PC_2016-2_AD1-Q2_GABARITO-DETALHADO

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AD 01 – Q2 – 2016-2 – Gabarito Pré-Cálculo 
CEDERJ 
Gabarito da Questão 2 da Avaliação a Distância 1 
Pré-Cálculo 
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Questão 2 [3,5 pontos]: 
(a) [1,8] 
(1) [0,8] Considere a função 𝑔(𝑥) = −√ 1 − 𝑥2 − 1 . Sabendo que o gráfico da função 
 𝑦 = 𝑔(𝑥) é parte de uma curva conhecida, esboce o gráfico da função 𝑦 = 𝑔(𝑥) . Explique a 
construção desse gráfico identificando a curva que dá origem a ele. 
(2) [0,6] Considere as funções 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1 e 𝑔(𝑥) = −√ 1 − 𝑥2 − 1 . 
Dê a expressão da função ℎ(𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥). Encontre o domínio da função 𝑦 = ℎ(𝑥). 
Justifique explicitando os cálculos que você fez para isso. 
(3) [0,4] Existe uma transformação que podemos fazer no gráfico da função 𝑦 = 𝑔(𝑥) para 
encontrar o gráfico da função 𝑦 = ℎ(𝑥) , qual é essa transformação? Explique! Usando 
transformação em gráfico, esboce o gráfico da função 𝒉(𝒙) = (𝒈 ∘ 𝒇)(𝒙) a partir do gráfico da 
função 𝑦 = 𝑔(𝑥) . 
 
RESOLUÇÃO: 
(a) 
(1) Vamos encontrar a curva cujo gráfico dá origem ao gráfico da função 𝑔(𝑥) = −√ 1 − 𝑥2 − 1 : 
𝑦 = −√1 − 𝑥2 − 1 ⟹ (𝑦 + 1)2 = (−√1 − 𝑥2 )
2
= 1 − 𝑥2 ⟺ 
 𝑥2 + (𝑦 + 1)2 = 1 . 
𝑥2 + (𝑦 + 1)2 = 1 é a equação de um círculo de centro 𝐶(0, −1) e raio 
 𝑅 = 1. 
O gráfico da função 𝑔(𝑥) = −√ 1 − 𝑥2 − 1 será o semicírculo superior ou o 
semicírculo inferior? Vamos identificar esse gráfico: 
−√ 1 − 𝑥2 ≤ 0 ⟹ −√ 1 − 𝑥2 − 1 ≤ 0 − 1 = −1 ⟹ 
𝑦 = −√ 1 − 𝑥2 − 1 ≤ −1 ⟹ 𝑦 ≤ −1 . 
Logo, a função 𝑔(𝑥) = −√ 1 − 𝑥2 − 1 será o semicírculo inferior. 
 
OBSERVAÇÃO: Outra maneira de se concluir isso é testando, por exemplo, o ponto (0,0) , que faz 
parte do semicírculo superior na equação 𝑦 = −√1 − 𝑥2 − 1 . 
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Fazendo 𝑥 = 0 , temos 𝑦 = −√1 − 02 − 1 = −1 − 1 = −2 . Logo, o ponto (0,0) do semicírculo 
superior não faz parte do gráfico da função 𝑔(𝑥) = −√ 1 − 𝑥2 − 1 . assim, o gráfico da função 
𝑔(𝑥) = −√ 1 − 𝑥2 − 1 é o semicírculo inferior. 
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(2) Encontrando a expressão da composição 𝑔 ∘ 𝑓 ∶ 
ℎ(𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(𝑥 − 1) = −√ 1 − (𝑥 − 1)2 − 1 
Para encontrar o domínio da função ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = −√ 1 − (𝑥 − 1)2 − 1 , primeiro 
encontramos o domínio 𝐷 da expressão 𝑦 = −√ 1 − (𝑥 − 1)2 − 1 e depois fazemos a 
interseção desse domínio 𝐷 com o domínio da função que inicia a composição, que é a função 𝑓 . 
Como 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1 então 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ e assim 𝐷𝑜𝑚(ℎ) = 𝐷 ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝐷 ∩ ℝ = 𝐷 . 
Para encontrar o domínio da expressão 𝑦 = −√ 1 − (𝑥 − 1)2 − 1 é preciso impor que o 
radicando seja positivo ou nulo. Mas, 
1 − (𝑥 − 1)2 ≥ 0 ⇔ (𝑥 − 1)2 ≤ 1 ⇔ √(𝑥 − 1)2 ≤ √1 ⇔ |𝑥 − 1| ≤ 1 ⇔ 
−1 ≤ 𝑥 − 1 ≤ 1 
 + 1 
⇔ −1 + 1 ≤ 𝑥 − 1 + 1 ≤ 1 + 1 ⇔ 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 . 
Portanto, 𝐷𝑜𝑚(ℎ) = 𝐷 = [0 , 2]. 
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(3) Existe uma transformação que podemos fazer no gráfico da função 𝑦 = 𝑔(𝑥) para encontrar 
o gráfico da função 𝑦 = ℎ(𝑥) , essa transformação é: 
 
𝑔(𝑥) = −√ 1 − 𝑥2 − 1 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 
→ ℎ(𝑥) = −√ 1 − (𝑥 − 1)2 − 1 
 
 
 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 
→ 
 
 
_________________________________________________________________________________ 
(b) [1,7] Considere a função 𝑟(𝑥) = {
ℎ(𝑥) 𝑠𝑒 0 < 𝑥 ≤ 2
−
1
3
(𝑥2 − 8𝑥 + 15) 𝑠𝑒 𝑥 > 2
 , 
onde ℎ(𝑥) = −√ 1 − (𝑥 − 1)2 − 1 é a função composta do item (1) (b). 
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(1) [1,0] Esboce o gráfico da função 𝑦 = 𝑟(𝑥). 
Explique o gráfico da função 𝑦 = 𝑟(𝑥) no intervalo (2 , +∞) encontrando as principais 
características da curva definida pela equação 𝑦 = −
1
3
(𝑥2 − 8𝑥 + 15): vértice, raízes. 
(2) [0,7] Analisando o gráfico da função 𝑦 = 𝑟(𝑥) , responda na forma de intervalo ou de união 
de intervalos disjuntos (intervalos disjuntos são os que não têm pontos em comum) o seguinte: 
A imagem da função 𝑦 = 𝑟(𝑥). 
Os valores do domínio da função 𝑟 , tais que 𝒓(𝒙) ≥ 𝟎 . 
Os valores do domínio da função 𝑟 , tais que −𝟏 ≤ 𝒓(𝒙) < 𝟎 . 
RESOLUÇÃO: 
(b) 
(1) A função quadrática 𝑦 = −
1
3
(𝑥2 − 8𝑥 + 15) tem como gráfico uma parábola e a concavidade é 
voltada para baixo, pois o coeficiente do termo 𝑥2 é −
1
3
 < 0. 
Buscando as raízes do trinômio do 2º grau 𝑥2 − 8𝑥 + 15 : 
𝑥 = 
8±√(8)2−4.1.15
2.1
 = 
8±√64−60
2
= 
8±√4
2
=
8±2
2
 ⟹ 𝑥 = 3 ou 𝑥 = 5. 
Assim, 𝑦 = −
1
3
(𝑥2 − 8𝑥 + 15) = −
1
3
 (𝑥 − 3)(𝑥 − 5) 
Como as raízes da equação são 𝑥1 = 3 e 𝑥2 = 5 então a abscissa do vértice é 𝑥𝑉 = 
𝑥1+ 𝑥2
2
= 
3+ 5
2
= 4 . 
E assim a ordenada é 𝑦𝑉 = −
1
3
(42 − 8 ∙ 4 + 15) = −
1
3
(16 − 32 + 15) =
1
3
 
Logo, o vértice é o ponto (4 ,
1
3
). 
Pela definição temos que 𝑟(𝑥) = −
1
3
(𝑥2 − 8𝑥 + 15) para 𝑥 > 2. Mas para esboçar corretamente o 
gráfico da função 𝑦 = 𝑟(𝑥) , é importante calcular o valor de 𝑦 = −
1
3
(𝑥2 − 8𝑥 + 15) para 𝑥 = 2 . 
Se 𝑥 = 2 então 𝑦 = −
1
3
(22 − 8 ∙ 2 + 15) = −
1
3
(4 − 16 + 15) = −1. 
O ponto (2 , −1) apareceria então como uma bolinha aberta no gráfico, pois a função 𝑦 = 𝑟(𝑥) , não está 
definida por essa lei para 𝑥 = 2. Só que isso não acontece, pois para 
𝑥 = 2 , 
 𝑟(2) = ℎ(2) = −√ 1 − (2 − 1)2 − 1 =
 −√ 0 − 1 = −1 . Assim o ponto (2 , −1) 
faz parte do gráfico da função 𝑦 = 𝑟(𝑥) . 
O gráfico da função 𝑦 = 𝑟(𝑥) é 
 
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AD 01 – Q2 – 2016-2 – Gabarito Pré-Cálculo 
(2) Analisando o gráfico da função 𝑦 = 𝑟(𝑥) concluímos que: 
 A imagem da função 𝑦 = 𝑟(𝑥) é (−∞ ,
1
3
] . 
 𝑟(𝑥) ≥ 0 ⟺ 𝑥 ∈ [3 , 5] . 
 Para responder quais os valores do domínio da função 𝑟 , tais que – 𝟏 ≤ 𝒓(𝒙) < 𝟎 , 
observamos no gráfico que 𝒓(𝒙) = −𝟏 para 𝒙 = 𝟎 , 𝒙 = 𝟐. Falta encontrar o outro ponto onde 
−
1
3
(𝑥2 − 8𝑥 + 15) = −1. Para isso vamos resolver a equação −
1
3
(𝑥2 − 8𝑥 + 15) = −1: 
−
1
3
(𝑥2 − 8𝑥 + 15) = −1 ⇔ 𝑥2 − 8𝑥 + 15 = 3 ⇔ 𝑥2 − 8𝑥 + 12 = 0 ⇔ 
𝑥 = 
8±√(8)2−4.1.12
2.1
 = 
8±√64−48
2
= 
8±√16
2
=
8±4
2
 ⟹ 𝑥 = 2 ou 𝑥 = 6. 
Logo, 𝑟(𝑥) = −1 
para 𝑥 = 2 e 𝑥 = 6 . 
 
 
 
Assim, – 1 ≤ 𝑟(𝑥) < 0 ⇔ 𝑥 ∈ [2 , 3) ou 𝑥 ∈ (5 , 6] .