou momento de força
~r é o vetor distância entre o ponto de apoio ou eixo de rotação até o ponto onde a força é
aplicada
~F Força aplicada
θ é ângulo entre o vetor ~r e ~F
A figura 1.19 mostra o que significa o valor |~r| sen(θ).
	Força em fio percorrido por corrente
	Torque em Espira
	Momento Magnético Dipolar
	Energia Potencial Magnética
	Aplicações
	Galvanômetro
	Ressonância Magnética
	Apêndice