PC_2021-1_EP06_Funcao Parte de Circunferencia ou Parabola_Funcao Composta_GABARITO

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Pré-Cálculo 2021-1 EP06 – GABARITO 1 de 16 
 
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2021-1 
 Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
 
EP06 – FUNÇÃO PARTE DE CIRCUNFERÊNCIA OU PARÁBOLA E FUNÇÃO COMPOSTA – 
GABARITO 
 
Exercício 1: Nas equações a seguir, complete o quadrado na variável adequada e encontre o vértice e o 
eixo de simetria das parábolas definidas por essas equações. Esboce essas parábolas. 
Dê e expressão de cada uma das seis funções, cujos gráficos são os ramos superior e inferior dessas três 
parábolas a seguir. 
a) 𝑥 + 𝑦2 − 2𝑦 − 3 = 0 b) 𝑦2 − 4𝑦 + 5 − 𝑥 = 0 c) 𝑦2 − 𝑥 − 4 = 0 
 
RESOLUÇÃO: 
 
a) 𝑥 + 𝑦2 − 2𝑦 − 3 = 0 ⟺ 𝑥 = −𝑦2 + 2𝑦 + 3 ⟺ 𝑥 = −(𝑦2 − 2𝑦) + 3 ⟺ 
𝑥 = −(𝑦2 − 2𝑦 + 1 − 1) + 3 ⟺ 𝑥 = −(𝑦 − 1)2 + 1 + 3 ⟺ 𝑥 = −(𝑦 − 1)2 + 4 ⟺ 
𝑥 − 4 = −(𝑦 − 1)2 . 
O vértice da parábola é (4 , 1) e o eixo de simetria é a reta horizontal 𝑦 = 1. 
Além disso, a equação na forma 𝑥 − ℎ = 𝑎(𝑦 − 𝑘)2 mostra que o coeficiente 𝑎 = −1 < 0, logo a 
parábola possui concavidade voltada para a esquerda , como esboçado a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
Da equação 𝑥 − 4 = −(𝑦 − 1)2 segue que: 
𝑥 − 4 = −(𝑦 − 1)2 ⟺ (𝑦 − 1)2 = 4 − 𝑥 ⟺ √(𝑦 − 1)2 = √4 − 𝑥 ⟺ |𝑦 − 1| = √4 − 𝑥 . 
Se 𝑦 − 1 ≥ 0 então 𝑦 ≥ 1 e |𝑦 − 1| = 𝑦 − 1 . 
Portanto, 
 𝑦 − 1 ≥ 0 e |𝑦 − 1| = √4 − 𝑥 ⟺ 𝑦 − 1 = √4 − 𝑥 ⟺ 𝑦 = 1 + √4 − 𝑥 . 
 
 
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A função 𝑓(𝑥) = 1 + √4 − 𝑥 tem como gráfico o ramo da 
parábola que está acima do eixo de simetria. O ponto 
(−5 , 4) é um ponto do gráfico dessa função. 
De fato, 4 = 1 + √4 − (−5) = 1 + √9 = 1 + 3. 
 
Se 𝑦 − 1 ≤ 0 então 𝑦 ≤ 1 e |𝑦 − 1| = −(𝑦 − 1 ) . Portanto, 
𝑦 − 1 ≤ 0 e |𝑦 − 1| = √4 − 𝑥 ⟺ −( 𝑦 − 1) = √4 − 𝑥 ⟺ 𝑦 = 1 − √4 − 𝑥 . 
A função 𝑔(𝑥) = 1 − √4 − 𝑥 tem como gráfico o ramo da 
parábola que está abaixo do eixo de simetria. O ponto 
(−5 , −2) é um ponto do gráfico dessa função. 
De fato, −2 = 1 − √4 − (−5) = 1 − √9 = 1 − 3 . 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) 𝑦2 − 4𝑦 + 5 − 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 𝑦2 − 4𝑦 + 5 ⟺ 𝑥 = 𝑦2 − 4𝑦 + 4 − 4 + 5 ⟹ 
𝑥 = (𝑦 − 2)2 + 1 ⟺ 𝑥 − 1 = (𝑦 − 2)2 . 
O vértice da parábola é (1 , 2) e o eixo de simetria é a reta 
horizontal 𝑦 = 2. 
Além disso, a equação na forma 𝑥 − ℎ = 𝑎(𝑦 − 𝑘)2 mostra 
que o coeficiente 𝑎 = 1 > 0 logo a parábola possui 
concavidade voltada para a direita e o seu gráfico é: 
Da equação 𝑥 − 1 = (𝑦 − 2)2 segue que: 
𝑥 − 1 = (𝑦 − 2)2 ⟺ (𝑦 − 2)2 = 𝑥 − 1 ⟺ √(𝑦 − 2)2 = √𝑥 − 1 ⟺ |𝑦 − 2| = √𝑥 − 1 
Se 𝑦 − 2 ≥ 0 então 𝑦 ≥ 2 e |𝑦 − 2| = 𝑦 − 2 . 
Portanto, 
𝑦 − 2 ≥ 0 e |𝑦 − 2| = √𝑥 − 1 ⟺ 
 𝑦 − 2 = √𝑥 − 1 ⟺ 𝑦 = 2 + √𝑥 − 1 . 
A função 𝑓(𝑥) = 2 + √𝑥 − 1 tem como gráfico o ramo da parábola que está acima do eixo de simetria. 
O ponto (10 , 5) é um ponto do gráfico dessa função. 
De fato, 5 = 2 + √10 − 1 = 2 + √9 = 2 + 3. 
Se 𝑦 − 2 ≤ 0 então 𝑦 ≤ 2 e |𝑦 − 2| = −(𝑦 − 2) . 
 
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Portanto, 
𝑦 − 2 ≤ 0 e |𝑦 − 2| = √𝑥 − 1 ⟺ −( 𝑦 − 2) = √𝑥 − 1 ⟺ 𝑦 = 2 − √𝑥 − 1 . 
A função 𝑔(𝑥) = 2 − √𝑥 − 1 tem como gráfico 
o ramo da parábola que está acima do eixo de 
simetria. O ponto (10 , −1) é um ponto do 
gráfico dessa função. 
De fato, −1 = 2 − √10 − 1 = 2 − √9 = 2 −
3. 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
c) 𝑦2 − 𝑥 − 4 = 0 ⟹ 𝑥 + 4 = 𝑦2 
Essa é a equação de uma parábola voltada para a direita, com vértice no ponto (−4 , 0) e eixo de simetria 
𝑦 = 0 (o eixo 𝑥). Da equação 𝑥 + 4 = 𝑦2 segue que: 
𝑥 + 4 = 𝑦2 ⟺ 𝑦2 = 𝑥 + 4 ⟺ √𝑦2 = √𝑥 + 4 ⟹ |𝑦 | = √𝑥 + 4 . 
Se 𝑦 ≥ 0 temos que: |𝑦| = 𝑦 e assim, temos que |𝑦| = √𝑥 + 4 𝑒 𝑦 ≥ 0 ⟺ 𝑦 = √𝑥 + 4 
A função 𝑦 = √𝑥 + 4 tem como gráfico o ramo da parábola que está acima do eixo de simetria. O ponto 
(0 , 2) é um ponto do gráfico dessa função. 
De fato, 2 = √0 + 4. 
Portanto a função é 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 4 , com 𝑥 ≥ −4 , pois 
para que essa raiz quadrada possa ser calculada é 
preciso que 𝑥 + 4 ≥ 0 , ou seja, 𝑥 ≥ −4 
Se 𝑦 ≤ 0 , |𝑦| = −𝑦 e assim, temos que: |𝑦| = √𝑥 + 4 ⟹ −𝑦 = √𝑥 + 4 ⟹ 𝑦 = − √𝑥 + 4 
A função 𝑔(𝑥) = −√𝑥 + 4 tem como gráfico o ramo da parábola que está abaixo do eixo de simetria. 
O ponto (0 , −2) é um ponto do gráfico dessa função. 
De fato, −2 = −√0 + 4. 
Portanto a função é 𝑔(𝑥) = −√𝑥 + 4 , 
com 𝑥 ≥ −4 , pois para que essa raiz quadrada 
possa ser calculada é preciso que 𝑥 + 4 ≥ 0 , ou seja, 𝑥 ≥ −4 
 
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Exercício 2: Encontre a equação reduzida das circunferências definidas pelas seguintes equações. 
Identifique o seu centro e o seu raio. 
a) 2𝑥2 + 2𝑦2 + 4𝑥 − 4𝑦 = 0 b) 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 = 0 
Dê e expressão de cada uma das quatro funções, cujos gráficos são as semicircunferências superior e 
inferior dessas três circunferências acima. 
 
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RESOLUÇÃO: 
a) 2𝑥2 + 2𝑦2 + 4𝑥 − 4𝑦 = 0 . 
Completando os quadrados nas variáveis 𝑥 e 𝑦 : 
2(𝑥2 + 2𝑥) + 2(𝑦2 − 2𝑦) = 0 
2(𝑥2 + 2𝑥 + 1 − 1) + 2(𝑦2 − 2𝑦 + 1 − 1) = 0 
2(𝑥 + 1)2 − 2 + 2(𝑦 − 1)2 − 2 = 0 
2(𝑥 + 1)2 + 2(𝑦 − 1)2 = 4 
(𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 1)2 = 2 
 
Circunferência: centro 𝐶(−1 , 1) e raio 𝑟 = √2 . 
Observe do gráfico que −1 − √2 ≤ 𝑥 ≤ −1 + √2 𝑒 1 − √2 ≤ 𝑦 ≤ 1 + √2 . 
Como encontrar a expressão que define a função cujo gráfico é a semicircunferência superior ao lado? 
Vamos explicitar a variável 𝑦 em função da variável 𝑥 na equação (𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 1)2 = 2 : 
(𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 1)2 = 2 ⟺ (𝑦 − 1)2 = 2 − (𝑥 + 1)2 ⟺ 
√(𝑦 − 1)2 = √2 − (𝑥 + 1)2 ⟺ |𝑦 − 1| = √2 − (𝑥 + 1)2 
Observe que, 
2 − (𝑥 + 1)2 ≥ 0 ⟺ (𝑥 + 1)2 ≤ 2 ⟺ √ (𝑥 + 1)2 ≤ √2 
⟺ |𝑥 + 1| ≤ √2 
−√2 ≤ 𝑥 + 1 ≤ +√2 ⟺ −1 − √2 ≤ 𝑥 + 1 ≤ −1 + √2 . 
Se 𝑦 − 1 ≥ 0 então 𝑦 ≥ 1 e |𝑦 − 1| = 𝑦 − 1 . 
Logo, |𝑦 − 1| = √2 − (𝑥 + 1)2 𝑒 𝑦 ≥ 1 ⟺ 𝑦 − 1 =
√2 − (𝑥 + 1)2 ⟺ 𝑦 = 1 + √2 − (𝑥 + 1)2 . 
Esta é a expressão que define a semicircunferência superior. 
Portanto, a função 𝑓(𝑥) = 1 + √2 − (𝑥 + 1)2 , −1 − √2 ≤ 𝑥 ≤ −1 + √2 𝑒 
1 ≤ 𝑦 ≤ 1 + √2 , tem como gráfico a semicircunferência superior de centro 𝐶(−1 , 1) e raio 𝑟 = √2 . 
Se 𝑦 − 1 ≤ 0 então 𝑦 ≤ 1 e |𝑦 − 1| = −(𝑦 − 1) . 
Logo, |𝑦 − 1| = √2 − (𝑥 + 1)2 𝑒 𝑦 ≤ 1 ⟺ −( 𝑦 − 1 ) =
√2 − (𝑥 + 1)2 ⟺ 𝑦 = 1 − √2 − (𝑥 + 1)2 . 
Esta é a expressão que define a semicircunferência inferior. 
Portanto, a função 𝑔(𝑥) = 1 − √2 − (𝑥 + 1)2 , 
−1 − √2 ≤ 𝑥 ≤ −1 + √2 e 1 − √2 ≤ 𝑦 ≤ 1 tem como 
gráfico a semicircunferência inferior de centro 𝐶(−1 , 1) e raio 𝑟 = √2 . 
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b) Completando o quadrado na variável 𝑥 : 
𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 = 0 ⟺ 𝑦2 + 𝑥2 − 4𝑥 = 0 ⟺ 
𝑦2 + 𝑥2 − 4𝑥 + 4 − 4 = 0 ⟺ 𝑦2 + (𝑥 − 2)2 = 4 
Portanto, essa equação define uma circunferência Centro 𝐶(2 , 0), e raio 
𝑟 = 2. 
 
Observe do gráfico que 0 ≤ 𝑥 ≤ 4 e − 2 ≤ 𝑦 ≤ 2 . 
Vamos encontrar a expressão que define a função cujo gráfico é a semicircunferência superior ao lado 
Temos que, 
𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 = 0 ⟺ 𝑦2 = −𝑥2 + 4𝑥 ⟺ 
 √𝑦2 = √−𝑥2 + 4𝑥 ⟺ |𝑦| = √4𝑥 − 𝑥2 
 
Se 𝑦 ≥ 0 então |𝑦| = 𝑦 . Assim, 
|𝑦| = √4𝑥 − 𝑥2 𝑒 𝑦 ≥ 0 ⟺ 𝑦 = √4𝑥 − 𝑥2 ⟺ 𝑦 =
√4𝑥 − 𝑥2, para 0 ≤ 𝑥 ≤ 4 . 
Portanto, a função 𝑓(𝑥) = √4𝑥 − 𝑥2 , para 0 ≤ 𝑥 ≤ 4, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2, tem como gráfico a 
semicircunferência superior de centro 𝐶(2 , 0), e raio 𝑟 = 2. 
Se 𝑦 ≤ 0 então |𝑦| = −𝑦 . Assim, 
|𝑦| = √4𝑥 − 𝑥2 𝑒 𝑦 ≤ 0 ⟺ −𝑦 = √4𝑥 − 𝑥2 ⟺ 
𝑦 = −√4𝑥 − 𝑥2 , para 0 ≤ 𝑥 ≤ 4 . 
 
Portanto, a função 𝑔(𝑥) = −√4𝑥 − 𝑥2 , para 0 ≤ 𝑥 ≤ 4, −2 ≤
𝑦 ≤ 0, tem como gráfico a semicircunferência inferior de centro 𝐶(2 , 0), e raio 𝑟 = 2. 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 3: Sabendo que o gráfico de cada uma dessas funções é parte de uma curva conhecida, esboce 
o gráfico de cada uma delas. Explique a construção desses gráficos identificando as curvas que dão origem 
aos mesmos. Desenhe essas curvas. 
a) 𝑓(𝑥) = −√9 − (𝑥 + 2)2 b) 𝑔(𝑥) = √4 − (𝑥 − 1)2 − 2 
c) ℎ(𝑥) = −√𝑥 + 1 − 1 d) 𝑗(𝑥) = −2√1 − 𝑥 + 3 
RESOLUÇÃO: 
 
 
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a) Vamos partir da função 𝑓(𝑥) = −√9 − (𝑥 + 2)2 
Consideremos 𝑦 = −√9 − (𝑥 + 2)2 e vamos fazer algumas contas: 
 
𝑦 = −√9 − (𝑥 + 2)2 ⟹ 𝑦2 = (−√9 − (𝑥 + 2)2 )
2
 ⟺ 𝑦2 = 9 − (𝑥 + 2)2 ⟹ 
 (𝑥 + 2)2 + 𝑦2 = 9. Esta é a equação reduzida de uma circunferência 
de centro 𝐶(−2 , 0), e raio 𝑟 = 3 . 
Observe do gráfico que −5 ≤ 𝑥 ≤ 1, −3 ≤ 𝑦 ≤ 3 . 
 
 
 
Observe que, 
9 − (𝑥 + 2)2 ≥ 0 ⟺ (𝑥 + 2)2 ≤ 9 ⟺ √(𝑥 + 2)2 ≤ √9 ⟺ |𝑥 + 2| ≤ 3 ⟺ 
 −3 ≤ 𝑥 + 2 ≤ 3 ⟺ −3 − 2 ≤ 𝑥 ≤ 3 − 2 ⟺ −5 ≤ 𝑥 ≤ 1 . 
Logo, −5 ≤ 𝑥 ≤ 1 para que a raiz quadrada √9 − (𝑥 + 2)2 possa ser calculada. 
 
Observe também que como, 𝑦 = −√9 − (𝑥 + 2)2 então 𝑦 ≤ 0 . 
Portanto a função 𝑓(𝑥) = −√9 − (𝑥 + 2)2 é tal que, −5 ≤ 𝑥 ≤ 1, 
 −3 ≤ 𝑦 ≤ 0. 
O seu gráfico é a semicircunferência inferior de centro 𝐶(−2 , 0), e raio 
 𝑟 = 3. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
b) Vamos partir da função 𝑔(𝑥) = √4 − (𝑥 − 1)2 − 2 
Consideremos 𝑦 = √4 − (𝑥 − 1)2 − 2 e vamos fazer algumas 
contas: 
𝑦 = √4 − (𝑥 − 1)2 − 2 ⟹ 
(𝑦 − 2)2 = (√4 − (𝑥 − 1)2 )
2
 ⟺ 
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 = 4. 
Esta é a equação reduzida de uma circunferência de centro 𝐶(1 , −2), e raio 𝑟 = 2 . 
Observe do gráfico que: 
1 − 2 ≤ 𝑥 ≤ 1 + 2 , −2 − 2 ≤ 𝑦 ≤ −2 + 2 , ou seja, −1 ≤ 𝑥 ≤ 3 , −4 ≤ 𝑦 ≤ 0. 
 
 
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Observe que, 
4 − (𝑥 − 1)2 ≥ 0 ⟺ (𝑥 − 1)2 ≤ 4 ⟺ √(𝑥 − 1)2 ≤ √4 ⟺ |𝑥 − 1| ≤ 2 ⟺ 
−2 ≤ 𝑥 − 1 ≤ 2 ⟺ 1 − 2 ≤ 𝑥 ≤ 1 + 2 ⟺ −1 ≤ 𝑥 ≤ 3 . 
Logo, −1 ≤ 𝑥 ≤ 3 para que a raiz quadrada √4 − (𝑥 − 1)2 possa ser calculada. 
Observe também que, 
𝑦 = √4 − (𝑥 − 1)2 − 2 ⟺ 𝑦 + 2 = √4 − (𝑥 − 1)2 ≥ 0 ⟹ 𝑦 + 2 ≥ 0 ⟺ 𝑦 ≥ −2 
Portanto a função 𝑔(𝑥) = √4 − (𝑥 − 1)2 − 2 é tal que, −1 ≤ 𝑥 ≤ 3 e − 2 ≤ 𝑦 ≤ 0 . 
 
O seu gráfico é a semicircunferência superior de centro 
𝐶(1 , −2) e raio 𝑟 = 2 . 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
c) Vamos partir da função ℎ(𝑥) = −√𝑥 + 1 − 1 . 
Consideremos 𝑦 = −√𝑥 + 1 − 1 e vamos fazer algumas contas: 
𝑦 = −√𝑥 + 1 − 1 ⟹ ( 𝑦 + 1)2 = (−√𝑥 + 1 )
2
 ⟺ ( 𝑦 + 1)2 = 𝑥 + 1 ⟺ 𝑥 + 1 = ( 𝑦 + 1)2 
Esta é a equação canônica de uma parábola de vértice no ponto 𝑉(−1 , −1), concavidade voltada para 
direita e tem como eixo de simetria a reta 𝑦 = −1. 
Observação: a equação na forma 𝑥 − ℎ = 𝑎(𝑦 − 𝑘)2 mostra que 
o coeficiente 𝑎 = 1 > 0 e, por isso a parábola possui 
concavidade voltada para a direita. 
Observe que, 
𝑥 + 1 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ −1 . Isto para que a raiz quadrada 
√𝑥 + 1 possa ser calculada. 
Observe também que, 
𝑦 = −√𝑥 + 1 − 1 ⟺ 𝑦 + 1 = −√𝑥 + 1 ≤ 0 ⟹ 𝑦 + 1 ≤ 0 ⟺ 𝑦 ≤ −1 
Portanto a função ℎ(𝑥) = −√𝑥 + 1 − 1 é tal que, 
−1 ≤ 𝑥 ≤ +∞ e − ∞ ≤ 𝑦 ≤ −1 
 
Pré-Cálculo 2021-1 EP06 – GABARITO 8 de 16 
O seu gráfico é o ramo da parábola que está abaixo do eixo de 
simetria. Veja abaixo. 
O ponto (0 , −2) é um ponto do gráfico dessa função, como 
podemos verificar: 
−2 = ℎ(0) = −√0 + 1 − 1 . 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
d) Vamos partir da função 𝑗(𝑥) = −2√1 − 𝑥 + 3. 
Consideremos 𝑦 = −2√1 − 𝑥 + 3 e vamos fazer algumas contas: 
𝑦 = −2√1 − 𝑥 + 3 ⟹ (𝑦 − 3)2 = (−2√1 − 𝑥 )
2
 ⟺ (𝑦 − 3)2 = 4(1 − 𝑥) ⟺ 
 𝑥 − 1 = −
1
4
 (𝑦 − 3)2 
Esta é a equação canônica de uma parábola de vértice no ponto 
𝑉(1 , 3), concavidade voltada para esquerda e 
tem como eixo de simetria a reta 𝑦 = 3 . 
Observação: a equação na forma 𝑥 − ℎ = 𝑎(𝑦 − 𝑘)2 mostra que o 
coeficiente 𝑎 = −
1
4
< 0 , por isso a parábola possui concavidade 
voltada para a esquerda. 
Observe que, 
1 − 𝑥 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≤ 1 . Isto para que a raiz quadrada √1 − 𝑥 possa ser calculada. 
Observe também que, 
𝑦 = −2√1 − 𝑥 + 3 ⟺ 𝑦 − 3 = −2√1 − 𝑥 ≤ 0 ⟹ 𝑦 − 3 ≤ 0 ⟺ 𝑦 ≤ −3 . 
Portanto a função 𝑗(𝑥) = −2√1 − 𝑥 + 3 é tal que, 𝑥 ≤
1 e 𝑦 ≤ 3 . 
O seu gráfico é o ramo da parábola que está abaixo do 
eixo de simetria. Veja ao lado. 
O ponto (0 , 1), é um ponto do gráfico dessa função, 
como podemos verificar: 𝑗(0) = −2√1 − 0 + 3 = 3 −
2√1 = 3 − 2 = 1. 
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Exercício 4: Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico de uma 
função "elementar" por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em 
torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Identifique essa função "elementar" e as transformações 
ocorridas. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas. 
a) 𝑔(𝑥) = 2√1 − 𝑥2 b) 𝑔(𝑥) =
1
2
√1 − 𝑥2 
c) 𝑔(𝑥) = √1 − (2𝑥)2 d) 𝑔(𝑥) = √1 − (
1
2
𝑥)
2
 e) 𝑔(𝑥) =
1
2
√1 − (
1
2
𝑥)
2
 
RESOLUÇÃO: 
a) Considerando 𝑓(𝑥) = √1 − 𝑥2, 
𝑔(𝑥) = 2√1 − 𝑥2 = 2𝑓(𝑥) = 2√1 − 𝑥2 
O gráfico da função 𝒇 é esticado verticalmente, com fator multiplicativo 
2, para produzir o gráfico da função 𝑔(𝑥) = 2√1 − 𝑥2. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) Considerando 𝑓(𝑥) = √1 − 𝑥2, 
O gráfico da função 𝒇 é comprimido verticalmente, com fator multiplicativo 
1
2
 , 
para produzir o gráfico da função 𝑔(𝑥) =
1
2
√1 − 𝑥2 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
c) Considerando 𝑓(𝑥) = √1 − 𝑥2, 
𝑔(𝑥) = √1 − (2𝑥)2 = 𝑓(2𝑥) = √1 − (2𝑥)2 
O gráfico da função 𝑓 é reduzido horizontalmente, com fator 
multiplicativo 2
1 , para produzir o gráfico da função 
 𝑔(𝑥) = √1 − (2𝑥)2. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
d) Considerando 𝑓(𝑥) = √1 − 𝑥2, 
𝑔(𝑥) = √1 − (
1
2
𝑥)
2
= 𝑓 (
1
2
𝑥) = √1 − (
1
2
𝑥)
2
 
O gráfico da função 𝑓 é esticado horizontalmente, com fator 
multiplicativo 2
1
2
1
= , para produzir o gráfico da função 
 𝑔(𝑥) = √1 − (
1
2
𝑥)
2
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
Pré-Cálculo 2021-1 EP06 – GABARITO 10 de 16 
e) Considerando 𝑓(𝑥) = √1 − 𝑥2, 
𝑔(𝑥) =
1
2
√1 − (
1
2
𝑥)
2
=
1
2
𝑓 (
1
2
𝑥) =
1
2
√1 − (
1
2
𝑥)
2
 
O gráfico da função 𝑓 é comprimido verticalmente, 
com fator multiplicativo 
2
1e esticado 
horizontalmente, com fator multiplicativo 2
1
2
1
= , 
para produzir o gráfico da função 𝑔(𝑥) =
1
2
√1 − (
1
2
𝑥)
2
. 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 5: Complete a tabela a seguir e dê os domínios das respectivas (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥). 
 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) 
a) 𝑥 − 7 √𝑥 ? 
b) 
𝑥
𝑥 − 1
 
𝑥
𝑥 − 1
 ? 
c) 
1
𝑥
 ? 𝑥 
d) ? 2𝑥 + 1 2𝑥2 + 4𝑥 + 1 
e) 𝑥2 − 4𝑥 ? |𝑥 − 2| 
 
RESOLUÇÃO: 
a) (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥 − 7) = √𝑥 − 7 . 
𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) ⊆ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (−∞ , +∞ ). Para que √𝑥 − 7 possa ser calculada é preciso que 𝑥 − 7 ≥ 0 , 
donde 𝑥 ≥ 7 . Logo, 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) = [7 , +∞) ⊂ (−∞ , +∞ ). 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓 (
𝑥
𝑥−1
) = 
𝑥
𝑥−1
𝑥
𝑥−1
−1
= 
𝑥
𝑥−1
1
𝑥−1
=
𝑥
1
= 𝑥 
𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ − {1} , pois o denominador 𝑥 − 1 da função 𝑔 dever ser diferente de zero. 
𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) ⊆ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ − {1} . Como a expressão de 𝑓 ∘ 𝑔 , não exige restrições, então 
𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) ⊆ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ − {1}. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
c) Temos que (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑥 e 𝑔(𝑥) =
1
𝑥
 
 
Pré-Cálculo 2021-1 EP06 – GABARITO 11 de 16 
Assim, 𝑥 = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓 (
1
𝑥
 ) . 
Portanto 𝑓 (
1
𝑥
 ) = 𝑥 . Fazendo 
1
𝑥
= 𝑧, temos que 𝑥 =
1
𝑧
 . Assim 𝑓(𝑧 ) =
1
𝑧
. 
Como a variável usada na lei de formação não importa, podemos trocar 𝑧 por 𝑥 e assim, 𝑓(𝑥 ) =
1
𝑥
. 
𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ − {0} , pois o denominador 𝑥 da função 𝑔 dever ser diferente de zero. 
𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) ⊆ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ − {0} . Como a expressão de 𝑓 ∘ 𝑔 , não exige restrições, então 
𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) = 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ − {0}. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
d) Temos que (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 2𝑥2 + 4𝑥 + 1 e 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 
Assim, 
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 2𝑔(𝑥) + 1 ⟹ 2𝑥2 + 4𝑥 + 1 = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 2𝑔(𝑥) + 1 ⟹ 
2𝑥2 + 4𝑥 = 2𝑔(𝑥) ⟹ 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 . 
De fato, conferindo: (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥2 + 2𝑥 ) = 2(𝑥2 + 2𝑥) + 1 = 2𝑥2 + 4𝑥 + 1 . 
𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ , pois 𝑔 é um polinômio. 
𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) ⊆ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ . 
Como a expressão de 𝑓 ∘ 𝑔 , não exige restrições, pois 𝑓 ∘ 𝑔 é um polinômio, então 
𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) = 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
e) Temos que (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = |𝑥 − 2 | 𝑒 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 . 
Assim, |𝑥 − 2 | = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥2 − 4𝑥). 
Portanto, 𝑓(𝑥2 − 4𝑥) = |𝑥 − 2 | = √(𝑥 − 2)2 = √𝑥2 − 4𝑥 + 4 . 
Fazendo 𝑧 = 𝑥2 − 4𝑥 , temos 𝑓(𝑧) = √𝑧 + 4 . 
Uma solução alternativa: 
Temos que (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = |𝑥 − 2 | 𝑒 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 . 
Assim, |𝑥 − 2 | = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥2 − 4𝑥). 
Fazendo 𝑧 = 𝑥2 − 4𝑥 , temos que 𝑓(𝑧) = |𝑥 − 2 | . Da equação 𝑥2 − 4𝑥 = 𝑧 , segue que: 
 𝑥2 − 4𝑥 = 𝑧 ⟺ 𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 𝑧 + 4 ⟺ (𝑥 − 2)2 = 𝑧 + 4 ⟺ √(𝑥 − 2)2 = √𝑧 + 4 ⟺ 
|𝑥 − 2 | = √𝑧 + 4 . 
Logo, como 𝑓(𝑧) = |𝑥 − 2 | conclui-se que 𝑓(𝑧) = √𝑧 + 4 . 
Como a variável usada na lei de formação não importa, podemos trocar 𝑧 por 𝑥 e assim, 
𝑓(𝑥) = √𝑥 + 4 . 
𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ , pois 𝑔 é um polinômio. 
 
Pré-Cálculo 2021-1 EP06 – GABARITO 12 de 16 
𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) ⊆ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ . 
Como a expressão de 𝑓 ∘ 𝑔 , não exige restrições, então 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) = 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ . 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 6: Para cada uma das funções abaixo, escreva 𝑗(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) , com 𝑓 e 𝑔 diferentes da 
identidade. 
a) 𝑗(𝑥) = (1 + 𝑥4)
2
3 b) 𝑗(𝑥) =
1
 √𝑥−𝑥3 
5 
c) 𝑗(𝑥) = |𝑥 − 4 | − 1 
 
 d) 𝑗(𝑥) = 𝑥2 + |𝑥 | − 6 
RESOLUÇÃO: 
a) Se 𝑗(𝑥) = (1 + 𝑥4)
2
3 então 𝑔(𝑥) = 1 + 𝑥4 e 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
3 . De fato: 
𝑗(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(1 + 𝑥4) = (1 + 𝑥4)
2
3 . 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
b) Se 𝑗(𝑥) =
1
 √𝑥−𝑥3 
5 então 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 𝑥
3 e 𝑓(𝑥) =
1
 √𝑥 
5 . De fato: 
𝑗(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥 − 𝑥3) =
1
 √𝑥 − 𝑥3 
5 . 
Outra possível escolha de 𝑓 e 𝑔 é: 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 𝑥3
5
 e 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
. De fato: 
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(√𝑥 − 𝑥3
5
) =
1
√𝑥−𝑥3
5 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
c) Se 𝑗(𝑥) = |𝑥 − 4 | − 1 então 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 4 e 𝑓(𝑥) = |𝑥 | − 1 . De fato: 
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥 − 4) = |𝑥 − 4 | − 1 . 
Outra possível escolha de 𝑓 e 𝑔 é: 𝑔(𝑥) = |𝑥 − 4| e 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1. De fato: 
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(|𝑥 − 4|) = |𝑥 − 4| − 1. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
d) Se 𝑗(𝑥) = 𝑥2 + |𝑥 | − 6 então 𝑔(𝑥) = |𝑥 | e 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 6 . De fato: 
𝑗(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(|𝑥|) = |𝑥|2 + |𝑥| − 6 = 𝑥2 + |𝑥| − 6 . 
Lembre que |𝑥|2 = |𝑥| ∙ |𝑥| = |𝑥2| = 𝑥2 , pois 𝑥2 ≥ 0 . 
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Exercício 7: 
I) Sejam 𝑓(𝑥) = 
2𝑥−1
𝑥+1
 e 𝑔(𝑥) = 
1
𝑥−1
 
a) Encontre 𝑓 ∘ 𝑔 e 𝑔 ∘ 𝑓 
b) O domínio natural da função ℎ(𝑥) = 
3−𝑥
𝑥
 é o mesmo da função 𝑓 ∘ 𝑔 ? Explique. 
 
Pré-Cálculo 2021-1 EP06 – GABARITO 13 de 16 
II) Sejam 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1 e 𝑔(𝑥) = 5 ∙ (𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥) . Se 𝑔(1) = 2 , obtenha os valores de: 
a) 𝑔(2) b) 𝑔(3) c) 𝑔(0) d) 𝑔(−1). 
e) Conhecendo os valores de 𝑔(3) , 𝑔(2) , 𝑔(1) , 𝑔(0) , 𝑔(−1), você é capaz de intuir uma fórmula 
para 𝑔(𝑛) , ∀ 𝑛 ∈ ℤ ? 
Nesse momento do curso, você ainda não pode provar uma lei para 𝑔(𝑛) , ∀ 𝑛 ∈ ℤ , mas é importante 
tentar fazer uma conjectura, uma proposta, já é um primeiro passo. 
RESOLUÇÃO: 
I) 
a) (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓 (
1
𝑥−1
) = 
2(
1
𝑥−1
)−1
1
𝑥−1
+1 
 = 
2
𝑥−1
−1
1
𝑥−1
+1 
= 
 
2−(𝑥−1)
𝑥−1
 
 
1+(𝑥−1)
𝑥−1
 
=
 
3−𝑥
𝑥−1
 
 
𝑥
𝑥−1
 
=
3−𝑥
𝑥
 
𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ − {1} , pois o denominador 𝑥 − 1 da função 𝑔 deve ser diferente de zero. 
𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) ⊆ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ − {1}. 
A lei de formação da função 𝑓 ∘ 𝑔 exige que 𝑥 ≠ 0. 
Portanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔) = ℝ − {0 , 1} . 
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔 (
2𝑥−1
𝑥+1
) = 
1
2𝑥−1
𝑥+1
−1 
 = 
1
2𝑥−1−(𝑥+1)
𝑥+1
+1 
= 
 1 
 
𝑥−2 
𝑥+1
 
=
 𝑥+1 
 𝑥−2 
 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ − {−1} , pois o denominador 𝑥 + 1 da função 𝑓 deve ser diferente de zero. 
𝐷𝑜𝑚(𝑔 ∘ 𝑓) ⊆ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ − {−1}. 
A lei de formação da função 𝑔 ∘ 𝑓 exige que 𝑥 ≠ 2. 
𝐷𝑜𝑚(𝑔 ∘ 𝑓) = ℝ − {−1 , 2}. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
b) Temos que 𝐷𝑜𝑚(ℎ) = ℝ − { 0} , pois a variável 𝑥 do denominador da função ℎ não pode ser zero 
Portanto, o domínio natural da função ℎ(𝑥) = 
3−𝑥
𝑥
 não é o mesmo da função 𝑓 ∘ 𝑔 , que é ℝ − { 0} , como 
justificamos no item a) acima. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
II) Sejam 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1 e 𝑔(𝑥) = 5 ∙ (𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥). 
Logo, 𝑔(𝑥) = 5 ∙ (𝑔 ∘ 𝑓 )(𝑥) ⟹ 𝑔(𝑥) = 5 ∙ 𝑔(𝑓(𝑥)) ⟹ 𝑔(𝑥) = 5 ∙ 𝑔(𝑥 − 1) . 
a) Fazendo 𝑥 = 2 na igualdade 𝑔(𝑥) = 5 ∙ 𝑔(𝑥 − 1) , temos que: 
𝑔(2) = 5 ∙ 𝑔(2 − 1) ⟹ 𝑔(2) = 5 ∙ 𝑔(1). 
Como 𝑔(1) = 2 , então 𝑔(2) = 5 ∙ 𝑔(1) = 5 × 2 = 2 × 5. Logo, 𝒈(𝟐) = 𝟐 × 𝟓. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
b) Fazendo 𝑥 = 3 na igualdade 𝑔(𝑥) = 5 ∙ 𝑔(𝑥 − 1) , temos que: 
𝑔(3) = 5 ∙ 𝑔(3 − 1) ⟹ 𝑔(3) = 5 ∙ 𝑔(2). 
 
Pré-Cálculo 2021-1 EP06 – GABARITO 14 de 16 
Como pelo item (a) 𝑔(2) = 10, então 𝑔(3) = 5 ∙ 𝑔(2) = 5 × 10 = 2 × 5 × 5 = 2 × 52. Logo, 
𝒈(𝟑) = 𝟐 × 𝟓𝟐. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
c) Para calcular 𝑔(0) , vamos fazer 𝑥 = 1 na igualdade 𝑔(𝑥) = 5 ∙ 𝑔(𝑥 − 1). 
Assim, 
𝑔(1) = 5 ∙ 𝑔(1 − 1) ⟹ 𝑔(1) = 5 ∙ 𝑔(0) ⟹ 𝑔(0) =
1
5
 ∙ 𝑔(1) . Como por hipótese, 𝑔(1) = 2 , então 
𝑔(0) =
1
5
 × 2 =
2
5
= 2 × 5−1. Assim, 𝒈(𝟎) = 𝟐 × 𝟓−𝟏. 
OBSERVE que: 
Se para calcular 𝑔(0) tivéssemos feito 𝑥 = 0 na igualdade 𝑔(𝑥) = 5 ∙ 𝑔(𝑥 − 1) teríamos encontrado 
𝑔(0) = 5 ∙ 𝑔(−1) e não teria resolvido o problema porque ainda não temos o valor 𝑔(−1). 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
d) Para calcular 𝑔(−1) , vamos fazer 𝑥 = 0 na igualdade 𝑔(𝑥) = 5 ∙ 𝑔(𝑥 − 1). 
Assim, 
𝑔(0) = 5 ∙ 𝑔(0 − 1) ⟹ 𝑔(0) = 5 ∙ 𝑔(−1) ⟹ 𝑔(−1) =
1
5
 ∙ 𝑔(0) . Como pelo item c), 𝑔(0) =
2
5
 , 
então 𝑔(−1) =
1
5
 ∙ 𝑔(0) = 
1
5
 ×
2
5
= 
2
52
= 2 × 5−2. Assim, 𝒈(−𝟏) = 𝟐 × 𝟓−𝟐. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
e) Observemos os seguintes valores da função 𝑔 : 
𝑔(3) = 2 × 52 , 𝑔(2) = 2 × 5 , 𝑔(1) = 2 = 2 × 50 , 𝑔(0) = 2 × 5−1 , 𝑔(−1) = 2 × 5−2 . 
Assim, a nossa conjectura, a nossa suposição é que 𝑔(𝑛) = 2 × 5𝑛−1 , ∀ 𝑛 ∈ ℤ . 
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Exercício 8: Considere as funções: 
𝑓(𝑥) = {
−𝑥 + 1 , 𝑠𝑒 𝑥 < 1 
−(𝑥 − 1)2 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1 
 𝑔(𝑥) = { −√−𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 < 0 
𝑥 + 2 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 
 
a) Encontre as expressões das funções ℎ(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) e 𝑗(𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) . 
b) Esboce os gráficos de 𝑓 , 𝑔 , 𝑓 ∘ 𝑔 , 𝑔 ∘ 𝑓 . 
RESOLUÇÃO: 
a) Vamos encontrar a expressão de ℎ(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥). 
Para iniciar a composição, temos que começar a observar os valores de 𝑥 na partição do domínio da função 
𝑔 , a função que inicia a composição: 
▪ Se 𝑥 < 0 : 
ℎ(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(−√−𝑥 ) = −(−√−𝑥 ) + 1 = √−𝑥 + 1 , pois se 𝑥 < 0 , 
então −𝑥 > 0 , podemos calcular √−𝑥 e também −√−𝑥 < 0 . Logo, −√−𝑥 < 0 < 1 . 
▪ Se 𝑥 > 0 : 
 
Pré-Cálculo 2021-1 EP06 – GABARITO 15 de 16 
ℎ(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥 + 2 ) = −((𝑥 + 2) − 1)
2
= −(𝑥 + 1)2 , pois se 𝑥 > 0 , 
então 𝑥 + 2 > 2 > 1 
▪ Se 𝑥 = 0: 
ℎ(0) = (𝑓 ∘ 𝑔)(0) = 𝑓(𝑔(0)) = 𝑓(0 + 2) = 𝑓(2) = −(2 − 1)2 = −1 . Logo, 
Assim, ℎ(𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = { √
−𝑥 + 1 , 𝑠𝑒 𝑥 < 0 
−(𝑥 + 1)2 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Para iniciar a composição, temos que começar a observar os valores de x na partição do domínio da 
função 𝑓 , a função que inicia a composição 
▪ Se 𝑥 < 1 : 
𝑗(𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(−𝑥 + 1) = (−𝑥 + 1) + 2 = −𝑥 + 3 , pois se 𝑥 < 1 então 
−𝑥 > −1 , donde, −𝑥 + 1 > 0 e temos que usar a lei de formação da função 𝑔 para valores 
positivos. 
▪ Se 𝑥 > 1: 
𝑗(𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(−(𝑥 − 1)2) = − √−(−(𝑥 − 1)2) = −√(𝑥 − 1)2 
= −|𝑥 − 1| , pois como (𝑥 − 1)2 > 0 , então −(𝑥 − 1)2 < 0 e temos que usar a lei de 
formação da função 𝑔 para valores negativos. 
▪ Se 𝑥 = 1: 
𝑗(1) = (𝑔 ∘ 𝑓)(1) = 𝑔(𝑓(1)) = 𝑔(0) = 0 + 2 = 2 . Logo, 
𝑗(𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = {
−𝑥 + 3 , 𝑠𝑒 𝑥 < 1 
 2 , 𝑠𝑒 𝑥 = 1 
−|𝑥 − 1| , 𝑠𝑒 𝑥 > 1 
⟹ 
𝑗(𝑥) = (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = {
−𝑥 + 3 , 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1 
−|𝑥 − 1| , 𝑠𝑒 𝑥 > 1 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
b) Vamos esboçar os gráficos: 
 
 
 
Pré-Cálculo 2021-1 EP06 – GABARITO 16 de 16 
 
 
 
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Exercício 9: 
Use os gráficos das funções 𝑓 e 𝑔 dados a seguir e determine o valor de cada uma das expressões 
apresentadas nos itens abaixo. Justifique sempre que não for possível determinar algum desses valores. 
 
a) (𝑓 ∘ 𝑔)(2) b) (𝑓 ∘ 𝑔)(0) 
c) 𝑔(𝑓(3)) d) (𝑔 ∘ 𝑓)(5) 
e) 𝑔(𝑔(−2)) f) 𝑓(𝑓(5)) 
RESOLUÇÃO: 
As informações para resolver os itens acima serão 
encontradas nos gráficos das funções 𝑓 e 𝑔 ao lado. 
Dado um valor para a abscissa 𝑥 é só procurar a 
ordenada 𝑓(𝑥) ou 𝑔(𝑥) correspondente, conforme 
seja o caso e se existir, é claro! 
a) (𝑓 ∘ 𝑔)(2) = 𝑓(𝑔(2)) = 𝑓(0) = 3 
b) (𝑓 ∘ 𝑔)(0) = 𝑓(𝑔(0)) = 𝑓(2) = 4 
c) 𝑔(𝑓(3)) = 𝑔(3) = −1 
d) (𝑔 ∘ 𝑓)(5) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(−5). Como 𝑥 = −5 ∉ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) , então (𝑔 ∘ 𝑓)(5) não pode ser 
calculada. 
e) 𝑔(𝑔(−2)) = 𝑔(4) = −2 
f) 𝑓(𝑓(5)) = 𝑓(−5) . Como 𝑥 = −5 ∉ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) , então )5()( ff  não pode ser calculada. 
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