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ESTATÍSTICA APLICADA ÀS CIÊNCIAS SOCIAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
Prezado aluno, 
 
O Grupo Educacional FAVENI, esclarece que o material virtual é 
semelhante ao da sala de aula presencial. Em uma sala de aula, é raro – 
quase improvável - um aluno se levantar, interromper a exposição, dirigir-se 
ao professor e fazer uma pergunta, para que seja esclarecida uma dúvida 
sobre o tema tratado. O comum é que esse aluno faça a pergunta em voz alta 
para todos ouvirem e todos ouvirão a resposta. No espaço virtual, é a mesma 
coisa. Não hesite em perguntar, as perguntas poderão ser direcionadas ao 
protocolo de atendimento que serão respondidas em tempo hábil. 
Os cursos à distância exigem do aluno tempo e organização. No caso 
da nossa disciplina é preciso ter um horário destinado à leitura do texto base 
e à execução das avaliações propostas. A vantagem é que poderá reservar o 
dia da semana e a hora que lhe convier para isso. 
A organização é o quesito indispensável, porque há uma sequência a 
ser seguida e prazos definidos para as atividades. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
1 TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO 
Podemos chamar os conceitos básicos de avaliação dos dados de tratamento 
da informação. Um dado consiste em números ou fatos brutos que foram coletados 
por meio de gráficos, tabelas e valores descritivos, visando interpretar um fenômeno 
depois de serem tratados e se transformar em informações, isto é, os dados são a 
matéria-prima dos estudos estatísticos. 
Os pesquisadores usam os dados quando desejam entender um todo 
analisando suas partes, ou seja, os usam quando querem analisar o adversário ou 
definir a melhor estratégia em um esporte, quando querem avaliar o perfil do 
consumidor para tentar agradá-lo ou quando querem melhorar o transporte coletivo, 
coletando o número de passageiros por linha e, consequentemente, definindo o 
horário com maior fluxo de passageiros, só para citar alguns exemplos. 
A avaliação e apresentação dos dados pode acontecer de vários modos. 
Quando escolhemos tabelas e gráficos, estaremos os representando com imagens 
visuais, usando as medidas para a quantificação de seus atributos. Os números que 
descrevem esses dados são as estatísticas, que precisam ser lidas e interpretadas 
corretamente e de forma organizada. 
Após apanhar e apresentar os dados de forma organizada, precisamos avaliá-
los e, posteriormente, utilizá-los para tomar uma decisão. Para isso, precisamos 
verificar a possibilidade de acontecimentos aleatórios e é nesse contexto que surge o 
conceito de probabilidade. 
Segundo Aczel (2007), quando consideramos a probabilidade, atribuímos 
100% de chance para um acontecimento que com certeza ocorrerá, em contrapartida, 
atribuímos 0% de chance para algo impossível de acontecer. 
 Além disso, temos os casos onde não temos certeza se acontecerão ou não, 
caso seja mais provável que aconteça, sua porcentagem se aproximará de 100%, 
caso contrário, sua porcentagem se aproximará de 0%. Se um acontecimento tem 
50% de chance de ocorrer, podemos afirmar que a chance de um acontecimento 
ocorrer é a mesma que a de não ocorrer. 
Podemos observar na imagem 1 uma interpretação das possibilidades e da 
probabilidade considerando uma quantidade contínua entre o certo e o impossível, 
usando as possibilidades de obtermos azul na roleta. 
 
 
Imagem 1 – Interpretação da probabilidade 
 
Fonte: Adaptado de Van de Walle (2009) 
 
Van de Walle (2009) afirma que um bom modo de compreender a probabilidade 
é iniciar observando o conceito de chance como uma quantidade contínua, para 
podermos compreender melhor que determinados eventos são menos ou mais 
prováveis que outros. Um bom exemplo é quando temos dois times em campo, caso 
um time A esteja vencendo um time B com um quarto do tempo restante, podemos 
afirmar que não é certo que o time A vença, no entanto, a chance é muito grande. 
Vale também salientar que o estudo da probabilidade envolve várias definições 
e leis que oscilam conforme a situação, tanto em relação à ocorrência de um ou outro 
evento, quanto na possibilidade de que um acontecimento ocorra caso outro também 
aconteça, o que chamamos de probabilidade condicional. Para verificar 
quantitativamente a possibilidade de um evento acontecer, ou seja, sua probabilidade, 
será fundamental contar as possibilidades de um evento e dividir pelo número total de 
possibilidades. 
A título de exemplo, vamos considerar a probabilidade de termos um número 
par ao lançar um dado. Primeiramente, vamos considerar todos os resultados 
possíveis, sendo eles 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Em seguida, devemos separar os resultados 
que almejamos, isto é, os números pares, que são 2, 4 e 6. Com isso, temos 6 
possíveis resultados e almejamos 3 deles, ou seja, devemos fazer a seguinte divisão: 
 
3
6
= 
1
2
 
 
Sendo assim, a probabilidade de cair um número par quando lançamos um 
 
 
dado é de 
1
2
. 
1.1 Situações-problema em nossa rotina 
Devido à evolução da tecnologia, estamos cercados pelos dados e a imprensa, 
tanto a televisionada quanto a escrita, começou a usar tabelas e gráficos para 
apresentar as informações. Desse modo, os leitores precisam se atentar para evitar 
que sejam enganados ou que esqueçam de elementos essenciais para uma 
interpretação precisa das informações cotidianas. 
Rumsey (2010) lista alguns casos onde a estatística é usada para apresentar 
várias situações diferentes, com o intuito de induzir o leitor a ter uma interpretação 
específica sobre um determinado evento, tanto para induzi-lo a consumir um produto 
novo quanto para aumentar ou diminuir a preocupação com o estado da saúde 
pública. A autora procura apontar os exageros e os problemas nessas estatísticas e 
demonstrar o modo correto de utilizá-las. 
 
1.1.1 Conferir as contas 
 
Quando queremos efetivar a estatística, a primeira coisa que devemos fazer é 
conferir os números. Na maioria das pesquisas, o resultado da soma dessas 
estatísticas sempre deve ser 100%. A título de exemplo, vamos considerar uma 
pesquisa sobre os brinquedos mais vendidos para crianças entre 3 e 7 anos. 
Vamos imaginar que a pesquisa descrevia que 42% dos pais compravam 
brinquedos mostrados nos intervalos dos desenhos animados; 29% preferiam 
comprar jogos educativos; 20% apenas consumiam os brinquedos escolhidos pelo 
filho enquanto visitavam as lojas. Quando somamos as porcentagens, temos 42 + 29 
+ 20 = 91%. Nessa soma, notamos que está faltando 9%, o que faz a estatística ser 
invalidada, ou seja, os resultados da pesquisa não são fidedignos. 
 
1.1.2 Conhecer o tamanho da amostra 
 
Existem várias pesquisas de opinião lançadas todos os dias com a ausência de 
alguns dados importantes, como o número de entrevistados. Você já deve ter visto um 
comercial onde é informado que 9 em cada 10 dentistas recomendam o creme dental 
 
 
anunciado, sem citar a amostragem. 
Para assegurar que a estatística é fidedigna, o leitor precisaria se perguntar 
quantos dentistas foram entrevistados para chegar nesse número. Vamos imaginar 
que somente 10 dentistas foram entrevistados, com isso, não poderíamos considerar 
esse número como expressivo em um mundo onde existem milhares de dentistas, isso 
pode, inclusive, não ser tão atraente para o consumidor. 
Em contrapartida, caso 10.000 dentistas sejam entrevistados, podemos 
considerar que 9.000 recomendaram o creme dental e isso aumenta a confiabilidade 
tanto da pesquisa quanto do produto. Desse modo, comerciais ou notícias 
semelhantes a essa não são muito confiáveis caso o leitor não tenha a perspectiva da 
amostragem entre os dados citados. 
 
1.1.3 Distorção da verdade usando exageros sutis (ou não) 
 
Para exemplificar essa situação, vamos imaginar a seguinte manchete de um 
jornal escrito: “Tempo de consulta com pacientes evita processos de imperícia 
médica”.Podemos observar que a manchete contém estatística, no entanto, existe 
uma grande lacuna entre a mensagem transmitida e a realidade. 
Vamos considerar que a manchete foi publicada levando em conta um estudo 
que avaliou 1.265 consultas e 59 médicos, seu resultado foi que os médicos que não 
foram processados levaram, aproximadamente, 18 minutos para completar cada 
consulta, enquanto os médicos que sofreram processos levaram 16 minutos para 
atender um paciente. 
A manchete leva o leitor a interpretar que o médico precisa gastar muito tempo 
em suas consultas para diminuir as chances de um diagnóstico incorreto e sanar os 
problemas de imperícia, além de ressaltar a importância que dois minutos fazem em 
uma consulta. 
Vamos considerar as seguintes hipóteses: os médicos não processados podem 
ter menos pacientes e isso pode ter aumentado a duração de suas consultas, além 
disso, os médicos processados poderiam estar fazendo procedimentos de alto risco. 
Também podemos considerar que os médicos não processados são melhores, já que 
perguntam e ouvem mais o paciente, o que aumenta a duração de suas consultas. 
São diversos os pressupostos que podem estar envolvidos e isso não pode ser 
resumido em uma manchete, mesmo que seja muito grande. Sendo assim, 
 
 
precisamos procurar lacunas entre os dados apresentados pelo estudo e a manchete 
que usa estatística para informar seus leitores. 
 
1.1.4 Desconhecimento ou omissão dos dados 
 
Algumas dicas, como a conferência das somas, são fundamentais na 
interpretação e na leitura de estatísticas, entretanto, não são suficientes. Também 
precisamos considerar a manipulação dos dados antes de serem apresentados. 
A título de exemplo, vamos imaginar os seguintes dados relacionados com a 
criminalidade de um país: é mostrada uma tabela contendo os crimes anuais de um 
país entre 1987 e 1997, determinadas interpretações dos dados podem ser 
completamente divergentes, mesmo que os cálculos sejam precisos. Isso acontece 
por causa do modo com que a informação é medida, podendo considerar que a 
criminalidade pode ter aumentado ou diminuído. Sabemos que isso não pode 
acontecer, com isso, vamos verificar o que está por trás dos cálculos. 
Suponhamos que o número estimado de crimes foi de 13.508.700 em 1987, 
enquanto em 1993 o número aumentou para 14.144.800 e, por fim, a quantidade 
estimada passou a ser 13.175.100 em 1997. Em um primeiro momento, podemos 
notar que a criminalidade cresceu nos 6 primeiros anos, no entanto, podemos também 
afirmar que a criminalidade diminui se considerarmos o intervalo de 1993 a 1997. 
Dependendo da intenção de quem está informando, podemos usar os dados descritos 
para interpretar diversas perspectivas de um mesmo fato. 
Outro ponto que vale considerar é se essas informações são suficientes para 
esclarecer e representar um fato, uma vez que outros fatores podem ter aumentando 
entre 1987 e 1993 além do número absoluto de crimes, como a população do país, 
pois se espera que a criminalidade cresça com o aumento do número de pessoas em 
um mesmo país. 
Nesse contexto, precisamos levar em conta a taxa de criminalidade, isto é, a 
razão entre o total da população e o número de crimes. Se considerarmos que a 
população do país era de 243.400.000 em 1987 e que aumentou para 257.908.000 
em 1993, o resultado da taxa de criminalidade será de 5,55% em 1987 e de 5,48 em 
1993, o que contradiz a primeira hipótese do aumento da criminalidade que fizemos 
apenas analisando os números brutos. 
 
 
1.2 Representação dos dados 
Depois de abordarmos sobre os conceitos e as situações cotidianas que usam 
as estatísticas, podemos falar sobre algumas formas de representar esses dados para 
o espectador. 
 
1.2.1 Gráficos e tabelas 
 
Considerando que a demonstração de acontecimentos reais envolve decidir a 
melhor forma de organizar os dados. Com isso, um gráfico nem sempre pode ser 
considerado como a melhor maneira de apresentá-los, especialmente quando 
estamos lidando com uma quantidade enorme de dados, o que poderia permitir seu 
agrupamento e render uma facilitação de sua interpretação. 
Nem sempre precisamos construir um gráfico de forma manual, podemos 
também usar a tecnologia a nosso favor, usando ferramentas como o Excel para 
formular tanto tabelas quanto gráficos. Vale ressaltar que a técnica empregada na 
construção é mais importante que a beleza do gráfico em questão. 
 
1.2.2 Gráficos de linhas 
 
Os gráficos de curvas ou linhas se caracterizam como um espaço de dois eixos 
ortogonais, sendo normalmente usados para apresentar dados dispostos em ordem 
numérica, principalmente se estiverem ordenados ao longo de uma escala contínua. 
Para construí-lo, será necessário corresponder um elemento do eixo horizontal 
com outro dado no eixo vertical. Para exemplificar essa construção, vamos nos atentar 
à imagem 2, onde o eixo vertical corresponde à temperatura enquanto o eixo 
horizontal indica a duração do dia. Considerando ambos os eixos, podemos afirmar 
que os dados indicam a variação de temperatura no decorrer de um dia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Imagem 2 – Gráfico de linhas 
 
Fonte: Adaptado de Van de Walle (2009) 
 
Vale ressaltar que, em um gráfico de linha, todo ponto presente na linha precisa 
ter um valor, ou seja, esse tipo de representação não é recomendada para apresentar 
dados qualitativos ou discretos. 
 
1.2.3 Gráficos de colunas ou barras 
 
De forma semelhante aos gráficos de linha, também podemos usar a 
correspondência de dois eixos perpendiculares em um gráfico de barras, no entanto, 
não iremos conectar os pontos por segmentos de linha, e sim desenhar figuras ou 
retângulos para indicar a quantidade. 
Imagem 3 – Gráficos de barras 
 
Fonte: https://iplogger.com/2Cj6T4 
 
 
1.2.4 Gráficos de setores 
 
Conhecidos também como gráficos de pizza, são capazes de representar seus 
dados através de círculos, normalmente usado em estatísticas percentuais, como 
mostrado na imagem 4, ou seja, o conceito e o cálculo das porcentagens são 
fundamentais para construí-los, no entanto, sua interpretação envolve a observação 
do tamanho dos setores. 
Um ponto positivo dos gráficos de setores é a facilidade para comparar as 
informações tendo em vista o conceito de fração, já que o círculo representa um todo 
e suas fatias representam as partes. 
 
Imagem 4 – Gráficos de setores 
 
Fonte: Adaptado de Van de Walle (2009) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 DISTRIBUIÇÃO E FREQUÊNCIA E VARIÁVEIS 
Segundo Zabala (2020), a avaliação inicial dos dados está intimamente 
relacionada com a estatística descritiva. Com sua utilização, podemos verificar como 
os dados se distribuem, onde se concentram e como podem se conectar no sentido 
de dispersão e associação. Nos tópicos seguintes, iremos compreender as definições 
de métodos descritivos e de variáveis, as bases para uma avaliação estatística mais 
aprofundada. 
2.1 Variáveis 
Podemos conceituar uma variável como um aspecto de interesse que 
precisamos medir em cada integrante de uma população. Dependendo da pessoa, 
seus valores podem variar, sendo classificados como qualitativos e quantitativos. Em 
relação às variáveis quantitativas, elas consistem em aspectos que podem ser 
mensurados usando valores numéricos, como o peso de alguém ou a quantidade de 
alunos em uma sala de aula. Elas podem ser subdividas em contínuas e discretas. 
 
➢ Variáveis quantitativas contínuas: Se tratam de aspectos mensuráveis cujo 
valor se dá em escala contínua, podendo ou não ser valores inteiros, como 
altura, peso, pressão arterial e tempo. 
➢ Variáveis quantitativas discretas: Consistem em aspectos mensuráveis cujo 
valor se dá apenas em valores inteiros, como quantidade de jogadores ou 
quantidade de filhos. 
 
Vale ressaltar que uma variável representada por números nem sempre é 
quantitativa. Alguns exemplos dessa situação incluem número da casa, dotelefone e 
da identidade, que são variáveis qualitativas ordinais. 
Por sua vez, as variáveis qualitativas dizem respeito, geralmente, a aspectos 
não numéricos em um conjunto de interesses, como modelo de veículo, marca e 
gênero. Podem ser divididas em ordinais e nominais. 
 
 
 
➢ Variáveis qualitativas ordinais: São variáveis que possuem uma ordenação 
para a categoria. Dentre os principais exemplos, podemos citar o estágio da 
gravidez (inicial, intermediário e final), nível de escolaridade (primeiro, segundo, 
terceiro grau) e mês (janeiro, fevereiro, março, abril...). 
➢ Variáveis quantitativas nominais: Consistem em variáveis sem ordenação 
para as categorias, como etnia, religião, cor do cabelo e cor preferida. 
2.2 Distribuição de frequência 
Os dados proporcionados pelos diversos tipos de variáveis pertencem a várias 
naturezas e, por este motivo, precisam receber tratamentos diferentes. Desse modo, 
iremos abordar neste tópico sobre os instrumentos mais usados para avaliar a 
frequência de cada tipo de dado. 
Os dados qualitativos são geralmente apresentados em uma tabela de 
frequência, como no exemplo demonstrado na tabela 1, que descreve a frequência de 
entrevista para cada sexo considerando 103 entrevistados que participaram de uma 
pesquisa de satisfação de consumidor, elaborada por uma loja de eletrodomésticos. 
 
Tabela 1 – Distribuição de frequência dos entrevistados em relação ao sexo 
Sexo Frequência absoluta Frequência relativa (%) 
Feminino 62 60,2 
Masculino 41 39,8 
Total de participantes 103 100 
Fonte: Elaborada pelo autor 
 
Podemos verificar na tabela acima que as variáveis de sexo possuem sua 
própria linha. A coluna de frequência absoluta apresenta uma contagem de 
entrevistados em números inteiros, enquanto a coluna de frequência relativa 
apresenta uma contagem percentual em relação ao total absoluto de participantes. 
Se considerarmos uma variável qualitativa ordinal, as linhas da tabela de 
frequências precisam ser montadas na ordem existente para as categorias. Podemos 
observar na tabela 2 a distribuição de frequência de entrevistados conforme o mês de 
 
 
observação. As frequências acumuladas demonstram o número de clientes 
entrevistados em cada mês. 
Tabela 2 – Distribuição de frequência dos entrevistados conforme o mês 
Mês de 
observação 
Frequência 
absoluta 
Frequência 
relativa (%) 
Frequência 
absoluta 
acumulada 
Frequência 
relativa 
acumulada 
Fevereiro 19 18,45 19 18,45 
Março 6 5,82 25 24,27 
Abril 6 5,82 31 30,09 
Maio 11 10,69 42 40,78 
Junho 23 22,33 65 63,11 
Julho 20 19,42 85 82,53 
Agosto 18 17,47 103 100 
Total 103 100 --- --- 
Fonte: Elaborada pelo autor 
 
A frequência absoluta consiste no número de entrevistados por mês, enquanto 
a frequência acumulada apresenta o total de entrevistados até o mês em questão. 
Podemos observar isso quando notamos que a frequência absoluta de fevereiro tem 
a mesma quantidade de entrevistados que sua correspondente frequência acumulada. 
Já em março, notamos que mais 6 pessoas participaram da pesquisa, com isso, a 
frequência acumulada informou que um total de 25 pessoas foram entrevistadas até 
então, pois 19 + 6 = 25. 
Outro ponto que vale destacar é que a maior frequência de participação 
aconteceu nos últimos três meses de pesquisa. Observe que, de fevereiro a maio, 
tivemos a participação de 40,78% dos entrevistados, enquanto os 59,22% restantes 
participaram de junho a agosto. 
Para melhorar a apresentação dos resultados, também podemos usar os 
gráficos. Reis e Reis (2002) afirmam que os gráficos de pizza são os mais usados 
para avaliar a distribuição de frequência de variáveis qualitativas nominais, enquanto 
as variáveis qualitativas ordinais se enquadram melhor em histogramas, isto é, 
gráficos de colunas. A imagem 1 ilustra a distribuição de frequência da tabela 1, 
enquanto a imagem 2 ilustra a da tabela 2. 
 
 
 
 
Imagem 1 – Gráfico de distribuição de frequência dos entrevistados em relação ao 
sexo 
 
Fonte: Elaborado pelo autor 
 
Imagem 2 – Gráfico de distribuição de frequência dos entrevistados por mês 
 
Fonte: Elaborado pelo autor 
 
Os pontos positivos representar seus dados com gráficos fica ainda mais 
evidente quando precisamos comparar diversos grupos levando em conta as variáveis 
com muitas categorias. 
Em relação às variáveis quantitativas discretas, o modo de avaliar é parecido 
com o tratamento das qualitativas ordinais, substituindo a classe por um valor. Se 
desejarmos apresentar a quantidade de famílias que possuem um determinado 
número de filhos, podemos, por exemplo, substituir os meses apresentados na tabela 
2 pela quantidade de filhos. 
 
 
Por sua vez, a apresentação de variáveis quantitativas discretas que podem ter 
muitos valores diferentes, é praticamente impossível elaborar um gráfico ou uma 
tabela com base nos dados. 
Para resolver esse problema, será necessário englobar os valores em classe 
que representam faixas de valores com uma determinada amplitude. Scott (1979) 
afirma que a seleção do tamanho das classes (hsc) e do número de classes (ksc) se 
relacionam com a amplitude dos valores a serem apresentados e da quantidade de 
observações disponíveis no conjunto de dados e do desvio padrão. 
 
ℎ𝑠𝑐 = 
3,5𝑠
𝑛1/3
 
 
𝑘𝑠𝑐 = 
max(𝑥) − min(𝑥)
ℎ𝑠𝑐
 
 
 
Onde: 
 
n = número de observações (ou amostras); 
s = desvio padrão amostral; 
max(x) = maior valor observado; 
min(x) = menor valor observado. 
2.3 Medidas em estatística descritiva 
Aqui, iremos aprender como interpretar e utilizar as medidas da estatística 
descritiva, que podem ser separadas em duas categorias: medidas de tendência 
central e medidas de dispersão. 
 
2.3.1 Medidas de tendência central 
 
Consistem em medidas usadas para identificar o valor central ou típico de um 
conjunto de dados, englobando média, mediana e moda. A média (x̅) de uma variável 
é obtida pela soma de todas as observações dividida pela quantidade de observações. 
 
 
Segundo Reis e Reis (2002), a média é muito usada devido à facilidade do cálculo, 
que pode ser realizado com a seguinte fórmula: 
(x̅) = 
∑ 𝑥𝑖
𝑛
 
 
Onde n corresponde à quantidade de observações no conjunto de dados e o 
sigma xi representa a soma de todas as observações feitas. 
Por sua vez, a mediana, também conhecida como segundo quartil, consiste no 
valor maior que 50% dos dados organizados em ordem crescente, isto é, se trata do 
valor central para um conjunto de observações ordenadas. Caso o número de 
observações seja ímpar, o valor que está no centro é a mediana e, se for par, a 
mediana será o resultado da soma entre os dois valores centrais, dividido por 2. 
Por fim, a moda consiste no valor que mais se repete em uma variável. Em 
uma tabela de frequência formada por classes que representam intervalos, a classe 
que mais aparece é denominada classe modal. Caso a distribuição tenha apenas uma 
moda, a distribuição é chamada de unimodal, se tiver duas ou três, são chamadas de 
bimodal ou trimodal, respectivamente. Se a distribuição tiver quatro ou mais modas, 
ela passa a ser chamada de multimodal. 
Para exemplificar esse tipo de medida, vamos considerar um conjunto de 
observações x = [4, 3, 5, 2, 6, 5, 8, 4, 4]. Com isso, podemos calcular a média, a 
mediana e a moda. Para a média, vamos usar a fórmula descrita no início do tópico 
e, substituindo os valores, temos: 
 
(x̅) = 
4 + 3 + 5 + 2 + 6 + 5 + 8 + 4 + 4
9
 
 
 
(x̅) = 4,55 
 
 
Para a mediana, será necessário colocar os números em ordem crescente: 2, 
3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 8. Como o número de observações é ímpar (9), podemos observar 
que o último 4 está exatamente no centro da sequência, ou seja, a mediana é igual a 
4. Se a sequência fosse 2, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 8, ou seja, com um número de observações 
 
 
par (8), iríamos observar que os números 4 e 5 estão no centro da sequência, sendoassim: 4 + 5 = 9 e 9/2 = 4,5, ou seja, a mediana seria 4,5. 
Finalmente, a moda representa o valor mais repetido nessa sequência. 
Podemos observar que o número quatro se repetiu 3 vezes, o número 5 apareceu 2 
vezes e os demais somente 1 vez, ou seja, a moda da sequência é 4. 
 
2.3.2 Medidas de dispersão 
 
Também conhecida como medida de variabilidade, se trata de um conceito 
estatístico que caracteriza o quanto os valores de um conjunto de dados se afastam 
do valor central, como a média. De forma simplificada, ela indica a extensão em que 
os valores individuais variam ou se espalham em torno da medida central. As medidas 
de dispersão incluem: amplitude, variância, desvio padrão amostral e coeficiente de 
variação. 
A amplitude nada mais é que a diferença entre o valor máximo e o valor 
mínimo, sendo expresso na seguinte equação: 
 
𝐴 = max(𝑥) − min(𝑥) 
 
Já a variância verifica o quadrado da variação dos dados em relação à média, 
sendo considerada uma das medidas mais relevantes da dispersão em estatística. A 
variância pode ser calculada pela seguinte fórmula: 
 
σ2 = 
∑(𝑥𝑖 − �̅�)²
𝑁 − 1
 
 
Onde: 
 
σ2 = Variância 
Σ = Soma 
𝑥𝑖 = Valores individuais do conjunto de dados 
�̅� = Média dos valores do conjunto de dados. 
𝑁 = Número total de observações no conjunto de dados. 
 
 
 
Por sua vez, o desvio padrão amostral (S) é representado pela raiz quadrada 
da variância. A grandeza da interpretação do desvio padrão é mais intuitiva, já que 
sua unidade de medida é a mesma da variável x e, por esse motivo, costuma ser 
utilizado. 
Por fim, o coeficiente de variação (CV) se trata de uma medida de dispersão 
relativa. Ele manifesta a variabilidade em relação à média, tirando o efeito da 
magnitude dos dados e costuma ser empregado para comparar duas ou mais 
variáveis com unidades de medida diferentes. Podemos calcular o coeficiente de 
variação através da seguinte fórmula: 
 
𝐶𝑉 = 
𝑆
�̅�
 
 
Onde: 
 
CV = Coeficiente de variação. 
S = Desvio padrão amostral 
�̅� = Média 
 
Para melhor compreensão, vamos apresentar o seguinte exemplo: na última 
vistoria realizada por agentes de fiscalização em um restaurante, eles mensuraram o 
peso de 10 bifes vendidos como um bife de 200 gramas. Foram coletadas as seguintes 
medidas: 
 
X = [170, 175, 180, 185, 190, 195, 200, 200, 200, 205] 
 
Com isso, devemos analisar para ver se tem alguma irregularidade nos bifes 
vendidos por esse restaurante. Primeiramente, devemos calcular a média: 
 
�̅� =
170 + 175 + 180 + 185 + 190 + 195 + 200 + 200 + 200 + 205
10
 = 190 
 
 
 
 
 Em seguida, calculamos a amplitude: podemos observar que o menor valor é 
170 e o maior é 205, com isso, substituímos os valores em sua respectiva fórmula: 
A = 205 – 170 = 35 gramas 
 
Partindo para a variância, devemos substituir os valores em sua respectiva 
fórmula, lembrando que o xi corresponde a cada peso mensurado na sequência: 
 
σ² = (170 – 190)² + (175 – 190)² + (180 – 190)² + (185 – 190)² + (190 – 190)² + 
(195 – 190)² + (200 – 190)² + (200 – 190)² + (200 – 190)² + (205 – 190)² / (10 – 1) = 
144,44 
 
Quando colocamos a raiz quadrada da variância, poderemos obter o desvio 
padrão, que é 12,02. Por fim, vamos calcular o coeficiente de variação substituindo os 
valores em sua respectiva fórmula: 
 
𝐶𝑉 = 
12,02
190
= 0,06 
 
Quando fabricamos um produto em específico, algumas medidas ou pesos 
podem variar um pouco, desde que essa variação esteja dentro da normalidade. 
Avaliando os resultados desse caso, percebemos que os bifes possuem um 
coeficiente de variação muito alto, o que nos leva à conclusão que eles não estão 
dentro do padrão e, consequentemente, os clientes estão sendo enganados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 AMOSTRA QUANTITATIVA E QUALITATIVA 
Antes de entrarmos no conceito de amostra quantitativa e qualitativa, 
precisamos diferenciar população e amostra. Uma população consiste em um grupo 
de seres, indivíduos ou objetos que possuem, ao menos, um aspecto em comum entre 
seus elementos, enquanto uma amostra se trata de um subgrupo selecionado dessa 
população, como podemos observar na imagem 1. Desse modo, precisamos perceber 
essa mesma característica comum tanto na população quanto na amostra escolhida 
para a pesquisa. 
 
Imagem 1 – Diferença entre amostra e população 
 
Fonte: https://iplogger.com/2dQb04 
 
Quando escolhemos indivíduos de uma população com um aspecto específico, 
com o intuito de colher dados, estamos fazendo um senso, que usa medidas 
numéricas denominadas parâmetros. Se escolhermos alguns aspectos de uma 
amostra para fins de pesquisa, estamos fazendo uma amostragem, que usa medidas 
numéricas denominadas estimadores ou estatísticas. 
São diversas as formas de selecionar sua amostra, assim como existem vários 
usos para os dados coletados, uma vez que podemos nos aprofundar mais nesses 
dados conforme a amostra utilizada. Podemos classificar as amostras em qualitativas 
e quantitativas, que possuem diferenças em relação à profundidade dos 
levantamentos e à metodologia da coleta de dados. 
Em relação às amostras qualitativas, seus dados costumam ter uma 
profundidade maior, pois as observações e os questionamentos são mais detalhados, 
 
 
com poucas unidades amostrais avaliadas, é por esse motivo que as amostras 
qualitativas não podem abrir margem para generalizar a população. 
Gibbs (2009) afirma que esse tipo de pesquisa pretende verificar como é o 
mundo, procurando descrever, compreender e, por vezes, justificar fenômenos sociais 
que surgem em nossa sociedade de várias formas diferentes. Ela é feita verificando 
interações, avaliando experiências e investigando documentos. 
Por sua vez, as amostras quantitativas costumam generalizar os dados 
coletados das amostras, uma vez que as informações são mais resumidas, deixando 
a possibilidade de realizar resumos numéricos mais confiáveis e, por esse motivo, 
podemos fazer essa generalização, desde que a amostra seja probabilística. 
Com isso, devemos decidir adotar amostras qualitativas ou quantitativas com 
base em alguns fatores, como: 
 
➢ Objetivos da pesquisa; 
➢ Tempo disponível; 
➢ Avaliações finais que quer fazer; 
➢ Resultado desejado; 
➢ Hipóteses da pesquisa; 
➢ População selecionada; 
➢ Recursos financeiros disponíveis; 
➢ Disponibilidade das unidades amostrais. 
 
Tais fatores devem ser verificados pelo próprio pesquisador. A seleção do 
melhor processo de amostragem precisa estar intimamente ligada à escolha da 
hipótese da pesquisa e da população-alvo, que irão direcionar as demais escolhas do 
estudo em questão. 
A seleção da população que vai ser analisada, do local e do período de coleta 
será essencial, já que o delineamento amostral e os aspectos em comum começam a 
ser definidos conforme os objetivos selecionados. No entanto, nem sempre temos 
uma descrição detalhada de nossas unidades amostrais, o que irá limitar o uso de 
determinadas técnicas pelo fato de não sabermos como localizar ou identificar os 
aspectos que a compõem e nem o tamanho exato de nossa população. 
Outro fator muito relevante é o resultado que desejamos, ou seja, as 
 
 
extrapolações e avaliações que almejamos realizar com essa amostragem, pois será 
a partir disso que iremos definir as variáveis a serem pesquisadas, como será o 
processo de coleta de dados e como eles serão avaliados depois de coletados. Todos 
os fatores precisam ser considerados na seleção do tipo de amostragem que iremos 
empregar. 
A escolha de uma amostra quantitativa ou qualitativa está intimamente ligada a 
esses e outros fatores. Em alguns casos, podemos fazer os dois tipos de amostragem, 
como em pesquisas com um problema que não temos muito conhecimento. Nesse 
contexto, podemos realizar uma pesquisa qualitativa para compreender o perfil da 
população e, com base nisso, iniciar uma pesquisa quantitativa, coletando os dadosnecessários para extrapolar toda a população. 
Em suma, as pesquisas quantitativas terão questões fechadas e estruturadas 
que serão, majoritariamente, objetivas, enquanto as pesquisas qualitativas terão 
questionamentos, perguntas e observações com respostas discursivas. Vale ressaltar 
que as observações ou os questionamentos da pesquisa dizem respeito a suas 
variáveis e, por esse motivo, devem ser bem pensadas para alcançar os objetivos 
pretendidos no começo da pesquisa. 
Geralmente, as pesquisas qualitativas aprofundam mais nas questões da 
pesquisa para fins avaliativos, tendo como resultado análises mais descritivas das 
variáveis pesquisadas. Por sua vez, as pesquisas quantitativas proporcionam 
resumos gráficos, numéricos e estatísticas, podendo nos fornecer inferências para 
toda a população caso as respostas sejam obtidas de modo aleatório. 
3.1 Amostras representativas 
O princípio de uma amostra é que ela precisa apresentar os mesmos aspectos 
particulares da população pesquisada. A título de exemplo, vamos imaginar que 
estamos entrevistando brasileiros que vivem no território nacional, nesse caso, não 
podemos entrevistar um amigo que é brasileiro, mas vive fora do país. Desse modo, 
devemos entrevistar apenas indivíduos com nacionalidade brasileira e que morem no 
Brasil no período em que a pesquisa for realizada. 
Precisamos redobrar nossa atenção para que a amostra consiga representar 
toda a população. Para isso, ela precisa apresentar os mesmos aspectos 
 
 
determinados para delimitar a população-alvo da pesquisa. A seleção de uma amostra 
quantitativa ou qualitativa pode também definir se a amostra será ou não 
representativa. Devemos ter em mente que uma amostra qualitativa não é capaz de 
gerar uma amostra representativa pelos seguintes motivos: 
 
➢ A amostra selecionada em uma pesquisa qualitativa não costuma ser muito 
numerosa, ou seja, não será grande o suficiente para ter uma 
representatividade fidedigna da população; 
➢ Uma amostra qualitativa possui questionamentos realizados de modo descritivo 
e mais profundo, o que não abre margem para generalização, sem falar que os 
dados coletados são válidos para um pequeno número de informações, na 
maioria das vezes. 
 
Por sua vez, as amostras quantitativas podem ou não ser representativas da 
população pesquisada, dependendo da forma com que a amostra foi selecionada, ou 
seja, de seu delineamento amostral. Apenas as amostras quantitativas probabilísticas 
podem ser representativas para uma população, além disso, precisa ser selecionada 
de modo imparcial e não pode ser tendenciosa. 
Uma amostra pode ser considerada probabilística quando cada indivíduo da 
população tem uma probabilidade diferente de zero de ser selecionado para a 
amostra. Por outro lado, em uma amostra não probabilística, a seleção dos indivíduos 
dependerá, em grande parte, do julgamento do pesquisador. Resumidamente, 
podemos definir esses métodos da seguinte maneira: 
 
➢ Amostragem probabilística: Todos os componentes de uma população 
possuem a mesma chance de serem selecionados, podendo ser por sorteio ou 
de modo aleatório, independente do julgamento do pesquisador, o que permite 
a aplicação de técnicas estatísticas. Com isso, podemos induzir ou inferir algo 
sobre a população dependendo do resultado da pesquisa. 
➢ Amostragem não-probabilística: Aqui, a seleção dependerá dos aspectos 
apresentados pelos componentes da população, o que não abre margem para 
generalizar o resultado da pesquisa para toda a população. 
 
 
 
Com isso, podemos afirmar que somente uma amostra quantitativa 
probabilística será representativa para a população pesquisada, permitindo que 
façamos inferências, isto é, extrapolar os resultados para a população inteira 
embasado na amostra. Apenas amostras probabilísticas permite fixarmos a 
probabilidade de erro que a amostra consegue gerar, bem como a margem de erro 
média e de erro percentual que cometemos ao coletar dados de uma amostra no lugar 
da população inteira. 
A possibilidade de erro demonstra o nível de confiança dos dados. Para 
exemplificar, vamos considerar uma pesquisa com nível de confiança de 95%, isso 
nos informa que a probabilidade dos dados coletados realmente condizerem com a 
população pesquisada, levando em conta a margem de erro, é de 95%. 
Nesse sentido, muitos podem se perguntar o porquê de existirem outros tipos 
de amostragem se apenas as amostras probabilísticas quantitativas abrem margem 
para termos inferências da população, além de fixar uma margem de erro e 
proporcionar uma boa probabilidade dos resultados refletirem a realidade. Um fator 
que devemos considerar é que nem sempre os objetivos da pesquisa permitem 
realizar uma amostra quantitativa probabilística, uma vez que não tem a intenção de 
fazer extrapolações. 
A amostra qualitativa, por exemplo, nos proporciona um panorama do 
comportamento da população quando não temos os dados necessários para formular 
uma hipótese de pesquisa ou tomar qualquer tipo de decisão. Em alguns casos, uma 
amostra quantitativa não probabilística é a única alternativa de pesquisa quando não 
podemos adotar uma metodologia de coleta aleatória por causa da dificuldade de 
acesso às unidades amostrais ou por outras limitações que podem aparecer. 
Obviamente, isso não indica que o resultado está incorreto, no entanto, um 
resultado como o da amostra quantitativa não probabilística será condizente apenas 
com a amostra selecionada, não abrindo margem para uma inferência para toda a 
população, já que não temos conhecimento da margem de erro dos dados coletados. 
Algumas pesquisas quantitativas que adotam o método não probabilístico 
costumam ter amostragem por quotas, onde os integrantes da amostra precisam 
apresentar algumas características consideradas úteis para o pesquisador, como 
escolaridade, sexo e renda. Considerando os métodos de seleção não probabilístico, 
esse costuma proporcionar os resultados mais satisfatórios. 
 
 
Outro exemplo muito empregado é a amostragem bola de neve, onde as 
unidades amostrais são selecionadas por indicação, isto é, cada entrevistado indica 
um amigo para responder à pesquisa, gerando uma rede de respostas. Além disso, 
também usamos a escolha racional, onde a seleção das unidades amostrais é 
induzida por algum aspecto importante para a hipótese da pesquisa. 
Atualmente, a amostragem por voluntários, que também não é probabilística, é 
uma forma rápida e fácil de coletar dados. Para realizar esse método, podemos 
publicar os questionários nas redes sociais ou enviá-los por e-mail, desse modo, cada 
respondente será um voluntário, no entanto, não foram selecionados de forma 
aleatória pelo fato de estarem presentes em seu círculo social. 
3.2 Tipos de amostragem qualitativa 
Como vimos no tópico anterior, as amostras qualitativas são úteis quando 
queremos conhecer profundamente um grupo de seres, indivíduos ou objetos, sendo 
empregadas também quando queremos coletar dados mais detalhados sobre um 
tema, dependendo de nossos objetivos. 
Flick (2009) explana que, diferentemente da pesquisa quantitativa, a 
metodologia qualitativa é dependente da comunicação do pesquisador de campo para 
produzir o conhecimento almejado, não sendo considerado como um componente útil 
para o processo. A subjetividade tanto dos entrevistados quanto do pesquisador são 
parte integrante do processo de pesquisa. 
Dentre os métodos de amostragem mais usados em uma pesquisa qualitativa, 
podemos citar a pesquisa de cliente oculto, os grupos focalizados e a pesquisa por 
observação. O método dos grupos focalizados procura uma pessoa com um perfil 
específico para responder às perguntas e proporcionar o maior número de 
informações possível. 
Barbour (2009) afirma que o método é baseado em avaliar e gerar a interação 
entre os participantes ao invés de fazer o mesmo grupo de perguntas para cada 
integrante da amostra,o que chamamos de entrevista de grupo. Essa metodologia é 
feita com pequenos grupos instigados por um mediador, segue um roteiro e tenta fazer 
com que o grupo responda às perguntas com riqueza nos detalhes. 
A título de exemplo, vamos imaginar que temos a intenção de lançar uma água 
 
 
mineral flavorizada direcionada ao público fitness. Para isso, podemos começar 
fazendo um teste cego com alguns sabores experimentais e, a partir disso, observar 
as percepções do grupo. 
Logo após, iremos demonstrar várias embalagens e perguntar qual o 
participante considera mais atrativa e quais motivos o levaram a chegar nessa 
conclusão, além de fazer outros questionamentos para melhorar a investigação. Os 
resultados do método de grupo focalizado proporcionam respostas com detalhes 
muito ricos, que podem ser úteis para uma boa tomada de decisão, possibilitando 
também a realização de uma pesquisa quantitativa com um número mais assertivo de 
opções para o teste. 
Por sua vez, a metodologia do cliente oculto usa pesquisadores se passando 
por clientes para verificar tanto o atendimento de concorrentes quanto o próprio 
atendimento, permitindo até uma comparação entre ambos os atendimentos. 
Para exemplificar, vamos imaginar que queremos saber o porquê de algumas 
lojas em uma rede específica possuem um faturamento maior que as demais, para 
isso, o entrevistador finge ser um cliente e avalia alguns fatores capazes de influenciar 
na escolha da loja, como o atendimento, a limpeza do ambiente, a acessibilidade, as 
características físicas dos vendedores e outros fatores. 
O pesquisador precisa se atentar aos detalhes e ter a capacidade de relatar 
cada elemento observado no roteiro depois da visita, possibilitando a produção de um 
relatório comparativo entre as filiais da rede de lojas em questão. 
Por fim, a pesquisa por observação possui um nome autoexplicativo, isto é, 
precisamos observar de perto as amostras selecionadas para coletar dados. Como 
exemplo, vamos imaginar que queremos verificar os hábitos alimentares de um bairro 
popular, nesse caso, precisamos pedir permissão para os moradores e entrar em suas 
casas para observar seus dados, como altura e peso, bem como solicitar alguns 
exames para verificar distúrbios metabólicos e observar as comidas presentes em 
suas geladeiras e armários. 
De forma semelhante à amostragem quantitativa, o método selecionado deve 
estar consoante com os objetivos da pesquisa. Podemos observar na tabela 1 uma 
comparação resumida dos tipos de amostragem. 
 
 
 
 
Tabela 1 – Amostras qualitativas e quantitativas 
Amostragem 
Tamanho da 
amostra 
Forma de coleta 
Tipos de 
resultado 
Quantitativa 
probabilística 
Varia conforme a 
margem de 
confiança e erro, 
desde que seja um 
número 
representativo da 
população 
Seleção aleatória 
ou sorteio 
Estatísticas, dados 
quantitativos, 
tabelas, resumos 
numéricos, 
gráficos. 
Confiança e erro 
fixados e faz 
inferência para a 
população 
Quantitativa não 
probabilística 
Um número 
representativo da 
população 
Seleção não 
aleatória, depende 
do julgamento do 
pesquisador 
Dados 
quantitativos, 
tabelas, resumos 
numéricos, 
gráficos. Não faz 
inferência para a 
população 
Qualitativa 
Uma amostra com 
poucos integrantes 
Seleção não 
aleatória, depende 
do julgamento do 
pesquisador 
Dados qualitativos, 
com mais 
profundidade na 
avaliação. Não faz 
inferência para a 
população 
Fonte: Elaborada pelo autor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 REGRESSÃO LINEAR 
Vamos imaginar que temos dados relacionados com duas variáveis e, com 
base neles, poderemos identificar uma equação ou relação para caracterizar esses 
dados, possibilitando fazer previsões referentes aos dados originais. Tal relação pode 
ser quadrática, linear ou exponencial, sendo feitas com base nos gráficos dessas 
variáveis, com isso, precisamos ajustar uma curva nos gráficos. 
Vamos nos atentar à imagem 1 para observar um exemplo de aproximação 
linear a partir da avaliação da dispersão de dados peso versus altura e outro de 
aproximação não linear com base na dispersão de dados quantitativos do número de 
apresentação versus tempo. 
 
Imagem 1 – Aproximação linear e não linear em gráficos de dispersão 
 
Fonte: Adaptado de Spiegel e Stephens (2009) 
 
 
Na imagem 2, podemos ver exemplos de equações que podem ser usadas em 
modelos polinomial e linear. As letras X e Y representam as variáveis dependentes e 
independentes, respectivamente. Por sua vez, o an representa as constantes, 
denominadas coeficientes, onde n é um número igual ou superior a 0. 
 
Imagem 2 – Equações para modelar dados 
 
Fonte: Adaptado de Spiegel e Stephens (2009) 
 
Segundo Freund (2007), a regressão linear utiliza equações lineares para fazer 
previsões e ajustar os dados, formadas por: 
 
y = a + bx 
 
Onde: 
 
a = constante que representa o corte na reta do eixo y, também chamada de 
intercepto, isto é, o valor de y quando x = 0. 
b = constante referente à inclinação da reta. 
 
Com base em uma reta estimada, podemos fazer as previsões, isto é, quando 
consideramos um valor x relacionado com os valores originais, podemos calcular o 
valor estimado de y. 
4.1 Interpolação e regressão 
No tópico anterior, conseguimos observar na imagem 1 que os pontos são 
aproximados por uma função matemática em específico, o que permite identificar uma 
equação que se adeque melhor aos pontos. A curva não passa, obrigatoriamente, por 
 
 
todos os pontos, mesmo que seja traçada a melhor curva possível. 
Podemos conceituar a interpolação como um processo que permite a criação 
de novos dados com base em dados discretos. Justo et al. (2020) afirmam que o intuito 
da interpolação é identificar os dados que faltam entre os pontos dados, possibilitando 
criar funções interpoladas no conjunto de dados para conectar os pontos dados. Na 
imagem 3, podemos observar exemplos de regressão linear (a), interpolação linear 
(b) e polinomial de pontos de dados (c). 
 
Imagem 3 – Exemplos de retas com pontos dados 
 
Fonte: Adaptado de Chapra e Canale (2016) 
 
Veja que a interpolação também aproxima os pontos, no entanto, deve passar, 
necessariamente, por todos, criando uma curva de dados. A partir dela, também é 
possível inferir valores de y com base em valores de x diferentes dos pontos dados 
iniciais. 
Chapra e Canale (2016) explanam que existem duas abordagens para ajustar 
as curvas. A primeira abordagem é chamada de regressão por mínimos quadrados, 
que possui uma grande chance de erro ou “ruído”, seu objetivo é identificar uma curva 
de tendência. A segunda abordagem é a interpolação, onde os dados são 
 
 
considerados mais precisos, pois é capaz de ajustar as curvas que passam por todos 
os pontos. 
4.2 Ajustando uma reta 
Neste tópico, iremos aprender a encontrar a melhor reta para ajustar os dados 
de interesse. O processo mais usado para identificar essa reta é o método de mínimos 
quadrados e, para melhorar sua compreensão, vamos citar um exemplo. 
Vamos imaginar que existem duas variáveis, uma de alcance auditivo de 
indivíduos expostos a ruídos altos e uma de tempo de exposição. Os dados em 
questão podem ser observados na tabela 1. 
 
Tabela 1 – Alcance auditivo e número de semanas 
Número de semanas (x) Alcance auditivo (y) 
47 15,1 
56 14,1 
116 13,2 
178 12,7 
19 14,6 
75 13,8 
160 11,9 
31 14,8 
12 15,3 
164 12,6 
43 14,7 
74 14,0 
Fonte: Adaptado de Freund (2007) 
 
Com os dados listados, podemos construir um gráfico de dispersão, como 
mostrado na imagem 4. Com base nesse gráfico, podemos verificar quais dados 
seguem um comportamento linear. Nesse contexto, uma reta serviria como um bom 
modelo. 
 
 
 
Imagem 4 – Gráfico de dispersão de dados 
 
Fonte: Adaptado de Freund (2007) 
 
Logo após, precisamos identificar a melhor reta para os pontos dados. Se 
pegarmos uma régua para traçarretas, provavelmente teríamos diversas retas 
encaixadas perto dos pontos, como mostra a imagem 5. Com isso, precisamos do 
método de mínimos quadrados, onde usamos a propriedade mínima à soma dos 
quadrados das distâncias verticais dos pontos para identificar a melhor reta. 
 
Imagem 5 – Gráfico de dispersão de dados com retas próximas aos pontos 
 
Fonte: Adaptado de Freund (2007) 
 
Na imagem 6, temos duas possíveis retas ajustadas a quatro pontos, onde os 
números representam a distância entre as retas e os pontos. Desse modo, quando 
usamos a reta para prever os valores de y a partir dos dados de x, teríamos uma 
diferença entre os valores previstos pelas retas e os valores reais, isto é, os pontos 
 
 
dados. 
Quando somamos os erros para a reta horizontal, teríamos como resultado – 3 
+ 1 – 3 + 5 = 0, enquanto na segunda reta seria 0 + 1 – 5 + 0 = - 4. Mesmo que o erro 
para a reta horizontal tenha sido 0, podemos observar que os pontos estão a uma boa 
distância da reta. Em relação à segunda reta, sua margem de erro é numericamente 
maior que a primeira, mesmo com os pontos estando, visualmente, mais adequados 
para a reta. 
 
Imagem 6 – Retas ajustadas aos pontos 
 
Fonte: Adaptado de Freund (2007) 
 
Para compreendermos melhor, vamos usar a soma dos quadrados da 
distância: 
 
(- 3)² + 1² + (- 3)² + 5² = 44 e 0² + 1² + (- 5)² + 0² = 26 
 
Com isso, temos um valor menor para a segunda reta, se ajustando melhor aos 
dados. Nesse contexto, podemos afirmar que o método dos quadrados mínimos tem 
o intuito de reduzir o erro quadrático entre a reta (denominada reta dos quadrados 
mínimos) e os dados. 
Agora, iremos observar como encontrar a reta ideal a partir do exemplo a 
seguir. Vamos supor que a reta ideal, dada por ŷ = a + bx, onde o número de pontos 
dados são escritos como pares x e y. A soma da diferença quadrática entre a reta e 
os dados fica representada na seguinte equação: 
 
 
 
∑(𝑦 − ŷ)2 = ∑[𝑦 − (𝑎 + 𝑏𝑥)]² 
 
Onde: 
∑ = Símbolo da soma; 
y = Variável dependente, isto é, aquela que precisamos prever ou explicar; 
ŷ = Valor previsto ou estimado da variável dependente; 
a = Interceptação da reta de regressão; 
b = Inclinação da reta; 
x = Variável independente que usaremos para prever o valor de y. 
 
Desse modo, precisamos encontrar os valores das constantes a e b que 
diminuam o erro quadrático. Podemos observar um esquema com os valores das 
variáveis na imagem 7. 
 
Imagem 7 – Representação das variáveis 
 
Fonte: Adaptado de Freund (2007) 
 
Resolvendo esse sistema, podemos encontrar o valor das constantes a e b. 
Desse modo, dadas as quantidades: 
 
𝑆𝑥𝑥 = ∑x
2 −
1
𝑛
(∑x)² 
 
 
 
𝑆𝑥𝑦 = ∑xy −
1
𝑛
(∑x)(∑y) 
 
As constantes são dadas por: 
 
𝑏 =
𝑆𝑥𝑦
𝑆𝑥𝑥
 
 
𝑎 =
∑𝑛𝑦 − 𝑏(∑𝑛𝑥)
𝑛
 
 
Agora vamos retornar ao exemplo inicial: em relação ao alcance auditivo, 
vamos definir a reta de mínimos quadrados. Com os somatórios, teremos ∑x = 975, 
∑x² = 117.397, ∑xy = 12.884,4 e ∑y = 166,8, sendo x, x², xy e y as colunas da tabela 
2 e ∑ a soma de cada coluna. Vale ressaltar que podemos fazer essa soma no Excel. 
 
Tabela 2 – Somas dos dados (o resultado está em negrito) 
x y x² xy 
47 15,1 2209 709,7 
56 14,1 3136 789,6 
116 13,2 13456 1531,2 
178 12,7 31684 2260,6 
19 14,6 361 277,4 
75 13,8 5625 1035 
160 11,9 25600 1904 
31 14,8 961 458,8 
12 15,3 144 183,6 
164 12,6 26896 2066,4 
43 14,7 1849 632,1 
74 14,0 5476 1036 
975 166,8 117397 12884,4 
Fonte: Adaptado de Freund (2007) 
 
Com os somatórios calculados, vamos obter os seguintes valores (ressaltando 
 
 
que n é o número de dados coletados que, nesse caso, é igual a 12): 
𝑆𝑥𝑥 = 117397 −
1
12
(975)2 = 38178,25 
 
𝑆𝑥𝑦 = 12884,4 −
1
12
(975)(166,8) = −668,1 
 
Por meio desse cálculo, podemos definir o valor das constantes: 
 
𝑏 =
−668,1
38178,25
≈ −0,0175 
 
𝑎 =
166,8 − (−0,01175)(975)
12
≈ 15,3 
 
Como vimos anteriormente, a equação da reta de mínimos quadrados é ŷ = a 
+ bx que, substituindo os valores, fica sendo: 
 
ŷ = 15,3 − 0,0175𝑥 
 
Com a reta mínima de quadrado determinada, podemos prever os valores do 
alcance auditivo considerando o número de semanas. A título de exemplo, vamos 
imaginar que queremos saber o alcance auditivo relacionado com 300 semanas, para 
isso, substituímos o x por 300 e, com isso, a equação será montada da seguinte forma: 
 
ŷ = 15,3 − 0,0175𝑥300 = 15,3 − 5,25 = 10,5 
 
Ou seja, o valor previsto do alcance auditivo é de 10,5. 
 
4.2.1 Quantificando o erro na regressão linear 
 
Para identificar a melhor reta, usamos a soma dos quadrados das diferenças, 
conhecido também como a soma dos quadrados dos resíduos, representado pelo S: 
 
 
 
𝑆𝑟 = ∑(𝑦 − ŷ)² = ∑[𝑦 − (𝑎 + 𝑏𝑥)]² 
 
Com base nessa medida, podemos calcular o desvio-padrão para a reta 
determinada, sendo representado pela seguinte fórmula: 
 
𝑆𝑦/𝑥 = √
𝑆𝑟
𝑛 − 2
 
Onde o Sx/y é denominado “erro de padrão de estimativa”, que representa a 
dispersão em torna da reta de regressão, bem parecido com o que temos ao calcular 
a dispersão em torno da reta. 
Com base nesses conceitos, podemos definir a precisão do ajuste feito, o que 
também possibilita comparar várias regressões. Sendo assim, usaremos duas 
quantidades, representadas por Sr e St, este último diz respeito à soma dos quadrados 
dos resíduos entre a média (�̅�) e os pontos dados (y), isto é: 
 
𝑆𝑡 = ∑(𝑦 − �̅�)² 
 
Considerando esses valores, precisamos calcular o coeficiente de 
determinação r², onde r representa o coeficiente de correlação. Podemos fazer isso 
com a seguinte fórmula: 
 
𝑟2 =
𝑆𝑡 − 𝑆𝑟
𝑆𝑡
 
 
O padrão descrito representa a redução do erro resultante do ajuste da reta. 
Caso seja um ajuste perfeito, isto é, Sr = 0 e resultar em r = r² = 1, isso significa que a 
reta justifica toda a variação de dados. 
Agora, vamos citar um exemplo da aplicação desse ajuste calculando o 
coeficiente de determinação para o alcance auditivo. Em primeiro lugar, precisamos 
calcular o Sr e o St de acordo com a tabela 3. 
 
 
 
 
Tabela 3 – Dados e somatório (em negrito) 
x y y – �̅� (y – �̅�)² ŷ y - ŷ (y – ŷ)² 
47 15,1 1,2 1,44 14,48 0,62 0,39 
56 14,1 0,2 0,04 14,32 - 0,22 0,05 
116 13,2 - 0,7 0,49 13,27 - 0,07 0,00 
178 12,7 - 1,2 1,44 12,19 0,51 0,27 
19 14,6 0,7 0,49 14,97 - 0,37 0,14 
75 13,8 - 0,1 0,01 13,99 - 0,19 0,04 
160 11,9 - 2 4 12,50 - 0,60 0,36 
31 14,8 0,9 0,81 14,76 0,04 0,00 
12 15,3 1,4 1,96 15,09 0,21 0,04 
164 12,6 - 1,3 1,69 12,43 0,17 0,03 
43 14,7 0,8 0,64 14,55 0,15 0,02 
74 14,0 0,1 0,01 14,01 - 0,01 0,00 
 St = 13,02 Sr = 1,33 
Fonte: Adaptado de Freund (2007) 
 
Agora, iremos calcular o coeficiente da seguinte forma: 
 
𝑟2 =
13,02 − 1,33
13,02
= 0,8975 𝑥 100 = 89,75% 
 
Desse modo, 89,75% da incerteza original foi explicada pelo modelo linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 NÍVEIS DE CONFIANÇA 
Primeiramente, vamos relembrar alguns conceitos abordados nas aulas 
anteriores, como o de estatística, também conhecida como estimativa ou estimador, 
que consiste em uma medida numérica de uma amostra. 
Por sua vez, o parâmetro se trata de uma medida numérica da população. 
Algumas amostras nos permite estimar determinados valores na população, isto é, 
conseguimos inferir um parâmetro populacional com base em uma estimativa. 
A título de exemplo, vamos imaginar que temos em uma amostra uma quantia 
considerável de clientes de um banco e calculamos a média do saldo que possuem 
em sua conta-corrente. Essa média amostral tem como propósito estimar a média 
populacional do saldo em conta-corrente. 
Quando calculamos uma proporção ou média baseada em uma amostra, 
conseguimos chegar a um valor. Podemos conceituar esse valor como estimador 
pontual, isto é, uma estimação por ponto. Chamamos essa medida assim pelo fato de 
ter um único valor para representar a medida numérica de uma amostra, como umaproporção ou uma média, por exemplo. 
 
Imagem 1 – Parâmetros e estimadores 
 
Fonte: https://iplogger.com/2rG6P7 
 
 
Para calcular a média amostral de forma pontual, devemos somar todos os 
valores presentes na amostra e dividir essa soma pelo número de elementos, com 
base na seguinte fórmula: 
 
�̅� =
∑ 𝑥𝑖
𝑛
 
Onde: 
 
�̅� = média amostral; 
xi = cada elemento da amostra; 
n = número de elementos presentes na amostra. 
 
Já a proporção amostral pode ser encontrada quando dividimos os casos 
favoráveis do que estamos pesquisando pelo número de elementos da amostra, 
através da seguinte fórmula: 
 
𝑝 =
𝑥
𝑛
 
Onde: 
 
p = proporção amostral; 
x = quantidade de casos favoráveis; 
n = número de elementos da amostra. 
 
No entanto, a estimativa por intervalo, também conhecida como intervalo de 
confiança, costuma ser mais útil que uma estimativa pontual. Não temos apenas um 
valor pontual em um intervalo de confiança, ao invés disso, calculamos um intervalo 
com a possibilidade de encontrarmos o verdadeiro valor do parâmetro populacional 
nele. 
Voltando ao exemplo da média de saldo bancário, não teríamos um valor único, 
e sim um intervalo de valores contendo uma margem de erro bem estabelecida, que 
permite termos a verdadeira média dos clientes cadastrado no banco em questão. 
Para calcular a estimativa por intervalo, não consideramos apenas a estimativa 
pontual, também levamos em conta uma margem de erro para identificarmos o 
 
 
verdadeiro valor do parâmetro populacional. Podemos observar na imagem 2 um 
intervalo de confiança para a média. 
 
Imagem 2 – Intervalo de confiança para a média 
 
Fonte: Adaptado de Doane e Seward (2015) 
 
Desse modo, usaremos a estimativa pontual e a confiança para o cálculo do 
intervalo de confiança. Para obtermos uma boa estimativa, precisaremos de 
estimadores não tendenciosos e não viciados e, para isso, usaremos amostras 
probabilísticas para proporcionar uma estatística inferencial, isto é, serão válidos 
apenas estimadores capazes de inferir os parâmetros populacionais quando 
calculamos amostras com um tamanho tendendo ao infinito ou amostras extraídas 
através do método probabilístico. 
5.1 Cálculo do intervalo de confiança 
O cálculo do intervalo de confiança exige o valor da estimativa pontual do 
parâmetro pesquisado, também precisamos ter a tabela de distribuição normal, 
também conhecida como tabela t-student, com o intuito de obter os valores 
padronizados do coeficiente de confiança escolhido. 
Partimos do pressuposto que as amostras foram coletadas de populações que 
sigam a distribuição normal ou que as amostras tenham um tamanho suficiente para 
usarmos o teorema do limite central e empregarmos os coeficientes de confiança. 
Levando em conta o desvio-padrão populacional conhecido, o intervalo de confiança 
da média populacional conhecido é: 
 
 
�̅� ± 𝑧𝑎/2.
𝜎
√𝑛
 
 
Ou seja: 
 
�̅� − 𝑧𝑎/2.
𝜎
√𝑛
≤ 𝜇 ≤ �̅� + 𝑧𝑎/2.
𝜎
√𝑛
 
 
 
Onde: 
 
�̅� = média amostral; 
za/2 = coeficiente de confiança associado à norma padrão; 
𝜎 = desvio-padrão populacional; 
n = número de elementos em uma amostra. 
 
Geralmente, não conseguimos obter o valor do desvio-padrão populacional, 
sendo assim, calculamos apenas o desvio-padrão amostral. Desse modo, teremos um 
intervalo de confiança para a média quando não sabemos o valor do desvio-padrão 
populacional. 
Doane e Seward (2015) afirmam que a distribuição t-student deverá ser 
empregada no lugar da distribuição normal padrão caso a população seja normal e o 
desvio-padrão populacional seja desconhecido. Isso será muito útil caso a amostra 
seja pequena. 
 
�̅� ± 1𝑎/2.
𝑠
√𝑛
 
 
Ou seja: 
 
�̅� − 𝑡𝑎/2.
𝑠
√𝑛
≤ 𝜇 ≤ �̅� + 𝑡𝑎/2.
𝑠
√𝑛
 
 
 
 
 
 
Onde: 
�̅� = média amostral; 
ta/2 = coeficiente de confiança associado à distribuição t-student; 
s = desvio-padrão populacional; 
n = número de elementos da amostra. 
 
Imagem 3 – Intervalo de confiança para a média 
 
Fonte: Adaptado de Doane e Seward (2015) 
 
Os autores complementam dizendo que o teorema do limite central também 
podem ser usados em uma proporção amostral, pois a proporção consiste em uma 
média de dados, onde os únicos valores são 0 ou 1. Em relação à proporção, o 
teorema diz que a distribuição de uma proporção amostral tende à normalidade à 
medida que o valor cresce. 
Levando em conta que é possível a proporção amostral de uma distribuição 
normal, iremos calcular o intervalo de confiança visando estimar a proporção 
populacional da seguinte maneira: 
 
𝑝 ± 𝑧𝑎/2. √
𝑝. (1 − 𝑝)
𝑛
 
 
 
Ou seja: 
 
𝑝 − 𝑧𝑎/2. √
𝑝. (1 − 𝑝)
𝑛
≤ 𝜋 ≤ 𝑝 + 𝑧𝑎/2. √
𝑝. (1 − 𝑝)
𝑛
 
 
 
 
Onde: 
 
p = proporção amostral; 
za/2 = coeficiente de confiança associado à norma padrão; 
n = número de elementos da amostra. 
5.2 Níveis de Confiança 
Navidi (2012) conceitua um nível de confiança como uma proporção de todas 
as amostras possíveis usadas para que o intervalo de confiança consiga representar 
o valor real. 
Sendo assim, quando determinamos o coeficiente de confiança, estamos 
definindo a possibilidade de estarmos calculando um intervalo com o verdadeiro valor 
do parâmetro com uma probabilidade conhecida de acertarmos. Frequentemente, 
usamos níveis de confiança por intervalo de 90%, 95% e 99%, considerando que o 
nível de confiança é diretamente proporcional ao tamanho do intervalo, como 
podemos observar na tabela 1. 
 
Tabela 1 – Valores frequentemente usados da norma padrão 
Níveis de confiança a 1 - a a/2 za/2 
90% 0,10 0,90 0,05 1,645 
95% 0,05 0,95 0,025 1,960 
99% 0,01 0,99 0,005 2,576 
Fonte: Elaborada pelo autor 
 
Podemos usar esses valores não só para a distribuição normal padrão, como 
também para a distribuição t-student, no entanto, esta última exige o cálculo dos graus 
de liberdade para conseguirmos identificar o valor correspondente. 
 
𝐺𝐿 = 𝑛 − 1 
 
 
Onde: 
 
 
 
GL = graus de liberdade; 
n = tamanho da amostra. 
 
A aproximação da distribuição t-student aos valores da distribuição padrão 
normal aumenta proporcionalmente ao tamanho da amostra, como podemos observar 
na última linha da tabela presente na imagem 4, quando o tamanho da amostra tende 
ao infinito, teremos os mesmos valores da tabela normal padrão. 
 
Imagem 4 – Tabela de distribuição t-student 
 
Fonte: https://iplogger.com/2dYP44 
 
Além disso, o coeficiente de confiança é diretamente proporcional aos valores 
tabelados, ou seja, as estimativas por intervalo crescem com o aumento do nível de 
confiança. Desse modo, o crescimento do intervalo aumenta as chances de 
 
 
acertarmos o valor do verdadeiro parâmetro populacional. 
Para exemplificar essa situação, vamos voltar à média do saldo bancário dos 
clientes de um banco. Vamos supor que a média do saldo seja de R$ 1958,00 e que 
o desvio-padrão seja de R$ 697,00. Tais estimativas correspondem aos dados 
extraídos de uma amostra que contém 90 clientes do banco. Agora, vamos calcular o 
intervalo de confiança com os níveis de 90%, 95% e 99% de confiança. Em relação 
aos valores, temos: 
 
�̅� = 1958 
s = 697 
n = 90 
t0,05 = 1,645 
t0,025 = 1,960 
t0,005 = 2,576 
 
Vale ressaltar que os três últimos valores foram empregados usando como 
base a tabela 1. Em um nível de confiança de 90%, vamos usar a seguinte fórmula no 
cálculo: 
 
�̅� ± 𝑡𝑎/2.
𝑠
√𝑛
 
 
1958 − 1,645.
697
√90
= 𝟏𝟖𝟑𝟕, 𝟏𝟒 ≤ 𝜇 ≤ 1958 + 1,645.
697
√90
= 𝟐𝟎𝟕𝟖, 𝟖𝟔 
 
 
Com isso, temos um intervalo de confiança entre 1837,14 e 2078,86. Agora, 
vamos calcular o intervalo com um nível de confiança de 95% usando a mesma 
fórmula. 
 
1958 − 1,960.
697
√90
= 𝟏𝟖𝟏𝟒, 𝟎𝟎 ≤ 𝜇 ≤ 1958 + 1,960.
697
√90
= 𝟐𝟏𝟎𝟐, 𝟎𝟎 
 
 
 
 
Nesse caso, o intervalo de confiança está entre 1814 e 2102. Por fim, iremos 
calcular o intervalo com um nível de confiança de 99%. 
 
1958 − 2,576.
697
√90= 𝟏𝟕𝟔𝟖, 𝟕𝟒 ≤ 𝜇 ≤ 1958 + 2,576.
697
√90
= 𝟐𝟏𝟒𝟕, 𝟐𝟔 
 
Sendo assim, o intervalo de confiança fica entre 1768,74 e 2147,26. Observe 
que o intervalo do parâmetro estudado aumentou junto com o nível de confiança 
empregado. 
 
6 ESTRUTURA DOS TESTES DE HIPÓTESE 
Empregamos os testes estatísticos no ramo da estatística inferencial, com o 
intuito de avaliar as hipóteses relacionadas com variância, médias, proporções e 
outros. Podemos dividir esses testes em duas categorias, sendo elas a de testes não 
paramétricos e a de testes paramétricos. 
Em relação aos testes paramétricos, eles costumam ser usados quando 
temos disponíveis determinadas variáveis quantitativas que possibilitam o cálculo de 
intervalo de confiança. Além disso, também será necessária a existência da 
normalidade de dados, que é necessária, geralmente, em amostras com mais de 30 
elementos. 
Já os testes não paramétricos não possuem tanta exigência e conseguem 
englobar as variáveis qualitativas, uma vez que não é necessário conhecer a 
distribuição de probabilidades que os dados seguem. Existem alguns contextos onde 
os dados paramétricos não são aceitos e, com isso, podemos usar os testes não 
paramétricos para variáveis quantitativas. 
Não importa o teste estatístico empregado, sempre teremos as mesmas fases 
para sua resolução. Nesse contexto, precisamos formular duas hipóteses, sendo uma 
o oposto da outra, uma denominada hipótese nula (H₀) e outra chamada de hipótese 
alternativa (H1). 
Em ambos os testes, temos uma estatística de teste contendo um ou mais 
cálculos matemáticos e teremos um cálculo diferente para cada teste. Os cálculos dos 
 
 
testes paramétricos costumam ser um pouco menos complicados. Cada teste terá 
uma tabela de distribuição de probabilidades associada para podermos determinar a 
região crítica, onde a conclusão dependerá do resultado do teste nos passos 
anteriores. 
 
Tabela 1 – Passos para resolver um teste de hipóteses 
1. Formular hipóteses 
2. Calcular a estatística teste 
3. Definir a região crítica 
4. Concluir a respeito do teste 
Fonte: Elaborada pelo autor 
Os testes de hipóteses podem ser usados na comparação de um parâmetro 
com uma estimativa, e até para comparar duas ou mais estimativas entre si. No caso 
dos testes paramétricos, existem testes usados para uma, duas e ou mais de duas 
médias. 
6.1 Consequências dos tipos de erros 
Por lidarmos com valores de médias, e não valores absolutos e únicos, 
precisamos nos atentar sempre que fazemos um teste de hipótese. Isso porque 
sabemos reconhecer a diferença numérica entre dois valores absolutos, no entanto, 
não podemos dizer o mesmo quando analisamos tal diferença em uma amostra com 
um tamanho específico que possui uma variabilidade e uma média. 
Nesse contexto, existe a probabilidade de cometermos um erro de decisão, 
como rejeitar uma hipótese verdadeira. Caso aceitamos uma hipótese nula e ela for 
verdadeira, estamos tomando a decisão correta, isso também vale para o caso de 
rejeitarmos uma hipótese nula que seja realmente falsa. 
Entretanto, estaremos cometendo um erro quando recusamos uma hipótese 
nula que seja verdadeira, configurando um erro do tipo I, também representado pelo 
símbolo α. Um caso parecido acontece quando aceitamos uma hipótese nula que, na 
verdade, é falsa, estaremos cometendo um erro do tipo II, simbolizado pela letra β. 
 
Tabela 2 – Tipos de erros em um teste de hipótese 
 
 
 H₀ verdadeira H₀ falsa 
H₀ aceita Decisão correta Erro tipo II (β) 
H₀ recusada Erro tipo I (α) Decisão correta 
Fonte: Elaborada pelo autor 
 
Doane e Seward (2014) afirmam que nem sempre conseguimos diferenciar se 
cometemos um erro do tipo II ou I, pois raramente obtemos informações perfeitas 
relacionadas com uma situação verídica. Porém, podemos calcular a possibilidade de 
tomarmos uma decisão errada por meio da estatística, diminuindo as chances de erro, 
além de reunir uma quantidade considerável de evidências amostrais e escolher os 
testes mais adequados. 
Podemos utilizar algumas analogias para exemplificar os tipos de erros que 
podemos cometer quando testamos duas hipóteses. Uma delas é o julgamento, como 
na hipótese nula seja considerar um réu inocente, por consequência, a hipótese 
alternativa é a do réu ser culpado. Nesse caso, o erro do tipo I se configura quando 
condenamos um réu inocente e, em contrapartida, teremos um erro do tipo II quando 
inocentamos um réu culpado. Em ambos os casos, estaríamos cometendo erros que 
podem prejudicar tanto o próprio réu quanto a sociedade. 
Partindo para outra analogia, vamos imaginar o lançamento de um 
medicamento em uma indústria farmacêutica, onde a empresa investirá apenas no 
medicamento com eficácia comprovada, ou seja, a hipótese nula será o medicamento 
ser eficiente, enquanto a alternativa será o medicamento ineficiente. O erro tipo I irá 
acontecer no caso de recusarmos um medicamento alegando sua ineficiência quando, 
na verdade, ele é eficiente. Por sua vez, o erro tipo II acontecerá quando o lançamos 
alegando sua eficiência, no entanto, o medicamento não é eficiente. 
Para finalizar os exemplos, vamos imaginar uma agência bancária onde o 
gerente concede crédito para qualquer cliente que ele julga ser um bom pagador, por 
escores de crédito. Sendo assim, a hipótese nula representará um bom pagador, 
enquanto a alternativa representa um mau pagador. O gerente cometerá um erro tipo 
I caso não ceda crédito para um cliente que é bom pagador, em uma situação 
parecida, pode cometer um erro tipo II caso ceda crédito para um cliente mau pagador. 
Entre os dois erros, aquele considerado o mais importante para ser controlado 
ou evitado é o erro tipo I, simbolizado pela letra α e reconhecido como o nível de 
 
 
significância do teste estatístico aplicado. Seu complementar 1 – α ficou conhecido 
como nível de segurança. 
Podemos encontrar os valores para o nível de significância nas tabelas de 
distribuição de probabilidades, que irão definir a região crítica, isto é, se devemos 
rejeitar a hipótese nula ou se não temos evidências o bastante para recusá-la. 
Vale ressaltar que a probabilidade de estarmos cometendo um erro tipo II não 
é fixa, portanto, podemos cometê-lo ao aceitar uma hipótese nula. Sendo assim, não 
podemos afirmar que aceitamos a hipótese nula com um nível de significância fixado, 
já que esse tipo de erro não está na sentença. 
Esse nível de significância irá definir a região crítica considerando as hipóteses 
formuladas. Por meio de testes unilaterais, temos a probabilidade de rejeitar em 
apenas uma das caudas da distribuição de probabilidade, levando em conta as 
hipóteses formuladas. Em relação ao teste bilateral, teremos a possibilidade de rejeitar 
nas duas caudas da distribuição, como podemos observar na imagem 1. 
 
Imagem 1 – Regiões críticas conforme a distribuição normal 
 
Fonte: Adaptado de Freund (2006) 
 
 
 
O teste de hipótese também engloba reconhecer o tipo de erro, que consiste 
em determinar o nível de significância do teste e isso acontece junto com a definição 
das hipóteses, antes de qualquer procedimento de coleta de dados. 
O nível de significância mais usado é de 5%, no entanto, o nível varia conforme 
o rigor do pesquisador. Além disso, podemos definir o poder do teste com a teoria das 
probabilidades de erro tipo I e II. A determinação do poder do teste é feita pela 
probabilidade do complementar do erro do tipo II, isto é, o complementar 1 – β. Sendo 
assim, o poder do teste aplicado é inversamente proporcional à probabilidade de erro 
do tipo II e, para reduzir a chance desse tipo de erro, precisamos aumentar a amostra 
estudada, ou seja, o poder é diretamente proporcional ao tamanho da amostra. 
6.2 Tipos de erro na prática 
Ao compararmos uma hipótese, temos a chance de tomar a decisão incorreta 
e podemos ter certeza de tomar a decisão correta apenas quando sabemos a verdade.Para entendermos melhor a situação, podemos exemplificá-la citando o seguinte 
ditado: “para toda situação existem três versões: a sua, a da outra parte e a verdade”. 
Quando falamos de estatística, apenas quando obtemos o valor do parâmetro 
populacional saberemos se alcançamos a verdade. Em qualquer outra condição, 
sempre teremos a probabilidade de errar quando temos uma amostra populacional, 
principalmente se a considerarmos como a realidade da população estudada. 
Os exemplos não se resumem ao caso do lançamento do medicamento, do 
julgamento e da concessão de crédito citados no tópico anterior, também temos outros 
que acontecem em nosso cotidiano. 
Entre eles, vamos citar o caso dos celulares contemporâneos que conseguem 
desbloquear a tela por impressão digital, com isso, a hipótese nula seria a 
comprovação da legitimidade da impressão e o consequente desbloqueio da tela, 
enquanto a hipótese alternativa é o não desbloqueio da tela, já que as impressões não 
conferem. Nesse caso, teremos um erro do tipo I quando não temos um desbloqueio 
da tela, mesmo com as impressões sendo legítimas, em contrapartida, teremos um 
erro do tipo II quando a tela é desbloqueada, mesmo com as impressões não 
conferindo. 
 
 
Desse modo, o erro a ser administrado é o do tipo I, que consiste em considerar 
a hipótese “culpada” até que se prove o contrário. Isso fica evidente no exemplo do 
julgamento, onde podemos considerar o erro tipo II (inocentar um culpado) mais 
danoso à sociedade que o erro do tipo I (culpar um inocente). No entanto, não 
podemos arcar com o dano de condenar uma pessoa inocente, principalmente quando 
consideramos que podemos refinar os métodos de julgamento para controlar o erro 
do tipo II. 
O mesmo caso vale para o exemplo da indústria farmacêutica, uma vez que 
podemos deixar um paciente sem uma boa solução para sua doença quando 
cometemos o erro tipo I e recusamos um medicamento eficiente. Também iremos 
causar danos semelhantes se lançarmos um medicamento ineficiente, configurando 
um erro do tipo II, no entanto, a indústria farmacêutica é capaz de refinar seus métodos 
de teste com o intuito de diminuir a chance desse tipo de erro. 
Por fim, no exemplo da concessão de crédito, podemos considerar o erro do 
tipo II (conceder crédito a um mau pagador) muito prejudicial à agência, no entanto, 
ele não é muito comum devido ao aprimoramento nos escores de crédito. Por sua vez, 
o erro do tipo I (negar crédito a um bom pagador) será prejudicial ao cliente e não ao 
banco, o que causa danos na popularidade da instituição. 
Desse modo, precisamos nos atentar ao falso positivo, isto é, a possibilidade 
de uma hipótese ser nula quando, na realidade, é verdadeira, já que os falsos 
negativos conseguem ser administrados facilmente quando aumentamos o tamanho 
da amostra pesquisada. Além disso, devemos primar por um equilíbrio, a fim de 
diminuir as duas possibilidades de erro. 
Um teste estatístico precisa começar pela elaboração de hipóteses alternativas 
e nulas para, posteriormente, calcular a estatística de teste, que pode ser facilmente 
realizada em softwares estatísticos e planilhas eletrônicas, finalizando com a 
conclusão desse teste. 
Para exemplificar um teste estatístico na prática, vamos imaginar que 
desejamos comparar as médias salariais de mulheres e homens que cumprem a 
função de gerente. Para isso, coletamos dados de 12 mulheres e 15 homens, levando 
em conta um nível de significância de 5%. Por estarmos lidando com duas amostras 
independentes, iremos usar o teste t para cada uma, começando pela formulação das 
hipóteses. 
 
 
 
➢ H₀ (hipótese nula): O salário das mulheres é igual ao dos homens. 
➢ H1 (hipótese alternativa): O salário das mulheres é diferente dos homens. 
 
Logo após, vamos calcular a estatística do teste por meio da seguinte fórmula 
(considerando uma média de 6640 e uma variância de 174000 para os homens; e 
uma média de 6375 e uma variância de 367500 para as mulheres): 
 
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 =
(𝑥1̅̅̅ − 𝑥2̅̅ ̅)
√
𝑠1
2
𝑛1
+
𝑠2
2
𝑛2
 
 
Onde: 
 
𝑥1̅̅̅ = Média amostral 1 (no caso, homens); 
𝑥2̅̅ ̅ = Média amostral 2 (no caso, mulheres); 
s²1 = variância da amostra 1; 
s²2 = variância da amostra 2; 
n1 = número de observações da amostra 1; 
n2 = número de observações da amostra 2; 
 
Substituindo os valores, teremos: 
 
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 =
(6640 − 6375)
√174000
15
+
367500
12
=
265
205,49
= 1,2896 
 
 
Na tabela 3, podemos observar a saída do Excel: 
 
Tabela 3 – Amostras presumindo variâncias diferentes 
 Homem Mulher 
Média 6640 6375 
 
 
Variância 174000 367500 
Observações 15 12 
Hipótese da diferença de média 0 
gI 19 
Stat t 1,289618 
T crítico bicaudal 2,093 
Fonte: Elaborada pelo autor 
 
Logo após, devemos determinar a região crítica. Sendo assim, precisamos 
identificar o valor tabelado da distribuição t-student com a/2 = 0,025 e o grau de 
liberdade correspondente. Considerando as diferentes variações, o grau de liberdade 
é calculado com o auxílio da seguinte fórmula: 
𝐺𝐿 =
[
𝑠1
2
𝑛1
+
𝑠2
2
𝑛2
] ²
(
𝑠1
2
𝑛1
) ²
𝑛1 − 1
+
(
𝑠2
2
𝑛2
)
𝑛2 − 1
 
 
𝐺𝐿 =
[
174000
15
+
367500
12 ] ²
(
174000
15
) ²
14 +
(
367500
12 ) ²
11
≅ 18,7927844 = 19 
 
Doane e Seward (2014) explanam que os graus de liberdade ajustados sempre 
são arredondados para o próximo interior menor, para sermos conservadores. Na 
imagem 2, temos uma tabela para conferir se o resultado está dentro do limite crítico. 
Imagem 2 – Tabela de níveis críticos do grau de liberdade 
 
 
 
Fonte: Adaptado de Doane e Seward (2014) 
 
Podemos observar o valor de 2,093 na coluna 0,025 referente ao grau de 
liberdade 19. Considerando que a estatística teste foi de 1,2896, podemos perceber 
que o valor está abaixo do tabelado, portanto, está dentro do nível crítico aceitável, ou 
seja, não existem evidências estatísticas para rejeitar a hipótese nula. Desse modo, 
podemos concluir que o salário de homens e mulheres pode ser considerado igual no 
nível de significância de 5%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 TESTES NÃO PARAMÉTRICOS 
Na aula anterior, nos falamos sobre a diferença entre testes paramétricos e não 
paramétricos. Para recapitular, podemos resumir afirmando que um teste paramétrico 
avalia os parâmetros de uma população, como desvio padrão, média e variáveis, 
enquanto um teste não paramétrico avalia os aspectos gerais das populações. 
No caso dos testes não paramétricos, eles são bastante recentes, tanto que o 
surgimento dos primeiros testes aconteceu no início do século XX e sua população 
aconteceu nos últimos 40 anos. 
Field (2009) complementa dizendo que os testes não paramétricos também são 
chamados de “testes de distribuição livre”, pelo fato de realizarem nenhuma ou poucas 
suposições referentes ao tipo de dado que pode ser usado. 
Com isso, não será necessário seguir a suposição de normalidade nos testes 
não paramétricos, já que podemos obter dados com distribuições não conhecidas ou 
não simétricas. Sob a ótica do pesquisador, os testes paramétricos podem ser 
considerados mais robustos, no entanto, eles não conseguem testar todas as 
variáveis, ou seja, em uma pesquisa, devemos ter uma alternativa não paramétrica 
para cada teste paramétrico. Dentre as principais vantagens de usar um teste não 
paramétrico, podemos citar: 
 
➢ Não são tão exigentes quanto os paramétricos, abrindo a possibilidade de 
desprezar, inclusive, a normalidade dos dados; 
➢ Normalmente, as probabilidades das afirmativas conseguidas em grande parte 
dos testes não paramétricos são exatas, exceto quando usamos aproximações 
para amostras grandes (superiores a 20, geralmente); 
➢ Não dependem da forma com que a amostra foi obtida de uma população; 
➢ São mais fáceis de aplicar e não precisam de um grande volume de cálculo; 
➢ Alguns desses testes possibilitam trabalhar com dados de diferentes 
populações, o que é impossível