AP 2019

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AP1 – 2019-1 – GABARITO Pré-Cálculo 
 
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CEDERJ 
Gabarito da Avaliação Presencial 1 
Pré-Cálculo 
 
Considere nas questões 1, 2 e 3, 
a função 𝑠(𝑥) = |𝑥| e a função 𝑦 = 𝑔(𝑥) , cujo 
gráfico é uma translação horizontal de 2 unidades 
para a esquerda do gráfico da função 𝑦 = 𝑠(𝑥) , 
seguido de uma translação vertical de 3 unidades 
para baixo. 
O gráfico da função 𝑦 = 𝑔(𝑥) está esboçado ao lado. 
 
Questão 1 (0,8 ponto) Esboce o gráfico da função 𝑠(𝑥) = |𝑥|. 
 Escreva a expressão da função 𝑦 = 𝑔(𝑥). 
RESOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 
𝑠(𝑥) = |𝑥| 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑑𝑒 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
⇒ 𝑦 = |𝑥 + 2| 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑑𝑒 3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
⇒ 𝑔(𝑥) = |𝑥 + 2| − 3 
 
Questão 2 (0,8 ponto) Encontre os pontos 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 , 𝐷 indicados no gráfico da função 𝑦 = 𝑔(𝑥). 
RESOLUÇÃO: 
Os pontos 𝐴 e 𝐵 são os pontos onde o gráfico corta o eixo 𝑥 , ou seja os pontos onde 𝑦 = 0 : 
0 = |𝑥 + 2| − 3 ⟺ |𝑥 + 2| = 3 ⟺ 𝑥 + 2 = −3 ou 𝑥 + 2 = 3 ⟺ 𝑥 = −5 ou 𝑥 = 1 
Portanto, 𝐴(−5, 0) e 𝐵(1, 0). 
O ponto 𝐶 é o ponto onde o gráfico corta o eixo 𝑦 , ou seja o ponto onde 𝑥 = 0 : 
𝑔(0) = |0 + 2| − 3 = 2 − 3 = −1. 
Portanto, 𝐶(0, −1). 
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Analisando as transformações no gráfico da função 𝑠(𝑥) = |𝑥| , que levaram ao gráfico da função 
𝑔(𝑥) = |𝑥 + 2| − 3, vemos que o ponto 𝐷, é o ponto 𝐷(−2 , −3) , que é o resultado das 
transformações no ponto 𝑂(0 , 0) do gráfico da função 𝑠(𝑥) = |𝑥| . 
Assim temos, 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 3 (0,8 ponto) Responda qual é a imagem da função 𝑦 = 𝑔(𝑥) e o intervalo do domínio em 
que a função é crescente. 
Responda qual é a imagem da função 𝑦 = 𝑔(𝑥) e o intervalo do domínio em que a função é crescente. 
RESOLUÇÃO: 
Observando o gráfico da função 𝑦 = 𝑔(𝑥) e os pontos encontrados na questão 2, vemos que 
 Im( 𝑔) = [−3 , +∞) e que a função é crescente no intervalo [−2 , +∞) 
 
Considere nas questões 4 e 5, a função 𝑓(𝑥) = √
4−𝑥2
 (𝑥−1)2 
. 
 
Questão 4 (1,6 pontos) Encontre o domínio da função 𝑦 = 𝑓(𝑥). Para isso analise o sinal da expressão 
 
4−𝑥2
 (𝑥−1)2 
 . Deixe as suas justificativas escritas! 
RESOLUÇÃO: 
Para encontrar o domínio da função 𝑓 é preciso que: 
• O radicando 
4−𝑥2
 (𝑥−1)2 
 seja positivo ou nulo. 
• O denominador (𝑥 − 1)2 seja diferente de zero. 
Logo, precisamos saber quando 
4−𝑥2
 (𝑥−1)2 
≥ 0 e (𝑥 − 1)2 ≠ 0 
Temos que : 
• (𝑥 − 1)2 ≠ 0 ⟺ 𝑥 − 1 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 1 
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• 
4−𝑥2
 (𝑥−1)2 
= 0 ⟺ 4 − 𝑥2 = 0 ⟺ 𝑥2 = 4 ⟺ 𝑥 = −2 ou 𝑥 = 2 
• Para saber quando 
4−𝑥2
 (𝑥−1)2 
 > 0 , vamos justificar os sinais de cada linha que usaremos na tabela 
de sinais: 
 (𝑥 − 1)2 > 0 para ∀ 𝑥 ∈ ℝ , 𝑥 ≠ 1 , porque qualquer número real não nulo elevado a 
um número par é positivo. 
4 − 𝑥2 > 0 ⟺ −2 < 𝑥 < 2 , porque o coeficiente de 𝑥2 é negativo (parábola com 
concavidade para baixo). 
 
 (−∞,−2) −2 (−2 , 1) 1 (1 , 2) 2 (2,∞) 
4 − 𝑥2 − 0 + + + 0 − 
(𝑥 − 1)2 + + + 0 + + + 
4−𝑥2
 (𝑥−1)2 
 − 0 + 𝑛𝑑 + 0 − 
 
Assim, 
4−𝑥2
 (𝑥−1)2 
≥ 0 e (𝑥 − 1)2 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ∈ [−2 , 1) ∪ (1 , 2] . 
Logo, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [−2 , 1) ∪ (1 , 2] . 
 
Questão 5 (0,9 ponto) Sabendo que a função ℎ(𝑥) =
1
𝑥−1
, calcule, se possível, 𝑓 (ℎ (
2
3
)) e ℎ(𝑓(0)). 
Quando não for possível calcular, justifique. 
RESOLUÇÃO: 
ℎ (
2
3
) =
1
2
3
−1
=
1
−
1
3
= −3 ∉ 𝐷𝑜𝑚 (𝑓). Portanto, não é possível calcular 𝑓 (ℎ (
2
3
)). 
Outra justificativa é: 𝑓 (ℎ (
2
3
)) = 𝑓 (
1
2
3
−1
) = 𝑓 (
1
−
1
3
) = 𝑓(−3) = √
4−(−3)2
 (−3−1)2 
= √
4−9
 (−4)2 
= √
−5
 16
. 
Como não existe raiz quadrada de número negativo não é possível calcular 𝑓 (ℎ (
2
3
)). 
0 ∈ 𝑑𝑜𝑚(𝑓) ⟹ 𝑓(0) = √
4−(0)2
 (0−1)2 
= √
4
1
= 2 ⟹ ℎ(𝑓(0)) = ℎ(2) =
1
2−1
= 1. 
 
 
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Considere nas questões 6, 7 e 8, 
a função 𝑝(𝑥) = 2𝑥3 − 5𝑥2 + 12𝑥 − 5 e 𝑟(𝑥) = 
𝑝(𝑥)
 2𝑥−1 
 
 
Questão 6 (1,0 ponto) Sabendo que 𝒙 =
𝟏
𝟐
 é raiz do polinômio 𝑝(𝑥) = 2𝑥3 − 5𝑥2 + 12𝑥 − 5, fatore 
esse polinômio em ℝ , isto é, escreva 𝑝(𝑥) como um produto de fatores lineares (tipo 𝑎𝑥 + 𝑏) e/ou 
fatores quadráticos irredutíveis (tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, que não possui raízes reais). Justifique sua 
fatoração, mostrando como encontrou as raízes desse polinômio, apresente as contas que o levou à 
fatoração apresentada. Sem isso, a questão não será considerada. 
RESOLUÇÃO: 
Verificando que 𝑥 =
 1 
2
 é raiz de 𝑝(𝑥) = 2𝑥3 − 5𝑥2 + 12𝑥 − 5 , 
𝑝 (
1
2
) = 2 (
1
2
)
3
− 5(
1
2
)
2
+ 12 (
1
2
) − 5 =
2
8
−
5
4
+ 6 − 5 =
1
4
−
5
4
+ 1 = 0. 
Logo 
1
2
 é uma raiz de 𝑝(𝑥). 
Podemos usar o algoritmo de Briot-Ruffini para dividir 𝑝(𝑥) por 𝑥 −
1
2
 . 
 2 −5 12 −5 
1
2
 2 
 2 ∙
1
2
− 5
= 1 − 5
= −4 
 −4 ∙
1
2
+ 12
= −2 + 12
= 10 
 10 ∙
1
2
− 5
= 5 − 5 
= 0 
Portanto, 
 𝑝(𝑥) = (𝑥 −
1
2
) (2𝑥2 − 4𝑥 + 10) = 2 (𝑥 −
1
2
) (𝑥2 − 2𝑥 + 5) = (2𝑥 − 1)(𝑥2 − 2𝑥 + 5) 
Buscando as raízes do trinômio do 2º grau 𝑥2 − 2𝑥 + 5 : 
O discriminante ∆= (−2)2 − 4.1.5 < 0 , então o trinômio do segundo grau 𝑥2 − 2𝑥 + 5 é 
irredutível em ℝ . 
Portanto, a fatoração do polinômio 𝑝(𝑥) é: 
 𝑝(𝑥) = (𝑥 −
1
2
) (2𝑥2 − 4𝑥 + 10) = 2 (𝑥 −
1
2
) (𝑥2 − 2𝑥 + 5) = (2𝑥 − 1)(𝑥2 − 2𝑥 + 5) . 
 
Questão 7 (0,7 ponto) Simplifique 
𝑝(𝑥)
 2𝑥−1
 e verifique que 𝑟(𝑥) simplificada é uma função 
quadrática, cujo gráfico é uma parábola. Utilizando completamento de quadrados, escreva essa 
função quadrática na forma canônica. A partir dessa forma encontre o vértice dessa parábola. 
Justifique suas respostas apresentando as contas feitas para essa resolução. 
Atenção: a questão só será pontuada se o vértice for encontrado e justificado através da forma 
canônica. 
Lembre que a forma canônica de uma função quadrática é 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘 , onde 
𝑎 , ℎ , 𝑘 são constantes reais. 
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RESOLUÇÃO: 
Da Questão 1, temos que 𝑟(𝑥) = 
𝑝(𝑥)
2𝑥−1
= 
(2𝑥−1)(𝑥2−2𝑥+5)
2𝑥−1
 . Logo, 
𝑟(𝑥) = 
𝑝(𝑥)
2𝑥−1
= 
(2𝑥−1)(𝑥2−2𝑥+5)
 2𝑥−1
 = 𝑥2 − 2𝑥 + 5 , para 𝑥 ≠
 1 
2
 
Completando o quadrado em 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 5 : 
𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 5 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 − 1 + 5 = (𝑥 − 1)2 + 4. 
Temos que 𝑦 = (𝑥 − 1)2 + 4 é a forma canônica da função quadrática 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 5 
Portanto o vértice dessa parábola é o ponto 𝑉(1 , 4). 
 
Questão 8 (1,4 pontos) Encontre o domínio 𝑫 da função 𝑦 = 𝑟(𝑥) =
𝑝(𝑥)
 2𝑥−1
. O gráfico da função 𝑦 =
𝑟(𝑥) é uma parábola, menos um ponto, quais são as coordenadas desse ponto?. Esboce o gráfico da 
função 𝑦 = 𝑟(𝑥). Indique no gráfico os pontos onde esse gráfico corta os eixos coordenados, quando 
existirem. Justifique! Determine a imagem de 𝑦 = 𝑟(𝑥) . 
RESOLUÇÃO: 
O domínio da função 𝑟 exige que o denominador 2𝑥 − 1 seja diferente de zero e 
2𝑥 − 1 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 
1
2
 . Portanto, o domínio de 𝑦 = 𝑟(𝑥) é: 𝑫𝒐𝒎(𝒓) = (−∞ ,
1
2
 ) ∪ (
1
2
 , +∞) . 
Usando a simplificação da questão 2, para 𝑥 ≠ 
1
2
 , 𝑟(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 5 . 
 O gráfico da função , 𝑟(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 5 , 𝑥 ≠ 
1
2
 é uma parábola menos um ponto, o ponto de 
abscissa 𝑥 = 
1
2
. 
Fazendo 𝑥 =
1
2
 em 𝑟(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 5 , temos 𝑟 (
1
2
) = (
1
2
)
2
− 2(
1
2
) + 5=
1
4
− 1 + 5 =
 17 
4
 . 
Portanto, o ponto (
1
2
 ,
 17 
4
) não pertence ao gráfico da função 𝑟 . 
A parábola definida pela equação quadrática 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 5 = (𝑥 − 1)2 + 4 tem concavidade 
voltada para cima, pois o coeficiente do termo 𝑥2 é positivo. 
Fazendo 𝑥 = 0 em 𝑟(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 5 , 𝑥 ≠ 
1
2
 , temos que, 𝑟(0) = 02 − 2.0 + 5 = 5 
Assim, o gráfico da função 𝑟 corta o eixo 𝑦 no ponto (0 , 5). 
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O gráfico da função 𝑟 não corta o eixo 𝑥 pois, 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 5 não tem raízes reais e tem 
concavidade voltada para cima. 
Observando o gráfico, vemos que 
Im(𝑟) = [4 , +∞) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 9 (1,0 ponto) Marque o ângulo 
14𝜋
3
 𝑟𝑎𝑑 no círculo trigonométrico e calcule sen (
14𝜋
3
). 
RESOLUÇÃO: 
14𝜋
3
=
12𝜋+2𝜋
3
= 4𝜋 +
2𝜋
3
= 2 ∙ 2𝜋 +
2𝜋
3
≡
2𝜋
3
, 
14𝜋
3
≡
2𝜋
3
 é o ângulo do segundo quadrante, marcado no círculo. 
Usando congruência de ângulos, sen(𝜃 + 2𝑘𝜋) = sen(𝜃) , 𝑘 ∈ ℤ, 
sen (
14𝜋
3
) = sen (
2𝜋
3
). 
 
Usando simetria com o ângulo 
𝜋
3
, visualizado no círculo ao lado, 
sen (
14𝜋
3
) = sen (
2𝜋
3
) = sen (
𝜋
3
) =
√3
2
. 
Portanto, sen (
14𝜋
3
) =
√3
2
. 
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Outra resolução, passando para graus, 
𝜋 𝑟𝑎𝑑 ↔ 180° 
14𝜋
3
𝑟𝑎𝑑 ↔ 𝑥° 𝑥 =
14𝜋
3
 ∙180
𝜋
= 14 ∙ 60 = 840 
14𝜋
3
𝑟𝑎𝑑 ↔ 840 ° = 2 ∙ 360° + 120° ≡ 120° é um 
ângulo do segundo quadrante, marcado ao lado. 
Usando congruência de ângulos, sen(840°) = sen(120°). 
Usando simetria com o ângulo de 60°, visualizado no círculo ao 
lado, sen(840°) = sen(120°) = sen(60°) =
√3
2
. 
 
Questão 10 (1,0 ponto) Sabendo que sen(𝜃) =
1
5
 e 𝜃 é um ângulo do segundo quadrante, calcule 
cos(𝜃) e sen(2𝜃). 
RESOLUÇÃO: 
Substituindo sen(𝜃) =
1
5
 na identidade trigonométrica fundamental sen2 𝜃 + cos2 𝜃 = 1, 
(
1
5
)
2
+ cos2 𝜃 = 1 ⟺ cos2 𝜃 = 1 −
1
25
=
24
25
 ⟺ cos 𝜃 = ±√
24
25
= ±
√4×6
5
= ±
2√6
5
 . 
Dado que 𝜃 é um ângulo do segundo quadrante, sabemos que cos 𝜃 < 0. 
Portanto, cos 𝜃 = −
2√6
5
. 
Para calcular sen(2𝜃), podemos substituir os valores de sen(𝜃) e cos 𝜃 em uma das identidades: 
sen(2𝜃) = 2 sen 𝜃 cos 𝜃 ou sen(2𝜃) = sen(𝜃 + 𝜃) = sen 𝜃 cos 𝜃 + sen 𝜃 cos 𝜃. 
Assim, sen(2𝜃) = 2 ∙
1
5
∙
−2√6
5
= −4
√6
25
 . Portanto sen(2𝜃) = −4
√6
25
. 
 
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Questão 1 [1,2] Considere o polinômio 𝑝(𝑥) = −2𝑥3 + 𝑥2 − 3𝑥 − 2. Esse polinômio tem uma raiz 
racional não inteira, encontre essa raiz . Para justificar sua resposta, deixe escritas as suas contas. 
Fatore o polinômio 𝑝(𝑥) em ℝ , isto é, escreva 𝑝(𝑥) como um produto de fatores lineares (tipo 𝒂𝒙 + 𝒃) 
e/ou fatores quadráticos irredutíveis (tipo 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙+ 𝒄, que não possui raízes reais). Justifique sua 
fatoração, mostrando como encontrou as raízes desse polinômio, apresente as contas que o levou à 
fatoração apresentada. Sem isso, a questão não será considerada. 
RESOLUÇÃO: 
As possíveis raízes racionais de 𝑝(𝑥) = −2𝑥3 + 𝑥2 − 3𝑥 − 2 são os divisores de −2, o termo 
independente, que são ±1 , ±2 , divididos pelos divisores do coeficiente do termo de maior grau, −2 , que 
são ±1 ,±2 . 
Assim, as possíveis raízes racionais de 𝑝(𝑥) = −2𝑥3 + 𝑥2 − 3𝑥 − 2 são: 
±1 , ±2 , ±
1
2
 . 
Verificando se 𝑥 = −
1
2
 é raiz de 𝑝(𝑥) : 
𝑝 (−
1
2
) = −2 ∙ (−
1
2
)
3
+ (−
1
2
)
2
− 3 ∙ (−
1
2
) − 2 = −2 ∙ (−
1
8
) + 
1
4
 + 
3
2
− 2 = 
 = 
1
4
 + 
1
4
 + 
3
2
 − 2 = 
1
2
 + 
3
2
− 2 = 2 − 2 = 0. 
Como 𝑝 (−
1
2
) = 0 , então 𝑥 = −
1
2
 é raiz de 𝑝(𝑥). 
Encontrando 𝑥 = −
1
2
 como raiz de 𝑝(𝑥) , podemos dividir 𝑝(𝑥) = −2𝑥3 + 𝑥2 − 3𝑥 − 2 
por 𝑥 − (−
1
2
 ) = 𝑥 +
1
2
 , usando, por exemplo, o dispositivo de Briot Ruffini: 
Assim, 
𝑝(𝑥) = (𝑥 +
1
2
) (−2𝑥2 + 2𝑥 − 4) = −2(𝑥 +
1
2
) (𝑥2 − 𝑥 + 2). 
Analisando o trinômio do segundo grau 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 + 2 , observamos que o discriminante 
∆ = (−1)2 − 4 ∙ 1 ∙ 2 = −7 < 0 , concluímos, portanto, que este trinômio não admite raízes reais. 
E assim, 𝑝(𝑥) se fatora em ℝ da seguinte forma: 
𝑝(𝑥) = (𝑥 +
1
2
) (−2𝑥2 + 2𝑥 − 4) ou 𝑝(𝑥) = −2(𝑥 +
1
2
) (𝑥2 − 𝑥 + 2) ou 
𝑝(𝑥) = −(2𝑥 + 1)(𝑥2 − 𝑥 + 2) 
 
 −2 1 −3 −2 
−
1
2
 
−2 
−2 ∙ (−
1
2
) + 1
= 2 
2 ∙ (−
1
2
) − 3 = 
−4 
−4 ∙ (−
1
2
) − 2 = 
0 
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Questão 2 [1,5] Considere a função 𝑟(𝑥) =
√𝑥2+𝑥−2 
(𝑥−3)∙(−𝑥2+2𝑥−3)
. 
Encontre o domínio da função 𝑦 = 𝑟(𝑥) . Dê a resposta na forma de intervalo e/ou de união de intervalos 
disjuntos (intervalos que não têm pontos em comum). 
RESOLUÇÃO: 
Para que 𝑟(𝑥) possa ser calculada é preciso que: 
▪ o radicando seja positivo ou nulo, 𝑥2 + 𝑥 − 2 ≥ 0 
▪ o denominador seja diferente de zero, (𝑥 − 3) ∙ (−𝑥2 + 2𝑥 − 3) ≠ 0. 
Resolvendo as restrições: 
▪ Vamos encontrar, se possível, as raízes do trinômio 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 − 2. 
Δ = 12 − 4 ∙ 1 ∙ (−2) = 1 + 8 = 9 > 0, 
logo o trinômio possui duas raízes reais distintas que são as abscissas dos pontos onde o gráfico, que 
é uma parábola, corta o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥. 
Determinando as raízes, 𝑥 =
−1±√12−4∙1∙(−2)
2∙1
=
−1±√9
2
=
−1±3
2
. 
Logo 𝑥1 =
−4
2
= −2 e 𝑥2 =
2
2
= 1. 
Como o coeficiente do termo 𝑥2, 𝑎 = 1 > 0, a parábola tem concavidade para cima e assim 𝑥2 +
𝑥 − 2 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≤ −2 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 1 . 
▪ (𝑥 − 3) ∙ (−𝑥2 + 2𝑥 − 3) ≠ 0 ⟺ 𝑥 − 3 ≠ 0 e − 𝑥2 + 2𝑥 − 3 ≠ 0 . 
Temos que: 
✓ 𝑥 − 3 = 0 ⟺ 𝑥 = 3 . 
✓ O discriminante do trinômio do segundo grau 𝒚 = −𝑥2 + 2𝑥 − 3 é 
Δ = 22 − 4 ∙ (−1) ∙ (−3) = 4 − 12 = −8 < 0. Portanto, como o coeficiente do termo 𝑥2, 𝑎 =
−1 < 0, a parábola tem concavidade para baixo e não tem raízes reais. Assim 𝑥2 + 𝑥 − 2 < 0 para 
todo 𝑥 ∈ ℝ e, portanto 𝑥2 + 𝑥 − 2 ≠ 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ. 
Portanto, 
𝑥 − 3 ≠ 0 e − 𝑥2 + 2𝑥 − 3 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 3 
Logo, 
𝑫𝒐𝒎(𝒓) = [𝑥 ≤ −2 ou 𝑥 ≥ 1] e [ 𝑥 ≠ 3 ] = 
 𝑥 ≤ −2 ou (𝑥 ≥ 1 e 𝑥 ≠ 3) = (−∞ , −2] ∪ [1 , 3) ∪ (3 , + ∞) . 
 
 
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Nas questões 3 a 5, considere o trinômio do segundo grau 𝐸(𝑥) = −2𝑥2 + 4𝑥 + 6 e a função 
 𝑓(𝑥) = −4𝑥 + 6 . 
Questão 3 [1,0] Use o método de completar quadrado para determinar o vértice 𝐴(𝑥𝑉 , 𝑦𝑉) da 
parábola que representa o gráfico de 𝐸(𝑥) . Dê a concavidade da parábola. Usando a forma canônica de 
𝐸(𝑥), calcule se possível as suas raízes. Encontre a interseção dessa parábola com o eixo 𝒚. 
RESOLUÇÃO: 
Completando o quadrado: 
𝐸(𝑥) = −2𝑥2 + 4𝑥 + 6 = −2(𝑥2 − 2𝑥) + 6 = −2(𝑥2 − 2 ∙ 1 ∙ 𝑥 + 1 − 1) + 6 = 
= −2(𝑥2 − 2 ∙ 1 ∙ 𝑥 + 1) + 2 + 6 = −2(𝑥 − 1)2 + 8. 
𝐴(𝑥𝑉 , 𝑦𝑉) = (ℎ, 𝑘) e pela equação na forma canônica, ℎ = 1 e 𝑘 = 8 . Logo 𝐴(1 , 8). 
Concavidade: como 𝑎 = −2 < 0, a parábola tem concavidade para baixo. 
Calculando as raízes: 
𝐸(𝑥) = −2(𝑥 − 1)2 + 8 = 0 ⟺ 2(𝑥 − 1)2 = 8 ⟺ (𝑥 − 1)2 = 4 ⟺ 
 𝑥 − 1 = ±2 ⟺ 𝑥 = 1 ± 2 ⟺ 𝑥 = −1 ou 𝑥 = 3 . 
Interseção com o eixo 𝒚 : 
Fazendo 𝑥 = 0 temos 𝑦 = −2 ∙ 02 + 4 ∙ 0 + 6 = 6. Logo a interseção com o eixo 𝑦 é: (0 ,6). 
 
Questão 4 [1,3] Encontre as interseções do gráfico da função 𝑓(𝑥) = −4𝑥 + 6 com os eixos coordenados. 
Esboce, em um mesmo par de eixos, o gráfico da função 𝑓(𝑥) = −4𝑥 + 6 e, usando as informações obtidas 
na questão 3, a parábolaque representa o gráfico da função 𝐸(𝑥) = −2𝑥2 + 4𝑥 + 6. Indique nos dois 
gráficos as interseções com os eixos coordenados e o vértice da parábola. 
Encontre os pontos de interseção da parábola que representa o gráfico de 𝐸(𝑥) com o gráfico da função 𝑓. 
Marque esses pontos nos gráficos. 
RESOLUÇÃO: 
Buscando as interseções do gráfico da função 𝑓 com os eixos coordenados. 
Interseção com o eixo 𝒚 : fazendo 𝑥 = 0 temos 𝑦 = 𝑓(0) = −4 ∙ 0 + 6 = 6 . Logo a interseção com o 
eixo 𝑦 é o ponto: (0 ,6). 
Interseção com o eixo 𝒙 : fazendo 𝑦 = 0 temos: 
0 = −4𝑥 + 6 ⟺ 4𝑥 = 6 ⟺ 𝑥 =
6
4
 =
3
2
 . Logo a interseção com o eixo 𝑥 é o ponto: (
3
2
, 0). 
Interseção da parábola que representa o gráfico de 𝑬(𝒙) com o gráfico da função 𝒇. 
𝐸(𝑥) = −2𝑥2 + 4𝑥 + 6 = −4𝑥 + 6 = 𝑓(𝑥) ⟺ −2𝑥2 + 4𝑥 + 6 = −4𝑥 + 6 ⟺ 
−2𝑥2 + 8𝑥 = 0 ⟺ 2𝑥(−𝑥 + 4) = 0 ⟺ 2𝑥 = 0 𝑜𝑢 − 𝑥 + 4 = 0 ⟺ 
 𝑥 = 0 ou 𝑥 = 4 . 
Fazendo 𝑥 = 0 , na função 𝑓(𝑥) = −4𝑥 + 6 , temos 
𝑓(0) = −4 ∙ 0 + 6 = 6. Assim, um dos pontos de interseção é (𝟎 , 𝟔). 
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P á g i n a 4 de 7 
 
Fazendo 𝑥 = 4 , na função 𝑓(𝑥) = −4𝑥 + 6: 
𝑓(4) = −4 ∙ 4 + 6 = −16 + 6 = −10 . Assim, o outro ponto de interseção é (𝟒 , −𝟏𝟎) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 5 [0,4] Observando os gráficos esboçados na questão 4, responda para quais valores de 𝑥 , 
𝐸(𝑥) > 𝑓(𝑥) e para quais valores de 𝑥 , 𝐸(𝑥) < 𝑓(𝑥) . Dê a resposta na forma de intervalo e/ou de união 
de intervalos disjuntos (intervalos que não têm pontos em comum). 
RESOLUÇÃO: 
Observando o gráfico temos que 
𝐸(𝑥) > 𝑓(𝑥) ⟺ 𝑥 ∈ (0 , 𝟒) e 𝐸(𝑥) < 𝑓(𝑥) ⟺ 𝑥 ∈ (−∞, 0) ∪ (4, +∞). 
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Nas questões 6 a 9 considere as funções 𝑓(𝑥) = 3 − |𝑥 + 1| e 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 2. 
Questão 6 [1,2] Dê o domínio da função 𝑓 e usando transformações em gráficos a partir da 
função 𝑦 = |𝑥|, esboce o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 3 − |𝑥 + 1|. Descreva as transformações que 
usou ou esboce os gráficos usados até encontrar o gráfico pedido. Determine e indique no gráfico, 
se existirem, as coordenadas dos pontos de interseção com o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 e com o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦. 
RESOLUÇÃO 
A função modular é definida para todos os reais, logo não há restrição para o domínio de 𝑓. 
Portanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ = (−∞,∞). 
Uma possível sequência de transformações nos gráficos, até encontrar o gráfico pedido, é: 
𝑦 = |𝑥| 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
𝑑𝑒 1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
→ 𝑦 = |𝑥 + 1| 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 𝑦 = −|𝑥 + 1| 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
𝑑𝑒 3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 𝑦 = 3 − |𝑥 + 1| 
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OBSERVAÇÃO: há outras possíveis sequências de transformações até encontrar o gráfico pedido. 
Ou, esboçando os gráficos até encontrar o gráfico pedido, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinando a interseção com o eixo 𝒚: 𝑥 = 0, logo 𝑦 = 3 − |0 + 1| = 3 − 1 = 2 
Logo a ordenada na interseção com o eixo 𝑦 é: 𝑦 = 2. 
Determinando a interseção com o eixo 𝒙: 𝑦 = 0, logo 3 − |𝑥 + 1| = 0. 
Resolvendo, 
3 − |𝑥 + 1| = 0 ⟺ |𝑥 + 1| = 3 𝑥 + 1 = 3 𝑜𝑢 𝑥 + 1 = −3 
⟺ 𝑥 = 3 − 1 𝑜𝑢 𝑥 = −3 − 1 ⟺ 𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥 = −4. 
Logo as abscissas na interseção com o eixo 𝑥 são: 𝑥1 = 2 e 𝑥2 = −4. 
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Questão 7 [1,0] Determine o domínio da função 𝑔 e esboce o gráfico dessa função usando 
uma transformação a partir do gráfico de 𝑦 = √𝑥. Para justificar a construção do gráfico, esboce o 
gráfico de 𝑦 = √𝑥 e descreva a transformação para obter o gráfico de 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 2. Encontre e 
indique no gráfico de 𝑦 = 𝑔(𝑥), se existirem, as coordenadas das interseções do gráfico da função 
com o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 e com o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦. Observando o gráfico da função 𝑔, encontre a sua imagem. 
RESOLUÇÃO 
A restrição do domínio é: 𝑥 − 2 ≥ 0. Resolvendo, 𝑥 − 2 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ 2. 
Portanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ 2} = [2,∞). 
𝑦 = √𝑥 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
𝑑𝑒 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
→ 𝑦 = 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 2 
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Marcamos dois pontos no gráfico de 𝑦 = √𝑥, por exemplo, (0, √0) = (0, 0) e (1, √1) = (1, 1). 
Determinando a interseção do gráfico de g com o eixo 𝒚: 𝑥 = 0, 
Como 0 ∉ [0,∞) = 𝐷𝑜𝑚(𝑔), o gráfico não intersecta o eixo 𝑦. 
Determinando a interseção do gráfico de g com o eixo 𝒙: 𝑦 = 0 , logo √𝑥 − 2 = 0. 
Resolvendo, 
√𝑥 − 2 = 0 ⟺ 𝑥 − 2 = 0 ⟺ 𝑥 = 2. 
Logo a abscissa na interseção do gráfico com o eixo 𝑥 é 𝑥 = 2. 
Marcamos mais um ponto do gráfico de g, por exemplo, (3, √3 − 2) = (3, √1) = (3, 1). 
Pelo gráfico, a imagem da função 𝑔 é: 𝐼𝑚(𝑔) = [0,∞). 
 
Questão 8 [1,3] Observando os gráficos das funções 𝑓 e 𝑔, esboce o gráfico da função 
ℎ(𝑥) = {
3 − |𝑥 + 1| 𝑠𝑒 − 4 ≤ 𝑥 ≤ 2
√𝑥 − 2 𝑠𝑒 2 < 𝑥 ≤ 4
. 
Observando o gráfico da função ℎ, dê a sua imagem e responda para quais valores do domínio a 
função é crescente. 
RESOLUÇÃO 
Vamos encontrar pontos importantes do gráfico. 
ℎ(−4) = 3 − |−4 + 1| = 3 − |−3| = 3 − 3 = 0. 
Logo podemos marcar o ponto (−4, 0) do gráfico de ℎ. 
ℎ(2) = 3 − |2 + 1| = 3 − |3| = 3 − 3 = 0. 
Logo podemos marcar o ponto (2, 0) do gráfico de ℎ. 
Entre os pontos (−4, 0) e (2, 0), repetimos o gráfico de 𝑓, encontrado na questão 6. 
Fazendo 𝑥 = 2 vamos calcular o valor de 𝑦 na equação 𝑦 = √𝑥 − 2 para ver qual seria o valor da 
função ℎ se em 𝑥 = 2, a função ℎ fosse definida por 𝑦 = √𝑥 − 2. 
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Se 𝑥 = 2 então 𝑦 = √2 − 2 = √0 = 0, logo o ponto do gráfico seria (2, 0). 
ℎ(4) = √4 − 2 = √2. 
Logo, outro ponto do gráfico de ℎ é (4, √2). 
Entre os pontos (2, 0) e (4, √2), repetimos 
o gráfico da função 𝑔, encontrado na questão 
7. 
Observando o gráfico da função ℎ, 
concluímos que: 
𝐼𝑚(ℎ) = [0, 3]. 
A função ℎ é crescente se 𝑥 ∈ [−4,−1] ou 𝑥 ∈ [2, 4]. 
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Questão 9 [1,1] A função 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 2 admite função inversa 𝑦 = 𝑔−1(𝑥). Observando o 
domínio e a imagem da função 𝑔 , determine o domínio e a imagem da função inversa 𝑔−1. 
Observando o gráfico da função 𝑦 = 𝑔(𝑥), esboçado na questão 7, esboce no mesmo par de eixos, 
a reta de equação 𝑦 = 𝑥 , o gráfico de 𝑦 = 𝑔(𝑥) e o gráfico de 𝑦 = 𝑔−1(𝑥) . Encontre a expressão 
da função inversa 𝑦 = 𝑔−1(𝑥). 
𝐷𝑜𝑚(𝑔−1) = 𝐼𝑚(𝑔) = [0,∞) . 
𝐼𝑚(𝑔−1) = 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = [2,∞). 
O gráfico da função inversa 𝑦 = 𝑔−1(𝑥) é a reflexão 
do gráfico da função 𝑦 = 𝑔(𝑥) em torno da reta de 
equação 𝑦 = 𝑥. 
Ao lado estão esboçados o gráfico de 𝑦 = 𝑔(𝑥), a reta 
de equação 𝑦 = 𝑥 e o gráfico da função inversa 𝑦 =
𝑔−1(𝑥). 
Observem os pontos simétricos em relação à reta de 
equação 𝑦 = 𝑥, que estão marcados, por exemplo, (2, 0) e (0, 2) são simétricos, (3, 1) e (1, 3) são 
simétricos. 
Determinando a expressão da função inversa: 
𝑦 = √𝑥 − 2 ⟹ 𝑦2 = 𝑥 − 2 ⟺ 𝑥 = 𝑦2 + 2. 
𝑔−1(𝑦) = 𝑦2 + 2, trocando a variável 𝑦 por 𝑥, 
𝑔−1(𝑥) = 𝑥2 + 2.