Exercício 3 2 pdf

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26/12/2023 22:23 Estácio: Alunos
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Considere o espaço métrico  e o conjunto A = {(0,1) ∩ } ∪ {3,4,5} ⊂   
Diga quais das sentenças a seguir são verdadeiras e quais são falsas:
I.  = [0,1]
II. int(A) = (0,1)
III.  = [0,1] ∪ {3,4,5}
Seja E um espaço métrico. Qual das de�nições a seguir, não de�nem um conjunto fechado.
Considere a sequência, em  , dada por (Pn) , onde Pn = (xn,yn)  e xn  e yn  são dadas por:
Diga quais das sentenças a seguir são verdadeiras e quais são falsas:
I. (Pn)  é uma sequência limitada
II. (Pn ) é uma sequência de Cauchy
III. (Pn)  é uma sequência convergente.
 
3.
F, F, V
V, V, V
F, V, V
V, V, F
V, F, V
Data Resp.: 26
Explicação:
Vamos dar nomes aos bois. , são os pontos de acumulação de A, isto é, os pontos tal que para todo r > 0 a vizinhança B* (p,r) 
qualquer ponto do intervalo [0,1], satisfaz tal propriedade, logo  = [0,1], portanto (i) é verdadeira. O conjunto dos pontos int
A, são os pontos p ∈ A ,tal que existe r > 0  para o qual a vizinhança B(p,r) ⊂ A. Como o conjunto é composto apenas por númer
racionais, no espaço métrico dos números reais, temos que o interior de tal conjunto é vazio, logo (II) é falsa. Como  = A ∪ 
 = [0,1] ∪ {3,4,5}, e, portanto, (III) também é verdadeira.
 
4.
F é fechado se e somente se F = F ∪ F''''''''.
F é fechado se e somente Fc é aberto.
F é fechado se e somente se F'''''''''''''''''''''''''''''''' ⊂ F.
F é fechado se e somente se todos os pontos de F, são pontos interiores.
F é fechado se e somente se F = .
Data Resp.: 26
Explicação:
O Teorema 2.3.2. é uma caracterização dos conjuntos fechados, onde aparecem as sentenças  F é fechado se e somente se F = 
fechado se e somente se F =  e F é fechado se e somente Fc é aberto. . A sentença
F é fechado se e somente se F'''' ⊂ F é a de�nição de conjunto fechado que é apresentada na de�nição 2.2.2. Com isto temos qu
sentença que pode não caracterizar conjuntos fechados, é eventualmente o item "F  é fechado se e somente se todos os ponto
pontos interiores." e de fato a sentença apresenta a de�nição de conjuntos abertos e não fechado.
 
5.
F V V
R2 Q R
A′
Ā
A′
A′
Ā A′
Ā
F̄
F̄
R2
xn = ∑
n
k=1 , n ∈ N yn  =
n√N , n ∈ N
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