Aula 07 AFRFB 2009 RACIOCÍNIO LÓGICO

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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo – Teoria e Exercícios 
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Aula 07: Teoria e Exercícios Comentados e Resolvidos 
11. Parte 1: Compreensão e elaboração da lógica das situações por 
meio de: raciocínio matemático (que envolvam, entre outros, 
conjuntos numéricos racionais e reais - operações, propriedades, 
problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária 
e decimal; conjuntos numéricos complexos; números e grandezas 
proporcionais; razão e proporção; divisão proporcional; regra de 
três simples e composta; porcentagem); raciocínio sequencial; 
orientação espacial e temporal; formação de conceitos; 
discriminação de elementos. 
Introdução 
 
Primeiramente, a pedidos, vou abandonar, nos exercícios, Alfeu, Alceu e suas 
respectivas famílias. Risos. Por outro lado, para prestigiar meu filho de cinco 
anos, os exercícios e exemplos criados/adaptados terão novos personagens: 
Ben 10, Gwen, Vovô Max, Kevin, XRL8, Quatro-Braços, Chamas, Diamante, 
Massa Cinzenta, Aquático, Fantasmático, Insectóide, entre outros. Não basta ser 
pai, tem que participar e ver os desenhos do Ben 10. 
 
Se você não sabe quem são estas figuras, não se preocupe, pois não cai na 
prova. Além disso, você não tem tempo de ver televisão, pois precisa estudar. 
Mas, para matar a sua curiosidade Ben 10 é um desenho que passa no Cartoon 
Network e que a garotada adora. Ele possui um relógio, mais conhecido como 
Omnitrix, que permite que se transforme em vários alienígenas do bem. É isso. 
Risos. 
 
Vamos aos nossos problemas “especiais”: 
 
Problema 1: Massa Cinzenta, que, pelo nome, nem precisa falar que é 
profundo conhecedor de Raciocínio-Lógico Matemático, observa dez sacos, cada 
um com dezenas de moedas, enfileirados à sua frente. Somente um dos sacos 
contém moedas de ouro; os outros nove sacos estão cheios de moedas que, na 
aparência, são idênticas às de ouro, mas, na verdade, são falsas e sem valor. 
Uma moeda de ouro pesa 20 gramas, ao passo que cada moeda falsa pesa 
apenas 10 gramas. 
 
Massa Cinzenta deve identificar qual dos sacos contém moedas de ouro 
autênticas. Para isso, dispõe de uma balança eletrônica de grande precisão e de 
um assistente, chamado Quatro-Braços, para manusear as moedas. 
 
Todos os sacos estão abertos e Massa Cinzenta pode deles retirar quantas 
moedas quiser. Fazendo uma única pesagem, como Massa Cinzenta pode 
identificar, com certeza, em que saco estão as moedas de ouro? 
 
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Problema 2: O famoso Chamas possui uma caixa de fósforos e dois pavios. Se 
Chamas acender qualquer das extremidades desses pavios, eles levarão 
exatamente 1 minuto para queimar até a outra extremidade. Chamas não pode 
quebrar e nem dobrar os pavios. Utilizando somente esses materiais, de que 
modo Chamas pode medir 45 segundos? 
============================================== 
ERRATA – Aula 5 (aula atualizada no site) 
Página 65: corrigir o item 8.1.9.2, pois esta como terceiro momento e é quarto 
momento. 
8.1.9.2 Índice Momento de Curtose 
4
4
m
C
s
= 
m4 = quarto momento centrado na média aritmética 
s4 = desvio-padrão elevado à quarta potência 
Quarto Momento Centrado na Média (distribuição de freqüências): 
( )4
4
.i mPm X fim
n
−
= ∑
C > 3 => a distribuição é leptocúrtica 
C = 3 => a distribuição é mesocúrtica 
C < 3 => a distribuição é platicúrtica 
=============================================== 
ERRATA – Aula 6 (aula atualizada no site) 
1. Página 1: corrigir conforme abaixo: 
Problema 2: .... Chegando à sala do antigo Egito, o guia falou o seguinte.... 
 
2. Página 17: corrigir conforme abaixo (retirar o “s” das palavras “litros” e 
“gramas”): 
Decilitro (dl) = 0,1 litro 
Centilitro (cl) = 0,01 litro 
Mililitro (ml) = 0,001 litro 
 
Decigrama (dg) = 0,1 grama 
Centigrama (cg) = 0,01 grama 
Miligrama (mg) = 0,001 grama 
 
3. Página 18: Não tem aquele último termo na fórmula (-48.500): 
� 48.500 gramas + Peso de Alcéia = 90.200 
 
4. Página 19: corrigir conforme abaixo 
Diagonais: AC=CA, AD=DA, BD=DB, BE=EB, CE=EC 
 
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5. Página 22: corrigir conforme abaixo 
Losango: quatro lados iguais (a) => Área = (D x d)/2; 
 
6. Página 24: corrigir conforme abaixo 
Circunferência inscrita em um quadrado: o lado do quadrado é igual ao 
diâmetro da circunferência. a = 2R 
Circunferência circunscrita a um quadrado: a diagonal do quadrado é igual 
ao diâmetro da circunferência. d = 2a = 2R 
 
7. Página 32: corrigir conforme abaixo: 
Primeiro Mês => 25% => fator = 1,25 
 
8. Página 33: corrigir conforme abaixo: 
Exemplo: Se R$ 1.000,00 foram aplicados de 10/04/03 até 22/06/03, à taxa 
de juros simples de 60% ao ano, calcule o montante considerando os juros 
simples exatos. 
9. Página 36: corrigir conforme abaixo: 
N = 2.000 
i = 6% ao mês 
t = 30 dias = 1 mês 
D = N.i.t = 2.000 . 6% . 1 = 120 
AD = N – D = 2.000 – 120 = 1.880 
 
N = X 
i = 6% ao mês 
t = 90 dias = 3 meses 
D = N.i.t = X . 6% . 3 = 0,18X 
ADx = N – D = X – 0,18X = 0,82X 
 
No momento 0 (referência): 
� 600 + 0,82X = 1.880 => 0,82X = 1.280 => X = R$ 1.560,98 
Item 10.4 – Exemplo: 
(*) As tabelas utilizadas estão no final da teoria. 
10. Página 41: No enunciado do segundo exemplo, tem que tirar o primeiro 
"APÓS". 
11. Página 42: Não tem o último termo da fórmula (R/(1+i)n) 
2 1...(1 ) (1 ) (1 )n
R R R
A R
i i i −
= + + + +
+ + +
 
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12. Página 47: corrigir conforme abaixo: 
- Pagamentos uniformes e periódicos (anuidades), que podem ser 
antecipada, postecipada ou diferida. 
13. Página 63: Tem dois sinais de “=” na fórmula da regra de três. 
14. Página 76: Tem um "m" do "em" que ficou em vermelho. 
15. Página 78: Faltaram os colchetes do saldo devedor número 2. 
Saldo Devedor (Período 2) = [200.000 x (1 + i)2 – 150] x (1 + i) – 150 
16. Página 79: Faltou a palavra "TENDER" depois de "Quando n...". 
Quando “n” tender ao prazo estabelecido.... 
17. Página 83: Faltou o verbo "é" depois da palavra "que" no segundo 
parágrafo.
A sala “A” tem 40 m², a sala “B” tem 80 m², que é 2 vezes o tamanho de “A”, e 
a sala “C” tem 120 m² que é 3 vezes a de “A”. 
18. Páginas 77 e 85: No quadro, faltou indicar que a segunda seta vermelha 
corresponde ao "M" (montante). 
 
19. Página 88: O "i" elevado ficou em vermelho (temos 2 casos nessa página). 
 
20. Página 91: corrigir conforme abaixo (retirar o “o”): 
Obs:.... ou seja, não deram tabela... 
Na parte em negrito, no centro da página, corrigir a parte que fala "é mais 
vantajoso". 
21. Página 101:: Questão 31: no enunciado, tem um ".," (após 60 dias). 
Precisa tirar o ponto. 
 
22. Página 106:: Questão 33: alterar gabarito para letra “C”. 
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Coluna “Dúvidas Interessantes” 
1. Testes de Hipóteses: recebi alguns e-mails de dúvidas sobre testes de 
hipóteses. Por isso, disponibilizo mais algumas questõescom explicações: 
Primeiramente, vamos relembrar as regras que definem qual distribuição será 
utilizada: 
Para que seja possível realizar o teste, é preciso conhecer o valor tabelado das 
distribuições (Z para Distribuição Normal e T para Distribuição t-Student) e 
calcular os valores, conforme descrito abaixo: 
1) Se o número de elementos da amostra é grande (n ≥ 30), será utilizada a 
Distribuição Normal, independentemente se a variância populacional ( 2σ ) for 
conhecida ou não. 
 
Distribuição Normal (n ≥ 30): 
X
z
n
µ
σ
−
= 
=> Desvio-padrão da população conhecido (σ ) 
µ = média da população 
n = número de elementos da população 
 
X
z
s
n
µ−
= 
=> Desvio-padrão da população desconhecido, sendo utilizado o valor do 
desvio-padrão da amostra (s). 
 
2) Se o número de elementos da amostra é pequeno (n < 30), será utilizada a 
Distribuição Normal, se a variância populacional ( 2σ ) for conhecida; ou a 
Distribuição t-Student, se a variância populacional ( 2σ ) não for conhecida. 
 
Distribuição t-Student (n < 30 e σ desconhecido): ressalto que, como a 
variância amostral é desconhecida, devemos utilizar o fator de correção para 
entrar na tabela “n-1” graus de liberdade. 
X
t
s
n
µ−
= 
 
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Nota: Tanto os valores da Distribuição Normal, quanto da Distribuição t-Student 
são tabelados. 
Testes de Hipóteses considerando a Distribuição Normal Padrão (Z): 
Z => valor tabelado 
1) Teste Bilateral ou Bicaudal: 
-Z< z (calculado) < Z => Aceita H0 
z (calculado) < -Z ou z (calculado) > Z => Rejeita H0 
2) Teste Unilateral à Direita: 
z (calculado) < Z => Aceita H0 
z (calculado) > Z => Rejeita H0 
-Z Z 
Rejeita H0 Rejeita H0 
Aceita H0 
Z 
Rejeita H0 
Aceita H0 
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3) Teste Unilateral à Esquerda: 
z (calculado) > -Z => Aceita H0 
z (calculado) < -Z => Rejeita H0 
Testes de Hipóteses considerando a Distribuição t-Student (T): 
T => valor tabelado 
1) Teste Bilateral ou Bicaudal: 
-T< t (calculado) < T => Aceita H0 
t (calculado) < -T ou t (calculado) > T => Rejeita H0 
2) Teste Unilateral à Direita: 
t (calculado) < T => Aceita H0 
t (calculado) > T => Rejeita H0 
 
3) Teste Unilateral à Esquerda: 
t (calculado) > -T => Aceita H0 
t (calculado) < -T => Rejeita H0 
Exemplo 1: Uma amostra de tamanho n = 20 de população normal tem média 
Xm = 42 e desvio padrão s = 4. Ao nível de significância de 5%, determinar se a 
média populacional é maior que 40. 
O que é o nível de significância? 
Nível de significância: é a probabilidade de cometer o erro de tipo I, ou seja, 
rejeitar a hipótese nula (H0), quando ela é verdadeira. 
 
Primeiramente, vamos montar nosso teste de hipóteses: 
Hipóteses: 
0
1
40
40
H
H
µ
µ
→ =
→ >
=> teste unilateral à direita 
-Z 
Rejeita H0 
Aceita H0 
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(*) H0 => repare que o enunciado da questão pede que determinemos se a 
média populacional é maior que 40. Logo, a hipótese H0 será igual a 40 
(hipótese nula). 
 
Bom, com as hipóteses definidas, precisamos verificar qual distribuição utilizar. 
Repare que n = 20, que é menor que 30. Deste modo, pode ser utilizada a 
distribuição normal ou t-student, a depender se a variância populacional é ou 
não é conhecida. 
 
Há que se ressaltar que a questão só fornece o desvio-padrão da amostra (s). 
Logo, somente conhecemos a variância da amostra (s2). Ou seja, a variância 
populacional não é conhecida. 
 
Portanto, para n < 30 e variância populacional não conhecida => t-student. 
Cálculos: 
Como n = 20, temos que subtrair 1, para achar o número de graus de 
liberdade. 
 
Graus de Liberdade: estão relacionados ao número de dados disponíveis 
(livres) para o cálculo da estatística. Por exemplo, ao estimarmos a média 
populacional, com a média amostral perdemos um grau de liberdade, assim a 
estatística t-student terá n-1 graus de liberdade. 
 
Além disso, como o teste é unilateral e a tabela é bilateral, devemos utilizar 
duas vezes o nível de significância: 
2 0,05 0,10xα = = 
n = 20 => grau de liberdade (ϕ )= 20 – 1 = 19 
0,10α = e ϕ = 19 => T (tabelado) = 1,729 (vide tabela da aula 05). 
 
Desenhando a curva, teríamos: 
 
T = 1,729 
Rejeita H0 
Aceita H0 
0,95 
0,05α =
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Pergunta: O que a área sob a curva representa? A área sob a curva é 
probabilidade do evento certo, que é igual a 1 (ou 100%), ou 0,500 (50%) para 
cada lado da curva. Contudo, na nossa questão, estamos calculando a 
probabilidade de que a média da população seja maior que 40 a um nível de 
significância de 5%, ou seja, somente aceitaremos que a média é maior que 40 
se o tcalculado for maior que 1,729. 
 
Xm = média amostral = 42 (dado da questão) 
s = desvio-padrão amostral = 4 (dado da questão) 
 
42 40 2
( ) 2,24
4 4 
4,4720
X
t calculado 
s 
n
µ− −
= = = = 
 
Como t(calculado) > T(tabelado) => rejeita H0 => 40µ > , ou seja, a média da 
população, no teste de hipóteses realizado, é maior que 40. 
 
Exemplo 2: Uma amostra de tamanho n = 29 de população normal tem média 
Xm = 31 e desvio padrão s = 4. Ao nível de significância de 2,5%, determinar se 
a média populacional é maior que 30. 
Primeiramente, vamos montar nosso teste de hipóteses: 
Hipóteses: 
0
1
30
30
H
H
µ
µ
→ =
→ >
=> teste unilateral à direita 
(*) H0 => repare que o enunciado da questão pede que determinemos se a 
média populacional é maior que 30. Logo, a hipótese H0 será igual a 30 
(hipótese nula). 
 
Bom, com as hipóteses definidas, precisamos verificar qual distribuição utilizar. 
Repare que n = 29, que é menor que 30. Deste modo, pode ser utilizada a 
distribuição normal ou t-student, a depender se a variância populacional é ou 
não é conhecida. 
 
Há que se ressaltar que a questão só fornece o desvio-padrão da amostra (s). 
Logo, somente conhecemos a variância da amostra (s2). Ou seja, a variância 
populacional não é conhecida. 
 
Portanto, para n < 30 e variância populacional não conhecida => t-student. 
Cálculos: 
Como n = 29, temos que subtrair 1, para achar o número de graus de 
liberdade. 
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Além disso, como o teste é unilateral e a tabela é bilateral, devemos utilizar 
2 0,025 0,05xα = = 
n = 29 => grau de liberdade (ϕ )= 29 – 1 = 28 
0,05α = e ϕ = 28 => T (tabelado) = 2,048 (vide tabela da aula 05). 
 
Desenhando a curva, teríamos: 
 
 
Xm = média amostral = 31 (dado da questão) 
s = desvio-padrão amostral = 4 (dado da questão) 
 
31 30 1
( ) 1,35
4 4 
5,3829
X
t calculado 
s 
n
µ− −
= = = = 
 
Como t(calculado) < T(tabelado) => aceita H0 => 30µ = , ou seja, para este 
teste de hipóteses, a média populacional é igual a 30. 
Exemplo 3: Suponha que, em pessoas normais quanto à capacidade 
respiratória, a pressãoarterial seja uma variável aleatória normalmente 
distribuída com média 12 e variância 4. Kevin, um renomado cardiologista 
brasileiro, querendo provar que o diabetes causa aumento da pressão arterial, 
observou a pressão arterial de 20 pacientes portadores de diabetes, obtendo 
uma média igual a 16. A hipótese de Kevin é ou não é válida, ao nível de 
significância de 0,005? 
 
Primeiramente, vamos montar nosso teste de hipóteses: 
Hipóteses: 
0
1
12
12
H
H
µ
µ
→ =
→ >
=> teste unilateral à direita 
T = 2,048 
Rejeita H0 
Aceita H0 
0,975 
0,025α = 
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Bom, com as hipóteses definidas, precisamos verificar qual distribuição utilizar. 
Repare que n = 20, que é menor que 30. Deste modo, pode ser utilizada a 
distribuição normal ou t-student, a depender se a variância populacional é ou 
não é conhecida. 
 
Há que se ressaltar que a questão fornece a variância populacional (variância = 
4) . Portanto, para n < 30 e variância populacional conhecida => distribuição 
normal. 
Cálculos: 
0,005α = (nível de significância) 
Área da Curva = 0,500 (*) – 0,005 => Área sob a curva = 0,495 => 
Z (tabelado) = 2,58 (à esquerda) 
(*) lembre que é 0,500 (50%) para cada lado da curva. 
 
Desenhando a curva, teríamos: 
 
Cálculos: 
n = 20 
Xm = 16 (média amostral) 
12µ = (média populacional) 
2 4 2σ σ= ⇒ = (desvio-padrão populacional) 
0,005α = (nível de significância) 
 
16 12
( ) 8,94
2
20
X
z calculado
n
µ
σ
− −
= = = 
 
Como z(calculado) > Z(tabelado) => rejeita H0 => 12µ > , ou seja, Kevin está 
correto ao dizer que o diabetes aumenta a pressão arterial. 
Z = 2,58 
Rejeita H0 
Aceita H0 
0,995 
0,005α = 
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Exemplo 4: Suponha que Vovô Max, um conhecido professor de Raciocínio- 
Lógico Quantitativo, aplicou um simulado para seus alunos, visando à 
preparação para o concurso de Auditor-Fiscal da Receita Federal do Brasil. As 
notas dos alunos, em um simulado de 20 questões, ficaram com média 11 e 
desvio-padrão 2. Vovô Max, então, preocupado com o rendimento dos alunos, 
forneceu um curso online no site do Ponto dos Concursos e, entre os 50 alunos 
que se matricularam no curso, a média em relação a outro simulado aplicado, 
no mesmo nível de cobrança do primeiro, foi de 14. Determine se, ao nível de 
significância de 5%, o curso online do Vovô Max foi eficiente. 
 
Primeiramente, vamos montar nosso teste de hipóteses: 
Hipóteses: 
0
1
11
11
H 
H
µ
µ
→ =
→ >
=> teste unilateral à direita 
 
Bom, com as hipóteses definidas, precisamos verificar qual distribuição utilizar. 
Repare que n = 50, que é maior que 30. Deste modo, deve ser utilizada a 
distribuição normal, independentemente se a variância populacional é conhecida 
ou não. 
 
Cálculos: 
5% 0,05α = = (nível de significância) 
Área da Curva = 0,500 – 0,05 =>Área sob a curva = 0,45 => 
Z (tabelado) = 1,65 (à esquerda) 
 
Desenhando a curva, teríamos: 
 
Cálculos: 
n = 50 
Xm = 14 (média amostral) 
11µ = (média populacional) 
Z = 1,65 
Rejeita H0 
Aceita H0 
0,95 
0,05α =
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2σ = (desvio-padrão populacional) 
0,005α = (nível de significância) 
 
14 11
( ) 10,60
2
50
X
z calculado
n
µ
σ
− −
= = = 
 
Como z(calculado) > Z(tabelado) => rejeita H0 => 11µ > , ou seja, o curso do 
Vovô Max foi eficiente. 
 
Nota: Ressalto, novamente, que, para n > 30, sempre será utilizada a 
distribuição normal. 
2. Resolução de Questão – Parte 1: foi solicitada a resolução do exercício 13 
da aula 01 por Diagrama de Venn. 
 
13. (Analista Administrativo-ANEEL-2006-Esaf) Das premissas: Nenhum A 
é B. Alguns C são B, segue, necessariamente, que: 
 
a) nenhum A é C. 
b) alguns A são C. 
c) alguns C são A. 
d) alguns C não são A. 
e) nenhum C é A. 
 
Resolução 
Premissa 1: Nenhum A é B. 
Premissa 2: Alguns C são B. 
Hipótese 1: alguns C são B e não há interseção de C com A. 
A B 
A B C 
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Hipótese 2: alguns C são B e há interseção de C com A. 
Repare que a questão pede: “... segue, necessariamente, que:” 
 
Deste modo, considerando as duas possíveis hipóteses, chega-se à conclusão, 
com certeza (necessariamente) que “alguns C não são A”. 
As alternativas “B” (alguns A são C) e “C” (alguns C são A) só são válidas para a 
segunda hipótese; e as alternativas “A” (nenhum A é C) e “E” (nenhum C é A) 
só são válidas para a primeira hipótese. 
 
Portanto, a única alternativa que é necessariamente válida, independentemente 
das hipóteses, é a “D” (alguns C não são A). 
GABARITO: D 
 
3. Resolução de Questão – Parte 2: solicitaram mais questões de análise 
combinatória. Seguem mais duas: 
 
1. (AFC-STN-2002-Esaf) Na Mega-Sena são sorteadas seis dezenas de um 
conjunto de 60 possíveis (as dezenas sorteáveis são 01, 02, ... , 60). Uma 
aposta simples (ou aposta mínima), na Mega-Sena, consiste em escolher 6 
dezenas. Pedro sonhou que as seis dezenas que serão sorteadas no próximo 
concurso da Mega-Sena estarão entre as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32, 35, 
45. O número mínimo de apostas simples para o próximo concurso da Mega- 
Sena que Pedro deve fazer para ter certeza matemática que será um dos 
ganhadores caso o seu sonho esteja correto é: 
 
a) 8 
b) 28 
c) 40 
d) 60 
e) 84 
 
Resolução 
 
Repare que Pedro sonhou com 8 números. Logo, o número mínimo de apostas 
simples que ele poderá fazer será uma combinação dos 8 números em grupos 
de 6 (tomados 6 a 6). 
 
A B 
C 
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Há que se ressaltar que, nesta questão, a ordem não importa, pois, por 
exemplo, a aposta “01, 02, 05, 10, 18, 32” é igual a aposta “02, 01, 05, 10, 18, 
32”. Só importa a natureza dos elementos (01 é diferente de 02 que é diferente 
de 05, e assim por diante). 
 
Portanto, teríamos: 
8,6
8! 8.7.6! 8.7
28
6!.(8 6)! 6!.2! 2
C = = = =
−
 
 
GABARITO: B 
2. Suponha que o código de barras de uma grande loja de departamentos, cujo 
dono é um famoso empresário, Sr. Ben 10, seja formado por números de 2 a 6 
algarismos distintos. Caso sejam utilizados apenas os algarismos 1, 2, 4, 5, 7 e 
8, quantos destes números são ímpares e começam com um dígito ímpar? 
 
a) 390 
b) 288 
c) 102 
d) 360 
e) 246 
 
Resolução 
 
I – Números de 2 Algarismos: 
Algarismo 1: 3 possibilidades (não pode ser par => possibilidades: 1, 5 e 7) 
Algarismo 2: 3 – 1 = 2 possibilidades (número ímpar – termina com 1, 5 ou 7 - 
e algarismo distinto do anterior) 
Total (2 algarismos) = 3 x 2 = 6 
 
II – Números de 3 Algarismos: 
Algarismo 1: 3 possibilidades (não pode ser par => possibilidades: 1, 5 e 7) 
Algarismo 2: 6 – 2 = 4 possibilidades (algarismo diferente do primeiro e do 
último) 
Algarismo 3: 2 possibilidades (número ímpar – termina com 1, 5 ou 7 - e 
algarismo distinto do primeiro algarismo) 
Total (3 algarismos)= 3 x 4 x 2 = 24 
 
III – Números de 4 Algarismos: 
Algarismo 1: 3 possibilidades (não pode ser par => possibilidades: 1, 5 e 7) 
Algarismo 2: 6 – 2 = 4 possibilidades (algarismo diferente do primeiro e do 
último) 
Algarismo 3: 6 – 3 = 3 possibilidades (algarismo diferente do primeiro, do 
segundo e do último) 
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Algarismo 4: 2 possibilidades (número ímpar – termina com 1, 5 ou 7 - e 
algarismo distinto do primeiro algarismo) 
Total (4 algarismos) = 3 x 4 x 3 x 2 = 72 
 
IV – Números de 5 Algarismos: 
Algarismo 1: 3 possibilidades (não pode ser par => possibilidades: 1, 5 e 7) 
Algarismo 2: 6 – 2 = 4 possibilidades (algarismo diferente do primeiro e do 
último) 
Algarismo 3: 6 – 3 = 3 possibilidades (algarismo diferente do primeiro, do 
segundo e do último) 
Algarismo 4: 6 – 4 = 2 possibilidades (algarismo diferente do primeiro, do 
segundo, do terceiro e do último) 
Algarismo 5: 2 possibilidades (número ímpar – termina com 1, 5 ou 7 - e 
algarismo distinto do primeiro algarismo) 
Total (5 algarismos) = 3 x 4 x 3 x 2 x 2 = 144 
 
V – Números de 6 Algarismos: 
Algarismo 1: 3 possibilidades (não pode ser par => possibilidades: 1, 5 e 7) 
Algarismo 2: 6 – 2 = 4 possibilidades (algarismo diferente do primeiro e do 
último) 
Algarismo 3: 6 – 3 = 3 possibilidades (algarismo diferente do primeiro, do 
segundo e do último) 
Algarismo 4: 6 – 4 = 2 possibilidades (algarismo diferente do primeiro, do 
segundo, do terceiro e do último) 
Algarismo 5: 6 – 5 = 1 possibilidades (algarismo diferente do primeiro, do 
segundo, do terceiro, do quarto e do último) 
Algarismo 6: 2 possibilidades (número ímpar – termina com 1, 5 ou 7 - e 
algarismo distinto do primeiro algarismo) 
Total (6 algarismos) = 3 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 = 144 
 
Total de Possibilidades = 6 + 24 + 72 + 144 + 144 = 390 
 
GABARITO: A 
 
4. Resolução de Questão – Parte 3: pediram que eu resolvesse a questão 
abaixo: 
 
(ATM-RN-2008-Esaf) A coleta de dados do município, relativa ao ensino 
fundamental, apresentou a seguinte composição etária: 
 
Composição Etária dos Alunos do Ensino Fundamental: 
 
Faixa Etária Masc. Fem. 
Até 06 anos 9.000 10.200 
De 07 a 08 anos 10.000 9.300 
De 09 a 10 anos 8.000 8.500 
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De 11 a 12 anos 7.000 5.500 
De 12 a 14 anos 5.000 3.500 
De 15 a 18 anos 3.000 2.500 
Acima de 18 anos 1.000 1.500 
Total 43.200 40.800 
 
Com base nos dados acima, temos as seguintes sentenças: 
I. A Moda está na faixa etária até os 06 anos. 
II. A Média de alunos está na faixa etária de 12 a 14 anos. 
III. A Mediana é superior à média. 
 
Apontando nos 3 (três) itens acima como V – Verdadeiro e F – Falso, a opção 
correta é: 
a) V, V, V 
b) V, F, V 
c) F, V, F 
d) F, F, F 
e) V, V, F 
 
Resolução 
 
Nesta questão, precisamos identificar a moda, a média e a mediana da 
distribuição acima. Repare que a questão não faz distinção entre alunos do sexo 
masculino ou feminino. Logo, devemos somar os valores (coluna “Alunos”): 
Faixa Etária Masc. Fem. Alunos
Até 06 anos 9.000 10.200 19.200 
De 07 a 08 anos 10.000 9.300 19.300 
De 09 a 10 anos 8.000 8.500 16.500 
De 11 a 12 anos 7.000 5.500 12.500 
De 12 a 14 anos 5.000 3.500 8.500 
De 15 a 18 anos 3.000 2.500 5.500 
Acima de 18 anos 1.000 1.500 2.500 
Total 43.200 40.800 84.000 
 
Para simplificar, vamos dividir tudo por mil: 
Faixa Etária Alunos 
(em mil)
Pm 
Até 06 anos 19,2 6 
De 07 a 08 anos 19,3 7,5 
De 09 a 10 anos 16,5 9,5 
De 11 a 12 anos 12,5 11,5 
De 12 a 14 anos 8,5 13 
De 15 a 18 anos 5,5 16,5 
Acima de 18 anos 2,5 18 
Total 84 
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Repare que as classes possuem amplitudes diferentes e, nas primeira e última 
classes, a questão somente fala até 6 e acima 18. Para estas classes, considerei 
o ponto de cálculo no próprio limite da classe. 
 
Vamos analisar as alternativas: 
 
I. A Moda está na faixa etária até os 06 anos. 
A Moda está na classe de maior freqüência. No caso temos: 
Faixa Etária Alunos 
(em mil)
Até 06 anos 19,2 
De 07 a 08 anos 19,3 => Maior freqüência 
=> Classe Modal 
De 09 a 10 anos 16,5 
De 11 a 12 anos 12,5 
De 12 a 14 anos 8,5 
De 15 a 18 anos 5,5 
Acima de 18 anos 2,5 
Total 84 
Logo, a moda está na faixa de 07 a 08 anos. A assertiva é FALSA. 
 
II. A Média de alunos está na faixa etária de 12 a 14 anos. 
 
Faixa Etária Alunos 
(em mil)
Pm Z = (Xm-11,5) Alunos x Z 
Até 06 anos 19,2 6 -5,5 -105,6 
De 07 a 08 anos 19,3 7,5 -4,0 -77,20 
De 09 a 10 anos 16,5 9,5 -2,0 -33 
De 11 a 12 anos 12,5 11,5 0 0 
De 12 a 14 anos 8,5 13 1,5 12,75 
De 15 a 18 anos 5,5 16,5 5 27,5 
Acima de 18 anos 2,5 18 6,5 16,25 
Total 84 159,3 
 
. 159,3 
1,90
84
11,5 1,90 11,5 9,6
Z Alunos
Z 
n
Z X X X
−
= = = −
= − ⇒ − = − ⇒ =
∑
 
 
Ou seja, a média está na faixa etária de 9 a 10 anos. A assertiva é FALSA. 
 
III. A Mediana é superior à média. 
 
n/2 = 84/2 = 42 
 
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Faixa Etária Alunos 
(em mil)
Frequência 
Acumulada 
(fac) 
Até 06 anos 19,2 19,2 
De 07 a 08 anos 19,3 38,5 
De 09 a 10 anos 16,5 55 fac > n/2 
Classe Mediana 
De 11 a 12 anos 12,5 67,5 
De 12 a 14 anos 8,5 76 
De 15 a 18 anos 5,5 81,5 
Acima de 18 anos 2,5 84 
Total 84 
 
linf = 9 
facant = 38,5 
fi = 16,5 
h = 10 – 9 = 1 
 
42 38,5 3,52inf . 9 .1 9 9,21
16,5 16,5
ant
n 
fac
Md l h
fi
 −  − 
= + = + = + =   
  
 
Logo, a mediana é inferior à média. A assertiva é FALSA. 
 
GABARITO: D 
 
5. Resolução de Questão – Parte 4: pediram que eu resolvesse a questão 
abaixo: 
 
(AFRF-2003-Esaf) Considere a tabela de freqüências seguinte correspondente 
a uma amostra da variável X. Não existem observações coincidentes com os 
extremos das classes. 
 
Classes Freqüências Acumuladas (%)
2.000 - 4.000 5 
4.000 - 6.000 16 
6.000 - 8.000 42 
8.000 - 10.000 77 
10.000 - 12.000 89 
12.000 - 14.000 100 
 
Assinale a opção que corresponde ao valor do coeficiente de assimetria 
percentílico da amostra de X, baseado no 1º, 5º e 9º decis. 
 
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a) 0,024 
b) 0,300 
c) 0,010 
d) -0,300 
e) -0,028 
 
Resolução 
 
Na aula teórica sobre o assunto, nós vimos o coeficiente quartílico de 
assimetria: 
 
3 1 2 
3 1
Q Q Md
A 
Q Q
+ −
=
−
Este coeficiente é obtido da seguinte maneira: 
 
( 3 ) ( 1) 3 1 2
( 3 ) ( 1) 3 1
Q Md Md Q Q Q Md
A 
Q Md Md Q Q Q
− − − + −
= =
− + − −
 
Para o coeficiente percentílico de assimetria, baseado no primeiro decil (D1 = 
P10), no quinto decil (D5 = P50 = Md) e no nono decil (D9 = P90), adotaremos 
o mesmo procedimento: 
 
( 9 ) ( 1) 9 1 2
( 9 ) ( 1) 9 1
D Md Md D D D Md
A 
D Md Md D D D
− − − + −
= =
− + − −
1010 1 inf.
ant
n 
fac
P D l h
fi
 − 
= = +  
 
 
9. 
1090 9 inf .
ant
n 
fac
P D l h
fi
 − 
= = +  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Supondo n = 100, teríamos: 
Classes Fac(%) Fac fi fi 
2.000 - 4.000 5 5 5 
4.000 - 6.000 16 16 = 16 – 5 = 11 => n/10 = 100/10 = 10 < fac = 16 
=> fi = 11 
=> linf = 4.000 
=> fac ant = 5 
=> Classe do Primeiro Decil 
6.000 - 8.000 42 42 = 42 – 16 = 26 
8.000 - 10.000 77 77 = 77 – 42 = 35 => n/2 = 100/2 = 50 < fac = 77 
=> fi = 35 
=> linf = 8.000 
=> fac ant = 42 
=> Classe Mediana 
10.000 - 12.000 89 89 = 89 – 77 = 12 
12.000 - 14.000 100 100 100 - 89 = 11 => 9n/10 = 900/10 = 90 < fac=100 
=> fi = 11 
=> linf = 12.000 
=> fac ant = 89 
=> Classe do Nono Decil 
h = amplitude de classe = 4.000 – 2.000 = 2.000 
10 5 5101 inf . 4.000 .2.000 4.000 .2.000 4.909,09
11 11
ant
n 
fac
D l h
fi
 −  − = + = + = + =   
  
 
9.
90 89 1109 inf . 12.000 .2.000 12.000 .2.000 12.181,82
11 11
ant
n 
fac
D l h
fi
 −  − = + = + = + =   
  
 
5.
50 42 810inf . 8.000 .2.000 8.000 .2.000 8.457,14
35 35
ant
n 
fac
Md l h
fi
 −  − = + = + = + =   
  
 
9 1 2 12.181,82 4.909,09 2 8.457,14 176,62
0,024
9 1 12.181,82 4.909,09 7.272,73
D D Md x
A 
D D
+ − + −
= = = =
− −
GABARITO: A 
 
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6. Resolução de Questão – Parte 5: pediram que eu resolvesse mais 
questões de matemática financeira. Seguem mais quatro: 
 
(AFRF-2005-Esaf) Em janeiro de 2005, uma empresa assumiu uma dívida no 
regime de juros compostos que deveria ser quitada em duas parcelas, todas 
com vencimento durante o ano de 2005. Uma parcela de R$ 2.000,00 com 
vencimento no final de junho e outra de R$ 5.000,00 com vencimento no final 
de setembro. A taxa de juros cobrada pelo credor é de 5% ao mês. No final de 
fevereiro, a empresa decidiu pagar 50% do total da dívida e o restante no final 
de dezembro do mesmo ano. Assim, desconsiderando os centavos, o valor que a 
empresa deverá pagar no final de dezembro é igual a: 
 
a) R$ 4.634,00 
b) R$ 4.334,00 
c) R$ 4.434,00 
d) R$ 4.234,00 
e) R$ 5.234,00 
Resolução 
Juros Compostos => i = 5% ao mês 
Dívida em Janeiro 
Opção 1: R$ 2.000,00 em junho e R% 5.000,00 em setembro 
 
Em empresa, no final de fevereiro, pagou metade da dívida e o restante (a 
outra metade) seria pago em dezembro. 
 
 
 
Primeiramente, é preciso calcular a dívida em fevereiro, para saber quanto vale 
a sua metade: 
 
4 4 3 4 7
2.000 5.000 2.000 5.000
5.198,81
(1,05) (1,05) (1,05) (1,05)
Dívida += + = + = 
 
Lembrando que os valores (1,05)4 e (1,05)7 são retirados da tabela fornecida. 
Junho Setembro
Janeiro
Dívida (D)
Fevereiro
50% . D 
Dezembro
Restante da 
dívida 
2.000
5000
4 meses 3 meses 3 meses
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Metade da Dívida = Valor pago em fevereiro = 5.198,81/2 = 2.599,41 
 
Cálculo do valor pago em dezembro (trazendo o valor para fevereiro): 
 
4 3 3 10
10
5.198,81 2.599,41 2.599,40
(1,05) (1,05)
2.599,40.(1,05) 4.234,16
P P
P
+ +
= + => = =>
=> = =
 
GABARITO: D 
(AFRF-2005-Esaf) Edgar precisa resgatar dois títulos. Um no valor de R$ 
50.000,00 com prazo de vencimento de dois meses, e outro de R$ 100.000,00 
com prazo de vencimento de três meses. Não tendo condições de resgatá-los 
nos respectivos vencimentos, Edgar propõe ao credor substituir os dois títulos 
por um único, com vencimento em quatro meses. Sabendo-se que a taxa de 
desconto comercial simples é de 4% ao mês, o valor nominal do novo título, 
sem considerar os centavos, será igual a: 
 
a) R$ 159.523,00 
b) R$ 159.562,00 
c) R$ 162.240,00 
d) R$ 162.220,00 
e) R$ 163.230,00 
Resolução 
Desconto Comercial Simples (D) => i = 4% ao mês 
D = N.iD.t = N – AD 
AD = N – D = N – N.iD.t = N.(1 – iD.t) 
 
Dois títulos => R$ 50.000,00 (dois meses) e R$ 100.000,00 (3 meses) => 
substituir por um único com vencimento em 4 meses. 
 
 
 
 
3 meses2 meses
50.000 100.000
4 meses
N
0
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Como a questão não informou sobre a data focal (data de referência), adotarei 
o momento 0: 
 
50.000.(1 4%.2) 100.000.(1 4%.3) .(1 4%.4)
50.000.0,92 100.00.0,88 0,84.
0,84. 46.000 88.000 134.000 
159.523,80
N
N
N 
N
− + − = − =>
=> + = =>
=> = + = =>
=> =
 
 
GABARITO: A 
(AFRF-2005-Esaf) Paulo aplicou pelo prazo de um ano a quantia total de R$ 
50.000,00 em dois bancos diferentes. Uma parte dessa quantia foi aplicada no 
Banco A, à taxa de 3% ao mês. O restante dessa quantia foi aplicado no Banco 
B a taxa de 4% ao mês. Após um ano, Paulo verificou que os valores finais de 
cada uma das aplicações eram iguais. Deste modo, o valor aplicado no Banco A 
e no Banco B, sem considerar os centavos, foram, respectivamente iguais a: 
 
a) R$ 21.948,00 e R$ 28.052,00 
b) R$ 23.256,00 e R$ 26.744,00 
c) R$ 26.589,00 e R$ 23.411,00 
d) R$ 27.510,00 e R$ 22.490,00 
e) R$ 26.477,00 e R$ 23.552,00 
 
Resolução 
A Esaf não informou o regime de capitalização e adotou o regime de 
capitalização composto. Portanto, quando a banca não informar, o mais 
prudente é adotar o regime composto. 
 
Paulo: Aplicou uma quantia total de R$ 50.000,00 por 1 ano, em dois bancos 
diferentes. 
 
Banco A = 3% ao mês 
Banco B = 4% ao mês 
C = R$ 50.000,00 = CA + CB (I) 
 
MA = CA.(1 + 0,03)12 = CA.(1,03)12 = 1,425761.CA 
MB = CB.(1 + 0,04)12 = CB.(1,04)12 = 1,601032.CB 
 
Após um ano, Paulo verificou que os valores finais de cada uma das aplicações 
eram iguais: MA = MB 
 
MA = 1,425761.CA = MB = 1,601032.CB => CA = 1,122932.CB (II) 
 
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Substituindo (II) em (I): 
50.000 = 1,122932.CB + CB = 2,122932.CB => CB = 50.000/2,122932 => 
� CB = 23.552,33 
 
50.000,00 = CA + CB = CA + 23.552,33 => CA = 50.000 – 23.552,33 => 
� CA = 26.447,67 
 
Não há alternativa correta. 
 
GABARITO: ANULADA 
(AFRF-2005-Esaf) Um banco deseja operar a uma taxa efetiva de juros 
simples de 24% ao trimestre para operações de cinco meses. Deste modo, o 
valor mais próximo da taxa de desconto comercial trimestral que o banco 
deverá cobrar em suas operações de cinco meses deverá ser igual a: 
 
a) 19 % 
b) 18,24 % 
c) 17,14 % 
d) 22 % 
e) 24 % 
 
Resolução 
 
Taxa Efetiva de Juros Simples = 24% ao trimestre para operações de 5 meses 
=> Taxa Efetiva de Juros Simples = 24%/3 = 8% ao mês 
Taxa de Desconto Comercial Trimestral = ? 
 
Vou aproveitar para deduzir a relação entre a taxa de juros efetiva e a taxa de 
desconto comercial: 
Desconto Comercial: D = N.iD.t = N – AD 
AD = N – D = N – N.iD.t = N.(1 – iD.t) (I) 
 
Taxa efetiva: taxa que utilizamos para partir do valor atual e chegar ao valor 
nominal (é a mesma taxa do desconto racional): 
N = AD.(1 + ief.t) => AD = N/(1 + ief.t) (II) 
 
Substituindo (II) em (I): 
� N/(1 + ief.t) = N.(1 – iD.t) => (1 – iD.t).(1 + ief.t) = 1t = 5 meses; ief = 8% ao mês: (1 – iD.5).(1 + 8%.5) = 1 => 1,4. (1 – iD.5) = 1 
=> 1 – 5.iD = 1/1,4 = 0,7143 => 5.iD = 1 – 0,7143 = 0,2857 => 
=> iD = 0,05714 = 5,714% ao mês = 5,714 x 3 = 17,143% ao trimestre 
GABARITO: C 
 
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5. Curiosidades matemáticas: Demonstração de que “2 + 2 = 5”. 
 
Prova: 
� 0 = 0 
� 4 – 4 = 10 – 10 => 
� 22 – 22 = 2.5 – 2.5 => 
� 22 – 22 = 2.(2 + 3) – 2.(2 + 3) => 
 
Lembrando que: a2 – b2 = (a + b).(a – b) => 22 – 22 = (2 + 2).(2 – 2) 
� (2 + 2).(2 – 2) = 2.(2 + 3) – 2.(2 + 3) 
� (2 + 2).(2 – 2) = (2 + 3).(2 – 2) 
 
Dividindo ambos os membros da equação por (2 – 2), temos: 
� (2 + 2) = (2 + 3) 
� 2 + 2 = 2 + 3 
� 2 + 2 = 5 
 
E você? Sabe explicar o que aconteceu? Onde está o erro? Ou será que, 
realmente, 2 + 2 = 5? (resposta no final da aula) 
 
Ufa! Terminamos a sessão de dúvidas. Vamos a parte principal da aula de hoje? 
============================================== 
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Muitos dos conceitos desta aula já foram vistos no decorrer do curso. Portanto, 
nesta aula, estudaremos os conceitos não tratados até aqui e, posteriormente, 
faremos exercícios, tanto nesta, como na última aula, que será somente de 
exercícios e de revisão da matéria, como havia prometido. 
11. Compreensão e elaboração da lógica das situações por 
meio de: raciocínio matemático 
11.1 Conjuntos numéricos racionais e reais: conceitos vistos na 
aula 03 (Álgebra). 
11.2. Operações, propriedades, problemas envolvendo as 
quatro operações nas formas fracionária e decimal: conceitos 
vistos na aula 03 (Álgebra). 
11.3. Conjuntos numéricos complexos 
11.3.1. Operações com Pares Ordenados 
Seja � o conjunto dos números reais. Consideremos o produto cartesiano 
2× =� � � . 
 
}{2 ( , ) | ;x y x y= ∈ ∈� � � 
2
� = conjunto dos pares ordenados (x,y), em que x e y são números reais. 
 
Propriedades dos Pares Ordenados: 
1) Igualdade: (a,b) = (c,d) ⇔ a = c e b =d 
2) Adição: (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d) 
3) Multiplicação: (a,b) . (c,d) = (ac – bd, ad + bc) 
 
11.3.2. Conjuntos Numéricos Complexos 
É representado por �e corresponde ao conjunto dos pares ordenados de 
números reais para os quais estão definidas as propriedades do item 11.3.1. 
 
( , ); ,z z x y x y∈ ⇔ = ∈� � 
Exemplos: 
1) z1 = (3,2) e z2 = (4,0). Calcule z1 + z2; z1 . z2 e z12. 
 
z1 + z2 = (3 + 4, 2 + 0) = (7,2) 
z1 . z2 = (3.4 – 2.0, 3.0 + 2.4) = (12,8) 
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z12 = (3,2).(3,2) = (3.3 – 2.2, 3.2 + 2.3) = (5,12) 
 
2) z1 = (1,2) e z2 = (3,4). Calcule z, tal que z1 + z = z2. 
 
z = (x,y) => (1,2) + (x,y) = (3,4) => (1 + x, 2 + y) = (3,4) 
1 + x = 3 => x = 3 – 1 = 2 
2 + y = 4 => y = 4 – 2 = 2 
 
z = (2,2) 
 
3) z1 = (1,-1) e z2 = (2,3). Calcule z, tal que z1.z = z2. 
 
z = (x,y) => (1,-1) + (x,y) = (2,3) => (x.1 – (-1).y, 1.y + (-1).x) = (2,3) => 
=> (x + y, y – x) = (2,3) 
x + y = 2 (I) 
y – x = 3 (II) 
 
(I) + (II) => 2y = 5 => y = 5/2 
 
x + y = 2 => x + 5/2 = 2 => x = 2 – 5/2 = -1/2 
 
z = (-1/2, 5/2) 
 
Propriedades (continuação): 
 
I. Adição: 
Associativa: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) 
Comutativa: z1 + z2 = z2 + z1 
Elemento Neutro: z = (0,0) = elemento neutro => z1 + z = z1 
Elemento Simétrico: z + z´= (0,0). Logo, se z = (x,y), então z´= (-x,-y) 
 
II. Multiplicação: 
Associativa: (z1 . z2) . z3 = z1 . (z2 . z3) 
Comutativa: z1 . z2 = z2 . z1 
Distributiva: z1 . (z2 + z3) = z1 . z2 + z1 . z3 
Elemento Neutro: z = (1,0) = elemento neutro => z1 . z = z1 
 Exemplo: (2,3).(1,0) = (2.1 – 3.0, 2.0 + 3.1) = (2,3) 
 
Elemento Inverso: z . z´´ = (1,0). 
Logo, se z = (x,y), então z´´ = 2 2 2 2,
x y
x y x y
 −
 + + 
=> inverso ou inverso 
multiplicativo. 
 
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Exemplo: Supondo que z1 = (1,2) e z2 = (3,4), calcule o resultado da divisão 
de z1 por z2. 
 
Fazer a divisão de z1 por z2 é o mesmo que multiplicar z1 pelo inverso de z2. 
1
1 2 2 2 2 2
2
1
2
3 4 3 4
. ´´ (1,2).( , ) (1,2).( , )
3 4 3 4 25 25
3 4 4 3 11 2
(1. 2.( ),1.( ) 2. ) ,
25 25 25 25 25 25
z 
z z
z
z 
z
− −
= = = ⇒
+ +
− −  ⇒ = − + =  
 
 
Nota: Unidade Imaginária (i) 
� corresponde ao número complexo (0,1). 
i2 = (0,1).(0,1) = (0.0 – 1.1, 0.1 + 1.0) = (-1,0) => i2 = -1 
i3 = i2.i = (-1).i = -i 
i4 = i2.i2 = (-1).(-1) = 1 
 
Normalmente, para todo n ∈� : 
i4n = 1 
i4n+1 = i 
i4n+2 = -1 
i4n+3 = -i 
 
Dado um número complexo qualquer z = (x,y), temos: 
 
z = (x,y) = (x,0) + (0,y) = (x,0) + (y.0 – 0.1, y.1 + 0.0) = (x,0) + (0,y).(0,1) 
z = x + y.i => forma algébrica de escrever o número complexo. 
x (número real) = denominado “parte real” de z. 
y (número real) = denominado “parte imaginária” de z. 
x = Re(z) 
y = Im(z) 
Nota: Chama-se real todo número complexo cuja parte imaginária é nula e 
chama-se imaginário puro todo número complexo cuja parte real é nula e a 
imaginária não. 
 
z = x + 0.i => z = x é real 
z = 0 + y.i => z = y.i é imaginário puro 
 
A forma algébrica é muito mais prática que o par ordenado, pois facilita as 
operações. Veja: 
 
Igualdade: a + b.i = c + d.i => a = c e b = d. 
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Adição: (a + b.i) + (c + d.i) = (a + c) + (b + d).i 
 
Multiplicação: 
(a + b.i) . (c + d.i) = a.c + a.d.i + b.c.i + b.d.i2 
 
Como i2 = -1 
(a + b.i) . (c + d.i) = a.c + a.d.i + b.c.i + b.d.(-1) = (a.c – b.d) + (a.d + b.c).i 
 
Exemplo: Dados z1 = 1 + 2.i e z2 = 2 – i e z3 = 3 + i, calcule z1.z2.z3. 
 
z1.z2.z3 = (1 + 2.i).(2 – i).(3 + i) = (1.2 – 1.i + 2.2.i – 2.i2).(3 + i) => 
� z1.z2.z3 = (2 – 1.i + 4.i – 2.(-1)). (3 + i) = (4 + 3.i).(3 + i) => 
� z1.z2.z3 = (4.3 + 4.i + 3.3.i + 3.i2) = (12 + 4.i + 9.i + 3.(-1)) => 
� z1.z2.z3 = 9 + 13.i 
 
Exemplo: Calcule 
101 50
100 49
(2 ) .(2 )
( 2 ) .( 2)
i i
i i
+ −
− − −
. 
 
101 50 101 50
100 49 100 49
2
(2 ) .(2 ) (2 ) .(2 ) (2 ).(2 )
( 2 ) .( 2) ( 1).(2 ) .(2 ) 1
2.2 2. 2. 4 ( 1) 
5
1 1
i i i i i i
i i i i
i i i
+ − + − + −
= = =
− − − − + − −
− + − − −
= = = −
− −
Nota: 
(a + b) = (-1).(-a – b) 
(a – b) = (-1).(-a + b) 
Exemplo: Calcule 
80 82
96
(1 ) (1 )i i
i
+ − +
. 
 
(1 + i)2 = (1 + i). (1 + i) = 1.1 + 1.i + 1.i + i2 = 1 + 2.i + (-1) = 2.i 
 
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
40 41 40 412 280 82
48 4896 2
20 2040 2 41 2
20 2040 41 40 41
(1 ) (1 ) 2. 2.(1 ) (1 )
1
2 . 2 . .
2 . 1 2 . . 1 2 2 .
1
i i i ii i
i i
i i i
i i
   + − + −+ − +    = = =
−
−
= = − − − = −
 
 
Nota: Complexo Conjugado 
Se z = x + y.i, o seu complexo conjugado é: .z x y i= − 
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Logo, pode-se deduzir que o conjugado de .z x y i= − é z = x + y.i. 
. .z x y i z x y i= + ⇔ = − 
 
Propriedades do Conjugado: 
I) z + z= 2.Re(z) 
II) z - z = 2.Im(z).i 
III) z = z z⇔ ∈� 
IV) 1 2 1 2z z z z+ = + 
V) 1 2 1 2. .z z z z= 
 
Exemplos: z = 1 + 2.i.Logo, z= 1 – 2.i 
I) z + z= 1 + 2.i + 1 – 2.i = 2 = 2.Re(z) 
II) z - z = 1 + 2.i – (1 - 2.i) = 1 + 2.i – 1 + 2.i = 4.i = 2.Im(z).i 
 
Exemplo: 
z1 = x1 + y1.i e z2 = x2 + y2.i 
z1 + z2 = (x1 + x2) + (y1 + y2).i 
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2( ) ( ). ( . ) ( . )z z x x y y i x y i x y i z z+ = + − + = − + − = + 
Exemplo: 
z1 = x1 + y1.i e z2 = x2 + y2.i 
z1 . z2 = x1.x2 + x1.y2.i + y1.x2.i + y1.y2.i2 = (x1.x2 - y1.y2) + (x1.y2 + y1.x2).i 
 
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2
. ( . . ) ( . . ). .( . ) . .( . )
. ( . ).( . ) .
z z x x y y x y y x i x x y i y i x y i
z z x y i x y i z z
= − − − = − − − ⇒
⇒ = − − =
 
 
Nota: Utilização do conjugado na divisão: para calcular z2/z1, basta 
multiplicar o denominador e o numerador pelo conjugado do 
denominador. 
 
Exemplo: 
2
2
3 2. (3 2. ).(1 ) (3.1 3. 2. 2. ) 5 5 1
.
1 (1 ).(1 ) (1 ) 2 2 2
i i i i i i i
i
i i i i i i
+ + − − + − −
= = = = −
+ + − − + −
 
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11.4. Números e grandezas proporcionais: conceitos vistos na aula 
06 (Geometria Básica e Matemática Financeira). 
11.5. Razão, proporção e divisão proporcional 
Razão: é o quociente entre dois números racionais, sendo que o denominador 
deve ser diferente de zero. Exemplos: 7/13, 3/5, 8/20, etc. 
 
Equivalências entre Razões: duas razões são equivalentes quando o 
resultado da divisão do numerador pelo denominador é igual. 
Exemplo: 
1 2 3 4 5
...
3 6 9 12 15
= = = = = 
Proporção: é a igualdade entre duas razões. Exemplo: 
1 5
3 15
= 
Propriedades da Proporção: Considere a proporção 
a c
b d
= 
I) a.d = b.c 
 
II) 
a c a b c d a b c d a b c d
ou ou
b d a c b d a c
a b c d a c a c a c a c
ou ou ou
b d b d b d b d b d
+ + + + − −
= ⇒ = = =
− − + −
= = = = =
+ −
 
 
 
Exemplo: Gwen deseja calcular a altura do prédio onde mora. Para isso, cravou 
uma vara de 2 metros, verticalmente ao solo. Esta vara, no horário da medição, 
produziu uma sombra de 3 metros. No mesmo momento, Gwen mediu a sombra 
de seu prédio e verificou que era de 30 metros. Determine a altura do prédio. 
 
2 
3. 2.30 2.10 20
3 30
metros x
x x metros
metros metros
= => = => = = 
 
Números Diretamente Proporcionais: 
Se 
x y z
a b c
= = , então x, y e z são diretamente proporcionais (a, b e c são 
números racionais). 
 
Sempre que uma grandeza for diretamente proporcional à outra, o aumento ou 
diminuição de uma grandeza provocará, respectivamente, o aumento ou 
diminuição da outra grandeza. 
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Exemplo: combustível gasto e quilômetros percorridos => quando mais 
quilômetros percorremos com nosso carro, mais combustível gastamos; quanto 
menos quilômetros percorremos com nosso carro, menos combustível 
gastamos. 
 
Números Inversamente Proporcionais: 
Se x.a = y.b = z.c, então x, y e z são inversamente proporcionais (a, b e c são 
números racionais). 
 
Sempre que uma grandeza for inversamente proporcional à outra, o aumento 
ou diminuição de uma grandeza provocará, respectivamente, a diminuição ou 
aumento da outra grandeza. 
Exemplo: tempo de viagem e velocidade do percurso => quando maior 
velocidade de nosso carro, menor será o tempo de viagem; quanto menor a 
velocidade de nosso carro, maior será o tempo de viagem. 
 
Exemplos Práticos: 
1. Sabendo-se que 5 kg de arroz custam R$ 10,00, qual será o preço de 13 kg 
do mesmo arroz? 
 
Grandezas: quilos de arroz e preço (diretamente proporcionais => quanto maior 
a quantidade de arroz, maior o preço). 
 
5 $10,00
5. 13.10 13.2 $26,00
13
kg R 
x x R
kg x
= => = => = = 
 
2. Duas torneiras completamente abertas enchem um tanque em 90 minutos. 
Em quanto tempo 9 torneiras semelhantes às primeiras, também 
completamente abertas, encheriam esse mesmo tanque? 
 
Nesta questão, torneiras e tempo são grandezas inversamente proporcionais, ou 
seja, quanto maior o número de torneiras, menos o tempo gasto para encher o 
tanque. Deste modo, temos: 
 
2 .90min 9 . 2.90 9.
2.10 20min
9 90min
9. 2.90 20min
2
torneiras torneiras x x
x
ou
torneiras 
x x
torneiras x
= => = =>
=> = =
= => = => =
 
 
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11.6. Regra de Três Simples e Regra de Três Composta 
(*) Já vimos muitas regras de três no decorrer do curso, mas vou comentar 
aqui os conceitos. 
Regra de Três Simples: são formadas por uma igualdade entre duas razões 
(proporção). 
 
Regra de Três Composta: são formadas por uma igualdade entre mais de 
duas razões (proporção). 
 
Exemplos Práticos: 
1. Como 10 kg de farinha é possível fazer 100 pães. Quantos quilogramas 
farinha são necessários para produzir 5.000 pães? 
 
As grandezas quantidade de farinha e quantidades de pães são diretamente 
proporcionais, pois quanto maior a quantidade de pães, maior a quantidade 
farinha. 
 
10 kg de farinha ===== 100 pães 
x ===== 5.000 pães 
 
100.x = 10 . 5.000 => x = 10 . 50 = 500 kg de farinha 
 
2. Vovô Max, conhecido professor de Raciocínio Lógico-Quantitativo, demora 30 
minutos para digitar uma página de seu curso online. Quantos dias Vovô Max 
levará para digitar uma aula de seu curso online, que possui 120 páginas? 
 
As grandezas tempo de digitação e número de páginas são diretamente 
proporcionais, tendo que vista que, quanto maior o número de páginas, maior o 
tempo para digitá-las. 
 
30 minutos ===== 1 página 
x ===== 120 páginas 
 
x = 120 . 30 = 3.600 minutos = 3.600/60 minutos = 60 horas/24 horas => 
=> x = 2,5 dias 
 
3. Em uma fábrica, 25 máquinas produzem 15.000 peças de automóvel em 12 
dias, trabalhando 10 horas por dia. Quantas horas por dia deverão trabalhar 30 
dessas máquinas para produzir 18.000 peças em 15 dias? 
 
Relações: 
I. Quanto mais horas por dia forem trabalhadas, menos máquinas serão 
necessárias (grandezas inversamente proporcionais). 
 
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II. Quanto mais horas por dia forem trabalhadas, menos dias serão necessários 
(grandezas inversamente proporcionais). 
 
III. Quanto mais horas por dia forem trabalhadas, mais peças serão produzidas 
(grandezas diretamente proporcionais). 
 
Horas/Dia Máquinas Dias Número de Peças 
10 25 12 15.000 
X 30 15 18.000 
 
10 30 15 15.000 10 6 5 5 10 5
. . . .
25 12 18.000 5 4 6 4
2 1 
8 /
4
x x x
x horas dia
x
= => = => = =>
=> = => =
 
 
11.7. Porcentagem: conceito visto na aula 06 (Geometria Básica e 
Matemática Financeira). 
12. Raciocínio seqüencial, orientação espacial e temporal, 
formação de conceitos e discriminação de elementos 
Neste tópico, serão cobradas aquelas questões estilo “psicotécnico”, ou seja, 
são questões para testar, efetivamente e literalmente, o seu raciocínio lógico. 
Vamos ver alguns exemplos: 
Exemplo 1: Assinale a alternativa que completa a seguinte seqüência: 1/2, 
2/3, 3/5, 5/7, 7/11, 11/13, .... 
 
a) 11/15 
b) 13/15 
c) 13/17 
d) 15/17 
e) 15/19 
 
Resolução 
Repare a seqüência: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13 => ela corresponde a uma seqüência 
de números primos. 
 
Na seqüência da questão,o numerador da fração anterior é igual ao 
denominador da fração seguinte. Repare: 
 
1/2, 2/3, 3/5, 5/7, 7/11, 11/13, .... 
 
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Logo, o próximo numerador é 13 e o denominador é o número primo após 13 
(17) => 13/17. 
 
GABARITO: C 
Exemplo 2: Assinale a alternativa que completa a seqüência abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 40 
b) 49 
c) 44 
d) 81 
e) 64 
 
Resolução 
Repare que a seqüência corresponde aos números, em ordem crescente, a 
partir do zero, elevados ao quadrado: 
 
02 = 0; 12 = 1; 22 = 2; 32 = 9; 42 = 16; 52 = 25; 62 = 36; 72 = 49; ... 
 
GABARITO: B 
Exemplo 3: Assinale a alternativa que contém as letras que completam a 
seqüência abaixo: 
 
. . . .
. . ........
C J E P N M
A H C
= 
 
a) M.N.J 
b) N.L.J 
c) J.H.G 
d) N.M.I 
e) N.M.J 
 
Resolução 
As letras do denominador ocupam duas posições a menos no alfabeto que suas 
correspondentes no numerador. 
4 
 36 
25 
16 9 
0 
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C => menos duas letras => A 
J => menos duas letras => H 
E => menos duas letras => C 
 
P => menos duas letras => N 
N => menos duas letras => L 
M => menos duas letras => J 
 
� N.L.J 
GABARITO: B 
 
Exemplo 4: Assinale a alternativa que completa a seqüência de dominós 
abaixo: 
 
 
 
 
 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
Resolução 
Repare que somando 2 a cada número obtém-se o número seguinte (lembrando 
que, no dominó, os números variam de 0 a 6). Seqüência de números no 
dominó: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 
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0 + 2 = 2 + 2 = 4 + 2 = 6 + 2 = 1 + 2 = 3 + 2 = 5 + 2 = 0 
 
GABARITO: C 
 
Exemplo 5: Assinale a alternativa que completa a seqüência abaixo: 
 
 
 
 
 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
Resolução 
 
A figura gira 900 no sentido horário e o traço, que começa no meio, vai 
alternando a sua posição. Logo, a próxima figura da seqüência será: 
 
c) 
 
 
GABARITO: C 
? 
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13. Outros Assuntos que Podem Cair em Prova 
13.1. Progressão Aritmética (PA) 
É toda seqüência numérica cujos termos, a partir do segundo, são iguais ao 
anterior somado com um valor constante denominado razão. 
 
Exemplos: 
PA1 = (1, 5, 9, 13, 17, 21, ...) => razão = 4 (PA crescente) 
PA2 = (15,15, 15, 15, 15, 15, 15, ...) => razão = 0 (PA constante) 
PA3 = (100, 90, 80, 70, 60, 50, ...) => razão = -10 (PA decrescente) 
Seja a PA (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r. 
 
De acordo com a definição: 
a2 = a1 + 1.r 
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r 
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r 
(...) 
an = a1 + (n – 1) . r => Termo Geral da PA 
 
n => termo de ordem n (n-ésimo termo) 
r => razão 
a1 => primeiro termo 
Exemplo: Determine o milésimo da PA abaixo. 
PA = (1, 3, 5, 7, 9, ...) 
a1= 1 
r = 3 – 1 = 2 
a1000 (n = 1.000) = a1 + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999 
 
Considere: 
aj => termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA 
ak => termo de ordem k (k-ésimo termo) da PA 
 
aj = ak + (j - k).r 
Exemplo: Se numa PA, o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a 
sua razão? 
 
a5 = 30 
a20 = 60 
a20 = a5 + (20 - 5) . r => 60 = 30 + (20 - 5).r => 
� 60 - 30 = 15.r => r = 2 
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Propriedades: 
I. Cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos 
deste. 
Exemplo: 
PA : (x, y, z) => y = (x + z) / 2 
Sabe-se que: x = y – r e z = y + r => (x + z)/2 = (y - r + y + r)/2 = 2y/2 = y 
II. A soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante. 
Exemplo: 
PA : (m, n, r, s, t) => m + t = n + s = r + r = 2r 
Soma dos n primeiros termos de uma PA 
 
Considere a seguinte PA = (a1, a2, a3, ..., an-1, an) 
 
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an = 1 .
2
na a n
+
Exemplo: Calcule a soma dos 200 primeiros termos da PA abaixo. 
 
PA= (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, ...) 
a200 = a1 + (200 - 1).r = 1 + 199.2 = 399 
Sn = 1 
1 399
. .200 40.000
2 2
na a n
+ +
= = 
13.2. Progressão Geométrica 
É toda seqüência numérica cujos termos, a partir do segundo, são iguais ao 
anterior multiplicado com um valor constante denominado razão (q). 
 
Exemplos: 
PG1 = (1, 3, 9, 27, 81,...) => razão = 3 (PG crescente) 
PG2 = (15,15, 15, 15, 15, ...) => razão = 1 (PG constante ou estacionária) 
PG3 = (128, 64, 32, 16, 8, 4, ...) => razão = 1/2 (PG decrescente) 
PG4 = (1, -3, 9, -27, 81,...) => razão = -3 (PG alternante) 
Seja a PG (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r. 
 
De acordo com a definição: 
a2 = a1 . q 
a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2 
a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1 . q3 
(...) 
an = a1 . qn-1 => Termo Geral da PG 
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n => termo de ordem n (n-ésimo termo) 
q => razão 
a1 => primeiro termo 
 
Exemplo: Determine o milésimo da PG abaixo. 
PA = (1, 3, 9, 27, 81, ...) 
 
a1= 1 
r = 3/1 = 3 
a1000 (n = 1.000) = a1 .qn-1 = 1.31000-1 = 3999 
 
Considere: 
aj => termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA 
ak => termo de ordem k (k-ésimo termo) da PA 
 
aj = ak . q(j-k) 
Exemplo: Se numa PA, o segundo termo é 3 e o sexto termo é 243, qual a sua 
razão? 
 
a2 = 3 
a6 = 243 
 
a6 = a2 . q6-2 => 243 = 3 . q4 => 
� 81 = q4=> q = 3 
Propriedades: 
I. Cada termo (a partir do segundo) é a média geométrica dos termos vizinhos 
deste. 
Exemplo: 
PG: (x, y, z) => y = .x z 
Sabe-se que: x = y/q e z = y . q => 2. . .
y
x z y q y y
q
= = = 
 
II. O produto dos termos eqüidistantes dos extremos é constante. 
Exemplo: 
PG : (m, n, r, s, t) => m . t = n . s = r . r = r2 
Soma dos n primeiros termos de uma PG 
 
Considere a seguinte PG = (a1, a2, a3, ..., an-1, an) 
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Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an = 1
.(1 )
, 1
1
na q
q
q
−
≠
−
 
Exemplo: Calcule a soma dos 200 primeiros termos da PG abaixo. 
 
PA= (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1.024, ... ) 
 
Sn = 
200
2001.(1 ) 1.(1 2 ) 2 1
1 1 2
na q 
q
− −
= = −
− −
 
 
Nota: 
1) Se q = 1 => Sn = n.a1 
2) Se 0 < q < 1 e a PG for crescente e infinita: Sn (n muito grande) = 1
1
a
q−
 
3) ( )1.
n
n nP a a= => produto dos n primeiros termos de uma PG. 
13.3. Movimento Uniforme 
É o movimento que se caracteriza pela velocidade constante em qualquer 
instante ou intervalo de tempo. Podemos dizer ainda que o móvel percorre 
distâncias iguais em intervalos de tempos iguais. 
 
 
 
 
 
 
a = aceleração = zero 
v = velocidade = constante e diferente de zero 
s = posição no instante t 
s0 = posição no instante t0 
s = s0 + v.t 
 
Velocidade = Distância Percorrida/Variação doTempo 
S0 
v 
S 
Instante t0 Instante t 
v 
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Questões Comentadas e Resolvidas 
 
1. (Assistente Técnico-Administrativo-MF-2009-Esaf) Com 50 
trabalhadores, com a mesmo produtividade, trabalhando 8 horas por dia, uma 
obra ficaria pronta em 24 dias. Com 40 trabalhadores, trabalhando 10 horas por 
dia, com uma produtividade 20% menor que os primeiros, em quantos dias a 
mesma obra ficaria pronta? 
 
a) 24 
b) 16 
c) 30 
d) 15 
e) 20 
 
Resolução 
 
I – O número de dias para terminar a obra é inversamente proporcional ao 
número de trabalhadores, ou seja, quanto maior o número de trabalhadores, 
menor o número de dias, e vice-versa. 
 
II – O número de dias para terminar a obra é inversamente proporcional à 
jornada de trabalho, ou seja, quanto maior a jornada de trabalho, menor o 
número de dias, e vice-versa. 
 
III – O número de dias para terminar a obra é inversamente proporcional à 
jornada de trabalho, ou seja, quanto maior produtividade, menor o número de 
dias, e vice-versa. 
 
Dias Trabalhadores Jornada Produtividade 
24 50 8 P 
X 40 10 (P – 20%.P) = 0,8P 
 
24 40 10 0,8. 5.0,8
. . 0,8 0,8. 24
50 8 5
24 
30
0,8
P 
X
X P
X dias
= = = ⇒ = ⇒
⇒ = =
 
 
GABARITO: C 
 
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2. (Assistente Técnico-Administrativo-MF-2009-Esaf) Existem duas 
torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for 
aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda 
torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas 
torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo o 
tanque encherá? 
 
a) 12 horas 
b) 30 horas 
c) 20 horas 
d) 24 horas 
e) 16 horas 
 
Resolução 
I. Torneira 1 aberta (T1)=> Tanque enche em 24 horas 
II. Torneira 2 aberta (T2) => Tanque enche em 48 horas 
O tempo de para encher o tanque com as duas torneiras juntas será sempre 
calculado da seguinte maneira: 
 
2 1
1 2 1 2
1 2
1 2
1 1 1 1
24 48 1.152 
16
24 48 72
T T
T T T T T T
T T x
T horas
T T
+
= + ⇒ = ⇒
×
×
⇒ = = = =
+ +
 
 
GABARITO: E 
 
3. (Analista em Planejamento, Orçamento e Finanças Públicas-
Sefaz/SP-2009-Esaf) Num acampamento escolar com crianças que 
supostamente comem a mesma quantidade de comida por dia, havia comida 
suficiente para exatamente 60 dias. Passados 20 dias, chegaram 
inesperadamente mais vinte crianças que supostamente comiam a mesma 
quantidade de comida por dia que as que estavam acampadas e que ficaram 10 
dias no local antes de seguirem viagem. Se, ao fim de 50 dias, a contar do início 
do acampamento, as crianças tiveram que ir embora porque a comida havia 
acabado, quantas eram elas? 
 
a) 120 
b) 20 
c) 30 
d) 60 
e) 10 
 
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Resolução 
I. Número de crianças inicial: X 
Tempo de Consumo da Comida = 60 dias 
Quantidade de Comida Total = Q 
Quantidade de Comida Consumida por Dia = Q/60 
Quantidade de Comida Consumida por Criança por Dia = Q/(X.60) 
 
II. Passados 20 dias: mais 20 crianças, que ficaram 10 dias no local. 
Número de Crianças = X + 20 
Tempo de Consumo Restante = 60 – 20 = 40 dias 
Quantidade de Comida Consumida por Criança por Dia (não foi alterada) = 
Q/(X.60) 
 
III. Término da Comida => 50 dias após o início do acampamento 
 
Cálculo: 
Primeiros 20 dias: Quantidade de Comida Consumida (Q1) 
Q1 = 20 dias x X crianças x Q/(X.60) = Q/3 
 
Do dia 21 ao dia 30 (10 dias): Quantidade de Comida Consumida (Q2) 
Q2 = 10 dias x (X + 20) crianças x Q/(X.60) = Q.(X + 20)/(6.X) 
 
Do dia 31 ao dia 50 (20 dias): as 20 crianças foram embora. 
Quantidade de Comida Consumida (Q3) 
Q3 = 20 dias x X crianças x Q/(X.60) = Q/3 
 
Q1 + Q2 + Q3 = Q 
.( 20)
3 6. 3 
1 ( 20) 1 20 2 1
1 1
3 6. 3 6. 3 3
3. 60 6. 3. 60 20
Q Q X Q 
Q
X 
X X
X X
X X X X crianças
+
+ + = ⇒
+ +
⇒ + + = ⇒ = − = ⇒
⇒ + = => = => =
( 
 
GABARITO: B 
 
4. (Analista em Planejamento, Orçamento e Finanças Públicas-
Sefaz/SP-2009-Esaf) Suponha que um carro perde por ano 20% de seu valor 
em relação ao ano anterior, uma moto perde por ano 30% de seu valor em 
relação ao ano anterior e uma bicicleta perde por ano 10% de seu valor em 
relação ao ano anterior. Além disso, suponha que o carro custa o dobro de uma 
moto e uma moto o dobro de uma bicicleta. Sendo assim, ao final de 5 anos: 
 
 
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a) a bicicleta valerá mais que a moto. 
b) o carro valerá mais que a moto e a moto valerá mais que a bicicleta. 
c) nenhum dos 3 valerá nada. 
d) a bicicleta valerá mais que o carro. 
e) apenas a bicicleta valerá algo. 
 
Resolução 
Preço do Carro (Pc) = 2.Preço da Moto (Pm) => Pc = 2.Pm 
Preço da Moto (Pm) = 2.Preço da Bicicleta (Pb) => Pm = 2.Pb 
 
Pc = 2.Pm = 2. 2.Pb = 4.Pb (I) 
 
Carro => perde 20% de seu valor em relação ao ano anterior 
Moto => perde 30% de seu valor em relação ao ano anterior 
Bicicleta => perde 10% de seu valor em relação ao ano anterior 
 
Ao final de 5 anos: 
 
I. Carro: 
Pc (ano 1) = Pc(ano 0) – 20%. Pc(ano 0) = 0,8. Pc(ano 0) 
 
Pc (ano 2) = Pc(ano 1) – 20%. Pc(ano 1) = 0,8. Pc(ano 0) – 20%.0,8. Pc(ano 0) 
Pc (ano 2) = 0,8. Pc (ano 0).(1 – 20%) = 0,8. Pc (ano 0).0,8 = 0,82.Pc(ano 0) 
 
Logo, por dedução, ao final de 5 anos: Pc(ano 5) = 0,85.Pc(ano 0) 
 
II. Moto: 
Pm (ano 1) = Pm(ano 0) – 30%. Pm(ano 0) = 0,7. Pm(ano 0) 
 
Pm (ano 2) = Pm(ano 1) – 30%.Pm(ano 1) = 0,7.Pm(ano 0) – 30%.0,7.Pm(ano 0) 
Pm (ano 2) = 0,7. Pm (ano 0).(1 – 30%) = 0,7. Pm (ano 0).0,7 = 0,72.Pm(ano 0) 
 
Logo, por dedução, ao final de 5 anos: Pm(ano 5) = 0,75.Pm(ano 0) 
 
III. Bicicleta: 
Pb (ano 1) = Pb(ano 0) – 10%. Pb(ano 0) = 0,9. Pb(ano 0) 
 
Pb (ano 2) = Pb(ano 1) – 10%.Pb(ano 1) = 0,9.Pb(ano 0) – 10%.0,9.Pb(ano 0) 
Pb (ano 2) = 0,9. Pb (ano 0).(1 – 10%) = 0,9. Pb (ano 0).0,9 = 0,92.Pb(ano 0) 
 
Logo, por dedução, ao final de 5 anos: Pb(ano 5) = 0,95.Pb(ano 0) 
 
 
 
 
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Portanto, temos: 
Pc(ano 5) = 0,85.Pc(ano 0) 
Pm(ano 5) = 0,75.Pm(ano 0) 
Pb(ano 5) = 0,95.Pb(ano 0) 
 
Relações 
5 5 5
5 5 5
( 5) 0,8 . ( 0) 0,8 .2. ( 0) 0,8 .2
3,90
( 5) 0,7 . ( 0) 0,7 . ( 0) 0,7
c c m
m m m
P ano P ano P ano
P ano P ano P ano
= = = = 
O preço do carro no ano 5 é maior que o preço da moto no ano 5. 
 
5 5 5
5 5 5
( 5) 0,8 . ( 0) 0,8 .4. ( 0) 0,8 .4
2,22
( 5) 0,9 . ( 0) 0,9 . ( 0) 0,9
c c b
b b b
P ano P ano P ano
P ano P ano P ano
= = = = 
O preço do carro no ano 5 é maior que o preço da bicicleta no ano 5. 
 
5 5 5
5 5 5
( 5) 0,7 . ( 0) 0,7 .2. ( 0) 0,7 .2
0,57
( 5) 0,9 . ( 0) 0,9 . ( 0) 0,9
m m m
b b b
P ano P ano P ano
P ano P ano P ano
= = = = 
O preço da moto no ano 5 é menor que o preço da bicicleta no ano 5. 
 
GABARITO: A 
 
5. (Analista em Planejamento, Orçamento e Finanças Públicas-
Sefaz/SP-2009-Esaf) Em uma cidade, às 15 horas, a sombra de um poste de 
10 metros de alturamede 20 metros e, às 16 horas do mesmo dia, a sombra 
deste mesmo poste mede 25 m. Por interpolação e extrapolação lineares, 
calcule quanto mediria a sombra de um poste de 20 metros, na mesma cidade, 
às 15h30min do mesmo dia. 
 
a) 45m 
b) 35m 
c) 20m 
d) 50m 
e) 65m 
Resolução 
15 horas ===== Sombra de Poste de 10 metros = 20 metros 
16 horas ===== Sombra de Poste de 10 metros = 25 metros 
 
Interpolação Linear: Sombra de um Poste de 10 metros às 15h30min 
 
(16 – 15) horas = 1 hora ===== (25 – 20) metros = 5 metros 
(15h30min – 15) horas = 0,5 hora ===== X 
1.X = 0,5 . 5 => X = 2,5 metros 
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Logo, às 15 h e 30 min, a sombra de um poste de 10 metros seria: 
S = 20 metros + 2,5 metros = 22,5 metros 
 
Contudo a questão pede a sombra de um poste de 20 metros às 15h30min. 
 
Extrapolação Linear: 
22,5 metros ===== 10 metros 
S´ ===== 20 metros 
S´= (22,5 . 20)/10 = 45 metros 
 
GABARITO: A 
 
6. (EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Se a idade de uma criança hoje é a diferença 
entre a metade da idade que ela teria daqui a dez anos e a metade da idade 
que ela tinha há dois anos, qual a sua idade hoje? 
 
a) 3 anos. 
b) 2 anos. 
c) 4 anos. 
d) 5 anos. 
e) 6 anos. 
 
Resolução 
Idade Hoje = X 
Idade Daqui a 10 anos = X + 10 
Idade Há 2 anos = X – 2 
 
Pelo enunciado: 
10 2 10 2 12 
6
2 2 2 2
X X X X
X X anos
+ − + − +
= − = ⇒ = = 
 
GABARITO: E 
 
7. (EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Uma picape para ir da cidade A para a cidade B 
gasta dois tanques e meio de óleo diesel. Se a distância entre a cidade A e a 
cidade B é de 500 km e neste percurso ele faz 100 km com 25 litros de óleo 
diesel, quantos litros de óleo diesel cabem no tanque da picape? 
 
a) 60 
b) 50 
c) 40 
d) 70 
e) 80 
 
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Resolução 
Picape 
Distância de A para B = 500 km 
Gasto = 2,5 tanques de óleo diesel 
Consumo = 100 km com 25 litros = 100/25 = 4 km/l 
 
A distância percorrida e o gasto de combustível são grandezas diretamente 
proporcionais. 
 
4 km ==== 1litro 
500 km ==== X 
4.X = 500.1 => X = 500/4 = 125 litros 
 
125 litros ==== 2,5 tanques 
Y ==== 1 tanque 
2,5.Y = 125 => Y = 125/2,5 => Y = 50 litros 
 
GABARITO: B 
 
8. (EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Dois pintores com habilidade padrão conseguem 
pintar um muro na velocidade de 5 metros quadrados por hora. Se fossem 
empregados, em vez de dois, três pintores com habilidade padrão, os três 
pintariam: 
 
a) 15 metros quadrados em 3 horas. 
b) 7,5 metros quadrados em 50 minutos. 
c) 6 metros quadrados em 50 minutos. 
d) 7,5 metros quadrados em 30 minutos. 
e) 5 metros quadrados em 40 minutos. 
 
Resolução 
O número de pintores e o número de metros quadrados pintados são grandezas 
diretamente proporcionais. 
 
Pintores Velocidade 
 2 5 metros quadrados por hora 
3 X 
 
2 5 15
2. 3.5 7,5
3 2
X X
X
= ⇒ = ⇒ = = metros quadrados por hora 
 
 
 
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7,5 metros quadrados ==== 1 hora 
X ==== 50 minutos 
Y ==== 40 minutos 
Z ==== 30 minutos 
T ==== 3 horas 
 
T = 3 x 7,5 = 22,5 metros quadrados em 3 horas 
X = 7,5 x 50/60 = 6,25 metros quadrados em 50 minutos 
Y = 7,5 x 40/60 = 5 metros quadrados em 40 minutos 
Z = 7,5 x 30/60 = 3,75 metros quadrados em 30 minutos 
 
GABARITO: E 
 
9. (EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Uma empresa de turismo fechou um pacote 
para um grupo de 80 pessoas, com o qual ficou acordado que cada pessoa que 
participasse pagaria R$ 1.000,00 e cada pessoa que desistisse pagaria apenas 
uma taxa de R$ 150,00. Se a empresa de turismo arrecadou um total de R$ 
59.600,00, qual a porcentagem das pessoas que desistiram do pacote? 
 
a) 20% 
b) 24% 
c) 30% 
d) 42% 
e) 36% 
 
Resolução 
Pacote de Turismo: 
Pessoa Participante (Pp) = R$ 1.000,00 
Pessoa Desistente (Pd) = R$ 150,00 
Total de Pessoas (P) = 80 = Pp + Pd => Pp = 80 - Pd 
 
Arrecadação Total = R$ 59.600,00 = 1.000.Pp + 150.Pd => 
� 59.600 = 1.000.(80 - Pd) + 150.Pd => 
� 59.600 = 80.000 – 1.000.Pd + 150.Pd => 
� 59.600 = 80.000 – 850.Pd => 
� 850.Pd = 80.000 – 59.600 = 20.400 => 
� Pd = 20.400/850 = 24 pessoas 
 
Percentual de Pessoas Desistentes = 24/80 = 30% 
 
GABARITO: C 
 
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10. (EPPGG-Mpog-2009-Esaf) Um passageiro, para viajar de A para C, deve 
ir de ônibus de A até B e de trem de B até C, sendo que B está na metade do 
caminho entre A e C. Os ônibus, de A para B, e os trens, de B para C, saem 
sempre no mesmo horário, a cada 20 minutos. Sabendo-se que a velocidade 
média do ônibus para ir de A até B é de 60 km/h, que a distância entre A e C é 
de 100 km e que o passageiro chegou em B, pegou o primeiro trem que partia 
para C e chegou em C exatamente uma hora e meia após partir de A, qual a 
velocidade média do trem para ir de B até C? 
 
a) 100 km/h 
b) 90 km/h 
c) 70 km/h 
d) 80 km/h 
e) 60 km/h 
 
Resolução 
Passageiro => Viagem de A para C 
Ônibus => de A até B 
Trem => de B até C (B é metade do caminho de A para C) 
 
Distância entre A e C = 2X = 100 km 
Distância entre A e B = Distância entre B e C = X = 100/2 = 50 km 
 
 
 
 
 
Ônibus e Trens => saem no mesmo horário, a cada 20 minutos. 
Velocidade Média do Ônibus (para ir de A até B) = 60 km/h 
Passageiro chegou em B e pegou o primeiro trem que partia de C 
Tempo de Viagem entre A e C = 1 hora e meia = 90 minutos 
 
I – Tempo de viagem de A para B: 
Distância (entre A e B) = 50 km 
s0 = 0 
s = 50 km 
Velocidade (vo) = 60 km/h 
Movimento Uniforme: s = s0 + v.tAB => 50 = 0 + 60.tAB => tAB = 50/60 hora 
=> 
� TAB = 50 minutos 
 
Como os trens saem de 20 e 20 minutos, como ele chegou em B com 50 
minutos, terá que esperar mais 10 minutos para pegar o trem. 
� tespera = 10 minutos 
 
A B C 
X X 
s0 s s´ 
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II – Tempo Total: tAC = tAB + tespera + tBC => 90 = 50 + 10 + tBC => 
� tBC = 30 minutos 
 
III – Velocidade Média do Trem: 
Distância (entre B e C) = 50 km 
s = 50 
s´ = 100 km 
Velocidade do Trem = vt 
tBC = 30 minutos = 0,5 hora 
Movimento Uniforme: s = s0 + v.tAB => 100 = 50 + vt.0,5 => 
� 0,5.vt = 50 
� vt = 100 km/h 
 
GABARITO: A 
 
11. (ANA-2009-Esaf) Um rio principal tem, ao passar em determinado ponto, 
20% de águas turvas e 80% de águas claras, que não se misturam. Logo abaixo 
desse ponto desemboca um afluente, que tem um volume d´água 30% menor 
que o rio principal e que, por sua vez, tem 70% de águas turvas e 30% de 
águas claras, que não se misturam nem entre si nem com as do rio principal. 
Obtenha o valor mais próximo da porcentagem de águas turvas que os dois rios 
terão logo apos se encontrarem. 
 
a) 41% 
b) 35% 
c) 45% 
d) 49% 
e) 55% 
 
Resolução 
Rio Principal = 20% de águas turvas (T) + 80% de águas claras (C) 
Volume do Rio Principal = V 
Afluente = 70% águas turvas (T) + 30% de águas claras (C) 
Volume do Afluente = V – 30%.V = 0,7.V 
 
Quando os dois rios se encontrarem: 
Volume Total = V + 0,7.V = V.(20%.T +