PC_2021-1_APX1_GABARITO

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APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 1 de 43 
 
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2021-1 
 Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
GABARITO DA APX1 
_________________________________________________________________________ 
Questão 1 [2,4] TIPO 1 
Considere o polinômio 𝑝(𝑥) = −18𝑥4 − 15𝑥3 + 34𝑥2 − 15𝑥 + 2, 𝑥 ∈ ℝ. 
Em cada item abaixo complete cada lacuna com a única opção correta. 
Item(I) Determine as raízes reais 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 de 𝑝 (𝑥), 
onde 𝑥1 ≤ 𝑥2 ≤ 𝑥3 ≤ 𝑥4 e calcule 𝑚 = 3𝑥1 + 6𝑥2 − 12𝑥3 + 10𝑥4 . 
O valor de 𝑚 é _____________ 
Item (II) Determine o domínio de 𝑔(𝑥) =
3−|2𝑥−1|
√𝑝(𝑥)
. 
O domínio de 𝑔 é _________________ 
Item (III) Resolva a inequação 𝑔(𝑥) =
3−|2𝑥−1|
√𝑝(𝑥)
 ≥ 0 , 𝑥 ∈ ℝ. 
A solução é _________________ 
Item(I): 
Opção 1 𝑚 = −3 
Opção 2 𝑚 = −4 
Opção 3 𝑚 =
33
2
 
Opção 4 𝑚 =
37
2
 
Opção 5 𝑚 =
7
3
 
Opção 6 𝑚 = 12 
Opção 7 𝑚 = −
9
2
 
Opção 8 𝑚 = −
13
3
 
Item(II): 
Opção 1 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (−2 ,
1
3
) ∪ (
1
3
 ,
1
2
) 
Opção 2 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (−2 ,
1
6
) ∪ (
1
3 
 ,
1
2
) 
Opção 3 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (
1
6
 ,
1
3
) ∪ (
1
2
 , 2) ∪ (2 ,∞) 
Opção 4 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (
1
6
 ,
1
3
) ∪ (
1
3
, 2) 
Opção 5 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (
1
9
 ,
1
6
) ∪ (
1
3
 ,
1
2
) ∪ (
1
2
 , ∞) 
Opção 6 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (−1 , −
1
6
 ) ∪ (
1
3
 , 2) 
Opção 7 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (−∞ , − 
1
2
) ∪ (−
1
3
 ,
1
2
 ) ∪ (
1
2
 ,2) 
Opção 8 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (−2 , −
1
6
) ∪ (
1
3
,
2
3
) 
Item(III): 
Opção 1 [−1 ,
1
3
) ∪ (
1
3
,
1
2
) 
Opção 2 [−1 ,
1
2
) ∪ (
1
2
, 2] 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 2 de 43 
Opção 3 [−2 ,
1
3
) ∪ (
1
3
, 1] 
Opção 4 [−2 ,
1
6
) ∪ (
1
3
, 1) 
Opção 5 [−1 ,
1
6
) ∪ (
1
6
, 2] 
Opção 6 [−2 ,
1
3
) ∪ (
1
2
, 4] 
Opção 7 [−2 ,
1
6
) ∪ (
1
3
, 4] 
Opção 8 [−1 ,
1
9
) ∪ (
1
3
,
1
2
) 
 
RESOLUÇÃO: 
Item(I): 
Determinação das raízes 
Seja 𝑝(𝑥) = −18𝑥4 − 15𝑥3 + 34𝑥2 − 15𝑥 + 2, 𝑥 ∈ ℝ. 
As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente 2, que são: 
−1 , +1 , −2 , +2 . Calculando: 
𝑝(1) = −18 ∙ 14 − 15 ∙ 13 + 34 ∙ 12 − 15 ∙ 1 + 2 = −18 − 15 + 34 − 15 + 2 = −12 ≠ 0, então 
 𝑥 = 1 não é raiz de 𝑝(𝑥). 
𝑝(−1) = −18 ∙ (−1)4 − 15 ∙ (−1)3 + 34 ∙ (−1)2 − 15 ∙ (−1) + 2 = −18 + 15 + 34 + 15 + 2 =
48 ≠ 0, então 𝑥 = −1 não é raiz de 𝑝(𝑥). 
𝑝(2) = −18 ∙ 24 − 15 ∙ 23 + 34 ∙ 22 − 15 ∙ 2 + 2 = −288 − 120 + 136 − 30 + 2 = −300 ≠ 0, 
então 𝑥 = 2 não é raiz de 𝑝(𝑥). 
𝑝(−2) = −18 ∙ (−2)4 − 15 ∙ (−2)3 + 34 ∙ (−2)2 − 15 ∙ (−2) + 2 = −288 + 120 + 136 + 30 + 2 = 
= 0. Como 𝑝(−2) = 0 , então 𝑥 = −2 é raiz do polinômio 𝑝(𝑥) . 
Dividindo 𝑝(𝑥) por 𝑥 + 2 , usando o dispositivo de Briot-Ruffini, obtemos: 
 
 −18 −15 34 −15 2 
−2 −18 
−2 ∙ (−18) −
15 = 21 
−2 ∙ 21 + 34 =
−8 
−2 ∙ (−8) −
15 = 1 
−2 ∙ 1 + 2 =
0 
 
Portanto, 𝑝(𝑥) = −18𝑥4 − 15𝑥3 + 34𝑥2 − 15𝑥 + 2 = (𝑥 + 2)(−18𝑥3 + 21𝑥2 − 8𝑥 + 1) 
Chamemos de 𝑞(𝑥) o polinômio 𝑞(𝑥) = −18𝑥3 + 21𝑥2 − 8𝑥 + 1. 
Como 𝑞(𝑥) é um polinômio de grau ímpar 3, possui pelo menos uma raiz real. 
As possíveis raízes inteiras são os divisores do termo independente +1, que são: −1 , +1. 
Como −1 e 1 não são raízes de 𝑝(𝑥), também não são raízes de 𝑞(𝑥), porque se fossem raízes de 𝑞(𝑥) 
também seriam de 𝑝(𝑥). 
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As possíveis raízes racionais, não inteiras, desse polinômio são os divisores do termo independente 1 , 
que são: −1 , +1 , divididos pelos divisores, diferentes de −1 , +1 , do coeficiente do termo de maior 
grau, −18 , que são: −1 , +1 , −2 , +2 , −3 , +3 , −6 , +6 , −9 , +9 , −18 , +18 , 
Portanto, as possíveis raízes racionais, não inteiras, são: 
 +
1
2
 , −
1
2
 , +
1
3
 , −
1
3
 , +
1
6
 , −
1
6
 , +
1
9
 , −
1
9
 , +
1
18
 , −
1
18
. 
Calculando: 
𝑞 (
1
2
) = −18 ∙ (
1
2
)
3
+ 21 ∙ (
1
2
)
2
− 8 ∙ (
1
2
) + 1 = −18 ∙
1
8
+ 21 ∙
1
4
− 8 ∙
1
2
+ 1 = 
−
18
8
 +
21
4
− 
8
2
 + 1 = 
−18+42−32+8 
8
= 0 . 
Como 𝑞 (
1
2
) = 0 então 𝑥 =
1
2
 é uma raiz de 𝑞(𝑥). 
Dividindo 𝑞(𝑥) por 𝑥 −
1
2
 , usando o dispositivo de Briot-Ruffini, obtemos: 
 
 −18 21 −8 +1 
1
2
 −18 
 
1
2
∙ (−18) + 21 
= 12 
 
1
2
∙ 12 − 8 
= −2 
 
1
2
∙ (−2) + 1 
= 0 
 
Portanto, 𝑞(𝑥) = −18𝑥3 + 21𝑥2 − 8𝑥 + 1 = (𝑥 −
1
2
) (−18𝑥2 + 12𝑥 − 2) . Assim, 
𝑝(𝑥) = −18𝑥4 − 15𝑥3 + 34𝑥2 − 15𝑥 + 2 = (𝑥 + 2) (𝑥 −
1
2
) (−18𝑥2 + 12𝑥 − 2) = 
 2 (𝑥 + 2) (𝑥 −
1
2
) (−9𝑥2 + 6𝑥 − 1) 
Buscando as raízes de −9𝑥2 + 6𝑥 − 1 = 0 para fatorar o polinômio 𝑦 = −9𝑥2 + 6𝑥 − 1. 
𝑥 = 
−6±√62−4.(−9).(−1)
2.(−9)
 = 
−6±√36−36 
−18
 =
6
18
=
1
3
 
Logo, 𝑥 =
1
3
 é raiz dupla de 𝑦 = −9𝑥2 + 6𝑥 − 1 e, portanto, é raiz dupla de 𝑝(𝑥) 
Logo, as raízes reais, respeitando 𝑥1 ≤ 𝑥2 ≤ 𝑥3 ≤ 𝑥4, são: 
 𝑥1 = −2 , 𝑥2 =
1
3
 , 𝑥3 =
1
3
 , 𝑥4 =
1
2
 . 
Cálculo de 𝒎 = 𝟑𝒙𝟏 + 𝟔𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙𝟑 + 𝟏𝟎𝒙𝟒 
𝑚 = 3𝑥1 + 6𝑥2 − 12𝑥3 + 10𝑥4 = 3 ∙ (−2) + 6 ∙
1
3
− 12 ∙ 
1
3
+ 10 ∙ 
1
2
 = −6 + 2 − 4 + 5 = −3 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Item (II) 
Seja 𝑔(𝑥) =
3−|2𝑥−1|
√𝑝(𝑥)
. 
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Para calcular o domínio da função 𝑔 temos que impor que o denominador √𝑝(𝑥) seja diferente de zero 
e que o radicando 𝑝(𝑥) seja positivo ou nulo, ou seja, √𝑝(𝑥) ≠ 0 e 𝑝(𝑥) ≥ 0 . 
Como √𝑝(𝑥) ≠ 0 ⟺ 𝑝(𝑥) ≠ 0 , temos que a restrição exigida é 𝑝(𝑥) > 0. 
Para estudar o sinal de 𝑝(𝑥) precisamos fatorar o polinômio. No item (I) já encontramos as raízes de 𝑝(𝑥), 
 𝑥1 = −2 , 𝑥2 =
1
3
 , 𝑥3 =
1
3
 , 𝑥4 =
1
2
 e como o coeficiente de maior grau é igual a −18, o 
polinômio fatorado é 
𝑝(𝑥) = −18(𝑥 + 2) (𝑥 −
1
2
) (𝑥 −
1
3
)
2
= −9(𝑥 + 2)(2𝑥 − 1) (𝑥 −
1
3
)
2
 
Para estudar o sinal de 𝑝(𝑥) , vamos estudar o sinal de cada fator da fatoração de 𝑝(𝑥) : 
▪ 𝑥 + 2 
𝑥 + 2 = 0 ⟺ 𝑥 = −2 
𝑥 + 2 > 0 ⟺ 𝑥 > −2 
𝑥 + 2 < 0 ⟺ 𝑥 < −2 
▪ 2𝑥 − 1 
2𝑥 − 1 = 0 ⟺ 𝑥 =
1
2
 
2𝑥 − 1 > 0 ⟺ 𝑥 >
1
2
 
2𝑥 − 1 < 0 ⟺ 𝑥 <
1
2
 
▪ −9(𝑥 −
1
3
)
2
 
−(𝑥 −
1
3
)
2
= 0 ⟺ 𝑥 −
1
3
= 0 ⟺ 𝑥 =
1
3
 
−(𝑥 −
1
3
)
2
< 0 ⟺ 𝑥 ∈ ℝ e 𝑥 ≠ 
1
3
 
Fazendo a tabela dos sinais para 𝑝(𝑥) . 
Levando em consideração a restrição exigida, 𝑝(𝑥) > 0 , temos que 
𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (−2 ,
1
3
) ∪ (
1
3
,
1
2
) 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 (−∞,−2) −2 (−2 ,
1
3
) 
1
3
 ( 
1
3
 ,
1
2
) 
1
2
 (
1
2
 , ∞) 
𝑥 + 2 − −− 0 +++ + +++ + +++ 
2𝑥 − 1 
 
− −− − −−− − −−− 0 +++ 
−9(𝑥 −
1
3
)
2
 
 
− −− − −−− 0 −−− − −−− 
𝑝(𝑥) − −− 0 +++ 0 +++ 0 −−− 
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Item (III) 
Resolvendo a inequação 𝑔(𝑥) =
3−|2𝑥−1|
√𝑝(𝑥)
 ≥ 0 , 𝑥 ∈ ℝ. 
Como √𝑝(𝑥) > 0 para todo 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) , então 𝑔(𝑥) ≥ 0 ⟺ 
o numerador 3 − |2𝑥 − 1| ≥ 0 e 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) 
Resolvendo 3 − |2𝑥 − 1| ≥ 0 ∶ 
3 − |2𝑥 − 1 | ≥ 0 ⟺ 3 ≥ |2𝑥 − 1 | ⟺ |2𝑥 − 1 | ≤ 3 ⟺ −3 ≤ 2𝑥 − 1 ≤ 3 ⟺ 
−3 + 1 ≤ 2𝑥 − 1 + 1 ≤ 3 + 1 ⟺ −2 ≤ 2𝑥 ≤ 4 ⟺ −1 ≤ 𝑥 ≤ 2 . 
Logo, 𝑔(𝑥) =
3−|2𝑥−1|
√𝑝(𝑥)
 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ∈ [(−2 ,
1
3
) ∪ (
1
3
,
1
2
)] ∩ [−1, 2] = [−1 ,
1
3
) ∪ (
1
3
,
1
2
). 
Respostas 
A única opção correta do Item (I) é a opção 1, queé 𝑚 = −3 
A única opção correta do Item (II) é a opção 1, que é 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (−2 ,
1
3
) ∪ (
1
3
 ,
1
2
) 
A única opção correta do Item (III) é a opção 1, que é [−1 ,
1
3
) ∪ (
1
3
,
1
2
) 
_____________________________________________________________________________________ 
Questão 1 [2,4] TIPO 2 
Considere o polinômio 𝑝(𝑥) = −12𝑥4 + 8𝑥3 + 9𝑥2 − 9𝑥 + 2 , 𝑥 ∈ ℝ. 
Em cada item abaixo complete cada lacuna com a única opção correta. 
Item(I) Determine as raízes reais 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 de 𝑝 (𝑥), 
onde 𝑥1 ≤ 𝑥2 ≤ 𝑥3 ≤ 𝑥4 e calcule 𝑚 = 3𝑥1 + 6𝑥2 − 10𝑥3 + 12𝑥4 . 
O valor de 𝑚 é _____________ 
Item (II) Determine o domínio de 𝑔(𝑥) =
 3−|4𝑥−1| 
√𝑝(𝑥)
. 
O domínio de 𝑔 é _______________ 
Item (III) Resolva a inequação 𝑔(𝑥) =
3−|4𝑥−1|
√𝑝(𝑥)
 ≥ 0 , 𝑥 ∈ ℝ. 
A solução é ___________________ 
 
Item(I): 
Opção 1 𝑚 = 3 
Opção 2 𝑚 = 1 
Opção 3 𝑚 =
64
3
 
Opção 4 𝑚 =
45
2
 
Opção 5 𝑚 =
9
2
 
Opção 6 𝑚 =
31
3
 
Opção 7 𝑚 = −2 
Opção 8 𝑚 = −
13
3
 
Item(II): 
Opção 1 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (−1 ,
1
2
) ∪ (
1
2
 ,
2
3
) 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 6 de 43 
Opção 2 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (−1 ,
1
6
) ∪ (
1
2
 ,
2
3
) 
Opção 3 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (
1
3
 ,
1
2
) ∪ ( 
2
3
 , 2) ∪ (2 ,∞) 
Opção 4 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (
1
6
 ,
1
2
) ∪ (
1
2
, 2) 
Opção 5 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ( 
1 
9
,
1
4
) ∪ (
1
3
 ,
1
2
) ∪ (
1
2
 , ∞) 
Opção 6 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (−2 , −
1
6
 ) ∪ (
2
3
 , 2) 
Opção 7 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (−∞ , − 
1
2
) ∪ (−
1
4
 ,
1
2
 ) ∪ (
1
2
 ,2) 
Opção 8 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (−2 , −
1
6
) ∪ (
1
3
,
1
2
) 
Item(III): 
Opção 1 [−
1
2
 ,
1
2
) ∪ (
1
2
 ,
2
3
) 
Opção 2 [−
1
2
 ,
1
2
) ∪ (
1
2
 , 1] 
Opção 3 [−1 ,
2
3
) ∪ (
2
3
 , 1] 
Opção 4 [−1 ,
1
4
) ∪ (
1
3
 ,
1
2
) 
Opção 5 [−
1
2
 ,
1
6
) ∪ (
1
6
 ,1] 
Opção 6 [−1 ,
1
2
) ∪ (
2
3
 , 1] 
Opção 7 [−1 ,
1
6
) ∪ (
1
2
 , 2 ] 
Opção 8 [−
1
2
 ,
1
4
) ∪ (
1
2
 ,
2
3
) 
 
RESOLUÇÃO: 
Item(I): 
Determinação das raízes 
Seja 𝑝(𝑥) = −12𝑥4 + 8𝑥3 + 9𝑥2 − 9𝑥 + 2 , 𝑥 ∈ ℝ. 
As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente 2, que são: 
−1 , +1 , −2 , +2 . Calculando: 
𝑝(−1) = −12 ∙ (−1)4 + 8 ∙ (−1)3 + 9 ∙ (−1)2 − 9 ∙ (−1) + 2 = −12 − 8 + 9 + 9 + 2 = 0, então 
𝑥 = −1 é raiz de 𝑝(𝑥). 
𝑝(1) = −12 ∙ 14 + 8 ∙ 13 + 9 ∙ 12 − 9 ∙ 1 + 2 = −12 + 8 + 9 − 9 + 2 = −2 ≠ 0, então 𝑥 = 1 não é 
raiz de 𝑝(𝑥). 
𝑝(2) = −12 ∙ 24 + 8 ∙ 23 + 9 ∙ 22 − 9 ∙ 2 + 2 = −292 + 64 + 36 − 18 + 2 = −208 ≠ 0, então 𝑥 = 2 
não é raiz de 𝑝(𝑥). 
𝑝(−2) = −12 ∙ (−2)4 + 8 ∙ (−2)3 + 9 ∙ (−2)2 − 9 ∙ (−2) + 2 = −192 − 64 + 36 + 18 + 2 = 
 −200 ≠ 0 
Como 𝑝(−2) ≠ 0 , então 𝑥 = −2 é não raiz do polinômio 𝑝(𝑥) . 
 
Dividindo 𝑝(𝑥) por 𝑥 + 1 , usando o dispositivo de Briot-Ruffini, obtemos: 
 
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 −12 8 9 −9 2 
−1 −12 
 −1 ∙ (−12)
+ 8 = 20 
−1 ∙ 20 + 9
= −11 
−1 ∙ (−11) −
9 = 2 
 −1 ∙ 2 + 2 =
0 
 
Portanto, 𝑝(𝑥) = −12𝑥4 + 8𝑥3 + 9𝑥2 − 9𝑥 + 2 = (𝑥 + 1)(−12𝑥3 + 20𝑥2 − 11𝑥 + 2) 
Chamemos de 𝑞(𝑥) o polinômio 𝑞(𝑥) = −12𝑥3 + 20𝑥2 − 11𝑥 + 2. 
Como 𝑞(𝑥) é um polinômio de grau ímpar 3, possui pelo menos uma raiz real. 
As possíveis raízes inteiras são os divisores do termo independente +2, que são: −1 , +1 , −2 , +2 . 
Como 1, 2 e −2 não são raízes de 𝑝(𝑥), também não são raízes de 𝑞(𝑥), porque se fossem raízes de 𝑞(𝑥) 
também seriam de 𝑝(𝑥). 
Calculando 𝑞(−1): 
𝑞(−1) = −12 ∙ (−1)3 + 20 ∙ (−1)2 − 11 ∙ (−1) + 2 = 12 + 20 + 11 + 2 = 45 ≠ 0, então 𝑥 = −1 
não é raiz de 𝑞(𝑥). 
As possíveis raízes racionais, não inteiras, desse polinômio são os divisores do termo independente 2 , 
que são: −1 , +1 , −2 , +2 , divididos pelos divisores, diferentes de −1 , +1 , do coeficiente do termo de 
maior grau, −12 , que são: −1 , +1 , −2 , +2 , −3 , +3 , −4 , + 4 , − 12 , + 12 , 
Portanto, as possíveis raízes racionais, não inteiras, são: 
 +
1
2
 , −
1
2
 , +
1
3
 , −
1
3
 , +
1
4
 , −
1
4
 , +
1
12
 , −
1
12
 , +
2
3
 , −
2
3
 , +
1
6
 , −
1
6
 . 
Calculando: 
𝑞 (
1
2
) = −12 ∙ (
1
2
)
3
+ 20 ∙ (
1
2
)
2
− 11 ∙ (
1
2
) + 2 = −12 ∙
1
8
+ 20 ∙
1
4
− 11 ∙
1
2
+ 1 = 
−
12
8
 +
20
4
− 
11
2
 + 2 = 
−12+40−44+16 
8
= 0 
Como 𝑞 (
1
2
) = 0 então 𝑥 =
1
2
 é uma raiz de 𝑞(𝑥). 
Dividindo 𝑞(𝑥) por 𝑥 −
1
2
 , usando o dispositivo de Briot-Ruffini, obtemos: 
 
 −12 20 −11 +2 
1
2
 −12 
1
2
∙ (−12) + 20 
= 14 
 
1
2
∙ 14 − 11 
= −4 
 
1
2
∙ (−4) + 2 
= 0 
 
Portanto, 𝑞(𝑥) = −12𝑥3 + 20𝑥2 − 11𝑥 + 2 = (𝑥 −
1
2
) (−12𝑥2 + 14𝑥 − 4) . Assim, 
𝑝(𝑥) = −12𝑥4 + 8𝑥3 + 9𝑥2 − 9𝑥 + 2 = (𝑥 + 1) (𝑥 −
1
2
) (−12𝑥2 + 14𝑥 − 4) = 
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 2 (𝑥 + 1) (𝑥 −
1
2
) (−6𝑥2 + 7𝑥 − 2) 
Buscando as raízes de −6𝑥2 + 7𝑥 − 2 = 0 para fatorar o polinômio 𝑦 = −6𝑥2 + 7𝑥 − 2. 
𝑥 = 
−7±√72−4.(−6).(−2)
2.(−6)
 = 
−7±√49−48
−12
 =
−7±1
−12
 , logo, 𝑥 =
−8
−12
= 
2
3
 𝑜𝑢 𝑥 =
−6
−12
= 
1
2
 
Logo 𝑥 =
2
3
 é raiz de 𝑝(𝑥) e 𝑥 =
1
2
 é raiz dupla de 𝑝(𝑥). 
As raízes reais, respeitando 𝑥1 ≤ 𝑥2 ≤ 𝑥3 ≤ 𝑥4, são 𝑥1 = −1 , 𝑥2 =
1
2
 , 𝑥3 =
1
2
 , 𝑥4 =
2
3
 
Cálculo de 𝒎 = 𝟑𝒙𝟏 + 𝟔𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙𝟑 + 𝟏𝟐𝒙𝟒 
𝑚 = 3𝑥1 + 6𝑥2 − 10𝑥3 + 12𝑥4 = 3 ∙ (−1) + 6 ∙
1
2
− 10 ∙ 
1
2
+ 12 ∙ 
2
3
 = −3 + 3 − 5 + 8 = 3 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Item (II) 
Seja 𝑔(𝑥) =
 3−|4𝑥−1| 
√𝑝(𝑥)
. 
Para calcular o domínio da função 𝑔 temos que impor que o denominador √𝑝(𝑥) seja diferente de zero 
e que o radicando 𝑝(𝑥) seja positivo ou nulo, ou seja, √𝑝(𝑥) ≠ 0 e 𝑝(𝑥) ≥ 0 . 
Como √𝑝(𝑥) ≠ 0 ⟺ 𝑝(𝑥) ≠ 0 , temos que a restrição exigida é 𝑝(𝑥) > 0. 
Para estudar o sinal de 𝑝(𝑥) precisamos fatorar o polinômio. No item (I) já encontramos as raízes de 𝑝(𝑥), 
 𝑥1 = −1 , 𝑥2 =
1
2
 , 𝑥3 =
1
2
 , 𝑥4 =
2
3
 e como o coeficiente de maior grau é igual a −12, o 
polinômio fatorado é 
𝑝(𝑥) = −12(𝑥 + 1) (𝑥 −
1
2
)
2
(𝑥 −
2
3
) = −(𝑥 + 1)(2𝑥 − 1)2(3𝑥 − 2) 
Para estudar o sinal de 𝑝(𝑥) , vamos estudar o sinal de cada fator da fatoração de 𝑝(𝑥) : 
▪ 𝑥 + 1 
𝑥 + 1 = 0 ⟺ 𝑥 = −1 
𝑥 + 1 > 0 ⟺ 𝑥 > −1 
𝑥 + 1 < 0 ⟺ 𝑥 < −1 
▪ 3𝑥 − 2 
3𝑥 − 2 = 0 ⟺ 𝑥 =
2
3
 
3𝑥 − 2 > 0 ⟺ 𝑥 >
2
3
 
3𝑥 − 2 < 0 ⟺ 𝑥 <
2
3
 
▪ −(2𝑥 − 1)2 
−(2𝑥 − 1)2 = 0 ⟺ 2𝑥 − 1 = 0 ⟺ 𝑥 =
1
2
 
−(2𝑥 − 1)2 < 0 ⟺ 𝑥 ∈ ℝ e 𝑥 ≠ 
1
2
 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 9 de 43 
Fazendo a tabela dos sinais para 𝑝(𝑥) . 
 
Levando em consideração a restrição exigida, 𝑝(𝑥) > 0 , temos que 
𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (−1 ,
1
2
) ∪ (
1
2
 ,
2
3
) 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Item (III) 
Resolvendo a inequação 𝑔(𝑥) =
3−|4𝑥−1|
√𝑝(𝑥)
 ≥ 0 , 𝑥 ∈ ℝ. 
Como √𝑝(𝑥) > 0 para todo 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) , então 𝑔(𝑥) ≥ 0 ⟺ 
O numerador 3 − |4𝑥 − 1 | ≥ 0 e 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) 
Resolvendo 3 − |4𝑥 − 1| ≥ 0 ∶ 
3 − |4𝑥 − 1 | ≥ 0 ⟺ 3 ≥ |4𝑥 − 1 | ⟺ |4𝑥 − 1 | ≤ 3 ⟺ −3 ≤ 4𝑥 − 1 ≤ 3 ⟺ 
−3 + 1 ≤ 4𝑥 − 1 + 1 ≤ 3 + 1 ⟺ −2 ≤ 4𝑥 ≤ 4 ⟺ −
1
2
≤ 𝑥 ≤ 1 
Logo, 𝑔(𝑥) =
3−| 4𝑥−1|
√𝑝(𝑥)
 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ∈ [(−1 ,
1
2
) ∪ (
1
2
 ,
2
3
)] ∩ [−
1
2
, 1] = [−
1
2
 ,
1
2
) ∪ (1
2
 ,
2
3
) 
Respostas 
A única opção correta do Item (I) é a opção 1, que é 𝑚 = 3 
A única opção correta do Item (II) é a opção 1, que é 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (−1 ,
1
2
) ∪ (
1
2
 ,
2
3
) 
A única opção correta do Item (III) é a opção 1, que é [−
1
2
 ,
1
2
) ∪ (
1
2
 ,
2
3
) 
 
Questão 2 [1,4] TIPO 1 
Considere a função definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 6𝑥 − 5. 
Sabendo que o ponto (3, −14) está no gráfico de 𝑓, determine o valor da constante 𝑎. 
Sabendo que o ponto 𝑉(ℎ, 𝑘) é o vértice da parábola, que é o gráfico da função 𝑓, 
e usando o valor da constante 𝑎 , encontre as coordenadas ℎ e 𝑘. 
Calcule 𝑠 = 4ℎ + 3𝑘. 
 (−∞,−1) −1 (−1 ,
1
2
) 
1
2
 ( 
1
2
 ,
2
3
) 
2
3
 (
2
3
 , ∞) 
𝑥 + 1 − −− 0 +++ +
++
+ 
+++ + +++ 
3𝑥 − 2 − −− − −−− −
++
+ 
−−− 0 +++ 
−(2𝑥 − 1)2 
 
− −− − −−− 0 −−− − −−− 
𝑝(𝑥) − −− 0 +++ 0 +++ 0 −−− 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 10 de 43 
Considere que a reta de equação 𝑟(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏, corta a parábola em dois pontos 
e que 𝑟(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) se e somente se 𝑥 ∈ [0, ℎ], onde ℎ é a constante já determinada. 
Determine as constantes 𝑚 e 𝑏 e calcule 𝑡 = 2𝑚 − 3𝑏. 
 
Complete cada lacuna escolhendo a única opção correta. 
O resultado de 𝑠 = 4ℎ + 3𝑘 é _______ e o resultado de 𝑡 = 2𝑚 − 3𝑏 é __________ 
Opções da lacuna 1 
Opção 1 −2 
Opção 2 −5 
Opção 3 2 
Opção 4 10 
Opções da lacuna 2 
Opção 1 21 
Opção 2 −9 
Opção 3 9 
Opção 4 −21 
RESOLUÇÃO 
Determinação da constante 𝒂 
Sabendo que 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 6𝑥 − 5 e o ponto (3, −14) está no gráfico de 𝑓, temos que 𝑓(3) = −14. 
Calculando 𝑓(3) = 𝑎 ∙ 32 + 6 ∙ 3 − 5 = 9𝑎 + 18 − 5 = 9𝑎 + 13. 
Assim, 9𝑎 + 13 = −14. Resolvendo essa equação em 𝑎, 
9𝑎 + 13 = −14 ⟺ 9𝑎 = −27 ⟺ 𝑎 = −3. 
Determinação das coordenadas 𝒉 e 𝒌 do vértice 𝑽 = (𝒉, 𝒌) da parábola (que é o gráfico de 𝒇). 
Como 𝑎 = −3, 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 6𝑥 − 5. 
Vamos completar o quadrado em 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 6𝑥 − 5 para escrever 𝑓(𝑥) na forma canônica 𝑓(𝑥) =
𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘, onde ℎ e 𝑘 são as coordenadas do vértice. 
𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 6𝑥 − 5 = −3(𝑥2 − 2𝑥) − 5 = −3(𝑥2 − 2𝑥 + 1 − 1) − 5 = 
−3(𝑥2 − 2𝑥 + 1) + 3 − 5 = −3(𝑥 − 1)2 − 2. 
Logo, 𝒉 = 𝟏 e 𝒌 = −𝟐. 
Cálculo de 𝒔 = 𝟒𝒉 + 𝟑𝒌 
𝑠 = 4ℎ + 3𝑘 = 4 ∙ 1 + 3 ∙ (−2) = 4 − 6 = −2. 
Determinação das constantes 𝒎 e 𝒃. 
Como ℎ = 1, temos que 𝑟(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) se e somente se 𝑥 ∈ [0, 1]. 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 11 de 43 
Para ilustrar, observe a parábola e a reta esboçadas ao lado. 
Logo, 𝑟(0) = 𝑓(0) e 𝑟(1) = 𝑓(1). 
Se 𝑟(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 e 𝑥 = 0, temos 𝑟(0) = 𝑚 ∙ 0 + 𝑏 = 𝑏 
Se 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 6𝑥 − 5 e 𝑥 = 0, temos 
𝑓(0) = −3(0)2 + 6 ∙ 0 − 5 = −5. 
Como 𝑟(0) = 𝑓(0), temos que 𝑏 = −5. 
Se 𝑟(𝑥) = 𝑚𝑥 − 5 e 𝑥 = 1, temos 𝑟(1) = 𝑚 ∙ 1 − 5 = 𝑚 − 5 
Se 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 6𝑥 − 5 e 𝑥 = 1, temos 𝑓(1) = −2 (vértice). 
Como 𝑟(1) = 𝑓(1), temos que 𝑚 − 5 = −2. Logo 𝑚 = −2 + 5 = 3. 
Portanto 𝒎 = 𝟑 e 𝒃 = −𝟓. 
Cálculo de 𝒕 = 𝟐𝒎− 𝟑𝒃 
𝑡 = 2𝑚 − 3𝑏 = 2 ∙ 3 − 3 ∙ (−5) = 6 + 15 = 21. 
Respostas 
Pelos cálculos acima, a única opção correta da lacuna 1 é a opção 1, que é −2. 
Pelos cálculos acima, a única opção correta da lacuna 2 é a opção 1, que é 21. 
 
Questão 2 [1,4] TIPO 2 
 Considere a função definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 − 4𝑥 − 4 
Sabendo que o ponto (−3,−10) está no gráfico de 𝑓, determine o valor da constante 𝑎. 
Sabendo que o ponto 𝑉(ℎ, 𝑘) é o vértice da parábola, que é o gráfico da função 𝑓, 
e usando o valor da constante 𝑎 , encontre as coordenadas ℎ e 𝑘. 
Calcule 𝑠 = 4ℎ + 3𝑘. 
Considere que a reta de equação 𝑟(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏, corta a parábola em dois pontos 
e que 𝑟(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) se e somente se 𝑥 ∈ [ℎ, 0], onde ℎ é a constante já determinada. 
Determine as constantes 𝑚 e 𝑏 e calcule 𝑡 = 2𝑚 − 3𝑏. 
Complete cada lacuna escolhendo a única opção correta. 
O resultado de 𝑠 = 4ℎ + 3𝑘 é _______ e o resultado de 𝑡 = 2𝑚 − 3𝑏 é __________ 
Opções da lacuna 1 
Opção 1 −10 
Opção 2 −11 
Opção 3 −2 
Opção 4 10 
Opções da lacuna 2 
Opção 1 8 
Opção 2 16 
Opção 3 −8 
Opção 4 −16 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 12 de 43 
RESOLUÇÃO 
Determinação da constante 𝒂 
Sabendo que 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 − 4𝑥 − 4 e o ponto(−3,−10) está no gráfico de 𝑓, temos que 𝑓(−3) = −10. 
Calculando 𝑓(−3) = 𝑎 ∙ (−3)2 − 4 ∙ (−3) − 4 = 9𝑎 + 12 − 4 = 9𝑎 + 8. 
Assim, 9𝑎 + 8 = −10. Resolvendo essa equação em 𝑎, 
9𝑎 + 8 = −10 ⟺ 9𝑎 = −18 ⟺ 𝑎 = −2. 
Determinação das coordenadas 𝒉 e 𝒌 do vértice 𝑽 = (𝒉, 𝒌) da parábola (que é o gráfico de 𝒇). 
Como 𝑎 = −2, 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 − 4𝑥 − 4 . 
Vamos completar o quadrado em 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 − 4𝑥 − 4 escrever 𝑓(𝑥) na forma canônica 𝑓(𝑥) =
𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘, onde ℎ e 𝑘 são as coordenadas do vértice. 
𝑓(𝑥) = −2𝑥2 − 4𝑥 − 4 = −2(𝑥2 + 2𝑥) − 4 = −2(𝑥2 + 2𝑥 + 1 − 1) − 4 = 
−2(𝑥2 + 2𝑥 + 1) + 2 − 4 = −2(𝑥 + 1)2 − 2. 
Logo, 𝒉 = −𝟏 e 𝒌 = −𝟐. 
Cálculo de 𝒔 = 𝟒𝒉 + 𝟑𝒌 
𝑠 = 4ℎ + 3𝑘 = 4 ∙ (−1) + 3 ∙ (−2) = −4 − 6 = −10. 
Determinação das constantes 𝒎 e 𝒃. 
Como ℎ = −1, temos que 𝑟(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) se e somente se 𝑥 ∈ [−1, 0]. 
Para ilustrar, observe a parábola e a reta esboçadas ao lado. 
Logo, 𝑟(0) = 𝑓(0) e 𝑟(−1) = 𝑓(−1). 
Se 𝑟(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 e 𝑥 = 0, temos 𝑟(0) = 𝑚 ∙ 0 + 𝑏 = 𝑏 
Se 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 − 4𝑥 − 4 e 𝑥 = 0, temos 𝑓(0) = −2(0)2 − 6 ∙ 0 − 4 = −4. 
Como 𝑟(0) = 𝑓(0), temos que 𝑏 = −4. 
Se 𝑟(𝑥) = 𝑚𝑥 − 4 e 𝑥 = −1, temos 𝑟(−1) = 𝑚 ∙ (−1) − 4 = −𝑚 − 4 
Se 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 − 4𝑥 − 4 e 𝑥 = −1, temos 𝑓(−1) = −2 (vértice). 
Como 𝑟(−1) = 𝑓(−1), temos que −𝑚 − 4 = −2. Logo 𝑚 = 2 − 4 = −2. 
Portanto 𝒎 = −𝟐 e 𝒃 = −𝟒. 
Cálculo de 𝒕 = 𝟐𝒎− 𝟑𝒃 
𝑡 = 2𝑚 − 3𝑏 = 2 ∙ (−2) − 3 ∙ (−4) = −4 + 12 = 8. 
Respostas 
Pelos cálculos acima, a única opção correta da lacuna 1 é a opção 1, que é −10. 
Pelos cálculos acima, a única opção correta da lacuna 2 é a opção 1, que é 8. 
 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 13 de 43 
Questão 3 [1,8] TIPO 1 
Observe os gráficos das funções 𝑓 e 𝑔 dados a seguir e escolha a única opção 
correta para a lacuna de cada item. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = _____________ 
Opção 1 [−3 , 9] 
Opção 2 (−3, 9) 
Opção 3 [−6 , 3] 
Opção 4 (−6 , 3) 
2. 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = _____________ 
Opção 1 (−6 , 13] 
Opção 2 [−6 , 13) 
Opção 3 [−6 , −1] 
Opção 4 (−6 ,−1) 
3. 𝐼𝑚(𝑓) = ___________ 
Opção 1 [−6 , 3] 
Opção 2 (−6 , 3) 
Opção 3 [− 3 , −6] 
Opção 4 [−6 , −1) 
4. 𝐼𝑚(𝑔) = _________________ 
Opção 1 [−6 , −1] 
Opção 2 (−6 ,−1) 
Opção 3 [−6 , −2) ∪ (−2 , −1] 
Opção 4 (−6 ,−2) ∪ (−2 ,−1) 
5. (𝑓 ∘ 𝑔)(13) ________________ 
Opção 1 1 
Opção 2 −
7
2
 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 14 de 43 
Opção 3 2 
Opção 4 não pode ser calculado 
6. (𝑓 ∘ 𝑔)(−3) = _____________ 
Opção 1 não pode ser calculado 
Opção 2 5 
Opção 3 −5 
Opção 4 −3 
7. (𝑔 ∘ 𝑓)(2) = _______________ 
Opção 1 −3 
Opção 2 −2,8 
Opção 3 −5 
Opção 4 não pode ser calculado 
8. (𝑔 ∘ 𝑔)(1) = _____________ 
Opção 1 −5 
Opção 2 −3 
Opção 3 5 
Opção 4 não pode ser calculado 
9. (𝑓 ∘ 𝑓)(7) = _____________ 
Opção 1 não pode ser calculado 
Opção 2 −5 
Opção 3 −4 
Opção 4 −6 
RESOLUÇÃO 
Projetando o gráfico de 𝑓 no eixo 𝑥, concluímos que 𝑫𝒐𝒎(𝒇) = [−𝟑, 𝟗]. 
Projetando o gráfico de 𝑔 no eixo 𝑥, concluímos que 𝑫𝒐𝒎(𝒈) = (−𝟔, 𝟏𝟑]. 
Projetando o gráfico de 𝑓 no eixo 𝑦, concluímos que 𝑰𝒎(𝒇) = [−𝟔, 𝟑]. 
Projetando o gráfico de 𝑔 no eixo 𝑦, concluímos que 𝑰𝒎(𝒈) = [−𝟔,−𝟏]. 
(𝑓∘ 𝑔)(13) = 𝑓(𝑔(13)) = 𝑓(−1) = 1, portanto (𝒇 ∘ 𝒈)(𝟏𝟑) = 𝟏. 
(𝑓 ∘ 𝑔)(−3) = 𝑓(𝑔(−3)) = 𝑓( −5). Como −5 ∉ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [−3, 9] não é possível calcular 𝑓( −5), 
portanto não é possível calcular (𝒇 ∘ 𝒈)(−𝟑). 
(𝑔 ∘ 𝑓)(2) = 𝑔(𝑓(2)) = 𝑔(1) = −3, portanto (𝒈 ∘ 𝒇)(𝟐) = −𝟑. 
(𝑔 ∘ 𝑔)(1) = 𝑔(𝑔(1)) = 𝑔(−3) = −5, portanto (𝒈 ∘ 𝒈)(𝟏) = −𝟓 
(𝑓 ∘ 𝑓)(7) = 𝑓(𝑓(7)) = 𝑓(−4) Como −4 ∉ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [−3, 9] não é possível calcular 𝑓(−4), portanto 
não é possível calcular (𝒇 ∘ 𝒇)(𝟕). 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 15 de 43 
Pelas justificativas acima, concluímos as respostas das lacunas 1 a 9: 
1. A opção correta é a opção 1, que é [−3, 9] 
2. A opção correta é a opção 1, que é (−6, 13] 
3. A opção correta é a opção 1, que é [−6, 3] 
4. A opção correta é a opção 1, que é [−6,−1] 
5. A opção correta é a opção 1, que é 1 
6. A opção correta é a opção 1, que é não é possível calcular 
7. A opção correta é a opção 1, que é −3 
8. A opção correta é a opção 1, que é −5 
9. A opção correta é a opção 1, que é não é possível calcular 
 
Questão 3 [1,8] TIPO 2 
 
Observe os gráficos das funções 𝑓 e 𝑔 dados a seguir e escolha a única opção 
correta para a lacuna de cada item. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ____________ 
Opção 1 [−4 , 5] 
Opção 2 (−4, 5) 
Opção 3 [5 , −4] 
Opção 4 [−7 , 3] 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 16 de 43 
 
2. 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ____________ 
Opção 1 (−6 , 6] 
Opção 2 [−6 , 6] 
Opção 3 [−6 , −2] 
Opção 4 (6 , −6] 
3. 𝐼𝑚(𝑓) = ____________ 
Opção 1 [−7 , 3] 
Opção 2 (−7 , 3) 
Opção 3 [3 , −7] 
Opção 4 [−6 , −2) 
4. 𝐼𝑚(𝑔) = ____________ 
Opção 1 [−6 , −2] 
Opção 2 [−6 , −2) 
Opção 3 (−6 ,−2) 
Opção 4 (−2 ,−6) 
 
5. (𝑓 ∘ 𝑔)(6) = _____________ 
Opção 1 2 
Opção 2 −
7
2
 
Opção 3 2 
Opção 4 não pode ser calculado 
6. (𝑔 ∘ 𝑓)(5) = ____________ 
Opção 1 não pode ser calculado 
Opção 2 −6 
Opção 3 2 
Opção 4 −3 
7. (𝑔 ∘ 𝑓)(−2) = _________________ 
Opção 1 −4 
Opção 2 −2,8 
Opção 3 −5 
Opção 4 não pode ser calculado 
8. (𝑔 ∘ 𝑔)(4) = _____________ 
Opção 1 não pode ser calculado 
Opção 2 −3 
Opção 3 5 
Opção 4 −2 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 17 de 43 
9. (𝑓 ∘ 𝑓)(0) = ________________ 
Opção 1 -3 
Opção 2 3 
Opção 3 9 
Opção4 não pode ser calculado 
RESOLUÇÃO 
Projetando o gráfico de 𝑓 no eixo 𝑥, concluímos que 𝑫𝒐𝒎(𝒇) = [−𝟒 , 𝟓]. 
Projetando o gráfico de 𝑔 no eixo 𝑥, concluímos que 𝑫𝒐𝒎(𝒈) = (−𝟔 , 𝟔]. 
Projetando o gráfico de 𝑓 no eixo 𝑦, concluímos que 𝑰𝒎(𝒇) = [−𝟕, 𝟑]. 
Projetando o gráfico de 𝑓 no eixo 𝑦, concluímos que 𝑰𝒎(𝒈) = [−𝟔,−𝟐]. 
(𝑓 ∘ 𝑔)(6) = 𝑓(𝑔( 6 )) = 𝑓(−2) = 2, portanto (𝒇 ∘ 𝒈)(𝟔) = 𝟐. 
(𝑔 ∘ 𝑓)(5) = 𝑔(𝑓(5)) = 𝑔(−7). Como −7 ∉ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (−𝟔 , 𝟔] não é possível calcular 𝑔(−7), 
portanto não é possível calcular (𝒈 ∘ 𝒇)(𝟓). 
(𝑔 ∘ 𝑓)(−2) = 𝑔(𝑓(−2)) = 𝑔(2) = −4, portanto (𝒈 ∘ 𝒇)(−𝟐) = −𝟒. 
(𝑔 ∘ 𝑔)(4) = 𝑔(𝑔(4)) = 𝑔(−6). Como −6 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = (−𝟔 , 𝟔] não é possível calcular 𝑔(−6), portanto 
não é possível calcular (𝒈 ∘ 𝒈)(𝟒). 
(𝑓 ∘ 𝑓)(0) = 𝑓(𝑓(0)) = 𝑓(3) = −3, portanto (𝒇 ∘ 𝒇)(𝟎) = −𝟑. 
Pelas justificativas acima, concluímos as opções das respostas das lacunas 1 a 9 são 
1. A opção correta é a opção 1, que é [−4, 5] 
2. A opção correta é a opção 1, que é (−6 , 6] 
3. A opção correta é a opção 1, que é [−7, 3] 
4. A opção correta é a opção 1, que é [−6,−2] 
5. A opção correta é a opção 1, que é 2 
6. A opção correta é a opção 1, que é não é possível calcular 
7. A opção correta é a opção 1, que é −4 
8. A opção correta é a opção 1, que é não é possível calcular 
9. A opção correta é a opção 1, que é −3 
 
 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 18 de 43 
Questão 4 [1,0] TIPO 1 
Considere 𝑝 e 𝑞 constantes reais, 𝑞 > 0 e 𝑥 ∈ [−√𝑞 , √𝑞 ]. 
Determine os valores de 𝑝 e 𝑞 para que a função 𝑓(𝑥) = 𝑝 − √𝑞 − 𝑥2 
tenha como gráfico uma semicircunferência de centro (0, 1) e raio 2. 
Com os valores de 𝑝 e 𝑞 determinados, calcule o valor de 3𝑝 + 4𝑞 e 
esboce o gráfico da função 𝑓. 
Considere as semicircunferências esboçadas abaixo. 
Semicircunferência 1 Semicircunferência 2 Semicircunferência 3 
 
 
 
 
 
 
Semicircunferência 4 Semicircunferência 5 Semicircunferência 6 
 
 
 
 
 
 
 
Complete a lacuna de cada item com a única opção correta. 
(a) O valor de 3𝑝 + 4𝑞 é _______________ 
Opção 1 19 
Opção 2 11 
Opção 3 14 
Opção 4 22 
Opção 5 39 
(b) O gráfico da função 𝑓 é a _________ 
Opção 1 Semicircunferência 3 
Opção 2 Semicircunferência 2 
Opção 3 Semicircunferência 1 
Opção 4 Semicircunferência 4 
Opção 5 Semicircunferência 5 
Opção 6 Semicircunferência 6 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 19 de 43 
 
RESOLUÇÃO 
Determinação dos valores de 𝒑 e 𝒒 
Como 𝑓(𝑥) = 𝑝 − √𝑞 − 𝑥2 então 𝑦 = 𝑝 − √𝑞 − 𝑥2 . 
Vamos fazer contas para reescrever essa equação na forma canônica. 
𝑦 = 𝑝 − √𝑞 − 𝑥2 ⟺ 𝑦 − 𝑝 = −√𝑞 − 𝑥2 ⟹ (𝑦 − 𝑝)2 = (−√𝑞 − 𝑥2 )
2
 ⟹ 
(𝑦 − 𝑝)2 = 𝑞 − 𝑥2 ⟹ 𝑥2 + (𝑦 − 𝑝)2 = 𝑞 
Essa é a equação de uma circunferência de centro 𝐶 = (0, 𝑝) e raio 𝑟 tal que 𝑟2 = 𝑞. Logo, concluímos 
que 𝑞 > 0. 
Para que o gráfico de 𝑓 seja uma semicircunferência de centro (0, 1) e raio 𝑟 = 2 é preciso que 
(0, 𝑝) = (0, 1) e 𝑞 = 𝑟2 = 22 = 4. Portanto 𝒑 = 𝟏 e 𝒒 = 𝟒. 
Cálculo de 𝟑𝒑 + 𝟒𝒒 
3𝑝 + 4𝑞 = 3 ∙ 1 + 4 ∙ 4 = 3 + 16 = 19. 
Gráfico da função 𝒇 
Com os valores de 𝑝 = 1 e 𝑞 = 4, 𝑓(𝑥) = 1 − √4 − 𝑥2 . 
Da forma canônica, 𝑥2 + (𝑦 − 1)2 = 4 
A circunferência de centro (0, 1) e raio 2 está esboçada ao lado. 
Precisamos concluir qual parte dessa circunferência é o gráfico 𝑓. 
𝑓(𝑥) = 1 − √4 − 𝑥2 , então 𝑦 = 1 − √4 − 𝑥2 ⟺ 
𝑦 − 1 = −√4 − 𝑥2 . 
Como −√4 − 𝑥2 ≤ 0, temos que 𝑦 − 1 ≤ 0 ⟺ 𝑦 ≤ 1. 
Como no gráfico da função 𝑓 temos que 𝑦 ≤ 1, concluímos que o gráfico 
da função 𝑓 é a semicircunferência inferior, esboçada ao lado. 
Respostas 
A única opção correta do item (a) é a opção 1, que é 19. 
A única opção correta do item (b) é a opção 1, que é a Semicircunferência 3. 
 
 
 
 
 
 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 20 de 43 
Questão 4 [1,0] TIPO 2 
Considere 𝑝 e 𝑞 constantes reais, 𝑞 > 0 e 𝑥 ∈ [−√𝑞 , √𝑞 ]. 
Determine os valores de 𝑝 e 𝑞 para que a função 𝑓(𝑥) = 𝑝 − √𝑞 − 𝑥2 
tenha como gráfico uma semicircunferência de centro (0, 2) e raio 3. 
Com os valores de 𝑝 e 𝑞 determinados, calcule o valor de 4𝑝 − 3𝑞 
e esboce o gráfico da função 𝑓. 
 
Considere as semicircunferências esboçadas abaixo. 
 
Semicircunferência 1 Semicircunferência 2 Semicircunferência 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
Semicircunferência 4 Semicircunferência 5 Semicircunferência 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Complete a lacuna de cada item com a única opção correta. 
(a) O valor de 4𝑝 − 3𝑞 é _______________ 
Opção 1 − 19 
Opção 2 − 11 
Opção 3 30 
Opção 4 6 
Opção 5 36 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 21 de 43 
(b) O gráfico da função 𝑓 é a _________ 
Opção 1 Semicircunferência 5 
Opção 2 Semicircunferência 2 
Opção 3 Semicircunferência 3 
Opção 4 Semicircunferência 4 
Opção 5 Semicircunferência 1 
Opção 6 Semicircunferência 6 
 
RESOLUÇÃO 
Determinação dos valores de 𝒑 e 𝒒 
Como 𝑓(𝑥) = 𝑝 − √𝑞 − 𝑥2 então 𝑦 = 𝑝 − √𝑞 − 𝑥2 . 
Vamos fazer contas para reescrever essa equação na forma canônica. 
𝑦 = 𝑝 − √𝑞 − 𝑥2 ⟺ 𝑦 − 𝑝 = −√𝑞 − 𝑥2 ⟹ (𝑦 − 𝑝)2 = (−√𝑞 − 𝑥2 )
2⟹ 
(𝑦 − 𝑝)2 = 𝑞 − 𝑥2 ⟹ 𝑥2 + (𝑦 − 𝑝)2 = 𝑞 
Essa é a equação de uma circunferência de centro 𝐶 = (0, 𝑝) e raio 𝑟 tal que 𝑞 = 𝑟2. Logo, concluímos 
que 𝑞 > 0. 
Para que o gráfico de 𝑓 seja uma semicircunferência de centro (0, 2) e raio 𝑟 = 3 é preciso que 
(0, 𝑝) = (0, 2) e 𝑞 = 𝑟2 = 32 = 9. Portanto 𝒑 = 𝟐 e 𝒒 = 𝟗. 
Cálculo de 4𝒑 − 𝟑𝒒 
4𝑝 − 3𝑞 = 4 ∙ 2 − 3 ∙ 9 = 8 − 27 = −19. 
Gráfico da função 𝒇 
Com os valores de 𝑝 = 2 e 𝑞 = 9, 𝑓(𝑥) = 2 − √9 − 𝑥2 . 
Da forma canônica, 𝑥2 + (𝑦 − 2)2 = 9 
A circunferência de centro (0, 2) e raio 3 está esboçada ao lado. 
Precisamos concluir qual parte dessa circunferência é o gráfico 𝑓. 
𝑓(𝑥) = 2 − √9 − 𝑥2 , então 𝑦 = 2 − √9 − 𝑥2 ⟺ 
𝑦 − 2 = −√9 − 𝑥2 . 
Como −√ 9 − 𝑥2 ≤ 0, temos que 𝑦 − 2 ≤ 0 ⟺ 𝑦 ≤ 2. 
Como no gráfico da função 𝑓 temos que 𝑦 ≤ 2, concluímos 
que o gráfico da função 𝑓 é a semicircunferência inferior, 
esboçada ao lado. 
Respostas 
A única opção correta do item (a) é a opção 1, que é −19. 
A única opção correta do item (b) é a opção 1, que é a Semicircunferência 5. 
 
 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 22 de 43 
Questão 5 [1,0] TIPO 1 
 
Considere 𝑔(𝑥) = −(𝑥 − 4)2 + 𝑘, 𝑘 > 5. 
Considere ℎ(𝑥) = {
2|𝑥| − 3, −3 ≤ 𝑥 < 2
𝑔(𝑥), 2 ≤ 𝑥 ≤ 5
 
Escolha o único possível gráfico da função ℎ. 
Opção 1 Opção 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Opção 3 Opção 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Opção 5 Opção 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 23 de 43 
Opção 7 Opção 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Opção 9 Opção 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
Construção do gráfico de 𝒚 = 𝟐|𝒙| − 𝟑, 𝑥 ∈ ℝ 
Vamos construir o gráfico de 𝑦 = 2|𝑥| − 3, usando transformações em gráficos e começando pelo 
gráfico de 𝑦 = |𝑥|. 
 
 
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑎çã𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙,
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 2
→ 
 
 
 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 24 de 43 
 
 
 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
→ 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Construção do gráfico de 𝒉(𝒙) = 𝟐|𝒙| − 𝟑, −𝟑 ≤ 𝒙 < 𝟐 
O gráfico de ℎ coincide com o gráfico anterior para os 
valores de 𝑥 tal que −3 ≤ 𝑥 < 2. 
Se 𝑦 = 2|𝑥| − 3 e 𝑥 = −3, temos que 
𝑦 = 2|−3| − 3 = 6 − 3 = 3. 
O ponto (−3, 3) é um ponto do gráfico anterior e do 
gráfico de ℎ porque 𝑥 = −3 está no intervalo −3 ≤ 𝑥 < 2. 
Se 𝑦 = 2|𝑥| − 3 e 𝑥 = 2, temos que 
𝑦 = 2|2| − 3 = 4 − 3 = 1. 
O ponto (2, 1) é um ponto do gráfico anterior, mas não é 
um ponto do gráfico de ℎ porque 𝑥 = 2 não está no 
intervalo −3 ≤ 𝑥 < 2. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Possível gráfico de 𝑔(𝑥) = −(𝑥 − 4)2 + 𝑘, 𝑘 > 5, 𝑥 ∈ ℝ 
A função está escrita na forma canônica e o gráfico de 𝑔 é uma parábola. 
Como o coeficiente de (𝑥 − 4)2 é igual a −1 e −1 < 0, a parábola tem concavidade para baixo. 
O vértice da parábola é 𝑉 = (4, 𝑘) e 𝑘 > 5. 
Portanto o gráfico de 𝑔 é uma parábola com concavidade para baixo e vértice 𝑉 = (4, 𝑘) e a ordenada 
do vértice da parábola é maior do que 5. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Possível gráfico de ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑥) = −(𝑥 − 4)2 + 𝑘, 𝑘 > 5, 2 ≤ 𝑥 ≤ 5. 
Se 𝑔(𝑥) = −(𝑥 − 4)2 + 𝑘 e 𝑥 = 2 (extremo esquerdo do intervalo), temos 
𝑦 = 𝑔(2) = −(2 − 4)2 + 𝑘 = −(−2)2 + 𝑘 = −4 + 𝑘. 
Como 𝑘 > 5 , temos: 
𝑘 > 5 ⟹ −4 + 𝑘 > −4 + 5 ⟹ −4 + 𝑘 > 1. 
Assim, o ponto (2, ℎ(2)) = (2, 𝑔(2)) = (2,−4 + 𝑘) da parábola tem ordenada maior do que 1. 
Se 𝑔(𝑥) = −(𝑥 − 4)2 + 𝑘 e 𝑥 = 5 (extremo direito do intervalo), temos 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 25 de 43 
𝑦 = 𝑔(5) = −(5 − 4)2 + 𝑘 = −(1)2 + 𝑘 = −1 + 𝑘. 
Como 𝑘 > 5 , temos: 
𝑘 > 5 ⟹ −1 + 𝑘 > −1 + 5 ⟹ −1 + 𝑘 > 4. 
Assim, o ponto (5, ℎ(5) = (5, 𝑔(5)) = (5,−1 + 𝑘) da parábola tem ordenada maior do que 4. 
 
Assim, um possível gráfico de ℎ(𝑥) = −(𝑥 − 4)2 + 𝑘, 2 ≤ 𝑥 ≤ 5 deve satisfazer as condições: 
• O gráfico é uma parábola com concavidade para baixo. 
• A ordenada do vértice da parábola deve ser maior do que 5. 
• O ponto (2, ℎ(2)) da parábola deve ter ordenada maior do que 1. 
• O ponto (5, ℎ(5)) da parábola deve ter ordenada maior do que 4. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Possíveis gráficos de 𝒉 
• Observando o gráfico de ℎ(𝑥) = 2|𝑥| − 3, −3 ≤ 𝑥 < 2 e comparando com os 10 gráficos 
dados, sabemos que os gráficos das opções 1, 3 e 9 são possíveis gráficos da função ℎ e as demais 
opções não são possíveis gráficos de ℎ. 
• Observando as condições que a parábola e seus pontos devem satisfazer e comparando com os 
10 gráficos dados, sabemos que os gráficos das opções 1, 2 e 8 são possíveis gráficos da função ℎ 
e as demais opções não são possíveis gráficos de ℎ. 
Resposta 
Pelas argumentações acima, o único possível gráfico da função ℎ é o gráfico da opção 1. 
 
Questão 5 [1,0] TIPO 2 
Considere 𝑔(𝑥) = −(𝑥 + 3)2 + 𝑘, 𝑘 > 2. 
Considere ℎ(𝑥) = {
 𝑔(𝑥) , − 5 ≤ 𝑥 ≤ −2
5 − 2|𝑥| , − 2 < 𝑥 ≤ 1
 
Escolha o único possível gráfico da função ℎ. 
 
Opção 1 Opção 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 26 de 43 
Opção 3 Opção 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Opção 5 Opção 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Opção 7 Opção 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 27 de 43 
Opção 9 Opção 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
Construção do gráfico de 𝒚 = 𝟓 − 𝟐|𝒙|, 𝑥 ∈ ℝ 
Vamos construir o gráfico de 𝑦 = 5 − 2|𝑥|, usando transformações em gráficos e começando pelo 
gráfico de 𝑦 = |𝑥|. 
 
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑎çã𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙,
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 2
→ 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
5 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Construção do gráfico de 𝒈(𝒙) = 𝟓 − 𝟐|𝒙| , − 𝟐 < 𝒙 ≤ 𝟏 
O gráfico de ℎ coincide com o gráfico anterior para os valores de 𝑥 tal que. − 𝟐 < 𝒙 ≤ 𝟏 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 28 de 43 
Se 𝑦 = 5 − 2|𝑥| e 𝑥 = −2, temos que 
𝑦 = 5 − 2|−2| = 5 − 4 = 1. 
O ponto (−2, 1) é um ponto do gráfico anterior, mas não é um 
ponto do gráfico de ℎ porque 𝑥 = −2 não está no intervalo 
 −2 < 𝑥 ≤ 1. 
Se 𝑦 = 5 − 2|𝑥| e 𝑥 = 1, temos que 
𝑦 = 5 − 2|1| = 5 − 2 = 3. 
O ponto (1, 3) é um ponto do gráfico anterior e do gráfico de ℎ 
porque 𝑥 = 1 está no intervalo −2 < 𝑥 ≤ 1. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Possível gráfico de 𝑔(𝑥) = −(𝑥 + 3)2 + 𝑘, 𝑘 > 2, 𝑥 ∈ ℝ 
A função está escrita na forma canônica e o gráfico de 𝑔 é uma parábola. 
Como o coeficiente de − (𝑥 + 3)2 é igual a −1 e −1 < 0, a parábola tem concavidade para baixo. 
O vértice da parábola é 𝑉 = (−3, 𝑘) e 𝑘 > 2. e a ordenada do vértice da parábola é maior do que 2. 
Portanto o gráfico de 𝑔 é uma parábola com concavidade parabaixo e vértice 𝑉 = (−3, 𝑘) e a ordenada 
do vértice da parábola é maior do que 2. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Possível gráfico de ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑥) = −(𝑥 + 3)2 + 𝑘, 𝑘 > 2, −5 ≤ 𝑥 ≤ −2. 
Se 𝑔(𝑥) = −(𝑥 + 3)2 + 𝑘 e 𝑥 = −5 (extremo esquerdo do intervalo), temos 
𝑦 = 𝑔(−5) = −(−5 + 3)2 + 𝑘 = −(−2)2 + 𝑘 = −4 + 𝑘. 
Como 𝑘 > 2 , temos: 
𝑘 > 2 ⟹ −4 + 𝑘 > −4 + 2 ⟹ −4 + 𝑘 > −2. 
Assim, o ponto (−5, ℎ(−5)) = (−5, 𝑔(−5)) = (−5,−4 + 𝑘) da parábola tem ordenada maior do que 
−2. 
Se 𝑔(𝑥) = −(𝑥 + 3)2 + 𝑘 e 𝑥 = −2 (extremo direito do intervalo), temos 
𝑦 = 𝑔(−2) = −(−2 + 3)2 + 𝑘 = −(1)2 + 𝑘 = −1 + 𝑘. 
Como 𝑘 > 2 , temos: 
𝑘 > 2 ⟹ −1 + 𝑘 >→ −1 + 2 ⟹ −1 + 𝑘 > 1. 
Assim, o ponto (−2, ℎ(−2) = (−2, 𝑔(−2)) = (−2,−1 + 𝑘) da parábola tem ordenada maior do que 1. 
Assim, um possível gráfico de ℎ(𝑥) = −(𝑥 + 3)2 + 𝑘, − 5 ≤ 𝑥 ≤ −2 deve satisfazer as 
condições: 
• O gráfico é uma parábola com concavidade para baixo. 
• A ordenada do vértice da parábola deve ser maior do que 2. 
• O ponto (−5, ℎ(−5)) da parábola deve ter ordenada maior do que −2. 
• O ponto (−2, ℎ(−2)) da parábola deve ter ordenada maior do que 1. 
 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 29 de 43 
Possíveis gráficos de 𝒉 
• Observando o gráfico de ℎ(𝑥) = 5 − 2|𝑥|, −2 < 𝑥 ≤ 1 e comparando com os 10 gráficos 
dados, sabemos que os gráficos das opções 1, 2 e 9 são possíveis gráficos da função ℎ e as demais 
opções não são possíveis gráficos de ℎ. 
• Observando as condições que a parábola e seus pontos devem satisfazer e comparando com os 
10 gráficos dados, sabemos que os gráficos das opções 1, 3 e 6 são possíveis gráficos da função ℎ 
e as demais opções não são possíveis gráficos de ℎ. 
Resposta 
Pelas argumentações acima, o único possível gráfico da função ℎ é o gráfico da opção 1. 
 
 
Questão 6 [1,2] TIPO 1 
 
Considere a função 𝑔 definida por 
 𝑔(𝑥) = 4 −
2
𝑥
 , 
1
2
≤ 𝑥 ≤ 4. 
 A função 𝑔 é invertível e Im(𝑔) = [0 ,
7
2
]. Considere 𝑔−1 a função inversa de 𝑔. 
 
Considere as figuras esboçadas abaixo. 
Figura 1 Figura 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 30 de 43 
 
 Figura 3 Figura 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Complete a lacuna de cada item com a única opção correta. 
 (a) O domínio e a imagem da função 𝑔−1 são ____________ 
Opção 1 Domínio: [0 ,
7
2
] e Imagem: [
1
2
, 4] 
Opção 2 Domínio: [−4 , 3] e Imagem: [
1
2
, 4] 
Opção 3 Domínio: [
1
2
, 4] e Imagem: [0,
7
2
] 
Opção 4 Domínio: [−4 , −
1
2
] e Imagem: [0,
7
2
] 
Opção 5 Domínio: [−4 , −1] e Imagem: [−4,3] 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 31 de 43 
(b) 𝑔−1(𝑥) = ___________________. 
Opção 1 
2
4−𝑥
 
Opção 2 
2
𝑥−4
 
Opção 3 
𝑥
4𝑥−2
 
Opção 4 
2−4𝑥
𝑥
 
 (c) Dentre as figuras acima, a figura que contém o gráfico 
 da função 𝑔 e o gráfico da função 𝑔−1 é a _______________ 
Opção 1 Figura 2 
Opção 2 Figura 1 
Opção 3 Figura 3 
Opção 4 Figura 4 
Opção 5 Figura 5 
 
RESOLUÇÃO: 
(a) Seja 𝑔: [
1
2
, 4] → [0 ,
7
2
] a função definida por 𝑔(𝑥) = 4 −
2
𝑥
 . 
Como afirmamos, a função 𝑔 é invertível. Seja 𝑔−1 a função inversa de 𝑔. 
Sabemos que 𝐷𝑜𝑚( 𝑔−1) = Im (𝑔) e Im ( 𝑔−1) = 𝐷𝑜𝑚(𝑔) . 
Logo, 𝐷𝑜𝑚( 𝑔−1) = Im (𝑔) = [0 ,
7
2
] e Im ( 𝑔−1) = 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = [
1
2
, 4] . 
(b) Seja 𝑔−1 a função inversa de 𝑔 . 
Para encontrar a expressão de 𝑔−1(𝑥) vamos resolver a equação 𝑦 = 4 −
2
𝑥
 , explicitando o valor de 𝑥 . 
Resolvendo: 
𝑦 = 4 −
2
𝑥
 ⇔ 𝑦 =
4𝑥 − 2
𝑥
 ⇔ 𝑦𝑥 = 4𝑥 − 2 ⇔ 4𝑥 − 𝑦𝑥 = 2 ⇔ 𝑥(4 − 𝑦) = 2 
𝑥 =
2
4−𝑦
 . Trocando 𝑥 por 𝑦 , obtemos 𝑦 =
2
4−𝑥
 . Logo, 
𝑔−1(𝑥) = 
2
4−𝑥
 para 𝑥 ∈ [0 ,
7
2
]. 
(c) Construindo o gráfico da função 𝒚 = 𝟒 −
𝟐
𝒙
 para 𝒙 ≠ 𝟎. 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 32 de 43 
 
 
 
 
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑎çã𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 2
→ 
 
 
 
 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
 4 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 
 
 
 
Construindo o gráfico da função 𝒈(𝒙) = 𝟒 −
𝟐
𝒙
 para 𝒙 ∈ [
𝟏
𝟐
, 𝟒] 
𝑔 (
1
2
) = 4 −
2
1
2
= 4 − 4 = 0 
𝑔(4) = 4 −
2
4
= 4 −
1
2
=
7
2
 
O gráfico da função 𝑔(𝑥) = 4 −
2
𝑥
 para 𝑥 ∈ [
1
2
, 4] é: 
 
 
 
Construindo os gráficos das funções 𝒈(𝒙) para 𝒙 ∈ [
𝟏
𝟐
, 𝟒] e 𝒈−𝟏(𝒙) para 𝒙 ∈ [𝟎 ,
𝟕
𝟐
] 
O gráfico da função inversa 𝑔−1(𝑥) = 
2
4−𝑥
 com 𝐷𝑜𝑚( 𝑔−1) = [0 ,
7
2
] e Im ( 𝑔−1) = [
1
2
, 4] é a 
reflexão do gráfico da função 𝑔(𝑥) = 4 −
2
𝑥
 , para 𝑥 ∈ [
1
2
, 4] em torno da reta 𝑦 = 𝑥. 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 33 de 43 
Esboçando os gráficos da reta de equação 𝑦 = 𝑥 , da 
função 𝑔(𝑥) = 4 −
2
𝑥
 , 𝑥 ∈ [
1
2
, 4] e da função 
𝑔−1(𝑥) = 
2
4−𝑥
 𝑥 ∈ [0 ,
7
2
], temos: 
 
 
 
 
Respostas 
A única opção correta do item (a) é a opção 1, que é 
Domínio: [0 ,
7
2
] e Imagem: [
1
2
, 4] 
A única opção correta do item (b) é a opção 1, que é 𝑔−1(𝑥) = 
2
4−𝑥
 
A única opção correta do item (c) é a opção 1, que é a Figura 2 
Questão 6 [1,2] TIPO 2 
 Considere a função 𝑔 definida por 
 𝑔(𝑥) = 2 −
4
𝑥
 , 
1
2
≤ 𝑥 ≤ 4. 
 A função 𝑔 é invertível e Im(𝑔) = [−6, 1] . Considere 𝑔−1 a função inversa de 𝑔. 
Considere as figuras esboçadas abaixo. 
Figura 1 Figura 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 34 de 43 
 Figura 3 Figura 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Complete a lacuna de cada item com a única opção correta. 
(a) O domínio e a imagem da função 𝑔−1 são ____________ 
Opção 1 Domínio: [−6 , 1] Imagem: [
1
2
, 4] 
Opção 2 Domínio: [−4 , −
1
2
] Imagem: [−6,−1] 
Opção 3 Domínio: [
1
2
, 4] Imagem: [−6, 1 ] 
Opção 4 Domínio: [−4 , −
1
2
] Imagem: [−4, 3] 
Opção 5 Domínio: [−4 , 3] Imagem: [
1
2
, 4] 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 35 de 43 
(b) 𝑔−1(𝑥) = ___________________. 
Opção 1 
4
2−𝑥
 
Opção 2 
4
𝑥−2
 
Opção 3 
𝑥
2𝑥−4
 
Opção 4 
4−2𝑥
𝑥
 
(c) Dentre as figuras acima, a figura que contém o gráfico 
 da função 𝑔 e o gráfico da função 𝑔−1 é a _______________ 
Opção 1 Figura 5 
Opção 2 Figura 2 
Opção 3 Figura 3 
Opção 4 Figura 4 
Opção 5 Figura 1 
 
RESOLUÇÃO: 
(a) Seja 𝑔: [
1
2
, 4] → [−6 , 1] a função definida por 𝑔(𝑥) = 2 −
4
𝑥
 . 
Como afirmamos, a função 𝑔 é invertível. Seja 𝑔−1 a função inversa de 𝑔. 
Sabemos que 𝐷𝑜𝑚( 𝑔−1) = Im (𝑔) e Im ( 𝑔−1) = 𝐷𝑜𝑚(𝑔) . 
Logo, 𝐷𝑜𝑚( 𝑔−1) = Im (𝑔) = [−6 , 1] e Im ( 𝑔−1) = 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = [
1
2
, 4] . 
 
(b) Seja 𝑔−1 a função inversa de 𝑔 . 
Para encontrar a expressão de 𝑔−1(𝑥) vamos resolver a equação 𝑦 = 2 −
4
𝑥
 , explicitando o valor de 𝑥 . 
Resolvendo: 
𝑦 = 2 −
4
𝑥
 ⇔ 𝑦 =
2𝑥 − 4
𝑥
 ⇔ 𝑦𝑥 = 2𝑥 − 4 ⇔ 2𝑥 − 𝑦𝑥 = 4 ⇔ 𝑥(2 − 𝑦) = 4 
𝑥 =
4
2−𝑦
 . Trocando 𝑥 por 𝑦 , obtemos 𝑦 =
4
2−𝑥
 . Logo, 
𝑔−1(𝑥) = 
4
2−𝑥
 para 𝑥 ∈ [−6 , 1]. 
(c) Construindo o gráfico da função 𝒚 = 𝟐 −
𝟒
𝒙
 para 𝒙 ≠ 𝟎 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 36 de 43 
 
 
 
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑎çã𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 4
→ 
 
 
 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 
 
 
 
 
Construindo o gráfico da função 𝒈(𝒙) = 𝟐 −
𝟒
𝒙
 para 𝒙 ∈ [
𝟏
𝟐
, 𝟒] 
𝑔 (
1
2
) = 2 −
4
1
2
= 2 − 8 = −6 
𝑔(4) = 2 −
4
4
= 2 − 1 = 1 
 
O gráfico da função 𝑔(𝑥) = 2 −
4
𝑥
 para 𝑥 ∈ [
1
2
, 4] é: 
 
 
Construindo os gráficos das funções 𝒈(𝒙) para 𝒙 ∈ [
𝟏
𝟐
, 𝟒] e 𝒈−𝟏(𝒙) para 𝒙 ∈ [−𝟔, 𝟏] 
O gráfico da função inversa 𝑔−1(𝑥) = 
4
2−𝑥
 com 𝐷𝑜𝑚( 𝑔−1) = [−6,1] e Im ( 𝑔−1) = [
1
2
, 4] é a 
reflexão do gráfico da função 𝑔(𝑥) = 2 −
4
𝑥
 , para 𝑥 ∈ [
1
2
, 4] em torno da reta 𝑦 = 𝑥. 
 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 37 de 43 
Esboçando os gráficos da reta de equação 𝑦 = 𝑥 , 
da função 𝑔(𝑥) = 2 −
4
𝑥
 , 𝑥 ∈ [
1
2
, 4] e da função 
𝑔−1(𝑥) = 
4
2−𝑥
 𝑥 ∈ [−6,1], temos: 
 
 
 
 
 
 
Respostas 
A única opção correta do item (a) é a opção 1, que é Domínio: [−6 , 1] Imagem: [
1
2
, 4] 
A única opção correta do item (b) é a opção 1, que é 𝑔−1(𝑥) = 
4
2−𝑥
. 
A única opção correta do item (c) é a opção 1, que é a Figura 5. 
 
Questão 7 [1,2] TIPO 1 
 
Considere as funções 𝑦 = 𝑔(𝑥) e 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 3 − | 𝑔(1 − 𝑥)|, 
cujos gráficos estão esboçados abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 38 de 43 
Aplicando uma sequência de transformações no gráfico de 𝑦 = 𝑔(𝑥), encontramos o gráfico 
da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 3 − | 𝑔 (1 − 𝑥)|. 
Dentre as opções abaixo marque a única sequência correta de transformações. 
Opção (a) 
 𝑦 = 𝑔(𝑥) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
→ 𝑦 = 𝑔(𝑥 + 1) 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦
→ 𝑦 = 𝑔(−𝑥 + 1) = 𝑔(1 − 𝑥) 
 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 
𝑓𝑢𝑛çã𝑜
→ 𝑦 = | 𝑔(1 − 𝑥)| 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 𝑦 = −| 𝑔(1 − 𝑥)|
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 𝑦 = 3 − |𝑔 (1 − 𝑥)| 
Opção (b) 
 𝑦 = 𝑔(𝑥) 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦
→ 𝑦 = 𝑔(−𝑥)
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
→ 𝑦 = 𝑔(−𝑥 + 1) = 𝑔(1 − 𝑥) 
 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 
𝑓𝑢𝑛çã𝑜
→ 𝑦 = | 𝑔(1 − 𝑥)| 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 𝑦 = −| 𝑔(1 − 𝑥)|
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 𝑦 = 3 − | 𝑔(1 − 𝑥)| 
Opção (c) 
 𝑦 = 𝑔(𝑥) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
→ 𝑦 = 𝑔(𝑥 + 1) 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦
→ 𝑦 = 𝑔(−𝑥 + 1) = 𝑔(1 − 𝑥) 
 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 𝑦 = −𝑔(1 − 𝑥) 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 
𝑓𝑢𝑛çã𝑜
→ 𝑦 = −| 𝑔(1 − 𝑥)|
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 𝑦 = 3 − | 𝑔(1 − 𝑥)| 
Opção (d) 
 𝑦 = 𝑔(𝑥) 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 
𝑓𝑢𝑛çã𝑜
→ 𝑦 = |𝑔(𝑥)| 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 𝑦 = −| 𝑔(𝑥)|
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 𝑦 = 3 − | 𝑔(𝑥)| 
 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦
→ 𝑦 = 3 − | 𝑔(−𝑥)| 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
→ 𝑦 = 3 − | 𝑔(−𝑥 + 1)| = 3 − | 𝑔(1 − 𝑥)| 
Opção (e) 
 𝑦 = 𝑔(𝑥) 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 𝑦 = −𝑔(𝑥)
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 
𝑓𝑢𝑛çã𝑜
→ 𝑦 = −| 𝑔(𝑥)|
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 𝑦 = 3 − | 𝑔(𝑥)| 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
→ 𝑦 = 3 − | 𝑔(𝑥 + 1)| = 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦
→ 𝑦 = 3 − | 𝑔(−𝑥 + 1)| = 3 − | 𝑔(1 − 𝑥)| 
 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 39 de 43 
RESOLUÇÃO 
• Verificando as transformações da opção (a), concluímos que estão corretas. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
• Verificando as transformações da opção (b), encontramos um erro em 
𝑦 = 𝑔(−𝑥)
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
→ 𝑦 = 𝑔(−𝑥 + 1) = 𝑔(1 − 𝑥). 
Pois, ao aplicar 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
→ sobre a função 𝑦 = 𝑔(−𝑥), o correto é obter 𝑦 = 𝑔(−(𝑥 + 1)) =
𝑔(−𝑥 − 1) = 𝑔(−1 − 𝑥). 
E assim, encontraríamos uma expressão diferente da expressão 𝑦 = 𝑔(−𝑥 + 1) = 𝑔(1 − 𝑥) 
Se a partir de 𝑦 = 𝑔(−1 − 𝑥), aplicássemos as mesmas transformações da opção (b), teríamos obtido: 
𝑦 = 𝑔(−1 − 𝑥)
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 
𝑓𝑢𝑛çã𝑜
→ 𝑦 = | 𝑔(−1 − 𝑥)| = 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 𝑦 = −| 𝑔(−1 − 𝑥)| 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 𝑦 = 3 − | 𝑔(−1 − 𝑥)| 
E assim, encontraríamos uma expressão diferente da expressão 𝑦 = 3 − |𝑔 (1 − 𝑥)| . 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
• Verificando as transformações da opção (c), encontramos um erro em 
 𝑦 = −𝑔(1 − 𝑥) 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 
𝑓𝑢𝑛çã𝑜
→ 𝑦 = −| 𝑔(1 − 𝑥)| 
Pois, ao aplicar 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 
𝑓𝑢𝑛çã𝑜
→ sobre a função 𝑦 = −𝑔(1 − 𝑥), o correto é obter 
 𝑦 = |− 𝑔(1 − 𝑥)| = | 𝑔(1 − 𝑥)| . 
Se a partir de 𝑦 = | 𝑔(1 − 𝑥)|, aplicássemos as mesmas transformações da opção (c), teríamos obtido: 
𝑦 = 𝑦 = | 𝑔(1 − 𝑥)|
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 𝑦 = 3 + | 𝑔(1 − 𝑥)| 
E assim, encontraríamos uma expressão diferente da expressão 𝑦 = 3 − | 𝑔(1 − 𝑥)| . 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
• Verificando as transformações da opção (d), encontramos um erro em 
𝑦 = 3 − | 𝑔(−𝑥)| 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
→ 𝑦 = 3 − | 𝑔(−𝑥 + 1)| = 3 − | 𝑔(1 − 𝑥)| 
Pois, ao aplicar 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
→ sobre a função 𝑦 = 3 − | 𝑔(−𝑥)| , o correto é obter 
𝑦 = 3 − | 𝑔(−(𝑥 + 1)| = 3 − | 𝑔(−𝑥 − 1)| = 3 − | 𝑔(−1 − 𝑥)| . 
E assim, encontraríamos uma expressão diferente da expressão 𝑦 = 3 − | 𝑔(1 − 𝑥)| . 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 40 de 43 
• Verificando as transformações da opção (e), encontramos um erro em 
 𝑦 = −𝑔(𝑥)
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 
𝑓𝑢𝑛çã𝑜
→ 𝑦 = −| 𝑔(𝑥)| 
Pois, ao aplicar 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 
𝑓𝑢𝑛çã𝑜
→ sobre a função 𝑦 = −𝑔(𝑥), o correto é obter 
𝑦 = |−𝑔(𝑥), | = | 𝑔(𝑥)| . 
Se a partir de 𝑦 = | 𝑔(𝑥)| , aplicássemos as mesmas transformações da opção (e), teríamos obtido: 
𝑦 = | 𝑔(𝑥)|
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 𝑦 = 3 + | 𝑔(𝑥)| 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
→ 𝑦 = 3 + | 𝑔(𝑥 + 1)| 
 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦
→ 𝑦 = 3 + | 𝑔(−𝑥 + 1)| = 3 + | 𝑔(1 − 𝑥)| 
E assim, encontraríamosuma expressão diferente da expressão 𝑦 = 3 − | 𝑔(1 − 𝑥)| . 
 
Questão 7 [1,2] TIPO 2 
 
Considere as funções 𝑦 = 𝑔(𝑥) e 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 1 − | 𝑔(3 − 𝑥)|, 
cujos gráficos estão esboçados abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando uma sequência de transformações no gráfico de 𝑦 = 𝑔(𝑥), encontramos o gráfico 
da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 1 − | 𝑔(3 − 𝑥). 
Dentre as opções abaixo marque a única sequência correta de transformações. 
Opção (a) 
 𝑦 = 𝑔(𝑥) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
→ 𝑦 = 𝑔(𝑥 + 3) 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦
→ 𝑦 = 𝑔(−𝑥 + 3) = 𝑔(3 − 𝑥) 
 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 
𝑓𝑢𝑛çã𝑜
→ 𝑦 = | 𝑔(3 − 𝑥)| 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 𝑦 = −| 𝑔(3 − 𝑥)|
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 𝑦 = 1 − | 𝑔( 3 − 𝑥)| 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 41 de 43 
Opção (b) 
 𝑦 = 𝑔(𝑥) 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦
→ 𝑦 = 𝑔(−𝑥)
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
→ 𝑦 = 𝑔(−𝑥 + 3) = 𝑔(3 − 𝑥) 
 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 
𝑓𝑢𝑛çã𝑜
→ 𝑦 = | 𝑔(3 − 𝑥)| 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 𝑦 = −| 𝑔(3 − 𝑥)|
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 𝑦 = 1 − | 𝑔(3 − 𝑥)| 
Opção (c) 
 𝑦 = 𝑔(𝑥) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
→ 𝑦 = 𝑔(𝑥 + 3) 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦
→ 𝑦 = 𝑔(−𝑥 + 3) = 𝑔(3 − 𝑥) 
 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 𝑦 = −𝑔(3 − 𝑥) 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 
𝑓𝑢𝑛çã𝑜
→ 𝑦 = −| 𝑔(3 − 𝑥)|
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 𝑦 = 1 − | 𝑔(3 − 𝑥)| 
Opção (d) 
 𝑦 = 𝑔(𝑥) 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 
𝑓𝑢𝑛çã𝑜
→ 𝑦 = | 𝑔(𝑥)| 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 𝑦 = −| 𝑔(𝑥)|
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 𝑦 = 1 − | 𝑔(𝑥)| 
 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦
→ 𝑦 = 1 − | 𝑔(−𝑥)| 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
→ 𝑦 = 1 − | 𝑔(−𝑥 + 3)| = 1 − | 𝑔(3 − 𝑥)| 
Opção (e) 
 𝑦 = 𝑔(𝑥) 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 𝑦 = −𝑔(𝑥)
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 
𝑓𝑢𝑛çã𝑜
→ 𝑦 = −| 𝑔(𝑥)|
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 𝑦 = 1 − | 𝑔(𝑥)| 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
→ 𝑦 = 1 − | 𝑔(𝑥 + 3)| 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦
→ 𝑦 = 1 − |𝑔 (−𝑥 + 3)| = 1 − | 𝑔(3 − 𝑥) | 
RESOLUÇÃO 
• Verificando as transformações da opção (a), concluímos que estão corretas. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
• Verificando as transformações da opção (b), encontramos um erro em 
 𝑦 = 𝑔(−𝑥)
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
→ 𝑦 = 𝑔(−𝑥 + 3) = 𝑔(3 − 𝑥). 
Pois, ao aplicar 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
→ sobre a função 𝑦 = 𝑔(−𝑥), o correto é obter 𝑦 = 𝑔(−(𝑥 + 3)) =
𝑔(−𝑥 − 3) = 𝑔(−3 − 𝑥). 
E assim, encontraríamos uma expressão diferente da expressão 𝑦 = 𝑔(−𝑥 + 3) = 𝑔(3 − 𝑥) 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 42 de 43 
Se a partir de 𝑦 = 𝑔(−3 − 𝑥), aplicássemos as mesmas transformações da opção (b), teríamos obtido: 
𝑦 = 𝑔(−3 − 𝑥),
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 
𝑓𝑢𝑛çã𝑜
→ 𝑦 = | 𝑔(−3 − 𝑥)| 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 𝑦 = −| 𝑔(−3 − 𝑥)| 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 𝑦 = 1 − | 𝑔(−3 − 𝑥)| 
E assim, encontraríamos uma expressão diferente da expressão 𝑦 = 1 − | 𝑔(3 − 𝑥)| 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
• Verificando as transformações da opção (c), encontramos um erro em 
 𝑦 = −𝑔(3 − 𝑥) 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 
𝑓𝑢𝑛çã𝑜
→ 𝑦 = −| 𝑔(3 − 𝑥)| 
Pois, ao aplicar 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 
𝑓𝑢𝑛çã𝑜
→ sobre a função 𝑦 = −𝑔( 3 − 𝑥), o correto é obter 
 𝑦 = |− 𝑔(3 − 𝑥)| = | 𝑔( 3 − 𝑥)| . 
Se a partir de 𝑦 = | 𝑔( 3 − 𝑥)|, aplicássemos as mesmas transformações da opção (c ), teríamos obtido: 
𝑦 = 𝑦 = | 𝑔( 3 − 𝑥)|
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
 1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 𝑦 = 1 + | 𝑔( 3 − 𝑥)| 
E assim, encontraríamos uma expressão diferente da expressão 𝑦 = 1 − | 𝑔( 3 − 𝑥)| . 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
• Verificando as transformações da opção (d), encontramos um erro em 
𝑦 = 1 − | 𝑔(−𝑥)| 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
→ 𝑦 = 1 − | 𝑔(−𝑥 + 3)| = 1 − | 𝑔(3 − 𝑥)| 
Pois, ao aplicar
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
→ sobre a função 𝑦 = 1 − | 𝑔(−𝑥)| , o correto é obter 
𝑦 = 1 − | 𝑔(−(𝑥 + 3)| = 1 − | 𝑔(−𝑥 − 3)| = 1 − | 𝑔(−3 − 𝑥)| . 
E assim, encontraríamos uma expressão diferente da expressão 𝑦 = 1 − | 𝑔(3 − 𝑥)| . 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
• Verificando as transformações da opção (e), encontramos um erro em 
 𝑦 = −𝑔(𝑥)
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 
𝑓𝑢𝑛çã𝑜
→ 𝑦 = −| 𝑔(𝑥)| 
Pois, ao aplicar 
𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 
𝑓𝑢𝑛çã𝑜
→ sobre a função 𝑦 = −𝑔(𝑥), o correto é obter 
 𝑦 = |−𝑔(𝑥)| = | 𝑔(𝑥)| . 
Se a partir de 𝑦 = | 𝑔(𝑥)| , aplicássemos as mesmas transformações da opção (e), teríamos obtido: 
𝑦 = | 𝑔(𝑥)|
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 𝑦 = 3 + | 𝑔(𝑥)| 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
→ 𝑦 = 3 + | 𝑔(𝑥 + 1)| 
APX1 – 2021-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 43 de 43 
 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦
→ 𝑦 = 3 + | 𝑔(−𝑥 + 1)| = 3 + | 𝑔(1 − 𝑥)| 
E assim, encontraríamos uma expressão diferente da expressão 𝑦 = 3 − | 𝑔(1 − 𝑥)| .