10824-4988-negacao-das-proposicoes-operador-nao-negacao-simples-fabricio-biazotto

Prévia do material em texto

Raciocínio Lógico
Negação das Proposições / Operador Não (Negação Simples)
Professor Fabrício Biazotto
www.acasadoconcurseiro.com.br
3www.acasadoconcurseiro.com.br
Raciocínio Lógico
CONECTIVOS LÓGICOS
1 – NEGAÇÃO (~ OU ¬) – É O OPOSTO
A negação é um dos mais complicados de ser entendido, porque entende-se que o NÃO, ou 
qualquer outro advérbio, ou adjunto adverbial de negação, torna a sentença uma negação. Aí 
é onde mora o perigo! A negação no RLM é independente de qualquer advérbio ou adjunto 
adverbial!
Por isso pode-se ter uma sentença qualquer escrita na forma negativa, como por exemplo: 
“Hoje não é domingo” e ser simbolizada como P, da mesma forma que se pode ter uma 
sentença escrita na forma afirmativa, como por exemplo: “Hoje é domingo” e ser simbolizada 
por ~P ou ¬ P, mais uma vez, não é o não que determina a negação, mas sim a troca do valor 
lógico da sentença, o que é V se torna F e vice-versa.
É necessário entender que a negação em RLM significa o valor oposto, ou seja, uma proposição, 
ou sentença lógica verdadeira (V), quando for negada deverá necessariamente ser falsa (F), ou 
uma proposição, ou sentença lógica falsa (F), quando for negada deverá necessariamente ser 
verdadeira (V) e somente isso, não importando a forma como está escrita, logo:
P = V. (original) Q = F. (original)
~ P = F ¬ Q = V
~ (~ P) = V ¬ ( ¬ Q) = F
~ (~ (~ P)) = F ¬ (¬ (¬ Q)) = V
E assim por diante. E assim por diante.
Perceba que existe uma lógica bem simples para as negações:
1º – Quando o número de negações for par (0, 2, 4, 6, ...) o valor lógico da sentença é o mesmo 
da original.
2º – Quando o número de negações for ímpar (1, 3, 5, 7, ...) o valor lógico da sentença é o 
oposto da original.
1.1 – NEGAÇÃO DE SENTENÇAS LÓGICAS
Ex.: P: A porta está aberta = V
 
4 www.acasadoconcurseiro.com.br
Negações:
~ P: A porta não está aberta = F
¬ P: A porta está fechada = F
~ P: Não é verdade que a porta está aberta = F
¬ P: É falso que a porta está aberta = F
~ P: Não é verdade que a porta não está fechada = F
¬ P: É falso que a porta não está fechada = F
~ P: Não é falso que a porta está fechada = F
¬ P: É verdade que a porta está fechada = F
~ P: Não é falso que a porta não está aberta = F
¬ P: É verdade que a porta não está aberta = F
Como pode perceber foi demostrado várias formas diferentes de trocar o valor lógico da 
sentença verdadeira V, para F, as vezes utilizando o NÃO, outras vezes utilizando o antônimo e 
outras utilizando ambos. O importante é perceber que é o oposto ao da sentença original que 
está sendo determinado e é claro que serão utilizados em exercícios, os mais complicados de 
serem entendidos.
Também foi utilizado as duas simbologias de negação alternadamente para que se entenda 
que não há uma regra de qual das duas utilizar. Ambas são igualmente importantes e podem 
ser utilizadas a qualquer instante, basta ter uma regra pessoal, escolha uma e utilizar a mesma 
em toda a resolução.
1.2 – NEGAÇÃO DE EXPRESSÕES MATEMÁTICAS
Nas operações matemáticas, não existem operações opostas, mas sim inversas e, em 
matemática, oposto é diferente de inverso:
OPOSTO. INVERSO.
A ⇒ – A A ⇒ 1/A
 – A/B ⇒ A/B – A/B ⇒ – B/A
O oposto, conforme exemplo acima, é a troca do sinal, o que é positivo fica negativo e vice-
versa. Já o inverso significa inverter o número (trocar o numerador pelo denominador) sem 
alterar o sinal, ou seja, o que é positivo continua positivo e o que é negativo, continua negativo.
Este entendimento é importante para entender que em negação (que é o oposto) das 
expressões matemáticas não podemos trocar as operações matemáticas (são inversas e não 
opostas), mas somente as igualdades ou desigualdades.
1.2.1 – NEGAÇÃO DE EXPRESSÕES ARITMÉTICAS
A diferença entre aritmética e álgebra é que em aritmética, as expressões possuem apenas 
algarismos (números) como por exemplo 2 + 3 = 5, já a álgebra entra a famosa incógnita, 
passam a ter letras, ou seja o X: x + 3 = 5, que conhecemos como equação, então em RLM as 
expressões aritméticas são proposições, já as expressões algébricas não são proposições, são 
Raciocínio Lógico – Negação das Proposições / Operador Não (Negação Simples) – Prof. Fabrício Biazotto
5www.acasadoconcurseiro.com.br
sentenças abertas, pelo fato da incógnita X, como o próprio nome já diz INCÓGNITA, não se 
sabe de quem, ou do que se está falando, não conseguindo assim determinar se é verdadeiro 
ou falso, somente a solução, a resposta final da equação que pode ser julgada, ou seja, quando 
chegamos ao resultado X = 2, por exemplo, onde este sim pode ser julgado e não a equação.
P : 3 + 4 = 5 (F) Q: 2 x 32 – 7 ≠ 10 (V)
~ P: 3 + 4 ≠ 5 (V) ¬ Q: 2 x 3
2 – 7 = 10 (F)
R: X + 3 = 5 – Não é proposição, sentença aberta!
Perceba que em ambos a negação está na igualdade e na diferença somente! Nunca nas 
operações matemáticas.
1.2.2 – NEGAÇÃO DE DESIGUALDADES OU CONJUNTO SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES
A diferença básica entre equação e inequação é que a equação é uma igualdade e a inequação 
uma desigualdade, ou seja, o maior, maior ou igual, menor e menor ou igual, na prática a 
equação possui um único valor que a satisfaz, se a equação for do 1 grau, 2 valores se do 2 
grau, 3 valores se do 3 grau e, assim sucessivamente, não podendo assumir qualquer outro 
valor, como por exemplo X + 4 = 5, então X só pode ser exclusivamente igual a 1, qualquer 
outro valor não satisfaz a equação de forma alguma.
A inequação não, não é um único elemento de um conjunto que a satisfaz, mas sim um conjunto 
inteiro de valores que podem ser utilizados, sendo a inequação do grau que for (polinômio), 
como por exemplo X > 16, isto quer dizer que se X representa idades, o valor de 17 anos até o 
infinito podem fazer parte da inequação que a satisfaz e, X ≥ 16, o valor 16 entra também no 
conjunto.
De um forma mais prática, quando se diz no mínimo 16 anos, de 16 anos pra cima, ou pelo 
menos 16 anos, quer dizer que as pessoas que possuem de 16 para mais anos pode realizar 
determinado assunto, isso que quer dizer o MAIOR OU IGUAL (≥), já quando se diz acima de 16 
anos, o MAIOR (>), 16 anos não entram, é de 17 para cima.
A mesma ideia para no máximo, que é o MENOR OU IGUAL (≤), ou abaixo de, que é o MENOR 
(<).
Por isso estas sentenças também possuem suas negações, que é o perfeito oposto a isto.
Exemplos:
P: X ≥ 16, a negação, que é o oposto, é a troca do maior para o menor e, se tem o igual retira, 
se não tem o igual, coloca, logo:
1 – P: X ≥ 16. | ~P: X < 16 (trocou-se o sinal de maior para menor e retira-se o igual).
2 – Q: X < 7. | ~Q: X ≥ 7 (trocou-se o sinal de menor para maior e colocou-se o igual).
Em conjunto solução de inequações ou desigualdades, também pode-se negar de outras duas 
formas, através do estudo dos sinais na reta numérica e através do próprio conjunto solução.
 
6 www.acasadoconcurseiro.com.br
Demonstrando as três maneiras para o exemplo 1:
Raciocínio Lógico – Negação das Proposições / Operador Não (Negação Simples) – Prof. Fabrício Biazotto
7www.acasadoconcurseiro.com.br
OBS1.: DIFERENÇA ENTRE USAR CHAVES { } E COLCHETES [ ].
Quando se utilizar chaves { }, está sendo listado apenas os elementos:
{16, ∞ }, assim este conjunto tem apenas 2 elementos: o número 16 e o infinito!
Quando se utiliza colchetes [ ], estão listados todos os elementos entre os valores:
[16, ∞ [, assim este conjunto possui todos os elementos entre o 16 e o infinito
Por isso em retas numéricas é necessário utilizar os colchetes!
OBS2.: O CASO DO INFINITO!
Ambas soluções acima (afirmação e negação) o infinito faz parte das soluções, por isso deveria 
ser colchete FECHADO! Porém existe uma problema filosófico (mais parecido com “medinho”)! 
Pelo fato de não se conhecer o infinito, é preferível excluí-lo da solução sempre! Por que? 
Simples! Vai que ao se chegar no infinito e o valor é 15 ([16 , ∞ [), conforme a solução, somente 
os valores maiores ou iguais a 16 são verdadeiro, então o 15 não pode fazer parte da solução,concorda? Mas pode ser perguntado:
“Ei! Espera aí! Como a seta da reta mostra que aumenta para direita e a solução começa no 
número 16, conforme o desenho da reta numérica, como que o infinito será 15? Dá um tempo 
né!”
Resposta:
“Aí é que está o problema! O medinho! Já foi até o infinito? Conhece lá? Então... como não 
sabe o que é o infinito, por que então não pode ser 15?”
Exatamente pelo desconhecimento do que é o infinito que é preferível excluí-lo sempre das 
soluções, assim nunca irá interessar se o infinito faz ou não faz parte do conjunto solução, para 
ele será sempre colchete aberto, ou parênteses.
Para o exemplo 2, a mesma coisa!
9www.acasadoconcurseiro.com.br
Questões
1.3 – EXERCÍCIOS
1. (2018 – exercício autoral)
Negue as seguintes sentenças:
P: Amanhã será sábado.
Q: O Aluno foi reprovado.
R: Não é verdade que Hugo não fala holandês.
S: A menina não tem 9 anos.
T: 4 + 3 = 9.
U: X > – 2