2022 2-AP2-PC-Gabarito

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AP2 – 2022-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 1 de 9 
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2022-2 
 Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
AP2 – GABARITO 
Código da disciplina EAD01002 – Cursos: Física, Química, Matemática ANTIGO 
Código da disciplina EAD01082 – Curso: Matemática NOVO 
 
Questão 1 [2,0 pts] Considere a função 𝑓(𝑥) =
1
2
(𝑥3 − 𝑥 ) e a função 𝑦 = 𝑔(𝑥) , cujo gráfico está 
esboçado abaixo. 
 
Observando o gráfico de 𝒚 = 𝒈(𝒙), responda: 
• Qual é o domínio da função 𝑔 [𝐷𝑜𝑚(𝑔)]? 
• Qual é a imagem da função 𝑔 [𝐼𝑚(𝑔)]? 
• Qual é o resultado da análise de sinal da função 𝒈? isto é, responda para que valores do 
 𝐷𝑜𝑚(𝑔), 𝑔(𝑥) = 0 , 𝑔(𝑥) > 0 e 𝑔(𝑥) < 0 
• Esse gráfico tem alguma simetria? Essa função é par? É ímpar? Ou nem par e nem ímpar? 
Justifique! 
• Se possível, calcule (𝑔 ∘ 𝑓)(2) , (𝑓 ∘ 𝑔)(−7) , (𝑔 ∘ 𝑔)(1) , (𝑓 ∘ 𝑔)(−1) . 
Se não for possível calcular, explique por quê. Se for possível calcular, apresente as contas 
para justificar a resposta. 
RESOLUÇÃO: 
 
 
 
AP2 – 2022-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 2 de 9 
Consideremos o gráfico da função 𝑔 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sobre a função 𝒚 = 𝒈(𝒙): 
Projetando o gráfico da função 𝑔 no eixo 𝑥 , encontramos 
 𝑫𝒐𝒎(𝒈) = [−15,−3) ∪ (−3 , 3) ∪ (3 , 15] . 
Projetando o gráfico da função 𝑔 no eixo 𝑦 , encontramos 
𝑰𝒎(𝒈) = [−4 , 6]. 
Estudando o sinal da função 𝒈, através do seu gráfico, concluímos que 
𝑔(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = −6 ou 𝑥 = −2 ou 𝑥 = 2 ou 𝑥 = 6 . 
𝑔(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 ∈ [−15 , −6) ∪ (−6 ,−3) ∪ (−3 ,−2) ∪ (2 , 3) ∪ (3 , 6) ∪ (6 , 15] . 
𝑔(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−2 , 2). 
Observando o gráfico da função 𝑔 vemos que o seu gráfico é simétrico com relação ao eixo 𝑦 . 
Concluímos que a função 𝑔 é uma função par. 
Vamos ao cálculo de (𝑔 ∘ 𝑓)(2) , (𝑓 ∘ 𝑔)(−7) , (𝑔 ∘ 𝑔)(1) , (𝑓 ∘ 𝑔)(−1) , se for possível. 
• (𝑔 ∘ 𝑓)(2) = 𝑔(𝑓(2)) = 𝑔 (
1
2
(23 − 2)) = 𝑔 (
1
2
(8 − 2)) = 𝑔 (
1
2
∙ 6) = 𝑔(3). Não é possível 
calcular 𝑔(3), pois 𝑥 = 3 não pertence ao domínio da função 𝑔 . Logo, não é possível calcular 
(𝑔 ∘ 𝑓)(2) . 
• (𝑓 ∘ 𝑔)(−7) = 𝑓(𝑔(−7)) = 𝑓(2) =
1
2
(23 − 2) =
1
2
(8 − 2) =
1
2
∙ 6 = 3. 
• (𝑔 ∘ 𝑔)(1) = 𝑔(𝑔(1)) = 𝑔(−3). Não é possível calcular 𝑔(−3), pois 𝑥 = −3 não pertence ao 
domínio da função 𝑔 . Logo, não é possível calcular (𝑔 ∘ 𝑔)(1) . 
• (𝑓 ∘ 𝑔)(−1) = 𝑓(𝑔(−1)) = 𝑓(−3) =
1
2
((−3)3 − (−3)) =
1
2
(−27 + 3) =
1
2
(−24) = −12 
 
Questão 2 [2,2 pts] 
AP2 – 2022-2 GABARITO Pré-Cálculo Página 3 de 9 
Considere a função 𝑓(𝑥) = 1 + √𝑥 + 1. 
• Encontre o domínio da função 𝑓. Explique em palavras, transformações (translação, reflexão...) 
que podem ser feitas no gráfico da função 𝑦 = √𝑥 para se chegar ao gráfico da função 𝑓 . Encontre, 
justificando, os pontos em que o gráfico da função 𝑓 toca ou corta os eixos coordenados, quando 
existirem. Esboce o gráfico da função 𝑓 Indique no gráfico as coordenadas das interseções com os 
eixos coordenados. 
Observando o gráfico da função 𝑓 , responda qual é a imagem da função 𝑓 . 
• Explique por que é possível garantir que a função 𝑓: 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ⟶ 𝐼𝑚(𝑓), admite função inversa 
𝑦 = 𝑓−1(𝑥). Encontre a expressão da função inversa 𝑓−1 . Responda qual é o domínio e a imagem 
de 𝑦 = 𝑓−1(𝑥). 
• Esboce, agora, em um mesmo par de eixos coordenados o gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥), da função 
inversa 𝑦 = 𝑓−1(𝑥) e da reta 𝑦 = 𝑥 . Explique a construção do gráfico de 𝑓−1 . Indique nos gráficos 
de 𝑦 = 𝑓(𝑥) e de 𝑦 = 𝑓−1(𝑥) as coordenadas das interseções com os eixos coordenados. 
 
RESOLUÇÃO: 
Para encontrarmos o domínio da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) , precisamos impor que o radicando 𝑥 + 1 seja 
positivo ou nulo: 𝑥 + 1 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ −1 . Portanto, 𝑫𝒐𝒎(𝒇) = [−1 , +∞) = { 𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 ≥ −1}. 
Transformações feitas no gráfico de 𝑦 = √𝑥 para se chegar ao gráfico de 𝑓(𝑥) = 1 + √𝑥 + 1: 
𝑦 = √𝑥 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑑𝑒 1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
⇒ 𝑦 = √𝑥 + 1 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑑𝑒 1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
⇒ 𝑓(𝑥) = 1 + √𝑥 + 1 . 
OU, podemos fazer as seguintes transformações: 
𝑦 = √𝑥 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑑𝑒 1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
⇒ 𝑦 = 1 + √𝑥 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑑𝑒 1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
⇒ 𝑓(𝑥) = 1 + √𝑥 + 1 
 
Interseção do gráfico da função 𝒇 com o eixo 𝒚 . Fazendo 𝑥 = 0 
𝑓(0) = 1 + √0 + 1 = 2. Portanto, o gráfico da função 𝑓 corta o eixo 𝑦 no ponto (0,2). 
Interseção do gráfico da função 𝒇 com o eixo 𝒙. Fazendo 𝑦 = 0: 
0 = 𝑓(𝑥) = 1 + √𝑥 + 1 ⟺ √𝑥 + 1 = −1 . Como √𝑥 + 1 ≥ 0 para todo 𝑥 real, então não existe 
𝑥 real, tal que √𝑥 + 1 = −1 . Portanto o gráfico da função 𝑓 não corta e nem toca o eixo 𝑥. 
Esboçando o gráfico: 
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Observando o gráfico vemos que: 𝑰𝒎(𝒇) = [1 , +∞) = { 𝑦 ∈ ℝ ∶ 𝑦 ≥ 1}. 
Como o gráfico da função 𝑓: [−𝟏 , +∞) ⟶ [𝟏 , +∞) , 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1 atende o Teste da Reta 
Horizontal, ou como para cada valor de 𝑦 só há um valor de 𝑥, ou seja, como a função é injetora então 
ela é invertível. 
Para encontrar a expressão da inversa, vamos resolver em 𝑥 a equação 𝑦 = 1 + √𝑥 + 1. 
𝑦 = 1 + √𝑥 + 1 , 𝑥 ≥ −1 e 𝑦 ≥ 1 ⟺ 𝑦 − 1 = √𝑥 + 1 , 𝑥 ≥ −1 e 𝑦 ≥ 1 ⟺ 
(𝑦 − 1)2 = (√𝑥 + 1 )
2
 , 𝑥 ≥ −1 e 𝑦 ≥ 1 ⟺ (𝑦 − 1)2 = 𝑥 + 1 , 𝑥 ≥ −1 e 𝑦 ≥ 1 
 ⟺ 𝑥 = (𝑦 − 1)2 − 1 , 𝑥 ≥ −1 e 𝑦 ≥ 1 . 
Trocando 𝑥 por 𝑦 : 𝑦 = (𝑥 − 1)2 − 1 , 𝑦 ≥ −1 e 𝑥 ≥ 1 . 
E assim, 𝒇−𝟏(𝒙) = (𝒙 − 𝟏)𝟐 − 𝟏 , 𝒙 ≥ 𝟏 𝐞 𝒚 ≥ −𝟏 . 
Temos que 𝑫𝒐𝒎(𝒇−𝟏) = 𝑰𝒎(𝒇) = [𝟏 , +∞) e 𝑰𝒎(𝒇−𝟏) = 𝑫𝒐𝒎(𝒇) = [−𝟏 , +∞). 
 
O gráfico da função 𝑓−1 é a reflexão do gráfico da função 𝑓 em torno da reta 𝑦 = 𝑥. 
E, de acordo com essa reflexão, como o gráfico da função 𝑓 corta o eixo 𝑦 no ponto (0 , 2), então o 
gráfico da função 𝑓−1 corta o eixo 𝑥 no ponto (2 , 0). E, como o gráfico da função 𝑓 não corta e 
nem toca o eixo 𝑥 , então o gráfico da função 𝑓−1, não corta e nem toca o eixo 𝑦. 
 
 
 
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Questão 3 [1,6 pt] 
Considere a função 𝒉(𝒙) = 𝐥𝐧 (𝟒𝒙𝟐 − 𝟑𝒙), cujo gráfico está 
esboçado ao lado. 
Encontre o domínio da função ℎ . Encontre as abscissas dos 
pontos onde o gráfico da função ℎ corta ou toca o eixo 𝑥. 
Com o que você fez até aqui é possível determinar os valores 
das constantes reais 𝒂 , 𝒃 , 𝒄 indicadas no gráfico. 
Determine esses valores. 
RESOLUÇÃO: 
Determinando o domínio de ℎ(𝑥) = ln(4𝑥2 − 3𝑥) . 
É preciso impor a seguinte restrição: 4𝑥2 − 3𝑥 > 0 . 
Temos que: 4𝑥2 − 3𝑥 > 0 ⟺ 𝑥( 4𝑥 − 3) > 0 . Resolvendo a 
equação 𝑥( 4𝑥 − 3) = 0. 
𝑥( 4𝑥 − 3) = 0 ⟺ 𝑥 = 0 ou 4𝑥 − 3 = 0 ⟺ 
𝑥 = 0 ou 𝑥 =
3
4
 . 
Portanto, 𝑥(4𝑥 − 3) > 0 ⟺ 𝑥 < 0 ou 𝑥 > 
3
4
 . 
Observe o gráfico da parábola 𝑦 = 4𝑥2 − 3𝑥 ao lado. 
Concluímos que 𝑫𝒐𝒎 (𝒉) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 < 0 ou 𝑥 > 
3
4
 } = (−∞ , 0) ∪ ( 
3
4
 , +∞). 
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Conhecendo o domínio, sabemos que 𝒃 =
𝟑
𝟒
 . 
Como 𝑥 = 0 não faz parte do domínio da função ℎ então, o gráfico da função 𝒉 não corta e nem 
toca o eixo 𝒚 . 
Interseção com o eixo 𝒙 : 𝒚 = 𝟎. 
ℎ(𝑥) = ln(4𝑥2 − 3𝑥) = 0 ⟺ 4𝑥2 − 3𝑥 = 1 ⟺ 4𝑥2 − 3𝑥 − 1 =0 
Resolvendo a equação 4𝑥2 − 3𝑥 − 1 = 0 
4𝑥2 − 3𝑥 − 1 = 0 ⟺ 𝑥 =
−(−3)±√(−3)2−4∙4∙(−1)
2∙4
 = 
3±√9+16
8
=
3±5
8
 ⟺ 
 𝑥 =
3−5
8
= −
2
8
= −
1
4
 ou 𝑥 =
3+5
8
= 1 . 
O gráfico da função ℎ corta o eixo 𝑥 nos pontos (−
1
4
 , 0) e (1 , 0). 
Concluímos então que 𝒂 = −
𝟏
𝟒
 𝐞 𝒄 = 𝟏 . 
 
Questão 4 (2,0 pts) Considere 𝑥 ∈ ℝ e 𝑓(𝑥) = 1 + 2 cos(𝑥). 
• Resolva a equação 𝑓(𝑥) = 0 para 𝑥 ∈ [−𝜋 , 𝜋]. Apresente as contas usadas para resolver. 
Indique as soluções no círculo trigonométrico. 
• Resolva a equação 𝑓(𝑥) = 0 para 𝑥 ∈ ℝ. 
• Esboce o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) para 𝑥 ∈ [−𝜋 , 𝜋]. Justifique a construção do gráfico. Indique no 
gráfico as coordenadas das interseções com os eixos coordenados e os pontos (−𝜋, 𝑓(−𝜋)) e 
(𝜋, 𝑓(𝜋)). 
• Observando o gráfico determine a imagem da função 𝑓. 
RESOLUÇÃO 
• Resolução de 𝒇(𝒙) = 𝟎, para 𝒙 ∈ [−𝝅 , 𝝅]. 
𝑓(𝑥) = 0 e 𝑥 ∈ [−𝜋 , 𝜋] ⟺ 1 + 2 cos(𝑥) = 0 e 𝑥 ∈ [−𝜋 , 𝜋] ⟺ 
cos(𝑥) = −
1
2
 e 𝑥 ∈ [−𝜋 , 𝜋] ⟺ 
𝑥 = 𝜋 −
𝜋
3
=
2𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = −𝜋 +
𝜋
3
= −
2𝜋
3
 
Observando-se o círculo trigonométrico ao lado, para 𝑥 ∈ [−𝜋 , 𝜋], 
encontramos as soluções acima. 
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Portanto a solução 𝑆 de 𝑓(𝑥) = 0 e 𝑥 ∈ [−𝜋 , 𝜋] é 𝑆 = {−
2𝜋
3
,
2𝜋
3
} 
• Resolução de 𝒇(𝒙) = 𝟎, para 𝑥 ∈ ℝ 
𝑓(𝑥) = 0 e 𝑥 ∈ ℝ ⟺ 1 + 2 cos(𝑥) = 0 e 𝑥 ∈ ℝ ⟺ cos(𝑥) = −
1
2
 e 𝑥 ∈ ℝ. 
As soluções são os ângulos congruentes aos ângulos encontrados acima, que são: 
𝑥 =
2𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 𝑜𝑢 𝑥 = −
2𝜋
3
+ 2𝑘𝜋 , 𝑘 ∈ ℤ 
• Gráfico de 𝒚 = 𝒇(𝒙) para 𝒙 ∈ [−𝝅 , 𝝅] 
Vamos aplicar a sequência de transformações a partir do gráfico de 𝑦 = cos(𝑥). 
 
 
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 2
→ 
 
 
 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 
 
Para marcar no gráfico os pontos pedidos fizemos o seguinte: 
Interseção com eixo 𝒚 
𝑥 = 0 e 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 1 + 2 cos(𝑥) ⟹ 𝑦 = 𝑓(0) = 1 + 2 cos(0)=1 + 2 ∙ 1 = 3 ⟹ 𝑦 = 3 
Interseção com eixo 𝒙 para 𝑥 ∈ [−𝜋 , 𝜋] 
𝑦 = 0 e 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 1 + 2 cos(𝑥) ⟹ 1 + 2 cos(𝑥) = 0 
Já vimos que 1 + 2 cos(𝑥) = 0 para 𝑥 ∈ [−𝜋 , 𝜋] ⟺ 𝑥 =
2𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 = −
2𝜋
3
. 
Determinação dos pontos (−𝜋, 𝑓(−𝜋)) e (𝜋, 𝑓(𝜋)) 
𝑓(−𝜋) = 1 + 2 cos(−𝜋) = 1 + 2(−1) = −1 ⟹ (−𝜋, 𝑓(−𝜋)) = (−𝜋, −1). 
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𝑓(𝜋) = 1 + 2 cos(𝜋) = 1 + 2(−1) = −1 ⟹ (𝜋, 𝑓(𝜋)) = (𝜋,−1). 
• Imagem de 𝒇 
Observando o gráfico e fazendo a sua projeção no eixo 𝑦 concluímos que a imagem de 𝑓 é: 
 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ ℝ; −1 ≤ 𝑦 ≤ 3} = [−1 , 3]. 
 
Questão 5 (1,1 pt) Considere 𝜃 ∈ ℝ , −
𝜋
2
< 𝜃 <
𝜋
2
 e sen(𝜃) = −
2
3
. 
• Em qual quadrante se encontra o ângulo 𝜃? 
• Calcule cos(𝜃), tan(𝜃) e sen(2𝜃). Apresente todos os cálculos. 
RESOLUÇÃO 
• Determinação do quadrante do ângulo 𝜽 
Dado que sen(𝜃) = −
2
3
, sabemos que sen(𝜃) < 0. Logo 𝜃 está no 3º ou no 4º quadrante (*) 
Dado que −
𝜋
2
< 𝜃 <
𝜋
2
 , sabemos que: 
 −
𝜋
2
< 𝜃 < 0 (𝜃 está no 4º quadrante) OU 𝜃 = 0 (𝜃 está no eixo horizontal) OU 0 < 𝜃 <
𝜋
2
 (𝜃 está 
no 1º quadrante) (**) 
Assim, a única possibilidade comum de (∗) e (∗∗) é 𝜃 está no 4º quadrante. 
• Cálculos de 𝐜𝐨𝐬(𝜽), 𝐭𝐚𝐧(𝜽) e 𝐬𝐞𝐧(𝟐𝜽) 
Cálculo de 𝐜𝐨𝐬(𝜽) 
Da identidade trigonométrica fundamental sen2(𝜃) + cos2(𝜃) = 1 e dado que sen(𝜃) = −
2
3
, 
(−
2
3
)
2
+ cos2(𝜃) = 1 . Resolvendo essa equação: 
(−
2
3
)
2
+ cos2(𝜃) = 1 ⟺ 
4
9
+ cos2(𝜃) = 1 ⟺ cos2(𝜃) = 1 −
4
9
 ⟺ cos2(𝜃) =
5
9
 
⟺ cos(𝜃) = ±√
5
9
= ±
√5
3
 
Como 𝜃 está no 4º quadrante, sabemos que cos(𝜃) > 0. 
De cos(𝜃) = ±
√5
3
 e cos(𝜃) > 0 concluímos que 𝐜𝐨𝐬(𝜽) =
√𝟓
𝟑
. 
Cálculo de 𝐭𝐚𝐧(𝜽) 
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Da identidade trigonométrica tan(𝜃) =
sen(𝜃)
cos(𝜃)
 e como já temos sen(𝜃) = −
2
3
 e cos(𝜃) =
√5
3
, 
obtemos: tan(𝜃) =
− 
2
3
√5
3
= −
2
√5
= −
2√5
5
 
Portanto 𝐭𝐚𝐧(𝜽) = −
𝟐√𝟓
𝟓
 
Cálculo de 𝐬𝐞𝐧(𝟐𝜽) 
Da identidade trigonométrica sen(2𝜃) = 2 sen(𝜃) cos(𝜃) e como já temos sen(𝜃) = −
2
3
 e 
cos(𝜃) =
√5
3
, obtemos: sen(2𝜃) = 2 (−
2
3
) (
√5
3
) = −
4√5
9
 
Portanto 𝐬𝐞𝐧(𝟐𝜽) = −
𝟒√𝟓
𝟗
 
 
Questão 6 (1,1 pt) Considere 𝑥 ∈ ℝ e 𝑔(𝑥) = arccos(2𝑥 − 3) 
• Encontre o domínio da função 𝑔. 
• Calcule, se possível, 𝑔(0) e 𝑔 (
3
2
). Se for possível calcular, apresente as contas. Se não for 
possível calcular, justifique. 
RESOLUÇÃO 
• Determinação do domínio da função 𝑔. 
Para a função 𝑓(𝑥) = arccos(𝑥) o domínio de 𝑓 [𝐷𝑜𝑚 (𝑓)] é o intervalo [−1 , 1], ou seja, 
𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [−1 , 1] se e só se −1 ≤ 𝑥 ≤ 1. 
Para a função 𝑔(𝑥) = arccos(2𝑥 − 3), devemos substituir 𝑥 por 2𝑥 − 3. 
𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) se e só se −1 ≤ 2𝑥 − 3 ≤ 1. Resolvendo: 
−1 ≤ 2𝑥 − 3 ≤ 1 ⟺ 2 ≤ 2𝑥 ≤ 4 ⟺ 1 ≤ 𝑥 ≤ 2 
Portanto 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = [1 , 2]. 
• 0 não está no domínio de g, não é possível calcular 𝑔(0) 
De outra forma, 𝑔(0) = arccos(2 ∙ 0 − 3) = arccos(−3) não é possível calcular pois −3 ∉ [−1 , 1]. 
𝑔 (
3
2
) = arccos (2 ∙
3
2
− 3) = arccos(0) =
𝜋
2
 . 
Sabemos que arccos(0) =
𝜋
2
 porque cos (
𝜋
2
) = 0 e 
𝜋
2
∈ [0 , 𝜋], que é considerado o intervalo de 
inversão da função 𝑦 = cos(𝑥).